Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này trình bày các đặc trưng dạng tương tự trong không gian Banach lồi đều và trơn đều, không phải là không gian Hilbert. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TÌNH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TÌNH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015
Mục lục Mục lục i Lời cam đoan ii Lời nói đầu iii Lời cảm ơn iv Danh sách ký hiệu 1 Mở đầu 1 1 Các khái niệm cơ bản 3 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều 10 2.1 Một số bất đẳng thức trong không gian L p , Wmp . . . . . . . . 10 2.2 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach lồi đều 12 2.3 Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach trơn đều 19 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 Phụ lục 28 i
Lời cam đoan Tác giả luận văn xin cam đoan về tính trung thực, tính đúng đắn và hợp pháp của luận văn. Đây không phải là sự sao chép bất cứ luận văn nào đã có trước đó, mà là sự tham khảo, tổng hợp và trình bày theo suy nghĩ chủ quan của tác giả luận văn về những kết quả khoa học đã có liên quan tới chủ đề đặt ra cho luận văn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Lê Thị Tình ii
LỜI NÓI ĐẦU Luận văn trình bày các kết quả chủ yếu về các bất đẳng thức của không gian Banach lồi đều và trơn đều. Dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này nhưng do thời gian và trình độ hạn chế chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót nhất định. Kính mong sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn. Lê Thị Tình Học viên Cao học Toán Khóa 7: 2013-2015 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên iii
Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, bồi dưỡng kiến thức trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tại trường. Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình viết luận văn. Xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, 2015 Lê Thị Tình Học viên Cao học Toán Khóa 7: 2013-2015 Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên iv
Danh sách ký hiệu k.k Không gian định chuẩn B(X) Hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1 S(X) Mặt cầu đóng tâm 0, bán kính 1 h., .i Tích vô hướng C[a,b] Không gian các hàm liên tục Kn Không gian Euclid n-chiều 1
Mở đầu Như chúng ta đã biết trong không gian Hilbert có đẳng thức hình bình hành 2 2 2 2 kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk (1) và là không gian có cấu trúc đẹp đẽ. Lý do nói như vậy là vì vấn đề đặt ra trong không gian này có thể được phân tích một cách dễ dàng và hoàn chỉnh. Tuy nhiên trong nhiều ứng dụng cần phải xét trên không gian Banach, liệu không gian Banach có tính chất gần và đẹp đẽ như không gian Hilbert không? Mục đích của luận văn này trình bày các đặc trưng dạng tương tự (1) trong không gian Banach lồi đều và trơn đều, không phải là không gian Hilbert. Bố cục luận văn gồm 2 chương: Chương I. Một số khái niệm cơ bản. Chương II. Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn đều. 2
Chương 1 Các khái niệm cơ bản Chương này trình bày các khái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert và không gian Banach. Trong đó nêu lên các tính chất, ví dụ cụ thể của từng loại không gian. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ h., .i thỏa mãn các điều kiện sau: i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0; ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X; iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X. Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng h., .i được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Tính chất 1.1. Nếu X là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục trên X × X . Tính chất 1.2. (Đẳng thức Pythagore). Nếu x⊥y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2 . Một cách tổng quát nếu x1 , ....., xn ∈ X với xi .x j = 0 với mọi i 6= j thì n 2 n 2 ∑ xi = ∑ kxi k , i=o i=1 p p với kxk = hx, xi, kyk = hy, yi. 3
Tính chất 1.3. (Đẳng thức hình bình hành). 2 2 2 2 kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk , ∀x, y ∈ X, p p với kxk = hx, xi, kyk = hy, yi. Ví dụ 1.1. (Không gian Euclide n-chiều). Xét không gian vectơ Cn = {x = (x1 , ....., xn ) : x1 , ....., xn ∈ C}. Khi đó dễ có công thức n hx, yi = ∑ x j y j , x = (x1, ....., xn), y = (y1,...., yn) ∈ C j=1 xác định một tích vô hướng trên C. Bởi vì C là đầy do đó Cn là đầy với mọi chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide !1 n 2
2 p kxk = ∑
x j
= hx, xi j=1 nên Cn là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.2. (Không gian l2 ). Xét không gian các dãy số bình phương khả tổng !1 2 2 l2 = {x = {xn }n≥1 : kxk2 = ∑ |xn| < ∞}. n≥1 Vì ! ∞ ∞ ∞ 1 ∑ |xnyn| ≤ 2 ∑ |xn|2 + ∑ |yn|2 n=1 n=1 n=1 nên dễ thấy, công thức ∞ hx, yi = ∑ xn yn , x, y ∈ l2 , n=1 xác định một tích vô hướng trên l2 . Mặt khác, do p kxk2 = hx, xi, x ∈ l2 nên l2 là đầy với chuẩn này và do đó l2 là một không gian Hilbert. 4
1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.2. Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức C. Hàm ρ xác định trên X gọi là một chuẩn trên X nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau: (N1 )ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0, (N2 )ρ(λ x) = |λ | ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X, (N3 )ρ (x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) , với mọi x, y ∈ X. khi ρ thõa mãn N2 và N3 còn N1 thay bởi điều kiện: (N 01 )ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X, thì ρ được gọi là nửa chuẩn trên X. Khi ρ thỏa mãn N3 còn N2 thay bởi điều kiện: (N 01 )ρ(λ x) = λ ρ(x), ∀0 ≤ λ ∈ R, ∀x ∈ X, thì ρ gọi là một sơ chuẩn trên X. Định nghĩa 1.3. Không gian vectơ X cùng với một chuẩn ρ trên nó gọi là không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn X là một không gian mêtric với khoảng cách sinh bởi chuẩn d(x, y) := ρ(x − y), (x, y ∈ X). Nếu không gian mêtric này đầy thì X gọi là không gian Banach. Chú ý: sau này ta viết kxk thay cho ρ(x) đối với x ∈ X và gọi chuẩn của vectơ x. Tính chất 1.4. Nếu X là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x 7→ kxk là liên tục đều trên X. Tính chất 1.5. Nếu X là không gian định chuẩn thì các phép toán + : X × X → X, (x, y) 7→ x + y × : K × X → X, (λ , x) 7→ λ x là liên tục. 5
Ví dụ 1.3. (Không gian Euclide n-chiều). Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn là tích n lần trường vô hướng K, Kn := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ K}. Ta xác định chuẩn k.k2 trên K bởi !1 n 2 2 kxk2 = ∑ |xi| , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn . i=1 Hiển nhiên hàm x 7→ kxk2 thỏa mãn các điều kiện tiên đề (N1 ) và (N2 ) trong định nghĩa chuẩn. Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski !1 !1 n n 2 n 2 2 2 ∑ |aibi| ≤ ∑ |ai| ∑ |bi| , i=1 i=1 i−1 suy ra hàm k.k2 thỏa mãn (N3 ). Với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Kn ta có n n 2 n n n 2 2 2 ∑ |xi + yi | ≤ ∑ |xi | + |yi | = ∑ |xi |2 + 2 ∑ |xi | |yi | + ∑ |yi |2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 1 1 n n 2 n 2 n ≤ ∑ |xi |2 + 2 ∑ |xi |2 ∑ |yi | 2 + ∑ |yi |2 i=1 i=1 i=1 ! i=1 1 1 n 2 n 2 2 = ∑ |xi | + ∑ |yi |2 . i=1 i=1 Hay kx + yk2 ≤ kxk2 + kyk2 , ∀x, y ∈ Kn . Nghĩa là hàm k.k2 thỏa mãn (N3 ). Vậy Kn là một không gian định chuẩn với chuẩn k.k2 . Không gian này gọi là không gian Euclide n-chiều. Vì max |xi | ≤ kxk2 ≤ n max |xi | 1≤i≤n 1≤i≤n nên sự hội tụ trong Kn là sự hội tụ theo tọa độ. Do K là không gian metric đầy, từ đó suy ra Kn là không gian đầy. Vậy Kn là không gian Banach. Ví dụ 1.4. (Không gian các hàm liên tục). Ký hiệu C [a, b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b]. Bởi vì mọi hàm liên tục trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định k f k = sup{| f (x)| : x ∈ [a, b] }, f ∈ C [a, b] . 6
Dễ thấy rằng hàm f 7→ k f k xác định như trên là một chuẩn trên không gian C [a, b]. Như vậy C [a, b] là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong C [a, b] đối với chuẩn này chính là sự hội tụ đều. Ta sẽ kiểm lại C [a, b] là một không gian Banach. Cho { fn } là một dãy Cauchy trong C [a, b]. Khi đó ∀ε> 0,∃n0 , ∀n, m ≥ n0 , ∀x ∈ [a, b] , | fn (x) − fm (x)| ≤ ε. (1.1) Như vậy với mỗi x ∈ C [a, b] cố định, dãy số { fn (x)}∞ n=1 là một dãy Cauchy trong K. Do K đầy nên tồn tại f (x) = lim fn (x) , ∀x ∈ C [a, b] . n→∞ Ta sẽ chỉ ra f ∈ C [a, b] và fn → f trong C [a, b]. Trong (1.1) bằng cách cố định x ∈ C [a, b] và n ≥ n0 , cho m → ∞ ta được | fn (x) − f (x0 )| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b] , ∀n ≥ n0 . (1.2) Vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho
fn (x) − fn (x0 )