Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 0
download

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trái với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng parabolic, tính chất Fredholm và dáng điệu chính quy của các bài toán hyperbolic đã được biết ít hơn. Một số kết quả trong luận văn này và phần mở rộng nhấn mạnh vào hiện tượng trơn, xây dựng các tham số và tính chất Fredholm. Một bước quan trọng trong nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến (các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng parabolic) là thiết lập khả năng tuyến tính hóa Fredholm trong các trường hợp hyperbolic.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THỊ NHUNG HIỆU ỨNG TRƠN VÀ TÍNH CHẤT FREDHOLM ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HYPERBOLIC CẤP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THỊ NHUNG HIỆU ỨNG TRƠN VÀ TÍNH CHẤT FREDHOLM ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HYPERBOLIC CẤP MỘT Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. TRỊNH THỊ DIỆP LINH THÁI NGUYÊN - 2019
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là sự trình bày và tìm hiểu bài báo của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. TRỊNH THỊ DIỆP LINH. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực. Tác giả Hoàng Thị Nhung Xác nhận Xác nhận của khoa chuyên môn của người hướng dẫn TS. Trịnh Thị Diệp Linh i
Lời cảm ơn Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập tốt trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Trịnh Thị Diệp Linh đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Đồng thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô trong Khoa Toán, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng 05 năm 2019 Tác giả Hoàng Thị Nhung ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Hiệu ứng trơn đối với các phương trình đạo hàm riêng hyper- bolic cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Lý thuyết Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Điều kiện biên tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Điều kiện biên tuyến tính của dạng địa phương . . . 10 1.3.3 Hiện tượng trơn cho bài toán biên ban đầu . . . . . 12 2 Hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic cấp một 15 2.1 Hiệu ứng trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Trường hợp điều kiện biên cổ điển . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Trường hợp điều kiện biên tích phân trong các mô hình cấu trúc tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 Trường hợp điều kiện biên phân tán và bài toán tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Tính chất Fredholm với bài toán tuần hoàn . . . . . . . . . 28 iii
Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iv
Lời mở đầu Trái với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng parabolic, tính chất Fredholm và dáng điệu chính quy của các bài toán hyperbolic đã được biết ít hơn. Một số kết quả trong luận văn này và phần mở rộng nhấn mạnh vào hiện tượng trơn, xây dựng các tham số và tính chất Fredholm. Một bước quan trọng trong nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến (các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng parabolic) là thiết lập khả năng tuyến tính hóa Fredholm trong các trường hợp hyperbolic. Vì tính kỳ dị của phương trình hyperbolic nửa tuyến tính, dọc theo các đường cong đặc trưng, nghiệm không phải là nghiệm chính quy trong miền nguyên trên biên. Nó được gọi là chính quy khi xuất hiện sai số của tính trơn. Vì vậy phân tích tính chất Fredholm về các bài toán hyperbolic đòi hỏi phải thiết lập sự tối ưu của tính chính quy giữa không gian của các nghiệm và vế phải của các phương trình vi phân. Các bước giải quyết tính chất Fredholm thường dựa trên thực tế cơ bản là bất kỳ toán tử Fredholm nào độ chính xác là một sự nhiễu compact của một toán tử song ánh. Trong trường hợp hyperbolic bằng cách sử dụng tính compact, argument trở nên phức tạp bởi vì toàn bộ miền thiếu tính chính quy trên phương pháp tiếp cận của bài báo được nghiên cứu. Dựa trên thực tế là đối với một loạt các toán tử biên, nghiệm cải thiện độ trơn một cách tự động. Sau k lần liên tục có thể thay đổi cho từng trường hợp của k . Các kết quả như vậy được chứng minh và trình bày trong chương II. Khi đó thấy rằng trong một số trường hợp, hiện tượng trơn đã được trình bày sớm hơn trong các tài liệu [3,4,10,11]. Hiện tượng này cho phép chúng ta xây dựng 1
một tham số. Trình bày một cách tiếp cận chung để chứng minh tính chất Fredholm cho các phương trình đạo hàm riêng cấp một và áp dụng nó vào các bài toán tuần hoàn. Kết quả Fredholm bao gồm các hệ thống hyperbolic không ngặt với các hệ số gián đoạn, nhưng chúng cũng đúng trong trường hợp hyperbolic ngặt và hệ số trơn. Từ một số quan điểm chung, hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu sự rẽ nhánh Hopf và đồng thời trong phương trình đạo hàm riêng hyperbolic phi tuyến [1] thông qua định lý hàm ẩn và các nghiên cứu của Lyapunov – Schmidt [2,5]. Luận văn trình bày lại bài báo [9] với phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo bao gồm 2 chương Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nội dung chính của luận văn trình bày về hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hiệu ứng trơn đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một Đặt ΠT = {(x, t) : 0 < x < 1, T < t < ∞}. Ở đây ta sẽ nghiên cứu vấn đề: (∂t + a(x, t)∂x + b(x, t))u = f (x, t), (1.1) u(x, 0) = ϕ(x), (1.2) uj (0, t) = (Ru)j (t), 1 ≤ j ≤ m, (1.3) uj (1, t) = (Ru)j (t), m < j ≤ n. trong nửa giải Π0 và bài toán (1.1), (1.3) trong dải Π−∞ . Trong đó u = (u1 , ..., un ), f = (f1 , ..., fn ) và ϕ = (ϕ1 , ..., ϕn ) là vectơ của các hàm có giá trị thực, b = {bjk }nj,k=1 và a = diag(a1 , ..., an ) là các ma trận chéo của các hàm có giá trị thực và 0 ≤ m ≤ n là số nguyên cố định. Hơn nữa, ánh xạ R: C(Π0 )n → C([0, ∞))n là toán tử, tương tự với R trong Π−∞ . Trong miền đang xét, giả sử rằng aj > 0, ∀j ≤ m và aj < 0, ∀j > m, (1.4) 3
inf |aj | > 0, ∀j ≤ n. (1.5) x,t và với mọi 1 ≤ j 6= k ≤ n tồn tại pjk ∈ C 1 ([0, 1] × R) sao cho bjk = pjk (ak − aj ), và pjk = 0 (1.6) Đặc biệt, điều kiện (1.4) là đúng trong các mô hình sóng laze và động lực sóng di chuyển cũng như động học hóa học, trong đó hàm uj cho j ≤ m (tương ứng, m + 1 ≤ j ≤ n). Điều kiện (1.5) được hiểu là tất cả các tính chất của (1.1) bị chặn và không suy biến. Cuối cùng, điều kiện (1.6) là điều kiện Levy thường xuất hiện để bù lại cường độ hyperbol không nghiêm ngặt, trong đó các hệ số aj và ak đối với một số j 6= k trùng nhau tại một điểm, ví dụ tại (x0 , t0 ). Chúng ta sẽ áp dụng các giả thiết của tính trơn sau đây trên dữ liệu ban đầu: Giả sử a, b và f là C ∞ - trơn trong tất cả các đối số của chúng trong các miền tương ứng, trong đó ϕ chỉ được giả thiết là các hàm liên tục Từ (1.1), (1.3) dọc theo các đường cong đặc trưng, cho j ≤ n, x ∈ [0, 1] và t ∈ R, đặc trưng thứ j của (1.1) đi qua điểm (x, t) được định nghĩa như là nghiệm ξ ∈ [0, 1] 7→ ωj (ξ; x, t) ∈ R của giá trị ban đầu bài toán 1 ∂ξ ωj (ξ; x, t) = , ωj (x; x, t) = t. (1.7) aj (ξ, ωj (ξ; x, t)) Xác định Zξ bjj cj (ξ, x, t) cj (ξ, x, t) = exp (η, ωj (η; x, t))dη, dj (ξ, x, t) = . aj aj (ξ, ωj (ξ; x, t)) x Do (1.5) đường cong đặc trưng τ = ωj (ξ; x, t) đạt đến biên của ΠT trong hai điểm với các tọa độ riêng biệt. Cho xj (x, t) biểu thị hoành độ của điểm đó có tung độ nhỏ hơn. Các phép tính đơn giản cho thấy rằng C 1 - ánh xạ u : [0, 1] × [0, ∞) → Rn là một nghiệm từ (1.1) - (1.3) khi nó thỏa mãn hệ 4
phương trình tích phân sau đây uj (x, t) = (BSu)j (x, t) Zx n X − dj (ξ, x, t) bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))uk (ξ, ωj (ξ; x, t))dξ xj (x,t) k=1,k6=j (1.8) Zx + dj (ξ, x, t)fj (ξ, ωj (ξ; x, t))dξ, j ≤ n. xj (x,t) trong đó (Bu)j (x, t) = cj (xj (x, t), x, t)uj (xj (x, t)), ωj (xj (x, t); x, t), (1.9) ( (Ru)j (t), t > 0 (Su)j (x, t) = (1.10) ϕj (x), t = 0 Ở đây B là toán tử dịch chuyển từ ∂Π0 dọc theo các đường cong đặc trưng của (1.1), trong khi toán tử S được sử dụng để biểu thị toán tử biên trên toàn bộ ∂Π0 . Tương tự, một C 1 – ánh xạ u : [0, 1]× R → Rn là một nghiệm cho (1.1), (1.3) nếu và chỉ khi nó thỏa mãn hệ (1.8), nếu định nghĩa của S được thay đổi thành S = R. Khi đó ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1. ([9]) Hàm liên tục u được gọi là một nghiệm liên tục của (1.1) - (1.3) trong Π0 nếu nó thỏa mãn (1.8) với S được xác định bởi (1.10). Hàm liên tục u được gọi là nghiệm liên tục của (1.1), (1.3) trong Π−∞ nếu nó thỏa mãn (1.8) với S = R. Định nghĩa 1.1.2. ([9]) Một nghiệm u cho bài toán (1.1) - (1.3) hoặc (1.1), (1.3) được gọi là trơn nếu đối với mỗi k ∈ N, tồn tại T > 0 sao cho uj ∈ C k (ΠT ) với mọi j ≤ n. Đối với bài toán biên ban đầu (1.1) - (1.3), Định nghĩa 1.1.2 thấy rằng tính chất động lực của thuộc tính trơn cho biết tính chính quy của các 5
nghiệm tăng theo thời gian. Thực tế rằng tính chính quy không đều trong miền nguyên là hệ quả đơn giản của điểm kỳ dị dọc theo đường cong đặc trưng. Hơn nữa, việc thay đổi từ C k sang C k+1 - chính quy là một bước nhảy, hiện tượng này được chú ý thường xuyên trong các tình trạng khi nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbolic thay đổi tính chính quy của chúng. Ta thấy, nếu bài toán (1.1), (1.3) phải tuân theo các điều kiện tuần hoàn trong t, thì Định nghĩa 1.1.2 được hiểu rằng các nghiệm trơn là C ∞ - chính quy trong toàn bộ miền. Định nghĩa 1.1.2 trình bày được tính chất chung của hiện tượng trơn đối với các phương trình vi phân hyperbolic. Việc đạt được C k - chính quy đối với các nghiệm chỉ cần C k+1 - chính quy đối với a, b và f . Các điều kiện chính quy chính xác hơn đối với dữ liệu biên, cũng phụ thuộc vào k , có thể được bắt nguồn từ các chứng minh này. Những cải tiến này rất hữu ích trong một số ứng dụng. Định nghĩa 1.1.2 có thể mạnh hơn bằng cách thêm vào các tính chính quy cho dữ liệu ban đầu. Một phần mở rộng của tính chất này, khi dữ liệu ban đầu là các hàm suy biến mạnh tập trung ở một số điểm hữu hạn. Trong những điều sau đây, chứng minh hiệu ứng trơn trên các ví dụ của các toán tử biên và cho thấy các tính chất của bài toán có thể được các tính chất bao hàm của chúng. Cách tiếp cận để thiết lập kết quả trơn dựa trên việc xem xét các phép tích phân của các bài toán và quan sát rằng biên và các phần tích phân không thể tách rời của phép toán này có ảnh hưởng khác nhau đến độ chính quy của các nghiệm. Ta thấy rằng trong trường hợp của bài toán (1.1)-(1.3) trong Π0 miền ảnh hưởng của các điều kiện ban đầu được xác định bởi cả hai phần của hệ 6
tích phân là vô hạn. Điều này làm cho hiệu ứng trơn chưa được rõ ràng. 1.2 Lý thuyết Fredholm Giả sử X và Y là hai không gian Banach và T : X → Y là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó tập tất cả các phần tử của X có ảnh là θ ∈ Y gọi là hạt nhân của T , ký hiệu là Ker T và Ker T := {x|x ∈ X, T (x) = θ} . Tập tất cả các phần tử của Y là ảnh của ít nhất một phần tử của X gọi là ảnh của T , ký hiệu là Im T và Im T := {y|y ∈ Y, ∃x ∈ X, T (x) = y} . Như vậy: Im T = T (X). Định nghĩa 1.2.1. ([5]) Cho X và Y là các không gian Banach, gọi T : X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn. T được gọi là Fredholm nếu (i) dim Ker T < ∞ (ii) Im T đóng (iii) dim Coker T < ∞ (dim Coker T = dim Y / Im T ) Khi T là ánh xạ Fredholm, chỉ số của T ký hiệu là Ind(T ) là số nguyên xác định bởi Ind(T ) = dim Ker T − co dim Im T. Từ định nghĩa trên và những kết quả cơ bản của giải tích hàm tuyến tính, tồn tại các phép chiếu liên tục P : X → X, Q : Y → Y thỏa mãn Im P = Ker T, Ker Q = Im T. 7
Do đó, X = Ker T ⊕ Ker P I = Im T ⊕ Im Q. Bổ đề 1.2.2. Cho T : X → Y là toán tử thỏa mãn Im T chứa một không gian con đầy, đóng thì Im T đóng. Bổ đề 1.2.3. Ký hiệu F red(X, Y ) là không gian các toán tử Fredholm từ X vào Y và F red(X) là tập các toán tử Fredholm xác định trên X . Ta có F red(X, Y ) là tập mở của B(X, Y ). Bổ đề 1.2.4. Cho T : X → X là toán tử compact, khi đó I +T là Fredholm. Bổ đề 1.2.5. Cho T : X → Y và S : Y → Z là các toán tử Fredholm. Khi đó, ST : X → Z cũng là Fredholm. Hơn nữa, Ind(ST ) = Ind(T )+Ind(S). 1.3 Điều kiện biên Xét bài toán (∂t + Λ(x, t)∂x + A(x, t))u = g(x, t), (x, t) ∈ π. (1.11) u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (0, 1). (1.12) với các điều kiện biên cổ điển ui (0, t) = hi (t), k + 1 ≤ i ≤ n, t ∈ (0, ∞) (1.13) ui (1, t) = hi (t), 1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞). Ở đây u, g và ϕ là n vectơ thực, A = {aij }ni,j=1 , Λ = diag(λ1 , ..., λn ) và v(t) = (v1 (t), ..., vn (t)) = (u1 (0, t), ..., uk (0, t), uk+1 (1, t), ..., un (1, t)) 8
Chú ý rằng điều kiện biên ui (1, t) = hi (t, v(t)), 1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞), ui (0, t) = hi (t, v(t)), k < i ≤ n, t ∈ (0, ∞). bao gồm các tập hợp của các điều kiện biên cổ điển (nếu hi không phụ thuộc trên v ) và các điều kiện biên đối xứng của dạng địa phương và không địa phương. Định lý 1.3.1. ([7]) Giả sử rằng λi , aij , gi và hi là trơn trong tất cả các đối số của nó, thỏa mãn điều kiện λ1 < ... < λk < 0 < λk+1 < ... < λn . (1.14) Khi đó nghiệm liên tục của bài toán (1.11), (1.12), (1.13) là trơn với bất kỳ ϕ ∈ C[0, 1]n thỏa mãn điều kiện tương thích: ϕi (0) =hi (0, v(0)), k + 1 ≤ i ≤ n, (1.15) ϕi (1) =hi (0, v(0)), 1 ≤ i ≤ k. trong đó v(0) = (ϕi (0), ..., ϕk (0), ϕk+1 (1), ..., ϕn (1)). Ở đây, có thể không có sự đối xứng từ biên, xảy ra mỗi quỹ đạo mở rộng đi qua (x, t) bao gồm một đặc trưng duy nhất. Hơn nữa, do các giả thiết về độ trơn trên Λ và định nghĩa đặc trưng đối với bất kỳ T > 0, T 0 > T sao cho tất cả các đặc trưng t = T , t = T 0 . Do đó, điều kiện T > 0 tồn tại T 0 > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) với t = T 0 được thỏa mãn. Định lý được chứng minh. 1.3.1 Điều kiện biên tuần hoàn Giả sử rằng ít nhất một phần đầu tiên của nghiệm thỏa mãn điều kiện biên. Cụ thể, điều kiện biên ui (1, t) = hi (t, v(t)), 1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞), (1.16) ui (0, t) = hi (t, v(t)), k < i ≤ n, t ∈ (0, ∞). 9
được viết dưới dạng u1 (0, t) = u1 (1, t). Khi đó miền xác định của dữ liệu ban đầu u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (0, 1) trên u1 là Π nguyên. Hơn nữa với mỗi (x, t) ∈ Π, là quỹ đạo mở rộng bị chặn đi qua (x, t), ít nhất một quỹ đạo mở rộng được xây dựng bằng các đặc trưng của phương trình ui (1, t) = hi (t, v(t)), 1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞) ui (0, t) = hi (t, v(t)), k < i ≤ n, t ∈ (0, ∞). Điều kiện này đòi hỏi điều kiện T > 0 và i ≤ n tồn tại T 0 > T sao cho x ∈ [0, 1] với (x, T ) ∈ Xi0 mọi quỹ đạo mở rộng chứa ωi (τ ; x; T ) với t = T 0 không được thỏa mãn và do đó nghiệm cho bài toán (1.11) với các điều kiện (1.12) (1.13) là không trơn. 1.3.2 Điều kiện biên tuyến tính của dạng địa phương Xét các điều kiện biên đối xứng k X ui (0, t) = bij uj (0, t), k + 1 ≤ i ≤ n, t ∈ (0, ∞) j=1 n (1.17) X ui (1, t) = cij uj (1, t), 1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞), j=k+1 trong đó bij và cij là các hằng số. Các phương trình (1.11), (1.12), (1.17) là tuyến tính hóa đối với mô hình động lực học. Mục đích là cải tiến điều kiện đủ của bài toán k X ui (0, t) = bij uj (0, t), k + 1 ≤ i ≤ n, t ∈ (0, ∞) j=1 n X ui (1, t) = cij uj (1, t), 1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞). j=k+1 Lưu ý rằng, bij 6= 0 với một số k + 1 ≤ i ≤ n và j ≤ k , (tương tự cij 6= 0 với i ≤ k và k + 1 ≤ j ≤ n). Khi đó mỗi đặc trưng của phương trình thứ j từ biến x = 0 (tương tự như biến x = 1, các đối xứng là đặc trưng của phương trình thứ i. Vì tất cả 10
các quỹ đạo mở rộng đi qua (x, t) được xây dựng bằng các phép đối xứng tiếp theo. Cho mỗi quỹ đạo mở rộng đi qua (x, t) và có nhiều hơn một giá trị trơn, nó là một chuỗi duy nhất (hữu hạn nếu quỹ đạo mở rộng đi qua (x, t) là bị chặn và vô hạn trong các trường hợp khác) có dạng bi2 i1 , ci3 i2 , bi4 i3 , ci5 i4 , . . . (1.18) hoặc là dạng ci2 i1 , bi3 i2 , ci4 i3 , bi5 i4 , . . . (1.19) với các phần tử khác 0. Điều kiện T > 0 tồn tại T 0 > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) và t = T 0 được thỏa mãn cho mỗi T > 0 tất cả các quỹ đạo mở rộng đi qua (x, T ) bị chặn đơn điệu trong x ∈ [0, 1]. Tiếp theo, tương đương mệnh đề đã trình bày rằng tất cả các chuỗi (1.18) và (1.19) là bị chặn. Có nghĩa là điều kiện T > 0 tồn tại T 0 > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) và t = T 0 có thể biểu thị ở đây dưới dạng đại số, cụ thể là một số hữu hạn của các đẳng thức bi2 i1 · ci3 i2 · bi4 i3 · ci5 i4 · . . . · bin−1 in−2 · cin in−1 = 0 (1.20) với i1 , . . . , in sao cho ma trận Bn−k,k = {bij }k+1≤i≤n,j≤n và Ck,n−k = {cij }i≤k,k+1≤j≤n . xuất hiện trong (1.20) không quá một lần. Điều kiện (1.20) có thể được điều chỉnh lại như sau In−k Bn−k,k R= , Ck,n−k Ik trong đó Ij là ma trận đơn vị có kích thước j . Xét việc mở rộng hệ số xác định của R dọc theo n − k hàng đầu tiên, cụ thể là X det R = Di1 ,...,in−k Fi1 ,...,in−k . (1.21) i1
là tích của (1.20). Có thể chỉ ra rằng (1.21) được hoàn thành nếu tất cả các tích thu được trong (1.21) bằng 1. 1.3.3 Hiện tượng trơn cho bài toán biên ban đầu Định lý 1.3.2. ([7]) Giả sử λi , aij , gi , ϕi và hi là các hàm liên tục trong tất cả các đối số của chúng, và các hệ số λi là Lipschit trong x ∈ [0, 1], t ∈ [0, ∞]. Giả sử hi (t, z) khả vi liên tục trong z ∈ Rn và với mỗi T > 0 tồn tại C > 0 sao cho k∇z h(t, z) ≤ c(log log H(t, kzk))1/4 , (1.22) trong đó H là một đa thức trong kzk với các hệ số thuộc C[0, T ]. Nếu tính tương thích không theo thứ tự thì điều kiện (1.15) được áp dụng. Khi đó bài toán (1.11)-(1.13) có một nghiệm liên tục duy nhất trong Π có thể được xây dựng bằng phương pháp của dãy. Định lý 1.3.3. ([7]) Giả sử λi , aij , gi , ϕi và hi là các hàm trơn trong tất cả các đối số của chúng và thỏa mãn điều kiện (1.14), (1.22). Ta có (i) Giả sử điều kiện T > 0 tồn tại T 0 > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) và t = T 0 được áp dụng. Khi đó nghiệm liên tục cho bài toán (1.11)-(1.13) trơn với mọi ϕ ∈ C[0, 1]n thỏa mãn đẳng thức (1.15). (ii) Giả sử nghiệm liên tục cho bài toán (1.11)-(1.13) trơn với φ ∈ C[0, 1]n thỏa mãn đẳng thức (1.15). Khi đó, điều kiện T > 0 và i ≤ n tồn tại T 0 > T sao cho x ∈ [0, 1] với (x, T ) ∈ Xi0 mọi quỹ đạo mở rộng chứa ωi (τ ; x; T ) với t = T 0 được thỏa mãn. Sử dụng Định lý 1.3.2 và Định lí 1.3.3, ngoài ra có thể lấy ngay bài 12
toán biên ban đầu được xác định cho phương trình không thuần nhất (∂t2 − a2 ∂x2 )u = f (x, t). (1.23) và được kết quả trơn. Chẳng hạn, xét (1.23) theo điều kiện ban đầu u(x, 0) = ϕ(x), ∂t u(x, 0) = ψ(x). (1.24) và điều kiện biên u(0, t) =h1 (t, u(1, t), (∂tu+a ∂xu )|x=0 ), (1.25) (∂tu+a ∂xu )|x=1 =h2 (t, u(1, t), (∂tu+a ∂xu )|x=0 ). Bài toán(1.23)-(1.25) tương đương với bài toán sau đối với phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một (∂t+a ∂x )u = w, (∂t−a ∂x )w = f (x, t), (1.26) dϕ(x) u(x, 0) = ϕ(x), w(x, 0) = ψ(x) + a , (1.27) dx u(0, t) = h1 (t, u(1, t), w(0, t)), (1.28) w(1, t) = h2 (t, u(1, t), w(0, t)). Bài toán (1.23)-(1.25) có nghiệm liên tục, nghĩa là thành phần nghiệm đầu tiên (u, w) liên tục cho bài toán (1.26)-(1.28). Trong các điều kiện được giả sử tương ứng với bài toán (1.26)-(1.28), các kết quả trơn cho (1.23)-(1.25) là hệ quả của Định lý 1.3.2 và Định lý 1.3.3. Định lý 1.3.4. ([7]) Giả sử rằng f và hi là các hàm trơn trong tất cả các đối số của chúng và điều kiện (1.22) được thỏa mãn, khi đó (i) Nếu T > 0 tồn tại T 0 > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) và t = T 0 là đúng, thì nghiệm liên tục cho bài toán (1.23)-(1.25) là trơn đối với bất kì ϕ ∈ C 1 [0, 1] và ∂ ∈ C[0, 1] thỏa mãn điều kiện (1.27) và (1.28). 13
(ii) Giả sử rằng nghiệm liên tục cho bài toán (1.23)-(1.25) là trơn cho bất kỳ ϕ ∈ C 1 [0, 1] và ∂ ∈ C[0, 1] thỏa mãn các điều kiện (1.27) và (1.28) thì điều kiện T > 0 và i ≤ n tồn tại T 0 > T sao cho x ∈ [0, 1] với (x, T ) ∈ Xi0 mọi quỹ đạo mở rộng chứa ωi (τ ; x; T ) với t = T 0 được thỏa mãn. 14