Nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi: Môn Toán học 9

N I DUNG B I D NG H C SINH GI I L P 9 - MÔN TOÁN Ồ ƯỠ Ộ Ọ Ỏ Ớ

1. Yêu c uầ :

ng trình c p THCS. H c kì I đ i v i l p 9 ố ớ ớ ấ ọ

ươ c các ki n th c và năng l c v n d ng ki n th c c a HS a) Ki n th c ế b) K năng ỹ ứ : N m trong ch ằ : Ki m tra đ ượ ự ậ ụ ứ ủ ứ ế ể ế

2. Đ khó: ộ

+ Thông hi u: 20% ể

+ V n d ng: 80%. ậ ụ

3. N i dung: ộ

ố ọ a. S h c:

+ Các bài toán v s h c: Tìm s và ch s . Toán chia h t. S chính ph ng. ế ố ươ ề ố ọ ữ ố

CLN và BCNN. Ph Ư ươ ố ng trình nghi m nguyên, Toán dãy s . ố ệ

ạ ố b. Đ i s : ự ế ệ ậ ậ

+ Phân tích thành nhân t

+ Th c hi n phép bi n đ i v căn b c hai, căn b c 3 ổ ề ử ị ủ ề ệ ứ ạ ố ể ể ọ

ể ệ ể ị ị

ng trình đ a đ ng trình ấ c v ph ề ượ ươ ươ ư

ươ ng trình tích… ị + Tìm đi u ki n xác đ nh c a bi u th c. Rút g n bi u th c đ i s . Tính giá tr ứ ị ớ c a bi u th c đ i s . Tìm giá tr nguyên, đi u ki n đ có giá tr nguyên. Tìm giá tr l n ề ứ ạ ố ủ nh t, nh nh t ỏ ấ + Gi b c nh t.Ph ậ ng trình b c nh t và các ph ấ ậ ệ ố i ph ng trình giá tr tuy t đ i. Ph ị ả ươ ươ ấ

i ph + Gi ả ươ ỉ ộ ặ

+ Ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c. Gi ng trình vô t m t ho c hai căn th c ứ i b t ph ng trình ả ấ ấ ẳ ứ ứ ứ ẳ ươ

c. Hình h c:ọ

+ Ch ng minh h th c, đ ng th c, b t đ ng th c hình h c ọ ệ ứ ấ ẳ ứ ứ ứ ẳ

+ Ch ng minh vuông góc, song song, th ng hàng, đ ng quy ứ ồ

ẳ + Tính t s , chu vi, di n tích đa giác, … ỉ ố ệ

+ Các bài toán c c tr hình h c, ự ọ

ị + Xác đ nh đi m th a mãn đi u ki n cho tr c ể ề ệ ỏ ị ướ

CH Đ D Y H C PH N H ÌNH H C ( Tài li u tham kh o) Ủ Ề Ạ Ọ Ầ Ọ ệ ả

I. Đ NH LÍ TA – LET (Bài T p) ậ Ị

Bài 1: Cho tam giác ABC. G i I là m t đi m n m trong tam giác. IA, IB, IC theo th ể ọ ộ ứ

=

+

t c t BC, CA, AB t i M, N, P. ch ng minh r ng: ự ắ ạ ứ ằ ằ IA NA PA IM NC PB

Bài 2: Cho tam giác ABC. Đi m D trên c nh BC sao cho BD = ể ạ BC, đi m E trên ể

3 4

đo n th ng AD sao cho AE = ạ ẳ AD. G i K là giao đi m c a BE và AC. Tính t s ỉ ố ủ ể ọ

1 3

AK KC

ự ể ọ

ủ I và K. Qua C v đ ứ ự ở ắ

ọ th ng qua H và vuông góc v i MH c t AB và AC theo th t ớ th ng song song v i IK, c t AH và AB theo th t ườ Bài 3: Cho tam giác nh n ABC, tr c tâm H. G i M là trung đi m c a BC. Đ ng ẽ ườ ng N và D. CMR: NC = ND và HI = HK ứ ự ở ẳ ẳ ắ ớ

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, đ ng th ng d đi qua A l n l t c t BD, BC, DC ườ ầ ượ ắ ẳ

theo th t E, K, G. Ch ng minh r ng: ứ ự ở ứ ằ

=

+

a) AE2 = EK. EG b)

1 1 1 AE AK AC

c) Khi d thay đ i v trí nh ng v n qua A thì tích BK. DG có giá tr không đ i ổ ư ị ổ ị

Bài 5: Cho t t thu c các c nh AB, BC, CD, ộ

=

^ FH DA sao cho ứ ầ ượ ạ = . Ch ng minh r ng:EG = FH và EG ằ

ẫ giác ABCD, các đi m E, F, G, H l n l ể ứ AE BF DN DH 1 = EB FC NC HA 2 Bài 6: Cho tam giác ABC. G i E, F, D l n l t thu c các c nh AB, BC, AC sao cho t ầ ượ ạ ộ

ứ ọ t AB = c, AC = b,AD = m, DC = n và x là c nh hình thoi ạ ế

giác BEDF là hình thoi.Cho bi BEDF. Ch ng minh r ng: ứ ằ

= a) c) AB.BC = x ac + a c b) BD < 2ac a c+

ng phân giác BE, đ

ng th ng qua C vuông góc v i BE t Bài 7: Cho tam giác nh n ABC có BC < BA, đ ọ ạ ộ ườ ườ i F và c t BD t ắ ế ng trung tuy n ể i G. G i O là giao đi m ạ

+ x (m n) m.n ườ ọ

BD. M t đ ớ c a EG và DF. Ch ng minh r ng OG = OE ủ ẳ ứ ằ

ừ ẳ

ng th ng song song v i BC ớ i F. Qua F ớ ạ ạ ắ

Bài 8: Cho hình thang ABCD, đáy nh CD. T D v đ i M và AB t i K. T C v đ ẳ ừ ng th ng song song v i AC c t BC t ạ ẳ ẽ ườ ỏ ng th ng song song v i AD c t AB t ẽ ườ i P. Ch ng minh r ng: ắ c t AC t ạ ắ i v đ l ạ ẽ ườ ứ ằ

a) MP // AB ng th ng MP, CF, DB đ ng quy. ớ b) Ba đ ườ ẳ ồ

Bài 9: Cho tam giác ABC. Các đi m D, E, F theo th t thu c các c nh AB, BC, CA ứ ự ạ ộ

BE = CA EC

ể = . Các đi m I, K theo th t sao cho thu c các đo n ED, FE sao cho ể ứ ự ạ ộ

1 2

ứ ằ

AD CF = DB IE KF 1 = . Ch ng minh r ng IK // BC = 2 ID KE

Bài 10: Cho tam giác nh n ABC, cacsv đ ọ ọ

ng cao AD, BE, CF. G i I, K, M, N theo ườ là hình chi u c a D trên BA, BE, CF, CA. CMR: B n đi m I, K, M, N th ng hàng th t ế ủ ể ẳ ố ứ ự

II. Đ NG PHÂN GIÁC C A TAM GIÁC (Bài t p) ƯỜ Ủ ậ

Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, đ ng phân giác AD. ườ

b) Tia phân giác c a góc B c t AD ủ

a) Tính theo a, b, c đ dài BD, DC ộ

ắ ở I. Tính t s ỉ ố

AI ID

c) Bi

t r ng a = ( b + c):2. G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC. CMR: IG // BC ế ằ ọ ọ

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc B nh h n 60 ng phân giác AD ủ 0, đ ỏ ơ ườ

a) Ch ng minh r ng AD < AB ứ ằ

b) G i AM là đ

ng phân giác c a ọ ườ ứ ằ

D Bài 3:Tính di n tích ABC bi ủ D ADC. Ch ng minh r ng BC > 4DM t AB = 28cm, AC = 70cm, đ ng phân giác AD = ệ ế ườ

24cm

ng trung tuy n AM. G i MD, ME l n l t là các đ ầ ượ ế ọ ườ ng D Bài 4: Cho tam giác ABC, đ ườ phân giác c a các tam giác AMB, AMC ủ

a) Ch ng minh r ng DE // BC ứ ằ

b) Tam giác ABC ph i có đi u ki n gì đ DE là đ

ng trung bình c a nó ệ ể ề ả ườ ủ

Bài 5: Cho tam giác ABC, đ ng phân giác AD. Ch ng minh r ng: ứ ằ

+

=

ﾵ = A 120

�

Bài 6: G i AM, BD, CN là các đ ườ 1 1 1 AC AB AD ườ ọ ủ ủ

AB = c, BC = a, AC = b. Ch ng minh r ng: ứ ớ ng phân giác c a tam giác c a tam giác ABC. V i ằ

1 +

> + +

NA MB DC � � NB MC DA

AM BD CN a

1 1 1 b c

TAM GIÁC Đ NG D NG (Bài t p) III. Ồ ậ

Ạ Bài 1: Cho tam giác ABC có góc B b ng 2 l n góc C ằ ầ

b) N u ba c nh c a tam giác là ba s t ủ

a) Bi t AB = 8cm, BC = 10cm. Tính AC ế

ố ự ế ạ nhiên lien ti p thì m i c nh b ng bao nhiêu. ỗ ạ ế ằ

ﾵ

Bài 2:Cho tam giác ABC cân t i A có BC = 2a. G i M là trung đi m c a BC. G i D, E ạ ủ ọ ọ

t thu c các c nh AB, AC sao cho ằ l n l ầ ượ ạ ộ ể ﾵ DMB B= . Ch ng minh r ng: ứ

a) Tích BD, CE không đ i ổ b) Tia DM là tia phân giác c a góc BDE

ủ c) N u tam giác ABC đ u. Hãy tính chu vi tam giác AED ế

ườ ầ ượ

ề Bài 3: Cho hình vuông ABCD, O là giao đi m hai đ ọ ủ ể ﾵ GOH 45= 0

ộ ạ a/ HD.BG = OB.OD t là ng chéo, G i G, H l n l ọ ứ . G i M là trung đi m c a AB. Ch ng ể b) MG // AH các đi m thu c c nh BC, CD sao cho ể minh r ng: ằ

Bài 4: Cho tam giác ABC, I là giao đi m c a ba đ ủ ể ườ

i I c t AC, BC theo th t M, N. Ch ng minh r ng góc v i CI t ớ ạ ứ ự ở ắ ứ ằ

Bài 5: Cho tam giác ABC, BC = a, CA = b, AB = c, Ch ng minh r ng khi và chỉ ứ ằ ng phân giác. Đ ng th ng vuông ườ ẳ 2 AM AI � � = � � BI BN � � ﾵﾵ A 2B=

khi a2 = b2 + bc

Bài 6: Cho tam giác ABC. Hai đ ng th ng d và d’ vuông góc v i nhau và cùng đi qua ẳ ớ

t t i I và J, d’ c t BC t i K. ườ ắ ự ầ ượ ạ ắ ạ (cid:219) BK = CK tr c tâm H c a tam giác sao cho d c t AB và AC l n l ủ Ch ng minh r ng IH = JH ằ

ứ Bài 7: Cho tam giác ABC cân t i A. Hai đi m D và E theo th t ứ ự ể ạ ổ

BC. G i F là hình chi u c a D trên BC. Ch ng minh r ng n u EF = BC thì đ ngườ ế ủ ứ ế ằ ọ

thay đ i trên AB và 1 2 th ng qua E và vuông góc v i DE luôn luôn đi qua m t đi m c đ nh. ố ị ể ẳ ớ ộ

Bài 8: trên hai c nh AB và BC c a hình vuông ABCD l y hai đi m P, Q theo th t ấ

ứ ự ﾵ DHQ 90= 0 ủ sao cho BP = BQ. G i H là hình chi u c a B trên CP. Ch ng minh r ng ế ủ ạ ọ ể ằ ứ

IV/ H TH C L NG TRONG TAM GIÁC VUÔNG (Bài t p) Ứ ƯỢ Ệ ậ

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông t i A, đ ủ ạ

ườ D. G i K là hình chi u c a D trên AC. Bi t BC = 25, DK = 5. Tính AB ế ủ ng cao AH. Tia phân giác c a góc HAC ế ở ọ c t HC ắ

ổ Bài 2: C nh huy n c a m t tam giác vuông l n h n m t c nh góc vuông là 1cm, t ng ạ ớ ơ

hai c nh góc vuông l n h n c nh huy n là 4cm. Tính các c nh c a tam giác vuông ủ ề ạ ề ủ ớ ộ ơ ạ ộ ạ ạ

ề ạ ộ ườ ề ng cao ng v i c nh huy n ớ ạ ứ

là 2cm. Hìy tính c nh nh nh t c a tam giác vuông này Bài 3: M t tam giác vuông có c nh huy n là 5cm và đ ấ ủ ạ ỏ

Bài 4: Cho tam giác nh n ABC. Trên đ ng cao AD, BE l n l ầ ượ ấ t l y các đi m P và Q ể ườ

ọ . Ch ng minh: CQ = CP sao cho ﾵ ứ

i B (DB > BC), đ ng cao BH.

ﾵ BPC AQC 90 Bài 5: Cho D DBC vuông t

ạ ườ ủ G i A là trung đi m c a ể ọ

DC.

i thích ?

+ =

1 2

a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Gi ả 2 = 2AB.CH b) Ch ng minh r ng CB ứ ằ

AH HC

c) Ch ng minh r ng: ứ ằ

2 AB � � � � BC � � ﾵ - = C B 90

, đ ng cao AH. ườ

2 = HB.HC

Bài 6: Cho tam giác ABC có ﾵ Ch ng minh: AH ứ

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8. Các đ ng trung tuyên BD và CE vuông ườ

góc v i nhau. Tính BC ớ

Bài 8: Cho tam giác ABC có đ dài ba c nh AB, BC, CA là ba s t ố ự ộ ế nhiên liên ti p

ng cao AH, đ tăng d n, đ ầ ườ ườ ng trung tuy n AM. Ch ng minh r ng HM = 2 ứ ằ ạ ế

Bài 9: Cho tam giác ABC, D là di m thu c c nh BC. ể

Ch ng minh r ng AB ứ ằ

i A, đ ng trung tuy n AM. Qua A v đ ế

ộ ạ 2. CD + AC2. DB + AD2. BC = CD.DB.BC ườ ủ Bài 10: Cho tam giác ABC vuông t ớ ẽ ườ ng ầ ượ ắ t c t

ạ th ng d vuông góc v i AM. Các tia phân giác c a các góc AMB và AMC l n l ẳ đ ườ

b/T giác BDEC là hình thang ứ

ng th ng d D và E. Ch ng minh: ứ ở ẳ a/ ∆MAD = ∆MBD và DB ^ BC ; c/ AD.AE = AM2 và BC2 = 4DB.EC; d/ Cho AC = 2AB. Ch ng minh EC = BC ứ

V/ T S L NG GIÁC (Bài t p) Ỉ Ố ƯỢ ậ

ứ ằ ớ ọ

a a a/ sinα < 1, cosα < 1 b/ tanα = ; cotα = ; tanα.cotα = 1 a a cos sin Bài 1: Ch ng minh r ng: V i góc nh n α tùy ý, ta có: sin cos

a = a = + 1 tan + 1 co t d/ ; c/ sin2 α + cos2 α = 1 a a 1 2 sin 1 2 cos

ﾵABC = a

Bài 2:Cho tam giác ABC vuông t i Acó ạ , BC = a, AC = b, AB = c. Ch ngứ a

=

tan

minh r ng: ằ

b + a c

2

Bài 3: Cho tam giác ABC có tr c tâm H, đ ng cao CE. Bi t H là trung đi m c a CE. ự ườ ế ủ ể

Tính: tanA.tanB

Bài 4: Cho tam giác ABC có các đ ng trung tuy n BM và CN vuông góc v i nhau. ườ ế ớ

Ch ng minh r ng cotB + cotC ≥ ứ ằ

Bài 5: Cho tam giác ABC, đ ng trung tuy n AM. Bi

2 3 ườ

ế ế t AM = AC. Ch ng minh r ng: ứ ằ

1 3

tanB = tanC

ng trung tuy n AM, đ ng cao AH. Bi ườ ế ườ ế t

(cot C cot B)

tan

ﾵMAH = a

. Ch ng minh r ng: ứ ằ

ng phân giác trong AD và đ

ﾵB C> , đ Bài 6: Cho tam giác ABC có ﾵ 1 a = 2 i A, AB < AC,đ ạ

ườ ườ ng

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông t phân giác ngoài AE. Ch ng minh r ng: ằ ứ

2 =

- = +

1 1 AE AC AB

1 1 AD AB AC

ng phân giác trong AD, đ ng cao CH, đ ng trung ườ ườ ườ

tuy n BM giao nhau t i I. Ch ng minh r ng: ABcosA = BCcosB ạ ằ

Bài 8: Cho tam giác ABC ,đ ế ứ Bài 9:

a) Cho sinx + cosx = 2 . Ch ng minh r ng sinx = cosx và tìm x.

b) V i giá tr nào c a x thì sinx ≥ cosx, tanx ≥ cotx

ứ ằ

ủ ớ ị

a

c

=

Bài 10: Cho D ABC có BC = a, AC = b, AB = c. CMR:

b sin A sin B sin C

VI. DI N TÍCH Ệ

A. Các tính chất cần nhớ a) M i đa giác có s đo di n tích xác đ nh l n h n 0 ệ ỗ ố ơ ớ ị

ủ ệ ằ ằ

b) Hai tam giác b ng nhau thì di n tích c a chúng b ng nhau c) Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện

B. Các ki n th c c b n tích của nó bằng tổng diện tích cảu những đa giác đó ứ ơ ả ế

giác 1. Các công th c c b n c a di n tích t ệ ứ ơ ả ủ ứ

a) Công th c tính di n tích h ứ ệ

b) Di n tích hình ch nh t có kích th ình vuông c nh a là S = a ạ c là a, b: S = ab ữ ậ ệ ướ

a c) Di n tích hình bình hành có hai c nh liên ti p a, b, m t góc là , đ ế ệ ạ ộ ườ ứ ng cao ng a v i c nh a là h thì S = ah = absin ớ ạ

2sina

1 2

a d) Hình thoi có c nh b ng a, m t góc là , hai đ ng chéo là m, n thì S = a = ạ ằ ộ ườ

1 2

e) Hình thang có hai đáy a, b đ ng cao h, đ ng trung bình m thì S = (a + b)h = mh ườ ườ

ơ b ả n c ứ c c ủ a diên tích tam giác

2. Chứ ng minh các công th Xét tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c

N a chu vi , đ ng cao AH = h, bán kính đ ng tròn n i ti p là r, bán kính ử ườ ườ ộ ế ớ + + a b c 2

1 2

đ t (1) ườ ng tròn ngo i ti p là R. Bi ạ ế ế

Ch ng minh các công th c c b n sau: ứ

abc 4R

a) S = pr b) S = absinC c) S = ứ ơ ả 1 2

2a sin Bsin C 2sin A

- - - d) S = e) S = 2R2 sinAsinBsinC f) S = p(p a)(p b)(p c)

C. Ch ng minh các bài toán c b n ơ ả ứ

ạ

b) N u tam giác ABC có đi m N n m trên BC mà BN = k.CN thì S

ABN = k.SACM

ỉ ABC = k.SADE thu c m t đ Bài 1:a) N u hai tam giác ABC và ADE có chung đ nh A, hai c nh BC và DE cùng ộ ế ng th ng mà BC = k.DE thì S ộ ườ ẳ

c)N u tam giác ABC có N là trung đi m c a BC thì S

ABN = SACM

ế ể ằ

ủ ế ể

ng cao AH, DK ạ ớ ườ

ABC = SADE

DBC

. N u AD // BC thì S ế Bài 2: N u hai tam giác ABC và DBC có chung c nh BC v i hai đ S thì ABC S ế AH DK

ABC

ế ạ ườ ắ ng th ng AD c t ẳ

S S

DBC

ng th ng BC t i E thì đ ạ ẳ ườ Bài 3: N u hai tam giác ABC và DBC có chung c nh BC mà đ AE DE

ADE

ng th ng BD và CE c t nhau t i đi m A thì ườ ẳ ắ ạ ể

S S

ABC

Bài 4: N u hai đ ế AD.AE AB.AC

ADE

t: N u hai tam giác ABC và ADE đ ng d ng ( DE // BC) Đ c bi ặ ệ ế ạ ồ

S S

2 DE � � � � BC � �

ABC

v i A,D,B th ng hàng và A, C, E th ng hàng thì ớ ẳ ẳ

1 2

a Bài 5: Cho t giác ABCD có góc t o b i hai đ ng chéo là thì SABCD = AC.BDsina ứ ạ ở ườ

ABC bi

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên hai c nh AB, AC l n l ể

ầ ượ ấ ủ ể t l y hai đi m M, N sao cho tế

VII. BÀI T PẬ ạ MA : MB = 1 : 3 và AN: NC = 4: 1. G i D là giao đi m c a BN và CM. Tính S ọ SABD = 2

3 4

FPC =

Bài 2: Cho tam giác ABC có di n tích b ng S. Các trung tuy n AE, CF, BM c t nhau ế ệ ắ ằ

t ạ i G. G i P là đi m đ i x ng c a E qua M. Ch ng minh r ng S ủ ọ ố ứ ằ

ể Bài 3. Cho tam giác ABC, đ ứ ng th ng qua A c t c nh BC K và c t đ ng trung ắ ạ ẳ ườ ở ắ ườ

ABC

tuy n BM t i I sao cho BI: IM = 1: 2. Tính ế ạ S ABK S

ắ Bài 4. Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) v i AB = 5CD. Phân giác c a góc ABC c t ủ ớ

AEB

E và EA = 3ED. Tính c nh AD ạ ở S BEDC S

Nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi: Môn Toán học 9