Ộ THÊM M T CÁC TI P C N N A Đ TÍNH TÍCH PHÂN Ế Ậ Ữ Ể ữ ễ ố ắ
[
]
Trong các kỳ thi tuy n sinh vào các tr ẳ ườ ư ể ể ổ ớ Nguy n H u Thanh – THPT Thu n Thành s I – B c Ninh ậ (Đã đăng t i ạ www.mathvn.com ) ng có bài toán v tính tích phân. ề duy”) đ tính tích phân trong g i tên là “ đ t n ph không làm thay đ i c n c a tích ng pháp “ đ t n ph ” . Tác gi ng đ i h c – cao đ ng th ạ ọ ng ti p c n ( cách “t ế ậ ụ ổ ậ ủ ườ ạ ề ộ ướ ả ọ ụ ặ ẩ t này xin trao đ i v i các b n v m t h ặ ẩ ươ Bài vi ế ph m vi ph ạ phân”. ứ ơ ả
b
Đ nh nghĩa: Cho hàm s y = f(x) liên t c trên a b n u F (x) là m t nguyên hàm c a f(x) thì ; ế ị ụ ố ủ ế ộ 1. Ki n th c c b n. -
b a
a
= = - dxxf )( xF |)( bF )( aF )( (cid:242)
b
b
a
c
b
b
i d u tích phân. ị ệ ế ố ướ ấ ấ ầ ộ ố Đ nh nghĩa trên không ph thu c vào kí hi u bi n s d ộ ụ - M t s tính ch t c n chú ý: a -= )( dxxf )( xf dx + (cid:242) (cid:242)
[
]ba;
a
c
3
3
2
= + ˛ " dxxf )( dxxf )( dxxf )( c + (cid:242) (cid:242) (cid:242)
+
)
- x 3 x 2 dx
a 2. Các bài toán và phân tích. 5 Bài toán 1: Tính tích phân I= (
3
(cid:242) -
3-3x2+3)7 , (x3-
3-3x2+2)3 b ng (x ả
5
5
3
3
3
3
2
3
2
3
(
)
)
(
(
3 - + dt
3
3
5
5
3
3
Khi g p bài toán này, ch c ch n r ng t ắ ằ ặ ắ ề ể ạ i d u tích phân đ đ a v các tích phân c b n đ tính. Đó là m t cách suy nghĩ th ứ t c các b n đ u nghĩ cách khai tri n bi u th c ng hay ấ ả ơ ả ể ườ ộ ằ ạ d ể ư ề ướ ấ g p ph i. Nh ng b n hãy th làm xem sao, và hãy th thay (x ử ả ặ 3x2+3)9 .... r i tính nhé!. Sau đó m i các b n nghiên c u l i gi i sau: ể ử ứ ờ ư ồ ạ = - (cid:236) (cid:239) (cid:222) (cid:237) ờ dx = - x dt = 3 : 5 i: Đ t x=2-t L i gi ờ ả ặ (cid:239) = t = - x 3 t (cid:238) - = + - - - - - 5 : ) 2 (cid:222) = - I (2 t ) + 3(2 t ) t = - 2 3 t 2 dt t 3 2 dt t (cid:242) (cid:242) (cid:242) - -
)
(
3
= - - (cid:222) x + 2 3 x 2 = - dx = (cid:219) = 2 I I 0 I 0 (cid:242) -
a
i trên ch c ch n các b n s đ t câu h i : T i sao l i đ t n ph nh ắ ả ắ ạ ỏ ạ ặ ẩ ụ ư Khi đ c xong l ọ v y?. Đ tìm câu tr l ể ậ ờ ả ờ ạ ẽ ặ ế ứ ạ ờ i gi i xin m i các b n nghiên c u ti p bài toán sau: a = xf )( dx 0 Bài toán 2: Cho f(x) là hàm l , liên t c trên [-a; a]. Ch ng minh r ng ẻ ụ ứ ằ (cid:242) -
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ộ ạ ạ ế t cách gi ề ọ i sau đ “ phát hi n” ra v n đ nhé! ệ ộ ớ i gi ả ể ề ấ = - (cid:236) (cid:239) (cid:222) (cid:237) dx = - x a i: Đ t x=-t ặ L i gi ờ ả (cid:239) Đây là m t bài t p khá quen thu c v i các b n khi h c tích phân và nhi u b n đã bi ậ i. Xong các b n hãy xem k l ỹ ờ ạ ả dt = a t : = - = x a t : a (cid:238) - - - (cid:222) = I = - f x dx ( ) f ( = t dt ) f ( t dt ) (cid:242) (cid:242) (cid:242) . Do f(x) là hàm l nên f(-x)=-f(x) do đó ẻ - -
a
- (cid:222) (cid:222) = I f ( = - ) t dt = - ( ) t dt f = - ( ) f x dx = (cid:222) = I 2 I 0 I 0 (cid:242) (cid:242) (cid:242) - - -
a ể
a ủ
Qua 2 bài toán trên, đi m chung c a cách đ t n ph là gì? ặ ẩ ụ
i là : Đ t n ph nh ng không làm thay đ i c n c a tích phân. ụ ư ổ ậ ủ ặ ẩ Câu tr l V y s d ng suy nghĩ này vào bài toán th c t nh th nào ? Các b n hãy chú ý m t s ả ờ ậ ử ụ ự ế ư ế ộ ố ạ đi m sau: ể
- Bài toán 1, 2 có th t ng quát thành :
b
Ch ng minh r ng n u hàm f (x) liên t c và tho ể ổ ứ ụ ế ằ ả
a
= )( dxxf 0 ộ . Vi c ch ng minh bài toán này xin dành cho đ c ứ ệ mãn: f(a+b-x) =-f(x) thì (cid:242)
b
gi (b ng cách đ t x=a+b-t là cách đ t mà c n không h thay đ i!) ả ằ ề ặ ặ ậ ổ
- T đó ta có cách đ t t ng quát khi g p tích phân
a
f x dx ( ) (cid:242) mà không thay đ i c n là ặ ổ ừ ặ ổ ậ đ tặ
x=a+b-t.
- Bài toán 1 còn có cách gi
4
4
3
3
2
3
(
)
(
) 3 t dt 3
4
4
i khác khá hay đ d n t i m t “ suy nghĩ” m i nh sau: ả ể ẫ ớ ư ộ ớ = - (cid:236) - (cid:239) = (cid:222) - - - (cid:237) dx = - x dt = 3 : 4 (cid:222) = - I (1 t ) + 3(1 t ) 2 - + dt t Đ t x=1-t . ặ (cid:242) (cid:242) - (cid:239) t = - = x 5 : t 4 (cid:238)
3+3t là hàm s l ). c I=0 ( do f(t)=-t ậ đây là gì? Vi c đ t n ph nh v y ta đã d n đ n tích phân có c n ế ng h p t ng quát đ d n đ n c n “ đ i x ng” khi g p tích phân
a Bây gi
S d ng k t qu ch ng minh c a bài toán 2 ta đ ử ụ ế ủ ố ẻ ả ứ ớ ở ệ ặ ẩ ượ ụ ư ậ ế ậ ẫ ố ứ ể ẫ ặ ườ ậ ố ứ V y “ suy nghĩ” m i “đ i x ng” . Trong tr b = - f x dx ( ) x t (cid:242) các b n hãy đ t nhé! ạ ặ ợ ổ + a b 2
6
6
4
chúng ta cùng v n d ng suy nghĩ đó đ gi i m t s bài toán sau: ờ ể ả ộ ố ậ ụ p
p
4
sin x = dx I Bài toán 3: Tính tích phân ( Đ thi đ i h c năm 2000). ạ ọ ề (cid:242) + cos + 1x x 6 -
p
p
p
6
6
4
4
4
6 sin (
t 6 .
x 6 .
t
t
x
p
p
p
4
4
4
p
p
p
6
6
6
6
4
4
4
(cid:236) (cid:239) = - dx dt (cid:239) p p (cid:239) (cid:222) (cid:237) = - x : t ( cách đ t này đã không làm thay đ i c n c a tích L i gi ờ ả i: Đ t x=-t ặ ổ ậ ủ ặ = 4 4 (cid:239) p p (cid:239) = = - x : t (cid:239) (cid:238) 4 4 phân) . - + 6 - t ) sin t sin x = - I = dt = dt dx Khi đó - (cid:242) (cid:242) (cid:242) - + 6 ) cos ( t + 6 1 t 6 cos + 1 + 6 x 6 cos + 1 - -
6
(
x 6 .
) x dx
x
x
p
p
p
4
4
4
p
p
p
p
4
4
4
4
sin x sin x (cid:222) = 2 I + dx sin + 6 x cos = dx (cid:242) (cid:242) (cid:242) + cos + 1 x 6 + cos + 1 x 6 - - -
2
2
(
) = x dx
2 in 2
2 in 2
p
p
p
p
4
4
4
4
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) = + - - - s 1 3 in x cos 1 s = x dx 1 s = x dx cos x dx 4 (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) Ł ł Ł ł Ł ł 3 4 5 3 8 8 3 4 - - - -
p
.
(cid:230) (cid:246) = + = sin 4 x (cid:231) ‚ 4 p Ł ł x 5 8 3 32 5 16 - 4
ẵ Chú ý: Bài toán 3 có d ng t ng quát sau: N u f(x) là hàm s liên t c, ch n
ụ
ế
ạ
ổ
ố
b
b
b
x
thì
b
b
b
0
= = = (cid:222) dx a dx I )( dxxf I (cid:242) (cid:242) (cid:242) . 1 2 )( xf + x 1 a - - - )( xf + x 1 a p x dx (cid:242) Bài toán 4: Tính tích phân I = - x cos sin 2 x 4
i : Đ t
L i giờ
ả
ặ
p
p
0
ng pháp tính ề ặ ầ ạ tích phân t ng ph n. Xong các b n hãy th làm nh th và so sánh v i l ươ i sau: ng khi g p tích phân trên, h u h t các b n đ u nghĩ đ n ph ả Thông th ừ ế i gi ớ ờ ế ư ế ườ ầ ạ ử = - (cid:236) dx (cid:239) dt p = - p = (cid:222) (cid:237) x t x t (cid:239) = 0 : p = = x 0 t (cid:238)
Khi đó
p
0
0
0 p
p
0
0
p
pp
: p p - - - ( t t t p ( p = - - = dt = dt dt dt I (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) t 2 - - - - - t ) ) 4 )sin t 4 cos sin 2 t cos 4 t cos sin 2 t 4 p )sin( t p 2 cos ( t p x = p p - - dx = dx dx I (cid:242) (cid:242) (cid:242) - - - sin x 2 x cos 4 x cos sin 2 x 4 sin x 2 x cos 4
0 sin x 2 x
0
Đ t ặ
1
1
2
1
1
p (cid:222) = 2 I (cid:219) = dx I dx (cid:242) (cid:242) - - sin x 2 x cos 4 4 2 cos 0 = - (cid:236) dt (cid:239) (cid:237) cosx = (cid:222) t (cid:239) sinxdx = = 0 : t x p = 1 = - x : t 1 (cid:238) - p p p - p 1 dt = = - (cid:222) = - I (cid:242) (cid:242) - ln + - - 2 8 4 2 t = 2) 2 2 ln 3 4 -
b
b
1 t ( Chú ý: Bài toán 4 có th t ng quát nh sau: dt + 2)( t ể ổ t t ư
a
a
= xf )( x dx )( dxxf Cho hàm s f(x) liên t c và tho mãn: f(a+b-x) = f(x) . Khi đó ả ụ ố (cid:242) (cid:242) + ba 2
ể ứ ế ạ ặ ả 2
( Đ thi kh i A năm 2004) Bài toán 5: Tính tích phân I = ề ố (cid:242) - ( đ ch ng minh k t qu trên các b n hãy đ t x= a+b-t ). xdx x+
1 1 ặ 1x
2
2
Khi đó
ả ậ ( cách đ t này đ m b o c n
ặ
ả
2
2
2
3
ổ ậ ủ ể 1 ư ế = + - i: Đ t V i bài toán trên, cách đ t nh th nào đ không thay đ i c n c a tích phân. ớ L i gi ờ ả ặ t 1 = - (cid:236) 1) dt (cid:239) (cid:237) x -1= (t -1) (t -1) hay x= + (cid:222) 1 (cid:239) = dx = x x 2( t = t 1: t 2 : 1 = 2 (cid:238)
không đ i !)ổ t (
1
1
3
Ø ø - - + 2 - - t 1) ( + 2 1) 1 (cid:230) (cid:246) º ß t t 3 t 4 1 (cid:222) = dt . 2 - + - 2 3 t t 4 dt . 2 = dt . 2 (cid:231) ‚ (cid:242) (cid:242) (cid:242) Ł ł 1 t t t
.
1 t 3
2 t + 2
b
(cid:230) (cid:246) 2 = - - 2 3 t 4 ln | t | (cid:231) ‚ 2 ln 2 1 Ł ł 5 = - 3
dx (cid:242) ứ v i p(x) là đa th c ch a ứ ớ
Chú ý: Bài toán 5 có th t ng quát d ng
ể ổ
ạ
a
c.
i đ ả ượ
= ế ố + đ u gi ề bi n x; m,n,c là các h ng s . Ta có th đ t ể ặ t ằ mx n ( ) p x + + mx n c = + + ho c ặ t mx n c
p
3
2
0
Bài toán 6: Tính tích phân = I dx (cid:242) sin + x x cos x sin
p
p
3
0
3
2
2
3 s co t + t
p
0
0
2
p
p
p
p
3
3
3
3
2
2
2
2
(cid:236) (cid:239) = - dx dt (cid:239) p p (cid:239) = = - (cid:222) (cid:237) x t x = 0 : t L i gi ờ ả i: Đ t ặ 2 2 (cid:239) p (cid:239) = = x : t 0 (cid:239) (cid:238) 2 p (cid:230) (cid:246) - t sin (cid:231) ‚ Ł ł 2 = - = dt I = dt = dx J (cid:242) (cid:242) (cid:242) p p s + (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) cos t sin co x x cos x sin + - - sin t cos t (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ Ł ł Ł ł 2 2
0
0
0
0
p
x (cid:222) - = I+J + dx = dx x (1 sin .cos ) x dx = dx (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) + + sin + x x cos x sin s co + x x cos x sin sin sin x x x
2
. V y ậ
0
co s cos = p (cid:236) I J p - (cid:239) p (cid:230) (cid:246) 1 = - - p (cid:237) - (cid:222) = I (1 sin 2 ) = x dx + x co s 2 x (cid:231) ‚ 1 (cid:242) Ł ł 4 + = J I 1 4 1 2 2 1 2 (cid:239) (cid:238) = 2 0
ể ổ
ạ
p
b
k
n
m
2
2 Chú ý: Bài toán 6 có th t ng quát thành các d ng sau:
m
m
n
n
a
0
ax dx ; (cid:242) (cid:242) + sin mx mx cos sin cos ax
ọ
ax mu n các b n h c sinh có thêm m t cách nhìn
ậ ng pháp đ t n ph trong tính tích phân. R t mong nh n
ộ ấ
ạ ụ
m i đ ti p c n v i ph ớ ể ế ậ đ ượ ự
ươ c s quan tâm trao đ i. ổ ạ
ờ
ố
ộ ố
ậ
1
1
mx sin Qua 6 bài toán trên, tác gi ả ớ sin + ố ặ ẩ
2
3
- = = dx lg x I + + 1 x dx
)
(
2
Cu i cùng m i các b n v n d ng vào m t s bài t p sau: ậ ụ Tính các tích phân: 3 4 x + + x 3 1 2
0
1
p
1
2
(cid:242) I 1 (cid:242) -
2
2
Ø ø = + + = + + - I lg x 1000 x dx I x cos .ln x x 1 dx
)
)
(
(
3
4
p
1
2
2004
5
5
2
2
n
+ 1
(cid:242) (cid:242) Œ œ º ß 3 2 - -
3
x
+ x
4
7
3
(
)
(
)
5
6
2000
1
p
p
1
4
2
- = + 2 - = - I x 6 x 16 dx I x + x 6 16 dx e (cid:242) (cid:242) - -
7
8
9
2
x
p
p
1 (
4
2
p
p
p
3
2
sin .sin 2 .cos 3 x x x x = = I dx I I dx (cid:242) (cid:242) (cid:242) + + x + 1x 2 dx x 1)( 1) e x sin .sin 2 .cos 5 + 1x e - - -
p
0
0
p
6 p
2
2
= = + dx x tgx ( cot gx dx ) (cid:242) = I 11 (cid:242) I 10 dx (cid:242) I 12 x + x cos sin 2 x 1 sin + x x cos x sin
x = = - dx
(
cos x
) x dx
3
)
(
0
0
sin (cid:242) I 14 (cid:242) I 13 4sin + x cos x sin
