Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Tài liệu bài giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng
1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = –1. Trong đó: i là đơn vị ảo. a được gọi là phần thực của số phức b được gọi là phần ảo của số phức Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Chú ý:
Số phức z là số thực nếu b = 0, khi đó z = a. Số phức z là số ảo (hay số thuần ảo) nếu a = 0, khi đó z = bi.
a
'
¤ ¤
z
'
= + ' a
b i '
nếu
Hai số phức z = a + bi và
2
2
2
= -
= 3
¤
' (
)2 =
Với i là đơn vị ảo ta có:
= a = b b = 4 i i ;
i
i
1;
i
i
= - . i
1;
= 5 i
= 4 . i
i
i ...
+
+
+ 1
n
n
n
n
3
4
2
4
4
+
=
2012
2
3
+ = + +
i i
i S
+ i 0 + + + i
i
...
1
.
¤
c) z = –1
-
f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i)
b) z = 4i e) z = (1 + i)2 – (1 – i)2
Từ đó suy ra 4 i Ví dụ: Tính tổng i Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau a) z = 2 + 3i = d) z
2 2i
Hướng dẫn giải:
=
= -
- ⇒ =
z
a
2
2
2
2
=
+
)
(
)
)
= , (do i2 = –1 )
4
⇒ = a
= i 2
) 2 = i
( 1
i 4
i 2
0;
b
i
i
i
- - - - - -
) +
(
(
)
(
1 3
+ 2 x
) 1
) 1
+ y
+ x
y
x
i
- -
Theo định nghĩa số phức ta có a) z = 2 + 3i ⇒ a = 2; b = 3 b) z = 4i ⇒ a = 0; b = 4 c) z = –1 ⇒ a = –1; b = 0 d) b i 2; 2 2 e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức đã cho về dạng rút gọn. ) ( ( Ta có ( + + + 1 2 1 2 i i 1 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = 9 – 2i ⇒ a = 9; b = –2. Ví dụ 2. Tìm các số thực x và y, biết: a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i b) ( = i
Hướng dẫn giải: a
'
z
'
= + ' a
b i '
Ta biết rằng hai số phức z = a + bi và
nếu
'
= a = b b
+ = +
=
2
x
1
2
1
⇒
a) Ta có
y
x - = + y
2
4
x = y
2
3
=
x
⇒
- (cid:219)
b) Ta có
3 2
= + x x ( + = - 1
2
) 1
y
y + x
4 2
2
x x
+ = y 1 + = - y
1 3
5
= - y
=
+
+
(
)
(
)
-
Ví dụ 3. Cho
z
a 3
2
b
4
i . Tìm các số a, b để:
a) z là số thực b) z là số thuần ảo
Hướng dẫn giải:
a) z là số thực khi b – 4 = 0, hay b = 4. b) z là số thuẩn ảo khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Bài tập áp dụng:
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức:
= -
= - +
3 5i
2i
2. z 4. z = 0 6. z = (1 + i)2 – (1 – i)2 8. z = (3 – 5i) + (2 + 4i) 10. z = (2 + i) – (1 + 4i)
+
(
. Tìm các số a, b để:
) - + 2a 1
z
1. z 3. z = 12 5. z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i). 7. z = (2 + i)3 – (3 – i)3. 9. z = (11 – 6i) – (2 – 4i) ) ( = Bài 2. Cho 3b 5 i
với a, b R˛
2. z là số thuần ảo
(
5i
-
( +
) + + 2x 1 )
) 3y 2 i ) y 1 i
- - = - 4i 3 x 2
1. z là số thực Bài 3. Tìm các số thực x và y, biết: 1. ( = - + 4 2. (
)
˛a b R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) (hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (hay còn ,
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi ( gọi là mặt phẳng phức) Trong đó: - Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a. - Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b. Ví dụ. Cho các số phức 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C, D a) Chứng minh rằng ABCD là một hình bình hành b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào?
3. MODULE CỦA SỐ PHỨC
Khái niệm:
2
z
a
2 b
= +
2
=
(
)
- Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu là |z| và được tính theo biểu thức: Ví dụ: Tính module của các số phức sau 1. z = 1 + 3i 2. z = 2i = 3. z 2
4.
3 i ) + 2 i
z
( + + 1 2i
Hướng dẫn giải:
2
2
+ = b ta có z
a + = Áp dụng công thức = + ⇒ =
1. z 1 3i
10
z = ⇒ =
2. z
2i
1 9 = 2
z
=
3. z
2
2
2
2
=
=
+
+
=
+
3 i )
(
(
)
(
+ = 3 1 2 ( )
)
)
-
4.
4 - ⇒ = z ( + + 1 2i
+ 2 i
z
+ 4 2i
i
( + + 1 4i 4i
+ 3 2i
4i 3
) = ⇒ = 6
6i
z
4. SỐ PHỨC LIÊN HỢP
z
a bi
Khái niệm: Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của số phức z kí hiệu là z và được tính theo biểu thức: = - (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)Chú ý: + Các điểm M(a ; b) và M’(a ; –b) biểu diễn các số phức z và z đối xứng nhau qua trục Ox.
2
=
=
+
2 b
+ Các số phức z và z có module bằng nhau: z z a
-
Ví dụ: Viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau và tính module của chúng 1. z = 2 – 5i 2. z = 7i 3. z = 6 + i = 4. z
3 2i
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Hướng dẫn giải:
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
= -
, ta được :
=
= - ⇒ = + ⇒ =
Áp dụng z 1. z
a bi z
2 5i
2 5i
z
+ 4 25
29
= ⇒ = - ⇒ =
2. z
7i
7i
z
z
49
= 7
+ =
= + ⇒ = - ⇒ =
3. z
6 i
6 i
z
z
36 1
37
=
+ =
- ⇒ =
+ ⇒ =
4. z
3 2i
z
3 2i
z
3 4
7
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
+
z ', z
z ', z.z '
-
Bài 1. Tính z
với
= +
= +
= -
= +
2 3i , z ' 6 4i
1) z 5 2i , z ' 4 3i
2) z
= -
= +
= -
= - 4 7i , z ' 2 5i
-
3) z
4) z 1 i 3 , z '
+ 3 2i
)2
)2
- 1 i 2 3i+
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau : 1) (
2) (
)3
)2010
+ 1 i 1 i+
3) (
+ 3i
4) (
Bài 3. Viết các số phức sau dạng đại số:
= = z z
1)
2)
)
+ - - + 5 6i + 4 3i 1 ( )( 1 i 4 3i
- - = z z
3)
4)
=
- - 7 2i 8 6i 3 4i 4 i
1 = = z z
5)
6)
- 1 2 3i - i 3 2 - = = z z
7)
8)
= + = z z
9)
10)
- 3 2i i 4i 1 i 1 2 + 2 i 5i + 1 2i 12i 12i + 1 2i + = + z
11)
2
+ +
z
i
. Hãy tính:
( )3 2 , z , z , z
, 1 z
z
(2 i)(12i) 2i + (2i)(1 2i) + 2 i
Bài 4. Cho
.
1 = - + 2
3 2
1 z
Bài 5. Tính modun, tìm số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
=
=
z
z
1)
2)
1 + 2 3i
+ 4 5i i
=
=
z
z
- -
3)
4)
4 3i 2 i
1 2i + 2 i
=
- +
=
-
(2 i)( 3 2i)(5 4i)
z
- -
5) z
6)
+
)
=
=
+
z
z
-
7)
8)
+
(
)
20 + 4 3i +
- -
1 ( )( 1 2i 3 i + 5 5i 3 4i + 3 2i
=
=
+
z
z
- - -
9)
10)
+ 2 3i )( 4 i 2 2i + 3 7i + 2 3i
2
-
)
(
5 8i 2 3i +
(2 i)(4 3i) + 2 i 1 i
3 2i
=
+ -
=
z
5 4i
z
- - -
11)
12)
(3 2i)(4 3i) 1 2i
) ( + 1 i
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
-
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
2
3
+
(
)
)( 3 2i 1 3i
=
+
=
(
)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
2 i
z
z
- - - -
14)
13)
3
2
+
) )
) )
1
3i
( + 1 2i ( + 3 2i
( 1 i ( + 2 i
33
7
10 +
=
=
-
)
(
)
z
i
( + - 1 i
)( + + 2 3i 2 3i
z
- -
16)
15)
1 2i
1 7 i
1 i
8
2
3
20
)
)
)
)
( ( = + + + + 1 i 1 i
( + + 1 i
( + + + 1 i
- = + z z 1 ...
18)
17)
8
+ 1 i - 1 i + 1 i 1 i
- 1 i + 1 i
Bài 6. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức
đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
=
+
= + + z
2)
1)
z
z
+ z
z 1
2
3
=
+
+
z z 1 2 z z 2 3 z z 3 1
z
z
z
= z
4)
3)
2 z 1
2 2
2 3
2
=
=
+
+
z
z z z 1 2 3
6)
5)
z
+ +
z z
z 1 z
z z
2
3
z 3 z 1
2 z 1 2 z 2
2 2 2 3
+
z
, biết:
- -
Bài 7. Tính
z 1
z , z 2 1
z , z .z , z 2 1 1
2
+ 2z , 2z 2 1
2
= - +
1)
5 6i, z
1 2i
z 1
= - 2
= +
= -
2)
3 2i, z
4 3i
z 1
2
i, z i
3)
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
z 1 1 = - + 2 1 = - + 2 3 1 2
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Tài liệu bài giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng
5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC
5.1 Phép cộng, trừ hai số phức
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i
¤
Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i
'
'
"
"
"
+
+
+
¤
(
)
z
z
z
z
z
ℂ
= + z
' z,z , z
'
'
" ˛
z
) ℂ
˛ ℝ , nếu kí hiệu số phức a bi
z z, z ℂ )
là –z thì ta có
( z)
( z)
0
= + " ' z z z a bi (a, b
˛ ˛ - -
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)Chú ý: Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp. ♦ Tính chất kết hợp :( + ♦ Tính chất giao hoán : z + = + = " ♦ Cộng với 0 : z 0 0 z = + ♦ Với mỗi số phức z + - = - + = z z Số –z được gọi là số đối của số phức z Ví dụ. Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau 1. z = 2+ 3i ; z’ = 5 – 2i 2. z = –5 + 2i ; z’ = 3i 3. z = 2 – 3i ; z’ = 2 – i
'
'
+
+
;
, ta có
+ = ' z
z
' a )
Hướng dẫn giải: - = ' (a z
z
(b b )i
(a = +
+ ' a ) = - +
- -
- -
1.
;
3 5i
'
(3 2)i = - +
- -
2.
;
7 i 5 5i
z
= -
- -
3.
;
Áp dụng công thức + + + = ' (2 5) z + + = - + 5 (3 2)i z + + + = ' (3 1)i (2 2) z
z z z
4 4i
+ (b b )i - = ' z z - = - + ' z - = ' z
z
+ + (3 2)i (2 5) = - 5 (2 3)i + - + (2 2)
5 i = - ( 3 1)i
2i
5.2 Phép nhân hai số phức
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
˛ ℝ , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi
)
'
=
¤
" ˛
Khi đó số phức w = z.z’ được tính bằng công thức : w = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét : Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b 0z = 0 với mọi số phức z (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Chú ý: Phép nhân các số phức có đầy đủ tính chất như phép nhân các số thực ' ♦ Tính chất giao hoán :
z, z
"
"
"
=
ℂ
ℂ ' z, z , z
" ˛
' z .z, ' z(z z ), ℂ z
"
"
'
'
=
+
+
" ˛
)
ℂ
' z, z , z
" zz ,
zz
z
" ˛
z.z ' (zz )z ♦ Tính chất kết hợp : = = ♦ Nhân với 1 : 1.z z.1 z, ♦ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng ( z z Ví dụ. Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau 1. a2 + 1 3. 4a2 + 9b2
2. 2a2 + 3 4. 3a2 + 5b2
Hướng dẫn giải:
2
+ =
-
Sử dụng i2 = –1 ta được 2 (a 1.
- = 2 i
a
i)
2
2
1 a + 2
=
+
- -
2.
4a
4a
2
2
9b + =
+ i)(a = 2 2 9b i ( = 2
- -
3.
2a
3 2a
3i
a 2
(2a 3bi)(2a 3bi) ) )( + 3i a 2
3i
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
2
2
2
+
=
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 )
- -
)(
(
4.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 3a 3a
= 2 2 5b i
+ 3a
5bi
5bi
5b
3a
5.3 Phép chia cho số phức khác 0
- = 1
♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số
z
z
1 2
z
♦ Thương
của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là
'z z
'
1
=
' z z
z z
'
-
(
)
' b i
=
=
Vậy
với z
0„
' z z 2
2
2
)( + ' a bi a ( +
)
z z
b
a
z
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét :
-
1
1
=
=
• Với z „
0, ta có
1.z
z
1 z
• Thương
là số phức w sao cho zw = z’. Có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép
'z z
- -
nhân • Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số. Ví dụ. Thực hiện phép chia các số phức sau
=
z
= z
1.
2.
+
)
1 ( )( 1 i 4 3i
- - + 5 6i + 4 3i
- - = z z
3.
4.
=
- - 7 2i 8 6i 3 4i 4 i
z
i
- - = = = = = -
1.
2
)
i
i
i
i i
i )(7
Hướng dẫn giải: 1 50
+ - - - 7 i 1 + 7 7 2 7 ) 7 50
=
=
=
+
- -
2.
z
i
+
39 25
-
¢ =
=
=
=
+
- -
3. Tính
z
i
+ (7 2 )(8 6 ) i i + i i (8 6 )(8 6 )
i 2 39 2 + 2 2 25 3 4 + 68 26 i + 2 2 6 8
17 25
13 50
- - 1 ( )( + 1 (7 4 3 i - + - + - + i 5 6 i ( 5 6 )(4 3 ) i = + (4 3 )(4 3 ) i 4 3 i i 7 2 i i 8 6
=
=
+
=
z
¢= z
i
i
Vậy
7 2 i i 8 6
17 25
13 50
17 25
13 50
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét : Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức):
- - -
=
=
=
=
z
i
2
+ (7 2 )(8 6 ) i i + 2
7 2 i i 8 6
+ 7 2 i = + i 8 6
8
6
17 25
13 50
7 2 i i 8 6
- - - - - -
=
=
=
=
- - - -
4.
z
i
3 4 i i 4
+ (3 4 )(4 i + )(4 i (4
i ) i )
i 16 13 + 2 1 4
16 13 17 17
- -
6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm:
(cid:219) = z
z
⇒ = . Vậy z là số thực.
Tính chất 1: Số phức z là số thực Chứng minh: = (cid:219) z
Ta có : z
(cid:219) = x yi
= - yi
+ x
y
0
x
z
(cid:219) = - z
z
Tính chất 2: Số phức z là số ảo Chứng minh:
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
= -
+
Ta có :
. Vậy z là số ảo.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com yi
x
⇒ = z
(cid:219) = x yi
= - + yi
0
x
z
z
2
(cid:219)
Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z và module là |z|. Khi đó:
zz
z=
2
2
=
+
z z
(
x
yi x )(
yi
= )
x
= 2 2 y i
+ 2 x
y
2
=
2
z z
z
- - (cid:190) (cid:190) fi
Chứng minh:
2
2
2
2
2
=
+
=
+
z
x
y
x
y
(
)
♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp:
+
=
+
z
z
2
z 1
2
=
+
+
=
+
z
(
)
(
(
(
x 1
2
y 1
y i ) 2
x 1
+ y 1
) y i fi + 2
+ z
z
= z 1
2
z 1
2
+
=
z
)
x ) 2 + (
- (cid:190) (cid:190) - - -
Tính chất 4: 1 z Chứng minh: + + z 1
x 1
z 1
2
x 2 + y i 1
= y i 2
+ ( x 1
x 2
y 1
y i ) 2
x 2 =
z .z 1
2
+
+
=
(
+ )
(
)
(
z z 1 2
x 1
y i x )( 1 2
x x 1 2
y y 1 2
= ) x y i 2 1
x x 1 2
y y 1 2
+ x y 1 2
x y i ) 2 1
=
z z 1 2
z z . 1
2
( =
(
(
)
- - - (cid:190) (cid:190) fi - - - -
z z Tính chất 5: 1 2 Chứng minh: =
z z . 1
x 1
2
y i x )( 1 2
y i ) 2 = y i ) 2
x x 1 2
y y 1 2
+ x y ( 1 2 + ( x y 1 2
x y i ) 2 1
=
Tính chất 6:
z 1 z
z 1 z
2
2
+
(
x x 1 2
x y i ) 2 1
=
=
=
+
i
+ +
+
+
+
z 1 z
2
x 1 x 2
y i 1 y i 2
) y y 1 2 2 x 2
+ x x 1 2 2 x 2
x y 2 1 2 y 2
y y 1 2 2 y 2
x y 1 2 2 x 2
=
- - -
z 1 z
z 1 z
2
2
+
=
=
=
i
(cid:190) (cid:190) fi - - -
z 1 z
( x y 1 2 2 y 2 + x x 1 2 + 2 x 2
+ y i x )( 2 1 + y i x )( 2 2
x y 2 1 2 y 2
y y 1 2 2 y 2
y i ) 2 y i ) 2
x y 1 2 + 2 x 2
( x 1 x ( 2
2
- -
Chứng minh: x y i 1 1 x y i 2 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét : Ngoài cách chứng minh cổ điển trên thì ta có thể sử dụng ngay một “thành quả” đã chứng minh được là tính chất số 5.
= ⇒ =
Thật vậy, đặt
z
z z .
z 1
2
z 1 z
2
=
=
Theo tính chất 5 ta có:
z z .
z z .
z
, hay
.
z 1
2
= ⇒ = 2
z 1 z
z 1 z
z 1 z
2
2
2
♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module:
=
Tính chất 7:
z z 1 2
z z 1
2
+
+
=
)
(
+ )
(
-
Chứng minh: = ( z z 1 2
x 1
)( y i x 1 2
y i 2
x x 1 2
y y 1 2
+ x y 1 2
) x y i 2 1
=
+ 2
= 2
+ 2
+ 2
+ 2
⇒
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 ) , (1)
z z 1 2
x x 1 2
y y 1 2
+ x y 1 2
x y 2 1
x x 1 2
x y 1 2
x y 2 1
y y 1 2
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
z
(
)
(
)
(
)
(
2 ) , (2)
.
x x 1 2
x y 1 2
x y 2 1
y y 1 2
2 y 1
2 x 2
2 x 1
2
2 z y 1 2 Từ (1) và (2) ta có (đpcm)
z 1
=
-
Tính chất 8:
z 1 z
z
2
2
Chứng minh:
(
+ x x 1 2
) x y i 1 2
=
=
=
+ +
+ +
- -
z 1 z
2
x 1 x 2
y i 1 y i 2
( x 1 ( x 2
)( y i x 1 2 )( y i x 2 2
) y i 2 ) y i 2
+ ) y y 1 2 + 2 x 2
2
2
(
)
y
-
2 x 1
2 y 1
2 x 2
2 2
+
=
=
(1)
2
+ +
+
+
( x y 2 1 2 y 2 )( +
z ⇒ = 1 z 2
x x 1 2 2 x 2
y y 1 2 2 y 2
+ 2 x 1 2 x 2
2 y 1 2 y 2
+ (
+ )
x y 2 1 ( 2 x 2
x y 1 2 ) 2 y 2
y
2 x 2
2 2
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
-
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Nhận xét :
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
= ⇒ =
Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt
z z .
z
z 1
2
z 1 z
2
z 1
z 1
=
=
=
Theo tính chất 7 ta có:
.
z z .
z z .
⇒ = z
, hay
z 1
2
2
z
z 1 z
z
2
2
2
+
z
z
£
Tính chất 9:
z 1
2
+ z 1
2
Chứng minh:
2
2
+
+
+
+
z
z
+ (
)
+ (
y
)
y
z 1
2
+ z 1
2
x 1
+ x 2
y 1
2
2 x 1
2 y 1
2 x 2
2 2
2
£ (cid:219) £
+ 2 )
y
)
+ y
y
)
x 2
2
+ 2 x 1
+ 2 x 2
+ 2 2 ( x 1
2 y 1
+ 2 )( x 2
2 2
2
2
2
2
2
(cid:219) £
+ y ( 1 )
+ x ( 1 (
(
)
(
)
)
(
(
)
+ x x 1 2
y y 2 1
+ x x 1 2
+ 2 x 2 + x y 2 1
2 2 + x y 1 2
y y 1 2
2
(cid:219) £
(
)
0
x y 1 2
x y 2 1
(cid:219) - ‡
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau :
=
+
=
z
z
(1
i
i )(3 2 )
z
+ (2 3 ) i
+ - (1
i
)
- -
a.
b.
c.
7 2 i i 8 6 +
=
=
+
-
z
-
d.
e.
(5
z
i
i )(2 3 )
i i
= 1 1
-
=
=
=
=
i
- - - -
a.
z
2
+ i i (7 2 )(8 6 ) + 2
Hướng dẫn giải: 17 25
13 50
8
6
i 7 2 i 8 6
+ i 7 2 = + i 8 6
i 7 2 i 8 6
=
+
- -
(1
= + 1
+ 2 1
+ 2 2 1 . 3
= 2 2
26
- -
b.
z
i
i )(3 2 )
i
= i 3 2
=
1
c.
z
+ - = + i
i
i 2 3
+ + = - i
i 3 2
(1 +
+ i (2 3 ) +
1
i
=
=
=
=
1
z
d.
1 1
1
i i
i
+ - = - i ) 2 3 1 + 1 1 + 1 1
+
=
=
- -
(5
(5
z
= + i )(2 3 ) 5
= i i .2 3
i
+ + i i )(2 3 ) 13 13
i
- - -
e. Ví dụ 2. Tính module của các số phức sau
+
= - +
1 3i
= + 3 2i
a. z(1 2i)
b.
) = -
( - + 1 2i
= 5 6i z
c.
d.
Hướng dẫn giải:
- z + 2 3i z - + 1 3i + 2 i 1 i - + 1 3i + 2 i
Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có:
⇒ = z
= - + = = (cid:219) = - + ⇒ + + z(1 2i) 1 3i z(1 2i) 1 3i + z . 1 2i 10 2
a.
10 5
⇒ = z
z = + = (cid:219) = + ⇒ 3 2i 3 2i 13 13. 10 130
b.
- + - + z 1 3i = 1 3i z - + 1 3i
) = -
⇒
( - + 1 2i
⇒ = z
= - (cid:219) (cid:219) 5 6i 6 4i 6 4i = 52 2 13 26
c.
z + 2 3i z = - + 2 3i z + 2 3i z = + 2 3i
⇒
⇒ = z
- + 1 3i (cid:219) (cid:219) = z z = . z . z
d.
3
+ - - - + 2 i 1 i - + 1 3i + 2 i + 2 i 1 i - + 1 3i = + 2 i 2 i 2 5 5 5 = 2 10 5
(
)
+ = - - z 2 z 2 i (1) + 2 i 1 i ) ( 1 i
Ví dụ 3. Tìm số phức z biết
= +
a bi
⇒ = - z
a bi
Hướng dẫn giải:
3
2
2
3
(cid:219) +
Giả sử z
+ a bi
2(
= a bi
)
+ (2
+ 3.2
i
+ 3.2 i
i
)(1
i
)
(cid:219) +
+
- - (1)
+ a bi
2
a
= 2 bi
i (8 12
- = 6 i
)(1
+ ) i
i (11
2)(1
i
)
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
- - - -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
=
a
2
= a bi 3
i 11
+ - i 11
+ = 2 2 i
i 13 9
⇒ = z
i 9
13 9
13 3
= 3 a - = b
13 3 9
= - b
+
z
z 1
2
= +
2 3 ,
i z
= + . Tính i
1
;
;
z 1
z+ 23
(cid:219) - - (cid:219) (cid:219) -
Ví dụ 4. Cho 1 z
2
3 z 1
z+ 23
z
2
2
2
+
= +
+ +
= +
=
+
⇒
5
6
61
i 2 3
i 3 3
i 5 6
z 1
Hướng dẫn giải: = z+ 23
z +) 1
z 23
(
)
+
+
+
+ 3 4 i
i
z
z
7
i
2
z 1
2
=
+
=
=
=
=
z ⇒ 1
+)
-
z
+ i 3 4 + i 1
)( 1 2 i
1
2
z
49 4
1 4
5 2 2
2
2
2
3
+
= +
+
+
=
-
+)
i 8 36
i 54
27
i
= - 3 3 i
+ 49 6 i
2437
3 z 1
z 23
⇒ 3 z 1
z+ 23
2
- -
(
) (
)
+ = - z 3 z i 3 2 + 2 i (1)
Ví dụ 5. Tìm số phức z biết:
Hướng dẫn giải: Giả sử z = a + bi, ta có:
)
(
)
(
)( + = 2 2 i 4
) ( + 5 12 . 2 i
(cid:219) - - - (1) + a bi + 3 a = 3 bi + 9 12 i i i
2
3
- + = (cid:219) - - - - (cid:219) = a = ; b . Vậy z i + 4 a = 2 bi i 10 24 i 5 = 12 i i 22 19 11 12 19 2 11 19 2 2
(
) (
)
+ = + - z 3 z 2 i 2 i (1)
Ví dụ 6. Tìm phần ảo của z biết:
2
3
Hướng dẫn giải: Giả sử z = a + bi
) +
(
)
(
)( - = 2
) ( i 2 11 . 2
(cid:219) + + - - (1) + a bi a 3 = 3 bi + 8 12 i + 6 i i i i
= + 2 (cid:219) - - 4 a = - 2 bi + 4 2 i i 22 i 11 i 20 15 (cid:219) = a 10 . = - ; b 15 4
Vậy phần ảo của z bằng -10
)2
( + 2) 1
- (1 i i + = z 2 z (1)
Ví dụ 7. Tìm môđun của z biết
2
- 2 i
)2
+
)
+
- (1 i i - i 2 = (cid:219) + - (1) + a bi 2 a = 2 bi - - Hướng dẫn giải: ( + + 2) 1 2 i 2 i 2 2 i 2 i
( 2 2) 2
i (2
i
i
+ =
= 3 a bi
2
4
+ (4 2 2) 4 2 2 5
- (cid:219) - -
= ; b
(cid:219) = a
i 4 2 2 5
4 2 2 15
+ -
+
+
+
+
=
⇒ = z
32 4 16 2 144 72 144 2 225
225 128 2 15
)
= - 2
i
(1)
- - -
Ví dụ 8. (A +A1 năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn
+ z 5( + z
i 1
2
Tính môđun của số phức
w = + + 1 z
z
.
Hướng dẫn giải:
Giả sử z = a + bi
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
2
- 5( (cid:219) (1) 2 i + a bi + + a bi ) i = - 1
a
i
(cid:219) - - -
a 5 a 3
- = 5 ( i b 2
+ 1) 2 b i b (5
+ - 2 bi + + = 5 2
2 b a
ai bi 1) 0
(cid:219) - - - - -
0
1
⇒
⇒ = + z
1
i
- = 2 b + - =
4 0
1
3 a 3 b a
= a = b
w
= + + + +
w
+ =
1 1
i 1 2
i
- = + ⇒ = i 1 2 3
4 9
13
+
+
= +
(2
(1)
- (cid:219)
Ví dụ 9. (D - 2012) Cho số phức z thỏa mãn:
i z )
i 7 8
+ i 2(1 2 ) +
1
i
Tìm môđun của số phức
w = + + 1z i
Hướng dẫn giải:
= +
Giả sử z
a bi
(1)
+ (2
+ + ) )( i a bi
i 7 8
+ i 2(1 2 ) = + +
1
i
(cid:219)
) i = +
+ 2 a
+ + + 2 bi ai bi 2
i 7 8
i +
+ 2(1 2 )(1 2 1
i
- + =
a b
3 7
2
= a
3
2
- (cid:219)
+ 2 a
+ 2 bi ai bi
+ - + 1
i
= + 2 i 2 i
i 7 8
+ + =
=
b a 2
1 8
2
b
w = +
w⇒ =
Do đó
i 3 2
+ + = + i
i 4 3
1
16 9
+ = .
5
2
2
(cid:219) - - (cid:219) (cid:219)
= + z z z (1)
Ví dụ 10. (A - 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết
2
2
)2 =
( + a bi
2 2 b i
= b
;
1 2
2
0
=
+ + (cid:219) (cid:219) (1) + 2 a + - 2 b a bi a Hướng dẫn giải: + - = 2 a 2 + abi b a bi
+ - 2 b 2
a bi
= (cid:219) 2 abi
0
b
0
b 2 +
+ = a = = ab
2
0
b
(cid:219) - (cid:219)
=
=
a
;
b
= - a
1 2 a 0; 1 2
1 2
- -
=
=
=
Vậy
z
0;
z
i z ;
i
1 1 + 2 2
1 1 2 2
- - -
z
1)(1
+ + ) i
+ z
(
1)(1
- = - i
) 2 2 (1)
i
-
Ví dụ 11. (A - 2011) Tính môđun của số phức z biết (2
Hướng dẫn giải:
(1)
+ (2 a
bi 2
+ + 1))(1
i
)
+ a bi
(
- = - 1)(1
i
i ) 2 2
+ - = - 2
+
(cid:219) - -
+ 2 a
+ 2 ai
+ 2 bi
bi 2
- + - 2 1
i a ai bi bi
1
i
i 2 2
+
(cid:219) - -
a 3
+ 3 ba ai bi
(cid:219) - -
2
2 2 i 1 3
+
=
z =
.
Suy ra
2
1 9
1 9
2 3
= b a 3 3 + - = - a b 2
= - 2 i = a = b
1 3
- (cid:219) (cid:219) -
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau :
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
+
=
+
)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
- -
2. (
1. z
(2 5i)(3 i)
+ = 1 i z 3 2i 4z
=
=
-
3.
4.
z
z
+
= - +
+
( 1 3i)(2 i)
-
=
+
- -
1 (3i 4)(2 i) = + + 4 5i ) ( = -
8.
z
+ 4 3i
5. z(2 3i) ) 7. ( + 1 3i z
7 5i
5 8i 2 3i
= +
=
- - -
10.
9. z
(1 2i)(2 4i)
z
-
3i 7 + 10 i + 6. (1 2i)z + 3 7i + 2 3i 3 4i 2 i
=
- +
=
- -
11.
12. z
(2 i)( 3 2i)(5 4i)
z
+
=
+ -
=
+
- -
14.
13.
z
5 4i
z
(3 2i)(4 3i) 1 2i
+ 7 i 2 i + 5 5i 3 4i
=
- -
15.
z
+
(
)
20 + 4 3i + 2 3i )( 4 i 2 2i
-
Bài 2. Tìm số phức z biết
3
=
+
- = - 1 1
z
i 2
z
- -
a)
b)
c)
z z .
3(
z
= - ) 1 4 i
z
( 2 + 1
) i i 2
Bài 3. Tính mô-đun của số phức z biết
1
i
i z (2 3 )
=
+ - 2
i
- -
a)
2
z
z
3
i
)
= -
=
+ - i 4 3 (1
3 ) ;
i
.
Tính mô-đun của số phức
- -
b) Cho số phức
z
z z 2. 1
z 1
= z 2
+ 1 2 i 1
(1 + i
-
)3
( 1
i 3
=
z
iz+ .
z
.
Tín mô-đun của số phức
c) Cho số phức
1
i
2012
2012
-
Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
= - + ( 1
z
i 3 )
+ + (1
i 3 )
2013
2012
+
'z
= + z
iz
z
+ = 1
i
i
.
Tìm
'z biết
Bài 5: Cho số phức
Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
2
2
2 + =
z
z= 2
- z 1 0 z
a)
b)
2
+
i
2
=
i
z z+
c)
= 0
d)
+
( ) z z
1
Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
) = +
+
+
i 4 6
- - -
a)
b) (
z
z
)(1
+ + ) i
(
z
= - )(2 3 ) 4 i
z
i
2
z 1 2 z
+ z + i z+ 2
z
i z+
z i z ( 2 2 i = 0
-
c)
d)
= 0
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
2
z
8
2
z
= - 1 i 3
i z
z
+ = z
- - - z
a)
b)
và
z
2
2
2
là số thuần ảo. 9 z - = + z ( z 1)(1 + + ) i - = + z 1 z 3 z z+
d)
và
= 2
c)
- z 1 1 i
Bài 9. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
2
2
- =
z z+
2 0
z
a)
b)
=
iz 2
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com = z + z
2
+ +
=
+ - 2 z 4 z = z 5
d)
c) 4
z
i z (1 3 )
+ 25 21 i
35 8
Bài 10. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
z
z
3
10
4
2
iz
z+
22 ( z
= - z z 5)
a)
c)
+ = 1 0
b)
+
=
z
i 3
2
109
+ + - = 3
là số thực và
.
- + - = i 2 5 z 1
Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )i z
- - - - 37(1 i z ) ( z = .
Bài 12. Tìm số phức z biết:
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
+ 2 )( 1 6 ) i i z 1 10
