Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Phân tích kĩ năng giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 ban nâng cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THÚY HÀ

PHÂN TÍCH KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO

HỌC SINH LỚP 10 BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI, 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THÚY HÀ

PHÂN TÍCH KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO

HỌC SINH LỚP 10 BAN NÂNG CAO

CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn,

giúp đỡ và góp ý nhiệt tình của quý thầy cô giáo trường Đại học Giáo dục - Đại học

Quốc gia Hà Nội.

Lời cảm ơn chân thành được chuyển đến quý thầy cô trường Đại học Giáo

dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là những thầy cô đã tận tình chỉ bảo tác giả

trong suốt thời gian thực hiện Luận văn tốt nghiệp này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Nhụy, người thầy đã dành

rất nhiều thời gian, tâm huyết để tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện trong

quá trình làm và hoàn thiện luận văn.

Đồng thời, tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô khoa

Toán trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy cô, các em

học sinh trường Trung học phổ thông Văn Giang - Hưng Yên đã tạo điều kiện cho

tác giả trong quá trình nghiên cứu khảo sát và thực nghiệm sư phạm cho đề tài.

Cuối cùng, lời cảm ơn chân thành xin được giành cho gia đình, bạn bè và đồng

nghiệp đã động viên, khuyến khích tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù có rất nhiều cố gắng để hoàn thiện Luận văn bằng khả năng của

mình, tuy nhiên Luận văn không thể tránh khỏi sự thiếu xót, rất mong nhận được

những đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn.

Xin trân trọng cảm ơn.

Hà Nội, ngày 20 tháng 10 năm 2017

Nguyễn Thị Thúy Hà

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Tên viết tắt Tên đầy đủ

BĐT(bđt) Bất đẳng thức

ĐC Đối chứng

GTLN Giá trị lớn nhất

GTNN Giá trị nhỏ nhất

GV Giáo viên

HS Học sinh

NXB Nhà xuất bản

THPT Trung học phổ thông

TN Thực nghiệm

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ i

Danh mục các từ viết tắt ............................................................................................. ii

Danh mục các bảng ..................................................................................................... v

Danh mục các hình .................................................................................................... vi

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................... 4

1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................. 4

1.1.1. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh .................. 4

1.1.1.1. Kỹ năng .................................................................................................................... 4

1.1.1.2. Kỹ năng giải toán .................................................................................................... 6

1.1.1.3. Đặc điểm của kỹ năng............................................................................................. 7

1.1.1.4. Sự hình thành kỹ năng ............................................................................................ 7

1.1.2. Vấn đề và giải quyết vấn đề .................................................................................... 11

1.1.2.1. Vấn đề .................................................................................................................... 11

1.1.2.2. Giải quyết vấn đề .................................................................................................. 12

1.1.2.3. Kỹ năng giải quyết vấn đề toán học ..................................................................... 14

1.1.2.4. Kỹ năng giải quyết vấn đề trong mối liên hệ dạy học chủ đề bẩt đẳng thức lớp

10 Ban nâng cao ................................................................................................................. 16

1.1.3. Dạy học giải bài tập toán học .................................................................................. 17

1.2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................................. 25

1.2.1. Mục tiêu giáo dục phổ thông ........................................................................... 25

1.2.2. Đổi mới phương pháp dạy học toán ....................................................................... 26

1.2.3. Nội dung dạy học chủ đề bất đẳng thức trong trung học phổ thông ..................... 26

1.2.4. Thực tiễn dạy học chủ đề bất đẳng thức ................................................................. 27

Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG

THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10 .......................................................................... 30

2.1. Mục tiêu và nội dung dạy học Bất đẳng thức .......................................... 30

2.1.1. Mục tiêu .................................................................................................................... 30

2.1.2. Nội dung dạy học ..................................................................................................... 30

2.2. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức ............................................... 30

iii

2.2.1. Định nghĩa ................................................................................................................ 30

2.2.2. Một số tính chất ........................................................................................................ 31

2.2.3. Các bất đẳng thức cơ bản ......................................................................................... 33

2.3. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức .......................................... 36

2.3.1. Phương pháp dùng định nghĩa ................................................................................. 36

2.3.2. Phương pháp biến đổi tương đương ....................................................................... 38

2.3.3. Phương pháp quy nạp .............................................................................................. 40

2.3.4. Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác................................................... 42

2.3.5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki .............................................. 46

2.3.6. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy ......................................................... 49

2.3.7. Phương pháp hình học ............................................................................................. 51

2.3.8. Phương pháp lượng giác .......................................................................................... 54

2.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức ......................................................... 64

2.4.1. Giải phương trình và hệ phương trình .................................................................... 64

2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ........................................................... 67

2.5. Hệ thống các bài tập ................................................................................. 70

CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .......................................................... 74

3.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 74

3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 74

3.3. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................. 74

3.4. Phương pháp thực nghiệm ........................................................................ 74

3.5. Tiến hành thực nghiệm ............................................................................. 74

3.6. Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 75

3.7. Đánh giá kết quả thực nghiệm.................................................................. 83

3.7.1. Đánh giá định tính .................................................................................................... 83

3.7.2. Đánh giá định lượng................................................................................................. 83

3.8. Thời gian, đối tượng thực nghiệm ............................................................ 85

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ......................................................................... 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 88

PHỤ LỤC ................................................................................................................. 89

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát việc dạy và học chủ đề bất đẳng thức ............................ 28

Bảng 3.1. Tên bài dạy thực nghiệm ................................................................................... 74

Bảng 3.2. Tên GV, lớp thực nghiệm và lớp đối chứng .................................................... 74

Bảng 3.3. Kết quả thu được từ bài kiểm tra 45 phút của các lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng. .................................................................................................................................. 84

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1. Sơ đồ một số thao tác tư duy phổ biến của học sinh. ................................ 24

Hình 3.1. Biểu đồ thể hiện kết quả nắm kiến thức của các lớp TN và lớp ĐC .............. 84

Hình 3.2. Kết quả kiểm tra 45 phút của các lớp đối chứng và các lớp thực nghiệm. .... 85

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển trí tuệ, Toán

học không chỉ cung cấp cho học sinh( người học toán) những kĩ năng tính toán cần

thiết mà còn giúp người học rèn luyện khả năng tư duy logic.

Trong việc dạy học toán thì tìm ra cách thức giải bài tập toán đòi hỏi người

giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp

phần củng cố kiến thức, hình thành và phát triển tư duy cho học sinh. Đồng thời qua

việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các bài

tập toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát

huy cao độ tính tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo của tư duy và trí tuệ.

Tuy nhiên các bài toán về bất đẳng thức nhìn chung là khó vì phạm vi kiến

thức rộng, đòi hỏi học sinh phải tư duy tích cực.

Qua thời gian còn học tập ở trường trung học phổ thông và thời gian đi thực

tập Tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,

phân tích mở rộng các bài toán dẫn đến khi học sinh gặp các bài toán khác một chút

là sẽ không giải được.

- Học sinh thường ngại học toán về chương bất đẳng thức vì các bài toán

thường khó phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng,...

nên học sinh hay ngại và chưa vận dụng được bài toán bất đẳng thức được giải các

bài toán khó như cực trị, hàm số,...

Với lí do kể trên, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Phân tích kĩ năng giải quyết vấn

đề trong dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 ban nâng cao” nhằm

giúp học sinh bớt lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức, có thể tự định

hướng được các phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú

hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn toán nói chung cũng như giúp

bản thân tự nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ.

2. Lịch sử nghiên cứu

Các sách viết về bất đẳng thức ở cấp trung học phổ thông đã có rất nhiều, sự

phong phú về nội dung của chúng ta được khẳng định qua các ẩn phẩm của các tác

giả nổi tiếng trong nước như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Kim Hùng.

3. Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

 Mục đích nghiên cứu:

Với bản thân:

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy sau này.

Với học sinh:

- Giúp học sinh nắm được một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức cơ

bản, giải các bài toán trong chương trình.

- Giúp HS phát triển năng lực toán học, phát triển lòng yêu thích môn học.

- Chuẩn bị kiến thức nhằm phục vụ các kì thi tiếp theo.

 Các nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tìm hiểu cơ sở lí luận về việc hướng dẫn học sinh giải bài toán.

- Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học bất đẳng thức trong sách giáo khoa 10

nâng cao.

- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh.

+ Hệ thống những kiến thức cơ bản và các phương pháp giải bài tập về

bất đẳng thức.

+ Xây dựng hệ thống các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh lớp 10

trong chương trình nâng cao.

4. Phạm vi nghiên cứu

Chương bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 10 ban nâng cao.

5. Mẫu khảo sát

Khối 10 - Trường THPT Văn Giang - Hưng Yên.

6. Giả thuyết nghiên cứu

Nếu dạy học giải quyết vấn đề về bất đẳng thức cho học sinh được giảng giải

một cách khoa học, có logic và học sinh hiểu và vận dụng được thì gợi cho học sinh

thích thú với môn học, đưa ra các cách giải sáng tạo và logic.

7. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Quan sát điều tra

- Tổng kết kinh nghiệm

8. Cấu trúc luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm ba chương:

Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chƣơng 2: Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho HS lớp 10

Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm tại trường THPT Văn Giang - Hưng Yên

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ sở lý luận

1.1.1. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

1.1.1.1. Kỹ năng

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì:“ Kỹ năng là khả năng

vận dụng kiến thức ( khái niệm, cách thức, phương pháp,… ) để giải quyết một

nhiệm vụ mới” [5, tr. 131].

Theo Tâm lý học đại cương cho rằng:“ Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ

liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những

thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay

thực hành xác định” [14, tr.149].

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: “ Kỹ năng là khả năng vận dụng những

kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [32, tr. 426].

Theo cách hiểu của chúng tôi, kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri

thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính

bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành

xác định. Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn

để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen

nhất định, kỹ năng là làm việc có phương pháp.

Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong một lĩnh vực

nào đó vào thực tế.

Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng

minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được.

Như vậy dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến

thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đến

kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động

để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động.

Trong thực tế, người học thường gặp phải khó khăn khi vận dụng kiến thức

vào giải quyết bài tập một cách cụ thể. Người học thường khó tách ra những chi tiết,

không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối

quan hệ vốn có giữa nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn

có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ là vì do kiến thức không chắc chắn.

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính có bản chất khác nhau, những thuộc

tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định. Do đó

cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động, đề

hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu( tất nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông

tin mới). Tri thức về các sự vật rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc

tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với

những hoạt động và mục đích nhất định. Để minh họa ta xét ví dụ sau .

Bài toán 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Có thể thấy rằng tri thức được phản ánh trong sự vật được thể hiện qua bài

toán này có rất nhiều: tổng của hai căn bậc hai, các tam thức bậc hai,… Để tiến

hành hoạt động giải toán ta phải lựa chọn các tri thức phù hợp với mục tiêu tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức.

Ta nhận thấy biểu thức A sẽ được tách thành các tổng bình phương, khi đó bài

toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có thể giải quyết( mục tiêu) và do đó ta có

thể biến đổi bài toán như sau:

Như vậy, qua cách biến đổi trên ta có thể thấy được kỹ năng để tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức, ta đưa về dạng bình phương của các số rồi đi đánh giá biểu thức đó.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

Giá trị nhỏ nhất của A = 2011 khi:

Khi hình thành kỹ năng thì yếu tố quan trọng nhất là năng lực nhận ra kiểu bài

toán hay nói cách khác là dạng bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ kiện đã

có những thuộc tính những quan hệ là bản chất đối với việc giải bài toán đã loại

nhân tố thúc đẩy hay cản trở sự hình thành các kỹ năng: Tách ra một cách rõ ràng

hay ngược lại che đậy quan hệ bản chất của bài toán trong các dữ kiện xuất phát. Ví

dụ, xét bài toán sau:

Bài toán 2. Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng nếu và

thì phương trình bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt.

Phương pháp giải là không quá khó, tuy nhiên bằng sự che đậy quan hệ bản

chất bằng những phép biến đổi tương đương nên sẽ gây cho học sinh khó khăn

trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán

Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất đối với bài toán- đó là

thâu tóm được toàn bộ tình huống chứ không phải những yếu tố riêng biệt của nó.

Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêu

hoạt động, các nhà Tâm lí học sư phạm đã đưa ra một số thủ thuật làm dễ dàng cho

sự suy xét, đó là:

- Những nguyên tắc giải.

- Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những vấn đề và những quan hệ bản

chất đối với bài toán.

- Phân tích bài toán.

1.1.1.2. Kỹ năng giải toán

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ

thể giải toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo

các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện

khác nhau. Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh

như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã

có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động

giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học”.

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của

môn Toán. Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn

mà trước tiên là kỹ năng giải toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên

suốt chương trình.

- Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ.

1.1.3. Đặc điểm của kỹ năng

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kỹ năng: Bất kỳ kỹ

năng nào được chọn phải dựa trên cơ sở lý thuyết và cơ sở thực tiễn, cấu trúc của kỹ

năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức để dẫn đến kết quả - hiểu những điều

kiện của nó để triển khai các cách thức đó.

Kiến thức là cơ sở hình thành của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh

đầy đủ các thuộc tính bản chất của mục tiêu và của các đối tượng, được thử nghiệm

trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức của từng đối tượng.

Vậy kỹ năng có những đặc điểm như:

- Mức độ tham gia của ý chí cao.

- Hành động luôn có sự kiểm tra của thị giác.

- Chưa bao quát toàn bộ hành động, thường chú ý ở phạm vi hẹp hay động tác

đang làm.

- Tốn nhiều năng lượng thần kinh và cơ bắp.

1.1.1.4. Sự hình thành kỹ năng

Trước hết, để hình thành kỹ năng chúng ta phải chỉ rõ được yếu tố ảnh hưởng

đến sự hình thành kỹ năng.

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc

hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động

theo đúng mục địch yêu cầu… Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư

duy để giải quyết những nhiệm vụ được đặt ra.

Theo các nhà Tâm lý học, sự hình thành kỹ năng trong Toán học chịu ảnh

hưởng của các yếu tố sau:

- Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan

hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy.

- Để phát hiện những điều ẩn chứa trong bài toán, học sinh chỉ nhìn thấy và phân

tích những điều sẵn có của bài toán mà chưa nhìn rõ kiến thức ẩn chứa trong dó.

- Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ

năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành

kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình

thành kỹ năng còn ngược lại cản trở việc học tập. Thói quen tâm lý là một trở ngại

thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là

tư duy của con người có tính phương hướng. Một loại kiến thức hoặc phương pháp

cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự rằng

buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới.

- Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ

dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể.

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua hoạt động trí tuệ, thông qua quá trình

tư duy để giải quyết nhiệm vụ được đặt ra. Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể

thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính

mới. Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được

biểu hiện bằng các từ. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng

hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một

mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. Ở

đây trong mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy

tư duy phát triển, đồng thời quyết định bước tiếp sau của tư duy. Vì các khía cạnh

mới của đối tượng được phản ánh trong khái niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự

diễn đạt lại bài toán nhiều lần. Ví dụ, xét bài toán:

Bài toán 3. Cho hai số thực .Chứng minh rằng

.

Phân tích bài toán ta nhận thấy vấn đề tư duy liên quan là một tam thức bậc hai

ẩn x (y là tham số):

Để chứng minh tam thức bậc hai ẩn x( y là tham số) ở vế trái luôn không âm với

mọi ta cần chứng minh

Tuy nhiên, học sinh phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối tượng,

để có thể tiến hành hoạt động giải toán. Điều này không phải mọi học sinh có thể

thực hiện tốt.

Quá trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa.

Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp những kết quả

được thể hiện trong khái niệm. Khi hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong

tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó

ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau này. Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy

tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người không tìm ra giới

hạn của tri thức nhân loại. Chẳng hạn, như S.L. Rubinstein đã chứng minh: “Trong

quá trình tư duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mối liên

hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất này được ghi lại trong

những khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường như khai thác được nội dung

ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một khác và trong nó xuất hiện

những thuộc tính mới” [11, tr.155].

Theo quan niệm này, sự hình thành kỹ năng xuất hiện trước hết như những

sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu. Các kỹ năng được hình thành trên cơ

sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về đối tượng được

nghiên cứu. Các con đường chính của sự hình thành kỹ năng - đó là học sinh phải tự

nhìn nhận thấy những mặt khác nhau của đối tượng, vận dụng vào đối tượng.

Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức.

Có thể dạy cho người học các kỹ năng bằng những con đường khác nhau.

Một trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết,

rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó. Và bản thân

người học tìm tòi ra cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm( thử các

phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu) qua đó phát hiện ra các mốc định

hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt

động. Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề. Cũng có

thể dạy học kỹ năng bằng con đường: dạy cho học sinh biết những dấu hiệu mà theo

đó có thể nhận được một cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao tác cần thiết để

giải bài toán đó. Người ta gọi con đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học

trên cơ sở định hướng đầy đủ.

Cuối cùng con đường thứ ba là như sau: người ta dạy học sinh chính hoạt

động tâm lý cần thiết đối với vận dụng tri thức. Trong trường hợp này giáo dục

không chỉ cho người học những mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và sự

nhận biết mà còn tổ chức hoạt động cho người học trong việc cải biến, sử dụng

thông tin đã thu được để giải bài toán đặt ra. Con đường này đã được nhà tâm lý học

Xô viết nghiên cứu, chẳng hạn như: P. Ja Galperin, N. F. Talyzyna và những người

khác [11, tr. 156]. Họ cho rằng, để dạy được những điều nêu trên giáo viên phải dẫn

dắt học sinh có hệ thống qua tất cả các giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng

vào các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu.

Bài toán 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích biểu thức này thành:

Như vậy lời giải trên dựa vào các mốc định hướng có đối tượng. Trong ví dụ

trên người ta không còn sử dụng phép phân tích thành bình phương của một tổng

cộng với một hằng số để giải mà thay vào đó bằng phương pháp lập bảng biến thiên

hàm số:

Ở giai đoạn này, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng ngôn ngữ

và kí hiệu. Ở giai đoạn thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế

chúng là những thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn.

“Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi ”

Người ta gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành động trí

tuệ qua từng giai đoạn.

Trong thực tế khi xây dựng những kiến thức mới ai cũng phải trải qua các

bước như thế này này. Tuy nhiên, trong dạy học thông thường trong những phần

không được tổ chức không được biểu hiện một cách có ý thức. Vì thế người học

phải chủ động phát hiện tìm tòi ra những dấu hiệu logic những dấu hiệu phù hợp để

chọn những công việc phù hợp để làm. Do vậy không thể tránh khỏi sai lầm và các

tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ và đúng đắn. Để cho khái

niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng của học sinh phải

được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ. Nói một cách khác, giáo viên

phải truyền thụ cho học sinh tất cả những dấu hiệu bản chất của các đối tượng dưới

dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những

dấu hiệu.

Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy các

khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được tính mềm

dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép hình thành những

tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều.

1.1.2. Vấn đề và giải quyết vấn đề

1.1.2.1. Vấn đề

Theo từ điển của Hoàng Phê thì: “Vấn đề là điều cần được xem xét, nghiên

cứu, giải quyết”. Tác giả Nguyễn Bá Kim đã định nghĩa vấn đề từ khái niệm “hệ

thống” và “tình huống”. Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ

một vài khái niệm hệ thống.

Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ

giữa những phần tử của tập hợp đó.

Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách

thể, trong đó chủ thể có nghĩa là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó.

Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể

thì tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể. Trong một

tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết nào đó

dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài toán.

Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào đó

có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán.

Lƣu ý: Thứ nhất, hiểu như trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài toán.

Những bài toán nếu chỉ yêu cầu học sinh đơn thuần tiếp áp dụng một thuật giải,

chẳng hạn giải một phương trình bậc hai dựa vào các công thức đã học, thì không

phải là những vấn đề.

Thứ hai, khái niệm vấn đề như trên thường được dùng trong giáo dục. Ta cần

phân biệt vấn đề trong giáo dục với vấn đề nghiên cứu khoa học. Sự khác nhau là ở

chỗ đối với vấn đề trong nghiên cứu khoa học, việc “chưa biết một số phần tử” và

“chưa biết thuật giải có thể áp dụng để tìm một phần tử chưa biết” là mang tính

khách quan chứ không phụ thuộc chủ thể, tức là nhân loại chưa biết chứ không phải

chỉ là một học sinh nào đó chưa biết.

Thứ ba, hiểu theo nghĩa được dùng trong giáo dục thì các khái niệm vấn đề

mang tính tương đối. Bài toán yêu cầu giải phương trình bậc hai không phải là một

vấn đề khi học sinh đã học các công thức tính nghiệm, nhưng lại là một vấn đề khi

họ chưa học công thức này.

Theo một số ý kiến cho rằng, vấn đề là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một

nhóm được giải quyết, khi đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay các

phương pháp hoặc các con đường để giải.

Học sinh phải hiểu khi học toán tích cực xây dựng mới từ kinh nghiệm và kiến thức

toán đã có của chính mình. Khi học sinh hiểu toán, các em có khả năng sử dụng các

kiến thức của mình một cách linh hoạt và có hiệu quả.

Một vấn đề được xem như là một bài toán đối với một người nào đó, nếu khi đối

mặt với nó có mong muốn cần tìm một lời giải và không có một quy trình khả dĩ

dùng được để tìm ra lời giải. Giải quyết vấn đề là một phần chính trong mọi quá

trình toán học.

1.1.2.2. Giải quyết vấn đề

Theo Stephen Krulic and Jesse A. Rudnick (1980), giải quyết vấn đề là quá

trình một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng và hiểu biết đã học trước đây để đáp

ứng đòi hỏi những tình huống không quen thuộc.

Là một quá trình, giải quyết vấn đề gắn liền với một tập các kỹ năng cần phải

được dạy. Những hướng dẫn tìm tòi mà chúng ta dùng trong giải quyết vấn đề khác

một cách đáng kể với những thuật toán chúng ta dạy trong lớp học toán của chúng

ta. Một thuật toán luôn đảm bảo thành công nếu được áp dụng đúng đắn và nếu

thuật toán đúng được lựa chọn. Những hướng dẫn được trình bày tiếp cận 5 bước

đến giải quyết vấn đề mà chúng ta thấy cần thiết phải phát triển và nhấn mạnh cho

học sinh.

a. Đọc bài toán

Gồm các bước:

- Xác định các yếu tố

- Nhận ra câu hỏi

- Hiểu các thuật ngữ

- Trực quan hóa

b. Khám phá

Gồm các bước:

- Phân tích đầy đủ các dữ kiện

- Tổ chức và thể hiện dữ kiện

- Những khái niệm tính toán

- Ước lượng.

c. Chọn phương pháp

Gồm các bước:

- Phát hiện qui luật

- Phân tích đi lên

- Giải theo một cách nhìn khác

- Xét các trường hợp đặc biệt

- Vẽ hình

- Đoán và thử

- Tính toán cho mọi khả năng

- Sắp xếp các dữ kiện

- Suy luận logic

d. Giải bài toán

Gồm các bước:

- Khả năng tính toán

- Kỹ năng đại số

- Kỹ năng hình học

e. Kiểm tra, mở rộng bài toán

Gồm các bước:

- Ước lượng

- Đánh giá tính hợp lý

1.1.2.3. Kỹ năng giải quyết vấn đề toán học

Kỹ năng giải quyết vấn đề ( Problem solving skills) là một trong những kỹ

năng rất cần thiết trong học tập và làm việc bởi cuộc sống là một chuỗi những vấn

đề đòi hỏi chúng ta phải giải quyết mà không vấn đề nào giống vấn đề nào và cũng

không có một công thức chung nào để giải quyết mọi vấn đề. Điều quan trong là

chúng ta phải trang bị cho mình những hành trang cần thiết đển khi vấn đề nảy sinh

thì chúng ta có thể vận dụng những kỹ năng có sẵn để giải quyết vấn đề đó một cách

hiệu quả nhất.

Kỹ năng giải quyết vấn đề gồm:

- Nhận ra vấn đề:

Trước khi bạn tìm ra phương hướng giải quyết vấn đề, bạn nên xem xét vấn

đề đó có thực sự là vấn đề theo nghĩa nào? Để nhận ra vấn đề bạn phải lập

được kế hoạch và thực hiện nó. Một mình không giải quyết được vấn đề thì

bạn có thể cùng làm vấn đề đó với nhóm để thực hiện một cách dễ dàng hơn.

- Xác định chủ sở hữu của vấn đề:

Không phải tất cả vấn đề đều có thể giải quyết. Nếu khả năng của mình còn

hạn chế thì có thể chuyển cho những người có khả năng làm vấn đề đó.

- Nhìn nhận và phân tích để hiểu rõ vấn đề:

Chưa hiểu rõ vấn đề có thể bị lệch hướng về phương pháp để giải quyết chúng.

Chúng ta cần xác định rõ vấn đề cần giải quyết.

- Đề ra mục tiêu:

Sau khi giải quyết vấn đề này thì mục tiêu đạt được là gì?

- Đánh giá giải pháp:

Sau khi tìm hiểu rõ được các vấn đề đó thì chúng ta cần chọn ra một trong các

giải pháp đã được đề ra để thực hiện và xem giải pháp đó mà được chọn đã hợp lí

chưa?

- Chọn lựa và xác định giải pháp:

Trong các phương pháp trên chúng ta chọn giải pháp tối ưu nhất để thực hiện giải

quyết vấn đề.

- Thực hiện

Khi đã chọn được giải pháp thì chúng ta bắt đầu vào thực hiện để giải quyết vấn

đề.

- Đánh giá kết quả:

Khi thực hiện xử lí được vấn đề chúng ta đánh giá phương pháp đó và kết quả

vừa tìm ra được.

Trong Toán học, kỹ năng giải quyết vấn đề của một bài toán giữa HS thường khác

nhau. Mỗi em lại có một hướng giải quyết bài tập khác nhau, có em sử dụng kiến

thức này, có em lại sử dụng kiến thức kia. Vì vậy, sự hình thành nên kỹ năng giải

quyết vấn đề thường không giống nhau. Nhưng thông thường để giải quyết một vấn

đề, về cơ bản gồm các bước sau:

a. Nhìn nhận và phân tích

b. Xác định vấn đề

c. Hiểu vấn đề

d. Chọn giải pháp

e. Thực thi giải pháp

f. Đánh giá giải pháp.

1.1.2.4. Kỹ năng giải quyết vấn đề trong mối liên hệ dạy học chủ đề bẩt đẳng thức

lớp 10 Ban nâng cao

Khi dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao, việc giải quyết một

hay nhiều bài toán bất đẳng thức cũng là một kỹ năng để rèn luyện tư duy phát triển

trí tuệ cho học sinh. Trước một bài toán, giáo viên có thể gợi ý phân tích và đưa ra

các kỹ năng giải quyết một bài toán, các em sẽ không cảm thấy học về chủ đề bất

đẳng thức là quá khó khăn. Từ đó, khi làm bài tập về chủ đề này, các em không bỡ

ngỡ hay gặp khó khăn nữa. Mỗi bài toán có những hướng giải khác nhau nhưng có

thể quy các bài toán đó từ lạ về quen, áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc để giải

bài tập.

Ví dụ giải quyết vấn đề khi dạy học về bài tập bất đẳng thức lớp 10 ban

nâng cao:

Ví dụ. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

.

Phân tích

- Phân tích bài toán:

Các dữ kiện bài toán cho: a, b, c là các số thực dương

- Xác định vấn đề và hiểu vấn đề:

Cần chứng minh bất đẳng thức trên

- Chọn giải pháp

Chúng ta lựa chọn xem nên sử dụng các phương pháp nào để giải bài tập

trên, sử dụng bất đẳng thức nào cho hợp lí: Cauchy, Bunhiacopxki, …

- Thực hiện giải pháp

Trước hết, chúng ta phân tích cho học sinh sử dụng giả thiết bài toán là cho a,

b, c là số thực dương, thông thường với dữ kiện này nên sử dụng bất đẳng thức

Cauchy. Vậy chúng ta dự đoán cho học sinh thử làm theo hướng áp dụng Cauchy.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số như sau:

Phân tích cho học sinh rằng: Tại sao lại sử dụng ba số trên vì: chúng ta sử

dụng Cau chy cho số và chọn 2 số còn lại sao cho đánh giá về tích của

chúng triệt tiêu được và chỉ còn mẫu là số a.

Tương tự với số và chọn các số còn lại sao cho đánh giá

về tích của chúng triệt tiêu được và mẫu số còn số b và c.

Tương đương với bất đẳng thức vừa đánh giá ta có:

Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng lại, ta suy ra

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

1.1.3. Dạy học giải bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là hoạt động Toán học cho học sinh, trong đó

giải Toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, dạy học giải bài tập toán có tầm quan trọng

đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học toán ở

trường phổ thông. Đối với học sinh có thể coi việc giải bài tập toán là một hình

thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập Toán có những chức năng:

- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, những

vấn đề về lý thuyết đã học. Có khi bài tập lại là một định lý, mà một lý do nào đó

không đưa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập mà người học phát triển

được các kỹ năng và sự hiểu biết của mình.

- Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh

thế giới quan duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất của người lao động mới.

Qua những bài tập có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất

thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ cuộc sống

chiến đấu và xây dựng của dân tộc. Đồng thời, học sinh phải thể hiện một số phẩm

chất đạo đức của người lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện được: đức

tính cẩn thận, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó

khăn, dám nghĩ dám làm trung thực khiêm tốn, tiết kiệm biết được đúng sai trong

Toán học và trong thực tiễn.

- Chức năng phát triển: Giải Toán nhằm phát triển năng lực tư duy và các năng

lực cần thiết cho người học.

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán đưa ra nhằm đánh giá và kiểm tra kết quả học

tập của học sinh xem đạt được ở mức độ nào. Trong việc lựa chọn bài toán và

hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên cần phải chú ý đến đầy đủ các mặt của bài

toán.

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huy tác

dụng của giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán mà thường chú trọng cho học

sinh làm nhiều bài toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài

tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán. Lời giải

của bài tập toán cần đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm.

Người học thường gặp những lỗi cơ bản trong giải toán do những nguyên

nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai về định nghĩa của khái

niệm, giả thiết hay kết luận của định lý, …

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt chưa thực sự

chuẩn, hình vẽ không đúng.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận.

- Lời giải phải đầy đủ.

- Lời giải phải đơn giản nhất.

1.1.3.1. Mục đích và ý nghĩa của việc giải bài tập toán học trong trường phổ thông

Mục đích của việc giải bài tập toán học trong trường phổ thông:

Toán học là một môn đóng vai trò lớn trong các mặt của đời sống khoa học và

công nghệ, cụ thể là nếu học tốt môn toán thì học sinh có khả năng học tốt hầu hết

các môn còn lại và cũng nắm một lượng kiến thức khá lớn. Các- Mác nói: “Một

khoa học chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp của toán

học” [5, tr.5].

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như:

phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa. Rèn luyện những phẩm

chất, đức tính người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật khoa

học, sáng tạo…

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học sinh có

thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Trong dạy học

toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với dụng ý khác nhau, có thể để tạo tiền đề

xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra.

Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng

những chức năng cụ thể khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức

năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều hướng tới việc thực

hiện các mục đích dạy học.

Giải bài tập toán ở phổ thông là một công việc đòi hỏi học sinh phải thực sự

cẩn thận và kiên trì. Để giải được một bài toán học sinh phải tập trung cao độ, phải

chuẩn bị được kiến thức sâu rộng để có thể thực hiện được quy trình của mình. Ở

phổ thông các bài tập toán đóng vai trò khá quan trọng, các bài tập giúp đánh giá

được khả năng nắm bắt, khả năng nhìn nhận và hiểu được các kiến thức cần đạt của

mình. Ở mỗi bài tập, học sinh thường phải vận dụng được những kiến thức đã học

để có thể làm bài tập một cách dễ dàng hơn. Hoạt động của học sinh liên hệ mật

thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của việc giải bài

tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện này.

Ở trường phổ thông bài tập toán có khả năng hình thành những kiến thức sâu

rộng giúp học sinh hình thành những kỹ năng nhằm phát triển trí tuệ và phát triển tư

duy. Ở mỗi phần toán học chúng ta vận dụng những phương pháp kỹ năng những

phương pháp để phù hợp với mỗi phần với mỗi bài toán. Học sinh làm bài tập

thường xuyên để hình thành những kỹ năng phản xạ đối với mỗi bài tập.

- Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá

trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.

- Phát triển năng lực trí tuệ năng lực tư duy của học sinh.

- Bồi dưỡng các kỹ năng để học sinh có thể phát triển được toàn bộ, học sinh sẽ

đạt được những kiến thức mới.

Bài tập toán trong trường phổ thông có ý nghĩa:

Ở trường trung học phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng

cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến

thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình

thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận

dụng kiến thức đã học của học sinh.

Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt

động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để

hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong lý thuyết.

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động

để nguồi học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục

tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học

sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng

tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được đưa ra cho học sinh để học sinh luyện

tập được những kỹ năng, những phẩm chất những bước để người học nắm vững

được kiến thức. Đảm bảo được sự gợi động cơ, xuất phát từ những kiến thức đã có

giúp học sinh nắm vững được khả năng làm bài khả năng luyện tập được thành thạo

từ những tri thức đã có. Về mặt kiểm tra, bài tập toán có ý nghĩa hết sức to lớn giúp

học sinh đánh giá được khả năng trình độ nhận thức của mình.

1.1.3.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán

 Vị trí của bài tập toán học:

Quá trình giải bài tập toán giúp học sinh vận dụng thành thạo kiến thức đã

học và phát huy tính tích cực, sáng tạo. Do vậy, bài tập toán học có vai trò hết sức

quan trọng trong chương trình toán.

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán. Đối với học sinh có

thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập toán ở

trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được

trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát huy hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng

dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện

tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc

dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” [8,

tr.206].

Trong thực tế dạy học, bài tập toán học được dùng với những mục đích khác

nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề để xuất phát để tạo động cơ học tập, để

làm việc với nội dung mới, để củng cố để kiểm tra kiến thức. Tất nhiên, việc dạy và

học để giải một bài toán cụ thể nhằm mục đích để cho học sinh hiểu và nắm bắt một

cách cụ thể và thực hiện một cách dễ dàng hơn. Giải bài tập toán là hình thức chủ

yếu tập dược cho học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời sống và

lao động sản xuất. Đồng thời việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học sinh và

học sinh tự kiểm tra mình về mực độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận

dụng chúng vào giải quyết các vấn đề cụ thể. Giải bài tập toán có tác dụng giáo dục

cho học sinh tự kiểm tra mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng

vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề cụ thể. Giải bài tập toán có tác dụng giáo

dục cho học sinh đức tính của người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp suy

luận, phương pháp suy nghĩ tìm tòi sáng tạo.

 Chức năng của bài tập toán:

Dạy học toán là dạng hoạt động toán học, đối với học sinh có thể xem việc

giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ

thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp

học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo

ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là một hoạt động để

giúp học sinh thực hiện tốt các bước các sự chọn lựa của học sinh đối với các bài

tập đó, điều kiện để thực hiện tốt các mục đích trong trường học phổ thông. Vì vậy,

tổ chức việc học có hiệu quả quyết định đối với việc dạy học có chất lượng hơn.

Trong thực tế dạy học, bài tập toán trong trường được sử dụng với những vai

trò khác nhau. Mỗi bài tập đưa ra cho học sinh có thể là mục đích để đánh giá năng

lực cho học sinh để thể hiện năng lực của bản thân. Tất nhiên, việc giải một bài tập

với một nội dung nào đó có những mặt với mục đích phần này và mục đích có

những vai trò khác nhau, có những bài tập có mặt này có những bài tập có nhiều ý

nghĩa nhất định.

Mỗi bài toán cụ thể được đưa ra ở một số các thời điểm cụ thể nào đó, ở mỗi

thời gian nhất định có thể đưa ra những cách giải khác nhau, nó bao hàm chứa đựng

với nội dung khác nhau. Những chức năng này đều đưa đến việc thực hiện các kiến

thức dạy và học. Trong môn toán, các bài tập mang những chức năng sau:

a. Chức năng dạy học

Bài toán nhằm hình thành để cho học sinh khả năng làm bài nhận dạng được

trong quá trình dạy học.

b. Chức năng giáo dục

Bài toán nhằm hình thành cho người học hình thành những phẩm chất, chức

năng cho người học để người học hoàn thiện mọi mặt.

c. Chức năng phát triển

Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy logic của học sinh, đặc biệt rèn

luyện cho người học những khả năng phát triển về mọi mặt trong đời sống.

d. Chức năng kiểm tra

Bài tập toán nhằm đánh giá khả năng học và khả năng nhận thức của từng

người học. Kiểm tra khả năng nắm vững nhận thức của học sinh và đánh giá mức độ

về kết quả dạy và học, đánh giá khả năng làm toán.

Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là

hàm ý nói việc thực hiện các chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và

công khai. Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông chính là phụ thuộc vào

cách dạy và học của học sinh thông qua khả năng nắm kiến thức của học sinh, mức

độ nhận thức cho học sinh.

1.1.3.3. Dạy học phương pháp giải bài toán

Trong chương trình toán phổ thông, như ta đã biết, một bài toán có rất nhiều

các cách giải khác nhau, mỗi cách giải mang lại cho chúng ta những kiến thức riêng.

Tùy từng bài, tùy từng đối tượng thì chúng ta sẽ sử dụng cách nào cho phù hợp.

Đối với một số học sinh, việc giải bài toán khiến cho một số các em mệt mỏi và

căng thẳng, nhưng ngược lại có một số các em thì cảm thấy hứng thú trong việc giải

toán. Vậy lý do chủ yếu chính là do các em đã bị hổng kiến thức, một phần là các

em chưa biết vận dụng các kiến thức sao cho phù hợp vào giải các bài toán. Và

chúng tôi đưa ra một số các phương pháp dạy và học toán cho học sinh:

- Huy động kiến thức có liên quan:

+ Đã gặp dạng bài toán này ở đâu chưa? Với bài tập toán như thế này,

chúng ta nên sử dụng kiến thức ở đâu? Vận dụng định lí hay định nghĩa

như thế nào?

+ Nhớ lại dạng bài toán quen thuộc có cùng dạng?

+ Chúng ta sử dụng bài toán quen thuộc để áp dụng vào bài tập này như

thế nào? Vận dụng kết quả bài toán đó ra sao?

- Dự đoán kết quả cần tìm:

+ Có thể tìm ra một bài toán liên quan mà có kiến thức nhẹ hơn không?

Một bài toán tổng quát? Một trường hợp riêng của bài toán? Và chúng ta

có thể giải một trường hợp riêng của bài toán đó trước?

+ Đã sử dụng mọi dữ kiện, dữ liệu của bài toán hay chưa?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng

giải quyết vấn đề.

Trong quá trình dạy học, nếu giáo viên khai thác triệt để những gợi ý trên thì sẽ

hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán. Tuy nhiên

để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán

đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải Toán của mình.

Một số thao tác tƣ duy phổ biến của học sinh THPT trong giải toán

Nội dung và hình thức của bài toán Vốn kiến thức Toán học, kỹ năng và kinh nghiệm

Định hướng tìm tòi lời giải bài tập

Hướng 1 Hướng 1 Hướng 1

Nhận thức để → Phân tích 3 → chọn lựa hoặc bỏ Nhận thức để → Phân tích 1 → chọn lựa hoặc bỏ Nhận thức để → Phân tích 2 →chọn lựa hoặc bỏ

Chọn lựa được hướng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra lời giải bài tập

Hình 1.1. Sơ đồ một số thao tác tư duy phổ biến của học sinh.

1.2. Cơ sở thực tiễn

1.2.1. Mục tiêu giáo dục phổ thông

Theo Điều 2 Mục 27 Chương 2 Luật Giáo dục quy định: “Mục tiêu của giáo

dục THPT là nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của THCS,

hoàn thiện học vấn phổ thông, có hiểu biết thông thường về kỷ luật và hướng

nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân, tiếp

tục học CĐ - ĐH, trung học chuyên nghiệp hoặc học nghề đi vào cuộc sống lao

động”.

Căn cứ vào mục tiêu chung của luật định, mục tiêu cụ thể của cấp THPT được

xác định: yêu cầu học sinh sau khi học xong THPT phải đạt được các mặt về tư

tưởng đạo đức, lối sống học vấn kiến thức phổ thông, hiểu biết kỷ luật và hướng

nghiệp, kỹ năng học tập và vận dụng kiến thức cũng như các yêu cầu về thể chất và

xúc cảm thẩm mỹ, tất cả các yêu cầu này đảm bảo thực hiện được mục tiêu chung là

giáo dục - đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có một số đổi mới cần

lưu ý như sau:

- Giáo dục cho học sinh có lối sống lành mạnh, tự tin, tự tôn dân tộc, có chí lập

nghiệp không cam chịu nghèo hèn.

- Có khả năng sử dụng ngôn ngữ trong giao tiếp thông thường, các ngôn ngữ

được phát triển đồng bộ như nhau, mỗi một ngôn ngữ có những đặc điểm riêng, đặc

tính riêng.

- Phát triển và nâng cao các kỹ năng học tập, kỹ năng vận dụng kiến thức vào các

tình huống mới, vào thực tiễn sản xuất, vào cuộc sống của mỗi cá nhân, gia đình và

cộng đồng.

- Tăng cường bồi dưỡng cho thế hệ trẻ lòng yêu nước, quê hương và gia đình, lý

tưởng XHCN, lòng nhân ái, thái độ quý trọng và nhiệt tình lao động, ý thức trách

nhiệm và các kỹ năng cơ bản.

- Giúp học sinh có tư duy, khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi và

ứng dụng thông tin vào hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, Mặt khác

giúp học sinh có khả năng thích ứng với những thay đổi trong cuộc sống, có năng

lực hợp tác và chuyển đổi năng lực gián tiếp có hiệu quả.

1.2.2. Đổi mới phương pháp dạy học toán

Theo nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện

giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy theo

hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức,

kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy

móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học tạo cơ sở để người

học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”.

Việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực thể hiện

qua bốn đặc trưng cơ bản.

Một, dạy học thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, giúp học sinh

tự khám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thức được

sắp đặt sẵn. Giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động

học tập phát hiện kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã biết vào các tình

huống học tập hoặc tình huống thực tiễn...

Hai, chú trọng rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa và các tài

liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát

hiện kiến thức mới... Định hướng cho học sinh cách tư duy như phân tích, tổng hợp,

đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen… để dần hình thành và phát

triển tiềm năng sáng tạo.

Ba, tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở thành

môi trường giao tiếp GV - HS và HS - HS nhằm vận dụng sự hiểu biết và kinh

nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ học tập chung.

Bốn, chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trong suốt tiến

trình dạy học thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học). Chú trọng phát

triển kỹ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của học sinh với nhiều hình thức như

theo lời giải/đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác định tiêu chí để có thể phê

phán, tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các sai sót.

1.2.3. Nội dung dạy học chủ đề bất đẳng thức trong trung học phổ thông

Chủ đề bất đẳng thức trong trung học phổ thông được nghiên cứu và giảng dạy

trong chương IV sách giáo khoa lớp 10 - ban nâng cao.

Nội dung của chủ đề bất đẳng thức nói về các bất đẳng thức cổ điển, các định lý

để giáo viên và học sinh cùng nghiên cứu trong quá trình học tập.

Chủ đề bất đẳng thức là một trong những chủ đề đa dạng và phong phú. Có thể

nhận định rằng, chủ đề này là một chủ đề khá khó trong chương trình toán học phổ

thông.

1.2.4. Thực tiễn dạy học chủ đề bất đẳng thức

Bản thân tôi là một giáo viên trẻ chưa có nhiều năm kinh nghiệm dạy về chủ đề

bất đẳng thức, nhưng qua một số giờ dạy về chủ đề này và từ những năm còn ngồi

trên ghế nhà trường học về chủ đề này thì tôi thấy rằng:

- Đối với học sinh việc giải một bài tập về bất đẳng thức cần nhiều thời gian suy

nghĩ đưa ra phương pháp, cách giải. Cần các em có những kiến thức sâu về bất đẳng

thức, nắm vững những thao tác kỹ thuật để áp dụng vào bài toán một cách hợp lí.

Bản thân học sinh khi học về chủ đề bất đẳng thức, các em đã ấn định trong đầu

rằng phần này rất khó khăn để có thể tìm ra phương pháp giải nên thời gian suy

nghĩ dành cho chủ đề này của mỗi học sinh khá ít, có những em thấy phần chủ đề

này có thể bỏ qua mà không làm hoặc không suy nghĩ.

- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm.

Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất khó,

có lẽ mọi người cùng một suy nghĩ rằng- cố gắng hoàn thành nhiệm vụ là được còn

việc nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học.

- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải

cho các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này

chỉ đúng một phần vì: “Ngọc không mài thì không sáng được.

Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, tâm huyết và tinh thần học hỏi

cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình. Toán học cao

cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với bài toán trên song không vận

dụng được vào cấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương pháp khoa học để

học sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dung sách giáo khoa

hiện hành.

Luận văn đã thực hiện khảo sát qua 10 thầy cô trong tổ Toán - tin và qua 158

học sinh của trường THPT Văn Giang - Hưng Yên. Trong đó có 77 học sinh học lực

khá giỏi và 81 học sinh học lực khá.

Nội dung khảo sát là một số câu hỏi về thực trạng dạy và học về chủ đề bất đẳng

thức đang được dạy và học: về phương pháp dạy đang được sử dụng, mức độ nắm

vững kiến thức và vận dụng vào làm bài tập, khả năng hứng thú đối với chủ đề này

qua việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh.

Kết quả khảo sát như sau:

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát việc dạy và học chủ đề bất đẳng thức

STT Phƣơng pháp Tần số Phần trăm Phần trăm (trên

tổng số học sinh) (trên tổng số lựa chọn)

1 Tự học 21 12,88% 13,29%

2 GV giảng dạy 129 79,14% 81,65%

3 HS hoạt động 10 6,13% 6,33%

và làm bài tập

theo nhóm

4 Khác 3 1,85% 1,89%

Tổng 163 100% 103,16%

Như vậy, nhìn vào bảng khảo sát việc dạy và học chủ đề bất đẳng thức ta nhận

thấy với phương pháp giáo viên giảng dạy trực tiếp truyền đạt kiến thức cho học

sinh được sử dụng khá phổ biến. Đây vẫn là phương pháp truyền thống để giảng

dạy cho học sinh. Bên cạnh đó, với phương pháp tự học của học sinh cũng đã được

chú trọng tới, học sinh tự nghiên cứu tìm tòi ra các cách giải bài toán. Phương pháp

này tập trung vào năng lực tự học của học sinh.

Các phương pháp khác như hoạt động làm việc theo nhóm cũng được học sinh

lựa chọn nhưng vẫn chưa được học sinh lưu ý và quan tâm tới.

Kết luận Chƣơng 1

Trong toán học, sự hình thành các kỹ năng để giải toán cho học sinh rất quan

trọng. Sự hình thành đó chính là bước cơ bản để học sinh có thể xác định được vấn

đề của bài toán. Giáo viên phải tạo cho học sinh được những kỹ năng cơ bản để giải

toán.

Trong việc dạy học toán ở trường phổ thông, chúng ta đưa vào các phương pháp

giảng dạy tại trường, nhằm phát triển được năng lực trí tuệ cho các đối tượng học

sinh, rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập trong

từng chuyên đề.

Bên cạnh những yêu cầu của mục tiêu giáo dục phổ thông và những phương

pháp đổi mới trong việc giảng dạy cho từng đối tương học sinh, thực trạng dạy và

học Toán đang đòi hỏi sự cấp thiết của sự thay đổi. Đưa ra các phương pháp đổi

mới phù hợp với từng đối tượng học sinh sẽ giúp học sinh đam mê và có hứng thú

trong việc học các môn nói chung và môn Toán nói riêng.

Chƣơng 2

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO

HỌC SINH LỚP 10

2.1. Mục tiêu và nội dung dạy học Bất đẳng thức

2.1.1. Mục tiêu

Dạy học với chủ đề bất đẳng thức nhằm để luyện cho học sinh về các phương

pháp làm bài tập, cách nhận biết nên và cần sử dụng bất đẳng thức nào cho phù hợp

với bài toán. Việc dạy học bất đẳng thức để học sinh có thể hiểu sâu các kiến thức,

vận dụng linh hoạt để làm bài tập về các dạng chủ đề bất đẳng thức, ứng dụng của

bất đẳng thức vào một số chủ đề khác, nhằm cho học sinh hiểu sâu, vận dụng được

vào làm và giải các bài tập.

2.1.2. Nội dung dạy học

Nội dung dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 theo SGK ban nâng

cao sẽ được giảng dạy trong 2 tiết 47, 48 theo phân phối chương trình lớp 10 Ban

nâng cao.

Tiết 47: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Tiết 48: Luyện tập về bất đẳng thức

2.2. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

2.2.1. Định nghĩa

Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về mối quan hệ thứ tự giữa

hai đối tượng.

- Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và

- Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b.

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt, ngoài ra còn

có bất đẳng thức không nghiêm ngặt:

- , có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b.

- , có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b

Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.

Các bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là:

1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với giá trị của các biến thuộc một tập hợp

cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức.

2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải

bất phương trình.

3. Tìm GTNN và GTLN của một biểu thức một hay nhiều biến.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tƣơng đƣơng

Ta nói bất đẳng thức là hệ quả của bất đẳng thức và . Vì:

Nếu thì (theo tính chất bắc cầu)

Ta nói bất đẳng thức là hệ quả của bất đẳng thức với c tùy ý. Vì:

nếu thì với c tùy ý (tính chất cộng hai vế của bất đẳng thức với

một số).

Tổng quát ta có định nghĩa:

Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức là bất

đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức .

Nếu bất đẳng thức là hệ quả của bất đẳng thức và ngược lại thì

ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết

Ví dụ 1. Chứng minh rằng

Giải

Xét dấu của hiệu . Ta có

Vậy .

Một cách khác khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng

thức, ta có thể sử dụng các tính chất sau của các bất đẳng thức nghiêm ngặt. Các

tính chất này cũng đúng cho các bất đẳng thức không nghiêm ngặt.

2.2.2. Một số tính chất

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức được phát biểu như sau:

Với mọi số thực a, b, c:

- Nếu thì

Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ:

Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ của bất đẳng thức được phát

biểu như sau:

Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập

số thực. Nghĩa là:

Với mọi số thực a, b, c:

- Nếu thì và

Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau:

Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập

số thực, phép nhân (hoặc chia) với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên

tập số thực.

Với mọi số thực a, b, c

- Nếu c là một số dương và thì và

- Nếu c là một số âm và thì và .

Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức.

Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của

một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất

đẳng thức kết quả vẫn đúng. Ngược lại nếu ta áp vào hai vế đảo chiều bất đẳng thức

ban đầu để được bất đẳng thức đúng.

Điều đó có nghĩa là:

Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt hoặc và

là hàm đơn điệu tăng thì (hoặc ) không đảo

-

chiều.

là hàm đơn điệu giảm thì (hoặc ) đảo chiều.

-

Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt (hoặc ) và

đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì (hoặc ) (không đảo

-

chiều).

đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì (hoặc ) (đảo

-

chiều).

Kiểu ký hiệu ghép nối (Bất đẳng thức kép)

Ký hiệu có nghĩa là và do tính chất bắc cầu ta suy ra

. Dễ thấy rằng, cũng bằng các tính chất ở phần trên, chúng ta có thể cộng/

trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/ chia cả ba số hạng này với cùng

một số khác không và tùy vào dấu nhân/ chia đó mà ta có đảo chiều bất đẳng thức

hay không. Nhưng cẩn thận vì có thể chúng ta làm điều đó với cùng một số, tức là

tương đương với .

Tổng quát hơn, kiểu ký hiệu ghép nối này có thể dùng với bất kỳ các số hạng:

chẳng hạn có nghĩa là với . Theo tính chất bắc

cầu, điều này tương đương với với .

2.2.3. Các bất đẳng thức cơ bản

2.2.3.1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Từ định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất sau:

Điều kiện Nội dung

hoặc

2.2.3.2. Bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cauchy có dạng tổng quát( n số):

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

Dấu xảy ra

Các hệ quả

Hệ quả 1. Nếu ( S – là hằng số), thì:

xảy ra

Hệ quả 2. Nếu ( P – là hằng số), thì:

xảy ra

Dạng cụ thể ( 2 số và 3 số) khi đó:

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

Dấu xảy ra

Với , khi đó:

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

Dấu xảy ra

2.2.3.3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

 Dạng tổng quát của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho là 2n số thực tùy ý. Khi đó

Dạng 1: (1)

Dạng 2: (2)

Dạng 3 : (3)

Dấu ở (3) xảy ra

Hệ quả 1.

Nếu ( c - là hằng số) thì

Dấu xảy ra

Hệ quả 2. Nếu thì

Dấu

Nếu thì

Dấu

Dạng cụ thể:

Dạng 1

Dạng 2

Dạng 3

Dấu

- Dạng 1:

- Dạng 2:

- Dạng 3:

Dấu

2.3. Các phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức

2.3.1. Phương pháp dùng định nghĩa

Kiến thức. Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A – B > 0

Ví dụ 1. Với mọi chứng minh rằng

a) .

b) .

Giải

a) Ta xét hiệu

(đúng với )

. Dấu xảy ra Vì

Vậy . Dấu “=” xảy ra

b) Ta xét hiệu

(đúng với )

Dấu “=” xảy ra

Vậy đúng với

Các bước để chứng minh theo định nghĩa

Bước 1: Ta xét hiệu

Bước 2: Biến đổi hoặc

Bước 3: Kết luận

Ví dụ 2. Chứng minh với mọi ta đều có

Giải

Ta có

(luôn đúng)

Dấu “ = ” xảy ra

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi ta luôn có

Giải

Ta có

. Đúng với mọi .

2.3.2. Phương pháp biến đổi tương đương

Kiến thức. Nếu , với là một bất đẳng thức hiển nhiên,

hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức

Chú ý các hằng đẳng thức sau

Ví dụ 1. Cho là các số thực chứng minh rằng

a) .

b) .

. c)

Giải

a) Ta có

Bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy . Dấu xảy ra

b) Ta có

Bất đẳng thức cuối đúng. Dấu bằng xảy ra

Vậy

c) Ta có

Bất đẳng thức trên luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng

Giải

Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chú ý. Ở phương pháp biến đổi tương đương ta có thể đặt ẩn phụ xong rồi đi biến

đổi tương đương.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi ta có

. (1)

Giải

Ta có

(1) (2)

Đặt . Ta có

Khi đó (2) trở thành

Vì nên tổn tại hai số nhỏ hơn bằng 1 hoặc 2 số lớn hơn hay bằng 1

luôn đúng

Vậy bất đằng thức đã cho được chứng minh.

2.3.3. Phương pháp quy nạp

Kiến thức

Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức với .

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với ta phải chứng minh bất đẳng thức

đúng với .

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức

(1), với mọi .

Giải

- Với thì (1) luôn đúng

- Giả sử (1) đúng với n = k tức

- Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với tức là:

Thật vậy, ta có . Vì . Cộng hai vế của bất đẳng thức trên ta

được:

Vậy bất đẳng thức đúng với .

Ví dụ 2. Với mọi . Chứng minh rằng

. (1)

Giải

Với bất đẳng thức có dạng (luôn đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với . Tức là

Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với . Tức là

Đặt

Xét

Áp dụng bất đẳng thức

hay (theo giả thiết quy nạp)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh với mọi .

Ví dụ 3. Cho . Chứng minh rằng

Giải

- Với bất đẳng thức có dạng

(luôn đúng)

- Với bất đẳng thức có dạng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với tức là

(1)

Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với . Tức là

Do bất đẳng thức đúng với n = 3 nên ta có

(2)

Cộng vế với vế của bất đẳng thức (1), (2) ta được bất đẳng thức đúng với

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi .

Quy nạp kiểu Cauchy

Chứng minh:

Quy nạp hướng lên trên

Từ

Áp dụng cho hai số ta được

Tương tự ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 2,4,8,.., 2n

Quy nạp hướng xuống dưới

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n tức

Hay:

Rút gọn ta được:

Từ kết quả chứng minh quy nạp hướng lên xuống ta thu được phương pháp

chứng minh quy nạp của định lí.

2.3.4. Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác

Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến rằng buộc tới

một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần túy

nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác

thì cách giải sẽ trở nên đơn giản rất nhiều.

Vậy khi nào có thể áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ?

- Từ điều kiện luôn tồn tại ba góc của sao

cho .

- Từ điều kiện luôn tồn tại ba góc của sao

cho .

- Từ điều kiện với Tồn tại có 3 góc

thỏa mãn điều kiện và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lí cosin…

- Từ điều kiện luôn tồn tại

với

Một số kết quả cơ bản

Khi ta đặt

(a, b,c , ab+ bc+ ca = 1) 

(1)

 (2)

Thật vậy (2) tương đương với

, ab + bc + ca =1 

(3)

Thật vậy, trước hết ta chứng minh

(áp dụng kết quả (1) )

Vì đpcm

 , ab + bc + ca = 1

Thật vậy, trước hết ta chứng minh

Sau đó dùng kết quả ( 2), ta có điều phải chứng minh.

Nhìn bài toán bằng con mắt lượng giác

 Ta thấy ( 2)

Rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng

 Ta thấy (3)

đpcm Nhưng ta có:

 Ta thấy

đpcm Nhưng ta có

.Chứng minh rằng Ví dụ 1. Cho

Giải

Từ giả thiết bài toán

Từ đó ta đặt

Vì

Ta sẽ chứng minh

Điều này là hiển nhiên, từ đây suy ra bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2. Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Giải

Đặt thì a, b, c là các số dương và

Bài toán trở thành

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: . Chứng minh rằng

Coi a, b, c là ba cạnh của tam giác, ta suy ra góc A = 600

Vận dụng điều kiện góc A = 600 và hệ thức a = 2R sin A, b = 2R sinB, c = 2R sinC.

Ta có

Mặt khác, ta có:

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 3. Cho Chứng minh rằng

. (3)

Giải

với A, B, C là ba góc nhọn của tam giác ABC Đặt

thì (3)

Ta có

Và

Từ đó suy ra

Hay (Đpcm)

2.3.5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Với 2 bộ n số và ta luôn có

(1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và là hai bộ số tỉ lệ

Tức là và

Giải

Nếu hoặc thì (1) hiển nhiên đúng.

Do vậy chỉ cần xét trường hợp và

Ta có

…………………………….

Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta có

Tam thức bậc hai ở vế trái không âm với mọi x nên

Dấu bằng xảy ra khi tồn tại sao cho

Các hệ quả

Hệ quả 1. Với hai dãy số và

Hệ quả 2. Với hai dãy số và

Bất đẳng thức Bunhiacopxki thường được áp dụng để chứng minh bất đẳng

thức đúng với các số thực và thường có dạng sau:

. a) với

với . b)

. c) với

d) .

e) .

f) .

g) .

h) .

Ví dụ 1. Cho phương trình (1), trong đó . Biết

(1) có ít nhất một nghiệm thực. Chứng minh rằng: .

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Giải

Giả sử (1) có một nghiệm thực . Có

(2)

Từ (2) (3)

Đặt Từ (3)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (a, b) và (y0, 1)

Mặt khác, . Đặt

Do đó, . Dấu bằng xảy ra khi t = 0

Với

Ví dụ 2 . Với mọi .Chứng minh rằng

Giải

Giả sử hệ quả 2 với 2 dãy số và (1, 1, 1) có

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương và 32 ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 3. Trong chứng minh rằng

Giải

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

2.3.6. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cauchy

Với n số không âm ta luôn có

Dấu bất đẳng thức xảy ra khi

Ví dụ 1 [15, 44]. Cho và . Chứng minh rằng

a) .

b) .

Giải

a. Áp dụng bất đẳng thức Cối cho :

Ta có

Tương tự

Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta được

(Do theo giả thiết)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

b. Áp dụng bất đẳng thức cho các số dương

Ta có

Tương tự

Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta được

(Do )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Ví dụ 2. Cho . Chứng minh rằng

. (1)

Giải

(1) (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số và

và

(đpcm)

Vậy bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi .

Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Ví dụ 3. Cho và . Chứng minh rằng

Giải

Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy vì dấu đổi chiều

Mà . Tuy nhiên ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy theo cách

Vì .Vậy

Tương tự ta được

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

2.3.7. Phương pháp hình học

Phương pháp vectơ

Một số bất đẳng thức có thể chứng minh bằng các tính chất của vectơ. Trong

mặt phẳng , cho hai vectơ thì ta có

- thì có

Ví dụ 1 [14, 67]. Chứng minh rằng: .

Giải

Đặt

Ta có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng

Ví dụ 2 . Cho . Chứng minh rằng

Giải

Đặt ,

Ta có:

(đpcm)

Dùng hình học để chứng minh bất đẳng thức

Một số định lý tính chất cơ bản trong hình học thường dùng trong chứng

minh bất đẳng thức hình học

1. Định lý hàm cosin trong có ba cạnh a, b, c

2. Công thức tính diện tích

3. Với ba điểm A, B, C trong mặt phẳng thì

Ví dụ 1 [10, 123]. Cho tùy ý. Chứng minh rằng

. (1)

Giải

(1)

Trong mặt phẳng xét

Ta có (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và A nằm ở giữa B và C

2.3.8. Phương pháp lượng giác

Kiến thức

1. Nếu thì đặt hoặc

2. Nếu hoặc trong bất đẳng thức có chứa thì đặt

3. Nếu thì đặt

4. Nếu hoặc bài toán có chứa thì đặt

5. Nếu thì đặt

6. Nếu thì đặt

7. Nếu thì đặt

8. Nếu thì đặt

9. Nếu thì đặt

10. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức thì đặt

11. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức thì đặt

12. Nếu trong bài toán chỉ xuất hiện không rằng buộc điều kiện thì ta cũng có khi

đặt

13. Nếu trong bài toán xuất hiện một hay nhiều biểu thức dạng

thì đặt

14. Nếu bài toán có giả thiết thì đặt

Ví dụ 1 [10, 134]. Chứng minh rằng với mọi

Giải

Theo lý thuyết ta đặt

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2 . Cho Chứng minh rằng

Giải

Do nên có thể đặt

(đpcm)

Ví dụ 3 [13, 24]. Cho . Chứng minh rằng

Giải

Đặt

Vậy điều phải chứng minh.

2.3.9. Phương pháp hàm số

Kiến thức

a. Định lý

Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm

liên tục trên (a ; b) .Khi đó

thì nghịch biến trên (a ; b)

- Nếu

thì đồng biến trên (a ; b)

- Nếu

Việc chứng minh được đưa về xét hàm A – B qua việc khảo sát tính đơn

điệu của hàm đó từ đó có điều phải chứng minh.

 Lƣu ý

Cho hàm số đơn điệu trên (a ; b)

nếu đồng biến.

-

nếu nghịch biến.

-

nghịch biến trên và thì

- Nếu

đồng biến trên và thì

- Nếu

b. Các dạng bài toán thƣờng gặp

- Xét dạng bài toán trực tiếp hàm A, B hoặc A-B, B-A,…

- Xét hàm đặc trưng

- Coi một đối số là biến các đối số còn lại được xem như tham số

- Đặt ẩn phụ để đưa về một hàm mới

c. Ví dụ

Ví dụ 1 [8, 81]. Cho là các số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng

. (1)

Giải

Ta có (1)

Vai trò như nhau nên ta có thể giả sử

Do là các số dương và nên ta có

Xét hàm

Ta có

Vì là hàm nghịch biến nên

Do đó là hàm nghịch biến mà nên

Mà

Vậy là hàm nghịch biến

Do đó là hàm nghịch biến

Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Các dạng bài tập chứng minh bất đẳng thức bằng phƣơng pháp hàm số:

Dạng 1. Xét hàm trực tiếp

Ví dụ 1. Cho . Chứng minh rằng .

Giải

Xét

Có

Vì

đồng biến

Ví dụ 2. Dạng1. bài ước lượng cho hàm

Bằng cách chuyển vế và xét hàm trực tiếp ta có bất đẳng thức

a) Cho . Chứng minh rằng

Tổng quát. Cho . Chứng minh rằng

b) Cho . Chứng minh rằng

Từ đây ta có thể thay bởi các giá trị cụ thể để có các bất đẳng thức đẹp. Tương tự

với các hàm còn lại.

Dạng 2. Xét hàm đặc trưng

Ví dụ 3 [13, 54]. Cho . Chứng minh rằng

. (1)

Giải

Ta có

Xét hàm

nghịch biến trên

Mà

Nên

đồng biến trên

(Đpcm)

Dạng 3. Xét hàm theo một đối số, các đối số còn lại được xem như tham số

Ví dụ 4 [8, 56]. Chứng minh rằng với mọi ta có

Giải

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Xét hàm số

đơn điệu tăng

Ta có

là hàm đồng biến

Vậy có điều phải chứng minh.

2.3.10. Phương pháp đổi biến số

a) Dự đoán được điều kiện đẳng thức xảy ra:

Ví dụ 1. Cho a + b = 2. Chứng minh rằng

Nhận xét. Dự đoán đẳng thức xảy ra khi

Do vậy ta đặt . Từ giả thiết suy ra

Ta có

Đẳng thức xảy ra

Ví dụ 2. Cho . Chứng minh rằng

Nhận xét. Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b =1

Do vậy đặt

Ta có

Mặt khác,

nên ta có

(Đúng vì )

Đẳng thức xảy ra hay .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

b) Dạng cho biết điều kiện của tổng các biến nhưng không (hoặc khó) dự đoán

điều kiện của biến để đẳng thức xảy ra.

Đối với bài toán này ta cũng có thể sử dụng phương pháp đổi biến như trên.

Ví dụ 3 [13, 76]. Cho . Chứng minh rằng

Giải

Đặt . Từ giả thiết suy ra nên ta có

Từ đó

Đẳng thức xảy ra hay

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

c. Dạng bất đẳng thức với điều kiện cho ba số có tích bằng 1

Cách 1. Đặt

Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Nhận xét . là các số thực dương và nên đặt

với là các số thực dương.

Ta có

Ta chứng minh vế trái.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

Nhân hai vế của bất đẳng thức trên có

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cách 2. Ngoài cách đặt như trên ta còn cách biến đổi khác.

Ví dụ 5 . Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

. (1)

Giải

Đặt

Và

Từ

Mặt khác

Tương tự

Nên (1)

Đây là bất đẳng thức luôn đúng nên bài toán được chứng minh.

d. Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c không âm

có vai trò như nhau ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến

Đặt . Ta có các đẳng thức

(1)

(2)

(3)

(4)

Cùng với việc áp dụng các bất đẳng thức

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Ví dụ 6 [12, 45]. Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Giải

Đặt

Khi đó

(1’)

Theo (9) kết hợp với ta có

Suy ra (2’)

Mặt khác (đúng với mọi y)

Từ (1’) và (2’) suy ra bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức

2.4.1. Giải phương trình và hệ phương trình

Áp dụng bất đẳng thức các bất đẳng thức cố điển: Cauchy và Bunhiacopxki

Phương trình và hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức rất

phong phú và đa dạng. Thông qua các ví dụ điển hình ta sẽ nhận dạng nhanh đặc

điểm của bài toán.

Ví dụ 1. Giải phương trình

Giải

Điều kiện có nghĩa

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

(1)

(2)

(3)

Cộng (1), (2), (3) ta có

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy nghiệm của phương trình là

Nhận xét. Đây là phương trình vô tỉ không chính tắc, bài toán còn có những

cách giải khác tuy nhiên đối với bài tập này ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm

nghiệm. Việc áp dụng bất đẳng thức vào bài toán giải phương trình khá hiệu quả và

dễ hiểu. Đây là bài toán cơ bản, chúng ta có thể tạo nhiều bài tương tự với một chút

biến đổi.

Ví dụ 2 [ 11, 87]. Giải phương trình

Giải

Điều kiện có nghĩa nên

Áp dụng Côsi cho ta có

, vì nên thỏa mãn.

Nhận xét. Đây là bài toán phương trình vô tỷ khó, hiểu giải bằng cách nâng

lên lũy thừa thì bài toán phức tạp và khó giải được. Bằng cách quan sát, sử dụng

điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp với biến đổi tương đương chúng ta

tìm ra lời giải. Quan sát kĩ chúng ta có thể tạo ra một lớp bài toán bằng cách biến

đổi đi lên.

Ví dụ 3 [9, 136]. Giải hệ phương trình

Giải

Cộng vế với vế ta được (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Vậy dấu bằng xảy ra ở (1) khi

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

Nhận xét. Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,

bài toán có thể giải theo phương trình chung đó. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy

trong bài là lời giải độc đáo và sáng tạo. Chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì

phương trình (1) dễ phát hiện hơn so với hệ phương trình đầu bài cho. Áp dụng

cách giải ta có thể tạo ra nhiều bài toán hay và khó hơn.

Áp dụng cách đánh giá ẩn

Nhiều bài toán tưởng chừng không giải được, thật bất ngờ chúng ta chỉ cần

đánh giá, so sánh các ẩn trong phương trình thì bài toán cho ta một lời giải thú vị

đến bất ngờ.

Kỹ thuật trong phần này thường để quan sát các ẩn, để đánh giá hai vế hoặc

giữa các phương trình của hệ để tìm ra sự liên hệ giữa các ẩn số, từ đó có được một

phương trình, hệ phương trình đơn giải hơn.

Ví dụ 1 [9, 118]. Giải phương trình

Giải (Sử dụng phương pháp đánh giá hai vế của phương trình)

Xét vế trái

Đẳng thức xảy ra khi (1)

Xét vế phải

Đẳng thức xảy ra khi (2)

Từ (1), (2) phương trình có nghiệm duy nhất.

Nhận xét. Đây là bài toán rất phức tạp, không giải được trực tiếp. Bằng các

quan sát chúng ta đánh giá hai vế của phương trình với số 7, bài toán có nghiệm duy

nhất. Cách tạo được bài toán này không khó nhưng giải được thì không dễ.

2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

2.4.2.1. Dùng bất đẳng thức Cauchy

Để biết được bài toán nào cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần chú ý

đến các thành phần của biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc tổng của hai phần

không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Cauchy thì xuất hiện biểu

thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳng

thức Cauchy để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 1 [12, 56]. Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Hay

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy

Bài toán tổng quát

Cho thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lập luận như trên ta được tại .

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền

Giải

Nhận thấy D là miền xác định của

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Do đó

Từ đó suy ra

Mặt khác, để dấu bằng xảy ra thì

Ta lại có

Vậy .

2.4.2.2. Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki thì hàm số hoặc biểu thức

hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của các

biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số. Và sau khi áp dụng bất đẳng thức

Bunhiacopxki thì phải có phần đưa về giả thiết ban đầu và được đưa về hằng số.

Ví dụ 1[9, 45]. Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Dấu bằng xảy ra

Vậy tại .

Bài toán tổng quát

Cho với

Thì .

2.4.2.3. Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Để sử dụng bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối trong việc tìm giá trị nhỏ nhất,

giá trị lớn nhất của biểu thức thì trong biểu thức đã cho đó phải chứa tổng trị tuyệt

đối các đa thức và tổng (hoặc hiệu) của chúng là hằng số hoặc ngược lại.

Sử dụng kết quả bất đẳng thức về trị tuyệt đối sau để được kết quả

(1)

(3)

Lƣu ý. Đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức số (1) khi a và b cùng dấu, ở bất đẳng

thức số (2) khi và ở bất đẳng thức số (3) khi a, b, c cùng dấu. Tương tự dấu

bằng ở (4) xảy ra khi và chỉ khi a, b trái dấu, và ở (5) xảy ra khi . Do đó

chúng ta xác định được khi nào bất đẳng thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 1. Cho số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) .

b) .

Giải

a. Áp dụng bất đẳng thức

Ta có

Giá trị nhỏ nhất của A là 22, đạt được khi

b. Ta có

Giá trị nhỏ nhất của B là 9, đạt được khi

Ví dụ 2. (Bài tập 4.88 câu b – SBTĐS10NC tr.117)

Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

với .

Giải

Áp dụng bất đẳng thức ta được

Do đó

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q là 2000.

2.5. Hệ thống các bài tập

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đã được trình bày ở trên và các

ví dụ kèm theo. Dưới đây là hệ thống các bài tập ở một số đề thi THPT quốc gia:

Đề thi Đại học khối A - 2007

Cho là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

Đề thi đại học khối B - 2007

Cho là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề thi đại học khối D - 2007

Cho Chứng minh rằng

Đề thi đại học khối B - 2008

Cho là hai số thực thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức .

Đề thi đại học khối D - 2008

Cho là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu

. thức

Đề thi cao đẳng 2008

Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của biểu

. thức

Đề thi đại học khối A - 2009

Chứng minh rằng với mọi số thực dương thỏa mãn , ta có

Đề thi đại học khối B - 2009

Cho các số thực thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức .

Đề thi cao đẳng 2009

Cho a và b là hai số thực thỏa mãn Chứng minh rằng

Đề thi đại học khối D - 2009

Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức .

Đề thi cao đẳng 2010

Cho hai số thực dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức .

Kết luận Chƣơng 2

Chủ đề bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 nâng cao khá đa dạng và

phong phú ở các mức độ khó khác nhau. Mục tiêu dạy học để học sinh nắm vững

các kiến thức, các phương pháp ở trong chủ đề này.

Đưa ra một số các bất đẳng thức cổ điển để học sinh có thể hiểu sâu và áp

dụng các bất đẳng thức đó vào việc giải các bài tập có liên quan đến chủ đề.

Ở mỗi một phương pháp chứng minh có thêm những ví dụ cụ thể để học sinh

có thể làm một cách đơn giản hơn, hiểu sâu các kiến thức trong chủ đề này.

Ứng dụng của chủ đề bất đẳng thức vào từng dạng khác nhau. Từ đó, học

sinh làm bài tập sẽ được củng cố sâu hơn về kiến thức cũng như kỹ năng giải toán

nhằm phát triển tư duy năng lực cho học sinh.

CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi

và hiệu quả của việc phân tích những kỹ năng giải quyết vấn đề trong khi dạy học

chủ đề bất đẳng thức lớp 10 nâng cao mà luận văn đã đề xuất.

3.2. Nội dung thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành giảng dạy qua các bài sau:

Bảng 3.1. Tên bài dạy thực nghiệm

STT Tên bài dạy Số tiết

1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức 1

2 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (tiếp) 1

3.3. Đối tƣợng thực nghiệm

Chọn lớp thực nghiệm, lớp đối chứng và GV giảng dạy:

Bảng 3.2. Tên GV, lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

Trƣờng GV dạy Lớp TN (số HS) Lớp ĐC (số HS)

THPT Văn Nguyễn Thị Nga Lớp 10 A1 (38HS) Lớp 10A3(40HS)

Giang

THPT Văn Nguyễn Thị Thúy Hà Lớp 10A2 (39HS) Lớp 10A4 (41HS)

Giang

Các lớp TN và ĐC có cùng GV giảng dạy.

3.4. Phƣơng pháp thực nghiệm

GV giảng dạy ở các lớp thực nghiệm và đối chứng sẽ giảng dạy với giáo án đã

chuẩn bị cho các lớp. Sau khi tiết học kết thúc, giáo viên cho học sinh tiến hành làm

bài kiểm tra với đề kiểm tra được giáo viên giảng dạy đưa ra (đề kiểm tra 45 phút)

50% trắc nghiệm - 50% tự luận.

3.5. Tiến hành thực nghiệm

a. Tiến hành các giờ dạy

- Giáo án được soạn theo yêu cầu để rèn luyện phân tích kỹ năng trong dạy học

chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao ở lớp TN.

- Giáo án được soạn theo truyền thống giảng dạy ở lớp ĐC.

- Phương tiện được sử dụng giống như nhau ở hai lớp.

b. Tiến hành khảo sát

- Sau khi giảng dạy xong 2 tiết lý thuyết, giáo viên sẽ đưa ra đề kiểm tra 45

phút (cùng một đề kiểm tra ở các lớp) nhằm xác định kết quả vận dụng kiến thức

của HS qua bài giảng. Đề kiểm tra được dùng giống nhau ở hai lớp thực nghiệm và

lớp đối chứng.

3.6. Nội dung thực nghiệm

Phân tích các kỹ năng giải quyết vấn đề trong khi dạy chủ đề bất đẳng thức cho

học sinh lớp 10 ban nâng cao không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn

giúp học sinh có tư duy linh hoạt trong quá trình giải toán.

Phân tích các kỹ năng dạy học trong chủ đề bất đẳng thức được tiến hành chủ

yếu thông qua quá trình dạy học các phương pháp về bất đẳng thức. Hệ thống các ví

dụ, bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức, khả năng tiếp thu của học sinh

giúp học sinh nắm vững được kiến thức trong quá trình học tập.

Trong quá trình học tập, học sinh có thể đưa ra các phương pháp giải khác nhau

trong mỗi bài toán. Đồng thời giúp cho giáo viên có khả năng nhận diện được mức

độ học tập nắm vững kiến thức của học sinh. Nhìn nhận vấn đề một cách sâu rộng

hơn.

Trước khi thực nghiệm tôi có trao đổi với các thầy cô trong tổ để thống nhất

việc dạy và việc định hướng cho học sinh để học sinh nắm rõ được các nhiệm vụ

trong tiết học. Trong tiết học, giáo viên cần định hướng được những nhiệm vụ, kỹ

năng. Với chủ đề được chọn, các giáo viên dạy cùng nhau cần thống nhất các nhiệm

vụ để giờ dạy được hoàn thiện và tốt hơn.

Đối với các lớp đối chứng vẫn giảng dạy như các giờ bình thường. Việc dạy

thực nghiệm và đối chứng được dạy theo phân phối chương trình và theo lịch giảng

dạy của nhà trường.

Trong quá trình dạy thực nghiệm, chúng tôi đã phối hợp một số phương pháp

dạy học như: Phương pháp giải quyết vấn đề, phương pháp gợi mở vấn đáp, phương

pháp đàm thoại, để thực hiện các biện pháp được đề xuất.

Tiết thực nghiệm được tiến hành trong 2 tiết, chương bất đẳng thức lớp 10 nâng

cao. Kết thúc chương trình dạy giáo viên cho học sinh thực hiên làm bài tập để kiểm

tra, phát cho học sinh bài kiểm tra. Đề kiểm tra được phát cho cả lớp thực nghiệm

và lớp đối chứng.

Giáo án minh họa giảng dạy ở lớp thực nghiệm.

Chƣơng IV. Bất đẳng thức và bất phƣơng trình

Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Phân bổ thời gian

(Bài học này dạy trong 2 tiết lý thuyết theo phân phối chương trình)

Tiết 1. Phần 1 và phần 2

Tiết 2. Phần 3

I. Mục tiêu

1. Về kiến thức và kỹ năng

- Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như: biến đổi tương đương,

phản chứng, biến đổi hệ quả, sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, … Đặc biệt học

sinh vận dụng được các tính chất của bất đẳng thức, vận dụng được bất đẳng thức

giá trị tuyệt đối để chứng minh một số bài toán có liên quan.

2. Về tư duy

- So sánh, đối chứng, chọn lọc, thay đổi từ các tính chất của đẳng thức để có

tính chất của các bất đẳng thức

- Phân biệt được đâu là biến đổi hệ quả, đâu là phép biến đổi tương đương

3. Về thái độ

- Cẩn thận, chính xác, chặt chẽ, biến đổi cơ sở. Tạo cơ sở cho thực hiện các

biến đổi bất phương trình sau này.

II. Chuẩn bị

- GV: giáo án, SGK, bảng phụ tóm tắt các tính chất của bất đẳng thức.

- HS: Ôn tập về bất đẳng thức đã học ở bậc THCS.

III. Phƣơng pháp

- Gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động tư duy có đan xen hoạt động theo

nhóm.

IV. Tiến trình bài học và các hoạt động

1. Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số lớp

2. Các hoạt động

Hoạt động 1. Giới thiệu tổng quan chương IV và tầm quan trọng của chương

trong toàn bộ chương trình đại số 10 nâng cao và chương trình Toán THPT

Hoạt động 2. Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức

HĐGV Hoạt động của HS Nội dung

So sánh hai số thực Các khả năng 1. Ôn tập và bổ sung

tính chất của bất đẳng a và b ? Có thể xảy

ra những khả năng thức

nào ? a. Định nghĩa

Cho 2 số thực a, b. Các

mệnh đề

Nêu các tính chất được gọi là các bất

của bất đẳng thức đã đẳng thức.

học b. Các tính chất

Gợi ý: Tính chất

Cho thì Với

có nhận xét gì về Tính chất

hai số a và c ?

Hệ quả Biết với một số

c bất kỳ so sánh a+c

và b+c ?

Biến đổi tương

đương bất đẳng

thức: ?

Cho hai bất đẳng

cùng thức

, chiều

nhận xét gì về a+c

Hệ quả và b+d ?

a>b, c>d

→ a+c>b+d Cho và một số

Tính chất thực . Nhận xét

gì về ac và bc ?

Cho

Hệ quả

a>b≥0, c>d≥0 Nhận xét gì về ac và

→ ac>bd bd ?

GV đưa ra một vài Ví dụ 1. Không dùng VD1: Giả sử .

VD để học sinh bảng số hoặc máy tính, Do hai bất đẳng thức đó đều

luyện tập ? so sánh hai số dương nên:

Gợi ý. Sử dụng các và 3.

bất đẳng thức trên.

Ví dụ. Sử dụng

phương pháp phản

(vô lí) chứng. Ví dụ 2. Nếu là

Vậy Ví dụ. GV chia độ dài ba cạnh của một Đại diện các nhóm lên trình bày nhóm, làm việc theo tam giác bài của nhóm mình. nhóm.

(Cho các nhóm với (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

thời gian 3p để làm ≤abc

Ví dụ)

Ta có a2 ≥ a2 – (b-c)2 = (a-b+c)(a+b-c) b2 ≥ b2 – (c-a)2 = (b-c+a)(b+c-a) c2 ≥ c2 – (a-b)2 – (c-a+b)(c+a-b) GV nhận xét bài

Do là độ dài ba cạnh của

từng nhóm một tam giác nên tất cả các bất

đẳng thức trên đều dương. Nhân

các vế tương ứng với nhau ta có a2b2c2≥(b+c-a)2(c+a-b)2(a+b-c)2

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta

được bất đẳng thức cần chứng

minh.

Hoạt động 3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

HĐ của GV HĐ của học sinh Nội dung

Nhắc lại định 2.Bất đẳng thức về giá trị

nghĩa về giá trị tuyệt đối

tuyệt đối của Từ định nghĩa về giá trị tuyệt

một số. đối ta được các tính chất sau

- Thảo luận theo nhóm được

phân công, đưa ra phương án Tổ chức cho

giải bài tập. HS thực hiện

- Trình bày được: hoạt động 1

của SGK:

Chia lớp thành

12 nhóm ( mỗi Suy ra

bàn một

nhóm) nghiên - Phương án giải khác: Bình cứu cách giải phương hai vế của bất đẳng mà SGK đề ra. thức đã cho được Đề xuất cách

giải khác.

Suy ra được

(Nhóm cử đại

diện lên trình (bất đẳng thức trên đúng với

bày) mọi giá trị của a và b)

Hoạt động 4. Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

HĐ của GV Hoạt động của HS Nội dung

Giới thiệu về - Tiếp nhận kiến thức về trung 3.Bất đẳng thức trung

trung bình cộng bình cộng và trung bình nhân bình cộng và trung bình

của hai số thực a, của hai số. nhân

b và trung bình - Có thể từ đó đưa ra được trung - Số trung bình cộng và

nhân của hai số a bình cộng và trung bình nhân trung bình nhân của n số

và b. Tổng quát của n số thực thực

về trung bình

cộng và trung

bình nhân của n

số thực. HS dự đoán việc so sánh giữa số Bài toán

Đặt vấn đề: trung bình cộng và trung bình Chứng minh rằng với mọi

So sánh các số nhân của hai hay ba số rồi dẫn a, b là các số thực không

trung bình cộng đến tổng quát. âm ta có

và trung bình Dự đoán:

nhân của hai số

Đẳng thức xảy ra khi và không âm và ba

chỉ khi a = b. số không âm.

Dẫn dắt: HS chứng minh bài toán: GV cho ví dụ để Xét hiệu: a. Đối với hai số không HS dự đoán

âm GV đưa ra bài

Định lí toán chứng minh

Với mọi a, b là hai số (ghi trên bảng)

không âm ta có Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Từ bài toán ta rút

Đẳng thức xảy ra khi và ra được định lí HS thực hiện hoạt động 2 theo

chỉ khi a = b. cho hai số thực nhóm được phân công và trình

không âm. bày

AH = a, BH = b nên

Tổ chức cho HS

thực hiện hoạt

động 2 (SGK):

Mặt khác, ta có Chia lớp thành 12

nhóm, cùng nhau

Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ thảo luận và trình

HS nghiên cứu ví dụ 4 và hệ nhất của hàm số bày.

quả, ứng dụng của SGK. Tổ chức cho HS

HS thực hiện ví dụ nghiên cứu ví dụ

Bài toán: Do x > 0 nên ta có 4, hệ quả và ứng

CMR nếu a, b, c là ba số dụng.

dương thì GV đưa ra ví dụ

để HS áp dụng.

Vậy GTNN của hàm số là b. Đối với ba số không âm GV đưa ra bài

Định lí toán (ghi lên

Cho a, b, c là ba số không bảng) Hs suy nghĩ và thực hiện việc âm, ta có

giải bài toán. Đưa ra các phương

án chứng minh bài toán trên. Dẫn dắt đưa đến

Đẳng thức xảy ra khi và định lí về ba số

chỉ khi a = b = c. không âm.

V. Củng cố

1. Nhắc lại kiến thức bài dạy

2. Bài tập về nhà

- Đọc thêm về bất đẳng thức Bunhiacopxki

- Làm bài tập SGK và SBT.

Kết thúc quá trình lên lớp với giáo án trên khi dạy cả hai lớp thực nghiệm và đối

chứng, tôi và các giáo viên trong tổ có một số ý kiến sau.

Nhận xét chung sau quá trình dạy học :

Lớp thực nghiệm

Khả năng nắm kiến thức mới trong tiết học của các em tốt hơn, biết vận dụng

kiến thức mới vào làm ví dụ và các bài tập giáo viên cho. Trong tiết học, các em có

thái độ học tập và tích cực xây dựng bài mới. Khả năng tư duy trong từng phần cao

hơn. Việc hoạt động nhóm các em cũng thực hiện tốt hơn có trình tự hơn, lớp học

không bị nhốn nháo khi chia nhóm. Việc áp dụng kiến thức mới vừa học các em

cũng khá nhuần nhuyễn vào bài tập giáo viên cho.

Lớp đối chứng

Khả năng nắm bắt kiến thức trong tiết học của lớp đối chứng chưa được cao.

Một số học sinh vẫn còn thụ động về kiến thức, chưa thực sự tập trung suy nghĩ về

tiết học. Ở từng phần, khả năng tư duy của một số học sinh chưa cao. Lớp chia

nhóm còn lúng túng, ồn ào. Vận dụng kiến thức mới vào bài tập vẫn còn chưa tốt.

Bài kiểm tra của học sinh được đánh giá chất lượng trong quá trình (trình bày ở

phụ lục 3)

Về ý tưởng và dụng ý sư phạm đề kiểm tra:

Đề kiểm tra bám sát mục đích thực nghiệm, đề kiểm tra ở mức độ khá và bám

sát nội dung học trong chương trình. Qua đó kiểm tra được năng lực của học sinh,

khả năng nhận thức các tri thức trong bài dạy của giáo viên. Đề thi gồm hai phần

trắc nghiệm và tự luận để phân rõ được sự linh hoạt nhạy bén trong việc làm các bài

tập trắc nghiệm và việc vận dụng các phương pháp giải bất đẳng thức để làm bài tập

tự luận, đồng thời kiểm tra được khả năng trình bày phần tự luận qua từng ngôn từ

của học sinh. Do thời gian kiểm tra không nhiều nếu học sinh không có kiến thức

tốt, không có kỹ năng tốt thì sẽ không đủ thời gian để hoàn thành.

3.7. Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.7.1. Đánh giá định tính

Quan sát quá trình trong hoạt động dạy và học ở hai lớp thực nghiệm và đối

chứng, tôi thấy:

Ở lớp thực nghiệm học sinh học nghiêm túc, hăng hái phát biểu tích cực hoạt

động trong giờ luôn chịu khó tìm tòi và sáng tạo, chịu khó suy nghĩ tìm tòi và phát

huy tư duy của mình, khả năng vận dụng sáng tạo cao hơn ở lớp đối chứng. Khả

năng làm việc theo nhóm nhạy hơn, các em hầu hết đều nắm sâu được kiến thức.

Giáo viên đưa ra tình huống cần suy nghĩ cao, tất cả lớp đều tập trung và đưa ra

những phương pháp để giải được các bài toán. Và hơn nữa, bên lớp thực nghiệm

việc học tập khá sôi nổi, lớp hòa đồng và rất đoàn kết trong việc học tập theo nhóm,

tinh thần thoải mái, tạo mối quan hệ thân thiết, lễ phép và khá cởi mở giữa giáo viên

Mục tiêu Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng

10A 10B 10C 10D

HS TL HS TL HS TL HS TL

Nắm kiến thức cơ bản và

khả năng vận dụng vào bài 35 92.1 32 82.05 27 67.5 29 70.73

tập cơ bản

Vận dụng làm các dạng bài 36 94.74 35 89.74 29 72.5 30 73.2

tập nâng cao

Khả năng hoạt động nhóm 35 92.1 34 87.2 23 57.5 25 60.98

và học sinh. Khả năng tiếp thu kiến thức của lớp thực nghiệm cao hơn hẳn so với

lớp đối chứng.

3.7.2. Đánh giá định lượng

a. Về nắm kiến thức trên lớp

Cùng một giáo án, cùng một giáo viên giảng dạy. Giáo viên trên lớp ghi lại kết

quả nắm kiến thức trên lớp của hai lớp thực nghiệm và lớp đối chứng như sau :

Bảng 3.3: Kết quả nắm kiến thức của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

Hình 3.1. Biểu đồ thể hiện kết quả nắm kiến thức của các lớp TN và lớp ĐC

Nhìn vào biểu đồ trên nhận thấy : Lớp thực nghiệm với các mục tiêu đề ra thì

có kết quả cao hơn so với lớp đối chứng. Kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao

nhìn vào tỉ lệ ta thấy lớp thực nghiệm chiếm tỉ lệ vượt trội hơn hẳn so với lớp đối

chứng. Ở lớp thực nghiệm, các em có khả năng tư duy và làm việc theo nhóm cũng

tương đối tốt, hoạt động nhóm lớp 10A1 (chiếm 92,1%) và lớp 10A2 (chiếm

87,2%). Lớp 10A3 và 10A4 có tỉ lệ thấp hơn so với lớp thực nghiệm.

b. Về kết quả thu được từ bài kiểm tra

Bảng 3.3. Kết quả thu được từ bài kiểm tra 45 phút của các lớp TN và lớp ĐC.

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số

0 0 0 0 2 5 6 5 9 8 3 38 10A1

0 0 0 1 3 5 7 8 8 5 2 39 10A2

0 0 0 3 4 6 7 7 9 3 1 40 10A3

0 0 0 5 6 4 5 9 8 2 2 41 10A4

Từ bài kiểm tra của các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng ta có biểu đồ sau:

Hình 3.2. Kết quả kiểm tra 45 phút của các lớp đối chứng và các lớp thực nghiệm.

Biểu đồ trên cho thấy, các điểm dưới trung bình lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng đều có khả năng rơi vào, nhưng lớp thực nghiệm điểm 3 không có bài kiểm

tra nào. Lớp đối chứng được xuất phát từ mốc điểm 3. Điểm 8 các lớp tương đương

nhau, từ điểm 9 lớp thực nghiệm đạt mốc cao hơn hẳn so với lớp đối chứng. Như

vậy, nhìn vào biểu đồ kết quả học tập của lớp thực nghiệm cao hơn so với kết quả

học tập của lớp đối chứng.

3.8. Thời gian, đối tƣợng thực nghiệm

- Thời gian thực nghiệm: Vào tháng 2 năm 2017 tại trường THPT Văn Giang -

Hưng Yên.

- Đối tượng thưc nghiệm: Các lớp 10A1, 10A2, 10A3, 10A4.

Kết luận Chƣơng 3

Để khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết khoa học đã đề ra trong đề tài,

chúng tôi đã phân tích các kỹ năng giải quyết vấn đề trong khi dạy học thực nghiệm

chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao tại trường THPT Văn Giang- Hưng Yên.

Kết quả kiểm tra trong và sau quá trình thực nghiệm sư phạm cho thấy rằng:

- Về khả năng tiếp thu được kiến thức: Lớp thực nghiệm có kết quả cao hơn so

với lớp đối chứng.

- Về thái độ học tập: Trong quá trình học tập, lớp thực nghiệm khả năng hứng

thú tiếp nhận tri thức cao hơn so với lớp đối chứng. Trong giờ học, HS lớp thực

nghiệm luôn tích cực tham gia xây dựng bài, hứng thú với các phương pháp mới,

luôn chủ động trong giờ học và các hoạt động nhóm.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Trên cơ sở mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn, qua quá trình thực

hiện luận văn, chúng tôi thu được một số các kết quả sau:

1. Làm rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán và phát

triển trí tuệ cho học sinh.

2. Nghiên cứu các vấn đề lý luận về kỹ năng giải toán và tư duy sáng tạo, cũng

như thành phần, vai trò của rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy

sáng tạo trong thực tiễn giảng dạy bộ môn Toán.

3. Xác định được kỹ năng phân tích giải quyết vấn đề trong khi dạy học chủ đề

về bất đẳng thức.

4. Điều tra, tiến hành thực nghiệm sư phạm và đã xác định được giả thuyết

khoa học đưa ra trong luận văn là đúng đắn.

5. Đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đề ra trong đề tài. Hơn nữa, đề tài và

phương pháp nghiên cứu của luận văn còn có thể áp dụng cho nhiều nội dung

khác nhau của môn toán và cho các lớp khác nhau.

Chúng tôi hy vọng trong thời gian tiếp theo đề tài tiếp tục được nghiên cứu nhất

là phần thực nghiệm sư phạm để khằng định tính khả thi của luận văn trong việc rèn

luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường

phổ thông.

Tuy nhiên, do những hạn chế và điều kiện thời gian, năng lực và trình độ của

bản thân nên chắc chắn việc nghiên cứu còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp

ý của các thầy cô giáo, các anh chị em và bạn bè đồng nghiệp.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bộ giáo dục và đào tạo (2008), Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.

2. Bộ giáo dục và đào tạo (2008), Bài tập đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.

3. Bộ Giáo dục và đào tạo (2008), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện

chương trình sách giáo khoa lớp 10- môn Toán, NXB Giáo dục.

4. Các đề thi đại học và cao đẳng những năm gần đây.

5. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học Toán ở trường Trung học phổ

thông, NXB Giáo dục.

6. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng (2001), Tâm lý học lứa

tuổi và tâm lý học sư phạm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

7. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư

phạm Hà Nội.

8. Nguyễn Phụ Hy (2000), Ứng dụng của đạo hàm để giải toán trung học phổ

thông, NXB Giáo dục.

9. Trần Phƣơng (2000), Các phương pháp và kĩ thuật chứng minh bất đẳng

thức, NXB Thành Phố Hồ Chí Minh.

10. Đặng Thành Nam (2012), Khám phá tư duy kỹ thuật giải bất đẳng thức bài

toán Min – Max, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

11. Nguyễn Đình Thành Công (2011), Rèn luyện tư duy công phá bất đẳng

thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

12. Nguyễn Văn Quốc Tuấn (2014), Rèn luyện kỹ năng chinh phục giải toán

phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, NXB Đại

học sư phạm TP Hồ Chí Minh.

13. Trần Phƣơng – Nguyễn Đức Tấn – Nguyễn Anh Hoàng – Tạ Hoàng

Thông, (2005), Những con đường khám phá lời giải bất đẳng thức, NXB

Đại học sư phạm.

14. Trần Phƣơng ( 2009), Vẻ đẹp bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

15. Nguyễn Công Lợi – Đào Quốc Chung – Đào Quốc Dũng – Phạm Kim

Chung (2009), Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội.

PHỤ LỤC 1A. PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH

PHIẾU KHẢO SÁT (về đánh giá thực trạng học và dạy chương IV - Bất đẳng thức, chương trình lớp

10 của học sinh tại trường THPT Văn Giang)

I. THÔNG TIN CÁ NHÂN

Họ và tên (không bắt buộc) : …………………………. Giới tính :………………..

Lớp:…………………………………………………………………………………

II. NỘI DUNG

Chương IV Bất đẳng thức lớp 10 Ban nâng cao là một trong những chương

có khối lượng kiến thức lớn và khá khó đối với phần đại số. Dưới đây là một số

các câu hỏi về thực trạng học của học sinh và thực trạng dạy của giáo viên về

chương này. Rất mong các bạn đọc kĩ câu hỏi và đáp án. Sau đó tích vào đáp án

mà bạn cho là phù hợp nhất.

Câu Nội dung

Ở trường, các bạn được học chương Bất đẳng thức theo phương

pháp nào ? (Có thể lựa chọn nhiều phương án)

1. Tự học

2. GV giảng giải 1

3. HS hoạt động nhóm và tự học

4. GV gợi vấn đề, hướng dẫn HS tự tìm ra phương pháp giải

5. Khác.

GV có hay phát phiếu học tập, phát đề về các dạng Bất đẳng thức để

cho HS vận dụng làm bài tập hay không ?

1. Chỉ trên lớp mới phát phiếu học tập

2. Chỉ về nhà hoặc học chuyên đề phát đề để làm về các dạng Bất 2

đẳng thức

3. Chỉ làm bài tập trong SGK và SBT

4. GV có phát đề nhưng HS thấy chương này khó nên không làm

5. Khác

Ở nhà, khi làm hết bài tập GV giao trên lớp, các em có tự tìm tòi ra

các bài tập khác đề làm hay không?

1. Không làm thêm bài tập nào

2. Tìm hiểu tài liệu bài tập trên mạng 3

3. Vừa làm bài tập GV giao và vừa tìm thêm phần bài tập khác có

liên quan

4. Khác

Em có thấy hứng thú khi học chương Bất đẳng thức này không?

1. Không thấy hứng thú

2. Bình thường 4

3. Hơi hứng thú

4. Rất hứng thú

Em hãy tự đánh giá mức độ tiếp thu các kiến thức Toán học của bản

thân trong quá trình học chương này ?

1. Không biết và không hiểu 5

2. Biết nhưng không hiểu

3. Hiểu nhưng không chắc chắn

4. Có bài hiểu có bài chưa hiểu

Cám ơn các câu trả lời quý báu của các bạn !

PHỤ LỤC 1B. PHÂN TÍCH KẾT QUẢ PHIẾU KHẢO SÁT CỦA HỌC SINH

Dựa trên kết quả thu thập được từ các phiếu khảo sát dành cho học sinh khối 10, chúng tôi tổng hợp các kết quả lại và tiến hành phân tích. Cụ thể các số liệu chi tiết được trình bày trong 2 bảng 3.5 và bảng 3.6 dưới đây : Bảng 1. Kết quả khảo sát thực trạng của lớp thực nghiệm

Câu

1 HS % 22 28.6 2 HS % 7 9 3 HS % 10 12.9 4 HS % 30 38.9 5 HS % 9 10.6

thể

5 6.5 40 51.9 8 10.4 5 6.5 19 24.7

2 2.6 21 27.3 48 62.3 6 7.8

0 0 23 29.8 25 32.5 29 37.7

0 0 11 14.2 29 37.7 37 48.1

Ở trường, các bạn được học chương Bất đẳng thức theo phương pháp nào ? (Có lựa chọn nhiều phương án) GV có hay phát phiếu học tập, phát đề về các dạng Bất đẳng thức để cho HS vận dụng làm bài tập hay không ? Ở nhà, khi làm hết bài tập GV giao trên lớp, các em có tự tìm tòi ra các bài tập làm hay khác đề không ? Em có thấy hứng thú khi học chương Bất đẳng này thức không? Em hãy tự đánh giá mức độ tiếp thu các kiến thức Toán học của bản thân trong quá học trình chương này ?

Bảng 2. Kết quả khảo sát thực trạng của lớp đối chứng

Câu

1 HS % 10 12.4 2 HS % 32 39.5 3 HS % 12 14.8 4 HS % 9 11.1 5 HS % 18 22.2

thể

10 12.4 15 22 27.2 18 22.2 16 19.7

18.5

15 18.5 10 12.4 22 27.2 34 41.9

18 22.2 42 51.9 15 18.5 6 7.4

17 20.9 22 27.2 32 39.5 10 12.4

Ở trường, các bạn được học chương Bất đẳng thức theo phương pháp nào ? (Có lựa chọn nhiều phương án) GV có hay phát phiếu học tập, phát đề về các dạng Bất đẳng thức để cho HS vận dụng làm bài tập hay không ? Ở nhà, khi làm hết bài tập GV giao trên lớp, các em có tự tìm tòi ra các bài tập làm hay khác đề không ? Em có thấy hứng thú khi học chương Bất đẳng thức này không ? Em hãy tự đánh giá mức độ tiếp thu các kiến thức Toán học của bản thân trong quá học trình chương này ?

Nhận xét :

- Lớp thực nghiệm: Với học lực tương đối khá giỏi, khi học về một phần nào đó

thì HS thực nghiệm khá hào hứng và sôi nổi. Các em luôn tìm tòi những cái mới,

luôn cùng nhau thảo luận các vấn đề mới, cùng cố gắng phấn đấu tìm ra các bài

toán có cách giải khác nhau. Tư duy của các em khá là tốt và chắc chắn. Luôn

phấn đấu và học hỏi không ngừng.

- Lớp đối chứng: Chỉ có một ít các em có khả năng và có đam mê thực sự với

toán học. Hầu hết, các em vẫn học theo lối thụ động đó là chờ giáo viên. Các em

chưa thực hăng say với chủ đề đang học.

PHỤ LỤC 2. BÀI KIỂM TRA 45 PHÚT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Câu Nội dung

Với mọi ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng ?

. A.

1 . B.

. C.

. D.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

. . C. A.

. B. . D.

Cho ba số . Bất đẳng thức nào sau đây đúng ?

3 . C. . A.

. D. Cả A và B. B.

Cho là hai số thực bất kỳ và thỏa mãn . GTNN của là:

4 A. 2. C.0.

B. 1. D.4.

. Trong các mệnh đề nào sau đây, mệnh đề nào sai ? Với

. C. . A. 5

. D. Có ít nhất 2 trong 3 mệnh đề sai. B.

Cho hai số dương thỏa mãn , bất đẳng thức nào sau đây là

đúng ?

. C. . A.

. D. . B.

Cho ba số dương. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. .

7 B. .

C. .

D. Cả 3 câu trên sai.

Cho là ba số dương. Bất đẳng thức nào đúng ?

A. .

8 B. .

C. .

D.Hai câu B, C.

Bất đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. .

9 B. .

C. .

D. Hai câu A và C.

Cho là ba cạnh của một tam giác. Xét các bất đẳng thức sau đây:

II.

10 III.

Bất đẳng thức nào đúng ?

A. I B. II C. III D. II,III

PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm)

Chứng minh rằng với mọi , ta có:

Cho là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

2 nhỏ nhất của biểu thức:

Cho và .

3 Chứng minh rằng .

10 B Câu Đ. A 7 C 8 A 2 D 1 C 3 C 9 D

PHỤ LỤC 3. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM BÀI KIỂM TRA 45 PHÚT PHÀN TRẮC NGHIỆM 6 5 4 C C D PHẦN TỰ LUẬN

Đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Câu

Điểm 0.5

0.5 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

2 Khi đó x = 0 ; y= 1 thì P = -1/4

x = 1, y=0 thì P =1/4

1 Vậy GTNN của biểu thức P = -1/4

GTLN của biểu thức P = 1/4

Ta có:

1 Tương tự có:

Nhân cả hai vế của các bất đẳng thức trên ta được:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y= z =1/2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

PHỤ LỤC 4. HÌNH ẢNH HOẠT ĐỘNG NHÓM CỦA HỌC SINH

Hình 1. Học sinh 10A1 đang trao đổi nhóm

Hình 2. Học sinh 10A2 làm việc nhóm

Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Phân tích kĩ năng giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 ban nâng cao

NGUYỄN THỊ THÚY HÀ

PHÂN TÍCH KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO

HỌC SINH LỚP 10 BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

NGUYỄN THỊ THÚY HÀ

PHÂN TÍCH KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO

HỌC SINH LỚP 10 BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ i

1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................. 4

2.1. Mục tiêu và nội dung dạy học Bất đẳng thức .......................................... 30

2.2. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức ............................................... 30

2.3. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức .......................................... 36

2.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức ......................................................... 64

2.5. Hệ thống các bài tập ................................................................................. 70

3.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 74

3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 74

3.3. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................. 74

3.4. Phương pháp thực nghiệm ........................................................................ 74

3.5. Tiến hành thực nghiệm ............................................................................. 74

3.6. Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 75

3.7. Đánh giá kết quả thực nghiệm.................................................................. 83

3.8. Thời gian, đối tượng thực nghiệm ............................................................ 85

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát việc dạy và học chủ đề bất đẳng thức ............................ 28

DANH MỤC CÁC HÌNH

- Tìm hiểu cơ sở lí luận về việc hướng dẫn học sinh giải bài toán.

- Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học bất đẳng thức trong sách giáo khoa 10

- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh.

- Nghiên cứu lí luận

- Quan sát điều tra

- Tổng kết kinh nghiệm

.

.

.

-

-

-

-

. Dễ thấy rằng, cũng bằng các tính chất ở phần trên, chúng ta có thể cộng/

- Dạng 1:

- Dạng 2:

- Nếu

- Nếu

-

-

-

-

- Nếu

- Nếu

- Đọc thêm về bất đẳng thức Bunhiacopxki

- Làm bài tập SGK và SBT.

Bảng 3.3: Kết quả nắm kiến thức của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

PHỤ LỤC 2. BÀI KIỂM TRA 45 PHÚT

PHỤ LỤC 3. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM BÀI KIỂM TRA 45 PHÚT PHÀN TRẮC NGHIỆM 6 5 4 C C D PHẦN TỰ LUẬN

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098