Trường THPT Đức Thọ - H Tĩnh Gio vin: Nguyễn Đức Hậu
NHỊ THỨC NIU TƠN
1.Các kiến thức cần nhớ:
Với hai số thực a,b và n ta có công thức:
N∈
()
011222
... ...
nnn n knkk n
nn n n n
ab Ca CabCab Ca b Cb
−− −
+ = + + ++ ++ n
Các số là các hệ số của nhị thức
k
n
c
-Số hạng tổng quát của khai triển , kí hiệu có dạng,
1
nk nk k
kn
TCab
−−
+=
-Các hệ số của nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau:
nk k
nn
CC
−=
-
012
... ... 2
kn
n
nnn n n
CCC C C+ + ++ ++ =
-Tổng các hệ số hệ số của nhị tức nằm ở các vị trí chẳn,bẳng tổng các hệ số nhị thức ở các vị trí lẻ va
bằng
1
2n−
024 135
... ...
nnn nnn
CCC CCC+++=+++
=1
2n
−
*
(
)
1n
x+=
01 22
... ...
kk nn
nn n n n
CCxCx Cx Cx+ + ++ ++
*
(
)
1n
x−=
() ()
01 22
... 1 ... 1
kn
kk nn
nn n n n
CCxCx Cx Cx−+ −+− ++−
Bài tập:
1.Cho .
12
79
nn n
nn n
CC C
−−
++ =
Trong khai triển nhị thức
28
315
n
xx x
−
⎛⎞
+
⎜
⎝⎠
⎟
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x.
2.Tìm hệ số của số hạng chứa 26
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của 7
4
1n
x
x
⎛
+
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
, biết rằng
.
12 20
21 21 21
... 2 1
++ +
+++=−
n
nn n
CC C
3.Tìm hệ số của 4
x
trong khai triển biểu thức
(
)
2
13
n
A
xx=−− thành đa thức. Trong đó n là số nguyên
dương thỏa mãn:
()
222 2 2
234
2 ... 3
nn
CCC C A
1
+
++++ = .
Quy tắc tổng quát :Tổng các hệ số trong biểu diễn chính tắc của đa thức f(x) chính là f(1)
()
100 1 2 100
01 2 100
2 ...
aaxax ax−=++++
00
2
.
Cho
a)Tính .
97
a
b) .
0 1 2 100
...Sa aa a=++++
c)M= .
12 1
1. 2. ... 100.aa a+++
4.Đặt
()
()
12 21
01 2 12
12 ...
f
xxaaxaxa=+ = + + ++ x
Hãy tìm ).
12 12
max( , ,...,aa a
2
Trường THPT Đức Thọ - H Tĩnh Gio vin: Nguyễn Đức Hậu
5.Giả sử
10
21
01 2 10
12 ...
33
0
x
aaxax ax
⎛⎞
+=++++
⎜⎟
⎝⎠ .
Hãy tìm ).
12 10
max( , ,...,aa a
6.Chứng minh rằng :
1 1000 1001
2001 2001 2001 2001 , 0 k 2000
kk
CCCC
+
+≤+ ∀≤≤
7.Chứng minh rằng:
(
)
2
22 2
.,
nn n
nk nk n
CC C k
−+
≤∀=0,n
.
8.Chứng minh rằng :
1
01
112
...
21
n
nn
CC nn
+1
1
−
+++=
+
+.
9.Chứng minh rằng: 12
2 ... 2
nn
nn n
CC nCn
1
−
+++= .
10.Chứng minh rằng: .
()
12
2 ... 1 0
nn
nn n
CC nC−++− =
11.k và n là hai số tự nhiên sao cho 4kn
≤
≤ chứng minh rằng
:1234
4
46 4
kk k k k k
nn n n n n
CC C CC C
−− −−
+
++++=.
12.Chưng minh đẳng thức :
(
)()
234
2.1. 3.2 4.3 .. 1 1 2
nn
nnn n
CCCnnCnn−
++++−=−
2
.
13.
2
135 21
222 2
111 1 2
...
246 2 2
n
n
nnn n
CCC C
nn
−1
1
−
++++ =
+
.
14.Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị Niu tơn của (2+x)n biết:
()
011 22 33
3 3 3 3 ... 1 2048
n
nn n n n
nnn n n
CCCC C
−− −
−+ −++−=
15. Chứng minh rằng : .
0 1 2 2000 2000
2000 2000 2000 2000
2 3 ... 2001 1001.2CCC C++++ =
16.Chứng minh rằng :
()
() ()
012 1
111 1
...
246 21 2
n
n
nnn n
CCC C
nn
−
−++ = 1
+
+.
17.Chứng minh rằng: 1
11
...
kk k k
k k km km
CC C C
+
++−
+++ =
+
1
m
.Từ đó suy ra đẳng thức sau:
01 2 1
12 1
... mm
kk k km k
CC C C C
−
−
+
++−
++++ =
+
.
18.Xác định số lớn nhất trong các số: .
012
, , ,..., ,...,
kn
nnn n n
CCC C C
19.Chứng minh:
(
)
02132 2n2n2n12n
2n 2n 2n 2n
C3C3C...3C 2 21
−
++++ = +.
20. Chứng minh: n1 1 n2 2 n3 3 n4 n n1
nn n n
2 C 2 C 3.2 C 4.2 ... nC n.3
−
−−−
++ +++=
−
n
−
.
21. Chứng minh: .
() ()
n1
n1 0 n2 1 n1 1 2 n1 n
nnnnn
n.4 C n 1 4 C ... 1 C C 4C ...n.2 C
−
−− −
−− + − = + +
22. Chứng minh:
(
)
0 2 2 4 2 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001
3 3 ... 3 2 2 1++++ = −CCC C .
2