7.4. PH NG TRÌNH VI PHÂN T M CH U U NƯƠ Ấ Ị Ố
− trên đã th y r ng, t t c các thành ph n ng su t hay n i l c, bi nỞ ấ ằ ấ ả ầ ứ ấ ộ ự ế
d ng c a t m đ u đ c bi u di n qua hàm đ võng w(x,y) c a m t trungạ ủ ấ ế ượ ể ễ ộ ủ ặ
bình. Do v y, tr c h t và đ u tiên là c n tìm đ c hàm đ võng w(x,y)ậ ướ ế ầ ầ ượ ộ
đó.
−Kh o sát s cân b ng c a m t phân t m t trung bình có kích th c dxdy.ả ự ằ ủ ộ ố ặ ướ
Đ t các l c tác d ng lên phân t (g m c ngo i l c và n i l c) nh hìnhặ ự ụ ố ồ ả ạ ự ộ ự ư
vẽ
H.1 Phöông trình caân baèng phaân toá trong taám
Töø phöông trình caân baèng chieáu leân phöông x ta coù.
0
y
x
z
Q
Qdxdy dydx p dxdy
x y
∂
∂+ + =
∂ ∂
Hay
0
y
x
z
Q
Qp
x y
∂
∂+ + =
∂ ∂
(a)
Töø phöông trình moment vôùi truïc y boû qua caùc ñaïi löôïng voâ
cuøng beù baäc cao, ta ñöôïc:
0=−
∂
∂
+
∂
∂dxdyQdydx
y
M
dxdy
x
M
x
yx
x
Hay:
x
yx
xQ
y
M
x
M=
∂
∂
+
∂
∂
(b)
Töø phöông trình moment uoán vôùi truïc x, töông töï ta coù :
xy y
y
M M Q
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
(c)
Thay ph ng trình (b), (c) vào (a), lo i b l c c tươ ạ ỏ ự ắ
2 2
2
2 2
2
xy y
x
z
M M
Mp
x x y y
∂ ∂
∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
Thay các bi u th c Mể ứ x, Mxy, My theo hàm đ võng w(x,y) vào, ta có:ộ
4 4 4 4 4
4 2 2 2 2 4 2 2
2(1 )
z
w w w w w
D p
x x y x y y x y
υ υ υ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + + − + + = −
÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Đ n gi n còn:ơ ả
4 4 4
4 2 2 4
2
z
w w w
D p
x x y y
∂ ∂ ∂
+ + =
÷
∂ ∂ ∂ ∂
Hay:
Hay:
4z
p
wD
∇ =
(7.10)
−(7.10) là ph ng trình cân b ng vi phân c a m t trung bình khi võng. Nóươ ằ ủ ặ
còn đ c g i là ph ng trình vi phân t m ch u u n. Ph ng trình (7.10) cóượ ọ ươ ấ ị ố ươ
d ng vi phân c p 4. Nó là ph ng trình vi phân ch đ o c a bài toán t mạ ấ ươ ủ ạ ủ ấ
m ng ch u u n, và bi u di n theo hàm đ võng w c a m t trung bình.ỏ ị ố ể ễ ộ ủ ặ
−Đôi lúc ph ng trình vi phân này đ c bi u di n d ng vi phân c p 2.ươ ượ ể ễ ở ạ ấ
B ng cách đ a ra m t hàm momen M (momen function) hay còn g i là hàmằ ư ộ ọ
momen t ng (momen sum)ổ
2 2
4
2 2
( )
(1 )
x y
M M w w
M D D w
x y
υ
+∂ ∂
= = − + = − ∇
+ ∂ ∂
Khi đó, các l c c t s là:ự ắ ẽ
x
M
Qx
∂
=∂
và
y
M
Qy
∂
=∂
Và cu i cùng, d th y r ng ph ng trình vi phân c p 4 đ c thay th b ng 2ố ễ ấ ằ ươ ấ ượ ế ằ
ph ng trình vi phân c p 2:ươ ấ
2 2
2
2 2 z
M M
M p
x y
∂ ∂
∇ = + = −
∂ ∂
2 2
2
2 2
w w M
wx y D
∂ ∂ −
∇ = + = −
∂ ∂
Trong bài toán dao đ ng c a t mộ ủ ấ , ch c n thay l c phân b v ph i là:ỉ ầ ự ố ở ế ả
2
2
h
q=q(x,y,t)- g
w
t
γ
∂
∂
Và ph ng trình dao đ ng c a t m là:ươ ộ ủ ấ
2
4
2
( , , )h w q x y t
wgD t D
γ
∂
∇ + =
∂
(a)
Trong đó c n hi u: ầ ể
4 4 4
4
4 2 2 4
2
x x y y
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂ ∂
w=w(x,y,t)
Tr ng h p dao đ ng t do: q(x,y,t)=0ườ ợ ộ ự
Ph ng trình dao đ ng c a t m là:ươ ộ ủ ấ
2
4
2
0
h w
wgD t
γ
∂
∇ + =
∂
(b)
Khi đó hàm đ võng w(x,y,t) th ng tìm đ c trong d ng:ộ ườ ượ ạ
W(x,y,t)=W(x,y)T(t) (c)
Thay (c) vào (b) ta đ c ph ng trình:ượ ươ
N u T(t) là hàm đi u hòa: T= -wế ề 2T
Hay:
.. 2
T T
ω
= −
(d)
Hay:
.. 2
0T T
ω
+ =
Thì ta có ph ng trình biên đ dao đ ng: (thay (d) vào (b)):ươ ộ ộ
4 4
0K W∇ − =
(e)
V i:ớ
4 2
h
KgD
γω
=
(d): ph ng trình dao đ ngươ ộ
(c): ph ng trình biên đ . ươ ộ