www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_____________________________________________________________
Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An
Hướng dẫn giải bài tập
1. Bài 1:
(I) ⇔
()
+=xy 30xy
()()

++−=


2
x335xy y xy
+ đặt +=
x
yu ⇒ ≥,0uv
=
5u
=xy v
=
30uv ⇒

−=

2335uu v v = 6
+ +=5xy ⇒ =4
x
hoặc x = 9
=xy 6 y = 9 y = 4 0a
=
Bình phương hai vế pt (1)
Bài 2: ⇒ ++ =
2
2
x
yxya
⇒ −
=
≥
2
xy 0
3
aa
+− =
x
yxya
+
=≥0xya
⇒điều kiện 0a= ; ,
y là nghiệm của phương trình:
1a≥
2
2a
ax+ 0
3
a
X−
−=
ta có
2
400 4
3
aa a
−
∆= ≥ ⇔ ≤ ≤ kết hợp các điều kiện ta có:
với a = 0 hoặc 14a≤≤ hệ có nghiệm. cụ thể như sau:
+ nếu a = 0 hệ có nghiệm x = y = 0
+ nếu a = 4⇒ hệ có nghiệm x = y = 4
+ nếu 14a≤<⇒,
y nhận các giá trị
2
1 4a-a
23
a
±
⇒
2
2
14a-a
43
xa

=±



2
2
14a-a
43
ya

=


∓
3. Bài 3.
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_____________________________________________________________
Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An
• Nhận xét nếu
()
00
,
x
y là nghiệm của hệ thì
(
)
00
,
x
y− cũng nghiệm hệ;nên
hệ có nghiệm duy nhất thì 000
0xxx
=
−⇒ = thay vào hệ phương trình :
1ya=+ ⇒ a=0
21y= a=2
• Điều kiện đủ: 2
22
xxyx
+
=+ +
+ nếu a = 2 hệ có dạng hệ có 2 nghiệm (0, -1); (1, 0)
22
1xy
+
= không thoả mãn
+ nếu a=0 hệ có dạng 2
2x
x
yx
+
=+ (1)
22
1xy
+
= (2)
Từ (2) ⇒22
01;1 (1)1 (1)
x
yxxVT xyxVP≤≤ ≤⇒≤⇒ ≥+≥+=
Do đó pt (1) xảy ra ⇔ 21
x= ⇒ x = 0
2
x
x= y = 0
1y=
• Kết luận với a = 0 hệ pt có nghiệm duy nhất
4. Bài 4:
+ nhận thấy từ (2) ⇔110 1 10
33
x
xy x xy
yy

++ −+= + + −+


xảy ra như trên ⇔ 1
x+ 0
y≥ (3)
10 0
3xy
−
+≥ (4)
+ Từ (2) ⇒ 10 1 0
3yy
++ ≥ (5)
⇔
1
33
y
−
≤≤−
y>0
• Nếu 1
33
y−≤ ≤− Kết hợp (3), (4) ⇒110
03
x
y
y
<
−≤+ bình phương các
vế và cộng với 2
y ta có
2
22 2
82 10
93
x
yyy

≤
+≤ +

 ⇒
210 10
3
y++≥ (6) từ (5) do y<0 ⇒210 10
3
y
+
+≤ (7)
+ từ (6), (7) ⇒ 210 10
3
y++=⇒ y = -3; 1
3
y
=
− có x tương ứnglà: 1;3
3
xx==⇒
hệ có 2 nghiệm: 11
,3;3,
33

−−


• Nếu y > o ⇒ (5) luôn đúng; do 22
82
9
xy+= nên chỉ có thể 82
9
oy<≤
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_____________________________________________________________
Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An
- nếu 0x≥2
82
9
xy⇒= − ⇒
(3),(4) thoả mãn
- nếu x<0 2
82
9
xy⇒=− − ⇒
(4) thoả mãn còn (3) thoả mãn
⇔22
11
;90
93
yy y≤≥⇔<< hoặc 82
39
y≤≤ thì 2
82
9
x
y=− −
vấn đề 3: hệ phương trình bậc cao 1 ẩn.
Giải hệ pt đã có nhiều phức tạp; khi giải hệ bpt cần phải cẩn thận hơn,chặt chẽ
hơn.Ta xét một số ví dụ:
1. ví dụ1:
Giải hệ bpt sau: 2
3210xx+−< (1)
3310xx−+>
(2)
Giải:
+ giải (1) được nghiệm 1
13
x−< <
+ đặt 3'2
() 3 1 () 3 3 0fx x x f x x=−+⇒ = −< khi 1
1, 3
x
∈−


lại có
()
11
00
327
ffx

=>⇒ >

 do hàm số nghịch biến với mọi 1
1, 3
x
∈−


Vậy nghiệm của hệ bpt trên là 1
13
x
−
<<
2. Ví dụ 2: giải và biện luận hệ:
(I)
()
()
2120xx−−≥
()
22
31 2 0xaxaa−+++≤
(giải bằng phương pháp khoảng)
Giải: (I) ⇔ 2; 1 1xx≥−≤≤
()
[
]
210xax a−−−≤ (2)
Ta có (2) ⇔ 21ax a≤≤ + nếu 1a≥−
21axa+≤ ≤ nếua<-1
• Biện luận:
+ nếu a < -1⇒21 1 1axa x+≤ ≤ <−≤ ≤ hệ (I) khi đó vô nghiệm
+ khi 01a≥≥− 1211aa⇒− ≤ < + ≤ ⇒ nghiệm của hệ là 21ax a
≤
≤+
+ khi 1
02
a<< 11212aa⇒− < < < + < ⇒ nghiệm của hệ là 1ax
≤
≤
+ khi 111 1221
2aaa≤≤⇒−<<<≤ +⇒ nghiệm của hệ bpt là
1; 2 2 1ax x a≤≤ ≤≤ +
+ khi 121221aaa<<⇒<<< +⇒ nghiệm của hệ bpt là 221xa
≤
≤+
+ khi 22 21aaa≥⇒≤< +⇒nghiệm của hệ là 21ax a
≤
≤+.
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_____________________________________________________________
Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An
Chú ý: trong 2 ví dụ trên chúng ta có thể giải từng bpt sau đó chỉ có nhiệm vụ
biện luận vị trí tương đối khoảng của 2 bpt.
3.ví dụ 3: xác định a để hệ bpt:
()
2
3
x
yxy a+≥+ +
()
2
x-y 3yxa≤−−
có nghiệm duy nhất.
Giải: giải theo phương pháp cần- đủ
+ đk cần: nhận thấy nếu
()
00
-x ,
y
cũng là nghiệm của hệ vì thay vào hệ:
()
2
00 00
3
x
yxya−+ ≥−+ +
⇔
(
)
2
0000
x3
y
xy a
+
≥+ +
()
2
00 00
3
x
yyxa−− ≤ + −
(
)
2
00 00
3
x
yyxa
−
≤+−
Vậy để hệ có nghiệm duy nhất 000
0xxx⇒=−⇔=
(
)
0
0,
y
⇒ là nghiệm của
hệ 2
00
9
30940
4
yya a a⇒−+≤⇒−=⇒=
+ điều kiện đủ: với9
4
a= hệ trở thành
()
29
34
xyxy
+
≥+ + ⇔
()
29
34
xy yx
−
≤−−
()()
29
32
4
x
yyx x+− ++≤−
⇔
2
32
2
x
yx

+
−≤−


⇔
()()
29
32
4
yx yx x−− −+≤
2
32
2
y
xx

−− ≤


⇔ x = 0
3
2
y=
+Kết luận 9
4
a= hệ có nghiệm duy nhất
4. Ví dụ 4: cho hệ 42
540xx−+< (1)
()
22
21 20xaxaa++++−= (2)
a. tìm a để hệ có nghiệm
b. tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải:
Câu a: giải (1) được 2
14x<<⇔ 2 1
x
−
<<−
12
x
<
<
Giải (2) được 12xa=− − ; 21xa
=
−+
Theo yêu cầu của bài toán, để hệ có nghiệm ta cần có:
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_____________________________________________________________
Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An
1
21x−< <− hoặc 2
21x−< <− hoặc 1
12x
<
< hoặc2
12x
<
<
221a⇔− < − <− hoặc211a−< +<− hoặc 122a
<
−< hoặc 112a<+<
10a⇔− < < hoặc23a<< hoặc 43a
−
<<− thì hệ có nghiệm
Câu b:
- gọi
()
22
() 2 1 2fx x a x a a=+ + ++− theo yêu cầu của bài toán ta cần t ìm a để
() 0fx= có đúng 1 nghiệm thuộc
(
)
2, 1
−
− hoặc thuộc
(
)
1, 2 điều đó tương đương
với ( 2) ( 1) 0ff−−< hoặc ( 2) ( 1) 0ff
−
−≥
⇔
23a
<
<
(1) (2) 0ff ≥ (1) (2) 0ff
<
43a
−
<<−
- Kết luận với 43a−< <−
23a<<
thì hệ có nghiệm duy nhất
3.Ví dụ 5: Giải và biện luận hệ
()
1( 2 ) 0xxa−−≤ (1) (I)
()
2( ) 0xxa++≤ (2)
Giải:
+ta có nghiệm tam thức vế trái của (1) là 11x
=
; 22
x
a
=
+ nghiệm vế trái của (2) là 32x
=
−;4
x
a
=
−
+ Biện luận:
- nếu a = 0 24
x
x
⇒≡ hệ (I) có 1 nghiệm x = 0
- nếu a > 0 2
x20a⇒=>; 40xa
=
−< ⇒ hệ (I) vô nghiệm
- nếu a < 0 10220 1aaa−< < ⇒− < < <− < nghiệm của hệ (I) là
[
]
2,aa−
- nếu a-1 2a-2<1<-a≤⇒ ≤ nghiệm của hệ (I) là
[
]
2,1−
Bài tập:
Bài 1: giải hệ
210yx x−−−≥
(1)
2110yx−++−≤ (2)
a. giải hệ khi y = 2
b. tìm nghiệm nguyên (x,y) của hệ.
Bài 2:
Tìm a để hệ 22
1
271
a
xxyy a
−
+−≥
+
22
310 5 2xxyy+−≤−
Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
a. y=2 (các em tự giải) đáp số: 15 0
2x
−
≤
≤
b.+ từ (2) 211yx⇔−++≤ với ,;200 11xy z y x
∈
−≥⇒≤+≤⇔
x = 0 v x =-1