Luận văn Thạc sĩ: Số phức với các phép dời hình trong mặt phẳng

Mục lục Trang bìa phụ ............................................................................................ 1 Bản cam đoan ............................................................................................ 2 Lời cảm ơn ................................................................................................ 3 Mở đầu ...................................................................................................... 4 Chương 1. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình .............................. 5 1.1. Mặt phẳng phức ........................................................................... 5 1.2. Phép dời hình loại 1 ..................................................................... 7 1.3. Phép dời hình loại 2 ..................................................................... 18 1.4. Phép dời hình ............................................................................... 25 1.5. Một số bài toán hình học phẳng .................................................. 27 Chương 2. Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình ....................... 36 2.1. Bài toán chứng minh .................................................................... 36 2.2. Bài toán quỹ tích .......................................................................... 41 2.3. Bài toán dựng hình ....................................................................... 45 2.4. Một số bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và quốc tế .... 48 Kết luận ..................................................................................................... 55 Tài liệu tham khảo ................................................................................... 56 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đoành. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Những số liệu trong các bảng biểu phục vụ cho việc phân tích, nhận xét, đánh giá được chính tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ trong phần tài liệu tham khảo. Hà Nội, ngày 02 tháng 5 năm 2016 Tác giả Đậu Thị Diệu 2 Thang Long University Library Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long - Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Đoành, Đại học Thăng Long. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hướng dẫn, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thăng Long, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Thăng Long đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán K3 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. 3 Mở đầu Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giải phương trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ học, vật lý và các ngành kĩ thuật khác. Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới hiểu được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế. Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và các tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học. Trên cơ sở khai thác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương trình dạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba điểm, tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng ... và các biểu thức dạng phức của các phép biến hình, dời hình. Xuất phát từ quan điểm xem số phức là công cụ nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là nghiên cứu các phép dời hình tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với các phép dời hình trong mặt phẳng”. Mục đích chính của luận văn là hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức. Tổng hợp, phân tích các kiến thức giúp học sinh thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán Hình học phẳng nói riêng. Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học. Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình Chương 2. Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình. Do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này. 4 Thang Long University Library CHƯƠNG I. DÙNG SỐ PHỨC NGHIÊN CỨU PHÉP DỜI HÌNH 1.1. Mặt phẳng phức 1.1.1. Trong mặt phẳng E đã cho một hệ tọa độ Đề - các vuông góc xoy thì mỗi điểm M của E hoàn toàn được xác định bởi tọa độ (x, y) của nó. Khi đó số phức z  x  yi được gọi là tọa vị của M, viết M (z) và E được gọi là mặt phẳng phức (ta đã đồng nhất mỗi điểm của E với một số phức). Khi M có tọa độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy thì vectơ OM cũng có tọa độ (x, y), nên đã nói M có tọa vị z thì cũng nói vectơ OM có tọa vị z và viết OM (z).   1 z w  zw được gọi là tích vô hướng 2 Cho OM (z), OP (w). Số thực của hai số phức z, w và kí hiệu là (z, w), nó chính là OM .OP . Số thực  z, w   i ( z w  zw) được gọi là tích lệch của hai số phức z, w. 2 Ta có: (z, w) = z w cos(   ) ,   arg z,  arg w  z,w   z w sin(   ) Từ đó nêu M, P khác gốc O thì: OM  OP  ( z, w) = 0 O, M , P thẳng hàng   z,w   0 1.1.2. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng phức được xác định bởi phương trình z   z   ,   1,     0 . Đường thẳng này có vecto chỉ phương u (u ) mà u    và đi qua điểm M0 (z0) z0   u vuông góc của gốc O lên đường thẳng. Phương trình đường thẳng có thể viết dưới dạng: 5 2 và M0 là hình chiếu