Luận văn Thạc sĩ Toán học: Công thức Euler - Poincaré trong hình học lồi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong trường hợp các bài toán có cấu trúc không lồi, người ta đã chỉ ra rằng có thể xấp xỉ bởi bài toán có cấu trúc lồi. Điều đó cho thấy rằng việc hiểu biết và nghiên cứu hình học lồi là hết sức bổ ích cả trong lý luận và thực tiễn. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Công thức Euler - Poincaré trong hình học lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO CÔNG THỨC EULER - POINCARÉ TRONG HÌNH HỌC LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO CÔNG THỨC EULER - POINCARÉ TRONG HÌNH HỌC LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. HOÀNG LÊ TRƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017
iii Mục lục Mở đầu 1 Lời cảm ơn 3 Danh mục các hình vẽ 4 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Đặc trưng Euler-Poincaré 21 2.1. Hàm định giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Công thức Euler-Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Kết luận 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31
1 MỞ ĐẦU Hình học lồi là bộ môn nghiên cứu tính lồi của các hình hình học trong không gian thực, không gian vectơ và các không gian trừu tượng khác. Về mặt lý thuyết, hình học lồi là cơ sở lý luận cho nhiều ngành toán học khác nhau (chẳng hạn như Đại số, Giải tích, Lý thuyết tối ưu, . . . ..). Về mặt ứng dụng, các cấu trúc lồi của các hình hình học tồn tại nhiều trong các bài toán thực tế. Trong trường hợp các bài toán có cấu trúc không lồi, người ta đã chỉ ra rằng có thể xấp xỉ bởi bài toán có cấu trúc lồi. Điều đó cho thấy rằng việc hiểu biết và nghiên cứu hình học lồi là hết sức bổ ích cả trong lý luận và thực tiễn. Công thức Euler-Poincaré trong hình học lồi là một công thức tổ hợp và có nhiều ứng dụng trong giải các bài toán thi học sinh giỏi, trong giảng dạy hình học phẳng, hình học ba chiều và là khởi đầu cho các nghiên cứu sâu sắc hơn trong toán học hiện đại. Công thức này còn được ứng dụng lý thuyết vật lý và hóa học về mạng tinh thể. Với mục đích học tập để hiểu rõ hơn bộ môn và tập dượt nghiên cứu khoa học nhằm thu hoạch một cách có hệ thống hiểu biết về hình học lồi, chúng tôi cố gắng tiếp cận bộ môn trên cơ sở tài liệu hiện có. Do thời gian và năng lực có hạn nên chúng tôi xin được hạn chế phạm vi đề tài với tiêu đề "Công thức Euler - Poincaré trong hình học lồi". Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại khái niệm, định nghĩa, công thức Euler - Poincaré, và cách chứng minh công thức này. Đặc biệt là vận dụng công thức này trong việc tính toán các ví dụ cụ thể để cho thấy sức
2 mạnh của công thức. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về hình học lồi như tập lồi, bao lồi, đa diện và mặt để sử dụng trong chương 2. Chương 2: Đặc trưng Euler-Poincaré. Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa của hàm định giá, các đặc trưng Euler-Poincaré, từ đó đưa ra công thức Euler - Poincaré trong hình học lồi. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn này được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 5 năm 2017 Tác giả Phạm Thị Phương Thảo
3 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Lê Trường. Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu luận văn. Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt thời gian qua. Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tất cả mọi người đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
4 Danh mục các hình vẽ Hình 1.1: Một số hình ảnh đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 9 Hình 1.2: Hình vuông xác định bởi (1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 10 Hình 1.3: Lần lượt là hình có chiều Q bằng 2 và chiều bằng 3 . . . trang 12 Hình 1.4: Chóp tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. trang 17 Hình 1.5: Sơ đồ đếm các mặt của chóp tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 17 Hình 1.6: Dàn các mặt của một kim tự tháp vuông . . . . . . . . . . . . .. trang 18
5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi định nghĩa các đối tượng ứng với các mối liên hệ giữa hình học lồi và tổ hợp. Chúng ta bắt đầu vấn đề đếm các tập cỡ d sao cho các phần tử thuộc tập [n]. Những tập như thế được gọi là d-đa tập con của [n]. Với mọi tập như vậy tương ứng với một d-bộ (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ Zd sao cho 1 ≤ m1 ≤ m2 ≤ . . . ≤ md ≤ n. Nếu chúng ta bỏ qua tính nguyên của mj thì ta sẽ có một đối tượng hình học. Đối tượng hình học đó chính là nghiệm của hệ d + 1 bất phương trình tuyến tính n4d = {x ∈ Rd : 1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xd ≤ n}. Những d-đa tập con chính xác là các điểm nguyên trong n4d . Tập n4d là một khối đa diện. Tập đó được xác định bởi một số hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Khối đa diện là một lớp các đối tượng hình học mà nhiều tính chất liên quan đến lĩnh vực đếm trong tổ hợp. Đối tượng chính của luận văn là đếm số mặt của khối đa diện cho trước. Tập các mặt có dạng một tập có thứ tự, được phân loại theo chiều và việc đếm các mặt trong cùng một chiều sẽ dẫn chúng ta đến một công thức nổi tiếng đó là công thức Euler - Poincaré.
6 1.1. Tập lồi Trong tiết này, chúng ta sẽ đưa ra các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến tập lồi. Các đối tượng hình học của chúng ta sẽ được xây dựng thông qua khái niệm nửa không gian. Định nghĩa 1.1 Với các số thực a1 , . . . , an và a = (a1 , . . . , an ) 6= 0, mặt phẳng afin là tập có dạng H = = H := {x ∈ Rd : ha, xi = b}, với a ∈ Rd \ {0}, b ∈ R. Ở đây h ., . i là kí hiệu tích vô hướng trong Rd . Chúng ta gọi H là một siêu phẳng tuyến tính nếu 0 ∈ H hoặc là tương đương với b = 0. Bởi vì 0 ∈ H khi và chỉ khi b = ha, 0i = 0. Phần bù Rn \ H có hai phần rời nhau H > := {x ∈ Rn : a1 x1 + . . . + an xn > b} và H < := {x ∈ Rn : a1 x1 + . . . + an xn < b}. Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian afin mở xác định bởi H, và được kí hiệu lần lượt là H > và H < . Tương tự, tập H ≥ := {x ∈ Rn : a1 x1 + . . . + an xn ≥ b}, và H ≤ := {x ∈ Rn : a1 x1 + . . . + an xn ≤ b} được gọi là nửa không gian afin đóng xác định bởi H, và được kí hiệu lần lượt là H ≥ và H ≤ Định nghĩa 1.2 Một tập hợp P ⊆ Rn được gọi là một đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian afin đóng. Lưu ý rằng đa diện là một tập đóng trong Rn theo tô pô thông thường nhưng có thể không là tập bị chặn. Ví dụ một nửa không gian afin đóng là đa diện không không bị chặn. Chúng ta nhận xét tầm thường rằng, tất cả không gian con afin, bao gồm Rd và ∅ là đa diện. Chúng ta gọi một đa diện P là thực sự nếu nó không là không gian afin.
7 Định nghĩa 1.3 Một tập lồi S trong Rn là một tập trong Rn sao cho với mọi x1 , x2 ∈ S và λ ∈ [0, 1], ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ S. Ví dụ 1.1 i) Trong R2 , các hình đa lồi, hình tròn, hình elip là các tập lồi. Trong R3 thì khối đa diện, hình cầu là các tập lồi. ii) Hình cầu B = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} là tập lồi. Thật vậy, với mọi x, y ∈ B và λ ∈ [0, 1], ta có k(1 − λ)x + λyk ≤ k(1 − λ)xk + kλyk = (1 − λ)kxk + λkyk ≤ (1 − λ) + λ = 1. Do đó (1 − λ)x + λy ∈ B. iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak ≤ r} là một tập lồi (ở đây a ∈ Rn và r ≥ 0). Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(a, r) và mọi λ ∈ [0, 1] ta có kλx + (1 − λ)y − ak = kλ(x − a) + (1 − λ)(y − a)k ≤ λkx − ak + (1 − λ)ky − ak ≤ λr + (1 − λ)r = r. Do đó (1 − λ)x + λy ∈ B(a, r). iv) Siêu phẳng afin H := {x ∈ Rd : ha, xi = b} là tập lồi. Thật vậy, cho x, y ∈ H, Khi đó ta có ha, xi = b và ha, yi = b Do đó với moi 0 ≤ λ ≤ 1, ta có ha, λx + (1 − λ)yi = λha, xi + (1 − λ)ha, yi = λb + (1 − λ)b = b. Vậy λx + (1 − λ)y ∈ H và H là tập lồi. v) Tương tự iv), chúng ta có H > = {x ∈ Rn : ha, xi > b} và
8 H < = {x ∈ Rn : ha, xi < b} là tập lồi. Bổ đề 1.1 Giao hữu hạn các tập lồi là tập lồi. n T Chứng minh. Giả sử P1 , . . . , Pn là các tập lồi. Cho x, y ∈ Pi . Khi đó i=1 x, y ∈ Pi với mọi i = 1, . . . , n. Do đó ta có λx + (1 − λ)y ∈ Pi n T n T với mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Từ đó, λx + (1 − λ)y ∈ Pi . Vậy Pi là tập lồi. i=1 i=1 Định nghĩa 1.4 Với một tập hữu hạn X = {u1 , . . . , us } ⊆ Rn , ta gọi s X s X conv(X) = { ri ui | 0 ≤ ri ∈ R, ri = 1} i=1 i=1 là bao lồi của X. Ví dụ 1.2 Bao lồi của hai điểm x1 và x2 trong R2 là đoạn thẳng. Bao lồi của ba điểm x1 , x2 , x3 không thẳng hàng trong R3 là hình tam giác. Bổ đề 1.2 Với một tập hữu hạn X ⊆ Rn , bao lồi conv(X) của X là tập lồi. Chứng minh. Giả sử X = {u1 , . . . , us }. Cho x, y ∈ conv(X). Khi đó s X s X x= ri ui và y= si u i , i=1 i=1 s P s P trong đó 0 ≤ ri ∈ R, ri = 1 và 0 ≤ si ∈ R, si = 1. Khi đó i=1 i=1 Xs Xs λx + (1 − λ)y = λ( ri ui ) + (1 − λ)( si u i ) i=1 i=1 s X = (λri + (1 − λ)si )ui . i=1
9 Mặt khác ta có s X Xs Xs (λri + (1 − λ)si ) = λ( ri ) + (1 − λ)( ri ) i=1 i=1 i=1 = λ + (1 − λ) = 1. Do đó λx + (1 − λ)y ∈ conv(X). Vậy conv(X) là tập lồi Định nghĩa 1.5 Một tập con khác rỗng P của Rn được gọi là khối đa diện nếu tồn tại một tập con hữu hạn X ⊂ Rn sao cho conv(X) = P . Chú ý rằng khối đa diện là đa diện nhưng một đa diện có thể không là khối đa diện. Ví dụ nón là đa diện nhưng không là khối đa diện. Chúng ta biết rằng P là khối đa diện khi và chỉ khi P là đa diện và P là tập bị chặn. Ví dụ 1.3 Hình lăng trụ, hình chóp, hình lập phương, kim tự tháp, . . . là các đa diện. Hình 1.1: Một số hình ảnh đa diện Định lý 1.1 Cho Q ⊆ Rd là một đa diện. Khi đó tồn tại các siêu phẳng Hi = {x ∈ Rd : hai , xi = bi }, với i ∈ [k] sao cho k \ Q= Hi≤ = {x ∈ Rd : hai , xi ≤ bi với mọi 1 ≤ i ≤ k}. (1.1) i=1
10 Từ Định lý 1.1, chúng ta có thêm một phương thức mô tả đa diện. Chúng ta gọi một nửa không gian Hj≤ là không rút gọn được nếu T ≤ Hi 6= Q. Hơn i6=j nữa, chúng ta có duy nhất một họ các nửa không gian không rút gọn được để mô tả một đa diện. Bằng cách sắp xếp pháp tuyến của các siêu mặt như các hàng của một ma trận A ∈ Rk×d và cho b := (b1 , b2 , . . . , bk ). Khi đó chúng ta có thể viết lại Q = {x ∈ Rd : Ax ≤ b} Ví dụ 1.4 Cho khối đa diện Q là bao lồi của các điểm A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 1, 1) và D = (1, 0, 1). Hình 1.2 là mô tả hình học của Q. Cho ma trận   1 1 0  −1 −1 0    −1 0 0   A= ,    0 −1 0    0 0 −1   0 0 1 cho b := (1, −1, 0, 0, 0, 1) và x := (x1 , x2 , x3 ). Khi đó, chúng ta có thể mô tả lại khối đa diện Q như sau Q = {x ∈ R3 : Ax ≤ b}. (1.2) x3 1 x2 1 1 x1 Hình 1.2: Hình vuông xác định bởi (1.2)
11 Định nghĩa 1.6 Bao afin aff(Q) của một đa diện Q ⊆ Rd là không gian con afin nhỏ nhất của Rd chứa Q. Bổ đề 1.3 Cho đa diện Q ⊆ Rd . Khi đó \ aff(Q) = {H siêu phẳng trong Rd : Q ⊆ H}. (1.3) Chứng minh. Vì H là không gian con afin và Q ⊆ H, bởi định nghĩa bao afin nên aff(Q) ⊆ H. Do đó \ aff(Q) ⊆ {H siêu phẳng trong Rd : Q ⊆ H}. Vì aff(Q) là không gian con afin chứa Q nên \ aff(Q) = {H siêu phẳng trong Rd : Q ⊆ H}. Định nghĩa 1.7 Cho không gian afin H := {x ∈ Rd : ha, xi = b} với a ∈ Rd \ {0}, b ∈ R. Khi đó không gian vectơ H~ liên kết với không gian afin H là ~ := {x ∈ Rd : ha, xi = 0} H Chiều của không gian afin H là chiều của không gian vector liên kết của H, tức là dim H = dim H.~ Nếu dim H = m ta gọi H là không gian afin chiều m hay m-phẳng. Chiều của đa diện Q là chiều của bao afin aff(Q), kí hiệu dim Q := dim aff(Q). Khi chiều Q bằng n thì ta gọi Q là n-đa diện. Nếu đa diện Q có chiều d thì ta nói rằng Q có chiều đầy đủ. Ví dụ 1.5 i) Cho dim H = 0 ta gọi H là không gian afin chiều 0 hay 0-phẳng tương ứng một điểm.
12 Cho dim H = 1 ta gọi H là không gian afin chiều 1 hay 1-phẳng tương ứng là một đường thẳng Cho dim H = 2 ta gọi H là không gian afin chiều 2 hay 2-phẳng tương ứng là một mặt phẳng Cho dim H = (n−1) ta gọi H là không gian afin chiều n−1 hay n−1-phẳng tương ứng là một siêu phẳng ii) Khi chiều của đa diện Q bằng 2 thì ta gọi Q là tam giác, khi chiều của đa diện Q bằng 3 thì ta gọi Q là tứ diện. Hình 1.3: Lần lượt là hình đa diện có chiều Q bằng 2 (tam giác) và chiều Q bằng 3 (tứ diện) iii) Hình vuông được xác định bởi ví dụ 1.4 có bao afin là {x ∈ R3 : x1 + x2 = 1} và như vậy số chiều của nó bằng 2. Cho Q là một đa diện được xác định bởi k \ Q= Hi≤ = {x ∈ Rd : ha, xi ≤ bi , với mọi 1 ≤ i ≤ k}. i=1 Khi đó phần trong của đa diện Q được định nghĩa là {x ∈ Rd : hai , xi < bi , với mọi 1 ≤ i ≤ k.} (1.4)
13 Đặt I(Q) := {1 ≤ i ≤ k : hai , xi = bi , với mọi x ∈ Q}. Khi đó phần trong tương đối của Q được định nghĩa là Q◦ := {x ∈ Q : hai , xi < bi , với mọi i ∈ / I(Q)} = aff(Q) ∩ {x ∈ Rd : hai , xi < bi , với mọi i ∈ / I(Q)}. Khi Q = Q◦ thì ta goi Q là đa diện mở tương đối. Biên của Q là ∂Q := Q \ Q◦ . Ví dụ 1.6 Cho Q là hình vuông được xác định trong ví dụ 1.4. Khi đó phần trong tương đối của Q là       −1 0 0   0   x1       0 −1 0   0    3 x ∈ R : x1 + x2 = 1,   x2 <      0 0 −1   0    x3    0 0 1 1  Định nghĩa 1.8 Không gian con tuyến tính lineal(Q) của Q là không gian con cực đại theo nghĩa bao hàm sao cho tồn tại q ∈ Q mà q + lineal(Q) ⊆ Q. Ví dụ 1.7     x1  1 −1 −1  0  x ∈ R3 : x2  ≤  −1 −1 1 0  x3 là một cạnh với không gian tuyến tính {x ∈ R3 : x1 = x3 , x2 = 0} là một đường thẳng. Nếu lineal(Q) = {0} chúng ta gọi Q nhọn hoặc không đường thẳng. Định nghĩa 1.9 Cho tập con hữu hạn X = {v1 , . . . , vs } trong Rn . Một nón đa diện C(X) trong Rn được định nghĩa là ( s ) X C(X) = pos(v1 , . . . , vs ) := λi vi : λi ≥ 0 . i=1
14 Mọi nón đa diện có biểu diễn thay thế là một tập có dạng C(X) = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0}, trong đó A là ma trận cỡ d × n. 1.2. Mặt Định nghĩa 1.10 Cho một đa diện P ⊆ Rn , b ∈ R, và một vector a ∈ Rn . Một siêu phẳng H = {x ∈ Rd : ha, xi = b} là một giá phẳng của đa diện P nếu P ∩ H 6= ∅ và (P ⊆ H ≤ hoặc P ⊆ H ≥ ). Một mặt của P là một tập có dạng P ∩ H, trong đó H là một giá phẳng của P . Nói cách khác, tập facea (P ) = {x ∈ P | hx, ai ≤ hy, ai, với mọi y ∈ P }. được gọi là một mặt của P . Bổ đề sau sẽ cho chúng ta thấy các mặt lại là các đa diện. Bổ đề 1.4 Với mỗi tập hợp X = {u1 , . . . , us } ⊆ Rn và w ∈ Rn , đặt λ = min{w · ui | 1 ≤ i ≤ s}, Xw = {ui ∈ X | w · ui = λ}. Khi đó facew (P ) = conv(Xw ), trong đó P = conv(X) và w · u := hw, ui. Chứng minh. Đầu tiên, ta chỉ ra λ = min{w · u | u ∈ P }. Cho u ∈ P . Khi đó ta có s s X X u= ri ui , với 0 ≤ ri ∈ R, ri = 1. i=1 i=1 Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với vector w thì s X s X w·u= ri (w · ui ) ≥ ri λ = λ. i=1 i=1 Do đó min{w·u | u ∈ P } ≥ λ. Mặt khác, ta có λ = min{w·ui | 1 ≤ i ≤ s}. Do đó tồn tại uj ∈ X sao cho λ = w · uj . Do X ⊂ P nên λ ≥ min{w · u | u ∈ P }. Vậy λ = min{w · u | u ∈ P }.
15 Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng Xw = {u1 , . . . , ur }. Cho u ∈ conv(Xw ). Khi đó, r X r X u= si u i , với 0 ≤ si ∈ R, si = 1. i=1 i=1 Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với vector w thì r X r X w·u= si (w · ui ) = si λ = λ. i=1 i=1 Mặt khác, u ∈ conv(Xw ) ⊂ conv(X) nên u ∈ conv(X) = P. Do đó u ∈ P và w · u = λ = min{w · v | v ∈ P }. Vì vậy w · u ≤ w · v với mọi v ∈ P . Khi đó u ∈ facew (P ). Do đó ta có conv(Xw ) ⊆ facew (P). Ngược lại, cho u ∈ facew (P ). Khi đó ta có w · u = λ. Do u ∈ P , ta có s X s X u= ri ui , với 0 ≤ ri ∈ R, ri = 1. i=1 i=1 Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với vector w thì s X λ=w·u= ri (w · ui ) i=1 Vì Xw = {u1 , . . . , ur }, ta có w · ui = λ với mọi i = 1, . . . , r và w · ui > λ với mọi i = r + 1, . . . , s. Do đó ta có s X r X s X λ= ri (w · ui ) = λ ri + ri (w · ui ). i=1 i=1 i=r+1 Pr Pr Ps s P Mặt khác i=1 ri λ = λ( i=1 ri ) = λ(1 − i=r+1 ri ) (vì ri = 1). Suy ra i=1 r X s X λ= ri λ + λ ri . i=1 i=r+1 Do đó ta có s X ri (w · ui − λ) = 0. i=r+1
16 Chú ý rằng w · ui > λ và ri ≥ 0 với mọi i = r + 1, . . . , s, nên từ đẳng thức trên chúng ta có ri = 0 với mọi i = r + 1, . . . , s. Do đó ta có r X u= ri ui ∈ conv(Xw ). i=1 Vì vậy facew (P ) = conv(Xw ). Nhận xét 1.1 Từ Bổ đề 1.4, facew (P ) là một đa diện. Ngoài ra, facew (P ) là một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng x · w = min{x · w | x ∈ P }. Vậy mặt F của P lại là một đa diện nên chúng ta có thể nói về chiều của mặt F . Tức là chiều của mặt F là chiều của đa diện F . Chúng ta coi P là một mặt và F là mặt thực sự nếu F 6= P . Chúng ta xem ∅ là một mặt. Mặt chiều 0 của P được gọi là đỉnh của P . Mặt chiều 1 của đa diện P được gọi là cạnh và mặt chiều d − 1 là siêu mặt của đa diện P . Tập các mặt của một d-đa diện P (bao gồm cả ∅) cùng với quan hệ bao hàm sẽ thiết lập một tập sắp thứ tự. Tập đó được gọi là dàn các mặt Φ(Q). Để kí hiệu quan hệ sắp thứ tự toàn phần của các mặt của một đa diện P , ta viết F G với F và G là mặt của P sao cho F ⊆ G. Trong kí hiệu này, F ≺ G có nghĩa là F là một mặt thực sự của G. Dàn các mặt Φ(Q) đựơc phân loại theo chiều và một quan hệ quan trọng trên dàn các mặt Φ(Q) là f -vector. Cụ thể chúng ta đặt fk = fk (P ) := số mặt của P có chiều k. là số mặt có chiều k của đa diện P . Khi đó f (P ) := (f0 , f1 , . . . , fd−1 ) được gọi là f -vector của đa diện P . Ví dụ 1.8 Cho hình chóp tứ giác Q = SABCD.
17 S A B D C Hình 1.4: Chóp tứ giác (SABCD) (SAB) (SBC) (SCD) (SAD) (ABCD) SA SB AB SD CD AD SC BC S A B C D Hình 1.5: Sơ đồ đếm số mặt của hình chóp tứ giác Khi đó: Số mặt của hình chóp có chiều bằng 3 gồm SABCD tức là f3 = 1. Số mặt của hình chóp có chiều bằng 2 gồm các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), (SAD), (ABCD), tức là f2 = 5.