Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình vi phân đại số có trễ trong lý thuyết điều khiển

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn trình bày: Chương 1 - Kiến thức cơ sở Chương này trình bày một số khái niệm về DAE, DODE và các hệ điều khiển tuyến tính liên tục và rời rạc trong lý thuyết điều khiển. Chương 2 - Phương trình vi phân đại số có trễ trong lý thuyết điều khiển Nội dung chính của chương 2 trình bày một số quả nghiên cứu về phương trình vi phân đại số có trễ trong lý thuyết điều khiển mà hai tác giả L.F. Shampine. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình vi phân đại số có trễ trong lý thuyết điều khiển

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– ĐỖ THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ TRỄ TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– ĐỖ THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ TRỄ TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Đào Thị Liên THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2016 Tác giả luận văn Đỗ Thị Hương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNihttp://www.lrc.tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và khoa học của cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây em xin bày tỏ lời cám ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc công ơn vô bờ bến của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn em hoàn thành luận văn. Em xin cảm ơn Ban Giám hiệu, các phòng ban chức năng trong trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đặc biệt các thầy cô giáo trong khoa toán và Bộ môn Giải tích đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành luận văn. Sau cùng, em xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình, các bạn bè đồng nghiệp đã luôn động viên, tạo điều kiện cho em được yên tâm học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi các hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quí thầy cô và các bạn để bản luận văn hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2016 Học viên cao học Đỗ Thị Hương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiihttp://www.lrc.tnu.edu.vn
MỤC LỤC Trang Lời cam đoan ........................................................................................................ i Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii Mục lục ............................................................................................................... iii Danh mục các kí hiệu viết tắt ............................................................................. iv MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 4 1.1. Phương trình vi phân đại số (DAE) ............................................................. 4 1.1.1. Một số khái niệm về DAE ......................................................................... 4 1.1.2. Chỉ số của DAE ......................................................................................... 5 1.1.3. Phương pháp giải số DAE ....................................................................... 10 1.2. Phương trình vi phân thường có trễ (DODE) ............................................. 11 1.2.1. Một số khái niệm và kết quả về DODE................................................... 11 1.2.2. Phương pháp số giải DODE .................................................................... 16 1.3. Phương pháp Radau IIA tìm nghiệm cho ODE cương .............................. 16 1.3.1. Bậc hội tụ ................................................................................................. 18 1.3.2. Các gián đoạn trong nghiệm .................................................................... 18 1.3.3. Giải phương trình phi tuyến .................................................................... 20 1.4. Các hệ điều khiển ...................................................................................... 22 1.4.1. Hệ điều khiển tuyến tính liên tục............................................................. 22 1.4.2. Các hệ điều khiển rời rạc ......................................................................... 28 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ TRỄ TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN ................................................................................. 35 2.1. Bài toán sisofeed5 ....................................................................................... 35 2.2. Tính chất của nghiệm ................................................................................. 38 2.3. Các hàm đầu vào......................................................................................... 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –iiiĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
2.4. Lựa chọn công thức .................................................................................... 45 2.5. Ước lượng và điều khiển sai số .................................................................. 47 2.6. Các bước “dài”............................................................................................ 50 2.7. Các gián đoạn ............................................................................................. 52 2.7.1. Sự lan truyền ............................................................................................ 52 2.7.2. Theo dõi các gián đoạn ............................................................................ 55 KẾT LUẬN....................................................................................................... 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNivhttp://www.lrc.tnu.edu.vn
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT Code: Mã. DAE: Phương trình vi phân đại số . DDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ. DODE: Phương trình vi phân thường có trễ. FOH: Mẫu bậc nhất. GENLTI: Hệ tuyến tính bất biến tổng quát. LTI: Hệ tuyến tính bất biến. ODE: Phương trình vi phân thường. ZOH: Mẫu bậc không. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNvhttp://www.lrc.tnu.edu.vn iv
MỞ ĐẦU Các hệ tuyến tính bất biến (LTI) là mô hình cơ bản trong lý thuyết điều khiển. Các mô hình với trạng thái có trễ xuất hiện một cách tự nhiên khi xây dựng các mối liên hệ ngược của các hàm truyền sơ cấp với các trễ đầu vào hoặc đầu ra. Các nghiên cứu cho thấy các đối số trễ thường có ảnh hưởng lớn đến dáng điệu nghiệm của một hệ động lực nói chung. Những kết quả tương tự cho các hệ phương trình vi phân đại số (DDAE) còn rất ít, mặc dù chúng có rất nhiều ứng dụng trong tự nhiên, hóa học, sinh học,…. Do đó, luận văn này tập trung trình bày về nghiệm dạng số của DDAE do hai tác giả L. F. Shampine, P. Gahinet đưa ra trong bài báo “Delay differential algebraic equations in control theory” có dạng x(t )  Ax(t )  B1u (t )  B2 w(t ) (0.1) z (t )  C2 x(t )  D21u (t )  D22 w(t ) (0.2) trong đó các ma trận A, B1 , B2 , D21 , D22 không đổi và hàm đầu vào u (t ) là trơn từng khúc với t  0. Hàm w được xác định bởi N số hạng của vectơ (cột) z và với N trễ cố định  1 ,..., N w(t )  [ z1 (t  1 ),..., z N (t   N )]T Việc mô hình hóa bắt đầu tại t 0 và từ điểm dừng  u(t ), x(t ), z(t )    0, 0, 0  với t  0. Trong suốt quá trình tính toán giá trị của x(t ), z (t )  0, T f  , chúng ta phải ước lượng hàm đầu ra y (t )  C1x(t )  D11u (t )  D12 w(t ) (0.3) được xác định bởi các ma trận hằng C1 , D11 , D12 . Thường thì, các hàm đầu vào u(t ) có bước nhảy tại t  0 . Theo định nghĩa, nghiệm x(t ) liên tục tại đó nhưng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1
bước nhảy trong u (t ) đã kéo theo bước nhảy trong z (t ), x(t ), y (t ). Khi đó các giá trị trễ, chính là nguyên nhân làm cho các bước nhảy lan truyền khắp  0, T f  . Chúng ta thấy rằng (0.1), (0.2) là một hệ DDAE. Chúng ta cố gắng nghiên cứu sâu hơn để tìm ra cách giải số cho các phương trình vi phân đại số (DAE) và các phương trình vi phân thường có trễ (DODE). Có rất ít kết quả nghiên cứu về DDAE và các nghiên cứu hiện có phần lớn chú trọng việc ứng dụng của DDAE. Vì mô hình hệ tuyến tính bất biến tổng quát (GENLTI) thường được sử dụng trong thiết kế nên việc có thể giải chúng một cách nhanh chóng là điều rất quan trọng. Để làm được điều đó, chúng ta cố gắng tận dụng triệt để các đặc tính của chúng. Chẳng hạn như, chúng ta có thể xử lý trước các mô hình để đảm bảo rằng tất cả các giá trị trễ đều dương. Những kết quả của hai tác giả L. F. Shampine, P. Gahinet dựa trên những kết quả trước đó của các tác giả như U. Ascher và L. Petzold trình bày về nghiệm dạng số của DDAE và DDAE trung hòa (xem [5]); phương pháp sử dụng máy tính để giải số phương trình vi phân thường (ODE) và DAE (xem [6]); W.H. Enright và H. Hayashi trình bày về cách giải DDAE dựa trên phương pháp Runge−Kutta liên tục với điều khiển khuyết (xem [8]) và rất nhiều tác giả khác. Luận văn gồm 59 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính gồm có hai chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở Chương này trình bày một số khái niệm về DAE, DODE và các hệ điều khiển tuyến tính liên tục và rời rạc trong lý thuyết điều khiển. Đây là những kiến thức cơ sở cần thiết để sử dụng trong chương 2. Chương 2. Phương trình vi phân đại số có trễ trong lý thuyết điều khiển Nội dung chính của chương 2 trình bày một số quả nghiên cứu về phương trình vi phân đại số có trễ trong lý thuyết điều khiển mà hai tác giả L.F. Shampine, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2
P. Gahinet đã đưa ra trong bài báo: “Delay differential algebraic equations in control theory” năm 2006. Ở đây thể hiện rõ những hệ bất biến tuyến tính là mô hình cơ bản trong lý thuyết điều khiển, khi những hệ tuyến tính đó được tổng quát hóa bao gồm các trạng thái trễ. Kết quả của các mô hình được mô tả bởi một hệ DDAE, người ta tận dụng triệt để các tính chất đặc biệt của các mô hình sinh ra từ những ứng dụng trong lý thuyết điều khiển, để giải các bài toán khó với độ chính xác cao và tốc độ đủ nhanh nhằm đạt được mục đích nghiên cứu, ứng dụng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 3
Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Phương trình vi phân đại số (DAE) (xem [19], [1]) 1.1.1. Một số khái niệm về DAE Khi nghiên cứu về phương trình vi phân nói chung ta thường bắt đầu từ phương trình vi phân cấp 1 tổng quát dạng F  t , x, x   0, t0  t  t f (1.1) trong đó F  t , x, x  là một hàm vectơ phụ thuộc ba biến: t là biến thời gian, x là hàm chưa biết, x là đạo hàm của x . F Nếu ma trận Jacobian không suy biến thì (1.1) ta có thể giải x  theo x x và t , khi đó (1.1) là phương trình vi phân thường dạng x  f  t , x . F Nếu ma trận Jacobian suy biến thì (1.1) được gọi là phương trình vi x phân ẩn hay phương trình vi phân đại số (DAE) dạng tổng quát. Phương trình vi phân đại số thường tập trung nghiên cứu về mặt lý thuyết, nó là một bộ phận quan trọng của phương trình vi phân ẩn, mặt khác nó mô tả rất nhiều hiện tượng trong kỹ thuật, tự nhiên, sinh hoc,…. Và trường hợp đặc biệt quan trọng của DAE là dạng nửa hiện hoặc ODE cùng với các ràng buộc đại số dạng  y  f (t , y, z )  (1.2)  g (t , y, z )  0 ở đây x  ( y, z ) và g (t , y, z)  0 là ràng buộc ẩn. Ví dụ 1.1.1.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 4
Mô tả chuyển động của con lắc có độ dài dây 1 , g là hằng số hấp dẫn, z (t ) là nhân tử Lagrange, ( x1 , x2 ) là vị trí của quả cầu trong hệ tọa độ Descartes, ta nhận được hệ DAE.  x1   zx1 ,   x2   zx2  g ,  2  x1  x2  1. 2 Ở đây, độ dài của dây là 1 , do đó các tọa độ ( x1 , x2 ) của quả cầu (gắn vào đầu con lắc) ngoài việc thỏa mãn phương trình vi phân mô tả chuyển động của con lắc còn phải thỏa mãn một ràng buộc đại số (theo định lý Pitago) là x12  x22  1. X1 θ 1 X2 ∙ θ ° 1.1.2. Chỉ số của DAE mg Chỉ số là một khái niệm được sử dụng trong lý thuyết về DAE để đo khoảng cách từ DAE đến ODE. Chỉ số là một số nguyên dương cung cấp những thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và những phức tạp tiềm ẩn khi phân tích và giải DAE. Nhìn chung, chỉ số càng cao, sẽ càng khó khăn hơn trong việc tìm nghiệm của DAE. Có nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm chỉ số này, ví dụ: chỉ số Kronecker (cho DAE với hệ số hằng tuyến tính), chỉ số vi phân (do Brenan và các cộng sự đưa ra năm 1986), chỉ số nhiễu (Hairer và các cộng sự đưa ra năm 1996), chỉ số linh hoạt (Griepentrog và các cộng sự đưa ra năm 1986), chỉ số hình học (Rabier và các cộng sự đưa ra năm 2002), và chỉ số lạ (Kunkel et al, 2006). Với những bài toán đơn giản thì những khái niệm chỉ số này là như nhau. Nhưng trong những hệ phương trình phi tuyến và hoàn toàn ẩn thì những chỉ số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 5
này lại khác nhau. Thực tế là, các chỉ số này có thể trở thành khái niệm địa phương với các giá trị khác nhau ở những miền khác nhau. Vì một DAE là tổ hợp của các phép vi tính phân và các phép tích phân nên nếu chúng ta có thể lấy đạo hàm các ràng buộc (trong DAEs nửa hiện) và thay thế (khi cần) từ các phương trình vi phân và lặp lại (nếu cần), thì sẽ thu được kết quả là một hệ ODE dạng hiện đối với tất cả các ẩn hàm. Nghiệm của DAE là các nghiệm của ODE này, nó nằm trong một không gian con được gọi là đa tạp nghiệm (solution manifold). Chỉ số vi phân của DAE là số lần lấy đạo hàm cần thiết trong phép biến đổi từ DAE về ODE. Ví dụ, phương trình vi phân thường có chỉ số 0. Bây giờ ta cùng xét một vài ví dụ đơn giản dưới đây để làm rõ hơn khái niệm chỉ số vi phân của DAE. Ví dụ 1.1.2.1 - Xét phương trình vô hướng x  q t  (1.3) trong đó q(t ) là hàm trơn cho trước. Đạo hàm hai vế (1.3) ta được x  q(t ). Ta chỉ cần thực lấy đạo hàm một lần (1.3) để được một ODE đối với x . Vậy (1.3) là một DAE chỉ số 1  x1  q (t ), - Xét hệ  (1.4)  x2  x1. Đạo hàm hai vế phương trình thứ nhất của (1.4) ta được x1  q(t ) rồi thay vào phương trình thứ hai ta có x2  q(t ).  x1  q(t ), Ta được hệ  (1.5)  x2  q(t ). Đạo hàm hai vế phương trình thứ hai của (1.5) ta có x2  q(t ). Như vậy ta phải lấy đạo hàm hai lần (1.5) mới nhận được ODE Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 6
 x1  q(t ),   x2  q(t ). Vậy hệ phương trình (1.4) có chỉ số 2. Ta biết rằng để xác định nghiệm của ODE cấp m nói chung cần phải biết m điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. Tuy nhiên đối với DAE đơn giản như hệ (1.3) thì nghiệm của nó được hoàn toàn được xác định bởi vế phải. Các hệ DAE dạng tổng quát thường bao gồm một hệ gồm một số ODE và một số ràng buộc đại số. Vì vậy, một hệ ODE sẽ có l bậc tự do (0  l  m). Tuy nhiên là khá khó để có thể xác định các thông số của l để tìm nghiệm của DAE. Điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên xác định riêng cho DAE phải tương thích. Nói cách khác chúng phải thỏa mãn các ràng buộc đại số của hệ. Ví dụ, điều kiện ban đầu của hệ (1.3) chỉ số 1 phải thỏa mãn điều kiện x(0)  q(0) (điều này là rất cần thiết nếu ta xem hệ này là ODE). Bài toán có vẻ phức tạp hơn khi điều kiện ban đầu của hệ (1.4) chỉ số 2. Không những một nghiệm bất kỳ phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc x1  t0   q(t0 ) mà còn phải thỏa mãn ràng buộc ẩn x2  t0   q(t0 ), t chứ không chỉ là điều kiện x1 (0)  q(0), x2 (0)  q(0). Đây là điểm khác biệt quan trọng giữa DAE chỉ số 1 và DAE chỉ số cao hơn 1 . DAEs chỉ số cao thường kèm theo một số ràng buộc ẩn. Bây giờ xem lại DAE nửa hiện chỉ số 1 dạng (1.2). Vì trong trường hợp g này nếu phương trình có chỉ số 1 thì Jacobian là không suy biến, theo định z lý hàm ẩn ta xác định z bằng cách lấy đạo hàm một lần DAE. Đối với DAE chỉ số 1 , ta cần phân biệt biến khả vi x(t ) và các biến đại số z (t ) . Cần chú ý rằng, các ẩn đại số có thể kém trơn hơn ẩn khả vi qua một lần lấy đạo hàm (tức là các biến đại số có thể không có đạo hàm trong khi đó các biến khả vi bắt buộc phải có đạo hàm). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 7
Trong trường hợp tổng quát (1.1), mỗi thành phần của x bao gồm các thành phần khả vi và các thành phần đại số, điều này làm cho việc tìm nghiệm dạng số của những bài toán chỉ số cao trở nên khó khăn và nhiều rủi ro hơn. Dạng DAE nửa hiện được tách riêng thành các phương trình vi phân và các ràng buộc đại số. Việc tách này chính là để giảm bớt khó khăn trong việc tìm nghiệm dạng số cho DAE chỉ số cao. Bất kỳ DAE dạng (1.1) nào cũng có thể được viết dưới dạng nửa hiện (1.2) bằng cách đưa vào một biến mới ta có  x  z ,  (1.6)  F  t , x, z   0. Giả sử (1.1) có chỉ số k , tức là phải qua k lần lấy đạo hàm đối với (1.1) mới xác định được x tức là xác định được z. Vì vậy phải đạo hàm một lần nữa mới xác định đc z . Do đó chỉ số của hệ (1.6) tăng lên một đơn vị. Cuối cùng, cần chú ý rằng, chỉ số không chỉ phụ thuộc vào nghiệm của DAE mà còn phụ thuộc vào dạng của DAE. Chúng ta cùng xem xét ví dụ minh họa dưới đây. Ví dụ 1.1.2.2 Xét hệ phương trình vi phân đại số với x   x1 x3  T x2  x1  x3 ,   x2 1  x2   0, (1.7)  x x  x (1  x )  t  0.  1 2 3 2 phương trình thứ hai của hệ (1.7) có hai nghiệm x2  0 và x2  1. 2 t - Nếu x2  0 , thì x3  t mà x1  x3 nên x1   x1 (0). Vậy nghiệm của hệ 2 T  t2  (1.7) là x(t )    x1 (0) 0 t  . Do đó (1.7) có dạng nửa hiện chỉ số 1 . 2  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 8
- Nếu x2  1, thì x1  t mà x1  x3 nên x3  1 . Vậy nghiệm của (1.7) là x(t )   t 1 1 , do đó (1.7) có chỉ số 2 khác hoàn toàn với x2  0 , để ý rằng T trường hợp này không đòi hỏi giá trị ban đầu của x1 . Bây giờ nếu ta thay thế phương trình đại số liên quan đến x2 bởi x2  0 , thì chỉ số của hệ DAE mới sẽ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Vậy nếu x2 (0)  1, thì chỉ số của (1.7) là 2 nếu x2 (0)  0 chỉ số (1.7) là 1. Nhận xét: Để xác định chỉ số của DAE dạng Hessenberg, ta cần thực hiện phép lấy đạo hàm các ràng buộc đại số. Số lần lấy đạo hàm chính là chỉ số vi phân của phương trình. Sau đây là một vài DAE dạng Hessenberg chẳng hạn  x  f (t , x, z ), - Hệ phương trình đại số có dạng   g (t , x, z )  0. g trong đó ma trận Jacobian không suy biến với mọi t. Đây là dạng Hessenberg z chỉ số 1 vì ta chỉ cần lấy đạo hàm một lần để thu được ODE.  x  f (t , x, z ), - Hệ phương trình đại số có dạng   g (t , x)  0. g f trong đó tích các ma trận Jacobian . , không suy biến với mọi t. Đây là dạng x z Hessenberg chỉ số 2 vì ta cần lấy đạo hàm hai lần để thu được ODE.  x  f (t , x, y, z ), - Hệ phương trình đại số có dạng   y  g (t , x, y ), h(t , y )  0.  h g f trong đó tích của ba ma trận . . , không suy biến. Đây là dạng Hessenberg y x z chỉ số 3 vì ta cần lấy đạo hàm ba lần để thu được ODE. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 9
1.1.3. Phương pháp giải số DAE Có rất nhiều phương pháp để giải DAE nhưng ở đây chúng ta chỉ trình bày phương pháp giải số cho DAE. Phương pháp giải gần đúng DAE có thể được chia làm hai lớp: (i) Rời rạc hóa trực tiếp hệ phương trình đã cho. (ii) Phương pháp giải gần đúng DAE gồm phép biến đổi (ví dụ, giảm chỉ số) kết hợp với rời rạc hóa. Vì việc biến đổi biểu diễn hệ đã cho thường là rất phức tạp nên chúng ta nghĩ ngay đến việc sử dụng phương pháp rời rạc hóa trực tiếp hệ đã cho. Việc này đòi hỏi nhiều thông tin đầu vào từ người sử dụng và có thể gặp phải sự can thiệp của người dùng. Lý do phổ biến của phương pháp biến đổi công thức hóa ra là vì phương pháp biến đổi trực tiếp bị hạn chế về tính hiệu quả đối với DAEs dạng Hessenberg chỉ số1 , Hessenberg chỉ số 2 và Hessenberg chỉ số 3. Hầu hết DAEs xuất hiện trong các ứng dụng thực tiễn đều có chỉ số 1, hoặc có chỉ số cao, nó có thể được xem như là sự kết hợp đơn giản của các hệ Hessenberg. Tuy nhiên có thể xuất hiện một số trường hợp khó và việc ứng dụng phương pháp số tốt nhất cho ODE cũng không đạt hiệu quả như mong đợi. Thông thường, cách tốt nhất để giải DAE chỉ số cao là ta tìm cách hạ chỉ số của nó sau đó ta giải phương trình với chỉ số thấp hơn. Các phương trình vi phân như  x  f (t , x, z ),  (1.8)  z  g (t , x, z ). trong đó,  là một tham số nhỏ được gọi là hệ ODE với nhiễu suy biến (singularly). Khi tham số   0 , (1.8) trở thành DAE dạng (1.2). Vì (1.8) là cương đối với các tham số  đủ nhỏ, nên một cách tự nhiên người ta tận dụng triệt để các phương pháp để giải ODEs cương, phương pháp này áp dụng cho việc rời rạc hóa trực tiếp DAEs dạng (1.2) và DAEs dạng tổng quát (1.1). Đặc biệt, khi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 10
sử dụng kết hợp các phương pháp BDF và Radau cho ODEs cương là rất hiệu quả. 1.2. Phương trình vi phân thường có trễ (DODE) (xem [15]) 1.2.1. Một số khái niệm và kết quả về DODE DODE là phương trình vi phân trong đó giá trị đạo hàm của hàm chưa biết tại một thời điểm nào đó được tính theo giá trị của nó tại một thời điểm khác. DODE là một bộ phận lớn và quan trọng trong các hệ động lực. Những hệ này thường xuất hiện trong bài toán điều khiển, kỹ thuật hoặc tự nhiên. Trong những hệ này, có một bộ điều khiển trạng thái của hệ và điều chỉnh hệ dựa trên sự quan sát của nó. Vì những điều chỉnh như thế có thể không tiến hành được ngay, dẫn đến xuất hiện trễ trong quan sát và tác động điều khiển. Có rất nhiều loại DODE nhưng ở đây chúng ta chỉ tập trung vào một loại đó là x  f  x  t  , x  t  1  , x  t   2  , ..., x t   n   , (1.9) trong đó các  i là những hằng số dương. Nói cách khác, chúng ta sẽ tập trung vào những phương trình có trễ hữu hạn và cố định. Có thể có những  i khác, đặc biệt là những phương trình trễ phụ thuộc trạng thái ( i phụ thuộc vào x ) hoặc những phương trình trễ được phân bố theo tần suất nhất định (vế phải của phương trình vi phân là một trọng số nguyên của trạng thái có trước). Khi chúng ta đặt điều kiện ban đầu cho hệ động lực hữu hạn chiều, chúng ta chỉ cần xác lập một tập hợp nhỏ của các số, cụ thể là giá trị ban đầu của các biến trạng thái và có thể là thời điểm đầu trong hệ không dừng. Chúng ta cần nhiều bước hơn để giải phương trình có trễ. Tại mỗi bước chúng ta cần xem lại giá trị của x ở thời điểm trước đó. Vì thế chúng ta cần xác định hàm ban đầu, giả sử rằng chúng ta bắt đầu tại t  0 để thấy được dáng điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 11
của hệ trước thời điểm đó. Hàm này bao gồm khoảng tối thiểu bằng trễ dài nhất vì chúng ta sẽ phải xem xét lại các giá trị trong khoảng đó. Chúng ta cùng nghiên cứu kỹ hơn khi nhìn vào những phương trình với trễ đơn, ví dụ x  f  x  t  , x t     , (1.10) Hàm ban đầu phải là một hàm số có dạng x(t ) và xác định trên  t , 0. Một câu hỏi đặt ra là chúng ta cần phải hiểu cơ chế động học chứa trong phương trình có trễ này như thế nào? Chúng ta cần tư duy theo cách mà chúng ta vẫn làm với các ODE, cụ thể là nghiệm gồm một dãy các giá trị x tại giá trị tăng của t. Tuy nhiên, về mặt lý thuyết, đây không phải là cách hay nhất để giải những loại phương trình này. Có một cách hay hơn để giải DODE loại này đó là sắp xếp các hàm trên t   , t  vào các hàm trên t , t    . Nói cách khác, các nghiệm của hệ này có thể được xem như là các dãy hàm f0  t  ; f1  t  ; f 2  t  ;..., được xác định trong khoảng thời gian liên tiếp có độ dài  . Các điểm t  0;  ; 2 ;..., nơi các giá trị nghiệm nối tiếp nhau được gọi là nút. Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như những định lý của ODEs được chứng minh thông qua các khái niệm dễ hơn rất nhiều so với việc cố gắng xem xét các phương trình vi phân dưới góc độ phát triển không gian trạng thái của x. Ví dụ 1.2.1.1 Xét phương trình vi phân có trễ x   x  t  1 (1.11) x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 12
f 0 (t ) f1 (t ) f 2 (t )  0  2 t    Hình 1.1. Việc phát triển toán tử   của DODE dạng (1.10) là lấy một hàm xác định vượt qua khoảng có độ dài  và vẽ nó theo một hàm khác được xác định tương tự. Ví dụ, hàm ban đầu xác định nghiệm vượt qua  0,   Giả sử chúng ta có hàm x(t )  fi 1 (t ) trên ti  1, ti  khi đó trên ti , ti  1 bằng việc phân chia các biến, chúng ta có: x (t ) t  fi 1 ( ti ) dy    fi 1 (  1)d . ti t x(t )  fi (t )  fi 1 (ti )     1 d . ti Ví dụ trên là cơ sở lý thuyết để giải DODE bằng phương pháp đơn giản nhất, được gọi là phương pháp đa bước (xem [12]). Hiện nay đã có phương pháp 4 bước (xem [11]), phương pháp 6 bước (xem [2]), phương pháp 8 bước (xem [3]). Ví dụ tiếp theo sẽ giải thích cách tìm nghiệm khi một vài dữ kiện ban đầu có sẵn. Ví dụ 1.2.1.2 Giả sử chúng ta phải giải phương trình (1.10) với một vài dữ liệu có sẵn. x(t )  1 với t  1, 0 Trên [0, 1] ta có t + x(t )  1  1d  1  t. 0 Trên 1, 2 ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 13