Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Minimax và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn này là trình bày lại chỉ tiết các kết quá như đã nêu trên, các kiến thức này dựa trên bài báo chính là bài báo |H|: K. Balunanpour, H. Naghipour and M. Sedgli, Afmmmazrness and Coflnice proptriics 0ƒ local cohornologw rodules, COoimnunications in Alpgebra, Vol. 11 (2013), Dp. 2799-2814. (DOI: 10. 1080/00927872.2012.662709).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Minimax và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM o0o TRN THÀ THU HOI TNH MINIMAX V TNH COFINITE CÕA MÆUN ÈI ÇNG IU ÀA PH×ÌNG LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, NM 2018
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM o0o TRN THÀ THU HOI TNH MINIMAX V TNH COFINITE CÕA MÆUN ÈI ÇNG IU ÀA PH×ÌNG Ng nh: ¤i sè v lþ thuy¸t sè M¢ sè: 8 46 01 04 LUN VN THC S TON HÅC C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TS. Nguy¹n V«n Ho ng THI NGUYN, NM 2018 i
LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi xin cam oan måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, ng y 16 th¡ng 08 n«m 2018 T¡c gi£ Tr¦n Thà Thu Ho i X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn cõa c¡n bë h÷îng d¨n khoa håc ii
Líi c£m ìn Luªn v«n ÷ñc ho n th nh v o th¡ng 04/2018 d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS. TS. Nguy¹n V«n Ho ng. Tæi xin ÷ñc b y tä láng k½nh trång v bi¸t ìn s¥u sc tîi th¦y, nhúng b i håc quþ gi¡ tø trang gi§y v c£ nhúng b i håc trong cuëc sèng th¦y d¤y gióp tæi tü tin hìn v tr÷ðng th nh hìn nhi·u. Tæi xin c£m ìn Pháng o T¤o - ¤i håc S÷ Ph¤m Th¡i nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n º tæi ho n th nh sîm khâa håc. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi t§t c£ c¡c th¦y cæ ð ¤i håc Th¡i Nguy¶n v c¡c th¦y ð Vi»n to¡n vîi nhúng b i gi£ng ¦y nhi»t th nh v t¥m huy¸t, xin c£m ìn c¡c th¦y cæ ¢ luæn quan t¥m v gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, t¤o i·u ki»n cho tæi tham gia c¡c buêi seminar v c¡c lîp håc ngo i ch÷ìng tr¼nh. Tæi xin c£m ìn t§t c£ c¡c anh, em v b¤n b± ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi nhi»t t¼nh trong qu¡ tr¼nh håc v l m luªn v«n. Tæi xin ÷ñc gûi c£m ìn tîi t§t c£ th nh vi¶n trong gia ¼nh ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ÷ñc håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. iii
Möc löc Líi cam oan ii Líi c£m ìn iii Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 5 1.1 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Mæun Noether v Mæun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Biºu di¹n thù c§p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Mæun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ch÷ìng 2 Chi·u húu h¤n bªc 1 v t½nh minimax cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng 15 2.1 Mæun minimax v mæun cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Chi·u húu h¤n bªc mët v t½nh ch§t minimax . . . . . . . . . . . 19 Ch÷ìng 3 Chi·u húu h¤n bªc 2 v t½nh Lasker y¸u 27 3.1 Mæun Lasker y¸u v mæun cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Chi·u húu h¤n bªc hai v t½nh ch§t Lasker y¸u . . . . . . . . . . 35 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iv
Mð ¦u Cho R l v nh giao ho¡n Noether (câ ìn và), I l mët i¶an cõa R v M l R - mæun kh¡c 0. Vîi méi sè nguy¶n khæng ¥m i cho tr÷îc, ta câ mæun èi çng i·u àa ph÷ìng thù i cõa M èi vîi gi¡ l i¶an I ÷ñc ành ngh¾a bði A. Grothendieck (xem [11] ho°c [8]) nh÷ sau: i HIi (M ) = − lim n → ExtR (R/I , M ). n≥1 C¡c t½nh ch§t cì b£n v· lîp mæun èi çng i·u àa ph÷ìng câ thº xem th¶m trong cuèn s¡ch [8]. Mët ành lþ quan trång trong èi çng i·u àa ph÷ìng l "Nguy¶n lþ àa ph÷ìng - to n cöc cho chi·u húu h¤n cõa c¡c mæun èi çng i·u àa ph÷ìng" (xem [10, ành lþ 1] - b i b¡o cõa G. Faltings) ph¡t biºu: "Vîi mët sè nguy¶n d÷ìng r ¢ cho, c¡c Rp-mæun HIR i (Mp ) l húu h¤n sinh vîi måi p i ≤ r v måi p ∈ Spec R n¸u v ch¿ n¸u c¡c R-mæun HIi (M ) l húu h¤n sinh vîi måi i ≤ r". Câ mët d¤ng tr¼nh b y kh¡c cho ph¡t biºu cõa nguy¶n lþ àa ph÷ìng - to n cöc cõa Faltings m ta quan t¥m ð ¥y, li¶n quan ¸n sü kh¡i qu¡t hâa chi·u húu h¤n fI (M ) cõa M èi vîi I , trong â fI (M ) := inf{i ∈ N | HIi (M ) khæng l húu h¤n sinh}, (†) ð ¥y ta quy ÷îc r¬ng inf(∅) = ∞. Khi â q fI (M ) := inf{i ∈ N | I * 0 :R HIi (M ) } = inf{i ∈ N | I n HIi (M ) 6= 0 vîi måi n ∈ N}; 1
çng thíi lóc â nguy¶n lþ àa ph÷ìng - to n cöc cõa Faltings ÷ñc cho ð cæng thùc sau ¥y: fI (M ) = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Spec R} = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ) v dim R/ p ≥ 0}, (xem [8, 9.6.2]). Nguy¶n lþ n y ch¿ ra mèi li¶n h» giúa ch¿ sè ¦u ti¶n m c¡c mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi gi¡ l i¶an b§t k¼ khæng húu h¤n sinh v ch¿ sè â cho c¡c mæun èi çng i·u khi chuyºn qua àa ph÷ìng hâa t¤i c¡c i¶an nguy¶n tè tr¶n v nh cì sð. N«m 2013, Bahmanpour-Naghipour-Sedghi (xem [4]) ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m chi·u húu h¤n bªc n cõa M èi vîi I k½ hi»u l fIn(M ), ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc: fIn (M ) = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ) v dim(R/ p) ≥ n}. (?) Chó þ r¬ng fIn(M ) l sè nguy¶n d÷ìng ho°c l ∞ v ta câ fI0(M ) = fI (M ). Tø â mët c¥u häi tü nhi¶n ÷ñc °t ra l t¼m hiºu t½nh ch§t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi chi·u húu h¤n bªc 1, bªc 2 cõa M èi vîi I . Ch¯ng h¤n c¡c ph¡t biºu sau ¥y fI1 (M ) = inf{i ∈ N | HIi (M ) khæng l minimax} v fI2 (M ) = inf{i ∈ N | HIi (M ) khæng l Lasker y¸u} câ óng hay khæng? K¸t qu£ ch½nh cõa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi trong b i b¡o [4] l tr£ líi cho hai c¥u häi tr¶n. Cö thº k¸t qu£ thù nh§t cõa hå ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng sè nguy¶n i nhä nh§t º HIi (M ) khæng l mæun minimax b¬ng vîi sè fI1(M ) (xem ành lþ 2.2.8); k¸t qu£ ch½nh thù hai cõa hå 2
l ch¿ ra r¬ng sè nguy¶n i nhä nh§t sao cho HIi (M ) khæng l mæun Lasker y¸u b¬ng vîi fI2(M ) khi R l v nh nûa àa ph÷ìng (xem ành lþ 3.2.3). Cæng cö º hå chùng minh k¸t qu£ ch½nh thù nh§t n¶u tr¶n l ành lþ sau ¥y: ành lþ 1. ([4, ành lþ 1.1]) Cho Rl v nh Noether, I l mët i¶an cõa R v M l mët R-mæun húu h¤n sinh. Khi â R-mæun HIi (M ) l minimax v I -cofinite vîi måi i < fI1(M ) v HIf (M )(M ) khæng l minimax. 1 I Hìn núa, vîi méi mæun con minimax N cõa HIf (M )(M ), th¼ R-mæun 1 I (M )/N ) l húu h¤n sinh. 1 f (M ) HomR (R/I, HI I Kh¡i ni»m mæun I -cofinite trong ành lþ tr¶n ÷ñc giîi thi»u bði R. Hartshorne n«m 1970 (xem [12]) v ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: R-mæun M ÷ñc gåi l I -cofinite n¸u Supp(M ) ⊆ V (I) v ExtiR(R/I, M ) l húu h¤n sinh vîi måi i ≥ 0. Mët trong c¡c cæng cö º chùng minh k¸t qu£ ch½nh thù hai cõa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi [4] l ành lþ d÷îi ¥y: ành lþ 2. ([4, ành lþ 1.2]) Cho R l v nh Noether, I l i¶an cõa R, M l mët R-mæun húu h¤n sinh v t ≥ 1 l mët sè nguy¶n sao cho c¡c R-mæun HI0 (M ), . . . , HIt−1 (M ) l húu h¤n sinh àa ph÷ìng vîi måi p ∈ Supp(M/IM ) m dim(R/p) > 1. Khi â, c¡c R-mæun HIi (M ) l I -cofinite vîi måi i ≤ t v R-mæun HomR(R/I, HIt (M )) l húu h¤n sinh. Tø nhúng k¸t qu£ tr¶n Bahmanpour-Naghipour-Sedghi [4] ¢ ÷a ra c¡c h» qu£ cõa ành lþ 2, â l mët sè mð rëng cho c¡c k¸t qu£ cõa Bahmanpour- Naghipour trong [7], Delfino-Marley trong [9] v K. I. Yoshida trong [19] èi vîi mët v nh Noether tòy þ. 3
ành lþ 3. [4, ành lþ 1.3] Cho R l mët v nh Noether, I l i¶an cõa R, M l R-mæun húu h¤n sinh sao cho dim(M/IM ) ≤ 1. Khi â R-mæun HIt (M ) l I -cofinite vîi måi sè nguy¶n. Mët k¸t qu£ ch½nh kh¡c núa trong b i b¡o [4] â l : N¸u (R, m) l v nh àa ph÷ìng Noether ¦y õ, I l mët i¶an cõa R v M l R-mæun húu h¤n sinh. Khi â c¡c R-mæun ExtjR(R/I, HIi (M )) l Lasker y¸u vîi måi i < fI3 (M ) v vîi måi j ≥ 0. Hìn núa, vîi méi mæun con Lasker y¸u N cõa (M ), th¼ ta câ R-mæun HomR (R/I, HI (M )/N ) công l Lasker y¸u 3 3 f (M ) f (M ) HI I I (xem ành lþ 3.2.6). Tø c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¢ thu ÷ñc cõa Bahmanpour-Naghipour- Sedghi nh÷ tr¶n ¥y, ·u ÷a ¸n b i to¡n xem x²t vîi i·u ki»n n o º cho tªp hñp AssR(HIi (M )) l húu h¤n khi i = fIj (M ) (ch¯ng h¤n vîi j = 1, 2, 3). Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n n y l tr¼nh b y l¤i chi ti¸t c¡c k¸t qu£ nh÷ ¢ n¶u tr¶n, c¡c ki¸n thùc n y düa tr¶n b i b¡o ch½nh l b i b¡o [4]: K. Bahmanpour, R. Naghipour and M. Sedghi, Minimaxness and Cofinite properties of local cohomology modules, Communications in Algebra, Vol. 41 (2013), Pp. 2799-2814. (DOI: 10. 1080/00927872.2012.662709). B¶n c¤nh â º vi»c tr¼nh b y ÷ñc ¦y õ v rã þ hìn, luªn v«n tham kh£o th¶m nhi·u ki¸n thùc ð b i b¡o [5], [6], [7], [17],. . . ; v c¡c cuèn s¡ch [8] v [15]. Luªn v«n ÷ñc bè cöc l m ba ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð c¦n thi¸t º tr¼nh b y chùng minh c¡c nëi dung ch½nh cõa luªn v«n. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· chi·u húu h¤n bªc 1 cõa mæun M èi vîi i¶an I trong mèi li¶n h» vîi t½nh ch§t minimax cõa mæun. Ch÷ìng 3 cõa luªn v«n tªp trung tr¼nh b y v· chi·u húu h¤n bªc 2 cõa M èi vîi i¶an I v t½nh ch§t Lasker y¸u cõa mæun. 4
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Ð ch÷ìng n y ta luæn gi£ thi¸t R l v nh giao ho¡n câ ìn và. C¡c ki¸n thùc ð ch÷ìng n y ÷ñc tr¼nh b y düa v o c¡c cuèn s¡ch [8] v [15]. 1.1 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t ành ngh¾a 1.1.1 (I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t). Cho M l R-mæun, p l i¶an nguy¶n tè cõa v nh R. Khi â p ÷ñc gåi l i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M n¸u tçn t¤i mët ph¦n tû 0 6= x ∈ M sao cho AnnR(x) = p. Tªp hñp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M ÷ñc k½ hi»u l AssR(M ) ho°c Ass(M ). ành ngh¾a 1.1.2 (a t¤p cõa i¶an). Cho I l mët i¶an cõa R, khi â a t¤p cõa I ÷ñc k½ hi»u l V (I) ÷ñc ành ngh¾a bði V (I) = {p ∈ Spec(R) | I ⊆ p} . M»nh · 1.1.3. Cho M l R-mæun v I l mët i¶an cõa R. Khi â ta câ i) AssR(0 :M I) = AssR(M ) ∩ V (I). ii) AssR(M/(0 :M I)) ⊆ AssR(M ). 5
iii) Cho N l mët mæun con cõa R-mæun M . Khi â Ass(M ) ⊆ Ass(N ) ∪ Ass(M/N ). ành ngh¾a 1.1.4 (Tªp gi¡ cõa mæun). Cho M l mët R-mæun. Ta °t SuppR (M ) = {p ∈ Spec(M ) | Mp 6= 0} . Khi â SuppR(M ) ÷ñc gåi l tªp gi¡ cõa R-mæun M . M»nh · 1.1.5. i) Cho p ∈ Spec(R). Khi â p ∈ AssR(M ) n¸u v ch¿ n¸u M câ mët mæun con ¯ng c§u vîi R/p. ii) Cho 0 → M 0 → M → M ” → 0 l d¢y khîp c¡c R-mæun. Khi â SuppR (M 0 ) ⊆ SuppR (M ) = SuppR (M 0 ) ∪ SuppR (M ”). iii) AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) v n¸u R l v nh Noether th¼ méi ph¦n tû cüc tiºu cõa tªp SuppR(M ) ·u thuëc v o tªp AssR(M ). iv) N¸u M l R-mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether th¼ AssR(M ) l tªp húu h¤n. Hìn núa AssR(M ) ⊆ V (AnnR(M )) v méi ph¦n tû tèi tiºu cõa V (AnnR (M )) ·u thuëc AssR (M ). V¼ th¸ AnnR (M ) l giao cõa c¡c i¶an p nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M . v) N¸u M l R-mæun húu h¤n sinh th¼ V (AnnR (M )) = SuppR (M ). vi) N¸u I l mët i¶an cõa mët v nh R th¼ SuppR(R/I) = V (I). 1.2 Mæun Noether v Mæun Artin Mæun Noether l mët trong nhúng lîp mæun cì b£n nh§t cõa ¤i sè giao ho¡n. Sau ¥y ta nhc l¤i ành ngh¾a v mët sè t½nh ch§t cõa nâ. 6
ành ngh¾a 1.2.1. Cho R l mët v nh v M l mët R-mæun. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng. i) (i·u ki»n húu h¤n sinh) Måi mæun con cõa M l húu h¤n sinh; ii) (i·u ki»n d¢y t«ng hay a.c.c) N¸u N1, N2, . . . l c¡c mæun con cõa M m N1 ⊆ N2 ⊆ . . ., th¼ tçn t¤i m ≥ 1 sao cho Nn = Nm vîi måi n ≥ m; iii) (i·u ki»n tèi ¤i) Måi tªp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M ·u câ ph¦n tû tèi ¤i. R-mæun M thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng tr¶n gåi l mæun Noether. M»nh · 1.2.2. i) Cho R l v nh giao ho¡n câ ìn và v d¢y khîp ngn c¡c R-mæun 0 → M0 → M → M” → 0 Khi â M l Noether n¸u v ch¿ n¸u M 0 v M ” l Noether. ii) Méi R-mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether R l mët R-mæun Noether. iii) N¸u M l mët R-mæun Noether v S l mët tªp âng nh¥n cõa R th¼ S −1 M l mët S −1 R-mæun Noether. Kh¡i ni»m èi ng¨u cõa mæun Noether ch½nh l kh¡i ni»m mæun Artin. ành ngh¾a 1.2.3. Cho M l mët R-mæun. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng. i) (i·u ki»n d¢y gi£m hay d.c.c) N¸u N1, N2, . . . l c¡c mæun con cõa M m N1 ⊇ N2 ⊇ . . . th¼ tçn t¤i m ≥ 1 sao cho Nn = Nm vîi måi n ≥ m; ii) (i·u ki»n cüc tiºu) Måi tªp con kh¡c réng c¡c mæun con cõa M luæn câ ph¦n tû cüc tiºu. 7
R-mæun M thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng tr¶n gåi l mæun Artin. Ta nâi R l v nh Artin n¸u nâ l mët R-mæun Artin. Tùc l , R thäa m¢n i·u ki»n d.c.c tr¶n tªp c¡c i¶an ho°c thäa m¢n i·u ki»n måi tªp kh¡c réng c¡c i¶an cõa R ·u câ ph¦n tû cüc tiºu. Mët sè t½nh ch§t cõa mæun Artin. M»nh · 1.2.4. i) Cho R l v nh giao ho¡n câ ìn và v d¢y khîp ngn c¡c R-mæun 0 → M0 → M → M” → 0 Khi â M l Artin n¸u v ch¿ n¸u M 0 v M ” l Artin. ii) Méi R-mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Artin R l mët R-mæun Artin. iii) Méi i¶an nguy¶n tè trong mët v nh Artin R l mët i¶an cüc ¤i. 1.3 Biºu di¹n thù c§p Lþ thuy¸t biºu di¹n thù c§p ÷ñc ÷a ra bði I. G. Macdonald xem nh÷ l èi ng¨u vîi lþ thuy¸t ph¥n t½ch nguy¶n sì cho c¡c mæun Noether. Sau ¥y ta nhc l¤i ành ngh¾a v t½nh ch§t cõa biºu di¹n thù c§p. ành ngh¾a 1.3.1. i) Mët R-mæun M ÷ñc gåi l mæun thù c§p n¸u thäa m¢n M 6= 0 v vîi måi x ∈ R ph²p nh¥n bði x tr¶n M l to n c§u ho°c lôy linh. Trong tr÷íng hñp n y tªp p = {x ∈ R | xnM = 0, vîi ∈ N} l i¶an nguy¶n tè v ta gåi M l p-thù c§p. ii) Mët biºu di¹n thù c§p cõa M l mët biºu di¹n M = N1 + N2 + . . . + Nn th nh têng húu h¤n c¡c mæun con pi-thù c§p Ni. N¸u M = 0 ho°c M câ mët 8
biºu di¹n thù c§p th¼ ta nâi M l biºu di¹n ÷ñc. N¸u c¡c i¶an nguy¶n tè pi æi mët kh¡c nhau v khæng câ h¤ng tû Ni n o thøa vîi måi i = 1, 2, . . . , n th¼ biºu di¹n n y ÷ñc gåi l biºu di¹n thù c§p tèi tiºu (hay thu gån). iii) Måi biºu di¹n thù c§p cõa M ·u câ thº ÷a v· d¤ng tèi tiºu. Khi â tªp hñp {p1, . . . , p2} l ëc lªp vîi vi»c chån biºu di¹n thù c§p tèi tiºu cõa M v nâ ÷ñc gåi l tªp c¡c i¶an nguy¶n tè gn k¸t cõa M , k½ hi»u l AttR(M ). C¡c h¤ng tû Ni ÷ñc gåi l c¡c th nh ph¦n thù c§p cõa M vîi n = 1, . . . , n. M»nh · 1.3.2. i) Cho R l v nh giao ho¡n Noether, M l mët R-mæun biºu di¹n ÷ñc. Khi â M 6= 0 khi v ch¿ khi AttR(M ) 6= ∅. Trong tr÷íng hñp n y tªp c¡c i¶an nguy¶n tè tèi tiºu cõa R chùa AnnR(M ) ch½nh l tªp c¡c ph¦n tû tèi tiºu cõa AttR (M ). ii) Cho d¢y khîp sau c¡c R-mæun biºu di¹n ÷ñc 0 → M0 → M → M” → 0 Khi â ta câ AttR (M ”) ⊆ AttR (M ) ⊆ AttR (M 0 ) ∪ AttR (M ”). M»nh · 1.3.3. N¸u R-mæun M l biºu di¹n ÷ñc th¼ tªp AttR(M ) ch¿ phö thuëc v o M m khæng phö thuëc v o vi»c chån biºu di¹n thù c§p tèi tiºu cõa M . Cho p l i¶an nguy¶n tè cõa R, khi â c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng i) p ∈ Att(M ). ii) M câ mæun th÷ìng l p-thù c§p. √ iii) M câ mæun th÷ìng Q sao cho Q = p. iv) M câ mæun th÷ìng Q sao cho AnnR(Q) = p. 9
1.4 Mæun Ext ành ngh¾a 1.4.1. i) (Mæun x¤ £nh) Mët R-mæun P ÷ñc gåi l x¤ £nh n¸u vîi méi to n c§u f : M → N v méi çng c§u g: P → N, luæn tçn t¤i çng c§u h : P → M sao cho g = f h. ii) (Gi£i x¤ £nh) Cho M l mët R-mæun. Mët gi£i x¤ £nh cõa R-mæun M l mët d¢y khîp f2 f1 f0 ϕ ... − → P2 − → P1 − → P0 → − M →0 trong â Pi l c¡c R-mæun x¤ £nh vîi måi i ≥ 0. ành ngh¾a 1.4.2. i) (Mæun nëi x¤) Mët R-mæun E ÷ñc gåi l nëi x¤ n¸u vîi måi ìn c§u f : N → M v çng c§u g : N → E , luæn tçn t¤i çng c§u h : M → E sao cho g = hf . ii) (Gi£i nëi x¤) Mët gi£i nëi x¤ cõa R-mæun M l mët d¢y khîp ϕ f0 f1 f2 0→M → − E0 − → E1 − → E2 − → ... trong â Ei l c¡c R-mæun nëi x¤ vîi måi i ≥ 0. ành ngh¾a 1.4.3 (Mæun Ext). Cho N l R-mæun. X²t h m tû ph£n bi¸n, khîp tr¡i Hom(−, N ). Cho M l R-mæun, l§y mët gi£i x¤ £nh cõa M f2 f1 f0 ϕ ... − → P2 − → P1 − → P0 → − M → 0. T¡c ëng h m tû Hom(−, N ) v o d¢y khîp tr¶n ta câ èi phùc 0 f∗ 1 f∗ 2 f∗ 0 → Hom(P0 , N ) − → Hom(P1 , N ) − → Hom(P2 , N ) − → ... Khi â ExtiR(M, N ) = Ker fi∗/ Im fi−1 ∗ ÷ñc gåi l mæun mð rëng thù i cõa M v N . Mæun n y khæng phö thuëc v o vi»c lüa chån gi£i x¤ £nh cõa M . Ta x²t mët sè t½nh ch§t cõa mæun Ext. 10
M»nh · 1.4.4. Cho M , N l c¡c R-mæun, c¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng: i) M l mæun x¤ £nh. ii) ExtiR(M, N ) = 0 vîi måi R-mæun N v vîi måi i > 0. iii) Ext1R(M, N ) = 0 vîi måi R-mæun N . M»nh · 1.4.5. = Hom(M, N ) vîi M , N l c¡c R-mæun. i) Ext0R(M, N ) ∼ ii) Cho M l mæun x¤ £nh, N l mæun b§t k¼ tr¶n R khi â ExtnR(M, N ) = 0 vîi måi n nguy¶n d÷ìng. iii) N¸u M , N l R mæun húu h¤n sinh th¼ ExtiR(M, N ) công l húu h¤n sinh vîi måi i ≥ 0. iv) Cho d¢y khîp ngn 0 → N 0 → N → N ” → 0 khi â tçn t¤i d¢y khîp d i 0 → Hom(N 00 , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N 0 , M ) → Ext1R (N 00 , M ) → → Ext1R (N, M ) → Ext1R (N 0 , M ) → Ext2R (N 00 , M ) → . . . R (N ”, M ) l çng c§u nèi vîi måi n ≥ 0. trong â ExtnR(N 0, M ) → Extn+1 v) Cho d¢y khîp ngn 0 → N 0 → N → N ” → 0 khi â tçn t¤i d¢y khîp d i 0 → Hom(M, N 0 ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ”) → Ext1R (M, N ”) → → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ”) → Ext2R (M, N 0 ) → . . . trong â ExtnR(M, N ”) → Extn+1 R (M, N ) l çng c§u nèi vîi måi n ≥ 0. 0 11
1.5 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ÷ñc ành ngh¾a bði A. Grothendick v o kho£ng n«m 1960. Tr÷îc khi ¸n vîi mæun n y ta giîi thi»u v· h m tû a-xon. ành ngh¾a 1.5.1 (H m tû a-xon). Cho a l i¶an cõa R, mæun con a- xon cõa R-mæun M ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau Γa(M ) = n≥1(0 :M an). S N¸u h : M → N l çng c§u c¡c R-mæun, khi â t¡c ëng h m tû Γa(h) v o çng c§u tr¶n ta ÷ñc çng c§u c£m sinh h∗ : Γa(M ) → Γa(N ) cho bði h∗ (m) = h(m). Khi â Γa (−) l h m tû hi»p bi¸n, tuy¸n t½nh, khîp tr¡i tø ph¤m trò c¡c R-mæun ¸n ph¤m trò c¡c R-mæun. H m tû Γa(−) gåi l h m tû a-xon. Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cõa Γa(M ). M»nh · 1.5.2. i) Γ0(M ) = M v ΓR(M ) = 0. ii) N¸u a ⊆ b th¼ Γb(M ) ⊆ Γa(M ). iii) Γa+b(M ) = Γa(M ) ∩ Γb(M ). iv) AssR(Γa(M )) = AssR(M ) ∩ V (a) vîi M l R-mæun Noether. v) N¸u R l Noether th¼ AssR(M/Γa(M )) = AssR(M ) \ V (a). ành ngh¾a 1.5.3 (Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng). Cho M l R-mæun b§t k¼, khi â luæn tçn t¤i gi£i nëi x¤ cõa M câ d¤ng φ d0 d1 d2 di−1 di − E0 − 0→M → → E1 − → E2 − → . . . −−→ E i − → .... T¡c ëng h m tû Γa(−) v o d¢y khîp tr¶n ta ÷ñc phùc sau d0 d1 d2 di−1 di di+1 0 → Γa (E 0 ) − →∗ Γa (E 1 ) − →∗ Γa (E 1 ) − →∗ ∗ . . . −−→ Γa (E i ) − →∗ Γa (E i+1 ) −− ∗ → .... 12
Khi nâi Hai (M ) = Ker di∗/ Im di−1 ∗ ÷ñc gåi l mæun èi çng i·u àa ph÷ìng thù i cõa M èi vîi i¶an a. M»nh · 1.5.4. Cho R l v nh giao ho¡n Noether, I l i¶an cõa R, M l R-mæun. Khi â = ΓI (M ). i) HI0(M ) ∼ ii) N¸u M l nëi x¤ th¼ HIi (M ) = 0 vîi måi i > 0. iii) N¸u 0 → M 0 → M → M ” → 0 l d¢y khîp ngn khi â vîi måi n ≥ 0 luæn tçn t¤i çng c§u nèi HIi (M ”) → HIi (M 0) sao cho d¢y sau l khîp 0 → ΓI (M 0 ) → ΓI (M ) → ΓI (M ”) → HI1 (M 0 ) → HI1 (M ) → HI1 (M ”) → HI2 (M 0 ) → . . . M»nh · 1.5.5. Cho (R, m) l v nh giao ho¡n àa ph÷ìng Noether, M l R-mæun húu h¤n sinh. Khi â Hmi (M ) l mæun Artin vîi måi i ≥ 0. Tr÷îc khi ¸n vîi t½nh tri»t ti¶u cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng thæng qua chi·u mæun ta ¸n vîi ành ngh¾a chi·u cõa mæun. ành ngh¾a 1.5.6. i) Cho R l mët v nh. Cªn tr¶n óng cõa ë d i c¡c d¢y i¶an nguy¶n tè cõa R ÷ñc gåi l chi·u cõa R v ÷ñc kþ hi»u l dim R. ii) Cho M l mët R mæun. Khi â chi·u Krull cõa M k½ hi»u l dimR M , l dim R/ Ann M n¸u M kh¡c khæng v n¸u M l mæun khæng th¼ ta quy ÷îc dim M = −1. M»nh · 1.5.7 (ành lþ tri»t ti¶u cõa Grothendieck). Cho R l v nh giao ho¡n Noether, I l i¶an cõa R v M l R-mæun. Khi â HIi (M ) = 0 vîi måi i > dimR M . 13
Ta x²t th¶m mët sè ki¸n thùc v· ë s¥u cõa mæun trong i¶an. ành ngh¾a 1.5.8 (ë s¥u cõa mæun trong mët i¶an). Cho R l v nh Noether, I l mët i¶an cõa R v M l R-mæun húu h¤n sinh sao cho IM 6= M . ë d i cõa méi M -d¢y tèi ¤i trong I ÷ñc gåi l ë s¥u cõa M trong i¶an I , k½ hi»u l depthI (M ) ho°c depth(I, M ). Khi I = m l i¶an tèi ¤i cõa v nh àa ph÷ìng (R, m), th¼ ta vi¸t depth(M ) thay cho depthm(M ). M»nh · 1.5.9. i) Cho M l mët mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh àa ph÷ìng Noether (A, m) v a ∈ m l mët ph¦n tû khæng l ÷îc cõa khæng trong M . Khi â depth(M/aM ) = depth(M ) − 1. ii) Cho M l mët R-mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether v I l mët i¶an cõa R sao cho IM 6= M . Khi â ta câ depthI (M ) = min {n | ExtnR (R/I, M ) 6= 0} = min {n | HIn (M ) 6= 0} . 14
Ch÷ìng 2 Chi·u húu h¤n bªc 1 v t½nh minimax cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Trong ch÷ìng n y ta luæn gi£ thi¸t R l v nh giao ho¡n Noether câ ìn và, I l i¶an cõa R. 2.1 Mæun minimax v mæun cofinite ¦u ti¶n ta tr¼nh b y kh¡i ni»m mæun minimax ÷ñc giîi thi»u bði H. Zo¨schinger [20]. ành ngh¾a 2.1.1 (Mæun minimax). Mët R-mæun M ÷ñc gåi l mæun minimax n¸u tçn t¤i mët mæun con húu h¤n sinh N cõa M sao cho mæun th÷ìng M/N l mæun Artin. Nhªn x²t 2.1.2. Tø ành ngh¾a tr¶n ta th§y r¬ng lîp mæun minimax bao h m c£ lîp mæun Noether v lîp mæun Artin. Thªt vªy, gi£ sû M l R- mæun Noether, lóc â ta chån mæun con N l M v khi â mæun th÷ìng M/N ∼= 0; trong tr÷íng hñp n y rã r ng N l mæun con húu h¤n sinh cõa M thäa m¢n M/N l mæun Artin; V¼ th¸ M l R-mæun minimax. 15