Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn.
Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên)
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5x – 3y = 2xy – 11 (1)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Rút y theo x: y =
5 11 5
2
2 3 2 3
x x
x x
(Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0)
Vì y nguyên => x + 5
2x + 3 => …. 7
2x + 3 Lập bảng ta có: các cặp (x;
y) là: (-1;6); (-1; -2);
(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng.
Cách 2. Đưa về phương trình ước số:
Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết. Đặt ĐK để có x
nguyên.
Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình.
x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0 (1)
Hướng dẫn giải
Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên.
3. Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn.
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1)
Hướng dẫn giải
Phương trình (1) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2
Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a
2
(*)
Ta có: a2 – 1 = y2 GiảI phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước
số: => nghiệm phương trình (1)
Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x3 - y3 = xy + 8 (1)
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
x y x xy y
Ta có x khác y vì nếu x = y => x2 + 8 = 0 Vô lý.
Vì x; y nguyên =>
1
x y
=>
2 2
8
x xy y xy
=> x2 + xy + y2
8
xy
(2)
Nếu xy + 8 < 0=> (2)  (x + y)2
-8. Vô nghiệm.
N ếu xy +8 > 0 => (2) x2 + y2
8
=> x2 , y2
0;1; 4
Từ đó tìm được Hai nghiệm nguyên của (1) là: (0; - 2);
(2; 0)
4. Dạng 4: Phương trình dạng phân thức.
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
1 1 1 1
6 6
x y xy
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43;
7); (7; 43)
Ví dụ 2 Tìm x nguyên sao cho
17
9
x
x
là bình phương của một phân số.
Hướng dẫn giải
Giả sử
17
9
x
x
=
2
a
b
Với a, b nguyên, b khác 0 và (a, b) = 1.
Nếu a = 0 => x = 17.
Nếu a khác 0. Ta có (a2, b2) = 1 => x – 17 = a2.k; x – 9 = b2.k (k nguyên)
Từ đó ta có: 8 = (a + b).(b – a).k
Lập bảng tìm được nghiệm của phương trình
x =17; 18; 8
5. Dạng 5: Phương trình dạng mũ.
Ví dụ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
2x + 3 = y2 (1)
Hướng dẫn giải
3 Nếu x = 0 => y2 = 4 => y = 2 hoặc y = -2.
4 Nếu x = 1 => y2 = 5 Vô nghiệm nguyên.
5 Nếu x
2
=> 2x
4 Do đó vế tráI chia cho 4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) =>
y2 chia 4 dư 1
=> Vô lý.
6 Vậy nghiệm nguyên của (1) là:
(0; 2); (0; -2)
II. BÀI TẬP:
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a) 2x + 3y = 11
b) 3x + 5y = 10
2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 4x + 5y = 65
3. Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một số chia hết cho 7, một số
chia hết cho 11.
4. Tìm số nguyên dương bé nhất chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11.
5. Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, số còn lại chia đều
cho 79 người. Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?