Luận văn: XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 12
download

Luận văn: XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết Nevanlinna ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20 và đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Lý thuyết Nevanlinna cổ điển nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình f thông qua hàm đặc trưng T(f; a; r) - hàm đo cấp tăng của hàm phân hình, hàm đếm N(f; a; r) - đếm số lần hàm f nhận giá trị a trong đĩa bán kính r, và hàm xấp xỉ m(f; a; r) - đo độ gần đến a của hàm f (xem Định nghĩa 1.1.3, 1.1.1, và 1.1.2)....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ THỊ HOÀI AN THÁI NGUYÊN – 2008
Môc lôc Môc lôc ................................ 1 Lêi më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 5 1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®êng cong chØnh h×nh. . . . . . . . 17 2 §êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt 20 2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. . 31 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tµi liÖu tham kh¶o 42 1
Lêi më ®Çu Lý thuyÕt Nevanlinna ra ®êi vµo nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû 20 vµ ®· nhËn ®îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. Lý thuyÕt f Nevanlinna cæ ®iÓn nghiªn cøu sù ph©n bè gi¸ trÞ cña hµm ph©n h×nh th«ng T (f, a, r) - hµm ®o cÊp t¨ng cña hµm ph©n h×nh, hµm ®Õm qua hµm ®Æc trng N (f, a, r) - ®Õm sè lÇn hµm f nhËn gi¸ trÞ a trong ®Üa b¸n kÝnh r, vµ hµm xÊp xØ m(f, a, r ) - ®o ®é gÇn ®Õn a cña hµm f (xem §Þnh nghÜa 1.1.3, 1.1.1, vµ 1.1.2). Träng t©m cña lý thuyÕt nµy lµ hai ®Þnh lý c¬ b¶n. §Þnh lý c¬ b¶n a ∈ C ∪ {∞}. thø nhÊt thÓ hiÖn sù ®éc lËp cña hµm ®Æc trng víi mäi gi¸ trÞ §Þnh lý c¬ b¶n thø hai nãi r»ng víi hÇu hÕt c¸c gi¸ trÞ a, hµm ®Õm N (f, a, r ) tréi h¬n h¼n hµm xÊp xØ m(f, a, r ). §iÒu nµy dÉn ®Õn ®Þnh nghÜa sè khuyÕt cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a nh sau N (f, a, r) δ (f, a) := lim inf {1 − }. T (f, a, r) r→∞ a f δ (f, a) > 0. Gi¸ trÞ ®îc gäi lµ cho hµm nÕu Quan hÖ sè gi¸ trÞ khuyÕt khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna, cô thÓ lµ Nevanlinna ®· chøng minh r»ng δ (f, a) 2. a∈C∪{∞} MÆt kh¸c, §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy r»ng sè khuyÕt cña hµm ph©n [0, 1]. H¬n n÷a ngêi ta ®· chøng h×nh t¹i mét gi¸ trÞ nµo ®ã n»m trong ®o¹n minh ®îc r»ng tËp c¸c gi¸ trÞ khuyÕt lµ ®Õm ®îc. Nh vËy mét c©u hái tù 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, {δi } nhiªn ®îc ®Æt ra lµ: Cho gi¶ sö lµ d·y c¸c sè thùc kh«ng ©m sao cho 0 < δi ≤ 1, δi ≤ 2. i 2
3 ai , lµ c¸c sè ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n Gi¶ sö h×nh f trªn C tháa m·n δ (f, ai ) = δi , vµ δ (f, a) = 0 cho mäi a ∈ {ai }? / C©u hái trªn cßn ®îc biÕt nh lµ bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna. §· cã nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna, cô thÓ Nevanlinna [9], Lª V¨n Thiªm [11], Hayman [4],... ®· gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy cho mét sè trêng hîp ®Æc biÖt. §Õn n¨m 1976 vÊn ®Ò trªn ®· ®îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi D. Drasin trong [3]. Trong c«ng tr×nh nµy, Drasin kh«ng chØ xÐt bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna cho sè khuyÕt mµ cßn cho sè khuyÕt rÏ nh¸nh. VËy, bµi to¸n vÒ sù tån t¹i cña hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn. Nh ta ®· biÕt hµm ph©n h×nh cã thÓ ®îc xem lµ ®êng cong chØnh 1 h×nh tõ C vµo P (C). Do ®ã, viÖc më réng lý thuyÕt Nevanlinna cæ ®iÓn n cho c¸c ®êng cong chØnh h×nh vµo P (C) víi n 2 lµ mét ®iÒu tù nhiªn. H. Cartan [1] ®· chøng minh ®Þnh lý sau (®îc gäi lµ ®Þnh lý Nevanlinna- Cartan cho ®êng cong chØnh h×nh c¾t c¸c siªu ph¼ng) f : C → Pn (C). Cho H1 , . . . , Hq lµ Cho ®êng cong chØnh h×nh §Þnh lý. n c¸c siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t trong kh«ng gian x¹ ¶nh P (C). Khi ®ã q δ (Hj , f ) n + 1. j =1 T¬ng tù víi trêng hîp hµm ph©n h×nh, ngêi ta còng nghiªn cøu tÝnh n 2, chÊt cña sè khuyÕt cña ®êng cong chØnh h×nh. Víi c¸c vÝ dô vÒ ®êng cong chØnh h×nh víi h÷u h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®îc ®a ra bëi nhiÒu t¸c gi¶, trong khi ®ã, viÖc x©y dùng ®êng cong chØnh h×nh cã v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt kh«ng dÔ chót nµo. N¨m 2004, N. Toda [12] ®· nghiªn cøu vµ ®a ra c¸c vÝ dô cho ®êng cong chØnh h×nh víi mét tËp v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt. Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i nh÷ng kÕt qu¶ ®ã cña N. Toda mét c¸ch cã chän läc theo bè côc riªng cña t¸c gi¶ nh»m tr¶ lêi mét phÇn c¸c c©u hái trªn. LuËn v¨n ®îc chia thµnh 2 ch¬ng. Ch¬ng1. KiÕn thøc chuÈn bÞ. §îc tr×nh bµy víi môc ®Ých cung cÊp c¸c kiÕn thøc cÇn thiÕt ®Ó cho ngêi ®äc dÔ theo dâi chøng minh c¸c kÕt qu¶ cña ch¬ng sau. Trong ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt c¬
4 b¶n cña lý thuyÕt Nevanlinna: C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh vµ cho ®êng cong chØnh h×nh, quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh vµ nh÷ng a kiÕn thøc liªn quan, vµ chøng minh r»ng tËp hîp c¸c gi¸ trÞ sao cho hµm a d¬ng lµ ®Õm ®îc. sè khuyÕt cña mét hµm ph©n h×nh t¹i ®iÓm Ch¬ng 2. §êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. §©y lµ ch¬ng chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ x©y dùng c¸c ®êng cong chØnh h×nh cã v« sè sè khuyÕt d¬ng. Ch¬ng nµy ®îc chia thµnh hai phÇn. PhÇn thø nhÊt, chóng t«i ®a ra c¸c kÕt qu¶ bæ trî nh x©y dùng l¹i kh¸i niÖm hµm ®Õm, hµm xÊp xØ, hµm ®Æc trng, sè khuyÕt, gi¸ trÞ khuyÕt,... cho ®êng cong chØnh h×nh vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n, dÔ thÊy nhng t¬ng ®èi quan träng v× nã ®îc sö dông nhiÒu khi chøng minh nh÷ng kÕt qu¶ s©u h¬n ë nh÷ng phÇn sau. PhÇn thø hai, tr×nh bµy c¸c vÝ dô vÒ ®êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. KÕt qu¶ chÝnh cña ch¬ng nµy lµ §Þnh lý 2.2.8 vµ §Þnh lý 2.2.9. LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh, nghiªm tóc cña TS. T¹ ThÞ Hoµi An. Díi sù híng dÉn cña c«, t«i ®· bíc ®Çu lµm quen vµ say mª h¬n trong nghiªn cøu to¸n. Nh©n ®©y, t«i xin bµy tá lßng kÝnh träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c tíi c«. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n ban l·nh ®¹o khoa To¸n, khoa Sau ®¹i häc §HSPTN, ViÖn To¸n häc ViÖt Nam, c¸c thÇy, c« gi¸o ®· trang bÞ kiÕn thøc, t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i trong thêi gian häc tËp, ®Æc biÖt lµ thÇy Hµ TrÇn Ph¬ng. T«i xin ®îc göi lêi c¶m ¬n ®Õn Ban gi¸m hiÖu vµ c¸c ®ång nghiÖp cña t«i ë trêng THPT L¬ng ThÕ Vinh Th¸i Nguyªn, c¸c anh, chÞ häc viªn líp cao häc kho¸ 14 ®· gióp ®ì t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh häc tËp. Nh©n ®©y, t«i còng xin göi lêi c¶m ¬n tíi b¹n NguyÔn TuÊn Long ®· gióp ®ì t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu. Cuèi cïng, t«i xin ®îc bµy tá sù biÕt ¬n tíi gia ®×nh: bè, mÑ, vµ em g¸i ®· t¹o ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i ®îc häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
Ch¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña lý thuyÕt Nevanlinna vµ nh÷ng kiÕn thøc liªn quan kh¸c nh»m gióp cho ngêi ®äc dÔ theo dâi. C¸c kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ cña ch¬ng nµy ®îc trÝch dÉn tõ [2], [5], [6], [9], ... 1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. f R vµ r < R. Gi¶ sö lµ hµm ph©n h×nh trong ®Üa b¸n kÝnh n(f, ∞, r), n(f, ∞, r)), lµ sè c¸c cùc ®iÓm tÝnh c¶ KÝ hiÖu (t¬ng øng, béi, (t¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña hµm f trong ®Üa ®ãng b¸n kÝnh r. Gi¶ sö a ∈ C, ta ®Þnh nghÜa 1 , ∞, r , n(f, a, r) = n f −a 1 , ∞, r . n(f, a, r) = n f −a N (f, a, r), (t¬ng øng, hµm ®Õm 1.1.1 §Þnh nghÜa. Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N (f, a, r)), cña hµm f a ®îc ®Þnh nghÜa nh sau kh«ng tÝnh béi t¹i gi¸ trÞ r dt n(f, a, t) − n(f, a, 0) N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + , t 0 5
6 (t¬ng øng, r dt n(f, a, t) − n(f, a, 0) N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + ). t 0 a = 0 ta cã V× thÕ, nÕu r N (f, 0, r) = (ord+ f ) log r + (ord+ f ) log | |, z 0 z z ∈D(r) z =0 + = max{0, ordz f } D(r) r vµ ordz f trong ®ã lµ ®Üa cã b¸n kÝnh lµ béi cña kh«ng ®iÓm. a∈C m(f, a, r) f cña hµm t¹i gi¸ trÞ ®îc 1.1.2 §Þnh nghÜa. Hµm xÊp xØ ®Þnh nghÜa nh sau 2π 1 dθ log+ m(f, a, r) = , f (reiθ ) − a 2π 0 vµ 2π dθ log+ | f (reiθ ) | m(f, ∞, r) = , 2π 0 + log x = max{0, log x}. trong ®ã m(f, ∞, r) ®o ®é lín trung b×nh cña log |f | trªn ®êng trßn |z | = r. Hµm a∈C T (f, a, r) f cña hµm t¹i gi¸ trÞ 1.1.3 §Þnh nghÜa. Hµm ®Æc trng ®îc ®Þnh nghÜa nh sau T (f, a, r) = m(f, a, r) + N (f, a, r), T (f, r) = m(f, ∞, r) + N (f, ∞, r). XÐt vÒ mÆt nµo ®ã, hµm ®Æc trng Nevanlinna ®èi víi lý thuyÕt hµm ph©n h×nh cã vai trß t¬ng tù nh bËc cña ®a thøc trong lý thuyÕt ®a thøc. Tõ ®Þnh nghÜa hµm ®Æc trng ta cã T (f, a, r) ≥ N (f, a, r) + O(1), O(1) lµ mét ®¹i lîng bÞ chÆn khi r → ∞. trong ®ã
7 f cña hµm ph©n h×nh ®îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc 1.1.4 §Þnh nghÜa. CÊp log T (r, f ) ρ(f ) = lim sup . log r r→∞ ρ(f ) = ∞ 0 < ρ(f ) < ∞ f f NÕu th× ®îc gäi lµ cã cÊp v« h¹n, nÕu th× ®îc gäi lµ cã cÊp h÷u h¹n. 0 < ρ(f ) < ∞, ®Æt Gi¶ sö T (r, f ) C = lim sup . rρ r→∞ C = ∞, 0 < C < ∞, f Ta nãi cã nÕu cã nÕu d¹ng tèi ®¹i d¹ng trung b×nh C = 0. cã nÕu d¹ng tèi tiÓu f T (f, r) = O(log r), do ®ã hµm h÷u tû NÕu lµ hµm h÷u tû th× 1.1.5 VÝ dô. f = ez ez T (f, r) = r/π + O(1), cã cÊp 0. NÕu th× do ®ã cã cÊp 1, d¹ng z ee trung b×nh. Hµm lµ hµm cã cÊp v« h¹n. C«ng thøc Poisson - Jensen f (z ) ≡ 0, ∞ 1.1.6 §Þnh lý. Gi¶ sö lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn D = {|z | ≤ R} víi 0 < R < ∞. Gi¶ sö aµ , µ = 1, ..., M lµ c¸c kh«ng ®iÓm f D, mçi kh«ng ®iÓm ®îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. cña trong bν , (ν = 1, 2, ..., N ) lµ c¸c cùc ®iÓm cña f D, mçi cùc ®iÓm ®îc trong trong kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. z = reiθ ∈ D f (z ) = 0, f (z ) = ∞ ta cã Khi ®ã, víi mçi sao cho 2π R2 − r 2 1 iφ log |f (z )| = log f (Re ) 2 dφ+ R − 2Rr cos(θ − φ) + r2 2π 0 M N R(z − aµ ) R(z − bν ) − + log log . (1.1) R 2 − aµ z R2 − bν z µ=1 ν =1
8 Ta xÐt c¸c trêng hîp sau: Chøng minh. f (z ) Hµm kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong Trêng hîp 1: {|z | ≤ R}, z = 0. Khi ®ã ta cÇn chøng minh 2π 1 log f (Reiϕ ) dϕ. log |f (0)| = 2π 0 f (z ) = 0 D log f (z ) D. Do trong nªn lµ hµm chØnh h×nh trong Theo §Þnh lý Cauchy, ta cã: 2π 1 dz 1 log f (Reiϕ )dϕ. log f (0) = log f (z ) = 2πi z 2π 0 |z |=R LÊy phÇn thùc hai vÕ ta cã: 2π 1 log f (Reiϕ ) dϕ. log |f (0)| = 2π 0 f (z ) Hµm kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong Trêng hîp 2: z = reiθ (0 < r < R) . {|z | ≤ R}, víi z tuú ý, XÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c: {|ξ | R} → {ω 1} z→0 R (ξ − z ) ξ=z→ω= R2 − zξ |ς | = R t¬ng øng víi |ω | = 1, v× Nh vËy R |ξ − z | |ω | = |R2 − zξ |
9 |ξ | = R ⇒ ξ ξ = |ξ |2 = R2 vµ suy ra R |ξ − z | R |ξ − z | |ω | = = = 1. ξ ξ − zξ |ξ | ξ − z log f (z ) lµ chØnh h×nh trong |ξ | ≤ R, theo ®Þnh lý Cauchy, ta cã Do 1 dξ log f (z ) = log f (ς ) . (1.2) ξ−z 2πi |ξ |=R MÆt kh¸c −dξ 1 zdξ 1 log f (ξ ) = log f (ξ ) = 0. (1.3) R2 R2 − zξ 2πi 2πi ξ− |ξ |=R |ξ |=R z R2 R2 |z | = |z | < R |ξ | ≤ R >R Do nªn nghÜa lµ ®iÓm n»m ngoµi nªn z z 1 log f (ξ ) hµm lµ hµm chØnh h×nh. KÕt hîp víi (1.2) vµ (1.3) ta cã R2 ξ− z 1 1 1 log f (z ) = log f (ξ ) + dξ ξ − z ξ − R2 2i z |ξ |=R 1 1 z = log f (ξ ) +2 dξ, ξ − z R − zξ 2i |ξ |=R víi R2 − zξ + zξ − z z R2 − r 2 R2 − r 2 1 z + = = = . ξ |ξ − z |2 ξ − z R2 − zξ (ξ − z ) (R2 − zξ ) (ξ − z ) ξ ξ − zξ
10 MÆt kh¸c ξ = Reiϕ = R cos ϕ + iR sin ϕ, z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, ξ − z = (R cos ϕ − r cos θ) + i (R sin ϕ − r sin θ) , |ξ − z |2 = (R cos ϕ − r cos θ)2 + (R sin ϕ − r sin θ)2 = R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − θ). VËy 2π R2 − r 2 1 iφ log f (z ) = log f (Re ) 2 dϕ. (1.4) R − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2 2π 0 LÊy phÇn thùc hai vÕ cña (1.4) ta ®îc 2π R2 − r 2 1 log f (Reiϕ ) log |f (z )| = dϕ. R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2 2π 0 f (z ) cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z | = R} Hµm Trêng hîp 3: {|z | < R}. nhng kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong miÒn {|z | = R} f (z ) Ta cã sè kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm cña hµm trªn biªn lµ f (z ) cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk } , khi ®ã {|ξ | = R} h÷u h¹n. ThËt vËy, gi¶ sö zk0 ∈ {|ξ | = R} vµ f (zkj ) = 0, do ®ã f = 0 zkj compact, do ®ã héi tô ®Õn f ≡ 0 suy ra v« lý. trªn mét tËp hîp cã ®iÓm giíi h¹n. §iÒu nµy kÐo theo {zk } , → z0 ∈ zkj Gi¶ sö cã v« h¹n kh«ng ®iÓm khi ®ã tån t¹i {|ξ | = R}, z0 f z0 lµ ®iÓm bÊt thêng; v× lµ hµm ph©n h×nh nªn lµ cùc z0 f z0 ®iÓm nghÜa lµ trong mét l©n cËn cña hµm chØnh h×nh chØ trõ t¹i suy zkj → z0 z0 zkj ra v« lý v× nªn trong mäi l©n cËn cña ®Òu chøa nµo ®ã mµ f t¹i ®ã cã cùc ®iÓm.
11 {|z | = R} . f (z ) VËy cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn Gi¶ f (ξ ), Z0 ∈ ∂D. Z0 k sö lµ kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm cÊp cña Trong mét Z0 , ta cã khai triÓn sau: l©n cËn nµo ®ã cña f (ξ ) = a(ξ − Z0 )k + . . . , a = 0. Khi ®ã, log |f (ξ )| = k log |ξ − Z0 | + o(|ξ − Z0 |). |ξ | = R Cδ Z0 , δ XÐt vßng trßn t©m b¸n kÝnh ®ñ nhá. Thay vßng trßn bëi Cδ , khi ®ã f vßng trßn kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn cña miÒn míi nhËn ®îc. Quay l¹i trêng hîp 2, ta cã tÝch ph©n bªn ph¶i cña bíc 2 chØ kh¸c tÝch 1 |ξ | = R mét ®¹i lîng log |f (ξ )| |dξ | . Ta ph©n ë trªn vßng trßn 2π Cδ |ξ −Z0 |=δ cã log |f (ξ )| |dξ | = Cδ . log δ.δ. |ξ −Z0 |=δ Do ®ã, 1 log |f (ξ )| |dξ | ≈ A log δ.δ. 2π Cδ |ξ −Z0 |=δ 1 δ → 0 ta cã log |f (ξ )| |dξ | → 0. C«ng thøc ®îc chøng Cho 2π Cδ |ξ −Z0 |=δ minh. f (z ) cã c¸c kh«ng ®iÓm B©y giê ta xÐt trong trêng hîp Trêng hîp 4: |z | ≤ R. vµ cùc ®iÓm trong XÐt hµm N R(z −bγ ) γ =1 R2 −bγ z ψ (z ) = f (z ) . M R(z −aµ ) µ=1 R2 −aµ z
12 |ξ | ψ (z ) R Khi ®ã suy ra kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong v× ψ (z0 ) = 0 suy ra f (z0 ) = 0. Do ®ã ψ (ξ ) bÞ khö ®i mÉu sè. gi¶ sö ngîc l¹i ψ (ξ ) còng kh«ng cã cùc ®iÓm. T¬ng tù ¸p dông c«ng thøc ®· chøng minh ta cã: 2π R2 − r 2 1 iϕ log |ψ (z )| = log ψ (Re ) 2 dϕ. R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2 2π 0 Nªn N M R(z − bγ ) R(z − aµ ) log |f (z )| + − log log R 2 − aµ z R 2 − bγ z γ =1 µ=1 2π R2 − r 2 1 iϕ = log ψ (Re ) 2 dϕ. R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2 2π 0 R(z −bγ ) R(z −aµ ) |z | = R th× = 1, vµ = 1. Khi R2 −aµ z R2 −bγ z |z | = R th× |ψ (z )| = |f (z )| . Suy ra nÕu Do ®ã N M R(z − bγ ) R(z − aµ ) log |f (z )| + − log log R 2 − aµ z R 2 − bγ z γ =1 µ=1 2π R2 − r 2 1 iϕ = log f (Re ) 2 dϕ. R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2 2π 0 VËy 2π R2 − r 2 1 log f (Reiϕ ) log |f (z )| = dϕ R2 − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2 2π 0 M N R(z − aµ ) R(z − bγ ) − + log log . R2 − aµ z R 2 − bγ z µ=1 γ =1
13 Tõ C«ng thøc Poisson-Jensen ta cã ®Þnh lý sau ®©y. f a lµ mét (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). 1.1.7 §Þnh lý Gi¶ sö lµ hµm ph©n h×nh, sè phøc tuú ý. Khi ®ã ta cã m(f, a, r) + N (f, a, r) = T (f, r) − log |f (0) − a| + (a, r), (a, r) ≤ log a + log 2. trong ®ã Ta thêng dïng §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt díi d¹ng T (f, a, r) = T (f, r) + O(1), O(1) lµ ®¹i lîng bÞ chÆn khi r → ∞. trong ®ã §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy vÕ tr¸i trong c«ng thøc kh«ng phô a víi sai kh¸c mét ®¹i lîng bÞ chÆn. thuéc f (z ) lµ hµm ph©n h×nh trong (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). 1.1.8 §Þnh lý Gi¶ sö C vµ a1 , . . . , aq q lµ sè phøc ph©n biÖt. Khi ®ã, q (q − 2)T (f, r) ≤ N (f, ai , r) − Nram (f, r) + O log T (r, f ) , i=1 r → ∞ bªn ngoµi tËp hîp cã ®é ®o Lebesgue h÷u h¹n vµ cho Nram (f, r) = N (f , 0, r) + 2N (f, ∞, r) − N (f , ∞, r). 1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh Quan hÖ sè khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna. Sè khuyÕt liªn quan chÆt chÏ ®Õn bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna trong [9]. Tríc hÕt ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa sè khuyÕt.
14 f a ®îc ®Þnh nghÜa bëi cña hµm t¹i ®iÓm 1.2.1 §Þnh nghÜa. Sè khuyÕt N (f, a, r) δ (f, a) = lim inf 1 − . T (f, r) r→∞ f a ®îc ®Þnh nghÜa bëi cña hµm t¹i ®iÓm Sè khuyÕt rÏ nh¸nh N (f, a, r) − N (f, a, r) θ(f, a) = lim inf . T (f, r) r→∞ f a ®îc ®Þnh nghÜa bëi cña hµm t¹i ®iÓm Sè khuyÕt bÞ chÆt N (f, a, r) Θ(f, a) = θ(f, a) + δ (f, a) = lim inf 1 − . T (f, r) r→∞ a ∈ C ∪ {∞}, gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt Cho cña 1.2.2 §Þnh nghÜa. f δ (f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cùc ®¹i hµm nÕu cña hµm f δ (f, a) = 1. nÕu a ∈ C ∪ {∞}, 1.2.3 MÖnh ®Ò. Víi mäi 0 ≤ δ (f, a), 0 ≤ θ(f, a), Θ(f, a) = θ(f, a) + δ (f, a) ≤ 1. vµ C ∪ {∞}, f a1 , . . . , a q Cho hµm ph©n h×nh vµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong ký hiÖu q S (f, {aj }q=1 , r) = (q − 2)T (f, r) − N (f, aj , r) + Nram (f, r). j j =1 Khi ®ã, §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cã thÓ ®îc ph¸t biÓu ë d¹ng yÕu h¬n nh sau. f (z ) 1.2.4 §Þnh lý. Gi¶ sö C lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trªn vµ C ∪ {∞}. Khi ®ã a1 , . . . , a q lµ c¸c phÇn tö ph©n biÖt trong S (f, {aj }q=1 , r) j ≤ 0. lim inf T (f, r) r→∞
15 |z | < R0 . f (z ) 1.2.5 §Þnh lý. Gi¶ sö lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong a δ (f, a) > 0 θ(f, a) > 0 Khi ®ã tËp hîp c¸c gi¸ trÞ mµ vµ lµ ®Õm ®îc, ®ång thêi ta cã {δ (f, a) + θ(f, a)} = Θ(f, a) 2. a∈C∪{∞} a∈C∪{∞} C ∪ {∞}. Khi ®ã q a1 , a2 , ...., aq XÐt ®iÓm kh¸c nhau trong Chøng minh. q (δ (f, aj ) + θ(f, aj )) j =1 q + q=1 N (f, aj , r) − q ¯ qT (f, r) − j =1 N (f, aj , r ) j =1 N (f, aj , r ) j = lim inf . T (f, r) r→∞ ¯ N (f, aj , r) − N (f, aj , r) f =a Râ rµng ®Õm sè lÇn hµm víi béi lín h¬n 1 vµ do ®ã q q 1 ¯ N (f, aj , r) ≤ Nram (f, r) + nram (f, 0) log+ . N (f, aj , r) − r j =1 j =1 Nh vËy q q qT (f, r) − j =1 N (f, aj , r ) + Nram (f, r) (δ (f, aj ) + θ(f, aj )) ≤ lim inf T (f, r) r→∞ j =1 q (q − 2)T (f, r) − j =1 N (f, aj , r ) + Nram (f, r) = 2 + lim inf T (f, r) r→∞ S (f, {aj }q=1 , r) j ≤ 2, = 2 + lim inf T (f, r) r→∞ bëi ¸p dông §Þnh lý 1.2.4. k , tån t¹i nhiÒu nhÊt h÷u h¹n gi¸ trÞ a sao cho Víi mäi sè nguyªn d¬ng Θ(f, a) ≥ 1/k. Do {a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞ {a : Θ(f, a) ≥ 1/k }, k =1 a nh vËy. ta cã nhiÒu nhÊt ®Õm ®îc
16 f 1.2.6 HÖ qu¶. NÕu lµ hµm nguyªn th× Θ(f, a) 1. a∈C Θ(f, ∞) = 1. f Do lµ hµm nguyªn nªn Chøng minh. Chóng ta cã ®Þnh lý sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña ®Þnh lý quan hÖ sè khuyÕt. f (z ) (§Þnh lý Picard). 1.2.7 §Þnh lý Gi¶ sö lµ hµm ph©n h×nh, kh«ng nhËn ∞ khi ®ã f 3 gi¸ trÞ 0, 1, lµ hµm h»ng. f f (z ) Gi¶ sö kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng, do kh«ng nhËn 3 gi¸ Chøng minh. ∞ nªn trÞ 0, 1, N (f, ∞, r) = 0. N (f, 0, r) = 0; N (f, 1, r) = 0; Do ®ã Θ(f, ∞) = 1. Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Nh thÕ Θ(f, a) 2, a∈C∪{∞} f (z ) ph¶i lµ hµm h»ng. m©u thuÉn víi ®Þnh lý vÒ sè khuyÕt, nh vËy 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, {δi } Cho gi¶ sö vµ VÊn ®Ò ngîc cña Nevanlinna. {θi } lµ d·y c¸c sè thùc kh«ng ©m sao cho 0 < δi + θi ≤ 1, (δi + θi ) ≤ 2. i ai , 1 ≤ i < N C ∪ {∞}. Gi¶ sö lµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong Nevanlinna ®· ®a ra c©u hái sau: f Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n h×nh trªn C sao cho 1≤i
17 δ (f, a) = θ(f, a) = 0 cho mäi a ∈ {ai }? / vµ VÊn ®Ò nµy ®· ®îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi Drasin trong [3]. 1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®êng cong chØnh h×nh. Tríc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm kh«ng gian x¹ ¶nh. (C∗ )n+1 = Cn+1 \ (0, . . . , 0). Ta ®Þnh nghÜa mét quan §Æt 1.3.1 §Þnh nghÜa. (C∗ )n+1 (x0 , . . . , xn ) ∼ (y0 , . . . , yn ) nÕu tån hÖ t¬ng ®¬ng trªn nh sau: 0 = λ ∈ C sao cho (x0 , . . . , xn ) = λ(y0 , . . . , yn ). t¹i Pn (C) hay Pn , n chiÒu trªn C, ký hiÖu lµ ®¬n gi¶n lµ lµ Kh«ng gian x¹ ¶nh (C∗ )n+1 ∼ . Ta cã Pn = (C∗ )n+1 / ∼ . kh«ng gian víi quan hÖ t¬ng ®¬ng Pn (x0 , . . . , xn ) theo quan hÖ Mçi phÇn tö cña kh«ng gian x¹ ¶nh lµ mét líp Pn ∼ . Mçi phÇn tö P t¬ng ®¬ng cña kh«ng gian x¹ ¶nh ®îc gäi lµ mét P = (x0 : · · · : xn ) (x0 : · · · : xn ) ®iÓm, kÝ hiÖu lµ vµ ®îc gäi lµ täa ®é P. cña ®iÓm thuÇn nhÊt f = (f0 : f1 : · · · : fn ) : C → Pn (C) ®îc gäi lµ ¸nh x¹ 1.3.2 §Þnh nghÜa. fi nÕu lµ c¸c hµm nguyªn trªn C. ®êng cong chØnh h×nh f = (f0 , f1 , . . . , fn ) fi Ta cã thÓ viÕt trong ®ã lµ c¸c hµm nguyªn kh«ng cã (f0 , f1 , . . . , fn ) ®îc gäi lµ biÓu diÔn rót gän c¸c kh«ng ®iÓm chung. Khi ®ã f. cña ®êng cong f : C → Pn (C) lµ ®êng cong chØnh h×nh. Gi¶ sö f = (f0 , . . . , fn ) Gi¶ sö diÔn rót gän cña f , trong ®ã f0 , . . . , fn lµ c¸c hµm nguyªn trong C lµ biÓu kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung. §Æt 1 f (z ) = (|f0 (z )|2 + · · · + |fn (z )|2 ) 2 .
18 Tf (r) ®îc ®Þnh nghÜa bëi Hµm ®Æc trng Nevanlinna-Cartan 2π 1 log f (reiθ ) dθ. T (r, f ) = 2π 0 Q lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d víi n +1 biÕn. Hµm xÊp xØ m(r, Q, f ) Gi¶ sö cña ¸nh x¹ f øng víi ®a thøc Q ®îc ®Þnh nghÜa lµ 2π f (reiθ ) d 1 m(r, Q, f ) = log dθ. |Q ◦ f (reiθ )| 2π 0 n(r, Q, f ), n(r, Q, f )), lµ sè c¸c kh«ng Ta gäi (t¬ng øng, ®iÓm tÝnh c¶ béi, (t¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña Q ◦ f trong ®Üa |z | ≤ r . N (r, Q, f ), (t¬ng øng, hµm ®Õm kh«ng tÝnh béi Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N (r, Q, f )), ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: r n(t, Q, f ) − nf (0, Q) dt − n(0, Q, f ) log r, N (r, Q, f ) = t 0 n(t, Q, f ) − n(0, Q, f ) r dt − n(0, Q, f ) log r). N (r, Q, f ) = (t¬ng øng, 0 t T¬ng tù nh ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta còng cã hai ®Þnh lý c¬ b¶n cho c¸c ®êng cong chØnh h×nh. f : C → Pn (C) (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). 1.3.3 §Þnh lý Gi¶ sö lµ ®êng Pn (C). Q d cong chØnh h×nh vµ lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc trong Gi¶ sö Q ◦ f (C) ≡ 0, th× víi mäi 0 < r < ∞ m(r, Q, f ) + N (r, Q, f ) = dT (r, f ) + O(1), O(1) lµ ®¹i lîng bÞ chÆn kh«ng phô thuéc vµo r. trong ®ã f : C → Pn (C) lµ ®êng cong (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). 1.3.4 §Þnh lý Gi¶ sö L1 , . . . , L q chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö lµ c¸c ®a thøc tuyÕn Pn (C). Khi ®ã tÝnh 2π f (reiθ ) Lj dθ max log (n + 1)T (r, f ) + o(T (r, f )), |Lj (f )(reiθ )| 2π K 0 j ∈K