1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ-HOÀN KIẾM
NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KÌ 1
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN. TOÁN, KHỐI 11
Nội dung. 1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.
2. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.
3. Giới hạn. Hàm số liên tục.
4. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Tự luận
Bài 1. a) Cho 2x
pp<< và 3
sin 4
x=. Tính cosx, tanx, cotx, cos( ); cos2x;
3
xp
+.
b) Cho 3
22
x
pp
<< và tanx = 3. Tính sin( )
6
xp
-, cosx, cot( )
4
xp
-, cos4x .
c) Cho 00 0
sin( 90 ) sin(180 ) tan cot(270 )aaaam++ -+ + +=
. Tính sin2a, cos4a theo m.
d) Cho tan 4.x=Tính 2
2
3sin 2 cos sin sin .cos 2
;
2 sin cos 2 cos 1
xx xxx
AB
xx x
--+
==
++
e) Cho 4
tan 2 3
a-
= và 22
x
pp
-<<. Tính sina; cosa; cos 2
a.
Bài 2. Đồng hồ ở bưu điện Hà Nội có kim phút dài 1,75m và kim giờ dài 1,26m. Hỏi
a) Sau 60 phút, đầu mũi kim giờ và kim phút của đồng hồ quét cung tròn có độ dài là bao nhiêu?
b) Đồng hồ đang chỉ 12h. Sau khoảng bao lâu thì cung tròn do mũi kim phút quét lên dài gấp 20 lần so với
mũi kim giờ
Bài 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
33
sin cos
22
tan .cot( )
22
cos sin
22
BB
A
BC
ABC ABC

 



Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) 33
cos(5 ) sin tan cot(3 )
22
A
xx xx





 b)
66
44
sin cos 2
sin cos 1
xx
Bxx


c) C = 4sin42sin
sin42sin
22
22
x
x
xx d) D =
cot tan
22
cot tan
22
aa
aa
. e) E= x
xxxx
cos
3cos.5sin5cos.3sin
Bài 5. Cho tam giác ABC. Chứng minh.
a) sinA + sin B + sinC = 4.cos 2
A.cos 2
B.cos 2
C. b)sin2A + sin2B + sin2C = 4.sinA.sinB.sinC
c)cosA+cosB+cosC=1+4.sin 2
A.sin 2
B.sin 2
C. f)cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4.cosA.cosB.cosC
Bài 6. Tính giá trị các biểu thức. a) A = cos750.cos150. b)B = sin200.sin400.sin800.
2
Bài 7. Rút gọn các biểu thức.
a) A = sin100 + sin200 + sin300 + ……..+sin800 (gợi ý. nhân hai vế với sin50)
b) B = cos300 + cos500 + cos700+……..+cos3500. ((gợi ý. nhân hai vế với sin100)
Bài 8. Tìm tập xác định của các hàm số sau.
a) 12cos
cot
x
x
y b) cos 2024
1sin
x
yx
+
=+ c) )
3
cot(
xy d) 1sin
cos 1
x
yx
-
=-
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau.
a) 1)
6
2sin(3
xy . b) xy 2cos123 . c) y = 5 – 3cos24x
d) 3sin2cos xxy . e) y = |cosx|+4 với (;]
34
x

Bài 10. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số
a) y = sin2x.cos3x b) tan
cos 5 1
x
yx
=+ c) 2
.sin
sin 3
xx
yx
=+ d) y = sinx+cosx
Bài 11. Giải các phương trình sau.
a) cos(2x-300) = -1 b) cos(x- 4
p) = -sin3x c) 2sin( ) 1 0
4
xp
--=
d)
2cos( ) 1 0
4
xp
+-=
e) 3cot( ) 1 0
4
xp
++=
f) tan3x = -1
g)
4
sin2
3
cos 22
xx h) sin(
2
p.cosx) = 1
Bài 12. Tìm các nghiệm thuộc
[
]
3;3p-của phương trình
a) (cosx-1)(2cosx+3) = 0. b) 2sin 1 0
2cos 3
x
x
-=
+
Bài 13. Tính tổng các nghiệm thuộc
[]
10 ;10pp- của phương trình. 2cos4x -1 = 0
Bài 14. Cho đồ thị hai hàm số y = sinx (C1) và y = cosx (C2) cùng vẽ trên một trục tọa độ. Hai điểm phân
biệt A và B là hai giao điểm có hoành độ âm và gần Oy hơn so với tất cả các giao điểm khác cũng có hoành
độ âm. Tìm hoành độ của A và B biết xB < xA.
Bài 15. Cho một vật dao động điều hòa với phương trình 3sin( )
6
xt
p
p=+
. Biết trong khoảng thời gian từ
thời điểm t = 0 đến thời điểm t = t1 thì vật xuất hiện tại vị trí có x = 3 là đúng 5 lần. Tìm t1.
II. Trắc nghiệm
Câu 1. Đơn giản biểu thức
2
2cos 1
sin cos
x
x
A
(với x để A có nghĩa).
A. cos sinAxx
. B. cos – sinAxx
. C. sin – cosAxx
. D. sin – cosAxx .
Câu 2. Cho
()()
sin .cosPpa pa=+ -
và sin .cos .
22
Qpp
aa
æöæö
÷÷
çç
=- +
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
3
A. 0.PQ+= B. 1.PQ+=-
C. 1.PQ+= D. 2.PQ+=
Câu 3. Biết ,,ABC
là các góc của tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng.
A. sin( ) sinAC B+=- B. cos( ) cosAC B+=-
C. tan( ) cotAC B+= D.cot( ) cot
22
AB C+=-
Câu 4. Cho 7
sin cos 2
aa+=
và 04
p
a<<. Tính 22023
tan 4
ap+.
A. 75
71
-
+ B. 74
71
-
+ C. 38 2 3
11
- D. 75
71
+
-
Câu 5 . Cho 3.
2

 Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3
tan 0.
2




B. 3
tan 0.
2




C. 3
tan 0.
2



D.
tan 0.


Câu 6. Cho biết 1
sin cos 2
xx
. Tính sin 2
x
.
A. 3
sin 2 4
x . B. 3
sin 2 4
x
. C. 1
sin 2 2
x
. D. sin 2 1x .
Câu 7. Cho biết tan 5x. Tính giá trị biểu thức 3sin 4cos
cos 2sin
x
x
Q
x
x
.
A. 1Q. B. 19
11
Q. C. 1Q
. D. 11
9
Q.
Câu 12. Cho biết sin sin 3xy
và cos cos 1
x
y
. Tính cos( )
x
y
.
A. cos( ) 1xy
. B. cos( ) 1xy
. C. cos( ) 0xy
. D. 1
cos( ) 2
xy.
Câu 13. Cho các khẳng định.
(I). sin sin 2 sin .sin
22
xy xy
xy +-
-=- (II) cos cos 2 cos .cos
22
xy xy
xy +-
+=
(III). 1
sin .cos (sin sin )
22 2
xy xy
xy +-
=+
(IV). 1
sin .sin (cos( ) cos( ))
2
xy xy xy=- + - -
Số khẳng định đúng là.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 14. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = cosx.sinx B. y = x.tanx C. y = x3+x-1 D.
Câu 15. Cho hàm số y = cosx. Khẳng định nào đúng ?
A. Đồng biến trên mỗi khoảng với k Z
1
2
x
yx
2; 2
2kk





4
B. Nghịch biến trên mỗi khoảng với k Z
C. Đồng biến trên mỗi khoảng 35
(k2;k2)
44

với k Z
D. Nghịch biến trên mỗi khoảng 27
(k2;k2)
36

với k Z
Câu 16. Điều kiện xác định của hàm số y = 1
tan
x
là.
A. B. 4
x
k
 C. 22
x
k
 D.
x
k
Câu 17. Nghiệm của phương trình cosx = 0 là.
A. B. C. D. 2
x
k
Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx = 0 là.
A. B. C. D. 2
x
k
Câu 19. Nghiệm của phương trình sin2x = là.
A. B. C. D.
Câu 20. Nghiệm của phương trình - 3tanx = 0 là.
A. 6
x
k
 B. C. 5
6
x
k

D. 3
x
k

Câu 21. Số nghiệm phân biệt [;)
2
x
của phương trình
2
2
cos cos 0
2sin sin
xx
xx
là
A. 4 B. 1 C.2 D. 3
Câu 22. Tập xác định của hàm số. y= cos 2 1
cos 1
x
x
a) D=R\{k
|kZ} b) D={ k2
|k
Z } c) R\ {
+ k2
|k
Z } d) R
Câu 23. Tổng các nghiệm của pt (7sinx+5) =0 trong khoảng 02x
.
A.
. B. 2
. C. 3
. D. 3/2
.
Câu 24. Biết phương trình 4sin2x 1m=+
có nghiệm. Số giá trị nguyên của m là
A. 4. B. 9. C. 3. D. 17 .
Câu 25. Biết phương trình 5tan3x m= có nghiệm. Số giá trị nguyên thuộc [-20;10] của m là
A.
31. B. 11. C. 10. D. 12.
2; 2
22
kk





2
x
k

2
2
x
k
 2
x
k

x
k
2
2
x
k
 2
x
k

x
k
1
2
2
2
x
k
 42
x
k
 2
3
x
k
 2
4
x
k

3
2
2
x
k

5
CHƯƠNG II . DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
I. Tự luận
Bài 1. Cho dãy số n
(u ) được xác định bởi
2
n
n3n7
un1
a) Viết năm số hạng đầu của dãy. b). Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên?
Bài 2. Cho dãy số n
(u ) xác định bởi.


1
nn1
u1
uu 3 n2
.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh dãy n
(u ) là dãy tăng
Bài 3. Cho dãy số n
(u ) . Chứng minh rằng
a) với 63
n
un=- thì dãy n
(u ) giảm và bị chặn trên
b) với 6
3
n
n
un
+
=+ thì dãy n
(u ) giảm và bị chặn
c) với (7)!
3
nn
n
u+
= thì dãy n
(u ) là dãy tăng và bị chặn dưới.
Bài 4. Dãy số n
(u ) có số hạng tổng quát như sau có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số
công sai ?
a. 
n
u2n3
b. 
n
3n 1
u7 c.
2
n
un1 d.
n
1
un
Bài 5. Cho cấp số cộng n
(u ) thỏa .

235
46
uuu10
uu26
a) Xác định công sai và công thức của số hạng tổng quát n
u
b) Số 37 có thuộc cấp số cộng không? Nếu thuộc thì 37 là số hạng thứ mấy?
c) Tính 
147 2011
S u u u ... u .
Bài 6. Cho một cấp số cộng n
(u ) có
1
u1
và tổng 100 số hạng đầu bằng 14950 .
Tính 
23 7071
12
11 1
S...
uu u u
uu
Bài 7. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120 .
Bài 8. Cho ba số dương a, b, c và a2; b2; c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng
ba
c
ac
b
cb
a
;; theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Bài 9. Hãng taxi đưa ra mức cước là 11.000đ/1km trong 5km đầu tiên; và cứ mỗi 5 km tiếp theo thì mức
cước giảm 500đ/1km so với mức cước ở 5km trước đó, và không đổi khi mức cước là 7000đ/km.
Ngoài ra công ty có thể cho khách hàng kí hợp đồng trọn gói chuyến đi.
Anh A hay đi công tác ở tỉnh xa. Nếu điểm đến cách nhà 93km và chỉ xét về kinh tế, thì anh A nên chọn
cách tính theo giá taxi thông thường hay trả trọn gói là 850.000đ/chuyến.
Bài 10. Xác định cấp số nhân (un) biết. a)
0
135
15
6
5
3
u
u
u
b)
78
164
432
51
uuu
uu