Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 7

MÔN TOÁN<br /> <br /> ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 7<br /> <br /> Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề<br /> Câu 1: (2 điểm)<br /> Cho hàm số<br /> <br /> 2x  2<br /> <br /> y <br /> <br /> có đồ thị<br /> <br /> x 1<br /> <br /> (C ) .<br /> <br /> 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.<br /> 2. Tìm<br /> <br /> m<br /> <br /> để đường thẳng<br /> <br /> cắt đồ thị  C  tại 2 điểm phân biệt<br /> <br /> d : y  2x  m<br /> <br /> sao cho<br /> <br /> A, B<br /> <br /> AB <br /> <br /> 5<br /> <br /> .<br /> <br /> Câu 2: (1 điểm)<br /> Giải phương trình:<br /> <br /> s in 2 x  c o s x  3   2<br /> <br /> 3 cos x  3 3 cos 2 x  8<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3 c o s x  s in x  3 3<br /> <br /> Câu 3: (1 điểm)<br /> Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường<br /> <br /> y   e  1 x<br /> <br /> và<br /> <br /> y  1  e<br /> <br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> Câu 4: (1 điểm)<br /> Tìm phần thực và phần ảo của số phức<br /> <br /> z<br /> <br /> biết<br /> <br /> z <br /> <br /> 1  i <br /> <br /> <br /> <br /> 3 i<br /> <br /> 50<br /> <br /> <br /> <br /> 49<br /> <br /> Câu 5: (1 điểm)<br /> Trong không gian với hệ tọa độ<br /> d1 :<br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> y3<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> z<br /> 2<br /> <br /> ;d2 :<br /> <br /> x5<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> y<br /> <br /> O xyz<br /> <br /> <br /> <br /> , cho mặt phẳng  P  : 2 x <br /> <br /> z5<br /> <br /> 4<br /> <br /> . Tìm các điểm<br /> <br /> y  2z 1  0<br /> <br /> A  d1, B  d 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> sao cho<br /> <br /> và các đường thẳng:<br /> và<br /> <br /> A B //  P <br /> <br /> AB<br /> <br /> cách<br /> <br />  P  một khoảng bằng 1.<br /> <br /> Câu 6: (1 điểm)<br /> Cho hình chóp<br /> <br /> S .ABC D<br /> <br /> có đáy là hình vuông cạnh<br /> <br /> mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi<br /> <br /> M ,N,P<br /> <br /> a<br /> <br /> , mặt bên  S A D  là tam giác đều và nằm trong<br /> <br /> lần luowjt là trung điểm của các cạnh<br /> <br /> Chứng minh rằng A M vuông góc với B P và tính thể tích của khối tứ diện C M N P .<br /> Câu 7: (1 điểm)<br /> Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho hai đường thẳng d : 3 x  y  5  0 và d : 3 x <br /> 1<br /> <br /> I   1; 2  .<br /> AB  2<br /> <br /> Viết phương trình đường thẳng<br /> <br /> <br /> <br /> đi qua<br /> <br /> I<br /> <br /> và cắt<br /> <br /> 2<br /> <br /> d1, d 2<br /> <br /> lần lượt tại<br /> <br /> SB , BC , C D<br /> <br /> y 1 0<br /> A, B<br /> <br /> , điểm<br /> <br /> sao cho<br /> <br /> .<br /> Câu 8: (1 điểm)<br /> 2<br /> <br /> Giải hệ phương trình:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 7x  y <br /> <br /> 2x  y  5<br /> <br /> 2x  y  x  y  2<br /> <br /> Câu 9: (1 điểm)<br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> .<br /> <br /> 1<br /> <br /> Cho<br /> <br /> là các số thực thỏa mãn<br /> <br /> x, y, z<br /> <br /> nhất của biểu thức:<br /> <br /> P <br /> <br /> x  y  z<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  5<br /> <br /> 2<br /> <br /> và<br /> <br /> x y z  3<br /> <br /> . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ<br /> <br /> x y 2<br /> z 2<br /> <br /> ..................HẾT..................<br /> <br /> HƯỚNG DẪN GIẢI<br /> Câu 1:<br /> 1. Tập xác định:<br /> Ta có:<br /> <br /> 4<br /> <br /> y <br /> <br /> ( x  1)<br /> <br /> \ {  1} .<br /> <br /> D <br /> <br />  0,  x  D<br /> <br /> 2<br /> <br /> Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng<br /> Ta có:<br /> <br /> lim y  lim  2<br /> <br /> x  <br /> <br /> x  <br /> <br /> nên hàm số có tiệm cận ngang<br /> <br /> lim y    ; lim   <br /> x1<br /> <br /> <br /> <br /> x1<br /> <br /> <br /> <br /> và<br /> <br /> (  1;   )<br /> <br /> .<br /> <br /> y  2<br /> <br /> nên hàm số có tiệm cận đứng<br /> <br /> (   ;  1)<br /> <br /> x  1 .<br /> <br /> Bảng biến thiên:<br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> y'<br /> <br /> <br /> <br /> -1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ||<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> y<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Đồ thị:<br /> <br /> 2. Phương trình hoành độ giao điểm là:<br /> <br /> 2x  2<br /> x 1<br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br />  2x  m  2x  mx  m  2  0<br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br />   1<br /> <br /> 2<br /> <br /> Đường thẳng<br /> <br /> <br /> cắt  C  tại 2 điểm phân biệt<br /> <br /> A, B<br /> <br /> phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt<br /> <br /> x1 , x 2<br /> <br />  m<br /> <br /> 2<br /> <br /> d<br /> <br />  8m  16  0<br /> <br /> m<br /> <br /> x  x2 <br />  1<br /> 2<br /> <br /> x x  m  2<br />  1 2<br /> 2<br /> <br /> Theo định lý Viète, ta có:<br /> <br /> Gọi tọa độ<br /> <br /> A, B<br /> <br /> là<br /> <br />  5 <br /> <br />  x1 <br /> <br /> x2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x1 <br /> <br /> x2<br /> <br /> <br /> <br /> AB<br /> <br /> 2<br /> <br /> A  x1 ; 2 x1  m  , B  x 2 ; 2 x 2  m <br />  4  x1  x 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br />  5<br /> <br />  4 x1 x 2  1<br /> <br />  m  10<br /> 2<br />  m  8m  20  0  <br /> m  2<br /> <br /> Vậy<br /> <br /> khác -1<br /> <br /> (thỏa mãn)<br /> <br /> m  10; 2 <br /> <br /> Nhận xét: Bài toán này thuộc lớp các bài toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị. Trong dạng<br /> bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng<br /> định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức (đã được đề cập đến trong đề<br /> số 5).<br /> Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:<br /> 1. Cho hàm số<br /> <br /> y <br /> <br /> x 1<br /> <br /> điểm A và B sao cho<br /> Đáp số: m  7<br /> 2. Cho hàm số<br /> hai điểm<br /> <br /> A, B<br /> <br /> Đáp số:<br /> <br /> m 1<br /> <br /> y <br /> <br /> có đồ thị<br /> <br /> x m<br /> <br /> AB  2<br /> <br /> 2x<br /> x 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> (C m )<br /> <br /> . Tìm<br /> <br /> m<br /> <br /> để đồ thị hàm số cắt đường thẳng<br /> <br /> d : y  x 2<br /> <br /> tại 2<br /> <br /> .<br /> <br /> có đồ thị<br /> <br /> (C ) .<br /> <br /> phân biệt sao cho độ dài<br /> <br /> Tìm<br /> AB<br /> <br /> m<br /> <br /> để đường thẳng<br /> <br /> d : y  mx  m  2<br /> <br /> cắt đồ thị hàm số tại<br /> <br /> ngắn nhất.<br /> <br /> Câu 2:<br /> Phương trình đã cho tương đương với:<br /> 2 s in x c o s x  6 s in x c o s x  2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />  2 c o s x s in x <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />  s in x <br /> <br /> 3 cos x<br /> <br /> <br /> <br /> 3 cos x  6<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 3 c o s x  6 c o s x s in x <br /> <br />   2 cos<br /> <br /> 2<br /> <br />  s in x  3 c o s x  0<br />  <br /> 2<br />  2 c o s x  6 c o s x  8  0<br /> <br /> 3 cos x  3 3  8<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3 c o s x  8 s in x <br /> <br /> <br /> <br /> 3 c o s x  s in x  3 3<br /> <br /> <br /> <br /> 3 cos x  0<br /> <br /> x  6 cos x  8   0<br /> <br /> , vì<br /> <br /> co s x  0<br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br />  ta n x  3<br /> x <br />  k<br /> <br />  <br /> <br /> ,k <br /> 3<br /> <br /> c<br /> o<br /> s<br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br />  x  k 2<br /> <br /> Vậy nghiệm của phương trình là:<br /> <br /> .<br /> <br /> x    k  ; k 2 , k <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:<br /> c o s 2 x  c o s x  2 ta n<br /> <br /> 1. Giải phương trình:<br /> <br /> <br /> Đáp số: x   <br /> <br />  k 2 ; <br /> <br /> <br /> <br /> x <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  k 2 , k <br /> <br /> 3<br /> <br /> 2. Giải phương trình:<br /> Đáp số:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> k<br /> <br /> 4<br /> <br /> ta n<br /> <br /> x  1  2<br /> <br /> .<br /> <br /> .<br /> <br /> x  ta n x ta n 3 x  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> ,k <br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> .<br /> <br /> 2<br /> <br /> Câu 3:<br /> Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:<br />  e  1 x<br /> <br />  1  e<br /> <br /> x<br /> <br />  x  x e<br /> <br /> x<br /> <br /> x  0<br />  e  0  <br /> x 1<br /> <br /> Vậy diện tích hình phẳng cần tính là:<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> S <br /> <br /> x e  e  dx <br /> x<br /> <br /> 0<br /> <br />  x e  e  dx<br /> x<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br />  e  xdx <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br />  xe<br /> <br /> x<br /> <br /> dx <br /> <br /> <br /> 1<br /> x<br />   xe<br /> <br /> 0<br /> 2 <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> e<br /> <br /> ex<br /> <br /> 1<br /> <br /> e<br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br />  xd  e <br /> x<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> 1<br /> e <br /> e<br /> x<br /> dx  <br />  e e<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> 0<br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> <br /> (đvdt)<br /> <br /> Nhắc lại kiến thức và phương pháp:<br /> Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường:<br /> <br />  y  f  x; y  g  x<br /> <br /> x  a, x  b<br /> <br /> <br /> b<br /> <br /> Khi đó diện tích hình phẳng là:<br /> <br /> S <br /> <br /> <br /> <br /> f<br /> <br /> x <br /> <br /> g  x  dx<br /> <br /> a<br /> <br /> Khi đề bài chưa cho<br /> trình:<br /> <br /> f<br /> <br /> x <br /> <br /> x  a, x  b<br /> <br /> thì khi đó<br /> <br /> x  a, x  b<br /> <br /> có thể được tìm ra bằng cách giải phương<br /> <br /> g x<br /> <br /> Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:<br /> 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong<br /> <br /> y  x ln x<br /> <br /> với trục hoành và đường thẳng<br /> <br /> x  e<br /> <br /> e 1<br /> 2<br /> <br /> Đáp số:<br /> <br /> S <br /> <br /> 4<br /> <br /> 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong<br /> <br /> y  <br /> <br /> 4 x<br /> <br /> 2<br /> <br /> và<br /> <br /> y  <br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> 4<br /> <br /> Đáp số:<br /> <br /> S <br /> <br /> 4 <br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> Câu 4:<br /> Sử dụng công thức Moivre ta có:<br /> 1  i <br /> <br /> z <br /> <br /> <br /> <br /> 3 i<br /> <br /> 2<br /> <br /> 25<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 49<br /> <br /> 50<br /> <br /> <br /> <br /> 49<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 2  cos<br />  i s in<br /> <br /> 4<br /> 4 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br />  <br />  i s in<br /> <br />  2  cos<br /> 6<br /> 6 <br />  <br /> <br /> 50<br /> <br /> 49<br /> <br /> 2 5<br /> 2 5 <br /> <br />  i s in<br />  cos<br /> <br /> 2<br /> 2 <br /> <br /> 4 9<br /> 4 9 <br /> <br />  i s in<br />  cos<br /> <br /> 6<br /> 6 <br /> <br /> <br /> 1 <br /> <br />  <br /> cos<br />  i s in<br /> <br /> 24 <br /> 2 <br /> 3<br /> 3 <br /> <br /> Suy ra:<br /> <br /> z <br /> <br /> 1 <br /> <br />  <br /> cos<br />  i s in<br /> <br /> 24 <br /> 2 <br /> 3<br /> 3 <br /> <br /> Vậy số phức<br /> <br /> z<br /> <br /> 1<br /> <br /> có phần thực là<br /> <br /> 2<br /> <br /> 24<br /> <br /> cos<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 25<br /> <br /> và phần ảo là<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 24<br /> <br /> s in<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 25<br /> <br /> Nhận xét: Đối với các biểu thức số phức với lũy thừa bậc cao, ta thường sử dụng dạng lượng giác<br /> của số phức cùng công thức Moivre.<br /> Nhắc lại kiến thức và phương pháp:<br /> Số phức<br /> <br /> z  x  yi<br /> <br /> như sau:<br /> <br /> cos  <br /> <br /> có dạng lượng giác<br /> x<br /> 2<br /> <br /> x  y<br /> <br /> 2<br /> <br /> Công thức Moivre:  c o s <br /> <br /> 2<br /> <br />  i s in <br /> <br />  với<br /> <br /> r <br /> <br /> x  y<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> và góc<br /> <br /> <br /> <br /> được xác định<br /> <br /> y<br /> <br /> ; s in  <br /> <br /> x  y<br /> <br /> z  r  co s   i sin <br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br />  c o s n  i s in n <br /> <br /> Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:<br /> 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức<br /> Đáp số: Phần thực là<br /> <br /> 2<br /> <br /> 8<br /> <br /> 3<br /> <br /> , phần ảo là<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức<br /> Đáp số: Phần thực là<br /> <br /> 1 ,<br /> <br /> phần ảo là<br /> <br /> z<br /> <br /> biết<br /> <br /> <br />   6<br /> <br /> z   i cos<br />  s in<br /> i 1<br /> 3<br /> 3 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3i<br /> <br /> <br /> <br /> 9<br /> <br /> 8<br /> <br /> z <br /> <br /> 10<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 10<br /> <br /> biết<br /> <br />  <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> .<br /> <br /> 0<br /> <br /> Câu 5:<br /> Vì<br /> <br /> A  d1<br /> <br /> nên tọa độ<br /> <br /> A<br /> <br /> có dạng<br /> <br /> A  2 a  1; a  3;  2 a <br /> <br /> Vì<br /> <br /> B  d2<br /> <br /> nên tọa độ<br /> <br /> B<br /> <br /> có dạng<br /> <br /> B  3 b  5; 4 b ; 2 b  5 <br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> 5<br /> <br />