Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một phương pháp chiếu giải một lớp bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019
iii Mục lục Bảng ký hiệu và danh sách viết tắt 1 Mở đầu 2 Chương 1. Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 5 1.1 Bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert . . . . . . 5 1.1.1 Ánh xạ không giãn và phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Bài toán điểm bất động tách . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách 17 2.1 Bài toán và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
iv Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37
1 Bảng ký hiệu và danh sách viết tắt H không gian Hilbert thực 2H tập các tập con của H PC phép chiếu mêtric lên tập C Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T VIP bài toán bất đẳng thức biến phân SFP bài toán chấp nhận tách SFPP bài toán điểm bất động tách
2 Mở đầu Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., .i và chuẩn k.k, C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của H, F là ánh xạ đi từ một tập trong H chứa C vào H. Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F và tập ràng buộc C , ký hiệu là VIP(F ,C ), được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1) Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 khi Philip Hartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiên của mình về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Đến nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành nhiều dạng khác nhau, như bài toán bất đẳng thức biến phân tách, bài toán bất đẳng thức biến phân véc-tơ, bài toán bất đẳng thức biến phân ẩn. . . Bài toán bất đẳng thức biến phân thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học vì mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của những lĩnh vực khác nhau trong toán ứng dụng như lý thuyết tối ưu, bài toán bù, bài toán điểm bất động, lý thuyết trò chơi, cân bằng mạng giao thông. . . Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là xây dựng phương pháp giải. Trong các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân thì phương pháp chiếu đóng một vai trò quan trọng vì sự đơn giản và thuận lợi trong quá trình tính toán. Mục tiêu của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một phương pháp chiếu giải một lớp bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách trong bài báo [3] công bố năm 2017. Bài toán được trình bày cụ thể như sau: Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng
3 trong các không gian Hilbert H1 và H2 , F : C → H1 là ánh xạ đơn điệu mạnh, A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính bị chặn, T : C → C , S : Q → Q là các ánh xạ không giãn. Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách VIP(F, Ω) là bài toán Tìm x∗ ∈ Ω sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (2) trong đó Ω là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (Split Fixed Point Problem), ký hiệu là SFPP: Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S), (3) ở đây Fix(T ), Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của ánh xạ T và ánh xạ S . Nội dung của đề tài luận văn được viết trong hai chương. Chương 1: Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Chương này trình bày các khái niệm về ánh xạ không giãn, phép chiếu mêtric, bài toán điểm bất động tách, bài toán bất đẳng thức biến phân, mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert thực H. Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 2, 5, 7, 8, 13]. Chương 2. Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Chương này trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [3] công bố năm 2017. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô giáo Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học.
4 Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Ân Thi, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Mỵ
5 Chương 1 Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Chương này trình bày một số kiến thức liên quan đến bài toán điểm bất động, bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert thực. Mục 1.1 giới thiệu về bài toán điểm bất động, bài toán điểm bất động tách, trình bày một số tính chất của phép chiếu mêtric và tính chất về tập nghiệm của bài toán điểm bất động. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu và trình bày mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert thực. Kiến thức của chương được viết trên cơ sở các tài liệu [1, 2, 4]. 1.1 Bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., .i và chuẩn k.k, tương ứng. Cho {xn } là một dãy trong không gian H. Ta ký hiệu xn * x nghĩa là dãy {xn } hội tụ yếu đến x và xn → x nghĩa là dãy {xn } hội tụ mạnh đến x.
6 1.1.1 Ánh xạ không giãn và phép chiếu mêtric Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]). Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H. (i) Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ L–liên tục Lipschitz trên C nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C. (1.1) (ii) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn. Sau đây ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên C . Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC (x) ∈ C xác định bởi kx − PC (x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C. (1.2) được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu mêtric) chiếu H lên C . Định lý 1.1.3 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC (x) ∈ C sao cho (1.2) thỏa mãn. Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf kx − uk. Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao u∈C cho kx − un k −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có 2 kun − um k2 = (x − un ) − (x − um ) 2 2 u + u 2 n m = 2 x − un + 2 x − um − 4 x − 2 2 2 ≤ 2 x − un + x − um − 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞. Do đó {un } là một dãy Cauchy trong không gian Hilbert thực H. Suy ra tồn tại u = lim un ∈ C . Do chuẩn là hàm số liên tục nên kx − uk = d. Giả sử tồn n→∞
7 tại v ∈ C sao cho kx − vk = d. Ta có u − v 2 = (x − u) − (x − v) 2 2 u + v 2 2 =2 x−u + x−v − 4 x − ≤ 0. 2 Suy ra u = v . Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC xk ≤ kx − yk ∀y ∈ C. Ví dụ 1.1.4. Cho C = {x ∈ H : hx, ai = y}, với a 6= 0. Khi đó y − hx, ai PC (x) = x + a. kak2 Ví dụ 1.1.5. Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ r}, trong đó a ∈ H là một phần tử cho trước và r là một số dương. Khi đó,  x,  nếu kx − ak ≤ r, PC (x) = r a +  (x − a), nếu kx − ak > r. kx − ak Một số tính chất của toán tử chiếu lên tập lồi đóng khác rỗng C trong không gian Hilbert thực H được trình bày dưới đây. Bổ đề 1.1.6 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H, PC là phép chiếu mêtric chiếu H lên C và x ∈ H. Khi đó kx − yk2 ≥ kx − PC (x)k2 + ky − PC (x)k2 với x ∈ H và mọi y ∈ C. Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là một phép chiếu mêtric. Mệnh đề 1.1.7 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert thực H. Điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu mêtric từ H lên C là hx − PC (x), PC (x) − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. (1.3)
8 Chứng minh. Giả sử PC là phép chiếu mêtric chiếu H lên C . Khi đó với mọi x ∈ H, y ∈ C và mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC (x) ∈ C . Do đó, từ định nghĩa của phép chiếu mêtric, suy ra kx − PC (x)k2 ≤ kx − ty − (1 − t)PC (x)k2 , với mọi t ∈ (0, 1). Bất đẳng thức trên tương đương với kx − PC (x)k2 ≤ kx − PC (x)k2 − 2thx − PC (x), y − PC (x)i + t2 ky − PC (x)k2 , với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó, ta có t 2 hx − PC (x), PC (x) − yi ≥ − y − PC (x) , 2 với mọi t ∈ (0, 1). Cho t → 0+ , ta nhận được hx − PC (x), PC (x) − yi ≥ 0. Ngược lại, giả sử hx − PC (x), PC (x) − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C , ta có kx − PC (x)k2 = hx − PC (x), x − y + y − PC (x)i = hx − PC (x), y − PC (x)i + hx − PC (x), x − yi ≤ kx − yk2 + hy − PC (x), x − PC (x) + PC (x) − yi = kx − yk2 + hy − PC (x), x − PC (x)i − ky − PC (x)k2 ≤ kx − yk2 . Suy ra PC là phép chiếu mêtric từ H lên C . Hệ quả 1.1.8 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C . Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có kPC (x) − PC (y)k2 ≤ hx − y, PC (x) − PC (y)i.
9 Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H , từ Mệnh đề 1.1.7, ta có hx − PC (x), PC (y) − PC (x)i ≤ 0, hy − PC (y), PC (x) − PC (y)i ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.1.9 (xem [2]). Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H , thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Giả sử C không là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x ∈ / C . Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lý tách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 sao cho hy, zi < hy, xi − ε ∀z ∈ C. Đặc biệt hy, xn i < hy, xi − ε ∀n. Cho n → ∞, ta nhận được hy, xi ≤ hy, xi − ε, điều này là vô lý. Do đó, C là tập đóng yếu. Chú ý 1.1.10. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng. 1.1.2 Bài toán điểm bất động Định nghĩa 1.1.11 (xem [1]). Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C . Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu T (x) = x. Ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ), nghĩa là Fix(T ) := x ∈ C : T (x) = x . (1.4) Định nghĩa 1.1.12 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H, ánh xạ T : C → C được gọi là
10 (i) Ánh xạ tựa không giãn trên C nếu Fix(T ) 6= ∅ và kT (x) − x∗ k ≤ kx − x∗ k, ∀x ∈ C, ∀x∗ ∈ Fix(T ); (ii) Ánh xạ thỏa mãn nguyên lý đóng nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ yếu đến x và k(T (xk ) − xk k → 0 thì x ∈ Fix(T ). Bổ đề 1.1.13 (xem [2]). Giả sử C là tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn. Nếu T có điểm bất động thì Fix(T ) là tập lồi đóng. 1.1.3 Bài toán điểm bất động tách Định nghĩa 1.1.14 (xem [6]). Bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Prob- lem), viết tắt là (SFP), được phát biểu như sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho A(x∗ ) ∈ Q, (SFP) trong đó, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Ký hiệu tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách (SFP) là Ω1 . Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài toán xử lý tín hiệu và khôi phục ảnh, liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ, hay có thể áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trò chơi. Bài toán chấp nhận tách trong các không gian Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Yair Censor và Tommy Elfving (xem [6]). Để giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều, Charles Byrne (xem [4]) đã đề xuất phương pháp CQ bằng cách xét dãy lặp xn+1 = PC (xn − γAc (I − PQ )Axn ), n ≥ 0, (1.5) trong đó C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong RN và RM , A là ma trận thực cỡ M × N , Ac là ma trận chuyển vị của ma trận A, L là giá trị riêng lớn nhất của ma trận Ac A và γ ∈ 0, L2 . Gần đây Hong-Kun Xu (xem [13]) đã giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực vô
11 hạn chiều trong đó phương pháp CQ có dạng xn+1 = PCH1 (I H1 − γA∗ (I H2 − PQH2 )A)xn , n ≥ 0, (1.6) H 2 với γ ∈ 0, kAk , I 1 và I H2 lần lượt là các toán tử đơn vị trong H1 và H2 , A∗ là toán tử liên hợp của A, PCH1 và PQH2 lần lượt là các phép chiếu mêtric từ H1 lên C và từ H2 lên Q. Tác giả đã chứng minh được dãy lặp {xn } xác định bởi (1.6) hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán chấp nhận tách (SFP) nếu bài toán chấp nhận tách có nghiệm. Định nghĩa 1.1.15 (xem [6]). Bài toán điểm bất động tách (Split Fixed Point Problem), viết tắt là (SFPP), được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S), (SFPP) trong đó C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 , H2 , A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn, các ánh xạ T : C → C , S : Q → Q là các ánh xạ không giãn. Ký hiệu tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (SFPP) là Ω2 . 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Ánh xạ đơn điệu Định nghĩa 1.2.1 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Ánh xạ A : C → H được gọi là (i) đơn điệu trên C nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; đơn điệu chặt trên C nếu dấu "=" của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi x = y; (ii) đơn điệu mạnh trên C (hay β -đơn điệu mạnh trên C ) nếu tồn tại một hằng số dương β sao cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ βkx − yk2 , ∀x, y ∈ C;
12 (iv) đơn điệu mạnh ngược trên C với hệ số η > 0 (hay η -đơn điệu mạnh ngược trên C) nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkA(x) − A(y)k2 , ∀x, y ∈ C. Dễ thấy mọi ánh xạ η -đơn điệu mạnh ngược A đều là ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = λ1 . Nhận xét 1.2.2. Nếu T : C −→ H là một ánh xạ không giãn thì A = I − T 1 là -đơn điệu mạnh ngược trên C . 2 Thật vậy, với mọi x, y ∈ C , ta có kA(x) − A(y)k2 = k(x − y) − (T x − T y)k2 = h(x − y) − (T x − T y), (x − y) − (T x − T y)i = hA(x) − A(y), x − yi − kA(x) − A(y)k2 − h(x − y) − (T x − T y), x − yi. Vì I − T là toán tử đơn điệu, nên h(x − y) − (T x − T y), x − yi ≥ 0. Do đó kA(x) − A(y)k2 ≤ hA(x) − A(y), x − yi − kA(x) − A(y)k2 . Suy ra 1 hA(x) − A(y), x − yi ≥ kA(x) − A(y)k2 , 2 1 hay A = I − T là -đơn điệu mạnh ngược trên C . 2 Khái niệm ánh xạ đơn điệu được trình bày trong Định nghĩa 1.2.1 còn được mô tả dựa trên đồ thị như sau. Định nghĩa 1.2.3. (xem [2]) Ánh xạ đa trị A : H → 2H được gọi là đơn điệu nếu hf − g, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H, f ∈ A(x), g ∈ A(y). Đồ thị Gr(A) của ánh xạ A được định nghĩa như sau: Gr(A) = {(x, y) : y = A(x) ∀x ∈ H}.
13 Ánh xạ A : H → 2H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị Gr(A) của A không bị chứa thực sự trong đồ thị của bất kỳ một ánh xạ đơn điệu nào khác. Chú ý 1.2.4. Ánh xạ A là đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với (x, f ) ∈ H × H, hf − g, x − yi ≥ 0 với (y, g) ∈ Gr(A) suy ra f ∈ A(x). Ví dụ 1.2.5. Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó A = I − T là một toán tử đơn điệu cực đại, ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên H. Thật vậy, với mọi x, y ∈ H, ta có hA(x) − A(y), x − yi ≥ kx − yk2 − kx − yk2 = 0, suy ra A là một toán tử đơn điệu. Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A. Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xét phương trình λA(x) + x = y. (1.7) Phương trình trên tương đương với 1 x= (λT x + y). (1.8) 1+λ Xét ánh xạ f : H −→ H bởi 1 f (x) = (λT x + y), 1+λ λ với mọi x ∈ H. Dễ thấy, f là ánh xạ co với hệ số co là ∈ (0, 1). Do đó, 1+λ theo nguyên lý ánh xạ co Banach, phương trình (1.8) có duy nhất nghiệm. Suy ra, phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm. Vậy A là một toán tử đơn điệu cực đại. 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H, F : Ω → H là một ánh xạ đi từ Ω vào H, trong đó Ω là một tập con của H chứa C . Bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F và tập ràng buộc C , ký hiệu là VIP(F, C), được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.9)
14 Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) với ánh xạ giá F và tập ràng buộc C được ký hiệu là ΩF C . Trong trường hợp ánh xạ giá F có dạng F (x) = x − x+ với mọi x ∈ C , x+ ∈ H cho trước, theo Bổ đề 1.1.6 hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C ⇔ hx∗ − x+ , x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C ⇔ hx+ − x∗ , x − x∗ i ≤ 0 ∀x ∈ C ⇔ x∗ = PC (x+ ). Do đó, ΩF C = {PC (x+ )}. Cho F là ánh xạ β -đơn điệu mạnh, L-liên tục Lipschitz từ C vào H và nón NC x xác định bởi NC x = y ∈ H : hy, x − ui ≥ 0 ∀u ∈ C . Ta ký hiệu  F x + NC x, nếu x ∈ C Ax = ∅, nếu x ∈ / C. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại và 0 ∈ Ax nếu và chỉ nếu x ∈ ΩAC . 1.2.3 Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C. Ta xét ánh xạ F : C → H được cho bởi F (x) = x − T (x) ∀x ∈ C. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) trùng với bài toán tìm điểm bất động Fix(T ) của ánh xạ T. Thật vậy, nếu x∗ là điểm bất động của ánh xạ T thì T (x∗ ) = x∗ , khi đó F (x∗ ) = 0 và bất đẳng thức biến phân (1.9) xảy ra dấu bằng. Do đó x∗ ∈ ΩF C . Ngược lại, nếu x∗ ∈ ΩF C thì hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. Chọn x = T (x∗ ), ta được hx∗ − T (x∗ ), T (x∗ ) − x∗ i ≥ 0 hay − kT (x∗ ) − x∗ k2 ≥ 0.
15 Mặt khác, ta luôn có kT (x∗ )−x∗ k2 ≥ 0. Do đó T (x∗ ) = x∗ . Tức là x∗ ∈ Fix(T ). Bổ đề 1.2.6 (xem [3]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C. Cho x∗ ∈ C và λ > 0. Khi đó, x∗ ∈ ΩF C khi và chỉ khi x∗ ∈ Fix(T ), ở đây T (x) = PC (x − λF (x)). Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.6, ta có x∗ ∈ Fix(T ) ⇔ x∗ = T (x∗ ) ⇔ x∗ = PC (x∗ − λF (x∗ )) ⇔ hx∗ − λF (x∗ ) − x∗ , z − x∗ i ≤ 0 ∀z ∈ C ⇔ hλF (x∗ ), z − x∗ i ≥ 0 ∀z ∈ C ⇔ hF (x∗ ), z − x∗ i ≥ 0 ∀z ∈ C ⇔ x∗ ∈ ΩF C . Nếu ánh xạ giá F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C thì bài toán VIP(F, C) có nghiệm duy nhất. Định lý 1.2.7 (xem [3]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ánh xạ F : C → H. Nếu F là ánh xạ β -đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên C thì bài toán VIP(F, C) có nghiệm duy nhất. 2β Chứng minh. Chọn 0 < µ < 2 và xét ánh xạ T : C → C cho bởi L T (x) = PC (x − µF (x)) với mọi x ∈ C. Khi đó, với mọi x, y ∈ C ta có kT (x) − T (y)k2 = kPC (x − µF (x)) − PC (y − µF (y))k2 ≤ kx − µF (x) − (y − µF (y))k2 = kx − yk2 − 2µhF (x) − F (y), x − yi + µ2 kF (x) − F (y)k2 . Sử dụng tính β -đơn điệu mạnh trên C và L-liên tục Lipschitz trên C của F ta nhận được kT (x) − T (y)k2 ≤ kx − yk2 − 2µβkx − yk2 + µ2 L2 kx − yk2 = (1 − 2µβ + µ2 L2 )kx − yk2 .
16 Do đó q kT (x) − T (y)k ≤ 1 − µ(2β − µL2 )kx − yk = ρkx − yk. Trong đó q ρ= 1 − µ(2β − µL2 ) ∈ [0, 1). Vậy T : C → C là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại duy nhất phần tử x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ . Do đó theo Bổ đề 1.2.6 ta có x∗ ∈ ΩF C . Bổ đề 1.2.8. (xem [3]) Cho ánh xạ F : C → H là η -đơn điệu mạnh ngược trên C và µ ∈ (0, 2η]. Xét ánh xạ T : C → C được cho bởi T (x) = PC (x − µF (x)) ∀x ∈ C. Khi đó ánh xạ T không giãn và Fix(T ) = ΩF C . Chứng minh. Từ tính chất η -đơn điệu mạnh ngược trên C của ánh xạ giá F và µ ∈ (0, 2η], với mọi x, y ∈ C ta có kT (x) − T (y)k2 = kPC (x − µF (x)) − PC (y − µF (y))k2 ≤ kx − µF (x) − (y − µF (y))k2 = kx − y − µ(F (x) − F (y))k2 = kx − yk2 − 2µhF (x) − F (y), x − yi + µ2 kF (x) − F (y)k2 ≤ kx − yk2 − 2µηkF (x) − F (y)k2 + µ2 kF (x) − F (y)k2 ≤ kx − yk2 + µ(µ − 2η)kF (x) − F (y)k2 ≤ kx − yk2 . Do đó kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk. Vậy T là ánh xạ không giãn. Từ Bổ đề 1.2.6 ta suy ra Fix(T ) = ΩF C .