A
D
C
B
o
HÌNH H CỌ
Ch ng I : ươ VECT Ơ
§1: CÁC ĐNH NGHĨA Ị
TÓM T T Ắ LÝ THUY TẾ
Đnh nghĩaị: Vect là đo n th ng có h ng ơ ạ ẳ ướ .
+ Vect có đi m đu (g c) là A, đi m cu i (ng n) là B đc ơ ể ầ ố ể ố ọ ượ
kí hi u là ệ
AB
uuur
( đc là vect AB).ọ ơ
+ M t vect xác đnhộ ơ ị còn đc kí hi u là ượ ệ
, , , ,...a b x y
r r r ur
(Chú ý:
AB BA
uuur uuur
)
+ Vect – không (có g ch n i gi a 2 t )ơ ạ ố ữ ừ :
Vect có đi m đu và đi m cu i cu i trùng nhau g i là vectơ ể ầ ể ố ố ọ ơkhông, kí hi u ệ
0
r
Ví d : ụ
,MM AA
uuuur uuur
,....
+ Giá c a vectủ ơ : M i vect ỗ ơ
AB
uuur
≠
, đng th ng AB g i là ườ ẳ ọ giá c a vectủ ơ
AB
uuur
. Còn vect ơkhông
AA
uuur
thì m i đng th ng qua A đu là giá c a nó.ọ ườ ẳ ề ủ
+ H ng c a vectướ ủ ơ: là h ng t g c đn ng n c a vect . ướ ừ ố ế ọ ủ ơ
+ Hai vectơ cùng ph ngươ là hai vect có ơgiá song song ho c trùng nhauặ.
Chú ý:
+ Đ dài c a vectộ ủ ơ: đó là kho ng cách gi a đi m đu và đi m cu i c a vect đó. Đ dài ả ữ ể ầ ể ố ủ ơ ộ
a
r
kí hi u là |ệ
a
r
|,
| |AB AB BA= =
uuur
Hai vect b ng nhau:ơ ằ n u chúng cùng h ng và cùng đ dài ế ướ ộ
N u ế
a
r
b ng ằ
b
r
thì ta vi t ế
a
r
=
b
r
.
AA BB
=
uuur uuur
=
0
r
, |
0
r
|= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
a) T t các vect khác ấ ơ
0
r
;
b) Các vect cùng ph ng;ơ ươ
c) Các vect b ng nhau.ơ ằ
Các kí hi u th ng g pệ ườ ặ
AB
uuur
cùng ph ngươ
CD
uuur
kí hi u: ệ
AB
uuur
//
CD
uuur
AB
uuur
cùng h ngướ
CD
uuur
kí hi u: ệ
AB
uuur
CD
uuur
AB
uuur
ng c h ngượ ướ
CD
uuur
kí hi u: ệ
AB
uuur
CD
uuur
-1-
A
B
b
uuur
a
ur
A
D
C
B
o
E
F
D
B
A
C
K
I
N
M
D
A
C
B
CÁC D NG TOÁN C B NẠ Ơ Ả
D ng 1ạ. Xác m t vect , s cùng ph ng cùng h ngộ ơ ự ươ ướ
Chú ý: v i hai đi m phân bi t A, B ta có hai vect khác vect ớ ể ệ ơ ơ
0
r
là
,AB BA
uuur uuur
Ví d 1:ụ Cho 5 đi m A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vect khác vect - không có đi m đu và đi m cu iể ơ ơ ể ầ ể ố
là các đi m đó.ể
Gi iả
Có 10 c p đi m khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}.ặ ể
Do đó có 20 vect khác ơ
0
r
Ví d 2:ụ Cho đi m A và vect ể ơ
a
r
khác
0
r
. Tìm đi m M sao cho:ể
AM
uuuur
cùng ph ngươ
a
r
Gi iả
G i ọ là giá c a ủ
a
r
N u ế
AM
uuuur
cùng ph ng ươ
a
r
thì đng th ng AM// ườ ẳ
Do đó M thu c đng th ng ộ ườ ẳ m đi qua A và //
Ng c l i, m i đi m M thuôc ượ ạ ọ ể m thì
AM
uuuur
cùng ph ng ươ
a
r
D ng 2: Ch ng minh hai vect b ng nhauạ ứ ơ ằ
Ta có th dùng m t trong các cách sau:ể ộ
+ S d ng đnh nghĩa: ử ụ ị
| | | |
, cuøng höôùng
a b a b
a b
#
==�
�
r r r r
r uur
+ S d ng tính ch t c a các hình . N u ABCD là hình bình hành thìử ụ ấ ủ ế
,AB DC BC AD= =
uuur uuur uuur uuur
,…
(ho c vi t ng c l i)ặ ế ượ ạ
+ N u ế
,a b b c a c= = =�
r r r r r r
Ví d 1ụ: Cho tam giác ABC có D, E, F l n l t là trung đi m c a BC, CA, AB. ầ ượ ể ủ
Ch ng minh: ứ
EF CD=
uuur uuur
Gi iả
Cách 1: EF là đng trung bình c a ườ ủ ABC nên EF//CD,
EF=
BC=CD EF=CD
EF CD=
uuur uuur
(1)
EF
uuur
cùng h ng ướ
CD
uuur
(2)
T (1),(2) ừ
EF CD=
uuur uuur
Cách 2: Ch ng minh EFDC là hình bình hànhứ
EF=
BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành
EF CD=
uuur uuur
Ví d 2:ụ Cho hình bình hành ABCD. Hai đi m M và N l n l t là trung đi m c a BC và AD. Đi m I làể ầ ượ ể ủ ể
giao đi m c a AM và BN, K là giao đi m c a DM và CN. ể ủ ể ủ
Ch ng minh: ứ
,AM NC DK NI= =
uuuur uuur uuur uur
Gi iả
Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành
AM NC=
uuuur uuur
T ng t MCDN là hình bình hành nên K là trung đi mươ ự ể
c a MDủ
DK
uuur
=
KM
uuuur
. T giá IMKN là hình bình hành,ứ
suy ra
NI
uur
=
KM
uuuur
DK NI=
uuur uur
Ví d 3ụ: Ch ng minh r ng hai vect b ng nhau có chung đi m đu (ho c đi m cu i) thì chúng có chungứ ằ ơ ằ ể ầ ặ ể ố
đi m cu i (ho c đi m đu).ể ố ặ ể ầ
Gi iả
Gi s ả ử
AB AC=
uuur uuur
. Khi đó AB=AC, ba đi m A, B, C th ng hàng và B, C thuôc n a đng th ng góc Aể ẳ ử ườ ẳ
BC.
(tr ng h p đi m cu i trùng nhau ch ng minh t ng t )ườ ợ ể ố ứ ươ ự
Ví d 4ụ: Cho đi m A và vect ể ơ
a
r
. D ng đi m M sao cho:ự ể
a)
AM
uuuur
=
a
r
;
b)
AM
uuuur
cùng ph ngươ
a
r
và có đ dài b ng |ộ ằ
a
r
|.
-2-
m
Gi iả
Gi s ả ử là giá c a ủ
a
r
. V đng th ng d đi qua A và d// ẽ ườ ẳ
(n u A thu c ế ộ thì d trùng ). Khi đó có hai đi m Mể1 và M2 thu c d sao cho:ộ
AM1=AM2=|
a
r
|
Khi đó ta có:
a)
1
AM
uuuuur
=
a
r
b)
1
AM
uuuuur
=
2
AM
uuuuur
cùng ph ng v i ươ ớ
a
r
Ví d 5ụ: Cho tam giác ABC có H là tr c tâm và O là tâm đng tròn ngo i ti p. G i B’ là đi m đi x ng ự ườ ạ ế ọ ể ố ứ
c a B qua O. Ch ng minh: ủ ứ
'AH B C=
uuuur uuuur
.
Gi iả
BÀI T P Ậ§1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có th xác đnh đc bao nhiêu véct ( khác vect -không ) có đi m đu và đi m cu iể ị ượ ơ ơ ể ầ ể ố
là các đnh tam giác?ỉ
Bài 2: Cho hai vect không cùng ph ngơ ươ
a
và
b
. Có hay không m t véct cùng ph ng v i c hai véct đó. ộ ơ ươ ớ ả ơ
Bài 3: Cho ba vect ơ
, ,a b c
cùng ph ng và đu khác véct không. Ch ng minh r ng co ít nh t là hai véctươ ể ơ ứ ằ ấ ơ
trong chúng có cùng h ngướ
Bài 4: Cho ba đi m A,B,C phân bi t và th ng hàng. Trong tr ng h p nào thì hai véct ể ệ ẳ ườ ợ ơ
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng h ng,ướ
tr ng h p nào hai véct ng c h ng. ườ ợ ơ ượ ướ
Bài 5: Cho tam gác ABC. G i P, Q, R l n l t là trung đi m các c nh AB, BC , CA. Hãy v hình và tìm trênọ ầ ượ ể ạ ẽ
hình v các véct b ng ẽ ơ ằ
PQ
uuur
,
QR
uuur
,
RP
uuur
.
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. G i M, N l n l t là trung đi m c a AD, BC.ọ ầ ượ ể ủ
a) Tìm các vect cùng ph ng v i ơ ươ ớ
AB
uuur
;
b) Tìm các vect cùng h ng v i ơ ướ ớ
AB
uuur
;
c) Tìm các vect ng c h ng v i ơ ượ ướ ớ
AB
uuur
;
d) Tìm các vect b ng v i ơ ằ ớ
MO
uuuur
, b ng v i ằ ớ
OB
uuur
.
Bài 7: Cho l c giác đu ABCDEF có tâm Oụ ề
a) Tìm các vect khác ơ
0
r
và cùng ph ng ươ
OA
uuur
; b) Tìm các vect b ng vect ơ ằ ơ
AB
uuur
;
c) Hãy v các vect b ng vect ẽ ơ ằ ơ
AB
uuur
và có:
+ Các đi m đu là B, F, Cể ầ + Các đi m cu i là F, D, Cể ố
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vect t 5 đi m A, B, C , D , Oơ ừ ể
a) b ng vect ằ ơ
AB
uuur
;
OB
uuur
b) Có đ dài b ng ộ ằ
OB
uuur
Bài 9: Cho t giác ABCD. Ch ng minh r ng ABCD là hình bình hành khi và ch khi ứ ứ ằ ỉ
AB DC=
uuur uuur
Bài 10: Cho t giác ABCD. ứCh ng minh r ng n u ứ ằ ế
AB DC=
uuur uuur
thì
AD BC=
uuur uuur
-3-
d
A
R
Q
P
B
A
C
N
M
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
Bài 11 : Cho t giác ABCD, g i M, N, P, Q l n l t là trứ ọ ầ ượ /đi m AB, BC, CD, DA. ểC/m :
MQNPQPMN ;
Bài 12 : Xác đnh v trí t ng đi c a 3 đi m phân bi t A, B và C trong các tr ng h p sau:ị ị ươ ố ủ ể ệ ườ ợ
a)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng h ng, |ướ
AB
uuur
|>|
AC
uuur
| b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ng c h ngượ ướ c)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng ph ng;ươ
Bài 13 :Cho hbh ABCD . D ngự
BCPQDCNPDAMNBAAM ,,,
. C/minh
0AQ =
uuur r
.
HD §1
Bài 1: có các c p đi m {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà m i c p đi m xác đnh 2 véct .ặ ể ỗ ặ ể ị ơ
Bài 2: có, đó là vect -khôngơ
Bài 3: n u ế
a
ng c h ng ượ ướ
b
và
a
ng c h ng ượ ướ
a
thì cùng h ngướ
Bài 4: Cùng h ng khi A không n m gi a B, C; ng c h ng khi A n m gi a B, C.ướ ằ ữ ượ ướ ằ ữ
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7: a)
, , , , , , , ,DA AD BC CB AO OD DO FE EF
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b)
, ,OC ED FO
uuur uuur uuur
c)+ Trên tia AB, ta l y đi m B’ sao cho BB’=ABấ ể
khi đó
'BB AB=
uuuur uuur
*
FO
uuur
là vect c n tìmơ ầ
* Trên tia OC l y C’ sao cho CC’=OC=ABấ
Do CC’//AB
'CC AB=
uuuur uuur
+ t ng t ươ ự
Bài 8: a)
AB DC=
uuur uuur
,
OB DO=
uuur uuur
b)
| | | | | | | |OB BO DO OD= = =
uuur uuur uuur uuur
Bài 9:
Ch ng minh chi u ứ ề
: * ABCD là hình bình hành
CDAB
CDAB //
*
DCAB
CDAB
CDAB
//
Ch ng minh chi u ứ ề
: *
AB
=
DC
AB
,
DC
cùng h ng và ướ
DCAB
*
AB
và
DC
cùng h ng ướ
AB // CD (1)
*
AB CD=
uuur uuur
AB = CD (2).T (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hànhừ
Bài 10:
AB DC=
uuur uuur
AB=DC, AB//CD
ABCD là hình bình hành
AD BC=
uuur uuur
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng b ng ằ
AC . Và đu //AC. V y MNPQ là hình bình hànhề ậ đpcm
-4-
Bài 12 : Xác đnh v trí t ng đi c a 3 đi m phân bi t A, B và C trong các tr ng h p sau:ị ị ươ ố ủ ể ệ ườ ợ
a)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng h ng, |ướ
AB
uuur
|>|
AC
uuur
|;
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ng c h ng;ượ ướ
c)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng ph ng;ươ
HD: a)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng h ng, |ướ
AB
uuur
|>|
AC
uuur
| khi C n m gi a A và Bằ ữ
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ng c h ng, khiA n m gi a B và Cượ ướ ằ ữ
c) Cùng ph ng thì có th cùng h ng hay ng c h ngươ ể ướ ượ ướ
+ cùng h ng: n u |ướ ế
AB
uuur
|>|
AC
uuur
| thì theo a); n u |ế
AB
uuur
|<
AC
uuur
| thì B n m gi a A và C.ằ ữ
+ Ng c h ng thì theo b)ượ ướ
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . D ngự
BCPQDCNPDAMNBAAM ,,,
. Ch ng minh ứ
0AQ =
uuur r
.
HD: Ta có
;AM BA NP DC AB= = =
uuuur uuur uuur uuur uuur
AM=NP và AM//NP
AMNP là hình bình hành (1)
T ng t QMNP cũng là hình bính hành (2)ươ ự
T (1)&(2)ừ
A
Q
0AQ =
uuur r
-5-