Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giả thuyết Hayman và vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình P-Adic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giả thuyết này thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả và đã có nhiều công trình khoa học được công bố theo hướng nghiên cứu này trong các trường hợp khác nhau: hàm phân hình phức, hàm phân hình p-adic, đa thức sai phân,.... Các kết quả nghiên cứu giả thuyết Hayman theo hướng này tập trung lại thành một vấn đề chung được gọi là “Sự lựa chọn Hayman”.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giả thuyết Hayman và vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình P-Adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THỊ THƯƠNG GIẢ THUYẾT HAYMAN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO CÁC HÀM PHÂN HÌNH P -ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THỊ THƯƠNG GIẢ THUYẾT HAYMAN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO CÁC HÀM PHÂN HÌNH P -ADIC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Giả thuyết Hayman và vấn đề duy nhất cho hàm phân hình p-adic" là sự nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Hà Trần Phương. Các kết quả chính trong luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác ở Việt Nam. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thương i
Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Hà Trần Phương, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Bản luận văn không thể tránh những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thương ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt 1 Mở đầu 2 Chương 1. Giả thuyết Hayman p-adic 5 1.1. Phân bố giá trị cho hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Giả thuyết Hayman cho các hàm phân hình p-adic . . . . . . . . 13 Chương 2. Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình p-adic 34 2.1. Đa thức duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2. Các hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ . . . . . . . . . . 40 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 49 iii
Một số ký hiệu viết tắt Cp Không gian các số phức p-adic. |.| Giá trị tuyệt đối |.|p trên Cp . A(Cp ) Tập hợp các hàm nguyên trong Cp . M(Cp ) Tập hợp các hàm phân hình trong Cp , tức là, trường phân số của A(Cp ). Cp (z) Tập các hàm hữu tỷ trên Cp . Khi đó Cp (z) ⊂ M(Cp ). Γ(a, r1 , r2 ) Hình vành khăn {z ∈ Cp : r1 < |z − a| < r2 }. Cp (a; r) Đĩa mở {z ∈ Cp : |z − a| < r}. Cp ha; ri Đường tròn {z ∈ Cp : |z − a| = r}. Cp [a; r] Đĩa đóng {z ∈ Cp : |z − a| ≤ r}. A(Cp (a; r)) Tập hợp các hàm giải tích trong đĩa Cp (a; r), ∞ an (z − a)n P tức là, Cp - đại số của chuỗi lũy thừa n=0 với an ∈ Cp hội tụ trong Cp (a; r). M(Cp (a; r)) Tập hợp các hàm phân hình trong đĩa Cp (a; r), tức là, trường phân số của A(Cp (a; r)). Ab (Cp (a; r)) Cp (a; r)-đại số con của A(Cp (a; r)) chứa biên của hàm giải tích f ∈ A(Cp (a; r)), thỏa mãn sup |an | rn < +∞. n∈N Mb (Cp (a; r)) Trường phân số của Ab (Cp (a; r)). ∞ an z n (an ∈ Cp ) P Ar (Cp ) Vành của chuỗi lũy thừa f (z) = n=0 thỏa mãn điều kiện lim |an |rn = 0. n→∞ 1
A(r (Cp ) Tập các chuỗi lũy thừa của z mà bán kính hội tụ lớn hơn hoặc bằng r. Mf (Cp ) Tập hợp các hàm phân hình nhỏ đối với f trong Cp . Mf (Cp (0; R)) Tập hợp các hàm phân hình nhỏ đối với f trong Cp (0; R). C bp Mở rộng đại số của Cp . n o b p (0; R) C Đĩa mở z ∈ Cp : |z| < R chứa trong C b b p. log Logarit thực cơ số e. Z(r, f ) Hàm đếm tại các không điểm của f trong Cp (0; R) (với 0 < r < R). N (r, f ) Hàm đếm tại các cực điểm (hàm đếm không kể bội) của f trong Cp (0; R) (với 0 < r < R). m(r, f ) Hàm bù (hàm xấp xỉ) của f . T (r, f ) Hàm đặc trưng của f . v(z) = − log |z|. Ar (Cp ) = A(∞ (Cp ). Au (Cp (a; r)) = A(Cp (a; r))\Ab (Cp (a; r)). Mu (Cp (a; r)) = M(Cp (a; r))\Mb (Cp (a; r)). Các phần tử trong M(Cp )\Cp (z) được gọi là hàm siêu việt và có vô hạn không điểm hoặc cực điểm. (Với a ∈ Cp , r > 0 và r1 , r2 thỏa mãn 0 < r1 < r2 ) 2
Mở đầu Năm 1967, W. K. Hayman đã đặt ra một giả thuyết khá nổi tiếng mà ta thường gọi là giả thuyết Hayman: Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn điều kiện f n (z)f 0 (z) 6= 1 với mọi z ∈ C, trong đó n là một số nguyên dương nào đó thì f phải là hàm hằng. Và ông cũng đặt ra câu hỏi: nếu f là hàm phân hình siêu việt, thì f 0 + af m có vô số không điểm mà không là không điểm của f với mỗi số nguyên m ≥ 3 và a ∈ C\ {0}? Giả thuyết này thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả và đã có nhiều công trình khoa học được công bố theo hướng nghiên cứu này trong các trường hợp khác nhau: hàm phân hình phức, hàm phân hình p-adic, đa thức sai phân,.... Các kết quả nghiên cứu giả thuyết Hayman theo hướng này tập trung lại thành một vấn đề chung được gọi là “Sự lựa chọn Hayman”. Từ năm 2008, trong công trình [19], nhà toán học J. Ojeda đã nghiên cứu giả thuyết Hayman trong trường hợp hàm phân hình siêu việt p-adic. Ý tưởng chính trong bài báo này của ông là trả lời câu hỏi của Hayman bằng cách xét hàm f 0 + T f m với T ∈ Cp (z) và ông đã chứng minh câu hỏi của Hayman đúng khi m ≥ 5 và m = 1. Ngoài ra, trong một số công trình gần đây J. Ojeda đã công bố một số kết quả về vấn đề duy nhất cho hàm phân hình p-adic. Ông đã chứng minh: với f , g là các hàm nguyên trên Cp , Giả sử a ∈ Cp \ {0} và 3
n, k ∈ N, k ≥ 2, α là hàm nguyên nhỏ đối với f và g . Nếu f n (f − a)k f 0 và g n (g − a)k g 0 chung nhau giá trị α kể cả bội, với n ≥ max {6 − k, k + 1} thì f = g . Nếu α ∈ Cp ∗ và n ≥ max {5 − k, k + 1} thì f = g . Và : với f , g là hai hàm giải tích không giới nội trong một đĩa mở của Cp , α là hàm nhỏ giải tích trong cùng đĩa. Nếu f n (f − a)2 f 0 và g n (g − a)2 g 0 chung nhau giá trị α kể cả bội, với n ≥ 4 thì f = g . Nếu f n (f − a)f 0 và g n (g − a)g 0 chung nhau giá trị α kể cả bội, với n ≥ 5 thì f = g . Mục đích của luận văn "Giả thuyết Hayman và vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình p-adic" trình bày lại một số kết quả nghiên cứu về giả thuyết Hayman p-adic và vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình p-adic, được J.Ojeda công bố trong các tài liệu [19] và [20]. Luận văn được bố cục thành 2 chương cùng phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Giả thuyết Hayman p-adic. Trình bày những kiến thức cơ bản về phân bố giá trị cho hàm phân hình p-adic, giả thuyết Hayman cho các hàm phân hình p-adic - một trong những kết quả nghiên cứu của J.Ojeda từ năm 2008. Chương 2. Vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình p-adic. Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số nghiên cứu của J.Ojeda và một số tác giả khác trong thời gian gần đây về vấn đề đa thức xác định duy nhất cho các hàm phân hình và các hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ. 4
Chương 1 Giả thuyết Hayman p-adic 1.1. Phân bố giá trị cho hàm phân hình p-adic Các hàm đặc trưng Nevanlinna Trong phần này ta luôn quy ước các số thực ρ0 , r, ρ thỏa mãn 0 < ρ0 < r < ρ ≤ ∞. ∞ an z n ∈ Aρ (Cp ), ta định nghĩa số hạng lớn P Định nghĩa 1.1. Giả sử f (z) = n=0 n nhất bởi µ(r, f ) = max |an |r n≥0 và chỉ số trung tâm là ν(r, f ) = max{n : |an | rn = µ(r, f )}. n≥0 Với r = 0, ta định nghĩa µ(0, f ) = lim+ µ(r, f ); ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ). r→0 r→0 Mệnh đề 1.2. Chỉ số trung tâm ν(r, f ) tăng theo r khi r → ρ và thỏa mãn Zr ν(t, f ) − ν(0, f ) log µ(r, f ) = log |aν(0,f ) | + dt + ν(0, f ) log r. t 0 5
Cho f ∈ A(ρ (Cp ), biểu diễn f dưới dạng: ∞ X f (z) = an z n (am 6= 0, m ≥ 0). n=m ∗ 1 Hệ số am còn được ký hiệu là f (0). Với a ∈ Cp tùy ý, ta ký hiệu n r, f −a 1 là số không điểm kể cả bội của f −a trong miền {|z| ≤ r}. Đặc biệt n 0, = f m. Cố định một số thực ρ0 : 0 < ρ0 < ρ. Ký hiệu hàm đếm của f tại a là: r 1 Z n t, 1 f −a N r, = dt. f −a t ρ0 1 1 Zr n t, − n 0, f −a f −a 1 Và N (r, f = a) = dt + n 0, log r. t f −a ρ0 Mệnh đề 1.2 kéo theo công thức Jensen N (r, f = 0) = log µ(r, f ) − log |am | do đó 1 N r, = N (r, f = 0) − N (ρ0 , f = 0) = log µ(r, f ) − log µ(ρ0 , f ). f Ta cũng ký hiệu số các không điểm phân biệt của f − a trong Cp [0; r] là 1 n r, và hàm đếm không kể bội f −a r 1 Z n t, 1 f −a N r, = dt. f −a t ρ0 Định nghĩa 1.3. Giả sử f ∈ M(ρ (Cp ) là một hàm phân hình, khi đó tồn tại hai hàm f0 , f1 ∈ Ar (Cp ) sao cho f1 , f0 không có nhân tử chung trong 6
f1 Ar (Cp ) và f = . Với a ∈ Cp ∪ {∞}, ta định nghĩa hàm đếm số không điểm f0 1 n r, của f tại a bởi f −a  1  n(r, f ) = n r, : a = ∞,   1 f0 n r, = 1 f −a : a 6= ∞.  n r,   f1 − af0 1 Định nghĩa hàm đếm N r, của f tại a bởi f −a  1  N (r, f ) = N r, : a = ∞,   1 f 0 N r, = 1 f −a : a 6= ∞.  N r,   f1 − af0 Ký hiệu   N (r, f ) = N (r, f0 = 0) : a = ∞, N (r, f = a) =  N (r, f − af = 0) : a 6= ∞. 1 0 1 1 Tương tự, ta định nghĩa n(r, f ), N (r, f ), n r, và N r, lần f −a f −a lượt là số cực điểm phân biệt của f , hàm đếm không kể bội của f , số không điểm phân biệt của f tại a, hàm đếm không kể bội của f tại a trong {|z| ≤ r}. Định nghĩa 1.4. Hàm bù (hay còn gọi là hàm xấp xỉ ) của hàm f là hàm được cho bởi công thức m(r, f ) = log+ µ(r, f ) = max {0, log µ(r, f )} . Đặc biệt 1 1 1 m r, = log+ µ r, = log+ = max {0, − log µ(r, f )} . f f µ (r, f ) 7
Định nghĩa 1.5. Hàm đặc trưng của hàm f là hàm được cho bởi công thức T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) (ρ0 < r < ∞). Khi đó, công thức Jensen được viết lại là 1 T r, = T (r, f ) − log µ(ρ0 , f ). (1.1) f Ngoài ra, cho α ∈ Cp (0; R) và h ∈ M(Cp (0; R)). Nếu h có một không điểm cấp n tại α, ta đặt ωα (h) = n, nếu h có một cực điểm cấp n tại α, ta đặt ωα (h) = −n, và cuối cùng, nếu h(α) 6= 0 và ∞, ta đặt ωα (h) = 0. Cho f ∈ M(Cp (0; R)) thỏa mãn 0 không là không điểm cũng không là cực điểm của f . Cho r ∈ (0, R). Khi đó, ta cũng ký hiệu Z(r, f ) là hàm đếm tại các không điểm của f trong Cp (0; R) X Z(r, f ) = ωα (f )(log r − log |α|), ωα (f )>0 |α|≤r và tương tự ta đặt X Z(r, f ) = (log r − log |α|). ωα (f )>0 |α|≤r Ta cũng sẽ xét hàm đếm tại các cực điểm của f trong Cp (0; R) 1 1 N (r, f ) = Z r, và N (r, f ) = Z r, . f f Khi đó, hàm Nevanlinna T (r, f ) được xác định bởi T (r, f ) = max {Z(r, f ) + log |f (0)| ; N (r, f )} . Cho f ∈ M(Cp (0; R)) thỏa mãn 0 không là không điểm và không là cực điểm của f 0 và cho S là tập con hữu hạn của Cp . Ta kí hiệu Z0S (r, f 0 ) là hàm 8
đếm tại các không điểm của f 0 trong Cp [0; r] thỏa mãn các không điểm đó không là không điểm của f − s bất kì với s ∈ S . Khi đó X Z0S (r, f 0 ) = ωα (f 0 )(log r − log |α|). s∈S,ωα (f −s)=0, |α|≤r Một số tính chất Mệnh đề 1.6. Giả sử fi ∈ M(ρ (Cp ) (i = 1, 2, ..., k). Khi đó với mỗi r > 0, ta có k k k k P P Q P N (r, fi ) ≤ N (r, fi ); N r, fi ≤ N (r, fi ); i=1 i=1 i=1 i=1 Pk k Q k P m(r, fi ) ≤ max m(r, fi ); m(r, fi ) ≤ m(r, fi ). i=1 i∈{1,...,k} i=1 i=1 A. Boutabaa và A. Escassut trong [5], A. Escassut trong [7], P. C. Hu và C. C. Yang trong [16] cho ta một số kết quả liên quan tới lý thuyết Nevanlinna dưới đây. Bổ đề 1.7. Nếu f ∈ A(Cp )\Cp [z] tương ứng nếu f ∈ Au (Cp (0; R)) thì f có vô số không điểm. Bổ đề 1.8. Cho f ∈ A(Cp ) tương ứng cho f ∈ A(Cp (0; R)) thỏa mãn f (0) 6= 0 và cho r > 0 tương ứng r ∈ (0, R) . Với b ∈ Cp bất kì, ta có Z(r, f − b) = Z(r, f ) + O(1). Bổ đề 1.9. Cho f ∈ A(Cp ) tương ứng cho f ∈ A(Cp (0; R)) thỏa mãn f (0) 6= 0 và cho r > 0 tương ứng r ∈ (0, R) . Hàm T (r, f ) và Z(r, f ) là tương đương sai khác một hằng số cộng. 9
Mệnh đề 1.10. Cho fi ∈ M(Cp ) tương ứng cho fi ∈ M(Cp (0; R)) thỏa mãn fi (0) 6= 0, ∞ với i = 1, . . . , k . Khi đó, cho r > 0 tương ứng r ∈ (0, R) , ta có k ! k Y X Z r, fi ≤ Z (r, fi ), i=1 i=1 k ! k k ! k X X Y X T r, fi ≤ T (r, fi ), T r, fi ≤ T (r, fi ), i=1 i=1 i=1 i=1 và T (r, f ) là hàm tăng của r. Mệnh đề 1.11. Cho f ∈ M(Cp (0; R)) thỏa mãn f (0) 6= 0, ∞. Khi đó, f ∈ Mb (Cp (0; R)) khi và chỉ khi T (r, f ) bị chặn trong (0, R). Hai định lý cơ bản Cố định hai số thực ρ và ρ0 sao cho 0 < ρ0 < ρ < ∞. Trước tiên, ta tìm hiểu Định lý cơ bản thứ nhất, định lý này tương tự với trường hợp phức. Định lý 1.12 (Định lý cơ bản thứ nhất). Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên Cp (0; ρ) thì với mọi a ∈ Cp ta có 1 1 m r, + N r, = T (r, f ) + O(1). f −a f −a Mệnh đề 1.13 (Bổ đề đạo hàm logarit). Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cp (0; ρ). Khi đó với một số nguyên k > 0, với mọi r < ρ ta có ! (k) f 1 µ r, ≤ k, f r đặc biệt ! (k) f 1 m r, ≤ klog+ . f r 10
Với một hàm phân hình khác hằng f trong Cp (0; ρ), ta định nghĩa giá trị phân nhánh bởi 1 NRam (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, f 0 ) + N r, 0 . f Tiếp theo ta xem xét Định lý cơ bản thứ hai trong trường hợp p-adic. Định lý 1.14 (Định lý cơ bản thứ hai). Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cp (0; ρ) và a1 , ..., aq ∈ Cp là các số phân biệt. Đặt δ = min {1, |ai − aj |} , A = max {1, |ai |} . i6=j i Khi đó với 0 < r < ρ, q X 1 (q − 1) T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N r, − NRam (r, f ) − log r + Sf j=1 f − a j q X 1 ≤ N (r, f ) + N r, − log r + Sf , j=1 f − a j q A log µ (ρ0 , f − aj ) − log µ (ρ0 , f 0 ) + (q − 1) log P trong đó Sf = . j=1 δ Nhận xét 1.15. Do lượng Sf trong Định lý cơ bản thứ hai là một đại lượng bị chặn nên Sf lim = 0. r→∞ T (r, f ) Ta ký hiệu X q 1 1 1 n r, 0 ; a1 , a2 , ..., aq =n r, 0 + n r, f f j=1 f − aj q X 1 − n r, , (1.2) j=1 f − a j khi đó 11
1 1 0 ≤ n r, 0 ; a1 , a2 , ..., aq ≤ n r, 0 . f f Định nghĩa hàm đếm 1 Zr n t, 0 ; a1 , a2 , ..., aq 1 f N r, 0 ; a1 , a2 , ..., aq = dt. f t ρ0 Khi đó, từ công thức (1.2), bất đẳng thức thứ hai trong Định lý 1.14 có thể viết lại mạnh hơn như sau: q X 1 1 (q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N r, − N r, 0 ; a1 , a2 , ..., aq j=1 f − aj f − log r + Sf . Một số dạng của Định lý cơ bản thứ hai Định lý sau đây là một dạng Định lý chính thứ hai cho hàm phân hình trên Cp . Định lý 1.16 ([2], [9]). Cho β1 , ..., βn ∈ Cp với n ≥ 2 và cho f ∈ M(Cp ) tương ứng f ∈ M(Cp (0; R)) . Giả sử S = {β1 , ..., βn }. Giả thiết rằng không hàm nào trong các hàm f, f 0 và f − βj bằng 0 hoặc ∞ tại gốc với 1 ≤ j ≤ n. Khi đó với mọi r > 0 tương ứng với mọi r ∈ (0, R) ta có n X (n − 1)T (r, f ) ≤ Z (r, f − βj ) + N (r, f ) − Z0S (r, f 0 ) − log r + O(1). j=1 Tiếp theo, ta nhắc lại định nghĩa hàm nhỏ đối với hàm phân hình. Định nghĩa 1.17. Cho f ∈ M(Cp ) tương ứng cho f ∈ M(Cp (0; R) thỏa mãn f (0) 6= 0, ∞. Một hàm α ∈ M(Cp ) tương ứng cho α ∈ M(Cp (0; R) 12
không có không điểm và cực điểm tại 0 được gọi là hàm nhỏ đối với f nếu nó T (r, α) T (r, α) thỏa mãn lim = 0 tương ứng lim− =0 . r→+∞ T (r, f ) r→R T (r, f ) Nếu 0 là một không điểm hoặc cực điểm của f hoặc α, ta có thể thay đổi biến sao cho gốc mới không là không điểm hoặc cực điểm của f và α. Như vậy ta có thể thấy rằng quan hệ sau cùng không thực sự phụ thuộc vào gốc. Định lý 1.18 ([17]). Cho f ∈ A(Cp ) tương ứng cho f ∈ A(Cp (0; R)) khác hàm hằng thỏa mãn f (0) 6= 0 và cho u1 , u2 ∈ A(Cp ) tương ứng cho u1 , u2 ∈ A(Cp (0; R)) là hàm nhỏ đối với f và không có không điểm tại 0. Khi đó T (r, f ) ≤ Z(r, f − u1 ) + Z(r, f − u2 ) + S(r), trong đó S(r) = 2T (r, u1 ) + 3T (r, u2 ) − log r + O(1). Một định lý Nevanlinna đặc biệt được biết đến từ Định lý Nevanlinna trên ba hàm nhỏ ([21]): Bổ đề 1.19. Cho f ∈ M(Cp )\{0} tương ứng f ∈ M(Cp (0; R)) và cho α ∈ Mf (Cp ) tương ứng α ∈ Mf (Cp (0; R)) không có không điểm và cực điểm tại 0. Khi đó, với r > 0 tương ứng r ∈ (0, R) , ta có T (r, f ) ≤ Z(r, f )+ Z(r, f − α) + N (r, f ) + Sf (r). 1.2. Giả thuyết Hayman cho các hàm phân hình p-adic Trong phần này, ta nghiên cứu giả thuyết nổi tiếng của Hayman cho hàm phân hình siêu việt trong một trường p-adic bằng việc sử dụng phương pháp của giải tích p-adic và đặc biệt lý thuyết Nevanlinna p-adic. 13
Trước tiên, ta tìm hiểu giả thuyết Hayman cho các hàm phân hình siêu việt trong một trường thặng dư đặc số bất kỳ và tiếp theo trong trường thặng dư đặc số 0. Vấn đề đặt ra là: Cho f ∈ M(Cp ) là một hàm siêu việt và T ∈ Cp (z). Ta có thể kết luận rằng f 0 + T f m có vô số không điểm mà không là không điểm 1 của f ? Đặt g = , có thể thấy rằng số không điểm của f 0 + T f m mà không là f không điểm của f chính là số không điểm của g 0 g m−2 − T . Như vậy, giải quyết giả thuyết Hayman tương tương với việc trả lời câu hỏi: Cho g ∈ M(Cp ) là một hàm siêu việt và T ∈ Cp (z). Ta có thể kết luận g 0 g n − T có vô số không điểm? Thật vậy, đặt 1 g (z) = . f (z) Khi đó −1 0 T f 0 (z) + T f m (z) = g (z) + [g(z)]2 [g(z)]m −1 m−2 0 = m (g g (z) − T ), (1.3) [g(z)] tại n = m − 2. Câu hỏi đã nghiên cứu trong giải tích phức nhiều năm, xét T = a ∈ C. Vào năm 1959, W.K.Hayman ([14]) chứng minh nếu g là một hàm phân hình siêu việt, a ∈ C\ {0} và n ≥ 3 thì g 0 g n − a có vô số không điểm. Hai mươi năm sau, E.Mues ([24]) chứng minh trường hợp n = 2 và cuối cùng vào năm 1995, W.Bergweiler và A.Eremenko ([1]), H.H.Chen và M.L.Fang ([6]) chứng minh giả thiết này cũng đúng với n = 1, điều này hoàn thiện chứng minh giả thuyết Hayman. Như vậy, trong trường hợp phức, chúng ta có thể kết luận rằng f 0 + af m có vô số không điểm mà không là không điểm của f khi m ≥ 3. 14
Nhận xét 1.20. Trong C, f 0 + f m có thể không có không điểm nếu m = 1 hoặc m = 2 có thể chỉ ra tương ứng f (z) = exp(z) và f (z) = tan(−z). Trong giải tích p-adic, ta cũng có thể nhận được các kết quả trong một bài toán tương tự. Trước khi phát biểu định lý chính, ta nhắc lại một số ký hiệu sử dụng trong nhiều công trình trong giải tích p-adic, đặc biệt các ký hiệu này được sử dụng bởi A.Escassut trong [7]. +∞ an z n ∈ A(Cp ). Ta xét tập P Cho f (z) = n=0 |f | (r) = lim |f (z)| |z|→r,|z|6=r Giới hạn này tồn tại và |∗| là một giá trị tuyệt đối trên A(Cp ) tương ứng trên A(Cp (0; r)) . Nó mở rộng trên M(Cp ) tương ứng M(Cp (0; R)) |g| (r) g bằng cách đặt |f | (r) = khi mà f = , g, h ∈ A(Cp ) tương ứng |h| (r) h g, h ∈ A(Cp (0; R)) . an z n ∈ M(Cp ) và r > 0. Xét f trong đường P Mặt khác, cho f = n∈Z tròn Cp h0; ri. Ta ký hiệu ν (f, r) (tương ứng ν − (f, r)) là số nguyên lớn nhất + i ∈ Z (tương ứng số nguyên nhỏ nhất i ∈ Z) thỏa mãn v (ai ) − i log r = inf (v(an ) − n log r) (như vậy, ν + (f, r) = ν(r, f )). Ta chỉ viết ν(f, r) khi n∈Z ν (f, r) = ν − (f, r). + Bây giờ ta nhắc lại các tính chất cổ điển của hàm phân hình (xem chương 23 ([7])). Cho f ∈ M(Cp (0; R)) và r ∈ (0, R). (i) Sự sai khác giữa số không điểm và cực điểm của f trong đường tròn Cp h0; ri tính cả bội thì bằng ν + (f, r) − ν − (f, r). (ii) Nếu f có không điểm và cực điểm trong đĩa đóng Cp [0; r0 ] và không có không điểm và cực điểm trong vành Γ(0, r0 , r00 ) thì ν + (f, r) = ν − (f, r), ∀r ∈ 15