Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
02. BÀI TOÁN VỀ QUỸ TÍCH PHỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức]
III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ QUỸ TÍCH PHỨC
-
z 1
= z M M 2 2
1
2
fi M1(x1 ; y1), M2(x2 ; y2). Cho hai số phức z1 và z2 được biểu diễn bởi các điểm tương ứng là M1 và M2. Khi đó Chứng minh: Giả sử z1 = x1 + y1i ; z1 = x2 + y2i (cid:190) Từ đó ta được:
(
(
)
)
(
(
)
(
) 2 + x 2
2
) = y i 2
) y i 2
2
( (
)
2 +
2
2
(
)
(
)
2
2
=
- - - - - - z y z 1 = 2 x 1 y 1 + x 1 y i 1 + x 2 x 1 + x 2 y 1 (cid:219) Khi đó = - - = - - x 2 x y ; 1 y 1 - = z z 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) M M 1 y M M 1 x 1 x 2 y 1
z 1
z M M 2
1
2
(cid:190) (cid:190) fi -
z
+ + i z 4
= i 4
10
- Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn , (1)
Hướng dẫn giải:
2
2
2
2
2
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z A là điểm biểu diễn số phức z1 = 4i ⇒ A(0; 4) B là điểm biểu diễn số phức z2 = –4i ⇒ B(0; –4) Khi đó, (1) (cid:219) MA + MB = 10, (2) Hệ thức trên chứng tỏ quỹ tích các điểm M(z) là elip nhận A, B làm các tiêu điểm.
2
2
+ = > = + Gọi phương trình của elip là b 1, ( a b ; a c ) y b
2
2
x a Từ (2) ta có 2a =10 ⇒ a = 5. AB = 2c (cid:219) 8 = 2c ⇒ c = 4, từ đó b2 = a2 + c2 = 41
+
= 1
)
3
z
i
+ 2
z -
1
2
£ x y+ Vậy quỹ tích M(z) là Elip có phương trình 25 41 Ví dụ 2: [ĐVH]. Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức ( 1 trong đó .
=
+
=
Hướng dẫn giải: -
)
z
w
( 1
i
3
z
+ thì 2
w + 1
i
Đặt .
2
+
+
+
- £ (cid:219) - £ (cid:219) - £ (cid:219) - £
(
)
(
)
3
w
3
i
2 1
i
3
3
w
3
i
4
z -
1
2
2
2 3 w +
1
i
3
Do đó theo giả thiết .
I
3; 3
) Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm
1 ( (
x
) 23 +
16
3
y
- - £ , bán kính R = 4 kể cả đường tròn biên. )2 Đó là hình tròn có phương trình ( .
z
= l
i
(1)
z
i 4 2 + 2
- -
=
1 (2)
2 i 2
z + z
Ví dụ 3*: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và λ là tham số -
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Hướng dẫn giải: . Khi đó tập hợp , 2- +) Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức 4 2i+ điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường tròn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
=
= + =
3
i
10
R
+ 6 2 i
1 2
2 +
này có tâm E biểu diễn số phức 1 i+ và bán kính nên có phương trình là
(
x
y
10
) 1
) 2 = 1
- - (1’) - . Khi đó tập hợp
)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( CD = -
2; 2
- làm véctơ pháp tuyến nên có phương
(
( ) H - 1; 1 ( ) = (cid:219) + = + x 0 2 1
2
0
y
y
x
( +) Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức 2, 2i điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường trung trực này đi qua trung điểm trình là Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung trực là nghiệm của hệ đã cho. Đó là các điểm (
) ;x y thỏa
= -
0
- - - của đoạn thẳng CD và nhận ) 1 (2’).
2
2 +
2 + -
(
(
+ = y ) 1
x
y
) 2 = 1
10
x
x ) 1
) = 1
x
10
y (
= -
2
y
x
(cid:219) - - - -
= –
2
2
x
2 = -
= - +
i 2 2
i 2 2
z
x mãn (1’) và (2’), tức là nghiệm của hệ phương trình sau ( = = - 2 x x = = - y y Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là z
(cid:219) (cid:219) hoặc
và .
- 3 (3) = i 1 4
Ví dụ 4*: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số z = 2 (4)
i - z + + i 3 2 3 + - z 2
2 +
. Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z
(
3R = . ) 2 = 9 4
) 1
x
- - (3’)
Hướng dẫn giải: +) Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức 1 4i+ thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính Phương trình đường tròn này là ( y +) Gọi A, B theo thứ tự là các điểm biểu diễn các số phức
3 2 ,
- + i
i
3 2
2
+
+
2 =
- - . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z
)
(
y
x
2
) 1
5
)
2 +
- (4’)
9
x
y
2
2 =
+
+
( (
) 1 ) 1
2
5
x
y
( (
2
2
+
- - mãn hệ phương trình sau - thỏa mãn (4) là đường tròn ( Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của hai đường tròn (3’) và (4’), tức là các điểm ( ;x y thỏa ) 2 = 4 )
x
2
x
8 0
y
x
2
2
2
2
+ - = y +
2 0 +
+
+
2
x
y
x
= y
4
0
2
x
+ = y 8 = y
4
0
x
y
x
y
x
- - (cid:219) (cid:219) - -
2
2
=
+
2 +
)
y = - 2 (
)
x
= - 2 + - = x
2 0
( 4 2
x
0
2
x
2
1
2
(cid:219) (cid:219) - - -
1
x = x = y
x = - x = y
= - +
1z
z
i 2 4
= + và i
(cid:219) hoặc .
4 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
- £ 3 i 2 (5) Ví dụ 5*: [ĐVH]. Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z : - - ‡ 2 z i 9 2 5 (6) - z
(
)
z
yi
x y ,
= + x
˛ ℝ là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức.
Hướng dẫn giải:
, bán kính R = 2 ( kể cả biên ). Gọi +) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm )3;1A (
i
z
(6)
9 2
;1
B
(cid:219) - - ‡ +) Ta có
5 2 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (6) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài
9 2
5 R = 2
, bán kính hình tròn tâm
(kể cả biên ). Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của hai tập hợp trên. Đó là “ hình trăng lưỡi liềm ” không bị bôi đen trong hình vẽ.
1 (7)
z
‡ Ví dụ 7*: [ĐVH]. Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :
2 (8)
1 2 i
+ - i 3 2 z + 1 - z
Hướng dẫn giải:
(
)
z
yi
x y ,
= + x
)3; 2
( A -
và
)1;0
.
)1; 2E
, bán kính
- £
˛ ℝ là tọa vị của Gọi điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. +) Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (7) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( kể cả đường trung trực ), với ( B - +) Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (8) là hình tròn tâm ( R = 2 (kể cả biên ). Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của hai tập hợp trên. Đó là phần hình tròn kể cả biên không bị bôi đen trong hình vẽ. Ví dụ 7: [ĐVH]. Trong các số phức z¢ thỏa mãn các hệ thức sau khi biết quỹ tích của số phức z tương ứng?
= +
+
(1 i)z 2i
+ + = 2
z 1
biết z
+
= - +
+ biết z 2i
z 3 i
a) z '
= b) z ' 3z iz
=
+
2 =
(2 i)z 1
+ biết
+ - z 1 i
+ 4zz 1
c) z '
= +
+
(1 i)z 2i
biết z
+ + = 2
z 1
Ví dụ 8: [ĐVH]. Trong các số phức z¢ thỏa mãn các hệ thức sau khi biết quỹ tích của số phức z tương ứng?
+
= - +
+ biết z 2i
z 3 i
a) z '
= b) z ' 3z iz
=
+
2 =
(2 i)z 1
+ biết
+ - z 1 i
+ 4zz 1
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
c) z '
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
Ví dụ 9: [ĐVH]. Trong các số phức z thỏa mãn các hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ nhất ? a) + - = + - i 3 2 1 z z i
z
i 2
= + + z
i 1 3
- +
= i 2 2
z
1
. b)
- +
Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất.
z
- = 2 i
52
, tìm số phức z sao cho
i 4 2
z
đạt max,
-
=
max
3 13
Ví dụ 11: [ĐVH]. Trong các số phức z thỏa mãn min?
( 2;7)
=
M
min
13
(6; 5)
⇒ - M Đ/s: - ⇒
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2
= -
+
(1 i)z 1
3zz 10
z i
1
- ‡ - Bài 1: [ĐVH]. Trong các số phức z¢ thỏa mãn các hệ thức sau khi biết quỹ tích của số phức z tương ứng? a) z '
= b) z ' 2z i
2
biết + biết z i + £ +
= -
+
+
(1 i 3)z 1
biết
z 2i 1
9zz 3
=
+ -
- = biết z 3
2
= +
- ‡ c) z'
= - i 2 4
i 2
z
z
i 2 2
z
+ -
z
i
= + - 1 5 3 i z
- - d) z' 2z i 1 Bài 2: [ĐVH]. Trong các số phức z thỏa mãn các hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ nhất ? a) Đ/s:
z
i
2 = + 5
6 5
z
= - + z
3 4 i
b) . Đ/s:
c)
=
z
5
min
Bài 3: [ĐVH]. Trong các số phức z thỏa mãn các hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ nhất và lớn nhất
z
= 2 4 i
5
=
z
z
= + ⇒ 3 6 i
3 5
max
=
z
5
min
+ +
=
i 1 2
z
4 5
- - a) . Đ/s:
= -
=
⇒
z
i 3 6
z
3 5
max =
i
z
5
min
+ - 3
z
= i
b) . Đ/s: -
=
3 2
5 2
z
= - + ⇒ 4 2 i
z
2 5
= + ⇒ 1 2 i z = + ⇒ 1 2 i z = - + ⇒ 2 z
max
- +
+ -
= i 1 2
z
10
, tìm số phức z sao cho
i 1 4
z
max, min?
c) . Đ/s:
=
max
3 10
⇒ - M
( 2; 7)
Bài 4: [ĐVH]. Trong các số phức z thỏa mãn
=
⇒
min
10
M
(0;1)
+ +
i+ =
z
5
, tìm số phức z sao cho
i 4 3
z
max, min?
Đ/s:
=
⇒
max
3 5
(2;0)
Bài 5: [ĐVH]. Trong các số phức z thỏa mãn
min
M = ⇒ - M
5
( 2; 2)
=
, tìm quỹ tích số phức
w
( = + 1 2
) i z
+ 1
Đ/s: -
z +
21
zz 2
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Bài 6: [ĐVH]. Cho số phức z thỏa mãn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
(
) = 1; 4 , R
z + = , tìm quỹ tích số phức
5
2
w
( = - 1 2
) + i z
3
- - Đ/s: Quỹ tích là đường tròn tâm I 10
(
I
)3; 4 ,
R =
5 5
Bài 7: [ĐVH]. Cho số phức z thỏa mãn
Đ/s: Quỹ tích là đường tròn tâm
z - =
1 1
, tìm số phức z sao cho
z
i
?
min
- Bài 8: [ĐVH]. Trong các số phức z thỏa mãn
2
2
=
+
z
i
2
1 2
- Đ/s:
= 2w
z
i
z - = 1
2
, tìm quỹ tích số phức
- Bài 9: [ĐVH]. Cho số phức z thỏa mãn
(
I
) 2; 1 ,
= R
4
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
- Đ/s: Quỹ tích là đường tròn tâm
