Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 2)" cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ có kèm theo hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN KHO NG CÁCH TRONG HÀM S Th y III. T NG KHO NG CÁCH N HAI TR C T A - P2 ng Vi t Hùng Gi s có th hàm s y = f(x) trong ó f(x) hàm phân th c b c nh t. Bài toán t ra là tìm i m M thu c th có t ng kho ng cách t M n hai tr c t a Gi s M ( a; f ( a) ) , t ng kho ng cách t M n các tr c t a là d = a + f (a)  M 0 ( 0; y0 ) G i  là giao i m c a  M 0 ( x0 ;0 )  Ox, Oy nh nh t. th và tr c Ox ho c Oy (thông thư ng ta l y giao v i tr c Ox). Khi ó d = y0 = k > 0 a 1). Khi 0 ≤ xo < 1  d = xo − → nh hơn 1, ta ch c n xét hàm d khi |xo| < 1, (vì khi |xo| > 1  xo = −1 2 xo − 1 3xo + 1 9 x 2 + 6 xo − 3 =  d ′ = o → =0⇔  2  xo = 1 3xo + 1 3 xo + 1 ( 3xo + 1)  3  1 2 L p b ng bi n thiên ta ư c d min = d   = . 3 3 Khi −1 < xo < 0  d = − xo − → 2 xo − 1 −3 xo − 2 xo + 1 −4 =  d ′ = → 2  d = a + → NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 2a − 4 ≥ a > 2  d > 2, ∀ a > 2 → a +1 2a − 4 2a − 4 2a − 4 2a − 4 N u > 2  d = a + → ≥ > 2  d > 2, ∀ → >2 a +1 a +1 a +1 a +1 a ≤2 1  Do ó, tìm GTNN c a d, ta ch xét :  2a − 4 ⇔ ≤ a ≤ 2. , (*) 2 ≤2   a +1 1 4 − 2a 6 6 V i < a < 2  d = a + → =a−2+ = a +1+ − 3 ≥ 2 6 − 3, 2 a +1 a +1 a +1 D u “=” x y ra khi a = 6 − 1 (th a mãn (*)). (2) T (1), (2) suy ra d min = 2 6 − 3 ⇔ a = 6 − 1  M → V y i m M c n tìm là M = ( 6 − 1; 2 − 6 ) ( 6 − 1; 2 − 6 ) IV. KHO NG CÁCH GI A HAI I M TRÊN HAI NHÁNH C A TH g ( x) k . =α+ h( x ) x−a th có ti m c n ng x = a, khi ó ph n th n m bên ph i x = a ư c g i là nhánh trái c a n m bên ph i ư ng x = a ư c g i là nhánh ph i c a th . G i M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) tương ng là các i m thu c nhánh trái và nhánh ph i c a th . Gi s có th hàm s y = f ( x) = a − x1 > 0 Khi ó x1 < a < x2 ⇔   x2 − a > 0 Kho ng cách gi a hai i m MN ư c cho b i MN = th , ph n th ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) = 2 ( x2 − x1 ) 2  k k  + −   x2 − a x1 − a  2 t1 = a − x1 ⇒ t1 > 0  x1 − a = −t1 ⇔ t  t2 = x2 − a ⇒ t2 > 0  x2 − a = t2 Thay vào bi u th c tính MN và dùng Cô-si ánh giá ta thu ư c MNmin. x+3 Ví d : [ VH]. Cho hàm s y = , (C ) . x−3 Tìm trên (C) hai i m A, B thu c hai nhánh khác nhau sao cho dài AB ng n nh t . Hư ng d n gi i: x+3 6 Ta có y = =1+ x −3 x−3  6   6  G i A  x1 ;1 +  ; B  x2 ;1 +  là các i m thu c x1 − 3   x2 − 3   th hàm s ⇒ AB = ( x2 − x1 ) 2 2  6 6  + −   x2 − 3 x1 − 3  2 3 − x1 > 0 Gi s A thu c nhánh trái và B thu c nhánh ph i, khi ó x1 < 3 < x2 ⇔   x2 − 3 > 0 t1 = 3 − x1 ⇒ t1 > 0  x1 − 3 = −t1 t  ⇔ ⇒ x2 − x1 = t2 + t1 t2 = x2 − 3 ⇒ t2 > 0  x2 − 3 = t2 Ta có AB = ( t2 + t1 ) 2 2  6 6 36 36 72  2 36   2 36   72  2 +  +  = t12 + t2 + 2 + 2 + 2t1t2 + =  t1 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 +  t1t2  t1t2  t1 t2 t1   t2    t2 t1  2 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y t12 + NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 36 36 ≥ 2 t12 . 2 = 12 t12 t1 36 2 36 ≥ 2 t2 . 2 = 12 2 t2 t2 72 72 ≥ 2 2t1t2 . = 24 t1t2 t1t2 Theo b t ng th c Cô-si ta có 2 t2 + 2t1t2 +  36   2 36   72  Khi ó AB 2 =  t12 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 +  ≥ 12 + 12 + 24 = 72 ⇒ AB ≥ 6 2 t1t2  t1   t2     2 36 t1 = 2 t1 t1 = 6   A 3 − 6;1 − 6     2 36   t1 = 6  x1 = 3 − 6  ⇒ ABmin = 6 2 ⇔ t2 = 2 ⇔ t2 = 6 ⇔  ⇔   → t2 t2 = 6  x2 = 3 + 6  t t = 6  A 3 + 6;1 + 6     12  72 2t1t2 = t1t2   ( ( ) ) V. M T S BÀI TOÁN KHO NG CÁCH K T H P V I TƯƠNG GIAO Cho hàm s Hai Gi s (C ) : y = ax + b và ư ng th ng d : y = mx + n. cx + d th c t nhau t i hai i m phân bi t A, B khi phương trình A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) ax + b d = mx + n có hai nghi m phân bi t khác − . cx + d c là các giao i m, khi ó A ( xA ; mxA + n ) , B ( xB ; mxB + n ) 2  AB = → ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) = ( x A − xB ) 2 +m 2 ( x A − xB ) 2 = (m 2 2 + 1  ( x A + xB ) − 4 x A x B    ) x A − xB m2 + 1 giao i m ta ư c k t qu c a bài toán.  −b + ∆  xA = ∆ 2 ∆′  2a Ngoài cách bi n i trên ta có th th c hi n như sau :   xA − xB = → = a a −b − ∆ x =  B 2a  ∆ 2 ∆′ Khi ó AB = x A − xB m 2 + 1 = . m2 + 1 = . m2 + 1 a a S d ng Vi-ét cho phương trình hoành ( ) 2x + 4 . 1− x G i d là ư ng th ng i qua M(1; 1) có h s góc là k .Tìm k d c t (C) t i hai i m A, B sao cho AB = 3 10. Hư ng d n gi i: ư ng th ng d qua M(1; 3) và có h s góc k nên d : y = k(x −1) + 1. 2x + 4 Phương trình hoành giao i m: = kx + 1 − k ⇔ g ( x) = kx 2 + ( 3 − 2k ) x + k + 3 = 0, (1) 1− x hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. k ≠ 0 k ≠ 0  k ≠ 0 2  Ta có i u ki n: ∆ = ( 3 − 2k ) − 4k ( k + 3) > 0 ⇔  ⇔ 9 ( *) 9 − 24k > 0 k <  g (1) = 6 ≠ 0  24  V i i u ki n (*) thì d c t (C) t i hai i m A, B. 3k − 3 3   x1 + x2 = k = 3 − k  Theo nh lí Vi-ét ta có  x x = k + 3 =1+ 3  1 2 k k  Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s (C ) : y = Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 2 G i A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) 2 + k 2 ( x2 − x1 ) = (k 2 2 + 1) ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2    2  3 12  Theo gi thi t ta có AB = 3 10 ⇔ AB 2 = 90 ⇔ ( k 2 + 1)  3 −  − 4 −  = 90 k k    ⇔ ( 9 − 24k ) ( k 2 + 1) = 90k 2 ⇔ 24k 3 + 81k 2 + 24k + 9 = 0 ⇔ 3 ( k + 3) ( 8k 2 + 3k − 1) = 0  k = −3  k = −3   2 → ⇔  k = −3 ± 41 8k + 3k − 1 = 0  16  (**) V y v i k th a mãn (**) thì d c t (C) t i A, B và AB = 3 10. 3x − 2 Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = . x −1 Vi t phương trình ư ng th ng d i qua M(1; 3) c t (C) t i hai i m phân bi t A, B sao cho AB = 2 3. Hư ng d n gi i: ư ng th ng d qua M(1; 3) và có h s góc k nên d : y = k(x −1) + 3. 3x − 2 Phương trình hoành giao i m: = kx + 3 − k ⇔ g ( x) = kx 2 − 2kx + k − 1 = 0, (1) x −1 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. k ≠ 0 k ≠ 0  ⇔ k > 0 ( *) Ta có i u ki n:  ∆ ' = k 2 − k ( k − 1) > 0 ⇔  k > 0  g (1; k ) = −1 ≠ 0  G i A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) 2 + k 2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1 2 k2 +1 . Trong ó x1; x2 là hai nghi m c a phương trình (1). 2 ∆' 2 k T ó ta ư c AB = . k2 +1 = . k 2 + 1 = 2 3 ⇔ k ( k 2 + 1) = k a k ⇔ k 2 + 1 = 3k ⇔ k 2 − 3k + 1 = 0 ⇔ k = i chi u v i (*) ta ư c k = 3± 5 . 2 3 ⇔ k ( k 2 + 1) = 3k 2 3± 5 là giá tr c n tìm. 2 2x Ví d 3: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = . x −1 Tìm các giá tr c a m ư ng th ng d : y = mx − m + 2 c t th (C) t i hai i m phân bi t A, B sao cho o n AB có dài nh nh t. Hư ng d n gi i: 2x Phương trình hoành giao i m: = mx − m + 2 ⇔ g ( x) = mx 2 − 2mx + m − 2 = 0, (1) x −1 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. m ≠ 0 m ≠ 0   m > 0 ( *) → Ta có i u ki n: ∆ ' = m 2 − m ( m − 2 ) > 0 ⇔  2m > 0  g (1) = −2 ≠ 0  Gi s A ( x1 ; mx1 − m + 2 ) ; B ( x2 ; mx2 − m + 2 )  AB = → ( x2 − x1 ) 2 + m 2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1 2 m2 + 1 2m ( m 2 + 1) 2 ( m 2 + 1) 2 ∆' 2 2m 2 2 ⇔ AB = . m +1 = . m +1 = 2 =2 ≥ 2 4 = 4. a m m2 m V y ABmin = 4 khi m = 1. 2x + 1 Ví d 4: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = . x+2 Tìm m ư ng th ng d : y = −x + m c t (C) t i hai i m A, B sao cho AB nh nh t. Hư ng d n gi i: Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y Phương trình hoành giao i m: : NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 2x + 1 = − x + m ⇔ g ( x) = x 2 + (4 − m) x + 1 − 2m = 0, x+2 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác −2.  2  ∆ = ( 4 − m ) 2 − 4 (1 − 2m ) > 0  m + 12 > 0 3  Ta có i u ki n:  ⇔  m ≠ (*) → 3 2  g (−2) = 2m − 3 ≠ 0 m ≠  2  Gi s A ( x1 ; − x1 + m ) ; B ( x2 ; − x2 + m )  AB 2 = ( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 ) = 2 ( x2 − x1 ) → 2 2 2 (1) ⇔ AB = x2 − x1 2 = ∆ 2 = 2. m 2 + 12 ≥ 2 12 = 2 6 ⇔ m = 0 . Khi m = 0 thì AB nh nh t b ng 2 6. VI. M T S BÀI TOÁN KHO NG CÁCH K T H P V I TI P TUY N 2x + 1 5 . =2+ x−2 x−2 G i d là ti p tuy n c a (C) t i M(0; 1). Hãy tìm trên (C) nh ng i m có hoành n d là ng n nh t. Hư ng d n gi i: 5 5 Ta có : y′ = − ⇒ y′(0) = − . 2 4 ( x − 2) Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s (C ) : y = x > 1 mà kho ng cách t ó 5 5 ( x − 0) + 1 = − x + 1 ⇔ 5x + 4 y − 4 = 0 4 4 G i M ( x; y ) ∈ (C ) v i x > 1. Kho ng cách t M n d là d(M; d) thì Phương trình ti p tuy n d t i M : y = − 5x − 4 y + 4 5  1 20  5x + 4  2 + 5x + 4 + −4 = x−2 x−2 25 + 16 41 41 41  x = 0 20 20 ⇒ g ( x) = 5 x + 4 + , ( x > 1) ; g '( x) = 5 − =0⇔ 2 x−2 ( x − 2) x = 4 L p b ng bi n thiên, ta th y min g(x) = g(4) = 34 34 9  9 K t lu n : min h( M ;d ) = khi x = 4; y = ⇒ N  4;  . 2 41  2 2x + 1 Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = . x−2 Tìm hai i m M, N thu c (C) sao cho ti p tuy n t i M, N song song v i nhau và kho ng cách gi a hai ti p tuy n là l n nh t. Hư ng d n gi i: 2x + 1 5 5 Ta có y = =2+ ⇒ y′ = − . 2 x−2 x−2 ( x − 2) ⇒ d ( M ;d ) = = 1 5x − 4 y + 4 = 1 5  2 kM = − ( x1 − 2 )  G i M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) , ( x1 ≠ x2 ) ⇒  5 k = − N 2  ( x2 − 2 )  N u hai ti p tuy n song song v i nhau thì 5 5 2 2 kM = k N ⇔ − =− ⇔ ( x2 − 2 ) − ( x1 − 2 ) = 0 ⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 − 4 ) = 0 2 2 ( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) ⇔ x1 + x2 − 4 = 0 ⇔ x1 − 2 = 2 − x2 Kho ng cách hai ti p tuy n ng n nh t khi MN vuông góc v i hai ti p tuy n ⇔ kMN .kM = −1 Trong ó k MN = ( *)  −5 ( x2 − x1 ) y2 − y1 1 5   5  5 = =−  2 +  −2+  = x2 − x1 ( x2 − x1 )  x2 − 2   x1 − 2   ( x2 − x1 )( x2 − 2 )( x1 − 2 ) ( x2 − 2 )( x1 − 2 ) Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!