Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những định lý kinh điển nhất của Toán học là định lý cơ bản của số học. Định lý khẳng định rằng: Mọi số nguyên dương đều phần tích được thành tích các lũy thừa của các số nguyên tố. Định lý phần tích nguyên sơ của Noether là sự mở rộng Định lý cơ bản của số học cho một lớp rộng lớn các vành Nocther. Định lý được chứng mình bởi Emany Noether vào đầu thế kỷ XX và đã trở thành nền tảng cho Đại số giao hoán và hình học đại số. Cho một vành Noether, định lý khẳng định rằng mọi iđêan đều phần tích được thành giao của một số hữu hạn iđêan nguyên sở.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM GIP THÀ THÕY ÀNH LÞ PHN TCH NGUYN SÌ NOETHER V Þ NGHA HNH HÅC LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2015
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM GIP THÀ THÕY ÀNH LÞ PHN TCH NGUYN SÌ NOETHER V Þ NGHA HNH HÅC Chuy¶n ng nh: ¤i sè v Lþ thuy¸t sè M¢ sè: 60.46.01.04 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. PHM HÒNG QUÞ THI NGUYN - 2015
LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, ng y 20 th¡ng 8 n«m 2015 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Gi¡p Thà Thõy i
LÍI CM ÌN Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh, s¥u sc tîi TS. Ph¤m Hòng Quþ, th¦y l ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o, gióp ï v ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc, quþ th¦y cæ trong khoa To¡n, c¡c b¤n håc vi¶n lîp cao håc To¡n k21b ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi, gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu t¤i tr÷íng. Qua ¥y, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi ng÷íi th¥n trong gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n kh½ch l» tæi trong suèt qu¡ tr¼nh ho n th nh khâa håc M°c dò câ nhi·u cè gng nh÷ng luªn v«n v¨n khæng tr¡nh khäi nhúng sai sât v h¤n ch¸. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa th¦y cæ v b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Xin tr¥n trång c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, ng y 20 th¡ng 8 n«m 2015 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Gi¡p Thà Thõy ii
Möc löc Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Líi c£m ìn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii MÐ U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ch÷ìng 2. V nh v mæun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. V nh v mæun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. ×îc cõa 0 trong v nh Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether v þ ngh¾a h¼nh håc cõa ph¥n t½ch nguy¶n sì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1. Ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2. Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ph¥n t½ch nguy¶n sì . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. I¶an ìn thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.1. Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa c¡c i¶an ìn thùc . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2. ç thà húu h¤n v i¶an c¤nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 iii
MÐ U Mët trong nhúng ành lþ kinh iºn nh§t cõa To¡n håc l ành lþ cì b£n cõa sè håc. ành lþ kh¯ng ành r¬ng: Måi sè nguy¶n d÷ìng ·u ph¥n t½ch ÷ñc th nh t½ch c¡c lôy thøa cõa c¡c sè nguy¶n tè. ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa Noether l sü mð rëng ành lþ cì b£n cõa sè håc cho mët lîp rëng lîn c¡c v nh Noether. ành lþ ÷ñc chùng minh bði Emmy Noether v o ¦u th¸ k XX v ¢ trð th nh n·n t£ng cho ¤i sè giao ho¡n v h¼nh håc ¤i sè. Cho mët v nh Noether, ành lþ kh¯ng ành r¬ng måi i¶an ·u ph¥n t½ch ÷ñc th nh giao cõa mët sè húu h¤n i¶an nguy¶n sì. T÷ìng ùng h¼nh håc cõa ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether l : Måi tªp ¤i sè ·u l hñp cõa húu h¤n tªp ¤i sè b§t kh£ quy. Ch½nh v¼ þ ngh¾a quan trång cõa ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether t¡c gi£ luªn v«n °t möc ti¶u t¼m hiºu nâ v þ ngh¾a h¼nh håc cõa c¡c èi t÷ñng li¶n quan. Luªn v«n ÷ñc vi¸t th nh hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa ¤i sè giao ho¡n nh÷: V nh, mæun, i¶an nguy¶n tè, àa ph÷ìng hâa, bê · Nakayama. Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n. Chóng tæi nhc l¤i kh¡i ni»m v· v nh, mæun Noether v ành lþ cì sð cõa Hilbert. Chóng tæi tr¼nh b y v· ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether v tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t. Þ ngh¾a h¼nh håc v ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an ìn thùc, i¶an c¤nh ÷ñc ÷a ra ð cuèi ch÷ìng dòng º minh håa cho ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì. 1
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong to n bë luªn v«n n y, chóng ta luæn x²t v nh l v nh giao ho¡n câ ìn và. ành ngh¾a 1.0.1. Cho R l mët v nh, mët tªp con I cõa R ÷ñc gåi l mët i¶an cõa v nh R n¸u thäa m¢n: (i) I l nhâm con cõa R vîi ph²p cëng +; (ii) Vîi måi ph¦n tû x thuëc R, måi ph¦n tû a thuëc I th¼ xa ∈ I (ax ∈ I ). ành ngh¾a 1.0.2. Cho p l mët i¶an thªt sü cõa R. Khi â p l i¶an nguy¶n tè n¸u vîi måi x, y thuëc R tho£n m¢n xy ∈ p th¼ x ∈ p ho°c y ∈ p. Ta k½ hi»u Spec(R) l tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R. V½ dö 1.0.3. Ta câ Spec(Z) = {(0), pZ| p l mët sè nguy¶n tè}. ành ngh¾a 1.0.4. Cho I l mët i¶an cõa v nh R. Khi â R/I vîi ph²p nh¥n ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: (x + I) (y + I) = xy + I; ∀x, y ∈ R l mët v nh. V nh R/I x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l v nh th÷ìng cõa R theo i¶an I . 2
ành ngh¾a 1.0.5. Mët v nh R ÷ñc gåi l mi·n nguy¶n n¸u R 6= 0 v n¸u x, y 6= 0 th¼ xy 6= 0. Tø ành ngh¾a mi·n nguy¶n ta th§y ngay r¬ng i¶an (0) cõa mët mi·n nguy¶n l mët i¶an nguy¶n tè. Têng qu¡t ta câ i·u sau: ành lþ 1.0.6. I¶an p cõa mët v nh R l i¶an nguy¶n tè khi v ch¿ khi v nh th÷ìng R/p l mët mi·n nguy¶n. ành ngh¾a 1.0.7. Mët i¶an I cõa R ÷ñc gåi l mët i¶an tèi ¤i n¸u I 6= R v nâ khæng chùa trong b§t ký mët i¶an thüc sü n o. Ta kþ hi»u Max(R) l tªp hñp t§t c£ c¡c i¶an tèi ¤i cõa R. Nhªn x²t 1.0.8. (i) Måi i¶an tèi ¤i l i¶an nguy¶n tè. (ii) N¸u R l mët tr÷íng th¼ i¶an (0) l i¶an tèi ¤i. (iii) I¶an I l tèi ¤i khi v ch¿ khi R/I l mët tr÷íng. ành ngh¾a 1.0.9. Mët v nh R câ duy nh§t mët i¶an tèi ¤i m ÷ñc gåi l v nh àa ph÷ìng. Kþ hi»u l (R, m). D÷îi ¥y l mët sè ph²p to¡n quan trång cõa i¶an. ành ngh¾a 1.0.10. Cho I v J l hai i¶an. Khi â ta ành ngh¾a: (i) Ph²p cëng c¡c i¶an, I + J = {a + b |a ∈ I, b ∈ J }. (ii) Ph²p giao c¡c i¶an, I ∩ J = {a|a ∈ I v a ∈ J}. (iii) Ph²p chia i¶an, I : J = {x| xJ ⊆ I} ⊇ I . √ (iv) Ph²p l§y c«n i¶an, I = {x| ∃n : xn ∈ I}. Nhªn x²t 1.0.11. N¸u J = (a1, ..., ak ) th¼ I : J = i=1 k (I : ai ). T V½ dö 1.0.12. X²t R = Z, I v J l hai i¶an cõa Z, I = (a), J = (b). Khi â: 3
I + J = {ax + by |x, y ∈ Z } = ×CLN (a, b) Z; I ∩ J = BCNN (a, b) Z;
.. .. n
o n o D E I : J = x
xb.a = x. ×CLN(a,b) = ×CLN(a,b) . a a √ √ I = {p |∃n : pn ∈ I } vîi p = pα1 1 ...pαk k th¼ I = p1 ...pk Z. ành ngh¾a 1.0.13. C«n cõa 0 l tªp hñp c¡c ph¦n tû lôy linh cõa R v ÷ñc k½ hi»u Nil(R). Ta câ mèi li¶n h» cõa Nil(R) vîi c¡c i¶an nguy¶n tè nh÷ sau: ành lþ 1.0.14. √ Trong v nh giao ho¡n R ta câ Nil(R) = 0 = T p. p∈SpecR ành ngh¾a 1.0.15. I¶an q cõa R ÷ñc gåi l i¶an nguy¶n sì n¸u q 6= R v vîi måi x.y thuëc q v y khæng thuëc q th¼ xn thuëc q vîi mët sè nguy¶n d÷ìng n n o â. V½ dö 1.0.16. Trong tªp sè nguy¶n Z, vîi p l mët sè nguy¶n tè th¼ pα Z l i¶an nguy¶n sì cõa Z. M»nh · 1.0.17. l i¶an nguy¶n sì cõa R khi v ch¿ khi (0) l (i) q i¶an nguy¶n sì cõa R/q. (ii) 0 l i¶an nguy¶n sì cõa R th¼ måi ÷îc cõa 0 ·u l lôy linh. (iii) N¸u q l i¶an nguy¶n sì th¼ √q l i¶an nguy¶n tè. ành lþ 1.0.18 (ành lþ tr¡nh nguy¶n tè). C¡c m»nh · sau l óng cho mët v nh giao ho¡n R. (i) Cho p1, p2, ..., pn l nhúng i¶an nguy¶n tè v a l nmët i¶an cõa R. Gi£ sû a 6⊂ pi vîi måi i = 1, 2, ..., n khi â a 6⊂ pi . S i=1 (ii) Cho an1, a2, ..., an l nhúng i¶an v p l mët i¶an nguy¶n tè cõa R. N¸u T ai ⊆p th¼ khi â tçn t¤i mët ch¿ sè i sao cho ai ⊆ p. Hìn i=1 n núa, khi T ai =p th¼ tçn t¤i ch¿ sè i sao cho ai = p. i=1 4
Chùng minh. (i) Ta chùng minh m»nh · b¬ng quy n¤p theo n. Khi n = 1 th¼ k¸t luªn l hiºn nhi¶n. Gi£ sû (i) ¢ ÷ñc chùng minh cho tr÷íng hñp n − 1, tùc a 6⊂ i6=t pi , vîi måi t = 1, 2, ..., n. Vªy tçn t¤i S nhúng ph¦n tû xt ∈ a\ i6=t pi , vîi måi t = 1, ..., n. N¸u xt ∈ / pt vîi mët S n sè t n o â, suy ra xt ∈ a\ pi v m»nh · ÷ñc chùng minh. Tr¡i l¤i, S i=1 gi£ sû xt ∈ pt , vîi måi t = 1, 2, ..., n. X²t ph¦n tû n X x= x1 x2 ...xbi ...xn i=1 n trong â x = x1 x2 ...xbi ...xn k½ hi»u cho t½ch c¡c ph¦n tû x1 , ..., xn sau P i=1 khi bä i ph¦n tû xi . Rã r ng x ∈ a. Trong khi, n¸u x ∈ pi , k²o theo x1 x2 ...xbi ...xn ∈ pi . i·u n y m¥u thu¨n vîi c¡ch chån xt v do â (i) ÷ñc chùng minh. (ii) Gi£ sû m»nh · sai, tùc l ai 6⊂ p, vîi måi i = 1, 2, ..., n. Khi â tçn t¤i nhúng ph¦n tû yi ∈ ai \p, vîi måi i = 1, 2, ..., n. °t y = y1 ...yn , ta n suy ra y = ai ⊆ p. Vªy ph£i tçn t¤i mët ch¿ sè i sao cho yi ∈ p v T i=1 n i·u n y tr¡i vîi c¡ch chån yi . B¥y gií, n¸u ai = p th¼ vîi ch¿ sè i ð T i=1 tr¶n ta câ p ⊆ ai ⊆ p. i·u n y chùng tä ai = p v ành lþ ÷ñc chùng minh. Bê · 1.0.19 (Bê · Zorn). Cho A l mët tªp kh¡c réng vîi quan h» thù tü ≤. Gi£ sû måi d¢y t«ng c¡c ph¦n tû trong A a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ a ·u câ ph¦n tû ch°n tr¶n tùc l tçn t¤i a ∈ A sao cho ai ≤ a vîi måi i ≥ 1 th¼ trong A tçn t¤i ph¦n tû tèi ¤i. H» qu£ 1.0.20. Cho R l mët v nh giao ho¡n. Khi â R luæn câ i¶an tèi ¤i. 5
Chùng minh. X²t A l tªp t§t c£ c¡c i¶an thüc sü cõa R, khi â A kh¡c réng v¼ (0) 6= R l mët i¶an thüc sü. X²t quan h» bao h m tr¶n A (l mët quan h» thù tü). X²t d¢y t«ng c¡c i¶an cõa v nh: I1 ⊆ I2 ⊆ ... ⊆ In ⊆ ... ⊆ I ∞ Ta ành ngh¾a: I = In l mët i¶an v RI ⊆ I . Thªt vªy, v¼ r thuëc S n=1 R v a thuëc I n¶n tçn t¤i sè m sao cho a thuëc Im do â ra ∈ Im ⊆ I . Ta câ A v quan h» thù tü thäa m¢n bê · Zorn 1.0.19 n¶n tçn t¤i i¶an tèi ¤i. ành ngh¾a 1.0.21. Cho S l tªp con cõa v nh giao ho¡n R, khi â n¸u hai ph¦n tû s, t b§t ký thuëc S m t½ch cõa chóng st công thuëc S th¼ S ÷ñc gåi l tªp âng nh¥n. Ta quy ÷îc 1 ∈ S . V½ dö 1.0.22. (i) Z∗ = Z\{0} l mët tªp âng nh¥n. (ii) a ∈ R l mët ph¦n tû cõa v nh R. Khi â S = 1, a, a2 , ..., an , ... l mët tªp âng nh¥n. (iii) X²t p l mët i¶an nguy¶n tè trong R. Khi â S = R \ p l mët tªp âng nh¥n. ành ngh¾a 1.0.23. X²t t½ch · c¡c: R × S = {(r, s) |r ∈ R, s ∈ S } X²t quan h» tr¶n R × S nh÷ sau: (r1 , s1 ) (r2 , s2 ). N¸u tçn t¤i ph¦n tû s ∈ S sao cho s (r1 s2 − r2 s1 ) = 0 Ta câ thº kiºm tra l mët quan h» t÷ìng ÷ìng. Ta ành ngh¾a S −1 R = R × S/∼. Lîp t÷ìng ÷ìng cõa ph¦n tû (r, s) ÷ñc k½ hi»u l r s vîi ph²p to¡n: r r0 rs0 + r0 s + 0= s s ss0 6
r r0 rr0 = 0 s s0 ss S −1 R l mët v nh vîi hai ph²p to¡n ð tr¶n v ÷ñc gåi l v nh àa ph÷ìng hâa cõa R theo tªp âng nh¥n S. Nhªn x²t 1.0.24. (i) Ta câ çng c§u ch½nh tc: ψ : R → S −1 R r r 7→ 1 N¸u s ∈ S th¼ s trð th nh ìn và cõa v nh S −1 R. (ii) N¸u 0 ∈ S th¼ S −1 R = 0. (iii) N¸u p ∈ Spec(R) v S = R \ p th¼ Rp = S −1 R l mët v nh àa ph÷ìng vîi i¶an tèi ¤i pRp. Ta câ Spec(Rp ) = {qRp |q ∈ Spec(R), q ⊆ p } . ành ngh¾a 1.0.25. R l v nh giao ho¡n. M l R-mæun (tr¡i) n¸u M l mët nhâm Abel vîi ph²p cëng v câ t¡c ëng nh¥n tø R l¶n M nh÷ sau: R × M → M cho t÷ìng ùng (r, x) 7→ rx vîi ∀x, y ∈ M v ∀r, s ∈ S thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) r(x + y) = rx + ry . (ii) (r + s)x = rx + sx. (iii) (rs)x = r(sx). (iv) 1x = x. V½ dö 1.0.26. (i) R l v nh, R l R-mæun. (ii) R l mët v nh, I l mët i¶an khi â I l R-mæun v v nh th÷ìng R/ l mët R-mæun. I 7
ành ngh¾a 1.0.27. (i) Ta nâi h» ph¦n tû {ai }i∈I l mët h» sinh cõa M n¸u vîi måi x thuëc M ta câ x = ri ai vîi h¦u h¸t ri = 0 trø P i∈I mët tªp húu h¤n. (ii) Ta nâi M l mët R-mæun húu h¤n sinh n¸u nâ câ h» sinh húu h¤n M = ha1 , a2 , ..., an i . ành lþ 1.0.28 (ành lþ Cayley-Hamilton). Cho M l mët R-mæun húu h¤n sinh v I l mët i¶an cõa R. Ph¦n tû x ∈ R thäa m¢n t½nh ch§t xM ⊆ IM th¼ ∃bi ∈ I i sao cho: (xk + b1 xk−1 + ... + bn )M = 0. Chùng minh. V¼ M l húu h¤n sinh, gi£ sû M = R hm1, m2, ..., mk i. M xM ⊆ IM n¶n ta câ xmi ∈ IM, ∀i = 1, k . Tø â suy ra tçn t¤i (aij ) sao cho: k aij mi ; vîi aij ∈ I. X xmij = j=1 °t A = [aij ] l ma trªn vuæng câ h» sè trong I . Ta câ: (a11 − x) m1 + a12 m2 + .... + a1k mk = 0     a21 m1 + (a22 − x) m2 + .... + a2k mk = 0   ................ ak1 m1 + ak2 m2 + .... + (akk − x) mk = 0.  Hay   m1 (A − xIk )  ...  = 0. mk Ta câ ma trªn phö ¤i sè C cõa (A − xIk ) thäa m¢n   m1 C [A − xIk ]  ...  = 0. mk 8
M  m1 det (A − xIk ) Ik  ...  = 0. mk N¶n det (A − xIk ) mi = 0 vîi måi i suy ra det (A − xIk ) M = 0. Hay det (xIk − A) M = 0. Khai triºn ành thùc ta câ:   x − a11 . . . −a1k .. ... .. k k−1 + ... + bk−1 x + b0 ; bi ∈ I i . det  . .  = x + bx   −ak1 · · · x − akk Tø ¥y ta câ i·u ph£i chùng minh. H» qu£ 1.0.29 (Bê · Nakayama). Cho (R, m) l mët v nh àa ph÷ìng v M l mët R-mæun húu h¤n sinh. N¸u mM = M th¼ M = 0. Chùng minh. Ta gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng M 6= 0. Gi£ sû L = {g1, ..., gn} l tªp sinh nhä nh§t (vîi n ph¦n tû) cõa M . Theo ành lþ Cayley-Hamilton 1.0.28 s³ tçn t¤i a1 , ..., an ∈ I sao cho n ai gi . Do â P g1 = i=1 (1 − a1 )g1 = a2 g2 + ... + an gn . Nh÷ng a1 ∈ I ⊆ Jac(R) v (R, m) l v nh àa ph÷ìng n¶n (1 − a1 ) l n ìn và cõa R, vîi u l ph¦n tû nghàch £o. Do â, g1 = uai gi . Theo P i=2 â M ÷ñc sinh bði {g2 , ..., gn } v nâ l tªp con cõa L. i·u n y tr¡i vîi gi£ thi¸t n¶n M = 0. Cuèi cõa ch÷ìng n y, chóng ta nhc ¸n t½nh ch§t ph¯ng cõa àa ph÷ìng hâa. Vîi méi çng c§u R-mæun f : M → N c£m sinh mët çng c§u S −1 R-mæun fS : S −1 M → S −1 N , x¡c ành bði: m f (m) f = . s s Ta câ ành lþ sau: 9
ành lþ 1.0.30. Cho S l tªp âng nh¥n cõa R n¸u: f g 0 → M 0 → M → M 00 → 0 l mët d¢y khîp ngn c¡c R-mæun th¼ fS gS 0 → S −1 M 0 → S −1 M → S −1 M 00 → 0 công l mët d¢y khîp ngn c¡c S −1R-mæun. 10
Ch÷ìng 2 V nh v mæun Noether Trong ch÷ìng n y ta luæn gi£ sû R l mët v nh giao ho¡n câ ìn và v M l mët R-mæun. 2.1. V nh v mæun Noether ành ngh¾a 2.1.1. Mët R-mæun M ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n t«ng n¸u måi d¥y chuy·n M0 ⊆ M1 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... c¡c mæun con cõa M ·u døng. Tùc l tçn t¤i n0 sao cho Mn0 = Mn0 +1 = ... ành lþ 2.1.2. Cho R l v nh giao ho¡n v M l mët R-mæun. Khi â c¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng: (i) M thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n t«ng. (ii) Måi mæun con N cõa M ·u húu h¤n sinh. (iii) Måi tªp hñp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M ·u câ ph¦n tû tèi ¤i. Chùng minh. (i) ⇒ (iii); S l mët tªp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M . Gi£ sû S khæng câ ph¦n tû tèi ¤i (theo quan h» bao h m). V¼ S 6= ∅ n¶n M0 ∈ S , M0 khæng l tèi ¤i trong S n¶n tçn t¤i M1 ⊇ M0 , vîi M1 ∈ S . V¼ M1 khæng l tèi ¤i trong S n¶n ∃M2 ∈ S v M2 ⊇ M1 .... cù 11
ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta ÷ñc mët chuéi t«ng khæng døng c¡c mæun con cõa M : M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ...(væ lþ). (iii) ⇒ (ii); Gi£ sû N l mæun con cõa M v N = (x1 , x2 , ...xn , ...), N khæng húu h¤n sinh. Khi â, ta câ hå c¡c mæun con húu h¤n sinh (x1 ) ⊆ (x1 , x2 ) ⊆ ... ⊆ (x1 , x2 , ..., xn ) ⊆ ... khæng câ ph¦n tû tèi ¤i (væ lþ). (ii) ⇒ (i); X²t mët d¥y chuy·n t«ng c¡c mæun con cõa M: M0 ⊆ M1 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... °t M ∗ = Mi , v¼ M ∗ l mët mæun húu h¤n sinh n¶n M ∗ = S i≥0 (x1 , x2 , ...xt ). Ta ph£i chùng minh tçn t¤i n0 sao cho Mn0 = Mn0 +1 = .... Thªt vªy, ∀i = 1, t ta câ xi ∈ Mni vîi ni n o â. Chån n0 = max ni , i = 1, t . Tø â ta câ xi ∈ Mn0 , ∀i = 1, t n¶n M ∗ = Mn0 do â nâ thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n. ành ngh¾a 2.1.3. Mët R-mæun M ÷ñc gåi l mæun Noether n¸u nâ thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng ð ành lþ 2.1.2. Mët v nh R ÷ñc gåi l v nh Noether n¸u nâ l mët R-mæun Noether. V½ dö 2.1.4. Mët tr÷íng, mët v nh ch½nh l mët v nh Noether. M»nh · 2.1.5. X²t d¢y khîp ngn c¡c R-mæun: α β 0 → M1 → M → M2 → 0 Khi â, M l Noether khi v ch¿ khi M1 v M2 l Noether. Chùng minh. Ta coi M1 l mæun con cõa M v M2 = M/M1. (⇒ ); M l Noether suy ra M1 l Noether (n¸u N l mæun con cõa M1 th¼ N công l mæun con cõa M .) 12