Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài trình bày những kiến thức cơ sở về phương trình vi phân hàm:giới thiệu về khái niệm và cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu của một số loại phương trình vi phân có chậm. Các ví dụ ở phần này ngoài mục đích giới thiệu cách giải phương trình vi phân hàm còn nhằm làm bật tính vô hạn chiều của tập nghiệm của phương trình vi phân hàm, bất kể không gian trạng thái là hạn chiều hay hữu hạn chiều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HẬU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HẬU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - 2013
Mục lục 1 Phương trình vi phân có chậm 4 1.1 Giới thiệu về phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Dạng biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . 6 1.2 Cách giải phương trình có chậm hằng rời rạc . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Trường hợp có một độ chậm hằng rời rạc . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Trường hợp có nhiều độ chậm hằng rời rạc . . . . . . . . . 14 2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm 18 2.1 Kiến thức mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Khái niệm nghiệm ổn định, bị chặn . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Một số bổ đề cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . . . . 20 2.2 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati . . . . . . . . 24 2.3 Các kết quả cho phương trình vi phân có chậm phân phối . . . . . 30 2.4 Bất phương trình ma trận với hệ tuyến tính không dừng . . . . 34 3 Một vài ứng dụng của phương trình vi phân có chậm 39 3.1 Ứng dụng vào bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Ứng dụng vào mô hình tăng trưởng quần thể một loài . . . . . . . 45 1
Mở Đầu Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học. Lý thuyết này được được khởi đầu từ những đòi hỏi của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Cơ học, Điều khiển học, Vật lý, Toán học, Sinh thái học, Kỹ thuật, Kinh tế, ... . Hiện nay lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực Toán học lớn được nhiều người quan tâm. Lý thuyết ổn định đã được nghiên cứu nhiều cho các hệ phương trình vi phân thường. Ngày nay, việc nghiên cứu đã được mở rộng theo nhiều hướng. Một trong số đó là nghiên cứu trên các phương trình vi phân hàm, đặc biệt là các phương trình có chậm. Luận văn này đề cập đến tính ổn định của một lớp các phương trình vi phân có chậm và trình bày một vài ứng dụng của nó. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một trình bày những kiến thức cơ sở về phương trình vi phân hàm: giới thiệu về khái niệm và cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu của một số loại phương trình vi phân có chậm. Các ví dụ ở phần này ngoài mục đích giới thiệu cách giải phương trình vi phân hàm còn nhằm làm bật tính vô hạn chiều của tập nghiệm của phương trình vi phân hàm, bất kể không gian trạng thái là vô hạn chiều hay hữu hạn chiều. Chương hai trình bày khái niệm ổn định nghiệm và các phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có chậm. Các định lý ở đây đều thuộc hướng nghiên cứu ổn định bằng phương pháp thứ hai Lyapunov. Với các phương trình hàm, thay vì hàm Lyapunov thông thường ta sẽ cần dùng tới các công cụ mạnh hơn đó là các phiếm hàm Lyapunov- Krasovskii trong không gian các hàm liên tục. Ngoài ra, chương này còn giới thiệu công thức nghiệm của phương trình ma trận Riccati trong trường hợp hệ tuyến tính không dừng và kết quả cho phương trình vi phân có chậm không dừng. Chương ba trình bày một số ứng dụng của phương trình vi phân có chậm. 2
Cụ thể là ứng dụng các kết quả ổn định của các hệ có chậm vào bài toán điều khiển và bài toán phân tích tính chất quần thể sinh thái đơn loài. Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn. Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua. Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Nguyễn Thị Hậu 3
Chương 1 Phương trình vi phân có chậm 1.1 Giới thiệu về phương trình vi phân hàm 1.1.1 Dạng biểu diễn Chúng ta nhắc lại rằng đẳng thức x(t) ˙ = f (t, x(t)), x ∈ X, t ∈ R gọi là một phương trình vi phân thường trong không gian X (xem [1, 2, 13 ]). Ở đẳng thức này ta thấy tốc độ thay đổi của hệ thống (đối tượng nghiên cứu) tại thời điểm t (đặc trưng bởi x(t) ˙ ) chỉ phụ thuộc vào t và trạng thái tức thời x(t) của chính hệ thống đó. Sau đây, ta sẽ đề cập đến một loại phương trình vi phân trong đó ngoài sự phụ thuộc như trên tốc độ thay đổi x(t) ˙ còn phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống trong quá khứ hoặc trong tương lai (xem [8, 9, 10 12] ). Ta xét phương trình sau x(t) ˙ = f (t, x(q1 (t)), x(q2 (t)), ..., x(qs (t))), (1.1) trong đó x ∈ Rn và để đơn giản (đủ cho việc nghiên cứu định tính) ta chỉ xét cho trường hợp t ∈ R+ := [0, +∞), f : R+ × Rn×s −→ Rn , f ∈ C 0 (liên tục theo t), qi (t) (i = 1, s) là các hàm đơn điệu. Khi đó • Nếu qi (t) = t, ∀i = 1, s thì (1.1) là một phương trình vi phân thường. • Nếu qi (t) ≤ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0 (t) < t thì (1.1) được gọi là một phương trình vi phân có chậm. • Nếu qi (t) ≥ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0 (t) > t thì (1.1) được gọi là một phương trình vi phân sớm. 4
• Nếu tồn tại i0 và i1 sao cho qi0 (t) < t và qi1 (t) > t thì (1.1) được gọi là một phương trình vi phân vừa chậm, vừa sớm. Trừ trường hợp đầu (khi là phương trình vi phân thường), ở các trường hợp sau phương trình (1.1) được gọi là một phương trình vi phân hàm. Tên gọi này xuất phát từ việc cần thiết phải xét tập nghiệm trong không gian các hàm liên tục chứ không phải chỉ xét chúng trong không gian trạng thái như với các phương trình vi phân thường. Điều này phản ánh bản chất vô hạn chiều của tập nghiệm của các phương trình vi phân thuộc lớp này (xem [5, 6, 8, 9, 12 ] ). Qua các nội dung trong luận văn ta sẽ làm rõ ý kiến này. Trong Luận văn này ta bỏ qua các phương trình sớm mà chỉ nghiên cứu về các phương trình chậm, nghĩa là khi qi (t) ≤ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0 (t) < t. Tập thời gian được mặc định là t ∈ R+ := [0, +∞). Trong trường hợp này h := max{max{t − qi (t)}} i t∈R+ được gọi là độ chậm của phương trình. Sau đây là một số kiến thức mở đầu về loại phương trình này. Xét phương trình (1.1) trong đó qi (t) < t và độ chậm là h > 0. Ký hiệu C := C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach của các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0] và nhận giá trị trong Rn . Chuẩn của hàm φ ∈ C xác định như sau ||φ||C = sup ||φ(θ)||Rn . −h≤θ≤0 Giả sử x = x(t) là một hàm liên tục trên R+ . Với mỗi t ∈ R+ , bằng cách đặt xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] ta sẽ có hàm xt ∈ C([−h, 0], Rn ). Như vậy, xt là cung từ t − h đến t của đường cong x = x(t). Khi s chạy trên [−h, 0] ta thấy x(t + s) chạy trên [t − h, t]. Có thể thấy đại lượng này mang các thông tin về trạng thái x(s) với s ∈ [t − h, t]. Các thông tin này là "chậm" theo nghĩa đã xảy ra trước thời điểm t. Khi x(t) ˙ phụ thuộc vào các trạng thái này, ta sẽ có một quan hệ hàm được mô tả như sau x(t) ˙ = f (t, xt ), (1.2) trong đó f : D ⊂ R × C −→ Rn . Đây là phương trình tổng quát nhất của các phương trình có chậm với độ chậm h. 5
1.1.2 Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm Định nghĩa 1.1. ([9]) Hàm liên tục x = x(t) có đạo hàm phải hầu khắp nơi trên R+ mà khi thay vào (1.2) được đẳng thức được gọi là một nghiệm của phương trình có chậm (1.2). Điều kiện ban đầu. Định nghĩa 1.2. ([9]) Cho trước φ ∈ C và t0 ∈ R+ . Nghiệm x(.) của (1.2) thỏa mãn điều kiện x(s) = φ(s), ∀s ∈ [t0 − h, t0 ] gọi là nghiệm đựợc xác định bởi điều kiện ban đầu (t0 , φ) (hay là nghiệm đi qua (t0 , φ)). Nghiệm này thường được ký hiệu là x(t0 , φ, t) hoặc chỉ đơn giản là x(t), khi không có khả năng nhầm lẫn. Định lý tồn tại, duy nhất nghiệm Định lý 1.1. ([9], tr 41) Giả sử D là một tập mở trong R+ ×C và f ∈ C(D, Rn ). Nếu (t0 , φ) ∈ D thì tồn tại một nghiệm của phương trình (1.2) đi qua (t0 , φ). Nếu hàm f là Lipschitz theo biến φ thì nghiệm nói trên xác định duy nhất. Định lý trên đây được chứng minh ở [9], dựa vào bổ đề sau đây ([9], tr 37) Bổ đề 1.1. ([9]) Nếu t0 ∈ R+ , φ ∈ C cho trước và f (t, φ) là liên tục thì việc tìm nghiệm của phương trình (1.2) qua (t0 , φ) tương đương với việc giải phương trình tích phân sau xt 0 = φ Z t (1.3) x(t) = φ(t0 ) + f (s, xs )ds, t ≥ t0 . t0 Lưu ý rằng hàm x(t) thỏa mãn phương trình tích phân trong Bổ đề 1.1 chỉ cần khả vi bên phải hầu khắp nơi, không cần phải khả vi (hai phía) khắp nơi như khái niệm nghiệm cổ điển của các phương trình vi phân thường. Ta sẽ thấy điều này qua các ví dụ về việc giải các phương trình chậm ở phần sau. 6
1.2 Cách giải phương trình có chậm hằng rời rạc 1.2.1 Trường hợp có một độ chậm hằng rời rạc Các phương trình vi phân thường dạng đặc biệt ta có thể giải được, hơn nữa có thể đưa ra các công thức giải tích tường minh cho tập nghiệm trên toàn bộ trục số. Với các phương trình vi phân hàm việc tìm nghiệm như vậy nói chung là không thể, trừ một vài phương trình đơn giản với các điều kiện ban đầu cho trước. Ngay cả trong trường hợp này, công thức nghiệm cũng chỉ có thể tìm bằng cách dựa vào Bổ đề 1.1 (xem [9]), lấy tích phân trên từng đoạn có độ dài h0 thích hợp, bắt đầu từ t0 . Các kết quả nhận được là rất khác nhau theo các điều kiện ban đầu khác nhau và nói chung không nêu được một công thức giải tích cho cả bán trục R+ . Phương pháp lấy tích phân theo từng đoạn như vậy gọi là phương pháp "step" (bước chậm). Sau đây là một vài ví dụ về việc tìm nghiệm trên các khoảng hữu hạn theo điều kiện ban đầu. Nhắc lại phương trình có độ chậm h > 0 (1.2) x(t) ˙ = f (t, xt ) trong đó xt ∈ C([−h, 0], Rn ), xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0]. Trước tiên, ta phân tích độ phức tạp của tập nghiệm của phương trình này trên góc nhìn từ tập phổ. Để minh họa ta xét ví dụ sau cho trường hợp x ∈ R1 . x(t) ˙ = x(t) (1.4) x(t) ˙ = x(t − 1) (1.5) Tìm nghiệm ở dạng x(t) = eλt , (λ ∈ C), ta sẽ có ngay phương trình đặc trưng của (1.4) và (1.5) tương ứng là λ=1 (1.6) λ = e−λ , (λ ∈ C). (1.7) Rõ ràng nghiệm của (1.6) là duy nhất, nghiệm cơ bản của phương trình chỉ có một hàm x = et . Nghiệm tổng quát của phương trình đơn giản là x = Cet (C là hằng số tuỳ ý). Trong khi đó, tập các nghiệm phức của phương trình đặc trưng (1.5) là một tập vô hạn đếm được (xem [9] ). Do đó, tập nghiệm của phương trình có chậm (1.3) là một tập vô hạn đếm được. Qua ví dụ này ta thấy ngay cả khi phương trình là rất đơn giản (một khoảng chậm rời rạc và không gian trạng thái là vô hướng) tập phổ của phương trình đã khá phức tạp. Khi dạng của phương trình tổng quát hơn và số chiều của không gian tăng lên thì tập 7
phổ lại càng phong phú, nói chung là rất khó kiểm soát. Điều đó cũng có nghĩa là tập nghiệm của phương trình hàm là phức tạp, khó nghiên cứu về mặt định lượng. Về sự khác biệt giữa (1.2) và (1.3) cũng sẽ được làm rõ qua cách giải hai phương trình này bằng phương pháp step ở phần sau. Với điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên xác định, tập nghiệm có thể trở nên đơn giản và tường minh hơn. Ta minh họa nhận xét này qua ví dụ sau trong trường hợp đơn giản nhất, khi không gian trạng thái là vô hướng (X = R). Ta xét cùng một phương trình nhưng trong ba tình huống sau: Ví dụ 1.1. a) Phương trình vi phân có chậm không có điều kiện ban đầu π x(t) ˙ = −x(t − ). (1.8) 2 b) Phương trình vi phân có chậm với điều kiện ban đầu π  x(t) ˙ = −x(t − ), t ≥ 0 2 h (1.9) x(t) = a, ∀t ∈ − π , 0 , (a ∈ R). i 2 c) Phương trình vi phân có chậm với điều kiện biên π  h πi  x(t) ˙ = −x(t − ), t ∈ 0, 2 i 2    π h x(t) ˙ = 0, ∀t ∈ R \ 0, (1.10)   2  (a ∈ R). x(0) = a, Ta có thể thấy x(t) = cos t là nghiệm của (1.8). Thật vậy, với mọi t ≥ 0 có π π x(t) ˙ = − sin t = − cos t − = −x t − . 2 2 Tuy nhiên, x(t) = cos t lại không phải là nghiệm của (1.9) vì không thỏa mãn điều kiện ban đầu h π i x(t) = a, ∀t ∈ − , 0 . 2 Và x(t) = cos t cũng không phải là nghiệm của (1.10) vì không thỏa mãn điều kiện biên h πi x(t) ˙ = 0, ∀t ∈ R \ 0, . 2 Tiếp theo, để tìm nghiệm của (1.9), ta sẽ sử dụng công thức tích phân ở Bổ đề 1.1 (phương pháp step) Z t x(t) = φ(0) + f (s, xs )ds. 0 8
Theo nghĩa cổ điển thì nói chung (1.2) và (1.3) là không tương đương. Để chúng là tương đương thì khái niệm "nghiệm" cần được hiểu theo nghĩa rộng hơn: x(t) có thể không khả vi khắp nơi mà chỉ cần khả vi bên phải hầu khắp nơi trên R+ . Giải theo phương pháp step, ta thấy tại các điểm đầu và cuối các bước độ dài h0 hàm là liên tục h nhưng i có thể không khả vi. π Theo (1.3), trên 0, ta có 2 Z t π x(t) = x(0) − x s− ds 0 2 Z t =a− ads 0 = a(1 − t). hπ i Trên , π , ta có 2 π Z t π x(t) = x − π x s− ds 2 2 2 Z t π π =a 1− − π a 1−s+ ds 2 2 2 π2 π2 a 2 π =− t −a 1+ t+a 1+ + . 2 2 4 8 h 3π i h 3π i Tương tự ta có thể thác triển trên π, , , 2π , ... 2 2 Bây giờ ta xét tới nghiệm của (1.10).  h πi x(t) ˙ = 0, ∀t ∈ R \ 0, Do 2 x(0) = a. π h i nên ta có x(t) = a, ∀t ∈ − , 0 . 2 h πi Vậy, dùng lời giải cho (1.9) ở trên ta có nghiệm của (1.10) trên đoạn 0, là 2 x(t) = a(1 − t). Kết hợp với điều kiện biên ta có nghiệm của (1.10) là     a, khi t < 0 π  x(t) = a(1 − t), khi 0 ≤ t ≤  2  a 1 − π , khi t > π .   2 2 9
Nhận xét 1.1. h π i • Trở lại phương trình có chậm (1.9), với hàm φ(t) = a, ∀t ∈ − , 0 ta có h π i h π i h 3π2i h 3π i nghiệm x(t) được tính như trên trên các đoạn 0, , , π , π, , , 2π , 2 2 2 2 ... và nói chung là trên R+ . h π i • Cho hàm bất kỳ φ ∈ C − ,0 ,R ta cũng có thể thác triển nghiệm về 2 bên phải điểm 0 theo công thức (1.3) (tích phân tồn tại vì φ liên tục). Do φ là tùy ý trong không gian hàm C (vô hạn chiều) nên ta thấy tập nghiệm của (1.9) là có vô hạn chiều. • Tại các điểm thay đổi công thức nghiệm x(t) của (1.10) không nhất thiết khả vi. Sau đây là một số ví dụ về việc tìm nghiệm của phương trình vi phân có chậm rời rạc theo điều kiện ban đầu bằng phương pháp step. Như đã nói ở trên, phương pháp này chỉ có thể cho kết quả trên các đoạn hữu hạn. Ví dụ 1.2. Tìm nghiệm của phương trình dạng Bernouly, trên đoạn [1, 2]  ˙ − x(t) = −x2 (t − 1)x2 (t), x(t) (1.11) x(t) = t, ∀t ∈ [0, 1]. Giải. Khi t ∈ [1, 2] thì t − 1 ∈ [0, 1]. Do đó x(t − 1) = t − 1, ∀t ∈ [1, 2]. Khi đó (1.11) trở thành ˙ − x(t) = −(t − 1)2 x2 (t). x(t) (1.12) Đây là một phương trình vi phân thường dạng Bernouly. Từ (1.12) có x(t) = 0 không thỏa mãn điều kiện ban đầu. Nên −2 x(t)x ˙ (t) − x−1 (t) = −(t − 1)2 . (1.13) Đặt z(t) := x−1 (t), ta đưa về phương trình vi phân tuyến tính ˙ + z(t) = (t − 1)2 . z(t) (1.14) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là z(t) = ce−t . 10
Tìm một nghiệm riêng ở dạng zb(t) = at2 + bt + c. Ta tìm được zb(t) = (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2. Vậy nghiệm tổng quát của (1.14) là x(t) = Ce−t + (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2. Thay lại z(t) = x−1 (t), ta được 1 x(t) = . Ce−t + (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2 Lưu ý đến x(1) = 1, ta xác định được C = −2e. Vậy nghiệm của (1.13) trên [1,2] và thỏa mãn điều kiện ban đầu trên là 1 x(t) = . −2e1−t + (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2 Ví dụ 1.3.  x(t) ˙ = 3x(t − 1), x(t) = φ(t) = t, t ∈ [−1, 0]. trên [0, 4] Giải. Trên [−1, 0], ta có x(t) = φ(t) = t. Trên [0, 1] Z t x(t) = φ(0) + f (τ, xτ )dτ 0 Z t =0+ 3x(τ − 1)dτ 0 Z t =3 x(τ − 1)dτ 0 Z t =3 (τ − 1)dτ 0 3
t = (τ − 1)2
0 2 3 3 = (t − 1)2 − . 2 2 11
Trên [1, 2] Z t x(t) = x(1) + 3 x(τ − 1)dτ 1 Z th 3 3 3 i =− +3 (τ − 2)2 − dτ 2 1 2 2 3 h1 3
t i = − + 3 (τ − 2)3 − τ
1 2 3 h 21 2 3 i = − + 3 (t − 2)3 − t + 2 2 2 2 3 3 9 9 = (t − 2) − t + . 2 2 2 Trên [2, 3] Z t x(t) = x(2) + 3 x(τ − 1)dτ 2 Z th 9 3 9 9 i =− +3 (τ − 3)3 − (τ − 1) + 2 2 2 2 2 9 3 9 9
t h i = − + 3 (τ − 3)4 − (τ − 1)2 + t
2 2 8 4 2 9 27 27 207 = (t − 3)4 − (t − 1)2 + t − . 8 4 2 8 Trên [3, 4] Z t x(t) = x(3) + 3 x(τ − 1)dτ 3 Z th 99 9 27 27 207 i =− +3 (τ − 4)4 − (τ − 2)2 + (τ − 1) − dτ 8 3 8 4 2 8 99 27