HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Ạ
Ế
CÁC D NG BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N KH O SÁT HÀM S
Ố
Ả
y =
D ng 1: CÁC BÀI TOÁN V TI P XÚC ạ Ề Ế
C). Có ba lo i ph Cho hàm s ố ,đ th là ( ồ ị ế ư ế
)
)xf ( ế ủ
(
ươ ) ng trình ti p tuy n nh sau: ( C˛ . i đi m ể ạ ( ;M x 0 y 0
(
) (
) +
'f . x 0 ạ = - y f ' x ng trình ti p tuy n có d ng: . x 0 x 0 y 0 Lo i 1ạ : Ti p tuy n c a hàm s t ố ạ ế ) - Tính đ o hàm và giá tr ị - Ph ế ươ ế ạ
)
)
(
)
( C˛
( ;M x 0
= k f ' Chú ý: Ti p tuy n t ế ế ạ i đi m ể có h s góc ệ ố y 0 x 0
(
( k x
0
k . ế k= , tìm nghi m ệ = x ạ 0
ế ệ ố (cid:222) t h s góc c a ti p tuy n là ủ ế ) x 'f y 0 i ph ng trình: . ươ - x 0 ) + y y Lo i 2ạ : Bi - Gi ả - Ph ng trình ti p tuy n d ng: . ươ ế ế
(
+ + D : 0 , khi đó: D (cid:222) (cid:222) ườ d = Ax By C + ax b h s góc k = a. Chú ý: Cho đ - N u ế ệ ố
- N u ế
)
( A x
^ D (cid:222) = - (cid:222) ng th ng ẳ ) = : d // y ) : ( = d d + y ax b k h s góc . ệ ố 1 a
;A
A
=
. Ti p tuy n c a ( ế ế ủ C) đi qua đi m ể
)
) +
d
( k x
:
y
x
) ( Cˇ y k, khi đó (
A
A
)
) +
A
A
(
à
) ) d v C là h ph
( k x =
y ( f x (
)
- Lo i 3:ạ - G i ọ d là đường th ng qua ẳ A và có h s góc là ệ ố (cid:236) = - x y (cid:239) (cid:237) ủ ( - Đi u ki n ti p xúc c a ề ệ ế ệ ươ ng trình sau ph i có nghi m: ả ệ f ' x k (cid:239) (cid:238)
)
(
)
) ' :C
( g x
( f x )
) :C y ) ( = f x (
)
)
( g x ( g x '
4
= = y T ng quát: Cho hai đ ng cong và ( ng cong ti p xúc ổ ườ . Đi u ki n đ hai đ ệ ề ể ườ ế (cid:236) (cid:239) (cid:237) . v i nhau là h sau có nghi m. ớ ệ ệ = x f ' (cid:239) (cid:238)
22 x
= - y x 1. Cho hàm s ố
ẽ ồ ị C) c a hàm s . ố c a (ủ C): . 2
1 : 24 x d + x d 2 :
+ y- + y 24 2009 2009 . . t ph ạ ạ ế ế ớ ườ ớ ườ ng th ng: ẳ ng th ng: ẳ - 3 x = C). 2. Cho hàm s ố có đ th là ( ồ ị y a. kh o sát và v đ th ( ả ủ ế D ng trình ti p tuy n b. Vi ế ế ươ x = i. T i đi m có hoành đ ể ộ ii. T i đi m có tung đ ộ y = 3. ể iii. Ti p tuy n song song v i đ ế iv. Ti p tuy n vuông góc v i đ ế - + 2 x + 1
2
ể ể ế ế k = - 13. ủ ế - - x a. Kh o sát và v đ th ( ẽ ồ ị C) c a hàm s trên. ả ố ủ t ph ng trình ti p tuy n c a ( b. Vi ế ủ C): ế ế ươ ủ C) v i tr c tung. i. T i giao đi m c a ( ạ ớ ụ ii. T i giao đi m c a (C) v i tr ng hoành. ớ ụ ạ ủ ể A(1;- 1). t ti p tuy n đi qua đi m iii. Bi ế ế t h s góc c a ti p tuy n iv. Bi ế ệ ố x 1 = có đ th ( ồ ị C). 3. Cho hàm s ố y x + 1 x
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
1
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
ố
ả t ph ế t ph ế c hai ti p tuy n đ n ( ể ế C). i ba đi m phân bi 4. Cho hàm s ố y = x3 + mx2 + 1 có đ th ( ạ ể ệ t A(0;1), B, C sao cho các ti p tuy n c a ( a. Kh o sát và v đ th ( ẽ ồ ị C) c a hàm s trên. ủ ng trình ti p tuy n c a ( b. Vi ế ủ C) t i đi m ể x = 0. ế ươ ạ ộ y = 0. ế ủ C) t ng trình ti p tuy n c a ( c. Vi i đi m có tung đ ể ạ ế ươ đó k đ t c các đi m trên tr c tung mà t d. Tìm t ế ụ ế ẻ ượ ừ ấ ả ồ ị Cm). Tìm m đ (ể Cm) c t d: y = – x + 1 t ế ủ Cm) t ắ i ạ B và C vuông góc v i nhau. ế ớ
L i gi i: ờ ả
B
(
)
)
(
B
(cid:219) Ph ươ ng trình hoành đ giao đi m c a ộ ể ủ d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 i ba đi m phân bi g(x) = 0 có hai nghi m phân bi x(x2 + mx + 1) = 0 (*) t khác 0. ệ (cid:219) t ể ạ ệ ệ (cid:236) - > 2 > Ø (cid:239) Đ t ặ g(x) = x2 + mx + 1 . d c t (ắ Cm) t 4 0 m 2 (cid:219) (cid:219) (cid:237) Œ . < - = „ D = g m ( ) m 2 º (cid:239) 0 g 1 0 (cid:238) = + = - (cid:236) S x m (cid:222) (cid:237) . Vì xB , xC là nghi m c a ủ g(x) = 0 ệ x C = 1 (cid:238) = P x x B C ¢ ¢ = - f x 1 f ế ớ
( + m x B
) + x C
Ø ø x C = - 2 (cid:219) (cid:219) Ti p tuy n c a ( ( 3 2 1 9 6 4 m 1 + x x B C x x B C + x B x x B C º ß
( + m m
2
Ø ø + (cid:219) - i ạ B và C vuông góc v i nhau nên ta có: ế ủ Cm) t ) ) ( = - + 2 m x m 3 C ) (cid:219) = - 2 m 4 1 1 9 6 (nh n so v i đi u ki n) ề ệ ậ ớ = – m(cid:219) 5 10 = 22 m º ß
+ x 1 = . Tìm t p h p các đi m trên m t ph ng t a đ đ t đó có th k đ n ( ộ ể ừ ể ặ ẳ ậ ợ ọ ể ẻ ế C) hai 5. Cho hàm s ố y
x ti p tuy n vuông góc. ế ế
L i gi i: ờ ả
2
) +
)
0
2
(
(
(
)
) k x
) + = kx 0
)
( 2 2
( 4 0 I
) + x y 0 0
2
)
)
( = 4 1
2 = -
2 0 2 x 0
2
(
)
0
2
2
ng trình đ G i ọ M(x0;y0). Ph ươ ườ ng th ng ẳ d qua M có h s góc + x = - „ k là y = k(x – x0) + y0. ( Ph ươ ng trình hoành đ giao đi m c a ( ộ ủ C) và d: ể ệ ố 1 ( k x kx 0 y , x 0 x (cid:219) - - - 1 x 1 0 * y 0 „ (cid:236) k „ (cid:236) k (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:219) - (cid:237) (cid:237) k d ti p xúc v i ( ớ C): ế - = 2 y 0 D = - - - 1 ( (cid:239) k 0 (cid:239) (cid:238) y 0 kx 0 „ (cid:238) 1 + 2 2 x k 0 y 0 kx 0 „ (cid:236) 1 (cid:237) t th a mãn: T ừ M v hai ti p tuy n đ n ( ế ế C) vuông góc v i nhau khi (1) có hai nghi m phân bi ẽ ế ệ ớ ệ ỏ 1 (cid:238) k k , 1 k k 1 2 (cid:236) „ 0 x 0 (cid:239) „ (cid:236) (cid:239) - (cid:239) (cid:239) y 4 = - (cid:219) (cid:219) (cid:237) 1 (cid:237) 4 . (cid:239) (cid:239) „ x 0 + 2 x 0 y 0 0 = 2 y 0 x 0 (cid:238) (cid:239) - „ (cid:239) y 0 (cid:238) x 0
ng tròn: x y+ 4 ậ ậ ầ ỏ ộ ườ = lo i b b n giao đi m ể ạ ỏ ố
ớ V y t p h p các đi m th a mãn yêu c u bài toán là m t đ ng ti m c n. ệ ậ c a đ ủ ườ
= y . 6. Cho hàm s ố (ĐH Kh iố - D 2007) 1 ể ợ ng tròn v i hai đ ườ x 2 + x ự ế ả ố t ti p tuy n c a ( a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho. ế ủ C) t b. Tìm t a đ đi m ọ ộ ể M thu c (ộ C), bi ẽ ồ ị ủ ế ế i ạ M c t ắ Ox, Oy t i ạ A, B và di n tích tam giác ệ
)1;1M (
OAB b ng ằ 1 4 (cid:230) (cid:246) - - M ; 2 (cid:231) ‚ ĐS: và . Ł ł 1 2
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
2
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
2
x 1 = . 7. Cho hàm s ố (ĐH Kh iố - B 2006) y + - x + 2
3
ự ế ủ ng trình ti p tuy n v i đ th ( t ti p tuy n đó vuông góc v i ti m c n xiên. ươ ế ẽ ồ ị C) c a hàm s đã cho. ế ế ớ ồ ị C) bi ố ế ế ớ ệ ậ – - . ĐS: b. x a Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( b. Vi y ả t ph ế x= - 2 5 5
3
= = 2 - y x x (*) 8. G i (ọ Cm) là đ th c a hàm s : ố ồ ị ủ (m là tham s ).ố (ĐH Kh iố - D 2005) 1 3 1 3 m=2. ả ộ ằ ố - 1. Tìm m đ ti p tuy n c a ( ể ế ế ủ Cm) t i ạ M song song 5 0 x m 2 a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (*) khi ẽ ồ ị ủ ự ế ộ Cm) có hoành đ b ng b. G i ọ M là đi m thu c ( ể y- = ng th ng v i đ ẳ ớ ườ
(
)
mC ti p xúc v i tr c hoành.
m
4
3
= - y x mx 3 ĐS: m=4. 9. Cho hàm s ố ớ ụ
)
) ế ị m đ ể (
mC ti p xúc v i tr c hoành.
m
) C y :
3
) C y :
= + + - - - - + 2 ( ị m đ ể ( . Đ nh ) ( y x x m x m C . Đ nh 10. Cho hàm s ố ớ ụ ế 3 x m C ) 21 x 2 - = . Tìm t p h p các đi m trên tr c hoành sao cho t đó k đ ố ( 11. Cho đ th hàm s ồ ị ụ ể ậ ợ ừ ẻ ượ ộ c m t + x x 4 1 ế ế C). = + 2 - x 3 x 4 . Tìm t p h p các đi m trên tr c hoành sao cho t đó có th k ụ ể ậ ợ ừ ể ẻ
4
) C y :
ế ế = + 2 - x 2 x 1 Oy sao cho t . Tìm các đi m ể M n m trên ằ ừ M k đ ẻ ượ ế c 3 ti p
3
) C y :
ế = - x + x 3 2 . Tìm các đi m trên đ y = 4 sao cho t đó có th k ể ườ ng th ng ẳ ừ ể ẻ
ế ế ti p tuy n đ n ( ế ố ( 12. Cho đ th hàm s ồ ị c 3 ti p tuy n v i ( đ ớ C). ượ ố ( 13. Cho đ th hàm s ồ ị ế C). tuy n đ n ( ố ( 14. Cho đ th hàm s ồ ị ớ C). c 3 ti p tuy n v i ( đ ượ 15. Cho hàm s ố y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) (ĐH Kh iố - B 2008)
f(x)=4x^3-6x^2+1
y
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1). b. Vi t r ng ti p tuy n đó đi qua đi m ẽ ồ ị ủ ự ế ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s (1), bi ế ủ ồ ị ả t ph ế ố ố ươ ế ế ằ ể M(–1;– ế ế
2
32 461 =-+ yxx
i: 9). L i gi ờ ả a. D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0 (cid:219) x = 0 hay x = 1.
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-2
BBT : - ¥ 0 1 +¥
x y' y + 0 - 0 + 1 +¥
-4
- ¥ CĐ CT - 1
-6
y = k(x + 1) – 9. ế M có d ng : ế Ph ạ
(cid:219) (cid:219) 2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1). x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0. (cid:230) (cid:246) = (cid:219) y ' (cid:231) ‚ ; y’(- 1) = 24; x = –1 hay x = . Ł ł 5 4 15 4 M(- 1;- 9) có d ng ạ b. Ti p tuy n qua ng trình hoành đ ti p đi m qua ươ ể ộ ế 4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9. 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) (cid:219) x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x (cid:219) 5 4
- V y ph M là: y = 24x + 15 hay y = x . ậ ươ ng trình các ti p tuy n qua ế ế 15 4 21 4
y =
)xf (
D ng 2: CÁC BÀI TOÁN V C C TR ạ Ề Ự Ị
ấ ị ầ
,đ th là ( ồ ị ( f ' 0 ng trình Cho hàm sô - Nghi m c a ph ệ ủ ươ C). Các v n đ v c c tr c n nh : ớ ề ề ự ) x = là hoành đ c a đi m c c tr . ị ộ ủ ự ể
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
3
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
- N u ế
(cid:236) = ' 0 f (cid:239) x 0 (cid:237) x x= 0 thì hàm s đ t c c đ i t i . ố ạ ự ạ ạ < 0 f (cid:239) (cid:238) x 0
- N u ế
( ( '' ( (
) ) ) )
(cid:236) = ' 0 f (cid:239) x 0 (cid:237) x x= 0 thì hàm s đ t c c ti u t i . ố ạ ự ể ạ > '' 0 f (cid:239) (cid:238) x 0
M t s d ng bài t p v c c tr th ng g p ậ ề ự ộ ố ạ ị ườ ặ
)
( f x
- Đ hàm s ố
) )
( f x ( f x
- Đ hàm s ố - Đ hàm s ố
)
( f x
- Đ hàm s ố
)
( f x
- Đ hàm s ố
(cid:236) 0 (cid:239) = (cid:219) (cid:237) y . ể có 2 c c trự ị 0 (cid:239) a „ D > ' y (cid:238) = (cid:219) y 0 có hai c c tr n m v 2 phía đ i v i tr c hoành . ể ố ớ ụ ị ằ ự ề = (cid:219) y 0 có hai c c tr n m v 2 phía đ i v i tr c tung ể ố ớ ụ ị ằ ự ề . > (cid:236) 0 (cid:219) = (cid:237) y có hai c c tr n m phía trên tr c hoành . ể ị ằ ụ ự y CT > 0 (cid:238) < y y . CĐ CT < x x . CĐ CT + y CĐ y y . CĐ CT < + (cid:236) 0 (cid:219) = (cid:237) y có hai c c tr n m phía d i tr c hoành . ể ị ằ ự ướ ụ y CT < 0 (cid:238)
)
( f x
- Đ hàm s ố
= (cid:219) y 0 có c c tr ti p xúc v i tr c hoành . y CĐ y y . CĐ CT = y y . CĐ CT ể ớ ụ ị ế ự
3
2
Cách vi t ph ng trình đ ế ươ ườ ng th ng đi qua hai đi m c c tr . ị ự ể ẳ
+ + + y d ạ hàm s ố
2
q(x) và d là ư r(x). Khi đó y = r(x) là đ ườ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr . ị ự ể ẳ = D ng 1: L y ấ y chia cho y’, đ c th + ax ượ 2ax cx ng là + c = D ng 2: ạ Hàm s ố y bx ươ bx + e dx +
)
(
2
2
c ' bx = = + Đ ng th ng qua hai đi m c c tr có d ng ườ ự ể ẳ ạ ị y x + ax ( + ) dx e ' 2 a d b d
+ - - x
( m m
+ 4 x m 1 1. Ch ng minh r ng hàm s y = ứ ằ ố luôn có có c c tr v i m i ự ị ớ ọ m. Tìm m sao cho hai -
) 1 x m
3
c c tr n m trên đ ị ằ ự
)
+ 2 = - - y=2x. ( 2 x 1 y + m mx x . Đ nh ị m đ :ể 2. Cho hàm s ố
(
ng th ng ẳ ườ 1 3 ố ự
a. Hàm s luôn có c c tr . ị b.Có c c tr trong kho ng ị ự ả
)
) . 0; +¥
3
2
2
0; +¥ ( . ả ự
+ 2 = - - - c. Có hai c c tr trong kho ng ị ( mx 3 y x m
) + x 1
2 b 4 ac 3. Đ nh đ t c c đ i t i ạ ự ạ ạ x = 2.
4. Cho hàm s y = ố m = 0. ị m đ hàm s ố ể x3- 3x2+3mx+3m+4. ố ự
+ 2 = - - . Đ nh t ph 9 x ể ồ ị ạ ự ự ể ế ươ ng
2
ẳ 5. Cho hàm s ố trình đ ườ + - a. Kh o sát hàm s khi ả ị m đ hàm s không có c c tr . b.Đ nh ị ể ố ị m đ hàm só có c c đ i và c c ti u. c. Đ nh ự ể ự ạ ể + 3 ị m đ đ th hàm s có c c đ i c c ti u, vi m x 3 y ố ự ị ấ + x m 1 mx 3 5 ng th ng đi qua hai đi m c c tr y. ( m ể ) + 1 x = 6. Cho hàm s ố ớ . Ch ng minh r ng đ th hàm s luôn có c c đ i, c c ti u v i ố ồ ị ứ ự ự ể ằ ạ y - x m m i ọ m. Hãy đ nh ị m đ hai c c tr n m v hai phía đ i v i tr c hoành. ề ố ớ ụ ị ằ ự ể
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
4
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
3
) +
= + 2 + - - 2 + m x m 2 y 1 2 x . Đ nh ờ ị m đ đ th hàm s có hai c c tr đ ng th i ố ể ồ ị ị ồ ự
( 7. Cho hàm s ố hoành đ c a đi m c c ti u nh h n 1. ể 2
2
( ự ể + x 2
) m x ỏ ơ + - 1 3
ộ ủ
m = . Đ nh ố ớ ụ ị m đ đ th hàm s có hai c c tr n m v hai phía đ i v i tr c ự ể ồ ị ị ằ ề ố 8. Cho hàm s ố y - mx x m tung.
(
(
)
3 x mx
) - + x m 1
m
2
2
(
) 1 +
= + 2 - - y 2 m 2 C 9. Cho hàm s m đ hàm s có hai đi m c c tr cùng ố . Đ nh ị ự ể ể ố ị 1 3 d ng. ươ + + + x 2 m + x m 4 m = (1). 10. Cho hàm s ố (ĐH Kh iố - A năm 2007) y x 2
3
2
2
ả ự ế ố ị ủ ồ ị ự ể ờ ố m=- 1. ể a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a đ th hàm (1) s khi ẽ ồ ị ủ ồ ị b. Tìm m đ hàm s (1) có c c đ i và c c ti u, đ ng th i các đi m c c tr c a đ th cùng v i g c ớ ố ồ ự ạ ọ ộ O t o thành tam giác vuông t t a đ ự ạ O. i – ĐS: m = - 4 2 6
ể ạ . = - - - - -
(
x + 2 x 3 3 m
) 1
x m 3 1 y (1), m là tham s .ố (ĐH Kh iố - B năm 11. Cho hàm s ố
2007) ả ẽ ồ ị ủ ồ ị ự ế a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a đ th hàm (1) s khi ố b. Tìm m đ hàm s (1) có c c đ i, c c ti u và các đi m c c tr c a đ th hàm s (1) cách đ u g c m=1. ị ủ ồ ị ự ạ ự ố ự ể ề ể ể ố ố t a đ . ọ ộ
4
2
m = – ĐS : b . 1 2 + + 2 -
)
(
= y mx m 9 x 10 12. Cho hàm s ố (1) (m là tham s )ố .
f(x)=x^4-8x^2+10
y
10
5
x
-30
-25
-20
-15
-10
-5
5
m=1. ả ố ự ế ể ồ ị ự (ĐH Kh iố - B năm a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a đ th hàm s khi ẽ ồ ị ủ ồ ị b. Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr . ị ể ố 2002)
-5
-10
-15
-20
< - Ø m Œ < 3 < 0 m 3 º
2
(
) 1 +
a. b. ĐS : + + + x m + x m 1 = 13. G i (ọ Cm) là đ th c a hàm s ố ồ ị ủ (*) (m là tham s )ố y 1 ố ớ m b t kỳ, đ th ( ự ế ằ ả ứ m=1. ể ồ ị Cm) luôn có hai đi m c c đ i, c c ti u và kho ng cách ự ự ể ạ ả x a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a đ th hàm s khi ẽ ồ ị ủ ồ ị b. Ch ng minh r ng v i ấ gi a hai đi m đó b ng ể ữ ằ 20 .
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
5
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
f(x)=x+1+1/(x+1)
y
4
f(x)=x+1
x(t)=-1 , y(t)=t
2
x
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
-10
=L MN = 20
a. b. CĐ(- 2;m- 3), CT(0;m+1)(cid:222)
y =
D ngạ 3: CÁC BÀI TOÁN V Đ NG BI N Ề Ồ Ế - NGH CH BI N Ị Ế
có t p xác đ nh là mi n ị ề D. ậ
,0
Dx
,0
˛ " ‡ (cid:219) ế ồ ˛ " £ (cid:219)
)xf ( Cho hàm sô - f(x) đ ng bi n trên D - f(x) ngh ch bi n trên ị (ch xét tr ườ
( ) ' xf ( xf ' . i m t s h u h n đi m trên mi n ạ
ế ng h p ỉ D ợ f(x) = 0 t . ) Dx ộ ố ữ ạ ể ề D)
2
)
= +
( f x
ax bx Th ng dùng các ki n th c v xét d u tam th c b c hai: + . c ườ ứ ậ ứ ề ế ấ
D < 0 1. N u ế ấ
D = = - „ - 0 x x và f(x) luôn cùng d u v i . 2. N u ế thì f(x) có nghi m ệ ớ a khi ấ thì f(x) luôn cùng d u v i ớ a. b a 2 b a 2 D > thì f(x) có hai nghi m, trong kho ng 2 nghi m ệ f(x) trái d u v i ớ a, ngoài kho ng 2 nghi m ả ệ f(x) ệ ả ấ 0 3. N u ế ớ a. cùng d u v i ấ
3
ệ ứ ớ ố 0 0 (cid:239) (cid:239) < < < (cid:219) (cid:219) < (cid:219) 0 0 0 0 < < 0 < P 0 * x * 1 x 2 x 1 x 2 x * 1 x 2 (cid:239) (cid:239) < > So sánh nghi m c a tam th c v i s 0 ủ D >(cid:236) >(cid:237) P S 0 D >(cid:236) >(cid:237) P S 0 (cid:238) (cid:238)
) 1
(
)
= + 2 - x + m + x 1 . Đ nh 1. Cho hàm s ố ị m đ :ể
( ( + m 3 3 R. a. Hàm s luôn đ ng bi n trên ồ b. Hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng ồ
) 1 x ế ế 3
2
2; +¥ . y ố ố ả
= - - 2. Xác đ nh . ị m đ hàm s ố ể y + 2 x 1 x 3 mx 2
3
. ồ ồ ế ế
(
)
) ) 1
+ 2 - a. Đ ng bi n trên b. Đ ng bi n trên ( = 3 2 R. ( 1; +¥ + m y x x 12 + m 5 + x 3. Cho hàm s ố
)
) ; 1
2
2 ( a. Đ nh . ị m đ hàm s đ ng bi n trên kho ng ố ồ ể ế ả - ¥ - . 2; +¥ ( b. Đ nh . ị m đ hàm s ngh ch bi n trên kho ng ị ể ế ả ố
)+ ¥
[ ;1
- mx 2 = . Đ nh . 4. Cho hàm s ố ị m đ hàm s ngh ch bi n trên ố ể ế ị y + x 6 + 2 x
D ng 4: CÁC BÀI TOÁN V GIAO ĐI M C A 2 Đ NG CONG ạ Ủ Ề Ể ƯỜ
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
6
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Quan h gi a s nghi m và s giao đi m ệ ữ ố ố ệ ể
ng giao gi a hai đ Cho hai hàm s ố y=f(x) có đ th ( ồ ị C1) và y=g(x) có đ th ( ồ ị C2). Kh o sát s t ự ươ ả ữ ồ
ng đ ng trình: th (ị C1) và (C2) t ươ ơư ng v i kh o sát s nghi m c a ph ố ủ ệ ả ớ ươ ủ f(x) = g(x) (1). S giao đi m c a ố ể
(C1) và (C2) đúng b ng s nghi m c a ph ằ ố ủ ươ ng trình hoành đ giao đi m (1). ộ ể
ệ (cid:219) (C1) và (C2) không có đi m chung. ể (1) vô nghi mệ
(cid:219) (C1) và (C2) có n đi m chung. (1) có n nghi mệ ể
(1) có nghi m đ n ệ ơ x1 (cid:219) (C1) và (C2) c tắ nhau t i ạ N(x1;y1).
(1) có nghi m kép x0 (cid:219) (C1) ti p xúc (C2) t ệ ế i ạ M(x0;y0).
(
2
- x = C). 1. Cho hàm s ố có đ th là ( ồ ị y x
(
)
2
+ = - - x + m 2 x m 1 0 ng trình . ả ệ ươ ủ ậ
(
) 21 + 1 a. Kh o sát và v đ th c a hàm s . ố ẽ ồ ị ủ m s nghi m c a ph b.Bi n lu n theo ố ệ ) ) ( 2 có đ th là ( 1 1 ồ ị a. Kh o sát và v đ th hàm s trên. ẽ ồ ị
= + - C). y x x 2. Cho hàm s ố
2
ả ố
- -
(
b. Dùng đ th ( ng trình . x
) 2 1
2
3
+ = 2 m 1 0 ồ ị C) bi n lu n theo ệ ậ m s nghi m c a ph ệ ủ ố ươ
= + - . y 4 3. Cho hàm s ố
3
2
3
k = 3. ả kx ố - = ng trình có nghi m duy nh t. ể ươ ệ ấ x kx+ 4 0 x a. Kh o sát hàm s trên khi b. Tìm các giá tr c a ị ủ k đ ph = - . y 2 4. Cho hàm s ố (ĐH Kh iố - D 2006)
ủ ng th ng đi qua đi m m. Tìm m đ đ d c t đ th ( ẳ ẽ ồ ị C) c a hàm s đã cho. ể A(3;20) có h s góc ố ệ ố ể ườ ng th ng ẳ ắ ồ ị C) t + x 3 x a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( ự ế ả b. G i ọ d là đ ườ t. i ba đi m phân bi ệ ể ạ
> „ m , m 24 ĐS: b. . 15 4 - - 3 3 = y (1) (ĐH Kh iố - A 2004) 5. Cho hàm s ố - + 2 ( x 2 x ) 1 x
2
y=m c t đ th hàm s (1) t i hai đi m ắ ồ ị ố ạ ể A, B sao cho AB=1. a. Kh o sát hàm s (1). ố ả ng th ng b. Tìm m đ đ ẳ ể ườ – 1 5 = ĐS: b. . m 2 + + mx = 6. Cho hàm s ố (*) (m là tham s )ố (ĐH Kh iố - A 2003) y - x m 1 m=- 1. ả ố i hai đi m phân bi t và hai đi m đó có hoành đ x ự ế ể ồ ị ắ ụ ể ạ ố ệ ể ộ ng.
2
md
< m 0 . ĐS: b. a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a đ th hàm s khi ẽ ồ ị ủ ồ ị b. Tìm m đ đ th hàm s (1) c t tr c hoành t d ươ 1 - < 2 - x 2 4 = 7. (1). a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s ố ẽ ồ ị ủ ự ế ả (ĐH Kh iố - D 2003) y - + x 2 + - = y mx 2 2 m : b. Tìm m đ đ i hai đi m phân bi t. x c t đ th hàm s (1) t ể ườ ng th ng ẳ ạ ể ệ ắ ồ ị ố
ĐS: m>1. 8. Cho hàm s ố y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) (m là tham s )ố (ĐH Kh iố - A 2002)
ả ẽ ố ị ủ ố a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi b. Tìm k đ ph - x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghi m phân bi ng trình t. ự ế ể ươ m = 1. ệ ệ
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
7
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
ng trình đ ườ ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s (1). ự ị ủ ồ ị ể ẳ ố (cid:236) c. Vi t ph ươ ế - < < k 3 1 = + 2 - (cid:237) ĐS: b. , c. . y 2 x m m „ (cid:217) „ k 0 k 2 (cid:238)
D ng 5: ạ CÁC BÀI TOÁN V KHO NG CÁCH Ề Ả
2
Các công th c v kho ng cách: ứ ề ả
2 +
(
)
(
) +
B A = Ax By C
B A ng th ng ẳ
( d M
2
2
2
3
= - - . Kho ng cách gi a hai đi m (đ dài đo n th ng): ể ữ ạ ẳ ả ộ AB x x y y + D : 0 ng th ng: Cho đ Kho ng cách t ẳ ườ và đi mể ả ể + + ộ ườ C Ax 0 m t đi m đ n m t đ ế ừ ộ By ) 0 D = ,. . M(x0;y0) khi đó + A B
)
(
)
mC có c c đ i c c ti u đ ng th i kho ng ả
m
= - - + 3 x + 3 m 2 C x . Đ nh ị m đ ể ( ự ạ ự ể ồ ờ 1. Cho hàm s ố
) C y :
2
ữ y cách gi a chúng là bé nh t. + = . Tìm t a đ các đi m ộ ể M n m trên ( ằ ọ ệ C) có t ng kho ng cách đ n hai ti m ế ả ổ 2. Cho hàm s ố ( - mx 3 ấ x 2 x 2 1 ỏ ấ
) C y :
2
x 1 = . Tìm các đi m ể M thu c (ộ C) có t ng kho ng cách đ n 2 ti m c n là nh ế ệ ả ậ ổ ỏ 3. Cho hàm s ố ( c n là nh nh t. ậ ) C y : - - + x 1 x nh t.ấ + = . Tìm hai đi m ể M, N thu c hai nhánh khác nhau c a ( ủ C) sao cho đo n ạ MN ộ 4. Cho hàm s ố ( - 2 x x 2 1 ấ
) C y :
2
) C y :
x 1 = . Tìm hai đi m ể M, N thu c 2 nhánh khác nhau c a ( ộ ủ C) sao cho đo n ạ MN nh nh t. ỏ 5. Cho hàm s ố ( + + x + 1 x ấ + + x 1 2 = . nh nh t. ỏ 6. Cho hàm s ố ( - x x 1 ể ộ ồ ị C) có t ng kho ng cách đ n hai tr c t a đ là nh nh t. ấ ụ ọ ộ ế ả ỏ ổ a. Tìm các đi m thu c đ th ( b.Tìm hai đi m ể M, N thu c hai nhánh khác nhau c a ( ộ ủ C) sao cho đo n ạ MN nh nh t. ấ ỏ
= y mx 7. G i (ọ Cm) là đ th c a hàm s : ố ồ ị ủ + (*) (m là tham s )ố (ĐH Kh iố - A 2005) 1 x 1 a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (*) khi m = . ẽ ồ ị ủ ự ế ả ố
b. Tìm m đ đ th hàm s (*) có c c tr và kho ng cách t đi m c c ti u c a ( ể ồ ị ự ả ố ị ậ ự ể ủ Cm) đ n ti m c n ế ệ 4 ừ ể 1 . ĐS: m=1. xiên b ng ằ 2
D ng 6: CÁC ĐI M C Đ NH ạ Ố Ị Ể
(
)
(
)
)
( f x m ,
Ph ươ = = F x y mG x y , , y . Khi đó t a đ đi m c đ nh n u có ọ ộ ể ố ị ế ng pháp: ừ T hàm s ố
3
2
= (cid:236) 0 , (cid:239) (cid:237) là nghi m c a h ph ng trình . ủ ệ ươ ệ = (cid:239) ta đ a v d ng ư ề ạ ) ( F x y ( ) G x y 0 , (cid:238)
(
)
(
(
)
) 1
mC luôn đi qua hai đi m c đ nh
m
= - - - x 3 m x + 3 mx 2 C . Ch ng minh r ng 1. Cho hàm s ố ứ ằ ố ị ể
y khi m thay đ i.ổ
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
8
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
(
22 x
)
)
mC luôn đi qua m t đi m c đ nh
m
) + m x +
2
+ - 6 4 = 2. Cho hàm s ố ( ồ ị ( . Ch ng minh r ng đ th ứ ằ ố ị ể ộ : y C 2 mx
)
(
(
) m x
) 1
mC
3
2
+ 4 = - - 1 2 y : mx 3 + m . Tìm các đi m c đ nh c a h đ th trên. ủ ọ ồ ị ể
(
)
(
)
(
)
(
) + + x m 1
m
= + - - m 3 y x 3 + m 3 x 1 C ố ị + m 6 luôn đi qua ba ồ ị ủ ằ
đi m c đ nh. khi m thay đ i.ổ 3. Cho hàm s ố ( 4. Ch ng minh r ng đ th c a hàm s ố ứ ể ố ị
D ng 7: ạ Đ TH CH A D U GIÁ Ấ Ứ Ồ Ị TR TUY T Đ I Ệ Ố Ị
)
(
)
( f x
y = f(x) có đ th ( ồ ị C) = = x có đ th ( ồ ị C’)
( f x
f(x)=x^3-2x^2-0.5
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5
y
y
y
f(x)=x^3-2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5
(C')
(C'')
(C)
x
x
x
= = ‡ " ˛ - y ) y 0, x D f x y x x f f có " ˛ y ( x D ố ứ . Do đó ta ph iả ụ Ox và ướ ụ Ox i tr c giữ nguyên ph n phía trên tr c ầ l y đ i x ng ph n phía d ầ ấ lên trên. f ồ ị C “) có đ th ( ) ) ( ( ) = , ố ẵ nên đây là hàm s ch n do đó có đ th đ i x ng qua tr c ụ ồ ị ố ứ tung Oy.
2
Chú ý: Đ i v i hàm h u t ố ớ ữ ỷ
) C y :
2
6
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
y
y
x(t)=1 , y(t)=t
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1
f(x)=x/2+1
4
f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2)
4
f(x)=-x/2+1
2
2
2
2
+
+
x
x
=
=
y
y
+ = . 1. Cho hàm s ố ( - x x 2 x 2 a. Kh o sát hàm s . ố ả + x x = k k đ ph t. . b.Đ nh ị ể ươ ng trình sau có b n nghi m phân bi ố ệ ệ - 2 x 2
2
x
x 2
x
x 2
2 x
x
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
2
- -
) C y :
+ + 3 x = . 2. Cho hàm s ố (
2
3 x + 1 x ẽ ồ ị a. Kh o sát và v đ th hàm s . ố ả + + x 3 = m b.Bi n lu n theo ng trình: . ệ ậ m s nghi m c a ph ệ ủ ố ươ x 3 x + 1
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
9
HS: Do·n V¬ng Phïng
Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
y
y
x(t)=-1 , y(t)=t
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
f(x)=x+2
4
4
f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1)
f(x)=-x-2
2
+
+
3
x
2
2
=
y
2
3 +
+
+
x 1
x
3
x
=
y
3 +
x 1
x
x
x
2
2
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
2
) C y :
2
- 4 = . 3. Cho hàm s ố ( - x x x 1
(
)
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
y
y
4
4
x(t)=1 , y(t)=t
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+3
f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1)
f(x)=-x+3
2
2
x
x
2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
2
+ - - m x 4 = x m 0 ng trình t. a. Kh o sát hàm s . ố ả ị m đ ph b.Đ nh ể ươ có b n nghi m phân bi ệ ố ệ
4
2
=
y
4
x
x
=
x x
x 1
y
-2
-2
x
1
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
2
- - - -
) C y :
2
x 1 = . 4. Cho hàm s ố ( + - x + 2 x
(
) m x
3
+ - - x 1 - = 2 m 1 0 ng trình sau có hai nghi m phân bi t: . 1. Kh o sát hàm s . ố ả ị m đ ph 2. Đ nh ể ươ ệ ệ
3
= + 2 - - 5. . y 2 x 9 x 12 x 4 a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s ố ẽ ồ ị ự ế ả
- 2006)
+ 2 - b. Tìm m đ ph ng trình sau có sáu nghi m phân bi t: . 2 x 9 x 12 = x m ể ươ ệ ệ (ĐH Kh i Aố
ĐS: b. 4 D ng 8: ạ CÁC C P ĐI M Đ I X NG
Ể Ố Ứ Ặ ) ) (
f x (
I x
0 0 ( )
= )
:C y
=
' 2
(
)
f x 0 = ; y (cid:219) T n t i hai đi m Đi m ể ồ ạ ể M(x;y) và - (cid:236) (cid:236) ủ ồ ị (
là tâm đ i x ng c a đ th
x x x (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:237) (cid:237) M’(x’;y’) thu c (ộ C) th a: ỏ x
0
+ - ố ứ
=
' 2
+ = x
) (cid:239) (cid:239) 2 x 2 +
(
f x 2 (cid:238) (cid:238) y
0 y
0 ) ) (
f x (
I x
0 = - - f
( x
) x ; 2 f 2 . x
0
(
)
f x
'
ủ C) (cid:219) V y ậ là tâm đ i x ng c a (
ố ứ y
0 y
0 x
0 22
x )
mC . ) + m = 1. Cho hàm s ố ồ ị (
có đ th 2 2 Tìm giá tr c a t đ i x ng nhau qua g c t a đ ệ ố ứ ố ọ ộ O. ể ) m + +
x
2
2
y
+
3
x
2
ị ủ m đ ể (
mC có hai đi m phân bi
+
2
x = . 2. Cho hàm s ố ( : + y
) t đ i x ng nhau qua g c t a đ C
ị m đ ể (
Đ nh ệ ố ứ ố ọ ộ O. +
m x m
2
x
1
mC có hai đi m phân bi
ể 10 HS: Do·n V¬ng Phïng Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số 3 ( )
1 = - +
23
x x y 3. Cho hàm s ố ( ) ệ ố ứ t đ i x ng v i nhau qua g c t a đ .
ố ọ ộ ớ ể ồ ị (ĐH Kh i Bố - 2003) ố ả
= - - " „ (cid:222) 0 f … m>0. ĐS: a. m
(m là tham s ).ố
a. Tìm m đ đ th hàm s (1) có hai đi m phân bi
ể
ố
b. Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi
m=2.
ẽ ồ ị
)
(
x
f x
,
0
0 x
0 )C . Tìm trên (C) hai đi m ể M, N đ i x ng nhau qua tr c
ụ 3
x
+
3 2 3 ( )
1 = - +
2 - 4. Cho hàm s ố ồ ị (
có đ th ố ứ y x 3 x 11
3 tung. + + = ax bx c x y . Xác đ nh I(0;1) và 5. Cho hàm s ố ị a, b, c đ đ th hàm s (1) có tâm đ i x ng là
ố ể ồ ị ố ứ - 2008) +
đi qua đi m ể M(1;- 1). 6. Cho hàm s ố y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Kh i Dố ả
ứ ắ ồ ị AB. a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
ẽ ồ ị ủ
ự ế
ng th ng đi qua đi m
b. Ch ng minh r ng m i đ
ẳ
ọ ườ
ằ
ệ I, A, B đ ng th i
t
i ba đi m phân bi
ể ố
k (k > – 3) đ u c t đ th
ể I(1;2) v i h s góc
ề
ờ I là trung đi m c a đo n th ng
ẳ ớ ệ ố
ạ
ủ ể ạ ồ ố c a hàm s (1) t
ủ f(x)=x^3-3x^2+4 y 4 L i gi i: ờ ả 2 x O -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 x = 0, x = 2. a. D = R.
y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2), y' = 0 (cid:219)
y" = 6x - 6, y" = 0 (cid:219) x = 1. -2 -4 - ¥
+
- +¥ -6 -8 -10 - ¥
d : y - 2 = k(x - 1) (cid:219)
Ph 1
| -
0 + 2
0 +
+ x
y'
y"
y + ¥ 0
0 -
-
4
CĐ CT
0 2. x3 - 3x2 - kx + k + 2 = 0. 2
U
y = kx - k + 2.
ng trình hoành đ giao đi m:
ộ (cid:219) ươ
(x - 1)(x2 - 2x - k - 2) = 0 (cid:219) Vì D x3 - 3x2 + 4 = kx - k + 2 (cid:219)
ể
x = 1 (cid:218) g(x) = x2 - 2x - k - 2 = 0.
' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > - 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!. D ng 9: M T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N TI M C N ạ Ộ Ố Ậ Ệ Ế 6 g x( ) = 0 y (d) 1. Đ nh nghĩa : ị = (cid:219) 0 ¥ fi (d) là ti m c n c a ( ậ ủ C) ệ ˛ MH
lim
f x( ) = 1.7x
M
(
(
)
)
CM ) ( )
xd
: 0 0 4 (C) ) ( ệ ¥= = (cid:222) x . ệ ậ ứ
a. Ti m c n đ ng: fi (
xf
x
(
xf )
yd
: 0 0 = = (cid:222) y y b. Ti m c n ngang: . ệ ậ ¥ fi ) 2 M ng trình: y=l x+m trong đó: ậ ươ ) c. Ti m c n xiên:
[ = = l m l - H x -10 -5 5 -2 ; . ¥ fi ¥ fi ệ
(
xf
x lim
x
Các tr ng h p đ c bi t: ườ ợ ệ lim
x
ặ -4 -6 11 HS: Do·n V¬ng Phïng Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số 2 ( ) ( ) ế
*Hàm s b c nh t trên b c nh t (hàm nh t bi n)
ậ ấ ấ ấ ữ ỷ
* Hàm s b c hai trên b c nh t (hàm h u t ) ấ ậ + ax c = = l = + m + y y x A
+ ố ậ
+
b
+
n ax
mx ố ậ
+
bx
+
n mx mx n (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) - (cid:253) (cid:237) - +TXĐ: D= R\ (cid:253) (cid:237) +TXĐ: D= R\ (cid:254) (cid:238) n
m (cid:254) (cid:238) n
m ( ) ( ¥= -= (cid:222) ¥= -= (cid:222) d : x d : x +TCĐ: +TCĐ: n
m n
m - fi lim
x - fi lim
x y
n
m y
n
m )
:
yd f(x)=x/(x-1) = = (cid:222) = y +TCN: 0 +TCX: (cid:222) TCX: y=l x+m ¥ fi ¥ fi lim
x A
+ lim
x a
m a
m mx n f(x)=x^2/(2(x-1)) f(x)=1 f(x)=x/2+1/2 3 3 x(t)=1 , y(t )=t x(t)=1 , y(t )=t 2 T ?p h?p 1 2 T ?p h?p 1 m y = y l += x I I a
m 1 1 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -1 -= x -= x n
m -2 n
m -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7 -7 -8 -8 -9 -9 -10 -10 -11 -11 2 + - - )
(
1 23
m
+
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi
b. Tìm các giá tr c a
ể - 2008) 0.
(ĐH Kh i Aố mx 2 2 x = 1. Cho hàm s ố , v i ớ m là tham s th c. ố ự y x ự ế ả ố
ng ti m c n c a đ th hàm s (1) b ng 45 m
3
ẽ ồ ị
ữ ị ủ m đ góc gi a hai đ ườ m =1.
ậ ủ ồ ị ệ ằ ố 2 L i gi i: ờ ả { x 2 = a. Khi m =1: . = - +
x
2 + -
x
+ 4
+ x 3 x 3 2 )
1
) ) ( (
- = -
y
(
- = -
y y
}3- TXĐ: D R=
2 Ø = - (cid:222) + + x 1 1 5 x x ¢ = (cid:219) Œ y y¢ = 0 . = - (cid:222) 6
+ Œ x 5 5 9 3 x º = (cid:222)
0 4
+ lim
x x 3 fi+¥ x f(x)=(x^2+x-2)/(x+3) = ¥ (cid:222) y Ti m c n: ti m c n đ ng: x = - 3. y = x – 2. ệ ậ ậ ứ ệ ti m c n xiên:
ậ ệ fi - lim
x
3 fi ¥ = - = - ¥ ¥ = +¥
y y y = +¥
y - , . fi - ¥ fi - fi - , lim
x , lim
+
3
x lim
3 lim
x
B ng bi n thiên Đ th :
ồ ị ế ả 2 f(x)=x-2 x(t)=-3 , y(t)=t -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 +¥ -3 -2 +¥ +¥ x
y '
y -4 - ¥ -5
0
-9
CĐ -1
0
CT
-1 -6 -8 2 - ¥ - ¥ + - - 23
m
+ -10 -12 mx 2 x 2 - = = b. y mx - +
2 m
+ x m
3 6
x 2
m
3 12 HS: Do·n V¬ng Phïng Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số x m+
3 0 = và ti m c n xiên d
1 : 2 :d - = mx y- 2 0 G i (ọ Cm) là đ th hàm s . ( ồ ị ố Cm) có ti m c n đ ng
ệ ậ ứ ệ ậ (cid:230) (cid:246) „ (cid:217) „ m m 0 (cid:231) ‚ . Ł ł 1
3 0 2 2 2 2 m m = (cid:219) cos 45 = –
m(cid:219) 1 Theo gi ả thuy t ta có:
ế (nh n).ậ =
1m(cid:219)
2 2
=
2 + + m 1 1 - m
(
+ m ) (
f x 2 ( ) 22
x 22
x mx + -
x
1 m = = . Tìm m sao cho đ th c a hàm s 2. Cho hàm s ố ồ ị ủ ố f có ti m c n xiên đi ệ ậ y x qua g c t a đ .
ố ọ ộ + - ax (2 3 + +
x
a = „ - „ có đ th (C). Ch ng minh r ng đ th c a hàm 1, 0 a a y 3. Cho hàm s ố ồ ị ủ ồ ị ứ ằ - 1).
2 a
x
s này có ti m c n xiên luôn đi qua m t đi m c đ nh.
ố ố ị ệ ể ậ ộ - 3 2 = = có đ th ( y f x
( ) 4. Cho hàm s ố ồ ị C). - +
x
1 x a. Ch ng minh r ng tích kho ng cách t m t đi m ng đ ng ti m c n là ả ằ ừ ộ ể M b t kỳ trên (
ấ C) đ n hai đ
ế ườ ườ ệ ậ ứ
m t s không đ i. ộ ố ổ b. Tìm t a đ đi m ọ ộ ể N thu c (ộ C) sao cho t ng kho ng cách t ả ổ ừ N đ n h i ti m c n nh nh t. ạ ệ ế ấ ậ ỏ + - 2 = = có đ th ( ng ti m c n xiên c a đ th hàm s y f x
( ) 5. Cho hàm s ố ồ ị Cm). Tìm m đ đ ể ườ ủ ồ ị ệ ậ ố - mx
1 x
t o v i hai tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng 4.
ạ ụ ọ ộ ộ ệ ằ ớ D ng 10: - TH TÍCH ạ Ệ
DI N TÍCH Ể (D ng này th ng xu t hi n trong các đ thi t ạ ườ ề ệ ấ ố ệ )
t ngh p i h n b i ( Cho hai hàm s ố y=f(x) và y=g(x) có đ th ( ồ ị C1), (C2). Di n tích hình ph ng gi
ệ ẳ ớ ạ ở C1), (C2) và hai đ x=a, x=b đ c tính b i công th c: ườ ng th ng
ẳ ượ ứ ở b = S a y f(x) - ) ( (
f x )
g x dx (cid:242) Chú ý: a b g(x) O N u di n tích thi u các đ x=a, x=b ế ệ ế ườ ng th ng
ẳ i ph ng trình f(x)=g(x) đ tìm a, b. ta ph i gi
ả ả ươ ể x b. Th tíchể y y Th tích do hình ph ng gi ể ẳ ớ ạ i h n b i
ở d f(x) {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox b 2 [ ) ] V (
xf dx x (x) (cid:242)=
p a O a b x c đ c tính b i công th c: ượ ứ ở x O Th tích do hình ph ng gi ể ẳ ớ ạ i h n b i
ở d 2 [ ( ) ] x V y dy (cid:242)=
p {(C): x=x (y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy c đ c tính b i công th c: ượ ứ ở 13 HS: Do·n V¬ng Phïng Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Th tích tròn xoay do hình ph ng gi ng ể ẳ ớ ạ ườ b 2 2 i h n b i hai đ
ở
{
[ ] ) [ ) ] = p (
xf V (
xg y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox
}
dx (f(x)‡ g(x), " x˛ [a;b]) đ c tính b i công th c: . ượ ứ ở a - (cid:242) 2 ( )
1 *
* * - - 2 m x m = (1) 1. Cho hàm s ố (m là tham s ).ố (ĐH Kh iố - D y - x 1 2002) ả ứ ố ớ m=- 1.
C) và hai tr c t a đ .
ụ ọ ộ
y=x. ẽ ồ ị C) c a hàm s (1) ng v i
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (
ủ
ự ế
i h m b i đ
b. Tính di n tích hình ph ng gi
ở ườ
ớ ạ
ệ
c. Tìm m đ đ th hàm s (1) ti p xúc v i đ
ớ ườ
ế
ể ồ ị ng cong (
ng th ng
ẳ ẳ
ố S = - + 1 4 ln 1m „ ĐS: b. , c . 4
3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
h y( ) = 0
2. Cách xác đ nh ti m c n
ậ
ị
lim
x
lim
x
TCX có ph
]x
(
xf
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
y
y
x
x
)
(
y
x
(
)
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
)
1
ng d ng tích phân
Ứ
ụ
a. Di n tích
ệ
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi
