Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
10. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng
x
1
z
=
=
. Tìm điểm M trên d thỏa mãn
d
:
- -
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho đường thẳng
y 1
2
1 1
A
(2; 0;1)
3;
với
-
a)
với
A
(2; 0;1);
B
(2; 1;1)
-
b)
;
=
y
2
11
c)
2 M
13 6 + )
(
với (P): x + 2y + 2z – 1 = 0.
=MA =MA MB + 2 2 x M M d M P )
2 z 2,= ; ( d) Đ/s: a) M(3; 1; 0)
b) M(3; 1; 1)
c) M(1; –1; –2)
d
:
t
. Tìm điểm M trên d thỏa mãn
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng
= x t = + y 1 = t 2 z
=
;
với
A
(1; 0;3);
B
(2; 1;1)
-
a)
MABS
30 2
+
1
z
) D =
;
( d M
,
với
D
b)
:
x = 2
y = 1
1 2 Đ/s: a) M(1; 2; 2)
1 b) M(–1; 0; –2)
- y + z 1 = = d : và hai điểm A(2;
Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
- x 1 3 1 2
- 1; 1), B(0; 1: - 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất. Lời giải:
d
:
= t x = - y t 3 = - + t 1 2 z
+) Đường thẳng d có phương trình tham số
- +) Gọi M là điểm cần tìm. Do Nếu M thuộc d thì M nên M t ( ;3 - + t ; 1 2 ). t
= +) Diện tích tam giác ABM được tính bởi S (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM BM ;
- -
)
2; 4
t
2
t
2
t
=
+ -
- - - - - -
)
⇒
+)
( = + t
t
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM BM ,
;
8;
2; 4
4 2
t t
t 2 + 2 t
t 2 2 ; + 1 2 t
2 1
t
2 4 2
t
t t
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( = - AM t (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( = BM t
; 2
t
2
2
2
- - - 1 2
(
)
)
(
)
t ; 2 ) + ; 2 t 1 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM BM ,
( + + t
ABMS
= = + + = + + ‡ +) Do đó t 8 2 16 t 2 5 34 34 1 2 1 2 1 2
- Vậy min =S khi t = - ⇒ - M 5 ( 5;8; 11). 1 2 34 2
Ví dụ 4: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng
+ - x y 1 = D : . Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. - 2 1 = 1 z 2
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Lời giải: ˛ - - D ⇒ +) Gọi M M t (2 1;1 t t ; 2 ).
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
=
- - -
)
2; 4
t
t ; 2
t 2
=
⇒
+)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AM BM
- - - - -
=
4 2
t t
2 t t 2
2 t ; t 6 2
2 t t 6 2
2 2 t ; t 4 2
2 4
4 2
t t
- - - - - - - - - - - -
)
( (
-
6
t 2
4; 2
t
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BM +
=
- -
(
t ; 2 )
t 2
12
t 24;8
t 12; 2
2
2
=
=
+
+
2 +
(
)
(
)
(
) 2 =
S
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AM BM
t 2
14
t 8
12
t 2
12
18
t
1547
+) Do đó
1 2
1 2
23 + 18
1547 36
1 6
- - - ‡
= ⇒ =
min
=S
khi
+) Vậy
t
M
;
.
1547 6
23 18
14 9
5 23 ; 18 9
-
Ví dụ 5: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; - 11), B(3; 5; - 4), C(2; 1; - 6)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) . Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA MB MC
và đường thẳng thẳng
- - - x 1 y 2 z 1 = = - - đạt giá trị d : 2 1 1 nhỏ nhất.
Điểm M thuộc d nên M(2t + 1;2 + 2t;1 + t).
Lời giải:
)
= - - t t 2 t 4; 2 + 6;
(
)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = - ⇒ - MA MB MC
= - - - - - - - t 2; 2 + 3; t t 2 t 1; 2 4; t Ta có
( ( t 2 (
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MC
= - 12 ) 5 ) t 2 + 1; 2 t 1; + t 7
⇒
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MB MC
( + t 2
) 2 + 1
( + t 2
) 2 + 4
+ 9
2 +
- - ‡ = 2 t + 2 t 9 + t 20 = 17 t 10 9 53 9 53 3
= - ⇒ = -
- - Dấu đẳng thức xảy ra khi t M ; ; . 10 9 11 9 2 9 1 9
- và các
) : P x
+ y
2
- = z
2
1 0
Ví dụ 6: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho cho mặt phẳng (
đường thẳng 1 d
- - - x 1 y x 5 + z = = = = : , : . Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN 2 d - - 2 3 3 z 2 6 y 4 5 5 song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.
= ) :
Ví dụ 7: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1( d
2
=
x 1 y 1 z = và 2 + - x z 1 = = ) : . Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song -
P
+ + z
y
2012 0
1 y ( d 2 1 với mặt phẳng ( 1 ) : – x độ dài đoạn MN bằng 2.
)
Lời giải:
( = -
⇒
) 1
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
)
( M t t ( ⇒ - N
2
2
2
= -
=
=
t ; ; 2 ˛ ⇒ M d 1 - - - - t 2 ' t t 1; ' + t ; ' 2 t t . Ta có ˛ - ' N d t t
'
- - - -
(
t
2 ' t
+ ' 2 t t
) 1
2
2
2
+
+
2 =
2 =
' )
(cid:219) (cid:219) Theo bài ta có - - -
( + - t
3 t
t ) 1
4 t
) 1
2
t
2 ' t
) ( 2 + 1 t ( - + - ' t t
) + t + = ' 2 t t
1
1 0
t (
= -
'
0 =
+ 1 2 '; ';1 t (
( = -
) 0;0; 0 ,
;
M
N
2
= -
t +
=
3 7
2 5 ; 7 7
'
0
4 t
t 14 t
2 MN (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) . 0 MN n = t t
2 7
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
(cid:219) (cid:219) (cid:190) (cid:190) fi -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
- x 1 + z = = ( ) : và
Ví dụ 8: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1 d
t
= - + 1
- 1 y 2 4 1
(
d
) :
2
x = - 1 2 y t = - + t z 2
+ + =
+
- .
1 0
P
2
y
z
11.
và
=MN
(1;0; 4),
( 2;1;3).
N
- - Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ) : ( x Đ/s: M
x
1
y
1
=
+ z =
(
) :
;
- -
Ví dụ 9: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1 d
1
2 1
2
t 2 3
.
(
d
) :
t
2
t
= + x = - y 1 = - + z 4
+ + +
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (
và
=MN
2 6.
= 19 0
-
) : x
P
y
z
= + 1
t
và
(
) :
Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1 d
t
x = y t = - z 2
y
=
=
(
d
) :
.
2
-
x 2
1 3
z 1
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng với A(3; - 4; 0).
= -
t
= t ; ' 3
- -
Đ/s:
4 7
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
t
và
(
) :
Bài 1: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1 d
= + x 1 = - t y 2 = + t z 3
y
x
=
=
(
d
) :
.
2
- -
2 1
1 1
z 1
(3; 4;5),
(1; 0;1).
-M
N
- -
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng với A(2; - 2; 3). Đ/s:
= +
t 1 2
và
(
) :
Bài 2: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1 d
t
x = t y = - z 1
+
+
2
x
1
z
=
=
(
d
) :
.
2
2
y 1
3
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho D AMN đều, với A(3; 0; 1).
-
x
y
z
4
1 =
và hai mặt
:
- - - D
Bài 3: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
3
=
Q
) : 5
x
y
+ = z 3
8 0
. Tìm điểm M thuộc D
2 = 1 1 sao cho
+ + y (
phẳng ( ) : 3 P ) ( = d M P ) ; (
5 10 0; ( x z ) d M Q ) . ;( 3
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
- - - -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Đ/s:
M
(1; 2;7),
M
;
;
59 28 113 29 29 29
+ - x 2 y + z 1 = = d : . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao
Bài 4: [ĐVH]. Trong không gian cho đường thẳng
- 1 3 5 2
A
( 2;1;1),
B
( 3; 1; 2)
- - - cho diện tích tam giác MAB bằng 3 5 biết
Đ/s:
M
( 2;1; 5),
M
( 14; 35;19)
- - - -
t 1 2
=
=
d
:
,
:
-
Bài 5: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng
d 1
2
x 1
y 1
z 2
t = + 1
t
= - x = y z
a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên b) Tìm các điểm A thuộc d1, B thuộc d2 sao cho đường thẳng AB song song với (P): x – y + z – 3 = 0 và =AB
2 2.
- - - -
Đ/s: A(1; 1; 2), B(1; –1; 0) hoặc
A
;
;
,
B
;
3 7
3 7
6 7
2
y
1
x
=
13 3 10 ; 7 7 7 + z =
d
:
- -
Bài 6: [ĐVH]. Tìm trên đường thẳng
điểm M(xM; yM; zM) sao cho
2
2 1
1
+
+
nhỏ nhất.
y
z
-
a)
= 2 F x M
2 M
2 M
b) Khoảng cách từ M đến (P): x + y + 2z – 3 = 0 bằng 3.
Đ/s: a) M(1; –1; –1)
1
5
y
z
=
=
:
d
. Tìm điểm M thuộc d
- -
Bài 7: [ĐVH]. Cho hai điểm A(2; 1; –1), B(1; 2; 1), C(0; 0; 3) và
x 3
1
1
sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Đ/s:
;
;
.
M
-
3 12 54 11 11 11
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
