SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 2
ĐỀ TÀI:
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH TỪ QUÁ TRÌNH TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI
TOÁN Ở CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT LỚP
Đề tài thuộc lĩnh vực: Toán học Người thực hiện: Phạm Ngọc Chuyên Năm học : 2020 - 2021
1
PHẦ N I: ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................................... 3 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................. 3
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................................... 3
3. Đối tượng nghiên cứu ....................................................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................................ 3 PHẦ N II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ....................................................................... 4 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn ............................................................................................... 4
1.1. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo .................................................. 4
1.2. Các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong môn toán ............................................................................................................... 5
1.3. Thực trạng vấn đề ................................................................................. 6
2. Nội dung Đề tài .................................................................................................................... 6
2.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó tìm nhiều cách giải một bài toán, phân tích tìm cách giải hay ................................................................................................. 6
2.2. Khuyến khích cho học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới bằng các thao tác tư duy: đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa ............. 12
2.2.1. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy tương tự hóa: ........ 12
2.2.2. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy khái quát hóa: ....... 13
2.2.3. Khuyến khích cho học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới bằng thao tác tư duy đặc biệt hóa: .................................................................... 17
2.3. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh qua tìm sai lầm từ lời giải các bài toán. ........................................................... 18
3. Thực nghiệm ........................................................................................................................ 25
3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 25
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ........................................................ 25
3.3. Phân tích kết quả thực nghiệm ............................................................. 28
* Đánh giá định tính.................................................................................... 28
*Đánh giá định lượng ................................................................................. 28 PHẦ N 3. KẾT LUẬN ......................................................................................................... 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 32
2
PHẦ N I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Bài tập của chương Tổ hợp – Xác suất (đại số và giải tích lớp 11) là một nội dung khá phong phú về cách ra đề và luôn có trong đề thi THPT Quốc gia cũng như đề thi học sinh giỏi. Phương pháp giải các bài toán Tổ hợp- Xác suất thiên về tư duy logic và tư duy thuật toán nên những học sinh “yếu” về năng lực giải quyết vần đề thường gặp khó khăn trong giải các bài tập toán phần này.
1.2. Trước thực trạng đó, bản thân tôi luôn tìm tòi các cách dạy học sao cho học sinh biết: Gạt bỏ những thuộc tính hình thức và giữ lại những thuộc tính bản chất của bài toán; Thấy được không chỉ một bài toán mà còn phải thấy được một lớp các bài toán tương tự; Xây dựng được các bài toán từ bài toán gốc…Qua đó, khơi dậy sự hứng thú trọng học tập của học sinh; bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và phát huy tính sáng tạo .
1.3. Định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục của nước ta trong giai đoạn hiện nay là: “chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học”. Theo định hướng này này, song song với hoạt động dạy học nội dung kiến thức là hoạt động hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực cốt lõi. Chương trình SGK mới chỉ ra một số năng lực chung như: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Ngoài ra còn có các năng lực chuyên môn được hình thành và phát triển thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định như: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực thẩm mỹ, năng lực thể chất, năng lực tin học, năng lực công nghệ.
Từ mục đích trên, tôi nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở Chương tổ hợp và xác suất lớp 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một số tình huống có vấn đề trong giải bài tập Tổ hợp – Xác suất. Học sinh giải quyết được tình huống có vấn đề (dưới sự hướng dẫn của giáo viên). Qua đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 11;
- Giáo viên toán THPT. 4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, quan sát, điều tra thực tiễn, thực nghiệm….
3
PHẦ N II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là một trong các năng lực chung mà chương
trình GDPT 2018 hướng tới. Các thành tố của năng lực này bao gồm :
- Nhận ra ý tưởng mới;
- Phát hiện và làm rõ vấn đề;
- Hình thành và triển khai ý tưởng mới;
- Đề xuất, lựa chọn giải pháp; - Thiết kế, tổ chức hoạt động;
- Tư duy độc lập.
Các biểu hiện của các thành tố này đối với học sinh THPT được tóm tắt trong bảng
sau:
Thành tố năng lực Biểu hiện của học sinh
Nhận ra ý tưởng mới
- Biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và phức tạp từ các nguồn thông tin khác nhau;
- Biết phân tích các nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và độ tin cậy của ý tưởng mới.
Phát hiện và làm rõ vấn đề
- Phân tích được tình huống trong học tập , trong cuộc sống;
- Phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống.
Hình thành và triển khai ý tưởng mới - Nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập và cuộc sống;
- Suy nghĩ không theo lối mòn;
- Tạo ra yếu tố mới dựa trên những ý tưởng khác nhau;
- Hình thành và kết nối ý tưởng;
- Nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước sự thay đổi của bối cảnh;
- Đánh giá rủi ro và có dự phòng.
Đề xuất, lựa chọn giải pháp
- Biết thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề;
- Biết đề xuất và phân tích được một số giải pháp giải quyết vấn đề;
4
- Lựa chon được giải pháp phù hợp nhất.
Thiết kế và tổ chức hoạt động - Lập được kế hoạch hoạt động có mục tiêu, nội dung, hình thức, phương tiện hoạt động phù hợp;
- Tập hợp và điều phối được nguồn lực (nhân lực, vật lực) cần thiết cho hoạt động.
- Biết điều chỉnh kế hoạch về việc thực hiện kế hoạch, cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề cho phù hợp với hoàn cảnh để đạt hiệu quả cao.
- Đánh giá được hiệu quả của giải pháp và hoạt động
Tư duy độc lập
- Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, không dễ dàng chấp nhận thông tin một chiều;
- Không thành kiến khi xem xét, đánh giá vấn đề; biết quan tâm tới các lập luận và minh chứng thuyết phục;
- Sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề.
1.2. Các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong môn toán
Từ việc phân tích các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo nói chung, năng lực toán học nói riêng, có thể chỉ ra các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong môn toán như sau:
- Nhận biết, phát hiện và làm rõ vấn đề cần giải quyết bằng Toán học;
- Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề;
- Sử dụng được các kiến thức, kỹ năng toán học tương thích để giải quyết vấn
đề đặt ra;
- Đánh giá được giải pháp đề ra;
- Nhận ra, hình thành và triển khai khái niệm mới, định lý mới, bài toán mới,
cách giải mới trong môn toán.
Dạy học Toán bản chất là dạy học sinh giải toán. Khi học sinh giải được một bài toán, tức là học sinh đã biết giải quyết vấn đề xảy ra trong quá trình học tập để tìm ra cái mới ở mức độ nào đó. Nếu bài toán đó học sinh chưa biết phương pháp giải nhưng vẫn giải được thì đó được xem là giải quyết vấn đề sáng tạo.
Sáng tạo của học sinh trong học tập được xem như một quá trình sáng tạo đặc biệt. Bởi vì tri thức học sinh tìm ra không mới với nhân loại nhưng mới với bản thân các em. Sự sáng tạo của học sinh biểu hiện qua các hoạt động như: Giải được bài toán mà các em chưa biết phương pháp giải; Giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau; đưa ra một cách giải mới; ...
Giải quyết vấn đề và sáng tạo là hai mặt tồn tại song song và bổ trợ cho nhau khi thực hiện một hoạt động học tập nào đó. Khi giải quyết một vấn đề, chúng ta sẽ
5
gặp những khó khăn và chướng ngại nhất định. Để vượt qua những khó khăn và chướng ngại đó ngoài tri thức và phương pháp đã biết cần có sự sáng tạo để giải quyết vấn đề. Ngược lại, con người chỉ phát huy tính sáng tạo khi gặp tình huống có vấn đề.
Trong Đề tài này tác giả bồi dưỡng năng lực giải quết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua 3 vấn đề: Học tập từ những lời giải sai lầm; Giải một bài toán bằng nhiều cách; Sáng tạo bài toán mới; Tổng quát hóa bài toán.
1.3. Thực trạng vấn đề
Những thuận lợi: Đây là nội dung Toán học gắn liền với thực tiễn nên từng nội
dung bài học cũng như các bài tập luôn gây được sự hứng thú và hấp dẫn học sinh.
Những khó khăn: Thời lượng dành cho chương ít nhưng nội dung hoàn toàn mới đối với học sinh và lượng kiến thức rất nhiều. Hơn nữa nội dung này chỉ học ở lớp 11 không được học giãn ra ở các lớp như nội dung Toán học khác. Điều đó dẫn đến việc áp dụng kiến thức vào giải toán không có độ chín muồi về kỹ năng và tư duy.
2. Nội dung Đề tài
2.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ
khác nhau, từ đó tìm nhiều cách giải một bài toán, phân tích tìm cách giải hay
Học toán xét cho cùng là học giải bài tập toán. Trong một bài toán có chứa nhiều yếu tố, mỗi cách phân tích, nhìn nhận các yếu tố theo một cách khác nhau có thể cho chúng ta một cách giải bài toán khác nhau. Mỗi cách giải có hiệu quả nhất định đến quá trình phát triển tư duy, năng lực giải quyết vấn đề của người học.
Tìm nhiều lời giải cho một bài toán là hoạt động dạy học giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về một vấn đề toán học. Từ đó các em biết tự hệ thống hóa kiếm thức và biết khai thác sử dụng các kiến thức kỹ năng, phương pháp giải một cách mềm dẻo, linh hoạt.
Tìm nhiều cách giải cho một bài toán sẽ giúp học sinh tự mình biết phân tích,
so sánh và rút ra các đặc điểm như:
- Thấy được cách giải tốt nhất cho bài toán;
- Phát hiện ra các vấn đề mới, các bài toán mới;
- Đưa ra cách giải cho một lớp các bài toán tương tự.
Ví dụ 1: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}. Hỏi có bao nhiêu số gồm 9 chữ số tạo
thành từ A biết chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
Học sinh có thể tiếp cận một số cách giải sau:
Cách 1: Sử dụng công thức hoán vị lặp ta có kết quả .
6
Phân tích cách giải 1: Hoán vị lặp không đưa vào SGK, nhưng đây là một nội dung mà học sinh có thể t́m t́m hiểu thêm thông qua sự giới thiệu và hướng dẫn của giáo viên.
Tìm hiểu sâu cách giải 1: Từ bài toán trên ta có thể hướng dẫn học sinh xây
dựng bài toán tổng quát sau:
Cho tập A có n phần tử, trong đó có: phần tử ,
phần tử ……… . Mỗi cách sắp xếp n phần tử đó vào n vị trí gọi là một phần tử hoán vị lặp của n phần tử đã cho. Số hoán vị lặp của n phần tử ở trên là:
Từ bài toán tổng quát trên học sinh có thể tự sáng tạo ra lớp các bài toán tương
tự:
Bài 1: Từ tập X ={1;2;3;4;5;6;7;8} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số
sao cho chữ số 1 có mặt 4 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần?
Bài 2: Từ các số của tập A = { 2; 4; 6; 8} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần; chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần và chữ số 8 xuất hiện 1 lần.
Bài 3: Cho tập A = { 1; 3; 5; 6; 9}. Từ tập A ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số này chia hết cho 5.
Bài 4: Từ tập X = {1; 2; 4; 6; 7; 9}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 2 xuất hiện 2 lần; các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó không chia hết cho 2.
Bài 5: Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 7; 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ
số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Bài 6: Cho tập X = {0;1; 3;5;6}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5.
Bài 7: (HSG lớp 11 Quảng Ngãi 2015-2016). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số tạo thành nói trên lấy ngẫu nhiên một số. Tính các suất để số được chọn chia hết cho 4.
Cách 2: Xem số 1 xuất hiện ba lần trong số cần tìm là khác nhau, giả sử là a,b,c. Khi đó ta có bài toán mới như sau: Có bao nhiêu số có 9 chữ số khác nhau tạo thành từ tập hợp B = {2,3,4,5,6,7,a,b,c}. Mỗi số được tạo thành là hoán vị của 9 nên mỗi số tìm được trên phần tử của tập hợp B. Ta có 9! số. Nhưng do khi hoán vị các vị trí của a, b, c cho nhau thì số đó không đổi. Từ đó suy ra số các số
thỏa mãn yêu cầu bài toán là số.
7
Phân tích cách giải 2: Vấn đề khó khăn của bài toán là 3 số 1 ở ba vị trí khác nhau của một số có 9 chữ số thì ta được các số khác nhau, nhưng khi đổi vị trí của 3 số 1 cho nhau thì số đó không đổi. Mọi sự phức tạp của bài toán đều bắt nguồn từ sự lặp lại của các số 1. Vậy nếu ta xem các số 1 đó như là các số khác nhau thì sao? Từ đó gợi cho học sinh biết “quy lạ về quen” bằng cách xem ba số 1 như ba số khác nhau.
Tìm hiểu sâu cách giải 2:
Nếu so sánh cách giải 2 và cách giải 1 thì cách 1 có ưu điểm ngắn gọn và dễ
hiểu.
Nhưng ở cách 2 việc đặt
ta đặt dùng trong giải toán. Ví dụ: phương trình Nếu trình ban đầu thì phương trở
là cách nhìn biện chứng rất thường là phương trình bậc hai. thành: là phương trình bậc 4 theo ẩn t. Nhưng nếu bỏ qua những thuộc tính hình thức, giữ lại thuộc tính bản chất thì phương trình (2) cũng chỉ là phương trình bậc 2 quen thuộc.
Ta sử dụng cách nhìn biện chứng để đưa một đối tượng phức tạp về một đối tượng mới đơn giản hơn, theo cách giải quyết vấn đề như trên ta có thể giải được một số bài toán tổ hợp tương tự như:
Ví dụ 1a: Có 6 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hoá. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách đó thành 1 dãy trên kệ sao cho các quyển sách Hoá đứng cạnh nhau, các quyển sách Lý đứng cạnh nhau.
Giải:
Ta ghép các quyển sách hoá lại xem như 1 phần tử H, ghép các quyển sách Lý lại xem như 1 phần tử L. Khi đó xếp 8 phần tử (gồm 6 quyển sách toán và 2 phần tử H và L) có 8! cách sắp xếp.
Ghép 5 quyển sách hoá có 5! cách. Ghép 3 quyển sách Lý có 3! cách.
Theo quy tắc nhân có 5!.3!.8! cách.
Ví dụ 1b: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An,
Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.
Giải:
Ghép An và Bình thành một phần tử M có 2! cách. Xếp 9 phần tử (gồm 8 bạn
còn lại và phần tử M) vào 9 vị trí có 9! cách. Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách.
Cách 3: Lấy sáu số từ tập A gồm: 2,3,4,5,6,7 số sắp xếp vào 9 vị trí của số cần cách sắp xếp. Sắp xếp 3 số 1 vào ba vị trí còn lại có một cách sắp xếp.
tìm ta có Vậy kết quả là .
Phân tích cách giải: Trong giải toán ta rất hay “tự ám thị” bởi yêu cầu của bài toán dẫn người giải đi theo lối tư duy quen thuộc. Nếu ta tư duy ngược lại như sau:
8
Có 9 cái hộp xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ vào mỗi hộp một số biết có 3 số 1. Như vậy mỗi cách bỏ số vào hộp ta được một số tử các số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhưng ở đây mỗi số chắc chắn sẽ có 1 hộp để bỏ vào nên việc chữ số 1 lặp lại không ảnh hưởng đển kết quả bài toán. Ở trên tác giả trìn bày lời giải bằng sử dụng chỉnh hợp, tuy nhiên chúng ta vẫn có thể dùng quy tắc đếm để giải bài toán như các bài toán quen thuộc.
Tìm hiểu sâu cách giải 3: Trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cách giải trên gọi là phương pháp chọn vị trí trước, sắp xếp sau. Với những bài toán có quá nhiều trường hợp xảy ra khi ta giải trực tiếp thì ta thường chọn ra số phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán trước sau đó mới sắp xếp. Ứng dụng phương pháp giải trên ta giải được rất nhiều bài toán trong đề thi học sinh giỏi hoặc thi Quốc gia
Ví dụ 1c: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2020): Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn.
Lời giải 1: Yêu cầu bài toán sẽ có các trường hợp sau thỏa mãn
TH1: Lấy ra 4 số lẽ và sắp xếp chúng có =960 số
TH2: Lấy ra 4 số gồm 3 số lẽ và 1 số chẵn có cách lấy.
Sắp xếp các phần tử trên có 4! cách sắp xếp luôn thỏa mãn yêu cầu bài
toán.
Suy ra có .4! =120 số thỏa mãn
TH3: Lấy ra 4 số gồm 2 số lẽ, 2 số chẵn có số
Sắp xếp các số trên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta xem 2 số chẵn có
21.2!.3 số
Số các số thỏa mãn bài toán là 720
Số phần tử không gian mẫu số
Xác suất lấy được 4 số không có 2 chữ số chẵn liên tiếp là
Lời giải 2:
TH1: Số có 4 chữ số trong đó có 2 chữ số chẵn liên tiếp và 2 số lẽ có
720 số (ta xem hai chữ số chẵn liến tiếp là một số).
TH2: Số có 4 chữ số gồm 3 chữ số số chẵn và 1 số lẽ có 480 số
TH3: Số có 4 chữ số chẵn liên tiếp có 4! = 24 số
Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
Xác suất cần tìm là
9
Cách 4: Chọn ba vị trí cho ba số 1 có cách chọn. Sắp xếp các số 2,3,4,5,6,7
vào sáu vị trí còn lại có 6! cách sắp xếp. Vậy số các số thỏa mãn bài toán là
Phân tích cách giải: Xét về bản chất thì đây là cách giải tương tự như cách 3 về
tư duy thuật giải là chọn vị trí trước sắp xếp sau.
Qua ví dụ trên, tính sáng tạo của cách giải bài toán trên thể hiện ở chỗ: Học sinh phải biết phân chia trường hợp và sử dụng cách đếm linh hoạt tùy theo từng trường hợp khác nhau. Ở lời giải thứ nhất trường hợp thứ 3 học sinh cần tìm một cách đếm phù hợp hơn đó là xem 2 chữ số chẵn liên tiếp là một số. Tương tự ở lời giải 2 trường hợp 2 sẽ có 2 khả năng xẩy ra là 2 số chẵn liên tiếp và 3 số chẵn liên tiếp. Nhưng khả năng 2 chữ số chẵn kiên tiếp ở đây không trùng với TH2 vì số tạo thành của 2 trường hợp này hoàn toàn khác nhau. Nếu học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện nhiều thì năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo của học sinh sẽ được nâng cao.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ
số 0 và chữ số 6?
Cách 1: Xem việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán là công việc sắp 5 chữ số vào 5 ô trống trong đó có 1 ô chứa số 0, một ô chứa số 6, 3 ô còn lại chọn từ tập hợp
gồm 8 chữ số. Công việc này trải qua 3 công đoạn như sau:
Công đoạn 1: Sắp chữ số 0 vào một trong 4 ô trống sau (trừ ô đầu tiên) có 4
cách sắp.
Công đoạn 2: Sắp chữ số 6 vào một trong 4 ô trống còn lại (trừ ô chứa số 0) có
4 cách sắp.
Công đoạn 3: Chọn 3 chữ số từ tập E sắp vào 3 ô còn lại (trừ hai ô chứa số 0 và
số 6) có cách.
Theo quy tắc nhân có tất cả cách.
Cách 2: Chia tập hợp gồm 5 chữ số khác nhau thành 4 loại:
Loại 1: Các số không có mặt chữ số 0 và chữ số 6. Mỗi số như vậy là một chỉnh nên có hợp chập 5 của tập số.
Loại 2: Các số có mặt số 0 nhưng không có mặt số 6. Xem việc thành lập mỗi số loại này trải qua 2 công đoạn. Công đoạn 1 xếp số 0 vào một trong 4 vị trí sau (trừ vị trí đầu tiên) có 4 cách, công đoạn 2 chọn 4 chữ số từ tập sắp vào 4 ô còn lại có số (mỗi cách cho ta cách. Theo quy tắc nhân, loại này có một số).
Loại 3: Các số có mặt số 6 nhưng không có mặt số 0. Tương tự loại 2, loại này
có số.
Loại 4: Các số có mặt chữ số 0 và chữ số 6 (thỏa mãn yêu cầu bài toán), giả sử
là x.
10
Số các số gồm 5 chữ số khác nhau là .
Theo quy tắc cộng, ta có
Cách 3: Vì số cần lập có 5 chữ số mà đã có mặt 0 và 6 nên chỉ cần chọn thêm 3 . Mỗi bộ gồm 3 chữ số vừa chọn cùng với 2 số 0 chữ số từ tập và 6 tạo thành một bộ có 5 chữ số. Mỗi hoán vị của 5 chữ số này trừ đi các hoán vị có chữ số 0 đứng đầu là một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó, để lập mỗi số như vậy là một công việc trải qua 3 công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn 3 chữ số bất kỳ từ có cách.
Công đoạn 2: Từ bộ 5 chữ số gồm 3 số vừa chọn cùng với hai số 0 và 6 ta lấy
số 0 sắp vào một trong 4 vị trí sau, có 4 cách.
Công đoạn 3: Sắp 4 chữ số còn lại trong bộ vào 4 ô trống còn lại, có cách.
Theo quy tắc nhân, có tất cả số.
Cách 4: Việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán có 2 phương án:
Phương án 1: Chữ số 6 ở vị trí đầu tiên.
Công đoạn 1: Sắp số 0 vào một trong 4 ô còn lại, có 4 cách sắp.
Công đoạn 2: Chọn 3 chữ số từ tập sắp vào 3 ô còn lại, có
cách.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có số.
Phương án 2: Chữ số 6 không ở vị trí đầu tiên.
Công đoạn 1: Sắp số 6 vào một trong 4 ô, có 4 cách sắp.
Công đoạn 2: Sắp số 0 vào một trong 3 ô còn lại (trừ ô đầu và ô chứa số 6), có
3 cách sắp.
Công đoạn 3: Chọn 3 chữ số từ tập và xếp vào 3 ô còn lại, có
cách.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có số.
Theo quy tắc cộng, có tất cả số.
Mỗi cách giải ở trên là một cách nhìn bài toán ở một góc độ khác nhau. Trong
các cách giải đó thì cách giải thứ nhất là tốt nhất.
Việc tìm nhiều lời giải khác nhau cho cùng một bài toán giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về một nội dung toán học cũng như khả năng liên kết nhiều nội dung toán học với nhau để giải quyết vấn đề. Học sinh biết nhìn một vấn đề, một sự việc dưới nhiều khía cạnh khác nhau để đưa ra nhận xét đánh giá khách quan và chính xác nhất. Hơn nữa, khi đứng trước một vấn đề trong cuộc sống, các em sẽ linh hoạt, sáng tạo hơn trong quá trình tìm các phương án giải quyết và chuyển hướng khi cần thiết.
11
2.2. Khuyến khích cho học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới bằng các
thao tác tư duy: đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa
Để phát triển được năng lực sáng tạo, đòi hỏi giáo viên và học sinh “phải có can đảm buông tay khỏi những điều chắc chắn” (Erich Fromm). Nghĩa là, giáo viên phải khuyến khích học sinh dám tìm tòi, khám phá để đưa ra những quan điểm, ý tưởng mới, cách giải quyết mới. Tất nhiên, với học sinh, việc yêu cầu các em tìm tòi, khám phá ra một điều gì đó mới mẻ hoàn toàn là một điều không hề đơn giản. Muốn vậy giáo viên phải là người luôn định hướng, rèn luyện cho học sinh các thói quen tư duy sau:
Thứ nhất, khả năng phát hiện ra những điểm tương đồng, khác biệt cũng như mối liên hệ giữa nhiều sự vật, hiện tượng khác nhau trong đời sống. Người có năng lực sáng tạo thường có thói quen quan sát, so sánh và nhất là khả năng tưởng tượng, liên tưởng rất tốt. Tưởng tượng tự do giúp tạo ra những hình ảnh, cấu thành, thiết kế mới hữu ích mà trong điều kiện tư duy duy lí thông thường không có được. Vì thế nên tưởng tượng trở thành một trong những yếu tố rất quan trọng trong tư duy sáng tạo của con người và là khởi nguồn cho mọi phát minh sau này. Nếu không tưởng tượng, không có mong muốn biết bay như loài chim thì chắc hẳn con người không thể thiết kế được máy bay như ngày hôm nay.
Thứ hai, khả năng giải quyết vấn đề bằng nhiều con đường, cách thức khác nhau; phân tích, đánh giá vấn đề ở nhiều phương diện, góc nhìn khác nhau. Cùng một vấn đề, một bài toán đặt ra, người có năng lực sáng tạo thường tìm kiếm, phát hiện được nhiều hướng giải quyết, nhiều ý tưởng khác nhau. Người có năng lực sáng tạo thường không dễ dàng chấp nhận những gì đã có mà luôn tìm tòi những cách giải quyết mới, biện pháp mới.
Thứ ba, khả năng phát hiện ra những điều bất hợp lí, những bất ổn hay những quy luật phổ biến trong những hiện tượng, sự vật cụ thể dựa trên sự tinh tế, nhạy cảm và khả năng trực giác cao của chủ thể.
Năng lực sáng tạo còn được biểu hiện ở khả năng quan sát, phân tích vấn đề ở nhiều điểm nhìn, nhiều phương diện khác nhau. Nói cách khác, người có năng lực sáng tạo phải có tư duy mềm dẻo, linh hoạt trong việc tiếp cận, giải quyết vấn đề. 2.2.1. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy tương tự hóa:
Theo G. Polya, tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm. Ông giải thích điều trên như sau: "Sự khác nhau căn bản giữa tương tự và những loại giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ. Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Nếu bạn có ý định quy mối quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như là những đối tượng tương tự. Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm sáng tỏ sự tương tự".
12
Theo Đ. P. Goocki cho rằng: "Tương tự là phép suy luận trong đó từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác. Nếu đối tượng A có dấu hiệu là a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính chất d. Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau: A có tính chất a, b, c, d; B có tính chất a, b, c; Kết luận B cũng có tính chất d".
"Tương tự là chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng
khác của cùng một cái tổng quát".
Nhiều tác giả cho rằng: “Tương tự hóa là quá trình dùng trí óc để kết luận về sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác từ sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính nào đó nhằm mục đích tạo ra một kết quả mới, vượt qua một trở ngại”.
Như vậy, việc tập luyện cho học sinh kỹ năng tương tự hóa sẽ góp phần vào
việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.
Ví dụ 1: Xuất phát từ bài toán: Cho tập . Hỏi có thể tạo bao
nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ tập A.
Nếu giữ nguyên các đặc tính của bài toán, ta thay đổi đối tượng thì được các
bài toán tương tự:
1, Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
2, Một đoàn khách du lịch dự định tham quan 6 điểm A, B, C, D, E ở thủ đô
Hà Nội. Hỏi họ có bao nhiêu cách chọn?
3, Bạn An có 3 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn khác nhau.
Hỏi bạn An có bao nhiêu cách xếp chồng 6 quyển sách lên nhau?...
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
Giải: Sử dụng tính chất ta có:
Suy ra:
Vậy
Sự dụng thao tác tư duy ương tự hóa ta có các bài toán:
1. Tính:
2. Tính:
3. Tính:
4. Tính 2.2.2. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy khái quát hóa:
Có nhiều định nghĩa về khái quát hóa, chẳng hạn:
13
G. Polya cho rằng: "Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu".
Tác giả Đào Văn Trung đã viết: "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ra những tính chất chung của chúng và quy kết lại, phương pháp tư duy này gọi là khái quát".
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập xuất phát.
Tác giả thống nhất với Nguyễn Bá Kim về hai dạng khái quát hóa thường gặp
trong môn Toán và có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau:
Khái quát hóa
Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát
Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn
Khái quát hóa đến cái tổng quát đã biết
Khái quát hóa đến cái tổng quát chưa biết
Chẳng hạn, khi dạy quy tắc nhân, giáo viên có thể dẫn dắt học sinh đi từ những
trường hợp riêng lẻ đến tổng quát:
- Từ nhà Ngọc đến nhà Khánh có 4 con đường đi, từ nhà Khánh đến nhà Khải cách đi; có 3 con đường đi. Do đó, để đi từ nhà Ngọc đến nhà Khảicó tất cả từ nhà Ngọc đến nhà Khánh có m con đường đi, từ nhà Khánh đến nhà Khải có n con đường đi. Do đó, có m. n cách đi từ nhà Ngọc đến nhà Khải;
- Giả sử để thực hiện một công việc nào đó cần trải qua hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách khác nhau. Đó là một kết quả tổng quát.
có thể thực hiện theo cách, công đoạn
- Chúng ta tiếp tục đi đến một kết quả tổng quát hơn từ kết quả tổng quát ở . Công cách, có thể thực hiện theo cách. Khi đó công việc có thể thực hiện có thể thực hiện theo
trên: Giả sử một công việc nào đó được thực hiện qua k công đoạn đoạn ..., công đoạn theo cách khác nhau.
14
Cả hai trường hợp trên đều là sự khái quát đi đến kiến thức mới, tổng quát. Bên cạnh đó còn có dạng khái quát hóa đi đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành chẳng hạn khi giải những bài tập cụ thể, trong đó khái quát hóa thể hiện ở việc liên hệ những tình huống cụ thể của bài tập với những tiên đề, định nghĩa, định lý thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát đã biết trong những cái cụ thể.
Dạng khái quát hóa đi đến cái tổng quát chưa biết, tức đi đến kiến thức mới, có thể là một khái niệm, một định lý hay một bài tập nào đó mà ta muốn hình thành hoặc mở rộng. Quy trình thực hiện thao tác này như sau:
Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát;
Bước 2: Xác định các đặc điểm của các đối tượng riêng lẻ;
Bước 3: So sánh các đặc điểm đó để tìm ra đặc điểm giống nhau và khác nhau;
Bước 4: Trong các đặc điểm giống nhau đó giữ lại cái bản chất và trừu xuất
chúng ra khỏi đối tượng;
Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một
tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó;
Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong
tập lớn hơn ở bước 5;
Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được.
Dạng khái quát hóa này đi đến kiến thức mới, chẳng hạn như hình thành khái niệm theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một định lý, mở rộng một bài toán, ...
Ví dụ : Sau khi học công thức nhị thức Newton, có thể cho học sinh làm các
bài toán sau:
1) Tìm hệ số của và trong các khai triển và .
2) Chứng minh rằng: a) ;
b) .
3) Chứng minh rằng: a) ;
b) .
4) Hãy nêu bài toán tổng quát của 2) và 3).
Học sinh dễ dàng đưa ra kết quả của câu 1) là hệ số của
là , hệ số của
triển của là . Hệ số của
trong khai triển của trong khai triển của là và hệ số của
trong khai triển của trong khai là . Mà bằng nhau với mọi giá trị của x nên chúng ta và
hai biểu thức có các đẳng thức:
15
;
.
Đối với câu 3), học sinh thực hiện thao tác tương tự hóa và các em cũng sẽ
chứng minh được:
.
Tiếp theo, giáo viên hướng dẫn học sinh khái quát hóa để đưa ra được bài toán
tổng quát theo các bước sau:
Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát hóa
- Hãy tìm bài toán tổng quát cùng với phương pháp giải!
Bước 2: Xác định các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ
của các đối tượng riêng lẻ.
- Hãy tìm các đặc điểm của các đẳng thức:
.
+ Vế trái của là một tổng mà mỗi số hạng có dạng ; Vế trái của
là một tổng mà mỗi số hạng có dạng ;
+ Vế phải của là , ; vế phải của là , ;
là một tổng mà mỗi số hạng có dạng ; Vế trái
+ Vế trái của là một tổng mà mỗi số hạng có dạng ; của
+ Vế phải của là ; vế phải của là .
Bước 3: So sánh các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ đó
để tìm ra dấu hiệu giống nhau và khác nhau.
So sánh các đặc điểm trên, học sinh thấy rằng:
+ Vế trái của đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng
; vế phải của và đều có dạng , , ứng
ứng với , với , ứng với và ứng với .
và
đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng và ; vế phải của ứng với ,
+ Vế trái của , đều có dạng ứng với .
Bước 4: Giữ lại các đặc điểm chung:
+ Vế trái của và đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng ,
vế phải của và đều có dạng ;
16
+ Vế trái của và đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng
; vế phải của và đều có dạng .
Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một
tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó.
Chứng minh các đẳng thức:
và
Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong
tập lớn hơn ở bước 5.
Tương tự cách chứng minh của và chúng ta sẽ chứng minh được .
Tương tự cách chứng minh của và chúng ta sẽ chứng minh được .
Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được.
Chứng minh các đẳng thức:
.
2.2.3. Khuyến khích cho học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới bằng thao
tác tư duy đặc biệt hóa:
Đặc biệt hóa là chuyển từ khái niệm có ngoại diên rộng sang khái niệm có
ngoại diên hẹp - gọi là giới hạn khái niệm.
Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang
việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho.
Có thể quan niệm về đặc biệt hóa như sau: Đặc biệt hóa là quá trình dùng trí óc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho nhằm mục đích kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của khái quát hóa, giải quyết một vấn đề.
Ví dụ 1: Với kết quả vừa đạt được ở 2.2.2, bằng cách đặc biệt hóa có thể tạo ra
một hệ thống bài tập, chẳng hạn:
- Trong , lần lượt cho n nhận các giá trị 1979, 2002, 20... chúng ta có các bài
toán sau:
Chứng minh các đẳng thức:
;
;
, ...
- Trong , cho chúng ta có bài toán sau:
Chứng minh đẳng thức:
;
17
- Trong , cho chúng ta có bài toán sau:
Chứng minh đẳng thức: .
Ta lại có nên đẳng thức trên trở thành . Do đó, là một trường
hợp riêng của .
Ví dụ 2: Từ công thức nhị thức newton
Ta chọn a = 1, b = x. Ta có công thức
(1)
Từ công thức (1) chọn một giá trị cụ thể của x ta có các bài toán chứng minh
đẳng thức:
1,
2,
3,
4,
Kết hợp tính chất ta có bài toán tính giá trị biểu thức:
Kết hợp bài 3) và 4) ta có bài toán chứng minh:
2.3. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh qua tìm
sai lầm từ lời giải các bài toán.
Giáo viên nên để cho HS tự làm, tự xoay xở, tự đưa ra các định nghĩa khái niệm, các giải pháp, trên cơ sở đó giáo viên phân tích, góp ý, qua đó HS có được những kinh nghiệm giải toán, thấy được đúng sai trong cách nghĩ, cách giải quyết vấn đề, tránh được những sai lầm.
Ví dụ: Dạy học khái niệm chỉnh hợp và cách xác định số các chỉnh hợp.
GV chia HS trong lớp làm hai nhóm, chuẩn bị cho mỗi nhóm một bài tập với
hình thức phiếu hỏi.
Bài tập 1 (nhóm 1): Thầy giáo cần lập đội ngũ cán bộ lớp gồm 3 HS vào 3 chức vụ Lớp trưởng (LT), Bí thư (BT), Lớp phó học tập (LPHT) từ 6 em HS xuất sắc của lớp Hà, Khải, Châu, Ngọc, Khánh, Linh.
a) Hãy chỉ ra 4 kết quả sắp xếp của thầy giáo?
18
b) Có bao nhiêu kết quả như vậy?
Bài tập 2 (nhóm 2): Cho tập hợp .
a) Hãy chỉ ra 5 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lấy từ tập .
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lấy từ ?
GV cho mỗi nhóm suy nghĩ khoảng 3 phút và yêu cầu đưa ra câu trả lời của ý
a) (dự kiến rằng hầu hết HS sẽ trả lời được câu hỏi này).
GV nhận xét kết quả của mỗi nhóm và đặt vấn đề: Mỗi kết quả của ví dụ 1a), chẳng hạn Hà, Khải, Châu (theo thứ tự LT, BT, LPHT), là một chỉnh hợp chập 3 của tập hợp gồm 6 HS Hà, Khải, Châu, Ngọc, Khánh, Linh. Mỗi kết quả của Bài tập 2, chẳng hạn số 1234, là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần từ của tập hợp . Các em hãy tìm đặc điểm chung của các kết quả ở hai Ví dụ trên?
Dự kiến HS trả lời: Mỗi kết quả là một cách sắp xếp một số phần tử nào đó của
một tập hợp cho trước theo một thứ tự nào đó.
GV yêu cầu HS phát biểu khái niệm chỉnh hợp từ đặc điểm chung mà HS vừa chỉ ra. GV chính xác hóa, ghi bảng định nghĩa khái niệm và yêu cầu HS nêu sự khác nhau của hai chỉnh hợp.
GV tiếp tục yêu cầu HS trả lời ý b) của mỗi câu hỏi. Nếu HS gặp khó khăn vì một số em đếm theo kiểu liệt kê thì GV có thể gợi ý qua các câu hỏi: Mỗi chỉnh hợp chập 3 của tập hợp 6 bạn HS gồm mấy HS lấy từ tập đó? Do đó để thành lập mỗi chỉnh hợp chập 3 này là một công việc trải qua mấy giai đoạn?
Với cách gợi ý như vậy chúng ta hy vọng rằng HS sẽ trả lời như sau: Mỗi chỉnh hợp chập 3 của 6 HS bao gồm 3 HS, do đó để thành lập mỗi chỉnh hợp này cần trải qua 3 giai đoạn. Giai đoạn 1 chọn HS thứ nhất có 6 sự lựa chọn; giai đoạn 2 chọn HS thứ 2 có 5 sự lựa chọn; giai đoạn 3 chọn HS thứ 3 có 4 sự lựa chọn. Do đó, theo quy cách, hay số chỉnh hợp chập 3 của tập hợp có 6 phần tử tắc nhân có tất cả là .
Tương tự, ở Ví dụ 2b) sẽ cho kết quả là số, hay số chỉnh hợp chập
4 của tập hợp có 7 phần tử là .
Một cách tổng quát, nếu tập A có n phần tử và số nguyên k với thì sẽ
có bao nhiêu chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp đó?
Với cách dẫn dắt như vậy, có thể hy vọng rằng HS sẽ biết cách thành lập số các . GV đưa ra ký hiệu về số các chỉnh
chỉnh hợp và đưa ra kết quả là hợp của một tập hợp và ghi công thức lên bảng.
(1)
GV tiếp tục nêu vấn đề khi sẽ như thế nào và từ đó HS sẽ tự phát hiện ra
hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp.
GV quay trở lại các ví dụ ban đầu và đưa ra nhận xét:
19
; .
GV yêu cầu HS viết công thức (1) ở dạng dễ nhớ hơn.
Với cách hướng dẫn này, có thể hy vọng rằng HS sẽ trả lời được
với quy ước .
Để giúp HS hiểu và nhớ hơn khái niệm chỉnh hợp và số các chỉnh hợp, GV yêu cầu HS làm thêm bài tập sau: Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt, có bao nhiêu có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp này? vectơ khác vectơ
b) Nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng của các quy tắc, các khái niệm.
Ví dụ 1: Dạy học quy tắc cộng
Sau khi đưa ra các ví dụ cụ thể, khái quát hóa ở nhiều tầng lớp, GV cần đưa ra
sơ đồ sau:
lại có thể trùng với cách nào đó ở phương án
Qua sơ đồ này, nhấn mạnh cho HS hiểu rằng để có được phân hoạch như trên thì cần phải có tiêu chí, dấu hiệu mà dựa vào đó vạch ra các kế hoạch để thực hiện được công việc A. Các phương án đưa ra độc lập với nhau, không có cách nào ở phương án . Từ đó, tổng kết lại cho HS các yêu cầu của việc phân tách là:
- Dấu hiệu của sự phân chia (cần phải trả lời các câu hỏi: công việc gì? Dựa vào dấu hiệu nào mà có thể vạch ra các phương án như vậy? Hãy chỉ ra các dấu hiệu có thể sử dụng để phân chia công việc này?).
- Các phương án không trùng nhau (Các phương án đưa ra đã riêng biệt chưa? Có phương án nào trùng nhau hay không? Có phương án nào phụ thuộc vào phương án khác không?).
- Các phương án phải đầy đủ (Có phương án nào nữa ngoài các phương án nêu
ở trên có thể thực hiện được công việc A hay không?).
- Các phương án đưa ra phải tuần tự (Cách phân chia như trên đã hợp lý chưa?).
Chẳng hạn, với bài toán: Một lớp học có 16 HS gồm 3 HS giỏi, 5 HS khá, 8 HS trung bình. Cần chia 16 HS trên làm hai tổ. mỗi tổ có 8 HS và tổ nào cũng có HS giỏi, ít nhất hai HS khá.
20
GV có thể hướng dẫn HS giải bài toán này bằng cách phân chia trường hợp riêng. Dấu hiệu của sự phân chia là "có HS giỏi, ít nhất hai HS khá, mỗi tổ có 8 HS". Tuần tự xét tăng dần số HS giỏi trong mỗi tổ, từ đó ta có bảng sau:
Tổ 1 Tổ 2 T
H
Giỏi Khá Trung bình Giỏi Khá Trung bình
TH1 1 2 5 2 3 3
TH2 1 3 4 3 2 3
TH3 2 2 4 1 3 4
TH4 2 3 3 1 2 5
Tuy nhiên, vai trò của hai tổ như nhau nên TH1 và TH4 trùng nhau, TH2 và
TH3 cũng trùng nhau. Do đó, chỉ xảy ra hai phương án sau:
Phương án 1: Tổ 1 gồm 1 HS giỏi, 2 HS khá và 5 HS trung bình. Tổ 2 gồm
những HS còn lại.
Phương án 2: Tổ 1 gồm 1 HS giỏi, 3 HS khá và 4 HS trung bình. Tổ 2 gồm
những HS còn lại.
Chú ý rằng tại thời điểm này, HS chỉ có thể phân hoạch các phương án có thể có để thực hiện công việc, còn số cách thực hiện mỗi phương án cụ thể là bao nhiêu thì chưa tính toán được. Để giải quyết bài toán một cách đầy đủ, HS phải phối hợp với quy tắc nhân và công thức tính số tổ hợp.
Ví dụ 2: Dạy học quy tắc nhân
Tương tự dạy học quy tắc cộng, sau khi khái quát hóa về quy tắc nhân, GV cần
đưa ra sơ đồ sau:
đến
lại có thể phụ thuộc vào cách nào đó ở giai đoạn thứ
thì sẽ có
Qua sơ đồ này, GV nhấn mạnh để HS thấy công việc A muốn hoàn thành buộc , không bỏ qua giai đoạn nào, không có , cách chọn ở giai . Và điều trước hết là phải biết chỉ ra các hành động cần làm khi thực hiện công
phải trải qua tất cả các giai đoạn từ cách nào ở giai đoạn thứ hay nói cách, khác ứng với mỗi cách chọn ở giai đoạn đoạn việc A, sau đó mới tìm số cách thực hiện mỗi hành động đó.
21
Chẳng hạn, với bài toán: Một nhóm HS gồm 16 em, trong đó có 4 HS lớp 10, 5 HS lớp 11 và 7 HS lớp 12. Thầy giáo cần chọn 3 HS trong nhóm sao cho có 1 em lớp 10, 1 em lớp 11, 1 em lớp 12. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
GV có thể hướng dẫn HS tìm ra cách giải bằng các câu hỏi gợi ý như sau: Công việc cần giải quyết của thầy giáo là gì? Hãy chỉ ra một kết quả của công việc? Để hoàn thành được công việc đó cần thực hiện những hành động nào? Mỗi hành động như vậy có tương ứng bao nhiêu cách thực hiện? Với sự gợi ý như vậy, từng bước HS sẽ chỉ ra được công việc cần làm của thầy giáo là chọn ra 3 HS trong nhóm sao cho có cả HS của các lớp 10,11,12. Một kết quả của công việc chẳng hạn như chọn 3 bạn Hằng Hà Khải (giả sử như Hằng thuộc nhóm HS lớp 10, Hà thuộc nhóm HS lớp 11, Khải thuộc nhóm HS lớp 12). Công việc muốn hoàn thành phải thực hiện đồng thời 3 hành động: Thứ nhất là chọn HS lớp 10, thứ hai là chọn HS lớp 11, thứ ba là chọn HS lớp 12 (thứ tự có thể thay đổi). Từ đó, HS có thể áp dụng quy tắc nhân để giải tiếp.
Tiếp theo, GV có thể yêu cầu HS giải bài toán ở mức độ khó hơn như: Có bao
nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?
Tương tự bài toán trên, HS sẽ tìm ra được công việc này muốn hoàn thành phải trải qua 3 giai đoạn: Thứ nhất là chọn chữ số hàng trăm, thứ hai là chọn chữ số hàng chục, thứ ba là chọn chữ số hàng đơn vị.
Để giúp HS hiểu sâu sắc hơn, GV có thể yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Chúng ta có thể thay đổi thứ tự cho các hành động ở giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai hay không? Nếu ở giai đoạn thứ nhất chúng ta chọn chữ số hàng chục, giai đoạn thứ hai chọn chữ số hàng trăm sẽ gặp khó khăn gì?
GV mong đợi HS trả lời như sau: Nếu chữ số hàng chục khác số 0 thì chữ số hàng trăm còn lại 8 sự lựa chọn, còn nếu chữ số hàng chục là 0 thì chữ số hàng trăm lại có 9 sự lựa chọn, nghĩa là việc chọn chữ số hàng trăm ở giai đoạn thứ hai phụ thuộc vào việc chọn chữ số hàng chục ở giai đoạn thứ nhất. Do đó, thứ tự các hành động cần làm như vậy chưa hợp lý vì không đủ điều kiện để áp dụng quy tắc nhân.
Sau khi dạy học hai quy tắc, GV cần nhấn mạnh vào những dấu hiệu đặc trưng,
chẳng hạn như:
- Công việc được thực hiện bằng nhiều phương án (nhiều khả năng hay nhiều
trường hợp) thì dùng quy tắc cộng.
- Công việc gồm nhiều giai đoạn (nhiều công đoạn, nhiều bước) thì dùng quy
tắc nhân.
Việc phân tích và nhấn mạnh như vậy sẽ giúp cho HS hiểu sâu sắc các quy tắc, phân biệt hai quy tắc, biết được khi nào sử dụng quy tắc cộng, khi nào sử dụng quy tắc nhân.
Tương tự, khi dạy học khái niệm chỉnh hợp và khái niệm tổ hợp, GV cần nhấn mạnh: Từ tập A lấy ra một số phần tử mà quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng chỉnh hợp, còn không quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng tổ hợp.
22
c) Yêu cầu HS trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn, trong đó có những phương án gây nhiễu dựa vào các sai lầm HS thường gặp mà thầy giáo đã dự kiến.
Chẳng hạn, với câu hỏi: "Một hộp đựng 20 viên bi gồm 8 bi xanh, 7 bi đỏ, 5 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 6 viên bi đó có đủ cả 3 màu?", GV có thể tạo các phương án sau:
A. 190400 ( );
B. 31115 ( - - - );
C. 31080 ( - - - - - );
D. 31150 ( - - - + + ).
Các phương án nhiễu A, B, C đã được phân tích trong phần 1) Nguyên nhân sai
lầm của HS khi học chủ đề tổ hợp. Phương án D là phương án đúng.
Với câu hỏi: "Có bao nhiêu số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau đồ ng
thờ i luôn có mặt chữ số 0 và 1?", chúng ta có thể tạo các phương án sau:
A. B. C. D.
Phương án A và B đươ ̣c xây dựng dựa trên sai lầm e). Phương án A còn phạm phải sai lầm ở c). Ở phương án C, chúng tôi đã dự đoán HS đã biết phương pháp chung để giải dạng toán này: Xem mỗi cách chọn một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu vào 6 ô trống trong bài toán là mô ̣t cách sắp xếp 6 chữ số từ tập hợp đó hai chữ số 0 và 1 luôn được sắp xếp vào 2 trong 6 ô, 4 chữ số từ tâ ̣p hơ ̣p đươ ̣c xếp vào bố n ô trố ng cò n la ̣i. Chữ số 0 có 6 cách xếp (sai lầm c), cách. Theo
phương án đúng là 5 cách), chữ số 1 có 5 cách xếp, 4 chữ số còn lại có quy tắc nhân có . Phương án D là phương án đúng.
Qua việc lựa chọn các phương án sai lầm của HS, GV yêu cầu HS giải thích tại
sao lại chọn phương án đó, và HS sẽ tự mình phát hiện ra nguyên nhân của sự sai lầm.
d) Yêu cầu HS giải bài toán theo nhiều cách khác nhau và so sánh các cách
giải.
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ
số 0 và chữ số 1?
Cách 1: Xem việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán là công việc sắp 6 chữ số vào 6 ô trống trong đó có 1 ô chứa số 0, một ô chứa số 1, 4 ô còn lại chọn từ tập hợp gồm 8 chữ số. Công việc này trải qua 3 giai đoạn như sau:
Giai đoạn 1: Sắp chữ số 0 vào một trong 5 ô trống sau (trừ ô đầu tiên) có 5 cách
sắp.
Giai đoạn 2: Sắp chữ số 1 vào một trong 5 ô trống còn lại (trừ ô chứa số 0) có 5
cách sắp.
23
Giai đoạn 3: Chọn 4 chữ số từ tập E sắp vào 4 ô còn lại (trừ hai ô chứa số 0 và
số 1) có cách.
Theo quy tắc nhân có tất cả cách.
Cách 2: Chia tập hợp gồm 6 chữ số khác nhau thành 4 loại:
Loại 1: Các số không có mặt chữ số 0 và chữ số 1. Mỗi số như vậy là một chỉnh số. nên có hợp chập 6 của tập
Loại 2: Các số có mặt số 0 nhưng không có mặt số 1. Xem việc thành lập mỗi số loại này trải qua 2 giai đoạn. Giai đoạn 1 xếp số 0 vào một trong 5 vị trí sau (trừ vị sắp vào 5 ô còn trí đầu tiên) có 5 cách, giai đoạn 2 chọn 5 chữ số từ tập cách. Theo quy tắc nhân, loại này có lại có số (mỗi cách cho ta một số).
Loại 3: Các số có mặt số 1 nhưng không có mặt số 0. Tương tự loại 2, loại này số. có
Loại 4: Các số có mặt chữ số 0 và chữ số 1 (thỏa mãn yêu cầu bài toán), giả sử
là x.
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là .
Theo quy tắc cộng, ta có
Cách 3: Vì số cần lập có 6 chữ số mà đã có mặt 0 và 1 nên chỉ cần chọn thêm 4 chữ số từ tập . Mỗi bộ gồm 4 chữ số vừa chọn cùng với 2 số 0 và 1 tạo thành một bộ có 6 chữ số. Mỗi hoán vị của 6 chữ số này trừ đi các hoán vị có chữ số 0 đứng đầu là một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó, để lập mỗi số như vậy là một công việc trải qua 3 giai đoạn.
Giai đoạn 1: Chọn 4 chữ số bất kỳ từ có cách.
Giai đoạn 2: Từ bộ 6 chữ số gồm 4 số vừa chọn cùng với hai số 0 và 1 ta lấy số
0 sắp vào một trong 5 vị trí sau, có 5 cách.
Giai đoạn 3: Sắp 5 chữ số còn lại trong bộ vào 5 ô trống còn lại, có cách.
Theo quy tắc nhân, có tất cả số.
Cách 4: Việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán có 2 phương án:
Phương án 1: Chữ số 1 ở vị trí đầu tiên.
Giai đoạn 1: Sắp số 0 vào một trong 5 ô còn lại, có 5 cách sắp.
Giai đoạn 2: Chọn 4 chữ số từ tập sắp vào 4 ô còn lại, có cách.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có số.
Phương án 2: Chữ số 1 không ở vị trí đầu tiên.
Giai đoạn 1: Sắp số 1 vào một trong 5 ô, có 5 cách sắp.
Giai đoạn 2: Sắp số 0 vào một trong 4 ô c ̣n lại (trừ ô đầu và ô chứa số 1), có 4
cách sắp.
24
Giai đoạn 3: Chọn 4 chữ số từ tập và xếp vào 4 ô còn lại, có cách.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có số.
Theo quy tắc cộng, có tất cả số.
Mỗi cách giải ở trên là một cách nhìn bài toán ở một góc độ khác nhau. Trong
các cách giải đó thì cách giải thứ nhất là tốt nhất.
Việc tìm nhiều lời giải khác nhau cho cùng một bài toán giúp HS hiểu sâu sắc hơn, HS biết nhìn một sự việc dưới nhiều khía cạnh khác nhau, biết so sánh các cách giải để tìm cách giải tốt nhất. Hơn nữa, khi đứng trước một vấn đề trong cuộc sống, các em sẽ linh hoạt hơn trong việc tìm các phương án giải quyết và chuyển hướng khi cần thiết.
3. Thực nghiệm 3.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của những đề xuất của sáng kiến, nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh khi học nội dung Tổ hợp – Xác suất ở lớp 11.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Quỳnh Lưu 2- Quỳnh
Lưu - Nghệ An.
+ Lớp thực nghiệm: 11A2
+ Lớp đối chứng: 11A3
Thời gian thực nghiệm được tiến hành vào khoảng từ tháng 8 đến tháng 10 năm
2020.
Ở lớp thực nghiệm 11A2, tác giả dạy học trực tiếp chủ đề trên với các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo học cho học sinh mà đề tài đã trình bày.
Để thể hiện được ý tưởng của đề tài, tài liệu thực nghiệm sư phạm được biên soạn để dạy trong 14 tiết theo chương trình chính khóa chương “Tổ hợp – Xác suất” ở SGK Đại số & Giải tích lớp 11 theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh. Tài liệu thực nghiệm được trình bày dưới dạng giáo án, các phiếu học tập trong các giờ thực nghiệm đã được chuẩn bị sẵn cho lớp thực nghiệm.
Nội dung trong các giáo án thực nghiệm về cơ bản như nội dung có trong SGK Toán 11, bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Tuy nhiên, trong mỗi bài dạy cụ thể có thể có thêm hoạt động để phục vụ ý đồ đưa ra nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.
Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm 2 bài kiểm tra ở cả lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng. Sau đây là nội dung các đề kiểm tra:
25
Đề 1:
Câu 1: Tính giá trị biểu thức:
Đề xuất một bài toán tương tự.
Câu 2: Có 5 bông hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 bông hoa để
cắm vào lọ.
Một học sinh giải như sau:
Chọn bông hoa thứ nhất có cách chọn.
Chọn bông hoa thứ hai có cách chọn.
Chọn bông hoa thứ ba có cách chọn.
Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 bông hoa từ 5 bông hoa khác nhau là
cách chọn.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai chỉ ra sai lầm bài giải? Hãy trình bày một
cách giải đúng.
Câu 3: Trường THPT Quỳnh Lưu 2 tổ chức giải Bóng đá chào mừng kỷ niệm ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh 26/3 gồm 16 đội chia thành 4 bảng, mỗi bảng có 4 đội thi đấu bốn vòng như sau:
Vòng 1: Các đội trong bảng thi đấu vòng tròn với nhau, sau đó chọn 2 đội đứng
đầu mỗi bảng vào vòng 2.
Vòng 2: Bắt thăm sao cho đội nhất bảng này sẽ gặp đội nhì bảng khác.
Vòng 3: Bốn đội thắng ở vòng 3 bốc thăm đấu loại trực tiếp, hai đội thắng sẽ
tranh chức vô địch, hai đội thua sẽ tranh giải ba.
Vòng 4: Tranh giải 3: hai đội thua vòng 3. Tranh giải nhất: hai đội thắng vòng
ba.
Ban tổ chức cần bao nhiêu ngày để hoàn thành các trận đấu biết mỗi ngày đá 4
trận và thi đấu liên tục.
Dụng ý của đề:
Câu 1 dụng ý của đề từ công thức nhị thức Newton học sinh sử dụng thao tác tư
duy đặc biệt hóa, tương tự hóa để tìm tòi lời giải toán và sáng tạo bài toán mới.
Câu 2 dụng ý để học sinh phát hiện ra sai lầm của bài giải trên (theo quy tắc nhân thì công việc hoàn thành gồm 3 công đoạn chọn bông hoa thứ nhất, chọn bông hoa thứ hai và chọn bông hoa thứ ba, điều đó đòng nghĩa với có phân biệt thứ tự nhưng yêu cầu bài toán không phân biệt thứ tự ) từ việc phân tích sai lầm của bài giải học sinh đưa ra cách giải đúng cho bài toán.
Câu 3 dụng ý đưa ra một vấn đề của thực tế có nhiều chi tiết phụ. Học sinh biết chọn lọc, gạt bỏ những yếu tố phụ không bản chất đi chỉ giữ lại các yếu tố toán học
26
của vấn đề. Từ đó đưa một vấn đề thực tế thành một bài toán đại diện cho tình huống thực tế. Giải bài toán ta sẽ có câu trả lời cho vấn đề thực tế.
Đề 02
Câu 1: Cho tập Hỏi có ba nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi
một khác nhau? Tính tổng của các số này.
Câu 2: Cho tập Hỏi có bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác
nhau mà luôn có mặt số 1, 2. Hãy giải bài toán bằng nhiều cách giải khác nhau.
Câu 3: Một tổ có 8 học sinh nam, 7 học sinh nữ. Chọn ra 1 nhóm gồm 6 học
sinh sao cho có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Học sinh giải như sau:
Bước 1: Chọn ra 2 nữ có cách chọn
Bước 2: Chọn 4 bạn bất kỳ từ 13 bạn còn lại có cách
Vậy số cách để chọn ra 6 học sinh từ 15 học sinh trong đó có ít nhất 2 nữ là
cách.
Hãy chỉ ra sai lầm của bài giải? Đưa ra cách giải đúng cho bài toán.
Câu 4: Kết quả thi tuyển sinh đại học năm học 2017-2018 lớp 12A1 trường THPT Quỳnh Lưu 2 có 8 HS gồm 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ đậu vào khoa Kế toán của trường ĐH Kinh tế quốc dân. Giả sử khoa kế toán có 4 lớp. Tính xác suất để tất cả các HS nam vào một lớp, các HS nữ ở những lớp còn lại.
Dụng ý của đề:
Câu 1 Ở bài toán này việc tính số các số gồm 6 chữ số khác nhau chỉ cần dùng hoán vị của 6 số hạng đã cho. Để tính được tổng của các số tìm được cần xác định được số lần xuất hiện mỗi chữ số ở hàng đơn vị, hàng trăm… là bao nhiêu lần từ đó đưa ra cách tính tổng.
Câu 2 dụng ý để học sinh thay đổi cách nhìn, cách suy luận, từ đó đưa ra các
cách giải khác nhau cho bài toán.
Câu 3 dụng ý để học sinh học tập từ những sai lầm. Muốn thế phải phát hiện ra
sai lầm của bài toán, từ đó đề xuất phương án đúng.
Câu 4 dụng ý đưa ra một bài toán thực tế, học sinh biết vận dụng các kiến thức
phù hợp để giải bài toán.
27
3.3. Phân tích kết quả thực nghiệm
* Đánh giá định tính
- Học sinh biết xác định được vấn đề cần giải quyết một tình huống toán học. - Biết vận dụng sáng tạo kiến thức vào giải quyết tình huống mới: đưa ra bài
toán tương tự, giải các bài toán thực tế, giải bài toán bằng nhiều cách.
- Biết chuyển tải tri thức và kỹ năng từ lĩnh vực quen biết sang tình huống mới,
vận dụng kiến thức đã học trong điều kiện hoàn cảnh mới.
- Thái độ học tập tích cực, chủ động và sáng tạo
- Có thói quen phân tích mối liên hệ giả thiết và kết luận bài toán để định
hướng tìm lời giải bài toán.
- Học sinh chưa thấy được sự cần thiết phải giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau. Khi đứng trước bài toán mà giáo viên yêu cầu giải bằng nhiều cách khác nhau, đa số học sinh chú trọng tìm nhiều hướng giải nhưng chưa chú ý so sánh các cách giải đó để tìm ra ưu điểm và yếu điểm của từng cách giải để từ đó có thể đưa ra một lớp các bài toán có cùng cách giải.
- Khi đứng trước các bài toán có chứa những con số mang tính đặc thù, đa số học sinh không có nhu cầu tạo ra các bài toán mới bằng tương tự hóa, khái quát hóa hay đặc biệt hóa.
- Khi học mỗi chủ đề, nhiều học sinh cũng chưa có ý thức trong việc phân tích các sai lầm thường gặp, khái quát từ các sai lầm cụ thể thành sai lầm tổng quát và tìm các biện pháp khắc phục.
- Việc giải một bài toán bằng nhiều cách học sinh chỉ thực hiện khi có yêu cầu của giáo viên. Các em ít khi chủ động tìm cách giải mới từ các bài toán đã biết và bài toán mới.
- Chưa có thói quen gắn toán học với thực tiễn. Đa số học sinh chỉ thích các bài
toán mang tính toán học thuần túy.
- Năng lực giải quyết vấn đề biểu hiện không rõ với đối tượng học sinh trung
bình và yếu.
*Đánh giá định lượng
Thống kê kết quả qua hai bài kiểm tra
Chúng tôi xây dựng thang đánh giá bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và
sáng tạo cho học sinh của học sinh như sau:
+ Mức độ 1: Bài làm đạt 9 – 10 điểm
+ Mức độ 2: Bài làm đạt 7 – <9 điểm
+ Mức độ 3: Bài làm đạt 5 – <7 điểm
+ Mức độ 4: Bài làm đạt 0 – <5 điểm
28
a. Kết quả bài kiểm tra trước thực nghiệm 1
Bảng 3.1.Kết quả kiểm tra trước khi thực nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 1)
Lớp Sĩ số Mức độ Mức độ Mức độ Mức độ
1 2 3 4
SL % SL % SL % SL %
TN 41 3 7 27 4
ĐC 42 3 5 28 6
Bảng 3.1 cho thấy: Kết quả bài kiểm tra thực nghiệm 1 của học sinh hai lớp là chênh lệch nhau không nhiều. Tỉ lệ học sinh ở mức độ 3 cao, tỉ lệ học sinh ở mức độ 2 khá cao, tỉ lệ học sinh ở mức độ 1và 4 ít.
Từ số liệu của bảng 3.1, ta có biểu đồ sau:
Biểu đồ 3.1.
So sánh kết quả bài kiểm tra thực nghiệm 1
b) Kết quả sau khi dạy thực nghiệm
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 2)
Lớp Sĩ số Mức độ 1 Mức độ 2 Mức độ 3 Mức độ 4
SL % % SL % SL % SL
TN 41 8 16 2 15
ĐC 42 4 27 4 7
Từ số liệu Bảng 3.2, ta có biểu đồ sau:
29
Biểu đồ 3.2. So sánh bài kiểm tra thực nghiệm 2
Ta có thể thấy rõ sự khác biệt giữa điểm số của học sinh thực nghiệm và học sinh đối chứng, tỉ lệ học sinh ở mức độ 1 và mức độ 2 của lớp thực nghiệm khá cao, mức độ 3 và mức độ 4 thấp, ở lớp đối chứng tỉ lệ học sinh ở mức độ 3 và mức độ 4 còn cao, mức độ 1 thấp. Vậy kết quả học tập của nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm đối chứng.
Đọc biểu đồ, ta có thể thấy rõ tỉ lệ học sinh ở mức độ 1 và mức độ 2 của lớp
thực nghiệm tăng lên rõ rệt, tỉ lệ học sinh ở mức độ 3 và mức độ 4 giảm đáng kể.
30
PHẦ N 3. KẾT LUẬN
1. Đề tài sáng kiến được hoàn thành ngoài sự làm việc nghiêm túc của tác giả còn có sự giúp đỡ của đồng nghiệp trong nghiên cứu cũng như trong quá trình kiểm tra đánh giá tính hiệu quả của đề tài.
2. Đề tài góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của bản thân. Ngoài ra còn dùng làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp nhằm dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh
3. Phạm vi ứng dụng của đề tài: Dùng để giảng dạy cho học sinh khá, giỏi nội
dung Tổ hợp – Xác suất hoặc mở rộng ra cho các nội dung toán học phổ thông khác.
4. Đề tài còn có thể nghiên cứu theo hướng xây dựng bài học STEM, dạy học
theo dự án.....
31
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ giáo dục và Đào tạo, dự án phát triển giáo dục trung học phổ thông (2010), Nguyễn Văn Cường, Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học phổ thông.
2. Trần Đức Chiển (2007), Rèn luyện năng lực tư duy thống kê cho học sinh trong dạy học Thống kê – Xác suất ở môn Toán Trung học phổ thông, Luận án tiến sĩ giáo dục học, Viện chiến lược và chương trình giáo dục, Hà Nội.
3. Nguyễn Thị Mỹ Hằng, Phạm Xuân Chung, Trương Thị Dung (2016), Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội.
4. Trần Văn Hạo ( Tổng Chủ biên- 2009), Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục, Hà Nội.
5. Lê Huy Hoàng, Sáng tạo và những điều kiện chủ yếu để kích thích sự sáng tạo của con người Việt Nam hiện nay. Luận án tiến sĩ triết học, viện triết học, Hà Nội.
6. Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn toán, Đại học Sư phạm Hà Nội.
7. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán, Luận án phó tiến sĩ khoa học Sư phạm – Tâm lý, Đại học sư phạm Vinh.
8. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2008), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán, Đại học Quốc gia Hà Nội.
9. Từ Đức Thảo, Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học, Luận án tiến sĩ giáo dục học, Đại học Vinh, Nghệ An.
32
