Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm xấp xỉ của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày các nghiên cứu xây dựng phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert thực. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm xấp xỉ của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRẦN THỊ HƯƠNG THƠM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRẦN THỊ HƯƠNG THƠM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2016
i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 1 Không gian Hilbert 3 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Một số tính chất của không gian Hilbert . . . . . . . 8 1.1.3 Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Toán tử đơn điệu và toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . 11 1.3 Một số phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu . 14 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Phương pháp lặp Mann . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Phương pháp lặp Halpern . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Xấp xỉ không điểm của toán tử đơn điệu cực đại 18 2.1 Phương pháp xấp xỉ không điểm của toán tử đơn điệu cực đại18 2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Định lý hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Định lý hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Áp dụng cho bài toán cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35
ii Bảng ký hiệu N tập số nguyên không âm N∗ tập số nguyên dương R tập số thực H không gian Hilbert thực C tập con đóng lồi của H ∅ tập rỗng ∀x mọi x ∃x tồn tại x hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y kxk chuẩn của vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn * x xn hội tụ yếu x T toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert I toán tử đồng nhất trong H Jr toán tử giải của T PC phép chiếu mêtric từ H lên tập lồi C của H lim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } ∂f dưới vi phân của hàm lồi f
1 Mở đầu Toán tử đơn điệu là một công cụ hiệu quả và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như: phương trình vi phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xác suất, kinh tế,. . . Đặc biệt trong giải tích lồi, tính lồi của một hàm nửa liên tục dưới có thể được đặc trưng bởi tính đơn điệu của dưới vi phân của nó. Ta xét bài toán Tìm một phần tử v ∈ H sao cho 0 ∈ T v, (1) trong không gian Hilbert thực H, ở đây T : H → 2H là một toán tử đơn điệu cực đại. Một phương pháp phổ biến để giải bài toán (1) là phương pháp điểm gần kề được đề xuất và nghiên cứu bởi Rockafellar [12] vào năm 1976. Phương pháp này được xây dựng như sau: xuất phát từ điểm x0 = x ∈ H, dãy lặp {xn } trong H được xác định bởi xn+1 = Jrn xn , n = 0, 1, 2, . . . (2) trong đó Jrn = (I + rn T )−1 và {rn } là một dãy số thực dương. Rockafellar [12] đã chứng minh được tính hội tụ yếu của phương pháp (2) về một nghiệm của bài toán (1). Năm 1991, Guler [7] đã chỉ ra rằng phương pháp điểm gần kề (2) không hội tụ mạnh trong không gian Hilbert vô hạn chiều bằng một ví dụ. Năm 2004, Bauschke, Matousková và Reich [11] cũng đã chỉ ra ví dụ mà phương
2 pháp điểm gần kề chỉ hội tụ yếu nhưng không hội tụ theo chuẩn. Do đó, vấn đề nghiên cứu, cải tiến phương pháp điểm gần kề (2) nhằm thu được sự hội tụ mạnh cũng đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm, chẳng hạn như Kamimura và Takahashi [13], Tan và Xu [14],. . . Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày các nghiên cứu xây dựng phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert thực. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1: Trình bày về không gian Hilbert, một số tính chất của không gian Hilbert, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại, bài toán và một số phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại làm cơ sở nghiên cứu cho Chương 2. Chương 2: Trình bày hai phương pháp tìm xấp xỉ không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert thực. Phần cuối của chương là áp dụng cho bài toán tìm điểm cực tiểu của hàm lồi. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn này. Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy cùng toàn thể các thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới trường THPT Chu Văn An – Thái Nguyên, tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa 2014-2016), bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu.
3 Chương 1 Không gian Hilbert Chương này trình bày các khái niệm và tính chất của không gian Hilbert, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại và một số phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại. Các kiến thức của chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [3]. 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Khái niệm và ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Cho H là không gian vectơ trên R, tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ h., .i :H × H −→ R (x, y) 7−→ hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau đây 1. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H; 2. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H; 3. hλx, yi = λ hx, yi với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R; 4. hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 ⇔ x = 0. Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y trong H.
4 Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy ra 1. hx, 0i = h0, xi = 0 với mọi x ∈ H; 2. hx, λyi = λ hx, yi với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R; 3. hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H. Định nghĩa 1.1.3 Cặp (H, h., .i), trong đó H là một không gian tuyến tính trên R, h., .i là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbert thực. Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi . (1.1) Chứng minh. Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Giả sử y 6= 0, khi đó với mọi số λ ∈ R ta đều có hx + λy, x + λyi ≥ 0, tức là hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ 0. hx, yi Chọn λ = − ta được hy, yi |hx, yi|2 hx, xi − ≥0 hy, yi ⇔ |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi. Định lý được chứng minh Nhận xét 1.1.5 Dấu trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính.
5 Mối quan hệ giữa khái niệm chuẩn và tích vô hướng được thể hiện qua định lý sau. Định lý 1.1.6 Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức p kxk = hx, xi ∀x ∈ H. (1.2) Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. Nhận xét 1.1.7 Với kí hiệu này, bất đẳng thức Schwarz được viết lại thành |hx, yi| ≤ kxkkyk. Như vậy một không gian tiền Hilbert được xem như không gian định chuẩn có thể đầy đủ hoặc không đầy đủ. Định nghĩa 1.1.8 Nếu H là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là không gian Hilbert thực. Ví dụ 1.1.9 Trong không gian Rn cho Không gian Rn với: x = (x1 , x2 , . . . , xn ); y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , Pn đặt hx, yi = k=1 xk yk dễ dàng chứng minh được hàm số trên thỏa mãn các điều kiện về tích vô hướng. Ngoài ra, với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , n X n X 2 kxk = hx, xi = xk xk = |xk |2 , k=1 k=1 nên Rn là một không gian Hilbert. Để nghiên cứu về không gian l2 (Λ), trước hết ta cần mở rộng khái niệm tổng của một họ (tùy ý) các phần tử của không gian định chuẩn. Cho
6 Λ 6= ∅ là một tập hợp, X là một không gian định chuẩn và f : Λ → X là một ánh xạ. Ký hiệu F(Λ) là họ tất cả các tập con hữu hạn của Λ. Với mỗi F ∈ F(Λ), đặt X S(F ) = f (t) ∈ X. t∈F Giả sử tồn tại S ∈ X thỏa mãn: với mỗi ε > 0, tồn tại F0 ∈ F(Λ) sao cho với mọi F ∈ F(Λ), F ⊃ F0 thì kS(F ) − Sk < ε. Khi đó ta nói họ S(F ) hội tụ về S và kí hiệu là lim = S. Trong trường hợp này ta nói S là tổng F ∈F(Λ) của họ các phần tử {f (t)}t∈Λ trong không gian định chuẩn X và viết: X S= f (t). t∈Λ Ví dụ 1.1.10 Cho Λ là một tập hợp khác rỗng tùy ý. Ký hiệu l2 (Λ) là tập hợp các hàm số f xác định trên Λ lấy giá trị trên K sao cho X |f (t)|2 < ∞. t∈Λ Với f, g ∈ l2 (Λ), λ ∈ K, đặt (f + g)(t) = f (t) + g(t) (λf )(t) = λf (t). Dễ chứng minh được l2 (Λ), với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính. Ngoài ra, với f, g ∈ l2 (Λ), với mỗi t ∈ λ, ta có |f (t)g(t)| ≤ |f (t)|2 + |g(t)|2 . Điều này kéo theo X X X 2 |f (t)g(t)| ≤ |f (t)| + |g(t)|2 . t∈Λ t∈Λ t∈Λ P Do đó f (t)g(t) là tồn tại với mỗi f, g ∈ l2 (Λ). t∈Λ
7 Xét hàm số h., .i : l2 (Λ) × l2 (Λ) → K, xác định bởi X hf, gi = f (t)g(t) t∈Λ với mỗi f, g ∈ l2 (Λ). Dễ chứng minh được h., .i thỏa mãn các điều kiện về tích vô hướng. Suy ra l2 (Λ) là không gian tiền Hilbert. Với mỗi f ∈ l2 (Λ), X X kf k2 = hf, f i = f (t)f (t) = |f (t)|2 . t∈Λ t∈Λ Thực hiện việc chứng minh giống như trong l2 , ta cũng có l2 (Λ) đầy đủ. Như vậy l2 (Λ) là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1.11 Không gian L2 (X, µ): Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo. Với f, g ∈ L2 (X, µ), đặt Z hf, gi = f gdµ. (1.3) X Chú ý rằng, tích phân vế phải luôn tồn tại và hữu hạn vì theo bất đẳng thức Holder:  1/2  1/2 Z Z Z |f g|dµ ≤  |f |2 dµ  |g|dµ < +∞. X X X Dễ chứng minh được hàm số xác định bởi (1.3) là tích vô hướng trên L2 (X, µ). Ngoài ra ta thấy với mỗi f ∈ L2 (X, µ),  1/2  1/2 p Z Z ||f || = hf, f i =  f f dµ =  |f |2 dµ . X X Điều này kéo theo L2 (X, µ) là một không gian Hilbert.
8 Khi X = N∗ và µ({n}) = 1 với mọi n ∈ N∗ thì ta có l2 là không gian Hilbert với tích vô hướng ∞ X hx, yi = x n yn , n=1 trong đó x = (xn ); y = (yn ) ∈ l2 . 1.1.2 Một số tính chất của không gian Hilbert Định lý 1.1.12 Cho X là một không gian tiền Hilbert. Khi đó tích vô hướng là một hàm số liên tục trên X × X. Chứng minh. Giả sử {(xn , yn )} là một dãy các phần tử hội tụ về (x0 , y0 ) trong X × X, tức là lim xn = x0 ∈ X, lim yn = y0 ∈ X. Khi đó với mỗi x→∞ x→∞ ∗ n∈N , | hxn , xn i − hx0 , y0 i | ≤ | hxn , yn i − hxn , y0 i | + | hxn , y0 i − hx0 , y0 i | = | hxn , yn − y0 i | + | hxn − x0 , y0 i | (1.4) ≤ kxn k.kyn − y0 k + ||y0 k.kxn − x0 k Do xn → x0 nên dãy {xn } là giới nội, tức là tồn tại K > 0 sao cho kxn k ≤ K với mọi n ∈ N∗ . Từ (1.4) ta có lim hxn , yn i = hx0 , y0 i . n→∞ Điều này kéo theo tích vô hướng là hàm số liên tục. Định lý được chứng minh. Định lý 1.1.13 Nếu E là một tập lồi đóng trong không gian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất x0 ∈ E sao cho kx0 k ≤ kxk, với mọi x ∈ E.
9 Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành, với mọi x, y ∈ E ta có kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk + kyk)2 do đó x + y 2 2 2 2 kx − yk = 2(kxk + kyk ) − 4 . (1.5) 2 Đặt d = inf kxk. x∈E x+y x + y Vì E là một tập lồi nên ∈ E, kéo theo ≥ d. Từ (1.5) ta 2 2 có kx − yk2 ≤ 2(kxk2 + kyk2 ) − 4d2 . (1.6) Từ đó, nếu kxk = kyk = d thì x = y. Suy ra, x0 trong định lý nếu tồn tại là duy nhất. Từ định nghĩa của d suy ra tồn tại một dãy {xn } các phần tử của E sao cho lim kxn k = d. n→∞ Theo (1.6), với mỗi m, n ∈ N∗ , ta có kxn − yn k2 ≤ 2(kxn k2 + kyn |2 ) − 4d2 → 0 khi m, n → ∞. Suy ra {xn } là dãy Cauchy trong không gian Hilbert H nên nó hội tụ đến x0 ∈ H. Do E là một tập hợp đóng nên x0 ∈ E. Suy ra kx0 k = lim kxn k = d. n→∞ Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.1.14 Nếu E là một tập lồi đóng trong không gian Hilbert H thì mỗi phần tử x ∈ H, tồn tại một phần tử duy nhất y ∈ E sao cho kx − yk = ρ(x, E) = inf kx − uk. u∈E
10 Chứng minh. Ta thấy tập x − E = {x − u : u ∈ E} là một tập đóng trong H. Theo (1.1.13), tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ E sao cho kx − yk ≤ kx − uk với mọi u ∈ E hay kx − yk = ρ(x, E) = inf kx − uk. u∈E Hệ quả được chứng minh. Mệnh đề 1.1.15 Trong không gian Hilbert thực H ta có kλx + (1 − λ)yk2 ≤ λkxk2 + (1 − λ)kyk2 , với mọi x, y ∈ H và λ ∈ [0; 1]. Định nghĩa 1.1.16 Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi là hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu kxn − xk → 0 khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.17 Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, nếu hxn , yi → hx, yi khi n → ∞ với mọi y ∈ H. Nhận xét 1.1.18 Trong không gian Hilbert H: a) Hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng. b) Nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxn k → kxk và xn * x, thì xn → x khi n → ∞. 1.1.3 Phép chiếu mêtric Định nghĩa 1.1.19 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert thực H. Ta biết rằng với mỗi x ∈ H đều tồn tại phần tử PC x ∈ C thỏa mãn kx − PC (x)k = inf kx − yk. y∈C Phần tử PC (x) được xác định như trên được gọi là hình chiếu của x lên C và ánh xạ PC : H → C biến mỗi phần tử x ∈ H thành PC (x) được gọi
11 là phép chiếu mêtric từ H lên C. Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 1.1.20 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, ánh xạ PC : H → C là phép chiếu mêtric từ H lên C khi và chỉ khi hx − PC (x), y − PC (y)i ≤ 0 với mọi y ∈ C. Nhận xét 1.1.21 Về phương diện hình học, với mọi y ∈ C, nếu ta gọi α π là góc tạo bởi các véctơ x − PC (x) và y − PC (y), thì α ≥ . 2 1.2 Toán tử đơn điệu và toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.2.1 Cho X, Y ⊂ H và F : X → 2Y là các ánh xạ từ tập X vào tập hợp gồm các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Khi đó ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y (F (x) có thể là tập rỗng). Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y và được kí hiệu F : X → Y . Ví dụ 1.2.2 Xét phương trình đa thức xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0, trong đó n ∈ Z ∗ , ai ∈ R(i = 1, · · · , n). Quy tắc cho tương ứng mỗi điểm a = (a1 , a2 , a3 , · · · , an ) ∈ R với tập nghiệm của phương trình trên, ký hiệu bởi F (a) cho ta ánh xạ đa trị F : Rn → 2C trong đó C là tập hợp số phức. Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạ đa trị T : H → 2H với miền hữu hiệu domT = {z ∈ H : T z 6= ∅}
12 và miền ảnh R(T ) = ∪{T z : z ∈ domT }. T được gọi là đơn điệu nếu hx1 − x2 , y1 − y2 i ≥ 0 ∀xi ∈ domT và yi ∈ T xi , i = 1, 2 Ví dụ 1.2.4 Ví dụ dơn giản nhất về các toán tử đơn điệu là các toán tử tuyến tính và đơn trị. Chẳng hạn, nếu H là một không gian Hillbert thực và T : H → H ∗ ≡ H là một ánh xạ tuyến tính thì T là đơn điệu khi và chỉ khi T là toán tử dương, nghĩa là hT x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. Ví dụ 1.2.5 Cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực R. Một hàm ϕ : D → R∗ ≡ R là một toán tử đơn điệu khi và chỉ khi ϕ là một hàm đơn điệu không giảm theo nghĩa thông thường. Thật vậy, nếu ϕ là một hàm đơn điệu không giảm theo nghĩa thông thường thì ∀t1 , t2 ∈ D, t1 < t2 ⇒ ϕ(t1 ) ≤ ϕ(t2 ) hay [ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )](t2 − t1 ) ≥ 0, ∀t1 , t2 ∈ D. Định nghĩa 1.2.6 Cho ánh xạ đa trị T : H → 2H được gọi là: (i) Nửa liên tục trên tại x ∈ domT nếu với mọi tập mở V ⊃ T (x), tồn tại lân cận mở U của x sao cho T (x0 ) ⊆ V, ∀x0 ∈ U ; (ii) Nửa liên tục dưới tại x ∈ domT nếu với mọi tập mở V ⊂ H thỏa mãn T (x) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận mở U của x sao cho T (x0 ) ∩ V 6= ∅, ∀x0 ∈ U ∩ domT ; (iii) Nửa liên tục tại x ∈ domT nếu T đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x;
13 (iv) Nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên H nếu T nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc H; (v) Nếu T liên tục tại mọi điểm thuộc H thì T được gọi là liên tục trên H. Định nghĩa 1.2.7 Cho C ⊆ H là tập khác rỗng. Ánh xạ đa trị F : C → 2H được gọi là liên tục Lipschitz với hệ số L > 0 (viết tắt là L-Lipschitz) trên C nếu ρ(F (x), F (y)) ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C. Nếu L < 1 thì ta nói F là ánh xạ co trên C. Nếu L = 1 thì ta nói F là ánh xạ không giãn trên C. Định nghĩa 1.2.8 Một toán tử đơn điệu T được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(T ) = {(x, y) : y ∈ T x} không chứa thực sự trong đồ thị của toán tử đơn điệu khác. Mệnh đề 1.2.9 Cho toán tử đơn điệu T trên H, T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi R(I + T ) = H. Định nghĩa 1.2.10 Cho T : H → 2H là một toán tử đơn điệu cực đại, với mỗi r > 0 một toán tử Jr : H → H xác định bởi Jr = (I + rT )−1 được gọi là toán tử giải (ánh xạ gần kề) của T trong đó I là toán tử đồng nhất trong H. Mệnh đề 1.2.11 Cho T là toán tử đơn điệu cực đại bất kì và số thực r > 0, toán tử giải Jr = (I + rT )−1 là không giãn (do đó là đơn trị) và có miền xác định đầy đủ. Mệnh đề 1.2.12 Cho toán tử đơn điệu cực đại T , số thực r > 0, và x ∈ H, 0 ∈ T x khi và chỉ khi Jr (x) = {x}.
14 Chứng minh. Bằng cách tính trực tiếp, Jr = {(x + ry, x) | (x, y) ∈ T }. Vì vậy 0 ∈ T x ⇔ (x, 0) ∈ T ⇔ (x, x) ∈ Jr . vì Jr là đơn trị nên phần chứng minh được kết thúc. Ta xác định toán tử xấp xỉ Ar bằng I − Jr Ar = . r Ta biết rằng Ar x ∈ T Jr x và ||Ar x|| ≤ inf{||y|| : y ∈ T x} với mọi x ∈ H. Ta có T −1 0 = F (Jr ), ∀r > 0. Rockafellar [12] và Takahashi [13] đã chỉ ra rằng ||Jr x − Jr y||2 + r2 ||Ar x − Ar y||2 ≤ ||x − y||2 với mọi x, y ∈ H và r > 0. Nhận xét 1.2.13 Cho f : H → (−∞; +∞] là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Ta xác định dưới vi phân ∂f của f bởi ∂f (x) = {z ∈ H : f (y) ≥ f (x) + hy − x, zi} ∀y ∈ H. ∂f là một toán tử đơn điệu cực đại từ H vào H. 1.3 Một số phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu Cho H là không gian Hilbert thực, toán tử T : H → 2H là đơn điệu cực đại, khi đó bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại được phát biểu như sau: Tìm z ∈ H sao cho 0 ∈ T z. (1.7)
15 Nếu T là đơn trị thì đây chính là bài toán giải phương trình T z = 0. Nếu T là đa trị thì đây là bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại T. Về mặt hình thức thì bài toán này khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực như bài toán cực tiểu hàm lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động . . . Trong trường hợp T là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới f : H → R ∪ +∞ (tức là T = ∂f ) thì T là toán tử đơn điệu cực đại và khi đó bài toán (1.7) sẽ trở thành bài toán: Tìm z ∈ H sao cho f (z) = min f (x) x∈H và được gọi là bài toán cực tiểu hàm lồi. Thật vậy, ta có 0 ∈ T z khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (z). Theo định nghĩa dưới vi phân hàm lồi h0, u − zi ≤ f (u) − f (z), ∀u ∈ H ⇔ f (z) ≤ f (u), ∀u ∈ H. Điều này cho thấy việc tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại tương đương với việc tìm cực tiểu hàm lồi và nửa liên tục dưới f . Trong mục này ta trình bày phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern và phương pháp điểm gần kề để tìm nghiệm của bài toán 0 ∈ T z trong trường hợp T là toán tử đơn điệu cực đại. Ta biết rằng, với mỗi z ∈ H và r > 0, tồn tại duy nhất u ∈ H sao cho z ∈ (I + rT )(u).
16 Khi đó, toán tử Jr = (I + rT )−1 là đơn trị, xác định trên toàn bộ H và Jr là ánh xạ không giãn, tức là kJr (z) − Jr (z 0 )k ≤ kz − z 0 k. Từ đây ta nhận thấy mặc dù T là ánh xạ đa trị, đơn điệu cực đại nhưng ánh xạ Jr là đơn trị và không giãn trên H. Nếu z là điểm bất động của ánh xạ Jr , nghĩa là z = Jr (z) = (I + rT )−1 (z) thì z ∈ (I + rT )(z) = z + rT (z) hay 0 ∈ rT (z). Do vậy z là không điểm của toán tử T . Như vậy thay vì tìm không điểm của ánh xạ đa trị T ta đi tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Jr với r > 0. 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề Bước 1: Chọn điểm xuất phát x0 = x ∈ H, dãy số {rn } là một dãy số thực dương, với mọi n = 1, 2, 3, . . .. Ta xây dựng công thức truy hồi. Bước n: Xây dựng dãy điểm {xn } ⊂ H bằng cách: tại bước lặp thứ n ta tính xn+1 bởi công thức xn+1 = Jrn xn , n = 0, 1, 2, . . . trong đó Jrn = (I + rn T )−1 và {rn } là một dãy số thực dương. Rockafellar [12] đã chỉ ra rằng dãy {xn } hội tụ yếu đến một phần tử x∞ sao cho 0 ∈ T (x∞ ). Sau đây là hai phương pháp lặp cơ bản tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn.