Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp số giải phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến cấp hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp sai phân đưa các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến với các hệ điều kiện ban đầu khác nhau về các hệ phương trình sai phân đồng thời nghiên cứu một số các thuật toán giải đúng và gần đúng các hệ phương trình sai phân để xác định nghiệm xấp xỉ của các phương trình vi phân. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp số giải phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đào Xuân Tuấn PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đào Xuân Tuấn PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. VŨ VINH QUANG Thái Nguyên - 2015
i MỤC LỤC MỤC LỤC .................................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ iv DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU ...................................................................................... v DANH SÁCH HÌNH VẼ ............................................................................................ vi DANH SÁCH BẢNG ................................................................................................ vii MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .......... 3 1.1 Phương trình vi phân cấp một ........................................................................... 3 1.1.1 Bài toán Cauchy và định lí tồn tại duy nhất nghiệm ........................................ 3 1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích ...................................................... 4 1.2 Phương trình vi phân cấp hai .......................................................................... 12 1.2.1 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm ..................................................................... 12 1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích ..................................................... 13 1.2.2.1 Phương trình khuyết................................................................................... 13 1.2.2.2 Phương trình tuyến tính cấp hai ................................................................. 14 1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất ................................................ 14 1.2.2.4 Phương pháp biến thiên hằng số ................................................................. 17 1.3 Phương trình vi phân cấp cao ........................................................................... 19 1.3.1 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm ................................................................ 19 1.3.2 Các phương trình giải được bằng cầu phương ............................................... 20 1.3.3 Tích phân trung gian – phương trình hạ cấp được ......................................... 23 1.3.3.1 Tích phân trung gian .................................................................................. 23
ii 1.3.3.2 Các trường hợp phương trình hạ cấp được nhờ tích phân trung gian .......... 24 1.3.3.3 Phương trình thuần nhất đối với hàm và đạo hàm ...................................... 24 1.3.3.4 Phương trình mà vế trái là đạo hàm đúng ................................................... 25 Chương 2: MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN ............................................................................................. 26 2.1 Phương pháp sai phân ...................................................................................... 26 2.1.1 Lưới sai phân ................................................................................................ 26 2.1.2 Hàm lưới....................................................................................................... 27 2.1.3 Đạo hàm lưới ................................................................................................ 27 2.1.4 Quy ước viết vô cùng bé ............................................................................... 27 2.1.5 Công thức Taylor .......................................................................................... 28 2.1.6 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới ................................................................ 28 2.2 Một số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp một .............................. 30 2.2.1 Thuật toán Euler ........................................................................................... 30 2.2.2 Phương pháp Crank_Nicolson ...................................................................... 33 2.2.3 Thuật toán RK4 ............................................................................................ 34 2.2.4 Phương pháp đa bước Adams ....................................................................... 35 2.2.5 Phương pháp Euler_Cauchy .......................................................................... 37 2.3 Một số phương pháp số giải bài toán vi phân cấp hai ...................................... 37 2.3.1 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo................................................................ 37 2.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện biên ...................... 40 2.3.3 Phương trình vi phân phi tuyến cấp hai tổng quát với hệ điều kiện đầu ......... 42 2.3.3.1 Sơ đồ sai phân dạng Runge_Kutta.............................................................. 42 2.3.3.2 Sơ đồ sai phân Nyström ............................................................................. 44
iii Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM .................................................... 49 3.1 Các kết quả thực nghiệm đối với phương trình cấp một ................................... 49 3.1.1 Thuật toán Euler 1 ........................................................................................ 49 3.1.2 Thuật toán Euler 2 ........................................................................................ 51 3.1.3 Thuật toán Euler_Cauchy.............................................................................. 52 3.1.4 Thuật toán RK_4 .......................................................................................... 53 3.2 Các kết quả thực nghiệm đối với phương trình cấp hai..................................... 55 3.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện biên ...................... 55 3.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện đầu ....................... 58 KẾT LUẬN ............................................................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 64 Phụ lục: MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN......................................................... 65
iv LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS. Vũ Vinh Quang – Trường Đại học công nghệ thông tin và truyền thông – Đại học Thái Nguyên. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi xin trân trọng gửi tới các Thầy giáo, Cô giáo thuộc khoa Toán – Tin, phòng Đào tạo – Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên cũng như các Thầy, Cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 – 2015 lời cám ơn sâu sắc nhất. Tôi xin cám ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Đông Triều – Quảng Ninh, gia đình, bạn bè,... đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên, cổ vũ để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên, ngày 04 tháng 04 năm 2015 Đào Xuân Tuấn Học viên cao học lớp: Toán A Khóa: 06/2013 – 06/2015 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Trường ĐH khoa học – ĐH Thái Nguyên
v DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU Trong luận văn này có sử dụng một số kí hiệu sau: W y1, y2  : Định thức Wronsky của y1, y 2 1(x ) : Là một nguyên hàm của 1(x ) . 2 (x ) : Là một nguyên hàm của 2 (x ) . h : Là một lưới sai phân trên x 0, X  .   xi : Là một nút của lưới.   O h  : Độ chính xác trong sai số tính toán h : Là bước đi của lưới. ui  u(x i ), i  0,1,..., n : Hàm lưới. u * (x ) : Nghiệm đúng.
vi DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 3.1: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán RK_4 Hình 3.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán khử lặp Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán Nyström dạng 1 Hình 3.4: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán Nyström dạng 2
vii DANH SÁCH BẢNG Bảng 2.1: Nyström bậc 4 Bảng 2.2: Phương pháp cho y ''  f (x , y ) , Nyström bậc 4 Bảng 2.3: Phương pháp cho y ''  f (x , y ) , Nyström bậc 5 Bảng 3.1: Sai số phương pháp ứng với hàm nghiệm đúng Bảng 3.2: Sai số phương pháp Euler_2 ứng với hàm nghiệm đúng Bảng 3.3: Sai số phương pháp Euler_Cauchy ứng với hàm nghiệm đúng Bảng 3.4: Sai số phương pháp RK_4 ứng với hàm nghiệm đúng Bảng 3.5: Sai số phương pháp khử lặp ứng với hàm nghiệm đúng Bảng 3.6: Sai số phương pháp Nyström dạng 1 ứng với hàm nghiệm đúng Bảng 3.7: Sai số phương pháp Nyström dạng 2 ứng với hàm nghiệm đúng
1 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phương trình cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng đối với các bài toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định. Về mặt lý thuyết tổng quát của lớp phương trình này đã được các nhà toán học nghiên cứu từ rất lâu. Tuy nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích của các phương trình này chỉ thực hiện được đối với các phương trình dạng đặc biệt còn chủ yếu là phải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp gần đúng. Chính vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết về các phương pháp gần đúng và xây dựng các chương trình trên máy tính điện tử tìm nghiệm số của các lớp phương trình trên và có ý nghĩa về mặt khoa học, mang tính ứng dụng cao. Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp sai phân đưa các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến với các hệ điều kiện ban đầu khác nhau về các hệ phương trình sai phân đồng thời nghiên cứu một số các thuật toán giải đúng và gần đúng các hệ phương trình sai phân để xác định nghiệm xấp xỉ của các phương trình vi phân, trên cơ sở đó tiến hành xây dựng hệ thống hàm mẫu mô tả các thuật toán bằng ngôn ngữ máy tính, thử nghiệm tính chính xác của các chương trình trên các ví dụ cụ thể. Cấu trúc của luận văn gồm 3 chương với những nội dung như sau: Chương 1: Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, một số phương pháp tìm nghiệm giải tích đối với lớp các phương trình cấp một và cấp cao. Đây là các kiến thức cơ bản làm nền tảng để nghiên cứu các nội dung trong các chương tiếp sau của luận văn. Chương 2: Trên cơ sở của phương pháp sai phân, luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về mặt lý thuyết các thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp một với điều kiện ban đầu và phương trình vi phân cấp hai với hệ điều kiện biên. Trên cơ sở đó nghiên cứu thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp hai. Các kết quả lý thuyết chính là nền tảng để xây dựng các thuật toán giải số các phương trình vi phân trong chương 3 của luận văn.
2 Chương 3: Xuất phát từ các kết quả lý thuyết phân tích về các thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp một và cấp hai dựa trên cơ sở của phương pháp sai phân, trong chương 3 luận văn sẽ trình bày các kết quả khi cài đặt các thuật toán giải số trên máy tính điện tử, đánh giá tính đúng đắn của các thuật toán thông qua việc đánh giá sai số. Ngôn ngữ sử dụng cài đặt các thuật toán là ngôn ngữ Matlab version 7.0. Mặc dù đã cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh được những sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy giáo, Cô giáo, đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Đào Xuân Tuấn
3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, một số dạng phương trình vi phân thường gặp và phương pháp giải. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn. Các kiến thức trên được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3]. 1.1 Phương trình vi phân cấp một 1.1.1 Bài toán Cauchy và định lí tồn tại duy nhất nghiệm  Bài toán Cauchy dy Xét phương trình:  f (x , y ) (1.1) dx Khi đó bài toán tìm nghiệm y  y (x ) của (1.1) sao cho khi x  x 0 thì y  y 0 được gọi là bài toán Cauchy, ở đây (x 0 , y 0 ) là các giá trị tuỳ ý cho trước được gọi là giá trị ban đầu (điều kiện đầu).  Định lí tồn tại duy nhất nghiệm Định nghĩa 1.1 Ta nói hàm f (x , y ) thoả mãn trong miền G   2 điều kiện Lipschitz đối với y nếu N  0 sao cho với bất kỳ x , y, y mà (x , y )  G ,(x , y )  G thì: f (x , y )  f (x , y )  N y  y (1.2) Chú ý: Bất đẳng thức (1.2) sẽ thoả mãn nếu hàm f (x , y ),  fy' (x , y ) giới nội trong G , tức là: fy' (x , y )  N , (x , y )  G .
4 Vì theo Lagrange: f (x , y )  f (x , y )  fy' (x , y  t (y  y ) y  y  N y  y Nhưng điều ngược lại không đúng vì có thể (1.2) thoả mãn nhưng fy' (x , y ) không tồn tại. Định lí 1.1 Xét phương trình (1.1) với giá trị ban đầu (x 0 , y 0 ) . Giả sử: a. Hàm số f (x , y ) là hàm liên tục hai biến trong miền kín giới nội G x  a  x  x  a  0 0 ; a, b  0  y 0  b  y  y 0  b  vì f liên tục trong G kín, giới nội nên  M để f (x , y )  M , (x , y )  G . b. Hàm số f (x , y ) thoả mãn trong G điều kiện Lipshitz đối với y . Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y  (x ) của phương trình (1.1) xác định và liên tục đối với các giá trị của x thuộc đoạn x 0  h  x  x 0  h trong đó  b  h  min a,  sao cho khi x  x 0 thì (x 0 )  y 0 .  M  1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích  Phương trình tách biến M (x )dx  N (y )dy  0 (1.3) Giả sử M (x ), N (y ) liên tục trong miền nào đó của 2 , khi đó tích phân tổng quát của (1.3) có dạng  M (x )dx   N (y)dy C . Tổng quát hơn ta xét phương trình: M (x )N (y )dx  P (x )Q (y )dy  0 (1.4)
5 Trong đó M , N , P,Q là các hàm liên tục theo đối số của chúng trong miền đang xét. M (x ) Q(y ) Giả sử N (y )P (x )  0 . Khi đó từ (1.3)  dx  dy  0 , do đó tích P (x ) N (y ) M (x ) Q(y ) phân tổng quát có dạng:  P (x ) dx   N (y ) dy  C . Trong trường hợp N (y )P (x )  0 , những trường hợp y  y 0 làm cho N (y )  0 cũng là nghiệm của phương trình (1.4), những giá trị x  x 0 làm cho P (x )  0 cũng là nghiệm của phương trình. dy Chú ý: Dạng phương trình  f (ax  by  c) . Có thể đưa về tách biến bằng dx dz a dy dx dz phép đổi biến z  ax  by  c   hay  a  bf (z ) . Đây là dx b dx phương trình tách biến.  Phương trình thuần nhất Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x , y ) gọi là hàm thuần nhất bậc n, nếu: f (tx , ty )  t n f (x , y ) . dy Xét phương trình :  f (x , y ) (1.5) dx với f (x , y ) liên tục và là hàm thuần nhất bậc không. 1  y y  Đặt t   f (x , y )  f 1,     . x  x   x  dy y  Ta có:     . (1.6) dx  x 
6 y dy dz Đặt z    z x thế vào phương trình (1.6). x dx dx dz dz Ta có: z  x  (z ) hay (z )  z  x . dx dx dz dx Đây là phương trình tách biến  với giả thiết (z )  z  0 . (z )  z x dy  a x  b y  c   f  1 1 1 a2x  b2y  c2  Chú ý: Xét phương trình dạng: . dx a1 b1 + Giả sử    0. a2 b2 x    h Dùng phép đổi biến  (h, k  const ) , khi đó phương trình có y    k  d  a   b   a h  b k  c   f  1 1 1 1 1  a2  b2  a2h  b2k  c2  dạng: . d a h  b k  c  0 Nếu chọn h, k thoả mãn   1 1 1 thì ta được phương trình thuần a2h  b2k  c2  0  d  a   b    f  1 1  a2  b2  nhất: . d a1 b1 a1 b +) Nếu   0   1   , do đó: a2 b2 a2 b2 dy  a x  b y  c    (a x  b y )  c    f  1 1 1 f  2 2  1 . dx a 2x  b2y  c2    a2x  b2y  c2 
7 dz Đặt z  a 2x  b2y và lập phương trình theo z ta có  (z ) đây là phương dx trình tách biến.  Phương trình tuyến tính dy Dạng tổng quát:  P (x )y  Q(x ) (1.7) dx dy Xét phương trình  P (x )y  0 , phương trình này được gọi là phương trình dx tuyến tính thuần nhất ứng với phương trình đã cho. + Phương pháp biến thiên hằng số dy Bước 1: Xét phương trình:  P (x )y  0 (1.8) dx dy Giả sử y  0 khi đó phương trình (1.8) đưa về dạng:  P (x )dx . y Do đó ln y    P(x )dx  ln C 1 (C 1  0)  y  C1 e  hay y  Ce   P (x )dx  P (x )dx (1.9) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.8) là y  Ce   P (x )dx trong đó C là hằng số tuỳ ý. Bước 2: Ta thử tìm nghiệm của (1.8) dưới dạng (1.9) trong đó coi C  C (x ) khi dy dC  P (x )dx  p(x )Ce   P (x )dx đó  e thay hệ thức này vào phương trình (1.7) ta dx dx có: dC   P (x )dx  P (x )Ce   P (x )Ce   P (x )dx  P (x )dx e  Q(x ). dx
8 dC   Q(x )e  P (x )dx P (x )dx Do đó dx hay C  C (x )   Q(x )e  C 1 . Trong đó C 1 là hằng số tuỳ ý.   P (x )dx  e P (x )dx Q(x )e  P (x )dx Vậy y  Ce  (1.10) + Phương trình Becnuli dy Dạng phương trình:  P (x )y  Q(x )y  ;   R (1.11) dx Nếu   0 ta được phương trình tuyến tính. Nếu   1 ta được phương trình tuyến tính thuần nhất. Giả thiết   0,   1 . Chia hai vế của phương trình cho y  (y  0) ta được: 1 dy 1  P (x )  Q(x ) (1.12) y  dx y 1 dy dz Đổi biến z  y 1 ta có (1  )y   và do đó: dx dx 1 dz  P (x )z  Q(x ) 1   dx dz Hay  (1  )P(x )z  (1  )Q(x ) đây là phương trình tuyến tính không dx thuần nhất.  Phương trình hoàn chỉnh – thừa số tích phân Xét phương trình: M (x , y )dx  N (x , y )dy  0 (1.13) Nếu vế trái của (1.13) là vi phân toàn phần của một hàm u(x , y ) nào đó. Tức là: M (x , y )dx  N (x , y )dy  du (x , y ) (1.14)
9 Thì ta nói (1.13) là phương trình vi phân hoàn chỉnh, khi đó tích phân tổng quát của phương trình là u(x , y )  C . Ví dụ: xdx  ydy  0 1 2  Ta có xdx  ydy  d  2x  y2  vì vậy tích phân tổng quát là x 2  y 2  C .    Định lí 1.2 Điều kiện cần và đủ để biểu thức vi phân M (x , y )dx  N (x , y )dy (1.15) Trong đó M , N xác định, liên tục và không đồng thời triệt tiêu tại bất cứ điểm M nào trong một miền đơn liên G   2 và có trong miền ấy các đạo hàm liên tục y N và , là một vi phân toàn phần của hàm u(x , y ) là đẳng thức: x M N  phải thoả mãn (x , y )  G (1.16) y x Ví dụ: (7x  3y )dx  (3x  5y )dy  0 . Ta có: M M  7x  3y  3 y N N  3x  5y  3 x  Đây là phương trình vi phân hoàn chỉnh. Ta xác định hàm u . Ta có: u  7x  3y (*) x u  3x  5y (**) y
10 Từ (*)  u(x , y )   (7x  3y)dx  (y) u 5   3x   '(y )  3x  5y vậy (y )   y 2  C . y 2 7 2 5 Cuối cùng u(x , y )  x  3xy  y 2  C . 2 2 Phương trình có tích phân tổng quát là: 7x 2  6xy  5y 2  C .  Các phương trình dạng phi tuyến + Phương trình: F (x , y ' )  0 (1.17) Trường hợp 1: Phương trình đang xét xác định y ' như là hàm ẩn của x và có thể giải ra được y '  f (x ) . Khi đó nghiệm nghiệm tìm được bằng một lần cầu phương y  f (x )dx  C . Trường hợp 2: Từ (1.17) ta giải ra được x theo y ' : x  (y ' ) . Khi đó đặt dy y '  p xem p là tham số ta được x  (p ) , vì  p  dy  pdx . Do dx x  (p )  dx   ' (p)dp .Vậy: dy  p ' (p)dp  y   p (p)dp  C . ' x  (p)  Nghiệm thu được dưới dạng tham số:  y   p' (p)dp  C  Trường hợp 3: Từ (1.17) x , y ' đều biểu diễn bằng một hàm đơn trị theo tham số x  (t )   ' y  (t )   y dx  C   (t ) (t )dt  C . ' ' Khi đó y 
11 x  (t )  Nghiệm tìm được dưới dạng  y   (t )' (t )dt  C .  + Phương trình F (y, y ' )  0 (1.18) Trường hợp 1: Giải được y ' theo y : y '  f (y ) . dy Khi đó dy  f (y )dx   f (y )  x  C . Ngoài ra giá trị y  y 0 mà f (y )  0 cũng là nghiệm của phương trình. Trường hợp 2: Giải được y theo y ' : y  (y ') . Giả sử  là hàm khả vi liên tục. Đặt y '  p ta có y  (p ) . dy 1 1 1 ' Từ dx  p  dx  dy   ' (p)dp  x  p p  p  (p)dp  C .  x  1  ' (p )dp  C Vậy nghiệm tổng quát có dạng  p  y  (p) y  (t ) Trường hợp 3:  ' y  (t )  Giả thiết  là hàm khả vi liên tục và (t )  0 ta tìm x theo t . dy 1 '  ' (t ) Từ dx  y '  (t )  dx  (t )  (t )dt  x   (t ) dt  C . y  (t )  Vậy nghiệm tổng quát có dạng    ' (t ) x   dt  C  (t ) + Phương trình F (x , y, y ' )  0 (1.19)