Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lớp các hàm đa thức trực giao có một vị trí khá đặc biệt trong toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số cao cấp, của Giải tích mà còn được nghiên cứu trong Giải tích số. Vì đa thức trực giao là hệ đầy đủ trong không gian các hàm liên tục, cho nên nó là cơ sở trực chuẩn của không gian này. Mọi hàm liên tục đều có thể khai triển một cách duy nhất thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC GIAO THỨC TRỤC GIAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN PHỔ THÔNG PHẠM VĂN CHINH THÁI NGUYÊN 2015
i Mục lục Lời cảm ơn iii Lời cam đoan iv Tóm tắt nội dung v Danh sách ký hiệu vi Mở đầu 1 1 Cơ sở lý thuyết 2 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn, không gian có tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Trực giao hóa Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Đa thức với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Đa thức Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Đa thức Chebyshev loại I . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Đa thức Chebyshev loại II . . . . . . . . . . . . 10 1.4.4 Đa thức Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.5 Đa thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Giải một số bài toán 15 2.1 Giải một số bài toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Giải một số bài toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 27
ii Kết luận và đề nghị 34 Tài liệu tham khảo 35
iii Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ của TS.Nguyễn Văn Minh. Thầy đã giành nhiều thời gian chỉ bảo rất tận tình hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô Khoa Toán-Tin và phòng Đào tạo của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, viện Toán học, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích không chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộc sống. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học toán K7Q và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện luận văn thạc sĩ. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình. Nhờ có gia đình là chỗ dựa vững chắc về vật chất và tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học cao học và làm luận văn Thạc sĩ. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Học viên Phạm Văn Chinh
iv Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Minh. Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận văn là do tôi tự làm, không sao chép các luận văn đã được công bố trước đó. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Học viên Phạm Văn Chinh
v TÓM TẮT NỘI DUNG Ứng dụng Toán Cao cấp để nghiên cứu Toán sơ cấp là vấn đề người ta vẫn làm. Vì Toán cao cấp ở mức độ khái quát cao hơn rất nhiều so với Toán sơ cấp. Đề tài này cũng theo tư tưởng như đã nói ở trên, nhưng ở phạm vi hẹp hơn. Trong đề tài này chúng tôi xét một lớp hàm tương đối đặc biệt, đó là Đa Thức Trực Giao. Ngoài đa thức theo nghĩa thông thường, trong luận văn này chúng ta xét cả các đa thức lượng giác, vì đa thức lượng giác cũng là hệ hàm trực giao đầy đủ. Đa thức trực giao là đa thức có tính chất trực giao. Đa thức trực giao là một hệ đầy đủ, theo nghĩa là mọi hàm liên tục đều có thể khai triển thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao, còn gọi là khai triển Fourier mở rộng. Đa thức trực giao ngoài những tính chất chung của đa thức, nó còn có một số tính chất riêng, trong đó có những tính chất sơ cấp. Luận văn này của chúng tôi cố gắng khai thác tính sơ cấp trong hệ đa thức trực giao. Trình bày và giải một số bài toán sơ cấp có liên quan tới đa thực trực giao.
vi Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: hu, vi Tích vô hướng của hai vector u và v ||.|| Chuẩn của vector C[a; b] Tập hợp các hàm liên tục trên đoạn [a,b] Pn (x); Qn (x) Đa thức có bậc n, biến x
1 Mở đầu Lớp các hàm đa thức trực giao có một vị trí khá đặc biệt trong toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số cao cấp, của Giải tích mà còn được nghiên cứu trong Giải tích số. Vì đa thức trực giao là hệ đầy đủ trong không gian các hàm liên tục, cho nên nó là cơ sở trực chuẩn của không gian này. Mọi hàm liên tục đều có thể khai triển một cách duy nhất thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao. Các hệ đa thức trực giao có những tính chất khá thú vị, chẳng hạn như mỗi hệ đa thức trực giao đều là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2; ba đa thực trực giao liên tiếp trong một hệ thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính cấp 2; đa thức trực giao cấp n có đúng n nghiệm thực, các nghiệm của đa thức cấp n và cấp n − 1 xen kẽ nhau... Bản thân hệ đa thức trực giao là đối tượng của Toán cao cấp, nhưng bên cạnh đó chúng cũng có một số tính chất có tính sơ cấp. Luận văn này chúng tôi có gắng khai thác những tính chất thuộc về toán cao cấp nhưng có thể sơ cấp hóa được và khai thác một số tính chất sơ cấp của chúng. Ngoài các mục Mở đầu, Kết luận và một vài mục có tính chất hành chính, Luận văn có hai chương chính, đó là chương 1 và chương 2: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một số phần căn bản của Đại số cao cấp, Đại số tuyến tính và Giải tích. Chương 2, tình bày một số ví dụ, bài toán có nội dung liên quan tới đa thức trực giao.
2 Chương 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn, không gian có tích vô hướng Ta nói không gian V được xác định một cấu trúc chuẩn, nếu với mọi vector x ∈ V , luôn luôn xác định một số ||x||, gọi là chuẩn của x, thỏa mãn 4 tính chất sau: 1. ||x|| ≥ 0 2. ||x|| = 0 ⇐⇒ x = θ 3. ||tx|| = |t|.||x|| 4. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Trong một không gian có thể có nhiều chuẩn khác nhau, và ta có khái niệm về hai chuẩn tương đương như sau: Định nghĩa 1.1. Hai chuẩn ||x||1 và ||x||2 được gọi là tương đương, nếu tồn tại hai hằng số dương c1 , c2 sao cho c1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c2 ||x||1 Trong không gian hữu hạn chiều mọi chuẩn đều tương đương. Chuẩn trong Rn được xác định: Xn 1/p p ||x||p = |xi | , với 1 ≤ p ≤ +∞ i=1
3 Gán p các số khác nhau, ta được các chuẩn. Ba chuẩn thường dùng là: n P 1. Với p=1, ta có chuẩn ||x||1 = |xi | i=1 p 2. Với p=2, ta có chuẩn ||x||2 = x21 + x22 + ... + x2n 3. Với p = +∞, ta có chuẩn ||x||∞ = max |x1 |, |x2 |, ..., |xn | Trong chương trình hình học ta đã biết về tích vô hướng của hai vector; ở đây ta suy rộng khái niệm đó cho vector tổng quát: Định nghĩa 1.2. Cho V là không gian vector, x, y là hai vector của V . Tích vô hướng của hai vector là một số thực, ký hiệu là hx, yi, thỏa mãn các tính chất sau, gọi là các tiên đề về tích vô hướng: 1. hx, yi = hy, xi; 2. hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ V , hx, xi = 0 ⇐⇒ x = θ; 3. hax + by, z)i = hax, zi + hby, zi, ∀x, y ∈ V; ∀a, b ∈ R Không gian vector có trang bị tích vô hướng gọi là không gian có tích vô hướng. Không gian V hữu hạn chiều có tích vô hướng gọi là không gian Euclid, ký hiệu là Rn . Không gian V vô hạn chiều có tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert, không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert, ký hiệu là H. Mọi không gian có tích vô p hướng là không gian định chuẩn, với chuẩn là ||x|| = hx, xi. Không gian có tích vô hướng có bất đẳng thức quan trọng, đó là bất đẳng thức Cauchy- Bunyakovsky: |hx, yi| ≤ ||x||.||y|| |hx, yi| = ||x||.||y|| ⇐⇒ ∃t ∈ R sao cho x = ty hoặc y = tx Hai vector x, y là trực giao, khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: x⊥y ⇐⇒ hx, yi = 0 Ví dụ 1.1. Trong không gian Rn , với x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ). Khi đó những biểu thức sau là tích vô hướng:
4 1. hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn 2. hx, yi = c1 x1 y1 + c2 x2 y2 + ... + cn xn yn , với c1 > 0, c2 > 0, ..., cn > 0 là những hằng số . 1.3 Không gian các hàm liên tục Như ta đã biết, tập hợp các hàm liên tục C[a; b] là không gian vector Hilbert. Ở đây ta sử dụng tích vô hướng tích phân Zb hf (x), g(x)i = f (x).g(x).dx a Ta cũng có chuẩn của các vector hàm này: v u b p uZ ||f || = hf (x), f (x)i = t f (x)2 .dx u a Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky trong không gian C[a; b]: v v Z b u b uZ u b uZ | f (x)g(x)dx| ≤ t f 2 (x).t g 2 (x) u u a a a Bất đẳng thức trên có thể viết lại theo cách khác: ||hf, gi|| ≤ ||f ||.||g|| Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai hàm f (x) và g(x) phụ thuộc tuyến tính, đó là tồn tại hằng số c sao cho f (x) = c.g(x) hoặc g(x) = cf (x) Định nghĩa 1.3. Hai hàm f (x) và g(x) được gọi là trực giao, nếu tích vô hướng của chúng bằng 0 Zb hf (x), g(x)i = f (x).g(x)dx = 0 a
5 Định nghĩa 1.4. Hệ hàm S = {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ..., ϕn (x), ...} được gọi là hệ trực giao, nếu hai hàm bất kỳ trong hệ đó trực giao hϕi (x), ϕj (x)i = 0 với i 6= j Hệ S được gọi là trực chuẩn nếu hệ S là hệ trực giao và chuẩn của mỗi vector hàm bằng 1 hϕi (x), ϕj (x)i = δij Hệ hàm trực giao đặc biệt thuận lợi khi khai triển hàm f (x) theo họ S, tức là ta phải tìm các hệ số c0 , c1 , ...cn , ... sao cho hàm f (x) viết được dưới dạng f (x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + ... + cn ϕn (x) + ... (1.1) Để xác định các hệ số cn , ta nhân cả hai vế đẳng thức (1.1) với ϕn (x), do tính trực giao của hệ S, vế phải chỉ còn 1 số hạng f (x)ϕn (x) = cn ϕn (x).ϕn (x) rồi lấy tích phân trên đoạn [a, b] hai vế, từ đó ta có Zb 1 cn = f (x)ϕn (x)dx (1.2) ||ϕn ||2 a Biểu diễn hàm f (x) dưới dạng (1.1) với các hệ số được tính theo (1.2) gọi là khai triển Fouriers hàm f (x) theo hệ trực giao S Ngoài khái niệm trực giao như đã nói ở trên, chúng ta còn sử dụng khái niệm trực giao với trọng số ρ(x) , nếu với hai hàm bất kỳ ϕm (x), ϕn (x) của hệ S thỏa mãn điều kiện Zb ϕm (x)ϕn (x)ρ(x)dx = 0 a ở đây ρ(x) là hàm cố định, liên tục trong khoảng (a, b). Khi ρ(x) ≡ 1 ta nhận được định nghĩa trực giao thông thường. Vấn đề khai triển Fouriers hàm f (x) theo hệ trực giao có trọng số, cũng tương tự như
6 trên, hàm f (x) khai triển dưới dạng f (x) = c00 ϕ0 (x) + c01 ϕ1 (x) + ... + c0n ϕn (x) + ... (1.3) với các hệ số Fouriers được tính theo công thức Zb 1 c0n = 2 f (x)ϕn (x)ρ(x)dx (1.4) dn a với dn được tính theo công thức v u b uZ dn = t ϕ2 (x)ρ(x)dx u a Ví dụ 1.2. Ta ký hiệu Pn là không gian các đa thức có bậc không quá n, với p(x) = p0 + p1 x + ... + pn xn ; q(x) = q0 + q1 x + ... + qn xn , ta cũng có các tích vô hướng sau: 1. hp, qi = p0 q0 + p1 q1 + p2 q2 + ... + pn qn 2. hp, qi = c0 p0 q0 + c1 p1 q1 + c2 p2 q2 + ... + cn pn qn , với c0 >, c1 > 0, ..., cn > 0 Rb 3. hp, qi = a p(x)q(x)dx, với a, b là hai hằng số cho trước a 0, ∀x ∈ H, ∃n, sao cho || ci fi − x|| < ε i=0 Trong không gian Hilbert, các mệnh đề sau tương đương: P∞ Ví dụ 1.3. 1. x = hxi , fi ifi , ∀x ∈ H i=1 s ∞ P 2. ||x|| = |hxi , fi i| i=1 3. Hệ S là đầy đủ. 4. Nếu x trực giao với mọi fi ∈ S thì x = θ
7 1.3.1 Trực giao hóa Gram-Schmidt Định lý 1.1. Giả sử V là không gian có tích vô hướng, S = {u1 , u2 , ..., um } là một họ vector độc lập tuyến tính của V . Ta có thể thay S bằng họ trực chuẩn S 0 = {v1 , v2 , ...vm } sao cho spanSk = spanSk0 , k = 1, ...m ở đây S = {u1 , u2 , ...uk }; S 0 = {v1 , v2 , ...vk } Bước 1. chọn v1 = ||uu11 || Bước 2. Tìm v2 sao cho S20 = {v1 , v2 } trực chuẩn. Muốn vậy, ta đặt w2 = u2 + tv1 , chọn t sao cho hw2 , v1 i = 0, tức là hu2 + tv1 , v1 i = 0 hu2 , v1 i + thv1 , v1 i = 0 Hay là t = − hu||v21,v||12i = −hu2 , v1 i ⇒ w2 = u2 − hu2 , v1 i w2 u2 − hu2 , v1 iv1 v2 = = ||w2 || ||u2 − hu2 , v1 iv1 || 0 Bước 3. Giả sử ta đã xây được họ trực chuẩn Sk−1 = {v1 , v2 , ..., vk−1 } ta xây dựng vector vk , muốn vậy, ta đặt: wk = uk + t1 v1 + t2 v2 + ... + tk−1 vk−1 , ta cần xác định t1 , t2 , ...tk−1 sao cho hwk , vj i = 0, j = 1, 2, .., k − 1 Từ đó suy ra: tj = −huk , vj , j = 1, 2, .., k − 1. Cuối cùng ta có: uk − huk , v1 iv1 − ... − huk , vk−1 uk−1 vk = ||uk − huk , v1 iv1 − ... − huk , vk−1 uk−1 || 1.3.2 Đa thức với hệ số thực Lớp các đa thức có những tính chất tốt như: liên tục và khả vi vô hạn lần trên toàn trục số; đạo hàm của đa thức là đa thức; nguyên hàm của đa thức cũng là đa thức; tổng hai đa thức, tích hai đa thức là đa thức; tích của đa thức với một số là đa thức; thay biến x bởi x = at + b ta được đa thức với biến t cùng bậc với đa thức biến x. Định nghĩa 1.5. Giả sử pn (x) là đa thức bậc n; số x0 được gọi là nghiệm của pn (x0 ) = 0
8 Định lý 1.2 (Định lý Bezou). Điều kiện cần và đủ đế số x0 là nghiệm của đa thức pn (x) là pn (x) chia hết cho đa thức (x − x0 ), hay nói khác đi là đa thức pn (x) viết được dưới dạng pn (x) = (x − x0 )qn−1 (x). Định lý 1.3. Giả sử pn (x) là đa thức bậc n, khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương: 1. x0 là nghiệm bội cấp m của pn (x) 2. Đa thức pn (x) viết được dưới dạng pn (x) = (x − x0 )m .qn−m (x), trong đó x0 không là nghiệm của đa thức qn−m (x) (m−1) (m) 3. pn (x0 ) = p0n (x0 ) = p00n (x0 ) = ... = pn (x0 ) = 0; pn (x0 ) 6= 0 Định lý 1.4. Đa thức bậc n, với hệ số thực, luôn có n nghiệm phức, kể cả bội 1.4 Đa thức trực giao Trong ví dụ (1.2) hệ hàm S = {1, x, x2 , ..., xn−1 } là một cơ sở của không gian Pn (x) nhưng không là cơ sở trực chuẩn. Có thể áp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Smidt ở trên, với trọng số khác nhau, với khoảng lấy tích phân khác nhau, ta sẽ thu được những họ đa thức trực giao khác nhau. Người ta cũng đã chứng minh được các tính chất chung nhất của đa thức trực giao trên đoạn [a, b] với trọng số ρ(x) 1. Mỗi đa thức trực giao bậc n có đúng n nghiệm thực trên đoạn [a, b] 2. Nghiệm của đa thức trực giao Qn−1 (x) và Qn (x) xen kẽ nhau, nghĩa là trong (n − 1) khoảng nghiệm của đa thức Qn (x), mỗi khoảng có đúng 1 nghiệm của đa thức Qn−1 (x). 3. Mỗi đa thức trực giao Qn (x) thỏa mãn công thức truy hồi an,n+1 Qn+1 (x) + an,n (1 − x)Qn (x) + an−1,n Qn−1 (x) = 0
9 1.4.1 Đa thức Legendre Các đa thức Legendre thu được bằng cách trực giao hóa Gram- Smidt hệ hàm 1, x, x2 , ...xn , ... trên đoạn [−1, 1] với trọng số là ρ(x) = 1 1. Một số đa thức Legendre n Ln (x) 0 L0 (x) = 1 1 L1 (x) = x 3x2 − 1 2 L2 (x) = 2 5x3 − 3x 3 L3 (x) = 2 35x4 − 30x2 + 3 4 L4 (x) = 8 63x5 − 70x3 + 15x 5 L5 (x) = 8 231x6 − 315x4 + 105x2 − 5 6 L6 (x) = 16 2. Công thức Rodrigue 1 dn Ln (x) = n n [(x2 − 1)n ]; n ∈ N 2 n! dx 3. Công thức truy hồi (n + 1)Ln+1 (x) − (2n + 1)xLn (x) + nLn−1 (x) = 0 x2 − 1 d Ln (x) = xLn (x) − Ln−1 (x) n dx d (2n + 1)Ln (x) = [Ln+1 (x) − Ln−1 (x)] dx 4. Phương trình vi phân d dLn [(1 − x2 ) ] + n(n + 1)Ln (x) = 0 dx dx r R1 2 1/2 2 5. Chuẩn ||Ln (x)|| = Ln (x)dx = −1 2n + 1 n(n + 1) Ln (1) = 1; Ln (−1) = (−1)n ; L2n+1 (0) = 0; L0n (1) = 2
10 6. Tính trực giao R1 2 n Lm (x)Ln (x)dx = δm −1 2n + 1 7. Tính đối xứng Ln (−x) = (−1)n Ln (x); Đa thức Legendre là hàm chẵn, nếu n là số chẵn; là hàm lẻ, nếu n là số lẻ. 1.4.2 Đa thức Chebyshev loại I Ký hiệu là Tn (x); a = −1; b = 1; trọng số ρ(x) = √ 1 1−x2 1. Biểu thức dạng lượng giác Tn (x) = cos (n.arccosx); Tn (cos (α)) = cos (n.α); T2n+1 sin (α) = (−1)n . sin (2n + 1)α 2. Công thức truy hồi T0 (x) = 1; T1 (x) = x; Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) 3. Phương trình vi phân (1 − x2 )Tn00 (x) − xTn0 (x) + n2 Tn (x) = 0 4. Chuẩn √ Z1 1 1/2 r π 2 ||T0 || = π; ||Tn || = √ Tn (x)dx = ,n > 0 1 − x2 2 −1 1.4.3 Đa thức Chebyshev loại II Ký hiêu Un (x) 1. Biểu thức dạng lượng giác sin (n + 1)x Un (cos x) = sin x 2. Công thức truy hồi U0 (x) = 1; U1 (x) = 2x; Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x) 3. Phương trình vi phân (1 − x2 )Tn00 (x) − 3xTn0 (x) + n(n + 2)Tn (x) = 0
11 1. Hàm hợp Tn (Tm (x)) = Tm (Tn (x)) = Tm.n (x) 2. Dạng phương trình Pell Tn2 (x) − (x2 − 1)Un−1 2 (x) = 1 √ √ Tn (x) + x2 − 1Un−1 (x) = (x + x2 − 1)n 3. Công thức đổi biến Tn (1 − 2x2 ) = (−1)n T2n (x) xUn (1 − 2x2 ) = (−1)n U2n+1 (x) 4. Nghiệm Cả hai loại đa thức Chebyshev bậc n luôn có n nghiệm thực phân biêt, các nghiệm này phân bố trong đoạn [−1, 1] (tính chất chung i của đa thức trực giao). Ta có Tn (cos( π2 (2i−1))) = 0; Un (cos( n+1 π)); i = 1...n 5. Cực trị Cả hai loại đa thức Chebyshev đều đạt cực trị tại hai đầu mút. Tn (1) = 1; T (−1) = (−1)n ; Un+1 = n + 1; Un (−1) = (−1)n (n + 1) 6. Đạo hàm Tn0 (x) = nUn−1 (x) (n + 1)Tn+1 (x) − xUn Un0 (x) = x2 − 1 nTn (x) − xUn−1 (n + 1)Tn (x) − Un Tn00 (x) = n = n x2 − 1 x2 − 1 4 2 n −n Tn00 (1) = 3 n4 − n2 Tn00 (−1) = (−1)n 3 7. Tích phân R Tn+1 (x) Un (x)dx = n +1 R 1 Tn+1 (x) Tn−1 (x) nTn+1 (x) xTn (x) Tn (x)dx = − = − 2 n+1 n−1 n2 − 1 n−1
12  R dx 0 với i 6= j  Ti (x)Tj (x) √ = π với i = j = 0 1 − x2 π 2(với i = j 6= 0 R √ 0 với i 6= j Ui (x)Uj (x) 1 − x2 dx = π 2 với i = j 6= 0 8. Một số đa thức Chebyshev n Tn (x) Un (x) 0 T0 (x) = 1 U0 (x) = 1 1 T1 (x) = x U1 (x) = x 2 T2 (x) = x2 − 1 U2 (x) = 4x2 − 1 3 T3 (x) = 4x3 − 3x U3 (x) = 8x3 − 4x 4 T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1 U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1 5 T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x 6 T6 (x) = 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1 U6 (x) = 64x6 − 80x4 + 24x2 − 1 1.4.4 Đa thức Hermite 2 2 2 a = −∞; b = +∞; ρ(x) = e−x ; Hn (x) = (−1)n ex (e−x )(n) (1.5) 1. Biểu thức 2 2 Hn (x) = (−1)n ex (e−x )(n) 2. Công thức truy hồi Hn+1 (x) − 2xHn (x) + 2xHn−1 (x) = 0 3. Phương trình vi phân Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2xHn (x) = 0
13 4. Chuẩn v u Z+∞ √ u q 2 ||Hn || = t e−x Hn2 (x)dx = 2n n! π u −∞ Chú ý 1.1. Đa thức Hermite còn có cách xác định khác: 2 ex /2 −x2 /2 (n) Hn (x) = (e ) (1.6) n! 2 1. Trọng số p(x) = e−x /2 2. Chuẩn v u Z+∞ s√ 2π u ||Hn || = t e−x2 Hn2 (x)dx = u n! −∞ 1.4.5 Đa thức lượng giác Ở trên ta đã xét hệ các đa thức B1 = {1, x, x2 , ..., xn , ...}. Trực giao hóa hệ B1 bằng các tích vô hướng với trọng số khác nhau trên những đoạn khác nhau, ta được các hệ đa thức trực giao khác nhau, như hệ hàm trực giao Legendre, hệ hàm trực giao Chebyshev,...Các hệ đa thức này gọi chung là các đa thức đại số. Ngoài các hệ đa thức đại số nói trên, còn một hệ hàm trực giao đầy đủ khác, đóng vai trò rất quan trọng trong toán học, đó là hệ đa thức lượng giác: S = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx, ....} là hệ hàm trực giao và đầy đủ trên đoạn [−π, π] Một số tính chất của hệ đa thức lượng giác 1. Tính trực giao. Hệ S là hệ trực giao trên đoạn [−π, π], thật vậy: Zπ sin (mx) cos (nx)dx = 0, ∀m, n ∈ N −π Zπ sin mx sin nxdx = 0, ∀m, n ∈ N, m 6= n −π