Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tích phân Choquet và định lí Choquet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Trần Hữu Mạnh<br /> <br /> TÍCH PHÂN CHOQUET<br /> VÀ ĐỊNH LÍ CHOQUET<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Trần Hữu Mạnh<br /> <br /> TÍCH PHÂN CHOQUET<br /> VÀ ĐỊNH LÍ CHOQUET<br /> <br /> Chuyên ngành: Toán Giải Tích<br /> Mã số:<br /> 60 46 01<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC<br /> PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> Lời cảm ơn sâu sắc nhất, tôi xin trân trọng cảm ơn thầy của tôi – cố PGS.TS Đậu Thế<br /> Cấp, người đã giảng dạy tôi trong khóa học, cũng như tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình<br /> thực hiện luận văn Thạc sĩ và nghiên cứu khoa học. Tôi cũng xin gửi lời chia buồn sâu sắc tới<br /> gia đình thầy vì sự ra đi đột ngột của thầy.<br /> Tôi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy đã hỗ trợ tôi trong quá trình hoàn<br /> thành luận văn.<br /> Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian<br /> đọc và cho tôi những nhận xét quý báu về luận văn.<br /> Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô của khoa Toán – Tin học, quý<br /> thầy cô thuộc phòng Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã trang bị cho tôi kiến<br /> thức cũng như đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.<br /> Tôi cũng xin cám ơn các bạn học viên cùng lớp Cao học Giải Tích khóa 20 đã chia sẻ,<br /> giúp đỡ nhau trong suốt quá trình học tập.<br /> Cuối cùng là lời cảm ơn tôi dành cho những người thân trong gia đình tôi, những người<br /> luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua.<br /> TP.HCM, ngày 29 tháng 7 năm 2011<br /> Trần Hữu Mạnh<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................1<br /> MỤC LỤC .......................................................................................................................2<br /> MỞ ĐẦU .........................................................................................................................3<br /> Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ...........................................................................5<br /> 1.1 Độ đo ....................................................................................................................5<br /> 1.2 Tôpô .....................................................................................................................8<br /> 1.3 Dung lượng trong không gian tôpô ....................................................................11<br /> 1.4 Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo ............................................................15<br /> 1.5 Một số dung lượng đặc biệt................................................................................17<br /> 1.6 Dung lượng rời rạc .............................................................................................23<br /> Chương 2: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG ...............................28<br /> 2.1 Định nghĩa ..........................................................................................................28<br /> 2.2 Tính chất .............................................................................................................28<br /> Chương 3: ĐỊNH LÍ CHOQUET ...............................................................................40<br /> 3.1 Hàm dung lượng .................................................................................................40<br /> 3.2 Định lí Choquet ..................................................................................................41<br /> KẾT LUẬN ...................................................................................................................54<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................55<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> Lý thuyết dung lượng và tích phân theo dung lượng được đưa ra bởi nhà toán học Pháp<br /> Gustave Choquet (1955) và đã được mở rộng, phát triển bởi nhiều nhà toán học. Hiện nay vấn<br /> đề này vẫn đang có tính thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm. Vì vậy, chúng tôi chọn đề<br /> tài: “Tích phân Choquet và định lí Choquet” nhằm tìm hiểu cũng như bước đầu nghiên cứu<br /> theo lý thuyết nói trên.<br /> 2. Mục đích nghiên cứu<br /> Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra khái niệm dung lượng, tích phân Choquet theo dung<br /> lượng trong không gian tôpô Hausdorff tổng quát với<br /> <br /> σ - đại số Borel và định lí Choquet ứng<br /> <br /> với hàm dung lượng.<br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff<br /> với<br /> <br /> σ - đại số Borel, khảo sát một số trường hợp dung lượng rời rạc, nghiên cứu một số tính<br /> <br /> chất của tích phân Choquet theo các dung lượng, dung lượng rời rạc. Định lí Choquet trong<br /> không gian tôpô compắc địa phương, Hausdorff và khả li cũng được chúng tôi nghiên cứu.<br /> 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn<br /> Các kết quả có được của luận văn là một trường hợp cho lý thuyết dung lượng trong<br /> không gian tôpô Hausdorff, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết độ đo, xác suất.<br /> 5. Cấu trúc luận văn<br /> Nội dung luận văn được trình bày 3 chương:<br /> -<br /> <br /> Chương 1: Trình bày một số vấn đề về lý thuyết độ đo, tôpô, lý thuyết dung lượng,<br /> dung lượng rời rạc cần thiết.<br /> <br />