intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST
Báo xấu
35
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thống các vấn đề cơ bản nhất của phép tính vi phân trong không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian như các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, công thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và công thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜNG HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
  3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach ” do tôi thực hiện với sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, không sao chép của bất cứ ai. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2018 Học viên thực hiện CHANTHAVONG Ladda
  4. LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành bài luận này. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trình học cao học. Xin được gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công nghệ và phòng Sau đại học, phòng Tổ chức hành chính, phòng Kế hoạch - Tài chính Trường đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Và cũng cảm ơn các bạn Học viên K26 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn. Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới quý thầy cô, anh chị và các bạn! CHANTHAVONG Ladda
  5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU.........................................................................................................................1 Chương 1. ĐẠO HÀM..................................................................................................2 1.1. Sự khả vi ...............................................................................................................2 1.2. Định lý số giá giới nội và ứng dụng .....................................................................9 1.2.1. Định lý số giá nội ...........................................................................................9 1.2.2. Một số ứng dụng ..........................................................................................11 1.3. Đạo hàm bậc cao, công thức Taylor ...................................................................18 1.3.1. Ánh xạ đa tuyến tính ....................................................................................18 1.3.2. Đạo hàm bậc hai ...........................................................................................20 1.3.3. Đạo hàm bậc cao ..........................................................................................23 1.3.4. Công thức Taylor .........................................................................................26 1.3.5. Đạo hàm cấp cao của một số ánh .................................................................29 1.4. Ánh xạ ngược – ánh xạ ẩn ..................................................................................40 Chương 2. CỰC TRỊ ...................................................................................................46 2.1. Cực trị địa phương ..............................................................................................46 2.2. Cực trị có điều kiện .............................................................................................50 2.2.1. Trường hợp riêng .........................................................................................50 2.2.2. Cực trị với ràng buộc phiếm hàm ................................................................53 2.2.3. Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát ........................................................54 2.3. Bài toán biến phân ..............................................................................................57 2.3.1. Trường hợp một biến. Phương trình Euler..................................................57 2.3.2. Trường hợp hàm nhiều biến. Phương trình Euler – Lagrange ...................64 KẾT LUẬN ..................................................................................................................72 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................73
  6. 1 MỞ ĐẦU Khái niệm đạo hàm là khái niệm cơ sở nhất và quan trọng nhất của Toán học nói riêng và khoa học nói chung. Nó có mặt trong những bài toán đơn gian nhất cho đến các bài toán phức tạp nhất. Đạo hàm được định nghĩa ban đầu cho hàm số một biến số, sau đó cho hàm số nhiều biến số. Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như đề nghiên cứu những bài toán mới phát sinh trong quá trình phát triển của khoa học – công nghệ mà khái niệm đạo hàm và các vấn đề liên quan đã được mở rộng cho các ánh xạ tác động trong các không gian Banach và rộng hơn là các không gian tô pô tuyến tính. Đến nay đã hình thành một lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân trong không gian Banach. Lí thuyết này tìm được những ứng dụng sâu sắc và cơ bản trong lí thuyết phương tình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hoá, Toán kinh tế,... Việc tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach giúp học viên bổ sung cho mình những kiến thức mới hiện đại; thấy được phương pháp hình thành và phát triển những khái niệm Toán học tổng quát hơn trên cơ sở những khái niệm cũ, riêng biệt. Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thống các vấn đề cơ bản nhất của phép tính vi phân trong không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian như các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, công thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và công thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân,... Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên cao học. Khi học bộ môn phép tính vi phân trong không gian hữu hạn chiều và không gian Banach.
  7. 2 Chương 1. ĐẠO HÀM 1.1. Sự khả vi Trong chương này, ta xét  E,  E  ,  F ,  F  là các không gian Banach trên cùng một trường K ( K là R hoặc C ). Định nghĩa Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở trong E chứa điểm x và f :D F. 1) Ta nói f khả vi theo Frechet hay F  khả vi tại x nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F sao cho với mọi h  E mà x  h  D thì: f  x  h  f  x  Ah  h E   h  , 1  với  xác định trong một lân cận của 0E có giá trị trong F , im   h   0F . h0E 2) Ta nói f khả vi theo Gateaux hay G  khả vi tại x nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F sao cho f  x  th   f  x  im  A  h  , h  E .  2 t 0 t Mệnh đề 1.1 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở trong E và f : D  F . 1) Ánh xạ tuyến tính liên tục A thoả mãn 1 hoặc  2  , nếu tồn tại, sẽ duy nhất, đặt f '  x   A và gọi là đạo hàm của f tại x . 2) Nếu f khả vi theo Frechet tại x  D thì f liên tục tại x . Chứng minh 1) Ta chứng minh cho trường hợp là F  khả vi. Giả sử A1 , A2 là ánh xạ tuyến tính liên tục thoả mãn 1 . Với mọi u  E và t  0 sao cho x  tu  D, ta có: f  x  tu   f  x   A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu  , với im 1  h   im 2  h   0F . h0E h0E
  8. 3 Do A1 , A2 tuyến tính và t  0 nên: A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu   A1  u   A2  u   u E 2  tu   1  tu   . Cho t  0, ta có: A1  u   A2  u  , u  E. Vậy A1  A2 2) Từ 1 và tính liên tục của A suy ra: im f  x  h   f  x  . h0E Vậy f liên tục tại x . Từ 1 và A là tuyến tính, ta có: f  x  th   f  x  im t 0 t t 0   im A  h   t t  h   th   A  h  . Do đó f khả vi theo Gateaux tại x . Định nghĩa Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở trong E và f : D  F . Nếu f khả vi tại mọi x  D , ta nói f khả vi trên D hay f khả vi. Khi đó ánh xạ f ' : D  L  E, F  biến mỗi x  D thành đạo hàm của f tại x , f '  x   L  E, F  được gọi là ánh xạ đạo hàm của f . Ghi chú Nếu E  R , mọi ánh xạ tuyến tính A: R  F có dạng A  t   tw, với w  F , w  A 1 . Ta đồng nhất ánh xạ tuyến tính A với A 1  w là vectơ trong F . Khi đó với I là khoảng mở trong R , f : I  F , f khả vi tại t  I nếu tồn tại phần tử w  F sao cho với h  R, t  h  I thì: f  x  h   f  t   hw  h    h  , im   h   0 F hay h 0 f  x  h  f t  im  w  f ' t  . h 0 h Mệnh đề .2 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở trong và f : D  F .
  9. 4 i) Nếu f là ánh xạ hằng thì f khả vi và f '  x   0L E ,F  , x  D. ii) Nếu f là thu hẹp trên D của ánh xạ tuyến tính liên tục thì f khả vi và: f '  x   f , x  D . Chứng minh i) Hiển nhiên. ii) Do f tuyến tính liên tục nên f  x  h  f  x  f h  h E   h  , với   h   0 F , h  E . Định lý 1.1 (Công thức đạo hàm của ánh xạ hợp) Cho E , F , G là không gian Banach, U là tập mở trong E , V là tập mở trong F và f : U  V , g : V  G . Giả sử f khả vi Frechet tại x và g khả vi Frechet tại y  f  x  thì g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  . ' Chứng minh Đặt k  h   f  x  h   f  x  . Với h  E sao cho x  h U và f  x  h   V . Do g khả vi tại f  x  nên g  f  x  h    g  f  x    g '  f  x    k  h    k  h  F    k  , im   k   0G . k 0F Do f khả vi tại x nên: k  h   f '  x  h   h E   h  , im  h   0F . h0E Suy ra g  f  x  h    g  f  x     g '  f  x   f '  x    h   h E  g '  f  x     h    k  h  F    k  Ta cần chứng minh:  k  h F  im  g '  f  x     h      k  h    0G . h  E  hE  Điều này suy từ các đánh giá:
  10. 5 k h k  h F  f '  x  h E   h E   h F nên F  f '  x   h F bị chặn. h E Khi h  0E , im k  h   0F và im   k  h    0G . h0E h0E Vậy g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  . ' Nhận xét Nếu f khả vi Gateaux tại x và f khả vi theo Frechet tại y  f  x  thì g f   x   g '  f  x  f '  x . ' g f khả vi Gateaux tại x và Từ đây về sau nếu không nói gì thêm, ta hiểu sự khả vi là theo Frechet. Định nghĩa Cho F1 , F2 ,..., Fn là các không gian Banach. Đặt F  F1  F2  ...  Fn . Mỗi y  F , y   y1 , y2 ,..., yn  , yi  Fi , i  1, 2,..., n , Đặt y F  y1 F1  y2 F2  ...  y n Fn . Khi đó  F ,  F  là không gian Banach. Cho E , Fi , i  1, n là các không gian Banach, D là tập mở trong E và f : D  F1  F2  ... Fn . Khi đó f  x    f1  x  , f 2  x  ,..., f n  x   trong đó fi : D  Fi , i  1, 2,..., n là ánh xạ thành phần thứ i của f . Ánh xạ f là tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi các ánh xạ fi là tuyến tính, liên tục i  1, n . Định lý 1.2 Cho E, F1 , F2 ,..., Fn là các không gian Banach, D là tập mở trong E và f : D  F1  F2  ...  Fn , f   f1 , f 2 ,..., f n  . Khi đó f khả vi tại x nếu và chỉ nếu các ánh xạ thành phần f1 , f2 ,..., fn khả vi tại x . Hơn nữa: f '  x  h    f1'  x  h  , f 2'  x  h  ,..., f n'  x  h   , trong đó f '  x   L  E, F  với F  F1  F2  ...  Fn , f i '  x   L  E , Fi  , i  1, 2,..., n , nghĩa là f i '  x  chính là thành phần thứ i của f '  x  .
  11. 6 Chứng minh Giả sử f khả vi tại x . Với i  1, 2,..., n , đặt pi : F1  F2  ...  Fn  Fi định bởi pi  y1 , y2 ,..., yn   yi , pi là phép chiều thành phần thứ i thì pi là ánh xạ tuyến tính liên tục và fi  pi f . Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, fi khả vi tại x và f i '  x   pi'  f  x   f '  x   pi f '  x . Vậy f i '  x  chính là thành phần thứ i của f '  x  . Ngược lại, giả sử f1 , f2 ,..., fn khả vi tại x . Với h  E mà x  h  D ta có:  f1  x  h   f1  x    f1'  x  h   h E  1  h       f  x  h  f  x   ...  ...   f n  x  h   f n  x    f n  x  h   h E  n  h    '   f1'  x  h   1  h        ...   h E   ...  ,  f1'  x  h   n  h     với fi '  L  E, Fi  , im i  h   0Fi , i  1, 2,..., n . h0E Đặt:  fi '  x   1  h       A   ...  ,   h    ...  thì A  L  E , F  ,  xác định trong lân cận 0 E  f n'  x    n  h     và im   h   0F . h0E Vậy f khả vi tại x và f '  x   A   f1'  x  , f 2'  x  ,..., f n'  x   . Ví dụ 1.1 Xét không gian Banach E  C  a, b , R  với chuẩn x     sup x  t  : t   a, b . Cho f :  a, b    a, b   R  R liên tục, f  f  t , s, x  . Cho F : E  F định bởi: b với x  E và t   a, b , F  x  t    f  t , s, x  s  ds . a
  12. 7 a) Khi đó F liên tục trên E . f b) Nếu (đạo hàm riêng theo biến thứ 3) liên tục trên  a, b    a, b   R thì x F khả vi và với x  E , F '  x   L  E , F  định bởi: với f b h  E thì F  x  h  t    ' x t , s, x  s  h  s  ds, t  a, b  . a Chứng minh a) Cho trước x  E và   0 Do f liên tục đều trên  a, b   a, b    x  1, x  1 nên tồn tại   0,   1 sao cho:  t, s, u   t ' , s' , u '    , t , s, t ' , s' a, b và u, u '    x  1, x  1 thì:  f  t , s , u   f  t ,' s ' , u '   . b  a 1 Với t , t '   a, b , t  t '   ta có: b  b  a  F  x  t   F  x   t '    f  t , s, x  s    f  t ' , s, x  s   ds   . a b  a 1 Vậy F  x  liên tục trên  a , b  và F  x   E . Với h  E , h     1, ta có: t   a, b  , b  b  a  F  x  h  t   F  x  t    f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s   ds   . a b  a 1 Suy ra: F  x  h   F  x     . Vậy F liên tục tại x . b) Cho trước x  E và   0 f Do liên tục đều trên  a, b   a, b    x  1, x  1 nên tồn tại x   0,   1 sao cho: t, s, u   t ' , s' , u'    , t, s, t ' , s' a, b và u, u '    x  1, x  1 thì:
  13. 8 f f   t , s, u    t , s, v   với mọi t , s   a, b  . x x b  a 1 Do định lí Lagrange tồn tại    0,1 , (  phụ thuộc vào s và t ) sao cho: f f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s     t , s, x  s    h  s    h  s  . x Khi đó với mọi t   a, b  , f b F  x  h  t   F  x  t    x t , s, x  s   h  s  ds a  f  b    f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s     t , s, x  s   h  s   ds a  x  b  f f  h  b  a      t , s, x  s    h  s     t , s, x  s   h  s   ds     h . a  x x  b  a 1 Từ a), ánh xạ A : E  E định bởi : Với h  E , f b A  h  t    x t , s, x  s  h  s  ds, t  a, b , là ánh xạ tuyến tính liên tục. a Vậy F khả vi tại x  E , F '  x   L  E , F  định bởi: với h  E thì f b F  x  h  t    ' x t , s, x  s    h  ds, t   a, b  . a Ví dụ 1.2 Cho D  R n là tập mở và f : D  Rm , f  x    f1  x  ,..., f m  x   với f i : D  R, i  1, m Khi đó f khả vi tại a khi và chỉ khi fi khả vi tại a , i  1, m . Ánh xạ tuyến tính f '  a  : R n  R m có ma trận biểu diễn trong các cơ sở chính tắc của R n , R m với hàng thứ i là  fi  a  f  a    ,..., i  , i  1, m   x  x  1 n 1 
  14. 9 Chứng minh Do định lí 1.2, ta có f khả vi tại a khi và chỉ khi mà hàm fi khả vi tại a . Giả sử fi khả vi tại a . Ánh xạ fi '  a  : R n  R tuyến tính nên tồn tại a1 ,..., an  R sao cho: n f1'  a  h     k hk , h   h1 ,..., hn   R n và k 1 n fi  a  h   f i  a     k hk  h    h  , im   h    . h  k 1 Rn Cho h  te j với e1 ,..., en  là cơ sở chính tắc của Rn , ta có fi  a  te j   fi  a  fi  a  im j hay   j , j  1, n t 0 t x j Do f '  a  h    f1'  a  h  ,..., f m'  a  h   , h  R n nên ta suy ra f '  a  là ma trận có hàng thứ là 1 1.2. Định lý số gia giới nội và ứng dụng 1.2.1. Định lý số gia giới nội Định nghĩa Cho E là không gian định chuẩn.Với a, b  E , ta kí hiệu  a, b  1  t  a  tb / t  0,1  a, b   1  t  a  tb / t   0,1 Định lý Cho E , F là các không gian định chuẩn, D là tập mở trong E , a, b  E sao cho  a, a  h   D . Giả sử f : D  F thỏa mãn i) Thu hẹp của f trên  a, a  h  liên tục ii) f là G  khả vi tại mọi x   a, a  h  Khi đó
  15. 10 f  a  h  f  a  F  h E sup f '  x . x a , a  h  Chứng minh Đặt y  f  a  h   f  a  ,ta có thể coi y   . Áp dụng một hệ quả của định lý Hahn – Banach ta tìm được phiếm hàm G  F  sao cho G  1, G  y   y . Xét phiếm hàm g : F  R, g  x   Re G  x  ; ta có g là phiếm hàm thỏa mãn g  x  y   g  x   g  y  , g   x    g  x  ,   R và g  G . Xét phiếm hàm  :  0,1  R,   t   g  f  a  th   . Ta có   liên tục trên  0,1 do giả thiết i)   khả vi trên  0,1 và  '  t   g  f '  a  th  h  . Áp dụng định lý Lagrange cho hàm  trên  0,1 ta tìm được số c   0,1 sao cho  1    0    '  c   g  f '  a  ch  h   g  h  f '  a  ch   h sup f '  x x a , a  h  Vì  1    0   g  y   G  y   y nên ta có điều phải chứng minh. Hệ quả Giả sử ta có các giả thiết của định lý số gia nội và A  L  E , F  . Khi đó f  a  h  f  a   Ah F  h  sup f '  x  A . x a , a  h  Chứng minh Xét ánh xạ g : D  F , g  x   f  x   A  x  . Ta thấy các điều kiện của định lý số gia giới nội đúng cho ánh xạ g . Do đó g  a  h   g  a   h  sup g'  x x a , a  h  Chú ý rằng: g a  h  g a  f a  h  f a  Ah , g '  x  f '  x   A , x   a, a  h  ta có điều phải chứng minh.
  16. 11 1.2.2. Một số ứng dụng a) Giới hạn của dãy ánh xạ khả vi Ta nhắc lại rằng tập D trong không gian E gọi là tập liên thông nếu không tồn tại hai tập mở O1 , O2 trong E sao cho: D  O1  , D  O2  , D  O1  O2 , D  O1  O2   Mệnh đề 2.3 Cho E là không gian Banach và D là tập mở trong E . Nếu D là tập liên thông thì với mọi x, y  D , tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 ,..., Bk chứa trong D sao cho: x  B1 , Bi  Bi 1  , i  1, 2,..., k  1 , y  Bk .  4 Chứng minh: Ta định nghĩa quan hệ trên D như sau: Với x, y  D , ta nói nếu và chỉ nếu tồn tại một số quả cầu mở B1 , B2 ,..., Bk thoả mãn  4  . Khi đó là quan hệ tương đương trên D nghĩa là: thì và thì . Với x  D , đặt là lớp tương đương của x . Khi đó: D x , với x, y  D thì x  y   hoặt x  y . xD Ta chứng minh x là tập mở. Thật vậy; với y  x thì nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 ,..., Bk thoả mãn  4  . Khi đó, với z  Bk thì nên hay z  x . Suy ra: Bk  x . Vậy x là tập mở. Cố định x  D , ta khẳng định x  D và như vậy mệnh đề được chứng minh. Giả sử D \ x   . Đặt O1  x và O2  y thì do y mở với mọi yD \ x y  D \ x   nên O2 là tập mở khác rỗng và ta có: D  O1  O2 , O1  O2   .
  17. 12 Ta gặp mâu thuẫn với tính liên thông của D . Như vậy: x  D . Hệ quả 2.2 Cho D là tập mở liên thông trong E . Khi đó với mọi x, y  D tồn tại đường gấp khúc  gồm các đoạn  x, x1  ,  x1 , x2  ,...,  xk 1 , y  chứa trong D , nối x và y . Định lý 2.4 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở liên thông trong E và f :D F. Giả sử f khả vi và f '  x   0L E , F  , với mọi x  D . Khi đó f là ánh xạ hằng trên D . Chứng minh Cố định x0  D . Với x  D , do Hệ quả 2.2, tồn tại đường gấp khúc  chứa trong D , nối x0 và x . Gọi các đỉnh liên tiếp của  là x0 , x1 ,..., xk 1 , xk  x . Trên đoạn  x0 , x1  áp dụng lý giá trị trung bình, ta có: f  x1   f  x0  F  x1  x0 E  sup f '  z  , z  x0 , x1   0 . Suy ra: f  x0   f  x1  . Làm tương tự với các đoạn  xi , xi 1  , i  1, 2,..., k  1 , ta có: f  x0   f  x1   ....  f  x  . Vậy f là ánh xạ hằng. Định lý 2.5 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở liên thông trong E . Với mọi tập con bị chặn K của D , dãy các ánh xạ đạo hàm f ' n n , f n' : D  L  E , F  hội tụ đều về ánh xạ g : D  L  E , F  trên K và tồn tại a  D sao cho dãy các phần tử  f  a   hội tụ. n n Khi đó tồn tại ánh xạ f : D  F khả vi trên D sao cho dãy  f n  n hội tụ về f trên D và f '  x   g  x  , với mọi x  D .
  18. 13 Chứng minh: Do D mở và a  D , tồn tại r  0 sao cho quả cầu mở B  a, r   D . Với mọi x  B  a, r  , đoạn  a, x   B  a, r  và dãy ánh xạ đạo hàm f  ' n n hội tụ đều về g trên B  a , r  . Với mọi n, p  N , ta có:  f  x   f  a    f  x   f  a  n p n p n n F   x  a E sup f n' p  y   f n'  y  , y  a, x  .  Do  fn  a  n hôi tụ trong F và dãy  f n' n hội tụ đều về g trên B  a, r  nên  f  x  n n là dãy cơ bản trong B  a, r  . Do F là không gian Banach nên  f n  n hội tụ đều trên B  a, r  về ánh xạ ghi là f . Do  f n  n liên tục trên B  a , r  nên f liên tục trên B  a , r  . Ta chứng minh f khả vi và f '  x  g  x với mọi x  B  a, r  . Với x  B  a, r  cố định và h  E sao cho x  h  B  a, r  , ta có: f  x  h   f  x   g  x  h  E  f  x  h   f  x   f n  x  h   f n  x  F  f n  x  h   f n  x   f n'  x  h   f n'  x  h   g  x  h  . F F Với   0 cho trước, do f  ' n n hội tụ đều về g trên B  a, r  nên tồn tại n0  N sao cho: với n  n0 và p  N thì:  sup f ' n p  y   f n'  y  , y  B  a, r    3 và  f n'  y   g  y   , y  B  a , r  . 3 Từ định lý giá trị trung bình, suy ra:   f  x  h   f  x    f  x  h   f  x  n p n p n n F  h E  sup f ' n p  y   f n'  y   , y  B  a, r   3 h E Cho p   , ta có:  f  x  h   f  x    fn  x  h   fn  x   h E , n  n0 . F 3 Mặt khác, do:
  19. 14 f n  x  h   f n  x   f n'  x  h   h F  n  h  với im n  h   0F F h0E nên tồn tại   0 sao cho với h  E , h E   , ta có: f  x  h   f  x   g  x  h  F  h E . Điều này chứng tỏ f khả vi tại x và f '  x   g  x  với mọi x  B  a, r  . Với x  D bất kỳ, do D là tập mở liên thông trong E nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 ,..., Bk chứa trong D thoả mãn  3  , a  B1 , x  Bk lấy x1  B1  B2 . Lặp lại chứng minh trên bằng cách thay a bởi x1 và B  a, r  bởi B2 thì  f n  n hội tụ đều trên B2 về ánh xạ vẫn là f (do giới hạn là duy nhất nên chúng bằng nhau trên B1  B2 , Sau một số hữu hạn bước, ta có dãy  f n  n hội tụ đều về f trên Bk ), f khả vi và f '  x   g  x  . Định lý được chứng minh. b) Đạo hàm riêng và sự khả vi Định nghĩa Cho E1 , E2 ,..., En , f là không gian Banach. Đặt: E  E1  E2  ... En với chuẩn định bởi: x E  x1 E1  x2 E2  ...  xn En với x  E ,  x1 , x2 ,..., xn  , x1  Ei , i  1, 2,..., n , Khi đó  E,  E  là không gian Banach . Cho D là tập mở trong E và f : D  F . Với a  D , a   a1 , a2 ,..., an  , xem ánh xạ i : Ei  E định bởi: Với x1  Ei , i  xi    a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,..., an  thì i liên tục , đơn ánh và i'  xi    O,..., O, I ; O,..., O  . Ta có i liên tục i1  D  là tập mở trong Ei với I i là ánh xạ đồng nhất trên Ei . Ánh xạ f i : i 1  D   F được gọi là ánh xạ riêng của f theo biến xi tại a . f i  xi   f  a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,..., an  , xi  i1  D  .
  20. 15 Nếu ánh xạ riêng theo biến xi tại ai , f i khả vi tại ai , thì đạo hàm  f i   ai  được gọi là đạo hàm riêng của f theo biến xi tại a , ký hiệu ' Di f  a  . Khi đó Di f  a   L  Ei , F  . Mệnh đề 2.4 Cho E  E1  E2  ... En với Ei , i  1, 2,..., n là không gian Banach, F là không gian Banach và D là tập mở trong E . Cho f : D  F , a  D , a   a1 , a2 ,..., an  . Nếu f khả vi tại a thì ánh xạ riêng f i khả vi tại ai với mọi i  1, 2,..., n và với h  E , h   h1 , h2 ,..., hn  thì: n f '  a  h    Di f  a  hi  . i 1 Chứng minh Với i  1, 2,..., n , đặt pi : E  Ei định bởi: pi  x1 ,..., xi ,..., xn   xi , pi là phép chiếu lên . Giả sử f khả vi tại a . Do i khả vi trên Ei và i'  xi    0,..., 0, I i , 0,..., 0  nên ánh xạ riêng f i khả vi tại ai và  f i   ai   f '  a  i' . ' Mặt khác ta có: n  i 1 i ' pi  I E ( ánh xạ đồng nhất trên E ). Suy n n ra: f '  a    f '  a  i' pi   Di f  a  pi . i 1 i 1 Vậy: n f '  a  h    Di f  a  hi  . i 1
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y Học
320 tài liệu
1253 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
11=>2