Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

02. BÀI TOÁN VỀ QUỸ TÍCH PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức]

I. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN

a) Đường thẳng Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường thẳng nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng : Ax + By + C = 0. b) Đường tròn Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường tròn nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường tròn (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2, trong đó I(a ; b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường tròn. c) Đường Elip Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương

2

2

+

trình đường elip

(

E

) :

= , trong đó a, b tương ứng là các bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip.

1

2

2

x a

y b

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)Chú ý : (cid:2) Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm các tiêu điểm thì theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, và đồng thời AB = 2c, là độ dài tiêu cự của elip. (cid:2) Mối quan hệ giữa các đại lượng a, b, c của elip là a2 = b2 + c2

II. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH

- -

Ví dụ 1: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]. d) |z| £ 2 e) 2 £ |z| £ 3 f) |z –1 + 2i| £ = z i g) 2

2 z 2

2

1

Lời giải:

1.

x £

1 và

x £

y £

3

2

2

2

£ (cid:219) £ (cid:219) £

Gọi z = x + yi và M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z. a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z, tức là x = 2y, hay x – 2y = 0. Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d : x – 2y = 0. b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1], tức là –2 £ Vậy quỹ tích các điểm M(z) là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = –2 và x = 1 c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3], tức là –2 £ 1 £ Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình chữ nhật ABCD giới hạn bởi bốn đường thẳng x = –2 ; x = 1 ; y = 1 và y = 3. + 2 x

+ 2

2

4

y

x

y

z

d) Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(0; 0), bán kính R = 2, (kể cả những điểm nằm trên đường tròn) Cách giải khác: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z M1 là điểm biểu diễn số phức z1 = 0 ⇒ M1(0; 0)

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

2, (1)

2

2

2

2

2

2

+ £ 9 x y + £ £ (cid:219) £ £ (cid:219) £ £ (cid:219)

e)

2

2

2

2

2

Theo bài toán tiền đề ta được |z – z1| = MM1, hay |z | = MM1 Từ đó ta được MM1 £ Do điểm M1 cố định, nên từ (1) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M1(0; 0), bán kính R = 2.     Vậy quỹ tích các điểm M(z) là hình vành khăn giới hạn bởi hai hình tròn đồng tâm (C1): x2 + y2 = 4 và (C2): x2 + y2 = 9 - +

+

2 + 3 4 9 3 2 y x y x z + ‡ 4 x y

(

(

)

(

(

)

£ (cid:219) £ (cid:219) - £ (cid:219) - £

f)

( - + x

2

) + 1

y

z

i 1 2

x

) 1

( + x

) 1

i

2

) 2 + 2

y

y

2

4

+ 2

2

2, (2)

= - x

yi

- - = z 1 2 2 z Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(1; –2), bán kính R = 2, (kể cả những điểm nằm trên đường tròn) Cách giải khác: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z M1 là điểm biểu diễn số phức z1 = 1 – 2i ⇒ M1(1; –2) Theo bài toán tiền đề ta được |z – z1| = MM1, hay |z –1 + 2i| = MM1 Từ đó ta được MM1 £ Do điểm M1 cố định, nên từ (2) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M1(1; –2), R = 2. g) 2 i

, từ đó ta được:

) +

(

(

)

(

z

( = x

yi

x

) + yi

= x

i

x

yi

2

2

2

2

+

- - (cid:219) - - - (cid:219) - Ta có z = z 2 i 2 2 1 2 i 2 2 1 2 2 2

(

+ (

+ 2 x

4

( + y

4

) 2 = 1

2

x

) + 1

4

y

4

x

+ 4

+ = 2 y y 2

+ + 2 4 x 4

x

4

y

- + 2 2 y ( ) 1

) 1 ) 1

(cid:219) - (cid:219) -

- + - = i

z

z

z

z+ + = 3 4

(cid:219) 4x + 8y + 3 = 0 Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d: 4x + 8y + 3 = 0

1 2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a)

b)

+ = - i

c) 2 z

z

Lời giải:

+

(

(

)2

( + x

+ yi

x

z

z

= (cid:219) + = (cid:219) x x

+ + = (cid:219) 3 4

) + = (cid:219) 3 yi

1 - Giả sử số phức z = x + yi, có điểm biểu diễn là M(x; y). ) 4 3 4 3 2

a)

= -  x  = - x 

+

=

5

(

)

(

+ y

yi

x

x

z

z

i

i

i

y

- + - = (cid:219) 1

( = (cid:219) 1

)2 1

- - - - Vậy quỹ tích các điểm M(z) là hai đường thẳng x = –1 và x = –5 ( ) ) + - = (cid:219) + 1 yi 2 1 2 2 2 2 1 2

b)

+ 1 3

(

)2 = 1

2 - ⇒ (cid:219) + 1 2 y 4 ⇒ - = 2 y 1 3 - 1 3

 = y   = y  2

– 1 3 = y . Vậy quỹ tích các điểm M(z) là hai đường thẳng

( +

(

) +

2

+ = - i

z

(cid:219) + z

2

x

) = - yi

+ i

yi

( 1

x

(cid:219) 2 ) = - + - 2 yi

c)

2

2

+

+

)

x (

( + x ) = 4

( + x

) 2 + 2

+ - 2 x

+ 4 x

( 1

+ 2 y

+ 2 x

= 2 y

y

x

) y i ) 1

+ (cid:219) 2 y

2

y

+ = 4 x

2

y

3 0

(cid:219) (cid:219) -

( Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d: 4x + 2y + 3 = 0

+

= + + 2 i

z+ + = 1 3

- + + = i 2

2 5

i 3

z

z

z

z

z

Ví dụ 3: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a)

b)

c)

Ví dụ 4: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

2

-

a)

z

( )2 z+

= 4

i c) 2

= z

2

+ z

2

3

b) 2

iz

+ = i

2

+ - 1

z

i

Ví dụ 5: [ĐVH]. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

là số thực

a)

là số thực

-

b)

+ +

i i i 2)(

+ z

i

)

là số thực

-

2z z z z c) ( z

+

z

i 2

- = + z

1

i

. Tìm các điểm M biểu diễn số phức z

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức

+ = i

z

2

z

- + 3 i

1

. Tìm các điểm M biểu diễn số phức z

sao cho MA ngắn nhất, với A(1; 4). Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2

sao cho MA ngắn nhất, với

. A 1;       3 4

M

1;

.

Đ/s:

  

  

5 4

- -

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: [ĐVH]. Cho số phức z = a + bi . Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để

a) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = –2 và x = 2

b) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = –3i và y = 3i

c) Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2

Bài 2: [ĐVH]. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:

z

2

và phần ảo lớn hơn hoặc bằng

.

£ £

a) 1

+ <

b) z 1 1

1 2

c) 1

< - < z i

2

- = d) 2iz 1

+ 2 z 3

là số thực tùy ý, (

) + 2 z (i

) + 2 z (i

z)

z)

- -

Bài 3: [ĐVH]. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn: a) (

là số ảo tùy ý.

- = - +

z

z 2i

- -

c) 2 z i

= b) z (3 4i)

2

2

= 2

z

(z)

4

-

d)

Bài 4: [ĐVH]. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:

= + - z

z 2i

-

b) 2 z 3i

- + = a) z 1 i

2

+ + -

=

- -

c) z 1

- + + = z 1

4

d) z 1 2i

z 3 2i

6

Bài 5: [ĐVH]. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:

.

)1;3

-

.

-

a) Phần thực của z bằng 2. b) Phần ảo của z thuộc khoảng ( c) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [

]2; 2

Bài 6: [ĐVH]. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:

<

£

a) z

3£

b) 1

z

3

c) z

4>

d) z i

+ < 1

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

+

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 7: [ĐVH]. Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ( 1

( + - 1

) = i z

) i z

+ z

2

1

+

2

1

= -

(

)

y

;

> x

0

Đ/s: Quỹ tích là đường

x 2

x

+

=

(

+ + z

z

z

) z i

2

z

Bài 8: [ĐVH]. Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

=

)

Đ/s: Quỹ tích là đường

y

( x x ;

0

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

‡