Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ninoid và đại số binoid

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 - Tìm hiểu về binoid, đồng cấu binoid, tập sinh binoid, một số lớp binoid đặc biệt, tích smash, tác động binoid trên tập định điểm, địa phương hóa và iđêan trong binoid giao hoán. Chương 2 - Tìm hiểu về đại số và đại số binoid, iđêan trong đại số binoid, cấu trúc mô đun của đại số. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ninoid và đại số binoid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HOÀNG ANH BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HOÀNG ANH BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Tôi không sao chép từ bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020 Người viết luận văn Lưu Hoàng Anh Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học TS. Trần Nguyên An i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Thái nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020 Người viết Luận văn Lưu Hoàng Anh ii
Mục lục Chương 1. Binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Binoid và đồng cấu binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Tập sinh binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Một số lớp binoid đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Tích smash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6. Tác động của binoid trên tập định điểm . . . . . . . . . . . . . 22 1.7. Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8. Iđêan trong binoid giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. Đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1. Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3. Iđêan trong đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. R[N]–môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5. Đại số binoid của N -binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 iii
MỞ ĐẦU Năm 2015, Simone Bottger trong luận án tiến sĩ của mình “Monoids with absorbing elements and their associated algebras” [3] đã giới thiệu khái niệm binoid và đại số binoid mở rộng, khái niệm vị nhóm, đại số vị nhóm: Cho R là vành giao hoán, cho M là một vị nhóm với phép cộng. Phần tử a ∈ M thỏa mãn a + b = a, với mọi b ∈ M được gọi là phần tử hút (absorbing element). Phần tử như vậy nếu tồn tại là duy nhất và được ký hiệu là ∞. Một vị nhóm có phần tử hút được gọi là một binoid. Đại số kết hợp với binoid được gọi là đại số binoid của M, ký hiệu là R[M ] và được xác định là đại số thương R[M ] := RM/(X ∞ ), RX a là đại số vị nhóm, (X ∞ ) là iđêan của RM sinh bởi L trong đó RM = a∈M X ∞ . Như vậy, đại số binoid là mở rộng của đại số vị nhóm. Đại số binoid là vành thương của đại số đa thức bởi iđêan đơn thức hoặc iđêan nhị thức sinh bởi các nhị thức thuần túy (pure difference binomial). Nhắc lại giả sử S = R [x1 , . . . , xn ] , n ≥ 1 là vành đa thức, đa thức dạng xa11 xa22 ...xann , ai ∈ N, i = 1, n được gọi là một đơn thức, đa thức dạng axa11 xa22 ...xann − bxb11 xb22 ...xbnn ; a, b ∈ R, ai , bi ∈ N được gọi là một nhị thức, nhị thức mà a, b ∈ {0; 1} gọi là nhị thức thuần túy. Các đại số binoid là đối tượng chính trong Tổ hợp, Đại số giao hoán và hình học đại số. Các đại số phải kể đến là: Vành tọa độ của đa tạp affin (xạ ảnh), vành Stanley-Reisner, vành Toric. 1
Mục đích của luận văn là tìm hiểu về binoid và đại số binoid theo hai tài liệu chính [2], [3]. Luận văn bao gồm 2 chương. Chương 1 tìm hiểu về binoid, đồng cấu binoid, tập sinh binoid, một số lớp binoid đặc biệt, tích smash, tác động binoid trên tập định điểm, địa phương hóa và iđêan trong binoid giao hoán. Chương 2 tìm hiểu về đại số và đại số binoid, iđêan trong đại số binoid, cấu trúc môđun của đại số. 2
Chương 1 Binoid 1.1. Binoid và đồng cấu binoid Phần này giới thiệu định nghĩa binoid và một số tính chất của binoid. Trong luận văn ta luôn quy ước R là vành giao hoán có đơn vị. Định nghĩa 1.1.1. (1) Một nửa nhóm (M, ∗) là một tập hợp M và phép toán ∗ kết hợp. ∗ : M × M → M (a, b) 7→ a ∗ b Một vị nhóm (M, ∗, e) là một nửa nhóm tồn tại phần tử e thỏa mãn a ∗ e = e ∗ a = a với mọi a ∈ M. Một phần tử như vậy được gọi là phần tử đơn vị của M và phần tử đơn vị luôn là duy nhất. (2) Một vị nhóm con của vị nhóm M là một nửa nhóm con có chứa phần tử đơn vị của M. Trong phép toán cộng, phần tử đơn vị sẽ được ký hiệu là 0 và trong phép toán nhân ta ký hiệu là 1. (3) Một phần tử a ∈ M trong nửa nhóm là phần tử hút (absorbing) nếu a ∗ x = x ∗ a = a với mọi x ∈ M . Một phần tử hút luôn là duy nhất nếu tồn tại. (4) Một binoid (M, ∗, e, a) (nửa binoid (M, ∗, a)) là một vị nhóm (hay nửa nhóm) với một phần tử hút a. Một binoid con (nửa binoid con) của M là một vị nhóm con (hay nửa nhóm con) của M chứa phần tử hút của M . Trong phép toán cộng, phần tử hút sẽ được ký hiệu bằng ∞ và trong phép toán nhân ta ký hiệu là 0. Theo định nghĩa, nửa binoid và vị nhóm luôn là tập khác rỗng, đặc biệt các binoid cũng vậy. 3
Ta ký hiệu tập các binoid là B và tập các binoid giao hoán là com B. Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm thì mọi binoid sẽ được trang bị phép toán cộng (kể cả binoid không giao hoán). Hơn nữa, trừ khi có sự nhầm lẫn, chúng ta viết tắt là: na = a + . . . + a và nA = {a1 + . . . + an | ai ∈ A} , với n ∈ N, a ∈ M, A ⊆ M, 0a = 0 và 0A = ∅. Ví dụ 1.1.2. (1) Binoid {∞}, tức là 0 = ∞ được gọi là binoid không và binoid {0, ∞} được gọi là binoid tầm thường (2) Thêm phần tử hút ∞ vào vị nhóm giao hoán (Nn , +, (0, . . . , 0)) , n ≥ 1, ∞ bằng cách xác định k + ∞ = ∞ tạo ra một binoid, ký hiệu là (Nn ) . (3) Cho (R, +, ·) là một vành. Khi đó (R, ·) là một binoid. Ví dụ 1.1.3. Cho V là tập tùy ý. Tập lũy thừa P (V ) là tập các tập con của V. Khi đó ta có hai binoid sau: P (V )∩ = (P (V ), ∩, V, ∅) và P (V )∪ = (P (V ), ∪, ∅, V ) Ta có P (∅) tạo ra binoid không và P ({1}) là binoid tầm thường. Nếu V là hữu hạn, chúng ta viết tắt P ({1, . . . , n}) = Pn , n ≥ 1 và viết Pn,∩ và Pn,∪ cho các binoid tương ứng. Các binoid con của P (V )∩ và P (V )∪ được cho bởi các tập hợp con M ⊆ P (V ) chúng là đóng đối với phép toán ∪ và ∩, lần lượt chứa ∅ và V . Nếu M là một binoid con của P (V )∪ (tương ứng P (V )∩ ), thì M c = {U c | U ∈ M } , trong đó U c = V \ U là phần bù của U , là một binoid con của P (V )∩ (tương ứng P (V )∪ ) vì U c ∪ W c = (U ∩ W )c (tương ứng U c ∩ W c = (U ∪ W )c ) với mọi U, W ⊆ P (V ). Đặc biệt, mọi topo T = U | U ⊆ V mở trên tập khác rỗng V xác định các binoid giao hoán liên quan đến phép hợp và phép giao, cụ thể là (T , ∩, V, ∅) = T∩ và (T , ∪, ∅, V ) = T∪ , cũng như tập hợp tất cả các tập đóng T c = {U c | U ∈ T } . Các binoid P (V )∪ và P (V )∩ sinh từ tôpô rời rạc trên V và binoid do tôpô tầm thường trên V chính là binoid tầm thường {V, ∅}. 4
Định nghĩa 1.1.4. Nửa binoid và vị nhóm thành lập bằng thêm một phần tử hút và một phần tử đơn vị vào một nửa nhóm M sẽ được ký hiệu lần lượt là M ∞ và M 0 . Nếu M chứa phần tử hút, chúng ta viết M • = M \ {∞} . Định nghĩa 1.1.5. Một tập định điểm (pointed set) (S, p) là tập S có phần tử đặc biệt p ∈ S. Một ánh xạ (S, p) → (T, q) của các tập hợp điểm với p 7→ q được gọi là ánh xạ định điểm (pointed map). Tập hợp tất cả các ánh xạ định điểm S → T sẽ được ký hiệu là mapp7→q (S, T ) . Trong trường hợp T = S và p = q, chúng ta chỉ cần viết mapp S. Tập mapp S là một binoid với phép hợp thành ánh xạ S → S. Phần tử đơn vị được cho bởi idS và phần tử hút xác định bởi ánh xạ không đổi cp : s 7→ p, s ∈ S. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi binoid có thể nhúng vào một binoid gồm các ánh xạ mapp S, ◦, idS , cp . Đặc biệt, ta có một tập hợp M là một vị nhóm nếu và chỉ nếu nó là một nửa nhóm định điểm (M, 0) với tính chất bổ sung của phần tử đơn vị 0. Tương tự, nửa binoid M là một nửa nhóm định điểm (M, ∞) với tính chất xác định của ∞. Khi quan sát điều này, một binoid M có thể được coi là một tập hợp định điểm (M, p) theo hai cách khác nhau: Một tập hợp định điểm với p = 0 hoặc như một tập hợp định điểm với p = ∞. Tích và tổng trực tiếp của một họ (Si , pi )i∈I của các tập định điểm cũng là một tập định điểm với phần tử (pi )i∈I và chúng trùng nhau nếu và chỉ nếu I là hữu L Q hạn; trong trường hợp này, chúng ta ký hiệu i∈I Si thay vì i∈I Si . Tương tự các cấu trúc khác, ta có các khái niệm tổng, tích các binoid. Định nghĩa 1.1.6. Cho M và N là binoids (hoặc nửa binoid). Một ánh xạ ϕ : M → N là một đồng cấu binoid (nửa binoid) nếu nó là một đồng cấu (nửa nhóm) và ϕ(∞M ) = ∞N . Hơn nữa, chúng ta gọi ϕ là một đơn cấu hoặc phép nhúng nếu nó là đơn ánh, là một toàn cấu nếu nó là toàn ánh, là một đẳng cấu nếu nó là song ánh, khi đó ta viết M ∼ = N. Tập im ϕ = ϕ (M ) là ảnh của ϕ và tập ker(ϕ) = {a ∈ M | ϕ (a) = ∞N } là hạt nhân của ϕ . Tập hợp tất cả các đồng cấu binoid từ M đến N được ký hiệu là hom(M, N ) 5
Ghi chú 1.1.7. Một đồng cấu binoid thỏa mãn ker = {∞} không chắc là đơn ánh. Ví dụ đồng cấu binoid: ϕ : N∞ → {0, ∞} với x 7→ 0 nếu x 6= ∞ và ∞ 7→ ∞ thỏa ker(ϕ) = {∞}, nhưng không phải là đơn ánh. Ví dụ 1.1.8. Cho M là một binoid. Khi đó: (1) Có đồng cấu binoid chính tắc {0, ∞} → M → {∞}. (2) Nếu M là giao hoán, ánh xạ M → M với a 7→ ka là đồng cấu binoid với mọi k ∈ N. (3) Mọi phần tử a ∈ M xác định đồng cấu binoid ϕa : N∞ → M với 1 7→ a. Ngược lại, mọi đồng cấu binoid N∞ → M được xác định bằng ảnh của 1. Do đó, hom (N∞ , M ) ∼ = M. Ảnh im ϕa được xác định bởi binoid con {∞, na | n ∈ N} và ker ϕa 6= {∞} nếu và chỉ nếu a là lũy linh. (4) P (V ) ∼ c = P (V ) . Ví dụ 1.1.9. Cho I = {1, . . . , n} , n ≥ 1. n (1) Các song ánh chính tắc Pn,∩ → {0, ∞} , A 7→ (δi (A))i∈I và n Pn,∪ → {0, ∞} , A 7→ δ¯i (A) i∈I , trong đó   0, nếu i ∈ A, δi (A) =  ∞, nếu i ∈/A và   ∞, nếu i ∈ A, ¯ δi (A) =  0, nếu i ∈ /A với i ∈ I là các đẳng cấu binoid. (2) Cho (Mi )i∈I là một họ binoid và k ∈ I. Khi đó, phép chiếu trên thành phần thứ k Y Mi → Mk , (ai )i∈I 7→ ak , i∈I Q là toàn cấu binoid, tương ứng Mk ,→ i∈I Mi được xác định bởi a 7→ (∞, . . . , ∞, a, ∞, . . . , ∞) chỉ là một đồng cấu nửa binoid và tương ứng a 7→ (0, .., 0, a, 0, .., 0) chỉ là một đồng cấu vị nhóm (trong cả hai trường hợp a là thành phần thứ k). 6
Bổ đề 1.1.10. Cho M là một binoid. Khi đó, tồn tại một phép nhúng binoid M → map∞ M, a 7→ (tx : y 7→ x + y) . Chứng minh. Ánh xạ này là một đồng cấu binoid vì (tx ◦ tx0 ) (y) = x + x0 + y = tx+x0 (y), với mọi x, y ∈ M, 0 7→ t0 = idM và ∞ 7→ (t∞ : y 7→ ∞) . Ánh xạ là đơn cấu vì 0 0 từ tx = tx0 tương đương với x + y = x + y với mọi y ∈ M, kéo theo x = x với y = 0. 1.2. Tập sinh binoid Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một binoid và A là một tập con của M. Vì giao của một họ các binoid con của M cũng là binoid con của M nên tồn tại một binoid con nhỏ nhất của M chứa A và được gọi là binoid sinh bởi A, ký hiệu là hAi. Nếu M = hAi thì ta nói M sinh bởi A và A được gọi là một hệ sinh, các phần tử của A được gọi là các phần tử sinh của M. Trong trường hợp này, A được gọi là hệ sinh tối tiểu của M nếu không có tập con thực sự nào của A sinh ra M. Một binoid được gọi là hữu hạn sinh nếu nó được sinh bởi một tập hữu hạn. Một binoid hữu hạn sinh có hệ sinh (tối tiểu) có n phần tử và mọi hệ sinh khác của M có nhiều hơn hoặc bằng n phần tử được gọi là n-phần tử sinh. Một binoid hữu hạn chỉ chứa hữu hạn các phần tử. Định nghĩa này cũng được áp dụng cho nửa binoid S và tập con A ⊂ S nếu các điều kiện trên đúng với binoid S 0 và A. Một hệ sinh A của M sinh ra M như là một vị nhóm nếu và chỉ nếu tồn tại các phần tử a, b ∈ M • sao cho a + b = ∞ (tính chất này sau này sẽ được gọi là không tách rời). Mặt khác, A ∪ {∞} sinh ra M là một vị nhóm. Đặc biệt, một binoid là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nó là một vị nhóm hữu hạn sinh. Ví dụ 1.2.2. Từ định nghĩa ta có một số ví dụ đơn giản sau (1) Binoid không ∞ là binoid hữu hạn sinh bởi ∅ là một vị nhóm và cũng là một binoid. Binoid tầm thường {0, ∞} như binoid sinh bởi ∅ nhưng {∞} là vị nhóm sinh của nó. 7
(2) N∞ = h1i như binoid nhưng là tập sinh của vị nhóm N∞ sinh bởi 1 và ∞. Tổng quát (Nn )∞ với n ≥ 1 là binoid hữu hạn sinh với hệ sinh là với các phần tử ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), i ∈ {1, . . . , n}, trong đó 1 ở vị trí phần tử thứ i và (Nn )∞ với n ≥ 1, còn là binoid hữu hạn sinh bởi vị nhóm (∞, . . . , ∞) và ei , i ∈ {1, . . . , n}. Bổ đề 1.2.3. Một binoid giao hoán M là hữu hạn nếu và chỉ nếu M hữu hạn sinh và mọi binoid con 1-phần tử sinh của M là hữu hạn. Chứng minh. Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M = hx1 , . . . , xr i, r ∈ N đều xác định một toàn cấu chính tắc r Y r X hxi −→ M với (n1 x1 , . . . , nr xr ) 7−→ ni xi . i=1 i=1 Tích trên là hữu hạn vì các thành phần của nó là hữu hạn theo giả thiết. Vì ánh xạ là toàn cấu nên M hữu hạn. Nếu M là một binoid sinh bởi A (không nhất thiết phải hữu hạn) thì mọi phần tử f ∈ M • có thể viết dưới dạng tổng hữu hạn các phần tử của M. Trong trường hợp M giao hoán, ta có thể viết X f= na a với na ∈ N và na = 0 với hầu hết a ∈ A. a∈A Hiển nhiên biểu diễn này không phải là duy nhất. Định nghĩa 1.2.4. Cho V là một tập hợp các phần tử bất kỳ. Kí hiệu M (V ) là vị nhóm tự do chứa tất cả các tổng hữu hạn các phần tử của V với phép toán cộng xác định bởi (x1 + . . . + xn ) + (y1 + . . . + ym ) := x1 + . . . xn + y1 + . . . + ym , trong đó xi , yj ∈ V, i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m} và tổng trên tập rỗng (:= 0) là phần tử trung lập. Binoid M (V )∞ =: F (V ) được gọi là binoid tự do trên V. Bổ đề 1.2.5. Mọi phần tử khác ∞ của F (V ) đều có thể được viết duy nhất dưới dạng một tổng các phần tử của V. 8
Chứng minh. Điều này là hiển nhiên vì x1 + . . . + xn = (x1 ) + . . . + (xn ). Rõ ràng F (V ) là giao hoán nếu và chỉ nếu V = {x} là một đơn thức. Trong một binoid giao hoán có nhiều hơn một phần tử sinh, biểu diễn trên không là duy nhất. Ta dễ kiểm tra được kết quả sau: Bổ đề 1.2.6. Cho M là một binoid. Mọi tập con A = {ai | i ∈ I} ⊆ M đều cảm sinh duy nhất một đồng cấu binoid ε : F (I) −→ M, i 7−→ ai , i ∈ I là toàn cấu khi và chỉ khi A sinh ra M. Chứng minh. Chứng minh này là dễ dàng. Bổ đề suy ra rằng: Với mọi tập sinh A = {ai | i ∈ I} của binoid M có toàn cấu binoid chính tắc ε : F (I) −→ M, i 7−→ ai , i ∈ I. Định nghĩa 1.2.7. Cho M là một binoid giao hoán. Ta nói M là binoid giao ∞ hoán tự do nếu tồn tại đồng cấu ε : N(I) → M với mọi tập I (I có thể vô hạn). Họ các phần tử (ε(ei ))i∈I của M gọi là cơ sở của M . Binoid giao hoán tự do với cơ sở V được ký hiệu là F C (V ) hoặc là F Cn nếu V = {1, ..., n} . Bổ đề 1.2.8. Mọi phần tử f 6= ∞ của binoid giao hoán tự do hữu hạn sinh với P cơ sở (xi )i∈I xác định duy nhất một biểu thức f = i∈I ni xi với ni = 0 với hầu hết mọi i ∈ I . Ví dụ 1.2.9. Binoid giao hoán Z∞ không giao hoán tự do vì các phần tử nghịch đảo không tầm thường, 0 ∈ Z∞ tạo ra các biểu thức không duy nhất. Toàn cấu ∞ binoid chính tắc ϕ : N2 → Z∞ ; (1, 0) 7→ 1; (0, 1) 7→ −1 không là nội xạ vì chẳng hạn như ϕ−1 (0) = {(m, n) | n ∈ Z} . Bổ đề 1.2.10. Cho một họ các phần tử giao hoán (ai )i∈I của binoid M , i.e.ai + aj = aj + ai với mọi i, j ∈ I; tồn tại duy nhất một đồng cấu binoid ε : F C (I) → M, i 7→ ai , i ∈ I là toàn ánh nếu và chỉ nếu {ai | i ∈ I} hệ sinh của M. 9
Định nghĩa 1.2.11. Cho V là một tập tùy ý. Các binoid cảm sinh từ F(V ) và FC(V) bằng cách trang bị phép toán cộng Ri , i ∈ I, giữa các phần tử của V, ký hiệu bởi F(V )/ (Ri )i∈I and FC(V )/ (Ri )i∈I Ở đây, chúng ta ngầm thừa nhận các tính chất của một vị nhóm xác định bởi các phần tử sinh với quan hệ được cho bởi định nghĩa trên một cách sơ sài. Định nghĩa 1.2.12. Cho M là một binoid giao hoán khác không. Ta nói M là một binoid nửa tự do với nửa cơ sở (ai )i∈I nếu M sinh bởi {ai |i ∈ I} , sao cho mỗi phần tử f ∈ M • có thể viết được duy nhất dưới dạng f = i∈I ni ai , ni = 0 P với hầu hết i ∈ I. Khi đó, tập {ai |ni 6= 0} =: supp(f ) được gọi là tập hỗ trợ của f. Một nửa binoid giao hoán S là nửa tự do nếu binoid S 0 là nửa tự do. Rõ ràng, mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh tự do là nửa tự do (xem Hệ quả 1.3.17) và một nửa cơ sở luôn là hệ sinh tối tiểu. Binoid nửa tự do là lớp đại diện quan trọng của các binoid giao hoán, xem Hệ quả 1.8.10. Ví dụ 1.2.13. ∞ (i) Binoid N(I) là nửa tự do với nửa cơ sở ei , i ∈ I. (ii) Phần tử sinh 1 và −1 của Z∞ không là nửa cơ sở vì 0 = n · 1 + n · (−1) với mọi n ≥ 1. Thật vậy, Z∞ không là nửa tự do. Mọi hệ sinh tối tiếu của Z∞ được cho bởi hai số nguyên n, m ∈ Z với n > 0, m < 0, và gcd(n, −m) = 1. Do đó, ˜ + lm kn + lm = 1 với k, l > 0 kéo theo kn ˜ = −1 với k, ˜ ˜l > 0, cộng mn − nm = 0 vào hai vế ta được −kn − lm = −1. Áp dụng cho phương trình trên ta thu được một biểu diễn không duy nhất của 0 theo n và m. 1.3. Một số lớp binoid đặc biệt Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một binoid (hoặc nửa binoid). Một phần tử a ∈ M được gọi là lũy linh nếu tồn tại n ≥ 1 sao cho na = a + . . . a = ∞. Tập hợp các phần tử lũy linh ký hiệu là nil(M ). Ta nói M là rút gọn nếu nil(M ) = {∞} và M là rút gọn mạnh nếu a + a + b = ∞ kéo theo a + b = ∞, với a, b ∈ M. 10
Bổ đề 1.3.2. (1) Một binoid rút gọn mạnh là một binoid rút gọn. (2) Một binoid giao hoán là rút gọn mạnh nếu và chỉ nếu nó là rút gọn. Chứng minh. (1) Nếu tồn tại a và n ≥ 2 sao cho na = ∞ trong một binoid rút gọn mạnh thì bằng cách áp dụng nhiều lần ∞ = na = a + a + (n − 2)a = a + (n − 2)a = (n − 1)a, ta thu được ∞ = 2a = a + a + 0. Do đó ta có ∞ = a + 0 = a. (2) Bằng cách cộng b vào hai vế của phương trình a + a + b = ∞ trong binoid giao hoán, ta suy ra 2(a + b) = ∞. Do đó a + b = ∞ nếu binoid đó là binoid rút gọn. Định nghĩa 1.3.3. Cho M 6= {∞} là một binoid (hoặc nửa binoid). Một phần tử a ∈ M • được gọi là nguyên nếu từ a + b = ∞ hoặc b + a = ∞ kéo theo b = ∞. Tập các phần tử nguyên của M ký hiệu là int(M ) và phần bù M \ int(M ) ký hiệu là intc (M ). Ta nói M là nguyên nếu M • là một vị nhóm con (hoặc tương ứng là nửa nhóm con) của M, nghĩa là M • chỉ chứa các phần tử nguyên. Ví dụ 1.3.4. (1) Theo định nghĩa (Nn )∞ là một binoid nguyên và (Zn )∞ là một nhóm binoid. Mặt khác, binoid (N∞ )n , n ≥ 2 hiển nhiên là không nguyên. (2) Khái niệm về tính chất nguyên của vành R và binoid (R, ·, 1, 0) là trùng nhau, nghĩa là các phần tử không nguyên chính là các ước của không trong R. Do đó intc (R) = {0} nếu và chỉ nếu R là miền nguyên. Bổ đề 1.3.5. Phần tử lũy linh là không nguyên, nghĩa là nil(M ) ⊆ intc (M ) đối với mỗi binoid. Đặc biệt, mỗi binoid nguyên là một binoid rút gọn. Chứng minh. Điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Bổ đề 1.3.6. Tập con Mint := int(M ) ∪ {∞} ⊆ M là một binoid con nguyên với mọi binoid M khác không. Định nghĩa 1.3.7. Cho M là một vị nhóm (hoặc binoid khác không). Một phần tử u ∈ M được gọi là phần tử đơn vị nếu tồn tại một phần tử a ∈ M sao cho a + u = u + a = 0. Phần tử a được xác định duy nhất (đối với phép toán cộng) và được gọi là phần tử đối của u, ký hiệu là −u. Tập tất cả các phần tử đơn vị M × 11
là binoid con của M , là nhóm con đơn vị của M nếu M là nhóm. Tập các phần tử không đơn vị M \ M × ký hiệu là M+ . Ta nói M là dương nếu nó có một nhóm đơn vị tầm thường, nghĩa là M \ {0} = M+ . Một nhóm binoid là một binoid G sao cho G• = G× , nghĩ là G• là một nhóm. Trong phần này ta quy ước nếu R là một vành thì R∞ kí hiệu nhóm binoid (giao hoán) được xây dựng bởi các phần tử hút liền kề của RF đối với cấu trúc cộng. Chẳng hạn (Zn )∞ = (Zn ∪ {∞}, +, (0, . . . , 0), ∞) và (Z/mZ)∞ = (Z/mZ ∪ {∞}, +, [0], ∞), trong đó n ≥ 1 và m ≥ 2. Ví dụ 1.3.8. Nếu (Mi )i∈I là một họ các binoid khác không thì !× Y Y Mi = MI× . i∈I i∈I Bổ đề 1.3.9. Mọi phần tử đơn vị của binoid khác không M đều nguyên, nghĩa là M × ⊆ int(M ). Định nghĩa 1.3.10. Cho M là nửa nhóm. Một phần tử f ∈ M được gọi là lũy đẳng nếu f + f = f. Một nửa nhóm được gọi là boolean nếu mọi phần tử của nó là lũy đẳng. Tập các phần tử lũy đẳng ký hiệu là bool(M ). Một nửa nhóm giao hoán và boolean được gọi là nửa lưới. Ví dụ 1.3.11. Phần tử đồng nhất và phần tử hút luôn là phần tử lũy đẳng. Đặc biệt, tập các phần tử lũy đẳng của binoid giao hoán M là binoid con vì 2(a + b) = 2a + 2b = a + b với các phần tử lũy đẳng a, b ∈ M. Chính xác hơn thì bool(M ) là binoid con boolean lớn nhất của binoid giao hoán M. Bổ đề 1.3.12. Mọi binoid boolean đều dương và rút gọn. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh tính dương của binoid boolean. Thật vậy, giả sử a + b = 0 với a, b là hai phần tử lũy đẳng. Cộng a vào vế trái và cộng b vào vế phải ta được a = a + b = b. Do đó a = b = 0. Sau đây là khái niệm về tính xoắn và triệt tiêu. 12
Định nghĩa 1.3.13. Cho M là một binoid (hoặc nửa binoid). Một phần tử a ∈ M là phần tử xoắn nếu a = ∞ hoặc tồn tại b ∈ M, b 6= a sao cho na = nb, với n ≥ 2. Ta nói M là không xoắn nếu nó không có phần tử xoắn nào khác ngoài ∞, nghĩa là na = nb kéo theo a = b, với mọi a, b ∈ M và n ≥ 1. Nếu na = nb 6= ∞ kéo theo a = n với mọi a, b ∈ M và n ≥ 1 thì M được gọi là không xoắn đến bậc lũy linh (torsion-free up to nilpotence). Theo định nghĩa, một binoid là không xoắn nếu và chỉ nếu nó rút gọn và không xoắn đến bậc lũy linh. Với khái niệm này, một vị nhóm không có phần tử hút là không xoắn nếu M ∞ là một binoid không xoắn. Một nhóm G là một nhóm xoắn nếu và chỉ nếu mọi phần tử của G∞ đều là phần tử xoắn. Đặc biệt, nhóm đơn vị M × không là không xoắn. Một ví dụ quan trọng về binoid không xoắn đến bậc lũy linh nhưng (nhìn chung) không rút gọn được cho bởi Hệ quả 1.8.10. Tập tất cả các phần tử xoắn trong một binoid là không xoắn đến bậc lũy linh chính là nil(M ). Nhìn chung, tập tất cả các phần tử xoắn của M không có cấu trúc được chỉ ra trong ví dụ sau. Ví dụ 1.3.14. Xét binoid M = FC(x, y)/(10x + 2y = ∞). Phần tử x và y không phải phần tử xoắn nhưng mọi phần tử nx + my với n, m ≥ 1 là phần tử xoắn. Bổ đề 1.3.15. (1) Mọi phần tử lũy linh đều là phần tử xoắn. (2) Binoid boolean là không xoắn. Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Mệnh đề 1.3.16. Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M là dương và có luật giản ước đều nhận duy nhất một hệ sinh tối tiểu xác định bởi M+ \ 2M+ . Chứng minh. Do M là binoid dương nên mọi hệ sinh của M đều được chứa trong M+ = M \ {0}. Trước hết ta chứng minh M+ \ 2M+ chứa bất kỳ hệ sinh tối tiểu nào của M, từ đó suy ra nó cũng là một hệ sinh của M. Thật vậy, lấy tùy ý {x1 , . . . , xr } là hệ sinh tối tiểu của M và giả sử x1 ∈ / M+ \ 2M+ . Khi đó tồn tại y, z ∈ M+ sao cho x1 = y + z. Suy ra x1 = n1 x1 + · · · + nr xr với tối thiểu hai số ni ≥ 1 hoặc một số ni ≥ 2, i ∈ I. Nếu n1 6= 0 thì theo tính có luật giản ước của 13
M ta có một đẳng thức không tầm thường 0 = (n1 − 1)x1 + n2 x2 + · · · + nr xr . Điều này mẫu thuẫn với M × = {0}. Do đó n1 = 0 và x1 có thể được loại bỏ khỏi hệ sinh {x1 , . . . , xr }, mâu thuẫn với tính tối tiểu của {x1 , . . . , xr }. Vì vậy, {x1 , . . . , xr } ⊆ M+ \ 2M+ . Ta có thể thấy ngay tính tối tiểu của M+ \ 2M+ vì nếu x ∈ M+ \ 2M+ có thể được loại bỏ thì biểu thức x = n1 y1 + · · · ns ys , với yi ∈ M+ \ 2M+ có ít nhất một số ni 6= 0, i ∈ {1, . . . , s}. Điều này có nghĩa là tồn tại i ∈ {1, . . . , s} sao cho x = yi vì x ∈ / 2M+ . Do đó x không thể bị loại bỏ. Lập luận tương tự ta thấy M+ \ 2M+ phải chứa trong mọi hệ sinh của M. Hệ quả 1.3.17. Một binoid hữu hạn sinh là giao hoán tự do nếu và chỉ nếu nó là binoid giao hoán, nguyên và nửa tự do. Chứng minh. Tất cả các tính chất của binoid giao hoán tự do đều xuất phát từ thực tế là (Nn )∞ có các tính chất này. Ngược lại, theo Mệnh đề 1.3.16 binoid M với các tính chất đã cho nhận một hệ sinh tối tiểu là M+ \ 2M+ = {x1 , . . . , xn }. Vì M là nửa tự do và nguyên nên toàn cấu binoid chính tắc (Nn )∞ −→ M với ei 7−→ xi , i ∈ {1, . . . , n} là đơn ánh. Chứng minh của Hệ quả 1.3.17 cho thấy tập M+ \ 2M+ hữu hạn. Ta có thể tổng quát hóa như sau. Bổ đề 1.3.18. Cho M là một binoid dương và giao hoán hữu hạn sinh. Khi đó tập M+ \ nM+ là hữu hạn sinh với mọi n ≥ 1. Chứng minh. Giả sử {x1 , . . . , xr } là hệ sinh tối tiểu của M. Khi đó, do tính dương của M nên x1 , . . . , xr ∈ M+ . Do đó ( r ) X nM+ = n1 x1 + · · · + nr xr | ni ≥ n . k=1 Điều này dẫn đến n−1 X X k #(M+ \ nM+ ) ≤ {(n1 , . . . , nr ) | n1 + · · · + nr < n} = . n1 , . . . , nr k=1 n1 +···+nr =k 14
Đặc biệt, M+ \ nM+ hữu hạn với mọi n ≥ 1. Định nghĩa 1.3.19. Cho M là một binoid dương và giao hoán hữu hạn sinh. Ánh xạ H(−, M ) : N −→ N với H(n, M ) := #(M \ nM+ ) nếu n ≥ 1 và H(0, M ) := 0 được gọi là hàm Hilbert-Samuel của M và X H(M ) := H(n, M )T n n∈N là chuỗi Hilbert-Samuel của M. 1.4. Quan hệ tương đương Định nghĩa 1.4.1. Một tương đương trên một binoid M là một quan hệ tương đương ∼ trên M tương thích với phép cộng, nghĩa là nếu a, b ∈ M mà a ∼ b thì a + c ∼ b + c và c + a ∼ c + b, với mọi c ∈ M. Ta ký hiệu lớp tương đương của a ∈ M là [a] (hoặc a ¯) và tập tất cả các lớp tương đương ký hiệu là M/ ∼ . Giả sử ∼1 và ∼2 là hai tương đương trên một binoid. Khi đó giao của hai tương đương ∼1 ∩ ∼2 là một tương đương ∼ trên M xác định với a, b ∈ M a ∼ b nếu a ∼1 b hoặc a ∼2 b. Ta viết ∼1 ≤∼2 nếu a ∼1 b kéo théo a ∼2 b, với mọi a, b ∈ M. Trên tập các tương đương của binoid xác định một quan hệ thứ tự toàn phần ≤ nên tồn tại tương đương lớn nhất và tương đương nhỏ nhất. Nghĩa là, tồn tại tương đương ∼u và ∼id sao cho ∼id ≤∼≤∼u , với mọi ∼ trên binoid. Theo đó, tính phổ dụng tương đương ∼u thể hiện mối liên hệ giữa hai phần tử phân biệt bất kỳ với nhau và tính đồng nhất tương đương ∼id thể hiện mối liên hệ giữa hai phần tử trùng nhau. Mệnh đề sau mô tả khái niệm tương đương của đồng cấu và đẳng cấu của một binoid trước khi nghiên cứu về binoid giao hoán tự do và binoid hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.4.2. Cho M là một binoid và ∼ là một tương đương trên M, thương M/ ∼ là một binoid với phép toán cộng [a] + [b] := [a + b] 15