7.4. PH NG TRÌNH VI PHÂN T M CH U U N ƯƠ Ị Ố Ấ
- ấ ằ ấ ả ầ ứ ấ ể ộ ự ủ c hàm đ võng w(x,y) ế ượ ướ ế ế t c các thành ph n ng su t hay n i l c, bi n c bi u di n qua hàm đ võng w(x,y) c a m t trung ặ ộ ễ c h t và đ u tiên là c n tìm đ ượ ầ ầ ộ trên đã th y r ng, t Ở d ng c a t m đ u đ ủ ấ ạ bình. Do v y, tr ậ đó.
m t trung bình có kích th ự ủ (g m c ngo i l c và n i l c) nh hình
- Kh o sát s cân b ng c a m t phân t ằ ố ồ ụ
ự ố ặ ả ạ ự ộ ự c dxdy. ướ ư ả ộ Đ t các l c tác d ng lên phân t ặ vẽ
H.1 Phöông trình caân baèng phaân toá trong taám Töø phöông trình caân baèng chieáu leân phöông x ta coù. ¶ ¶
Q
+
+
=
dxdy
dydx
p dxdy
0
z
¶ ¶
Q x x
y y Q
¶ ¶
+
+
=
0
p
z
Hay (a) ¶ ¶
Q x x
y y Töø phöông trình moment vôùi truïc y boû qua caùc ñaïi löôïng voâ
cuøng beù baäc cao, ta ñöôïc: ¶ ¶
M
x
+
-
dxdy
dydx
Q
dxdy
0=
x
¶ ¶
M x
yx y
¶ ¶
M
x
=
+
Q
x
Hay: (b) ¶ ¶
M x
yx y Töø phöông trình moment uoán vôùi truïc x, töông töï ta coù : M
¶ ¶
M
y
+
=
Q
y
xy x
(c) ¶ ¶
y
2
2
2
Thay ph ươ ng trình (b), (c) vào (a), lo i b l c c t ạ ỏ ự ắ ¶ ¶ ¶
M
y
x
+
+
= -
2
p
z
M 2
¶ ¶ ¶ ¶
M 2 x
xy x y
y
Thay các bi u th c M ể ứ
x, Mxy, My theo hàm đ võng w(x,y) vào, ta có: ộ
4
4
4
4
(cid:230) (cid:246) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
u
u
- -
2(1
)
p
D
z
(cid:231) ‚
+ 2
= - 2
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
w + 2 2 x y
4 w + u 4 y
w 2 x y
w 2 x y
Ł ł
4
4
ơ (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ ¶
+
+
=
D
2
p
z
2
(cid:231) ‚ ¶ ¶ ¶ ¶
w + 4 x Đ n gi n còn: ả 4 w 4 x
w 2 x y
w 4 y
Ł ł
z
4
(cid:209) Hay:
(cid:209)
= w
Hay: (7.10)
- ng trình cân b ng vi phân c a m t trung bình khi võng. Nó ủ ằ ặ ng trình vi phân t m ch u u n. Ph ấ ượ ọ ươ ươ ố ị ủ ạ ủ ươ ể ặ ng trình (7.10) có ng trình vi phân ch đ o c a bài toán t m ấ ủ d ng vi phân c p 2. c bi u di n ễ ở ạ ộ ể
= 4 D w p zp D (7.10) là ph ươ còn đ c g i là ph d ng vi phân c p 4. Nó là ph ạ ấ m ng ch u u n, và bi u di n theo hàm đ võng w c a m t trung bình. ỏ ễ - Đôi lúc ph ượ ằ
2
2
y
ấ ọ ộ ị ố ng trình vi phân này đ ươ B ng cách đ a ra m t hàm momen M (momen function) hay còn g i là hàm ư momen t ng (momen sum) ổ ¶ ¶
=
= -
(cid:209)
= - )
4 D w
M
D
(
u
¶ ¶
w 2 y
+ M M x + (1
) Khi đó, các l c c t s là:
w + 2 x ự ắ ẽ
¶ ¶
=
=
Q
y
và
Q x
¶ ¶
ng trình vi phân c p 4 đ c thay th b ng 2 ươ ấ ượ ế ằ Và cu i cùng, d th y r ng ph ph
M y ễ ấ ằ ấ
2
2
ươ ¶ ¶ (cid:209)
= M
p
z
¶ ¶
M x ố ng trình vi phân c p 2: 2 M = - 2 y
M + 2 x
2
2
2
¶ ¶ - (cid:209)
= w
¶ ¶
w + 2 x
w = - 2 y
v ph i là: ủ ấ , ch c n thay l c phân b ỉ ầ ố ở ế ả ự
M D ộ
2
g
¶
q=q(x,y,t)-
¶ Trong bài toán dao đ ng c a t m w 2 t
h g
2
4
Và ph ủ ấ ươ g ¶ ng trình dao đ ng c a t m là: ộ h w q x y t , ) (cid:209)
+ w
(a)
= 2
¶
gD t
( , D
4
4
¶ ¶ ¶
(cid:209) = 4
2
Trong đó c n hi u: ể ầ
+ 2
4
2 x y
¶ ¶ ¶ ¶
y
4 + 4 x w=w(x,y,t)
4
ợ ự Tr Ph ườ ươ do: q(x,y,t)=0 ủ ấ ng h p dao đ ng t ộ ng trình dao đ ng c a t m là: ộ g ¶ (cid:209)
+ w
0
2 h w = 2
(b) ¶
gD t
2
ng tìm đ c trong d ng: ườ ượ ạ ộ (c) c ph ượ ươ ng trình: 2T
(d)
Tw= -
2
Khi đó hàm đ võng w(x,y,t) th W(x,y,t)=W(x,y)T(t) Thay (c) vào (b) ta đ N u T(t) là hàm đi u hòa: T= -w ề ế Hay: .. T Hay: .. Tw+ T Thì ta có ph
0 ng trình biên đ dao đ ng: (thay (d) vào (b)): ộ
4
ộ (cid:209) - (e)
= 4 K W
= ươ 0 g
4
2
=
w
K
V i:ớ
h gD
(d): ph (c): ph ng trình dao đ ng ng trình biên đ . ươ ươ ộ ộ
