MÔN TOÁN ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 7
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số có đồ thị .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt sao cho .
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình:
Câu 3: (1 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và
Câu 4: (1 điểm)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết
Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và các đường thẳng:
. Tìm các điểm sao cho và cách
một khoảng bằng 1.
Câu 6: (1 điểm)
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi lần luowjt là trung điểm của các cạnh .
vuông góc với và tính thể tích của khối tứ diện .
Chứng minh rằng Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng , điểm và
. Viết phương trình đường thẳng đi qua và cắt lần lượt tại sao cho
.
Câu 8: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 9: (1 điểm)
1
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
Cho là các số thực thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
..................HẾT..................
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: 1. Tập xác định: .
Ta có:
Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và
Ta có: nên hàm số có tiệm cận ngang .
nên hàm số có tiệm cận đứng .
Bảng biến thiên:
-1
2
2
Đồ thị:
2. Phương trình hoành độ giao điểm là:
2
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
Đường thẳng cắt tại 2 điểm phân biệt
phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khác -1
Theo định lý Viète, ta có:
Gọi tọa độ là .
(thỏa mãn)
Vậy
Nhận xét: Bài toán này thuộc lớp các bài toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị. Trong dạng bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức (đã được đề cập đến trong đề số 5). Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho hàm số có đồ thị . Tìm để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2
và .
điểm Đáp số: sao cho
2. Cho hàm số có đồ thị . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại
hai điểm phân biệt sao cho độ dài ngắn nhất.
Đáp số: Câu 2: Phương trình đã cho tương đương với:
, vì
3
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
.
Vậy nghiệm của phương trình là: .
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải phương trình: .
Đáp số: .
2. Giải phương trình: .
Đáp số: .
Câu 3: Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
(đvdt)
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Khi đó diện tích hình phẳng là:
Khi đề bài chưa cho thì khi đó có thể được tìm ra bằng cách giải phương
trình:
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong với trục hoành và đường thẳng
Đáp số:
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và
4
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
Đáp số:
Câu 4: Sử dụng công thức Moivre ta có:
Suy ra:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là
Nhận xét: Đối với các biểu thức số phức với lũy thừa bậc cao, ta thường sử dụng dạng lượng giác của số phức cùng công thức Moivre. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Số phức có dạng lượng giác với và góc được xác định
như sau:
Công thức Moivre:
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết
Đáp số: Phần thực là , phần ảo là
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức . biết
, phần ảo là
Đáp số: Phần thực là Câu 5:
Vì nên tọa độ có dạng
Vì nên tọa độ có dạng
5
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
Ta có:
Vì nên ta có:
Ta có:
, ta có: Với
, ta có: Với
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai đường thẳng
. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho
khoảng cách từ đến đường thẳng và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng nhau.
Đáp số: hoặc .
2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng . Tìm trên
hai điểm sao cho tam giác đều.
Đáp số: và
Câu 6: Gọi là trung điểm của .
nên Vì tam giác đều và
.
đỉnh là: Chọn hệ trục tọa độ sao cho tọa độ các
, , ,
, , và
Từ đó suy ra tọa độ các điểm là: , ,
Ta có: , nên .
6
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
Suy ra vuông góc với .
Lại có: , ,
Suy ra:
Nhận xét: Phương pháp tọa độ hóa là một phương pháp “chắc chắn” sẽ giải quyết được “tất cả” các bài hình học phẳng cũng như hình học không gian. Tuy nhiên, để tránh những tính toán cồng kềnh, phức tạp và xấu xí, không phải bài toán nào chúng ta cũng sử dụng phương pháp này, vì đa phần các bài toán trong đề thi không thuận lợi cho phương pháp này. Vậy khi nào ta sẽ tọa độ hóa trong các bài toán hình học không gian? Câu trả lời là khi tồn tại 3 đường đôi một vuông góc với nhau và thường là không xuất hiện mặt cầu, mặt nón. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
có đáy ,
1. Cho hình lăng trụ đứng Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn và là tam giác vuông, . Chứng minh . là đường vuông góc
chung của và . Tính thể tích khối tứ diện .
Đáp số: .
2. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , . Đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng và . Gọi lần lượt là trung điểm . Mặt phẳng
chứa và vuông góc với cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính diện tích thiết
diện đó.
Đáp án: .
Câu 7:
Giả sử
Khi đó ta có:
Ta có: thẳng hàng
Nếu thì (loại)
Nếu thì
Ta có:
7
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
Với ta có:
Với ta có:
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: hoặc
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
thẳng hàng , với là số thực nào đó.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Trong mặt phẳng , cho hai đường thẳng và điểm . Viết
phương trình đường thẳng đi qua và cắt lần lượt tại sao cho .
Đáp số: hoặc
2. Trong mặt phẳng , cho hai đường thẳng và điểm . Viết
phương trình đường thẳng đi qua và cắt lần lượt tại sao cho .
Đáp số: hoặc .
Câu 8:
Điều kiện:
Đặt .
Khi đó ta có:
Hệ phương trình đã cho trở thành:
(vì )
8
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là:
Nhận xét: Không quá khó khăn để chúng ta xác định được sẽ đặt các ẩn phụ như trên. Công việc quan trọng sau khi đã đặt ẩn phụ là biểu diễn các biểu thức chứa biến trong hệ đã cho theo các ẩn phụ mới. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải hệ phương trình:
. Đáp số:
2. Giải hệ phương trình:
Đáp số:
Câu 9:
Từ điều kiện ta có:
Dễ thấy . Ta có:
Phương trình có nghiệm ẩn khi và chỉ khi
Giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra chẳng hạn khi:
Giá trị lớn nhất của là , xảy ra chẳng hạn khi:
Nhận xét: Bài toán trên là một ví dụ mẫu mực cho phương pháp sử dụng tính chất của tam thức bậc hai. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: là các số thực không âm thỏa mãn:
Hướng dẫn: Từ giả thiết suy ra:
hay
9
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015
Ta có:
Giá trị lớn nhất của là , đạt được khi
2. Cho là các số thực. Chứng minh bất đẳng thức:
Hướng dẫn: Viết lại bất đẳng thức dưới dạng:
Dễ dàng chứng minh được:
