THÊM M T CÁC TI P C N N A Đ TÍNH TÍCH PHÂNỘ Ế Ậ Ữ Ể
Nguy n H u Thanh – THPT Thu n Thành s I – B c Ninhễ ữ ậ ố ắ
(Đã đăng t i ạwww.mathvn.com )
Trong các kỳ thi tuy n sinh vào các tr ng đ i h c – cao đ ng th ng có bài toán v tính tích phân.ể ườ ạ ọ ẳ ườ ề
Bài vi t này xin trao đ i v i các b n v m t h ng ti p c n ( cách “t duy”) đ tính tích phân trongế ổ ớ ạ ề ộ ướ ế ậ ư ể
ph m vi ph ng pháp “ đ t n ph ” . Tác gi g i tên là “ đ t n ph không làm thay đ i c n c a tíchạ ươ ặ ẩ ụ ả ọ ặ ẩ ụ ổ ậ ủ
phân”.
1. Ki n th c c b n.ế ứ ơ ả
- Đ nh nghĩa: Cho hàm s y = f(x) liên t c trên ị ố ụ
[ ]
; a b
n u F (x) là m t nguyên hàm c a f(x) thì ế ộ ủ
)()(|)()( aFbFxFdxxf b
a
b
a
−==
∫
Đ nh nghĩa trên không ph thu c vào kí hi u bi n s d i d u tích phân.ị ụ ộ ệ ế ố ướ ấ
-M t s tính ch t c n chú ý: ộ ố ấ ầ
+
∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
+
[ ]
ba;c )()()( ∈∀+=
∫ ∫∫
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf
2. Các bài toán và phân tích.
Bài toán 1: Tính tích phân I=
( )
∫
−
+−
5
3
3
23 23 dxxx
Khi g p bài toán này, ch c ch n r ng t t c các b n đ u nghĩ cách khai tri n bi u th cặ ắ ắ ằ ấ ả ạ ề ể ể ứ
d i d u tích phân đ đ a v các tích phân c b n đ tính. Đó là m t cách suy nghĩ th ng hayướ ấ ể ư ề ơ ả ể ộ ườ
g p ph i. Nh ng b n hãy th làm xem sao, và hãy th thay (xặ ả ư ạ ử ử 3-3x2+2)3 b ng (xằ3-3x2+3)7 , (x3-
3x2+3)9 .... r i tính nhé!. Sau đó m i các b n nghiên c u l i gi i sau: ồ ờ ạ ứ ờ ả
L i gi i: Đ t x=2-t ờ ả ặ
3: 5
5 : 3
dx dt
x t
x t
= −
⇒ = − =
= = −
( ) ( ) ( )
( )
3 5 5
333
3 2 3 2 3 2
5 3 3
53
3 2
3
(2 ) 3(2 ) 2 3 2 3 2
3 2 2 0 0
I t t dt t t dt t t dt
x x dx I I I
−
− −
−
⇒ = − − − − + = − + − = − − +
= − − + = − ⇒ = ⇔ =
∫ ∫ ∫
∫
Khi đ c xong l i gi i trên ch c ch n các b n s đ t câu h i : T i sao l i đ t n ph nhọ ờ ả ắ ắ ạ ẽ ặ ỏ ạ ạ ặ ẩ ụ ư
v y?. Đ tìm câu tr l i xin m i các b n nghiên c u ti p bài toán sau: ậ ể ả ờ ờ ạ ứ ế
Bài toán 2: Cho f(x) là hàm l , liên t c trên [-a; a]. Ch ng minh r ng ẻ ụ ứ ằ
Đây là m t bài t p khá quen thu c v i các b n khi h c tích phân và nhi u b n đã bi tộ ậ ộ ớ ạ ọ ề ạ ế
cách gi i. Xong các b n hãy xem k l i gi i sau đ “ phát hi n” ra v n đ nhé!ả ạ ỹ ờ ả ể ệ ấ ề
L i gi i: Đ t x=-t ờ ả ặ
:
:
dx dt
x a t a
x a t a
= −
⇒ = − =
= = −
( ) ( ) ( )
a a a
a a a
I f x dx f t dt f t dt
−
− −
⇒ = = − − = −
∫ ∫ ∫
. Do f(x) là hàm l nên f(-x)=-f(x) do đó ẻ
( ) ( ) ( ) 2 0 0
a a a
a a a
I f t dt f t dt f x dx I I I
− − −
⇒ = − = − = − = − ⇒ = ⇒ =
∫ ∫ ∫
Qua 2 bài toán trên, đi m chung c a cách đ t n ph là gì? ể ủ ặ ẩ ụ
Câu tr l i là : ả ờ Đ t n ph nh ng không làm thay đ i c n c a tích phân.ặ ẩ ụ ư ổ ậ ủ
V y s d ng suy nghĩ này vào bài toán th c t nh th nào ? Các b n hãy chú ý m t sậ ử ụ ự ế ư ế ạ ộ ố
đi m sau: ể
-Bài toán 1, 2 có th t ng quát thành : ể ổ Ch ng minh r ng n u hàm f (x) liên t c và thoứ ằ ế ụ ả
mãn: f(a+b-x) =-f(x) thì
∫=
b
a
dxxf 0)(
. Vi c ch ng minh bài toán này xin dành cho đ cệ ứ ộ
gi (b ng cách đ t x=a+b-t là cách đ t mà c n không h thay đ i!)ả ằ ặ ặ ậ ề ổ
-T đó ta có cách đ t t ng quát khi g p tích phân ừ ặ ổ ặ
( )
b
a
f x dx
∫
mà không thay đ i c n là ổ ậ đ tặ
x=a+b-t.
-Bài toán 1 còn có cách gi i khác khá hay đ d n t i m t “ suy nghĩ” m i nh sau:ả ể ẫ ớ ộ ớ ư
Đ t x=1-t ặ
3: 4
5 : 4
dx dt
x t
x t
= −
⇒ = − =
= = −
( ) ( )
4 4
3 3
3 2 3
4 4
(1 ) 3(1 ) 2 3I t t dt t t dt
−
−
⇒ = − − − − + = − +
∫ ∫
.
S d ng k t qu ch ng minh c a bài toán 2 ta đ c I=0 ( do f(t)=-tử ụ ế ả ứ ủ ượ 3+3t là hàm s l ). ố ẻ
V y “ suy nghĩ” m i đây là gì? Vi c đ t n ph nh v y ta đã d n đ n tích phân có c nậ ớ ở ệ ặ ẩ ụ ư ậ ẫ ế ậ
“đ i x ng” . Trong tr ng h p t ng quát đ d n đ n c n “ đ i x ng” khi g p tích phânố ứ ườ ợ ổ ể ẫ ế ậ ố ứ ặ
( )
b
a
f x dx
∫
các b n hãy đ t ạ ặ
2
a b
x t
+
= −
nhé!
Bây gi chúng ta cùng v n d ng suy nghĩ đó đ gi i m t s bài toán sau: ờ ậ ụ ể ả ộ ố
Bài toán 3: Tính tích phân
6 6
4
4
sin cos
6 1
x
x x
I dx
π
π
−
+
=+
∫
( Đ thi đ i h c năm 2000).ề ạ ọ
L i gi i: Đ t x=-t ờ ả ặ
:
4 4
:
4 4
dx dt
x t
x t
π π
π π
= −
⇒ = − =
= = −
( cách đ t này đã không làm thay đ i c n c a tíchặ ổ ậ ủ
phân) .
Khi đó
6 6 6 6 6 6
4 4 4
4 4 4
sin ( ) cos ( ) sin cos sin cos
6 . 6 .
6 1 6 1 6 1
t x
t t x
t t t t x x
I dt dt dx
π π π
π π π
−
−
− −
− + − + +
= − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
( )
6 6 6 6
4 4 4
6 6
4 4 4
sin cos sin cos
2 6 . sin cos
6 1 6 1
x
x x
x x x x
I dx dx x x dx
π π π
π π π
− − −
+ +
⇒ = + = +
+ +
∫ ∫ ∫
( )
4 4 4 4
2 2 2 2
4 4 4 4
3 3 5 3
1 3 in cos 1 in 2 1 in 2 4
4 4 8 8
s x x dx s x dx s x dx cos x dx
π π π π
π π π π
− − − −
= − = − = − = +
÷ ÷ ÷
∫ ∫ ∫ ∫
5 3 5
4
sin 4
8 32 16
- 4
xx
π
π
= + =
÷
.
Chú ý: Bài toán 3 có d ng t ng quát sau: N u f(x) là hàm s liên t c, ch nạ ổ ế ố ụ ẵ
thì
∫∫∫ −−−
=⇒
+
=
+
=
b
b
b
b
x
x
b
b
xdxxfIdx
a
xf
adx
a
xf
I)(
2
1
1
)(
1
)(
.
Bài toán 4: Tính tích phân I =
2
0
sin
cos 4
x x dx
x
π
−
∫
Thông th ng khi g p tích phân trên, h u h t các b n đ u nghĩ đ n ph ng pháp tínhườ ặ ầ ế ạ ề ế ươ
tích phân t ng ph n. Xong các b n hãy th làm nh th và so sánh v i l i gi i sau: ừ ầ ạ ử ư ế ớ ờ ả
L i giời : Đ t ả ặ
0 :
: 0
dx dt
x t x t
x t
π π
π
= −
= − ⇒ = =
= =
Khi đó
0
2 2 2 2
0 0 0
( )sin( ) ( )sin sin sin
cos ( ) 4 cos 4 cos 4 cos 4
t t t t t t t
I dt dt dt dt
t t t t
π π π
π
π π π π
π
− − −
= − = = −
− − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
0 0 0
sin sin sin
cos 4 cos 4 cos 4
x x x x
dx dx dx I
x x x
π π π
π π
= − = −
− − −
∫ ∫ ∫
2 2
0 0
sin sin
2cos 4 2 cos 4
x x
I dx I dx
x x
π π
π
π
⇒ = ⇔ =
− −
∫ ∫
Đ t ặ
0 : 1
: 1
sinxdx dt
cosx t x t
x t
π
= −
= ⇒ = =
= = −
1 1
2
1 1
1
2
ln 1
2 4 2 ( 2)( 2) 8 2
dt dt t
It t t t
π π π
−
−
−
⇒ = − = = −
− − + +
∫ ∫
ln 3
4
π
= −
Chú ý: Bài toán 4 có th t ng quát nh sau: ể ổ ư
Cho hàm s f(x) liên t c và tho mãn: f(a+b-x) = f(x) . Khi đó ố ụ ả
∫∫ +
=
b
a
b
a
dxxf
ba
dxxxf )(
2
)(
( đ ch ng minh k t qu trên các b n hãy đ t x= a+b-t ).ể ứ ế ả ạ ặ
Bài toán 5: Tính tích phân I =
2
1
1 1
xdx
x+ −
∫
( Đ thi kh i A năm 2004) ề ố
V i bài toán trên, cách đ t nh th nào đ không thay đ i c n c a tích phân. ớ ặ ư ế ể ổ ậ ủ
L i gi i: Đ t ờ ả ặ
1x= + −t 1
Khi đó
2 2
2( 1)
hay x= 1 1: 1
2 : 2
dx t dt
x t
x t
= −
+ ⇒ = =
= =
x -1= (t -1) (t -1)
( cách đ t này đ m b o c nặ ả ả ậ
không đ i !)ổ
2
2 2 2
3 2
2
1 1 1
( 1) ( 1) 1 3 4 1 1
2 . 2 . 2 3 4 .
t t t t t
dt dt t t dt
t t t
− − + − + −
⇒ = = − + −
÷
∫ ∫ ∫
3 2
2
2 3 4 ln | | 1
3 2
t t t t
= − + −
÷
52ln 2
3
= −
.
Chú ý: Bài toán 5 có th t ng quát d ng ể ổ ạ
( )
b
a
p x dx
mx n c+ +
∫
v i p(x) là đa th c ch aớ ứ ứ
bi n x; m,n,c là các h ng s . Ta có th đ t ế ằ ố ể ặ
t mx n c= + +
ho c ặ
t mx n= +
đ u gi i đ c.ề ả ượ
Bài toán 6: Tính tích phân
3
2
0
sin
Isin cos
xdx
x x
π
=+
∫
L i gi i: Đ tờ ả ặ
0 :
2 2
: 0
2
dx dt
x t x t
x t
π π
π
= −
= − ⇒ = =
= =
3
03 3
2 2
0 0
2
sin s s
2
Isin cos sin cos
sin cos
2 2
tco t co x
dt dt dx J
t t x x
t t
π π
π
π
π π
−
÷
= − = = =
+ +
− + −
÷ ÷
∫ ∫ ∫
3 3 3 3
2 2 2 2
0 0 0 0
sin s sin s
I+J (1 sin .cos )
sin cos sin cos sin cos
x co x x co x
dx dx dx x x dx
x x x x x x
π π π π
+
⇒ = + = = −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
2
0
1 1 1
(1 sin 2 ) s 2 2
2 4 2 2
0
x dx x co x
π
ππ
= − = + = −
÷
∫
. V y ậ
1
14
2
I J
I
I J
π
π
=
−
⇒ =
−
+ =
Chú ý: Bài toán 6 có th t ng quát thành các d ng sau: ể ổ ạ
mn
2
m m
n n
0
sin sin
;
sin cos sin cos
bk
a
mx ax
dx
mx mx ax ax
π
++
∫ ∫
Qua 6 bài toán trên, tác gi mu n các b n h c sinh có thêm m t cách nhìnả ố ạ ọ ộ
m i đ ti p c n v i ph ng pháp đ t n ph trong tính tích phân. R t mong nh nớ ể ế ậ ớ ươ ặ ẩ ụ ấ ậ
đ c s quan tâm trao đ i. ượ ự ổ
Cu i cùng m i các b n v n d ng vào m t s bài t p sau: ố ờ ạ ậ ụ ộ ố ậ
Tính các tích phân:
1
1
0
4 3
3 1 2
x
I dx
x
−
=+ +
∫
()
1
2
3
2
1
lg 1 I x x dx
−
= + +
∫
()
1
2
3
1
3
I lg x 1000 2
x dx
−
= + + −
∫
()
2
2
4
2
cos .ln 1I x x x dx
π
π
−
= + +
∫
( )
2004 5
3 2
5
2000
6 16 I x x dx
−
= − +
∫
( )
2
52 1
x 4 7 3
6
1
I e 6 16
n
x
x x dx
+
− +
−
= − +
∫
4
7
4
sin .sin 2 .cos 3
2 1
x
x x x
I dx
π
π
−
+
∫
1
82
1
( 1)( 1)
x
dx
Ie x
−
=+ +
∫
2
9
2
sin .sin 2 .cos5
1
x
x x x
I dx
e
π
π
−
=+
∫
3
10
6
( cot )I x tgx gx dx
π
π
= +
∫
11 2
0
sin
cos 1
x x
I dx
x
π
=+
∫
2
12
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
=+
∫
( )
2
13
0
cos sinI x x dx
π
= −
∫
( )
2
14 3
0
4sin
sin cos
x
I dx
x x
π
=+
∫