SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
--------------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài :
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN 11 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT
LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
Năm học: 2022-2023
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2
--------------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài :
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN 11 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT
LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
Người thực hiện: NGUYỄN VĂN MINH
DƯƠNG ĐĂNG LỢI
TRƯƠNG XUÂN QUANG
Tổ: Toán tin. Nhóm: Toán Học
Địa chỉ gmail: nvminh8286@gmail.com
Số điện thoại: 0977733088 – 0969871676 – 0961731978
Năm học: 2022-2023
MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ............................................................................................ 1
1.1. Lí do chọn đề tài................................................................................................... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu: .......................................................................................... 2
1.3. Tính khoa học qua các nhóm giải pháp nghiên cứu ............................................ 2
1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................ 2
1.5. Tính mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp ............................................................ 2
1.6. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 2
1.7. Cách thực hiện .................................................................................................... 3
1.8. Tính khả thi và tính cần thiết khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm .................... 3
Phần II. NỘI DUNG ................................................................................................... 6
I. Cơ sở lí luận và thực tiễn ......................................................................................... 6
1. Cơ sở lý luận ........................................................................................................... 6
1.1. Năng lực ............................................................................................................... 6
1.2. Các thành tố của năng lực Toán học .................................................................... 6
1.3. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ............................................................... 8
1.4. Một số vấn đề lý thuyết liên quan ........................................................................ 9
2. Cơ sở thực tiễn ...................................................................................................... 12
II. Một số biện pháp thực hiện .................................................................................. 14
2.1 Biện pháp 1: Giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau ..................................... 14
2.2. Biện pháp 2: Thay đổi hình thức bài toán mà không làm thay đổi bản chất bài toán ............................................................................................................................ 18
2.3. Biện pháp 3: Xây dựng bài toán khó từ những bài toán cơ bản ........................ 25
III. Thực nghiệm sư phạm ......................................................................................... 49
Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................... 50
1. Kết luận ................................................................................................................. 50
2. Kiến nghị ............................................................................................................... 50
B. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN ................................................................................... 52
C. TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 52
A. NỘI DUNG
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lí do chọn đề tài
Mục tiêu của giáo dục phổ thông đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, phẩm chất và năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.
Nâng cao chất lượng giáo dục đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh phẩm chất, năng lực của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại
học môn hình học không gian vì một số lý do sau:
i) Hầu hết các em học sinh đều gặp khó khăn trong việc học hình học không
gian, các em bị tâm lý mình không có năng lực học phần hình học không gian.
ii) Để học tốt phân môn hình đòi hỏi người học phải có tư duy nhạy bén, óc tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình. Nhưng hiện nay đa số học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài toán nào hơi khó là bỏ qua không kiên trì tìm kiếm phương pháp giải.
iii) Về phía giáo viên, một bộ phận giáo viên toán khi dạy đến phân hình học không gian là suy nghĩ các em yếu phần này, có dạy thế nào đi nữa các em cũng không học, không hiểu bài nên dẫn đến cách tiếp cận vấn đề sơ sài, cẩu thả làm cho các em học sinh thêm phần khó khăn trong việc học chủ đề này.
Qua nhiều năm giảng dạy môn học tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Từ những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu (SKKN) là: ‘‘Một số biện pháp dạy học chủ đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT”.
1 | SKKN năm học 2022-2023
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Trong đề tài này tôi đưa ra một số giải pháp giúp học sinh học tốt chủ đề này
qua đó giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.
Một số giải pháp đưa ra như sau:
+ Giải bài toán hình học không gian theo nhiều cách.
+ Xây dựng bài toán khó từ những bài toán cơ bản.
+ Tìm mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian.
1.3. Tính khoa học qua các nhóm giải pháp nghiên cứu
- Năng lực học toán bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ phương tiện học toán.
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thể hiện qua việc thực hiện được các
hành động:
+ Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học.
+ Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.
+ Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công
cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.
+ Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự.
1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các đối tượng sau:
Một số bài toán hình học không gian lớp 11 chương 3: Quan hệ vuông góc
1.5. Tính mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp
Đã có nhiều tài liệu viết về chủ đề hình học không gian này, cũng đã có nhiều sáng kiến kinh nghiệm viết về chủ đề này nhưng những giải pháp đưa ra cụ thể trong đề tài này thì gần như chưa có một tài liệu nào trước đó viết sát thực như sáng kiến này.
1.6. Phương pháp nghiên cứu
a. Phương pháp quan sát:
Phương pháp này giúp ta nắm bắt được hoạt động dạy học của thầy và hoạt động học tập của trò trong các hoạt động giáo dục để có biện pháp giúp học sinh có thói quen học tập, phát hiện kịp thời những khó khăn của học sinh để có biện pháp giúp đỡ phù hợp.
b. Phương pháp thực nghiệm
Tiến hành khảo sát thực tế hoạt động học tập của học sinh trên lớp qua các tiết
2 | SKKN năm học 2022-2023
học, qua tiến hành kiểm tra học sinh. Để từ đó thu lại được những tư liệu cần thiết. Đây là một phương pháp hết sức quan trọng và rất cần thiết trong nghiên cứu khoa học.
c. Phương pháp tổng hợp kinh nghiệm:
Pháp này giúp người nghiên cứu có thể tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm của giáo viên qua các hoạt động học tập, từ đó rút ra bài học và nêu được những biện pháp khắc phục và đề xuất.
- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết (Sách tham khảo, các Chuyên đề toán,
tạp chí Toán học, đề thi Học sinh giỏi Toán các tỉnh)
- Tham khảo ý kiến đồng nghiệp.
d. Phương pháp đàm thoại:
Đây là phương pháp để giáo viên có thể gần gũi học sinh, đồng thời thăm hỏi, trò chuyện, qua đó nắm bắt được tâm tư tình cảm, nguyện vọng của các em về việc học ở lớp cũng như việc học ở nhà của các em. Để từ đó giáo viên cần có phương pháp và hình thức tổ chức dạy học thích hợp, khơi dạy niềm đam mê, tinh thần ham học hỏi và tư duy sáng tạo của học sinh để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh.
e. Phương pháp thống kê, tính toán:
Sử dụng phương pháp thống kê giúp ta sử lý các dữ liệu, các thông tin trong quá trình nghiên cứu, điều tra thu thập được. Nhờ đó biết được chất lượng học tập của học sinh thời gian sau so với thời gian trước như thế nào để điều chỉnh biện pháp cho phù hợp.
1.7. Cách thực hiện
+ Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên của nhóm bộ môn.
+ Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm.
+ Thông qua việc giảng dạy trực tiếp.
1.8. Tính khả thi và tính cần thiết khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm
- Mục đích khảo nghiệm:
Thông qua khảo nghiệm nhằm khẳng định sự cần thiết và tính khả thi của một số biện pháp dạy học chủ đề “Hình học không gian lớp 11 nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT, để từ đó hoàn thiện các biện pháp cho phù hợp với thực tiễn.
- Đối tượng khảo nghiệm:
Tác giả đã tiến hành trưng cầu ý kiến của 50 người là giáo viên Toán trường
THPT tại Sở GD-ĐT Nghệ An .
- Nội dung và quy trình khảo nghiệm:
3 | SKKN năm học 2022-2023
Để tiến hành khảo nghiệm sự cần thiết và tính khả thi cầu ý kiến theo hai tiêu
chí: tính cần thiết và tính khả thi của các giải pháp đưa ra.
Thực hiện đánh giá các tiêu chí theo 3 mức độ từ cao đến thấp và được lượng
hoá bằng điểm số.
+ Tính cần thiết: Rất cần thiết (3 điểm); Cần thiết (2 điểm); Không cần thiết (1
điểm).
+ Tính khả thi: Rất khả thi (3 điểm); Khả thi (2 điểm); Không khả thi (1 điểm).
Sau khi nhận kết quả thu được, chúng tôi tiến hành phân tích, xử lí số liệu trên bảng thống kê, tính tổng điểm (Σ) và điểm trung bình ( X ) của các biện pháp đã được khảo sát, sau đó xếp theo thứ bậc để nhận xét, đánh giá và rút ra kết luận.
- Thời gian tiến hành khảo nghiệm: tháng 04/2022.
- Hình thức khảo sát: Dùng google form
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfPxKTPJgMaFgoUlQFttWEQd_q
PbNR93ecf2bpMxaDFr68_xA/viewform
Kết quả khảo sát tính khả thi của các biện pháp trong đề tài SKKN
Mức độ đánh giá
Cẩn thiết Không cần TT Tổng Biện pháp Rất cần thiết Trung bình Thứ bậc
SL Điểm SL Điểm SL Điểm
35 105 10 20 5 5 130 2.6 2
1 Giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau
40 120 7 14 3 3 137 2.74 1
2 Thay đổi hình thức bài toán mà không làm thay đổi bản chất bài toán
4 | SKKN năm học 2022-2023
3 Xây
30 90 13 26 7 7 123 2.46 3
dựng bài toán khó từ những bài toán cơ bản
105 315 30 60 15 15 390 2.6 Trung bình chung
Kết quả khảo sát tính cần thiết của các biện pháp trong đề tài SKKN
Mức độ đánh giá
Biện pháp TT Rất cần Cẩn thiết Không cần Tổng Trung bình Thứ bậc
SL Điểm SL Điểm SL Điểm
1 40 120 8 16 2 2 138 2.76 1
Giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau
2 35 105 12 24 3 3 132 2.64 2
Thay đổi hình thức bài toán mà không làm thay đổi bản chất bài toán
3 30 90 10 20 10 10 120 2.4 3
Xây dựng bài toán khó từ những bài toán cơ bản
Trung bình 105 315 30 60 15 15 390 2.6
5 | SKKN năm học 2022-2023
Phần II. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1. Cơ sở lý luận
1.1. Năng lực
Các nhà tâm lí học cho rằng, năng lực là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng và thái độ có sẵn hoặc ở dạng tiềm năng của một cá nhân, là tổng hợp đặc điểm thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả cao. Hiện nay, quan niệm chung về năng lực được nhiều người thừa nhận là: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể (tháng 7/2017)). Như vậy:
- Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của
người học.
- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác
như hứng thú, niềm tin, ý chí,…
- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự
thành công trong hoạt động thực tiễn.
- Năng lực tư duy là khả năng tự suy nghĩ và tự giải quyết vấn đề mang lại kết quả tốt. Với những người sở hữu được năng lực tư duy thì người đó có tính linh hoạt cao, có khả năng lắng nghe và quan sát quyết định đúng đắn và hiệu quả.
Khái quát lại năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc có hiệu quả. Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội.
Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán; năng lực học tập độc lập và hợp tác”.
1.2. Các thành tố của năng lực Toán học
Trước hết, mục đích then chốt của việc học toán là để trở thành những con người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ, giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống. Muốn vậy, mỗi người cần biết cách “chuyển dịch”, mô tả các tình huống (có ý nghĩa toán học) đặt ra trong thực tiễn phong phú sang một bài toán hay một mô hình toán học thích hợp, tìm cách giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, từ đó đối chiếu, giải quyết các vấn đề thực tiễn đề ra. Mặt khác, việc giải quyết 6 | SKKN năm học 2022-2023
các vấn đề toán học gắn liền với việc đọc hiểu, ghi chép, trình bày, diễn đạt các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận, phản biện) với người khác, gắn liền với việ sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể.
Năng lực học toán bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ phương tiện học toán.
Mỗi thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu
chí, chỉ báo. Điều này có độ phức tạp cao và được minh họa trong bảng:
Các tiêu chí, chỉ báo
Các thành tố của năng lực toán học
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
- So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp; diễn dịch.
1. Năng lực tư duy và lập luận toán học - Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trược khi kết luận.
- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
- Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống trong các bài toán thực tế.
2. Năng lực mô hình hóa toán học - Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình thiết lập.
- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp.
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học.
- Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.
3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học. - Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.
- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự.
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần 4. Năng lực giao tiếp toán học
7 | SKKN năm học 2022-2023
thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra.
- Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác).
- Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,…) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác.
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
- Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học toán.
5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán
- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi khám phá giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi).
- Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí.
1.3. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
Năng lực phát hiện vấn đề trong môn toán là năng lực hoạt động trí tuệ của
học sinh khi đứng trước những vấn đề, những bài toán cụ thể, có mục tiêu và
tính hướng đích cao đòi hỏi phải huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo nhằm tìm ra lời giải cho vấn đề.
Một số biện pháp tăng khả năng phát hiện vấn đề cho học sinh:
- Sử dụng đặc biệt hóa, khái quát hóa và tương tự hóa.
- Sáng tác bài toán
- Chuyển đổi bài toán
Năng lực giải quyết vấn đề: Năng lực giải quyết vấn đề là tổ hợp các năng lực
thể hiện ở các kĩ năng (thao tác tư duy và hoạt động) trong hoạt động học tập nhằm giải quyết có hiệu quả những nhiệm vụ của bài toán.
Một số biện pháp tăng khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh:
- Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tìm lời giải
8 | SKKN năm học 2022-2023
- Tìm nhiều lời giải cho bài toán
- Đánh giá lời giải của một bài toán
1.4. Một số vấn đề lý thuyết liên quan
Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a'
và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.
Nhận xét:
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc một trong hai
đường thẳng đó rồi vẽ đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a)
b)
(với d' là hình chiếu của d lên (P)).
Chú ý:
Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.
Chú ý:
Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H nằm trong mặt
phẳng phẳng và thì
; S' là diện tích hình chiếu H' của H trên mặt và là góc giữa hai mặt phẳng
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
9 | SKKN năm học 2022-2023
Định nghĩa
Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu vuông góc
với mọi đường thằng a thuộc mặt phẳng
Kí hiệu: hay
Định lí
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng ấy.
Hệ quả
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng
vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
Tính chất
Tính chất 1: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và
vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Tính chất 2: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông
góc với một đường thẳng cho trước.
Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
Tính chất
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng này có
một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
10 | SKKN năm học 2022-2023
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc
dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng
mặt phẳng này nằm trong .
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng đó.
Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật
Hình lăng trụ đứng
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên
vuông góc với hai mặt đáy.
- Các mặt bên là các hình chữ nhật.
- Các mặt bên vuông góc với hai đáy.
Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng
trụ đều.
Hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là
hình chữ nhật.
Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật.
11 | SKKN năm học 2022-2023
Đường chéo với là 3 kích thước.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có đáy và các mặt bên đều là hình
vuông.
Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều
và chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
+) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy
các góc bằng nhau.
+) Các mặt bên của hình chóp đều là các tam
giác cân bằng nhau.
+) Các mặt bên của hình chóp đều tạo với đáy
các góc bằng nhau.
2. Cơ sở thực tiễn
Thực trạng của vấn đề:
Trước khi tiến hành làm đề tài này chúng tôi thực hiện một cuộc điều tra nhỏ với hơn 300 học sinh lớp 11A, 11B, 11E, 11I năm học 2022 – 2023. Cách thức tiến hành là chúng tôi phát phiếu câu hỏi theo đơn vị lớp và cho các em trả lời rồi thống kê kết quả (mỗi câu hỏi học sinh chỉ được chọn một đáp án).
Câu hỏi 1. Em thấy phần HHKG lớp 11, cụ thể chương quan hệ vuông góc
trong không gian, như thế nào?
A. Rất khó.
B. Khó.
C. Hiểu bài và làm được các bài tập cơ bản trong SGK.
D. Làm được hết các bài tập trong SGK.
Câu hỏi 2. Em có khó khăn gì khi học chương quan hệ vuông góc trong không
gian?
A. Không vẽ được hình.
B. Vẽ được hình đúng nguyên tắc nhưng không hình dung được hình.
C. Vẽ được hình và làm được một số bài toán cơ bản.
D. Khó khăn trong việc dựng hình để tính các yếu tố.
Bảng kết quả điều tra quan sát.
Lớp Câu hỏi 1 Câu hỏi 2
A B C D A B C D
12 | SKKN năm học 2022-2023
25/45 20/45 35/45 25/45 2/45 10/45 30/45 35/45
11 A (55,6%) (44,4%) (77,8%) (55,6%) (4,4%) (22,2%) (66,7%) (77,8%)
35/47 25/47 30/47 20/47 8/47 15/47 20/47 35/47
11 B (74,5%) (53,2%) (63,8%) (52,6%) (17,1%) (31,9%) (52,6%) (74,5%)
35/45 25/45 20/45 10/45 15/45 20/45 25/45 25/45
11 E (77,8%) (55,6%) (44,4%) (22,2%) (33,3%) (44,4%) (55,6%) (55,6%)
11 I 35/43 30/43 15/43 10/43 15/43 15/43 10/43 35/43
(81,4%) (69,8%) (34,9%) (23,3%) (34,9%) (34,9%) (23,3%) (81,4%)
Câu hỏi 3. Bài test về hình học không gian
Cho hình chóp có và . Đáy là hình
vuông cạnh bằng .
a) Chứng minh rằng tất cả các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.
b) Tính góc giữa và .
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng . và
d) Tính khoảng cách từ đến .
e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Qua khảo sát cho thấy: Mặc dù đối tượng học sinh chọn để tiến hành khảo sát là học sinh Trung bình, khá và giỏi, có ý thức học tập bộ môn tốt. Nhưng kết quả đối với chủ đề hình học không gian lớp 11 thì học sinh được chia ra thành 4 đối tượng
+ Đối tượng 1: Không vẽ được hình hoặc vẽ hình không đúng nguyên tắc ( không phân biệt được nét đứt và nét liền; không phân biệt được hình không gian và hình học phẳng)
+) Đối tượng thứ 2: Vẽ được hình đúng nguyên tắc nhưng không biết cách giải
bài tập.
+) Đối tượng thứ 3: Vẽ được hình đúng nguyên tắc và giải được các bài tập ở
mực trung bình khá.
+) Đối tượng thứ 4: Làm hoàn chỉnh được các bài tập hình học không gian ở
mức khá, giỏi.
Nguyên nhân của thực trạng trên do kiến thức tương đối phức tạp, phạm vi ứng dụng rộng. Nội dung kiến thức không có trong chương trình học chính khóa bộ môn Toán THPT, nên chỉ có một số học sinh trong đội tuyển ôn học sinh giỏi tiếp cận qua quá trình tự học.
13 | SKKN năm học 2022-2023
Khó khăn lớn nhất của các em là không có định hướng giải từng loại bài tập, đa số chỉ thực hiện các phép thử và dự đoán kết quả và chứng minh. Do đó thường không làm được hoăc có thể ra được kết quả nhưng mất nhiều thời gian, lời giải trình bày không khoa học.
Trong phạm vi đề tài này, chúng tôi đưa ra một số giải pháp nhằm giúp học
sinh
thuộc nhóm 2 và nhóm 3 có thể phát triển để trở thành học sinh thuộc nhóm 4,
qua đó hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.
Như vậy về cơ sở thực tiễn cho tính khả thi của đề tài là hoàn toàn có thể thực hiện được, đồng thời khi triển khai thực hiện đề tài cá nhân tác giả khẳng định rằng với đối tượng học sinh nào các em cũng sẽ thấy được sự hứng khởi nhất định đặc biệt với đối tượng học sinh khá, giỏi các em sẽ rất hào hứng và tích cực qua đó sẽ phát triển năng lực Toán học, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh.
II. Một số biện pháp thực hiện
2.1 Biện pháp 1: Giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau
Mục tiêu của biện pháp: Học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, khả năng suy luận khi giải quyết một vấn đề theo nhiều cách khác nhau trong những tình huống khác nhau. Qua đó giúp cho học sinh tìm ra được các cách giải hay và ngắn gọn cho bài toán. Từ đó rèn luyện cho học sinh tính kiên trì, sáng tạo trong học tập và dần dần hoàn thiện phương pháp giải toán cho bản thân và có thể vận dụng vào việc sử lý các tình huống xãy ra trong cuộc sống sao cho tối ưu nhất.
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng . Tính góc giữa
hai véc tơ và .
Cách giải 1: Sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ
Định hướng giải:
Bước 1: Dùng định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ để xác lập công thức
tính
Ta có
Bước 2: Tính các yếu tố thành phần gồm và
Bước 3: Lắp vào công thức để cho ra kết quả
Lời giải
Ta có
14 | SKKN năm học 2022-2023
Trong đó
Vậy
Cách giải 2: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai véc tơ
Định hướng giải:
Bước 1: Dựng góc giữa hai véc tơ và
Bước 2: Tính góc vừa dựng
Bước 3: Kết luận
Lời giải
Cách giải 3: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai véc tơ
Định hướng giải:
Bước 1: Xây dựng cộng thức tính góc giữa hai véc tơ mà không cần dựng góc
Bước 2: Tính các yếu tố
Bước 3: Thay các yếu tố vừa tính được vào công thức trên cho ra kết quả
Lời giải
Ta chứng minh
15 | SKKN năm học 2022-2023
Ta có
(đpcm)
Suy ra
Ví dụ 2. có , các cạnh còn lại đều bằng
. Tính góc giữa hai vectơ ? Cho hình chóp và
Lời giải
Ta có
.
16 | SKKN năm học 2022-2023
Vậy góc giữa hai vectơ và bằng .
Cách giải 2: Sử dụng định nghĩa
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,SC,BC,
Khi đó
Suy ra
Ví dụ 3: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng và
là tam giác đều cạnh bằng . Tính cosin góc giữa hai đường
thẳng . Đáy và .
Cách 1: Dùng công thức
Cách 2: Dùng tích vô hướng của hai véc tơ
Cách 3: Dựng góc.
Ví dụ 4: Cho hình chóp đều . Tính cosin
của góc giữa hai mặt phẳng và có tất cả các cạnh bằng .
* Bài toán này học sinh có thể giải theo một số cách giải khác nhau như sau:
Cách giải 1:
Gọi là trung điểm cạnh suy ra do đó góc giữa hai mặt
phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và .
17 | SKKN năm học 2022-2023
Xét tam giác có nên ,
. Vậy .
Cách giải 2:
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh ;
lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh (với
Gọi là tâm đáy ).
Dễ thấy suy ra góc giữa hai mặt phẳng và bằng
góc giữa hai đường thẳng và .
Nhận xét: Trong dạy học mỗi biện pháp có những điểm mạnh trong việc hình thành năng lực cho học sinh, trong giai đoạn hiện nay với cách thi cử nặng về trắc nghiệm, nhiều giáo viên khi dạy học chú trọng chạy bài, tập trung vào cách giải nhanh , mà lãng quên việc cung cấp cho học sinh nhiều giải pháp để giải quyết một bài toán nói chung và một vấn đề nói riêng, từ đó làm đánh mất vẽ đẹp của toán học, làm các em càng thêm thiếu hứng thú khi học tập bộ môn.
2.2. Biện pháp 2: Thay đổi hình thức bài toán mà không làm thay đổi bản
chất bài toán
Mục tiêu của biện pháp: Giúp học sinh có nhiều góc nhìn đối với một vấn đề
từ đó các em hiểu sâu sắc hơn về vấn đề đó.
Ví dụ 1: Cho hình chóp có vuông góc với ,
. Đáy là hình thang vuông tại và , .
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng vuông.
18 | SKKN năm học 2022-2023
c) Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Lời giải
a) Do là hình thang vuông tại và nên
Ta lại có
Từ suy ra (đpcm)
b) Gọi là trung điểm của suy ra
tứ giác là hình vuông tại
(Do Mà ) (2a)
suy ra Từ tại (đpcm)
c) Ta có
Từ suy ra là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
Suy ra góc
Trong vuông tại có
19 | SKKN năm học 2022-2023
Để học sinh có cách nhìn đa chiều về bài toán này chúng ta có thể thay đổi
cách ra đề như sau:
Ví dụ 1.1: Cho hình chóp có vuông góc với ,
. Đáy là hình vuông cạnh bằng , Gọi đối xứng với qua .
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng vuông.
c) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Nhận xét: Việc thay đổi cách phát biểu một bài toán giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập, các em tập làm quen với cách nhìn đa chiều từ đó hình thành năng lực giải quyết vấn đề.
Ví dụ 2: Cho hình chóp có , đáy là tam giác vuông
tại
Khi học bài đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chúng ta có thể yêu cầu
học sinh chứng minh: hoặc hoặc vuông.
Lời giải
Ta có do
vuông tại nên
Từ và suy ra vuông tại
Nhân xét: Như vậy cũng một hướng giải quyết nhưng nếu khi dạy học tùy vào tình huống khác nhau mà chúng ta đưa ra các tình huống khác nhau để tăng tính hiệu quả của các tình huống.
Khi học bài hai mặt phẳng vuông góc chúng ta có đưa ra yêu cầu học sinh
chứng minh mặt phẳng
20 | SKKN năm học 2022-2023
Lời giải
Ta có do
vuông tại nên
Từ và suy ra
Mà nên suy ra (đpcm)
Nhận xét: Như vậy cùng một bài toán, nhưng khi dạy học các chủ đề khác nhau chúng ta có thể thay đổi cách hỏi cho phù hợp, từ đó giúp học sinh khắc sâu một số bài toán điển hình, dó đó tạo hứng thú cho học sinh, để học sinh có đam mê trong học tập.
Để khắc sâu dạng toán này chúng ta có thể đưa ra các bài toán tương tự như sau:
Ví dụ 2.1: Cho hình chóp có , đáy là hình
vuông. Chứng minh rằng:
a) b)
Ví dụ 2.2: Cho hình chóp có , đáy là hình
thang vuông tại và . Có và . Chứng minh rằng:
a) b) vuông.
Nhận xét: Việc cung cấp cho học sinh hệ thống các bài toán cùng bản chất giúp học sinh dễ dàng tiếp cận được lời giải và từ đó tăng thêm đam mê học toán hình học.
Để khắc sâu dạng toán này chúng ta có thể đưa ra các bài toán tương tự như sau:
Ví dụ 3: Cho tứ diện . Các điểm theo thứ tự chuyển động trên
các cạnh . Chứng minh rằng mặt phẳng sao cho
luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
S
I
A
C
G
B
21 | SKKN năm học 2022-2023
Đặt , .
Theo bài ra, ta có:
+) .
+) .
Giả sử là điểm cố định của mặt phẳng . Khi đó 4 điểm
đồng phẳng nên ta có: với .
.
Mặt khác do điểm cố định nên tồn tại bộ 3 số không đổi sao cho:
.
Từ , suy ra .
Kết hợp với , ta có:
.
Vậy . Suy ra là trọng tâm của tứ diện .
Chứng tỏ mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định là trọng tâm của
tứ diện .
Nhận xét: Có thể phát triển bài toán trên bằng cách thay đổi đẳng thức ở giả
thiết.
22 | SKKN năm học 2022-2023
Ví dụ 3.1: Cho tứ diện . Các điểm theo thứ tự chuyển động
trên các tia sao cho . Chứng minh rằng mặt phẳng
luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Đặt , .
Theo bài ra, ta có: +) .
+) .
S
A
C
I
M
B
là điểm cố định của mặt phẳng . Khi đó 4 điểm
với . Giả sử đồng phẳng nên ta có:
.
Mặt khác do điểm cố định nên tồn tại bộ 3 số không đổi sao cho:
.
Từ , suy ra .
23 | SKKN năm học 2022-2023
Kết hợp với , ta có:
.
.
Vậy (với là trung điểm của ).
Suy ra là trung điểm của . Chứng tỏ mặt phẳng luôn đi qua
một điểm cố định.
Nhận xét: Có thể tổng quát bài toán bằng cách thay biểu thức trong giả thiết của Ví dụ 3 bởi một biểu thức tùy ý khác. Hơn nữa từ kết quả của Ví dụ 3 và Ví dụ 3.1 có thể dự đoán được điểm cố định của mặt phẳng. Từ đó có thể tổng quát hóa bài toán và giải quyết bài toán tổng quát theo cách ngắn gọn hơn.
Ví dụ 3.2: Cho tứ diện . Các điểm theo thứ tự chuyển động
trên các tia sao cho . Chứng minh rằng mặt
phẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Lấy điểm cố định thỏa mãn: .
Ta sẽ chứng minh mặt phẳng đi qua điểm .
Thật vậy, đặt , .
Ta có: , .
Suy ra .
Vì . Nên từ suy ra 4 điểm
đồng phẳng.
Vậy mặt phẳng luôn đi qua điểm cố định.
24 | SKKN năm học 2022-2023
Dưới đây là một số bài toán áp dụng bài toán tổng quát.
Ví dụ 3.3: Cho hình chóp . Trên các cạnh lần lượt lấy các
điểm di động sao cho
( là số nguyên dương). Chứng minh rằng mặt phẳng luôn chứa một
đường thẳng cố định.
Lời giải:
Từ giả thiết ta có: ; ; .
Suy ra ; .
Khi đó theo bài toán tổng quát Ví dụ 3.2 ta có, mặt phẳng đi qua 2
điểm cố định thỏa mãn , .
Vậy mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng cố định .
Nhận xét: Việc cung cấp cho học sinh hệ thống các bài toán cùng bản chất giúp học sinh dễ dàng tiếp cận được lời giải, đồng thời giúp các em hiểu sâu sắc hơn về một vấn đề và từ đó tăng thêm đam mê học toán hình học.
2.3. Biện pháp 3: Xây dựng bài toán khó từ những bài toán cơ bản
Bài toán mở đầu: Cho tứ diện có đôi một vuông góc.
a) Chứng minh rằng: là trực tâm tam giác .
Lời giải
25 | SKKN năm học 2022-2023
Kẻ . Gọi H là giải điểm của CI và AJ.
Ta suy ra lập tức
Ngược lại, nếu , kéo dài AH cắt BC tại J, CH cắt AB tại I.
Từ Định lí 3
đường vuông góc ta suy ra . Tức H là trực tâm tam giác
ABC.
Do các tam giác OAB và OCI vuông nên:
(đpcm)
Để cho tiện sử dụng và không mất tính tổng quát của bài toán, ta đặt: . Cũng trong bài viết này, để cho gọn, gọi tứ diện
đôi một vuông góc, còn gọi là tứ diện
thì ta coi như đây là tứ diện mà vuông tại , hay ngắn gọn là tứ diện vuông.
Ta cũng đặt: là độ dài đoạn , hay cũng là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng .
Như vậy: hay
Hơn nữa, chúng ta cũng ký hiệu:
là góc giữa các mặt phẳng với mặt phẳng .
là góc giữa OH với các đường thẳng OA,OB,OC.
là góc giữa OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC).
Bài toán 1. Trong hình tứ diện vuông OABC mà .Tính
diện tích tam giác ABC.
Lời giải
Cách 1. Gọi S là diện tích tam giác ABC.
Ta có: (*)
Theo (3) suy ra:
26 | SKKN năm học 2022-2023
Thay vào (*) ta được:
Cách 2.
Ta có:
Vậy: .
Bài toán 2. Cho tứ diện vuông OABC. Gọi lần lượt là diện tích các
tam giác ABC,OAB,OBC và OCA. Chứng minh rằng:
(Còn gọi là Định lý Pitagore trong không gian)
Lời giải
Theo bài toán trên:
Mặt khác: . Từ đó ta có hệ thức của bài toán.
Bài toán 3. (Đề dự bị tuyển sinh khối 2003) Cho tứ diện có
vuông góc với và tam giác vuông tại , . Tính
diện tích của tam giác theo và chứng minh rằng :
Lời giải
Vẽ đường cao của tam giác
vuông tại :
vuông :
27 | SKKN năm học 2022-2023
Ta có :
.
Theo bất đẳng thức Côsi ta có :
Vậy
Bài toán 4. Trong hình tứ diện vuông OABC. Gọi lần lượt là góc giữa
các mặt phẳng (OAB,(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh:
.
Lời giải
Gọi AJ, CI, BK là các đường cao của tam giác ABC.
Khi đó:
Ta có:
Như vậy:
Thực ra lời giải nhanh gọn hơn nếu vận dụng trực tiếp (1):
28 | SKKN năm học 2022-2023
Chúng ta để ý rằng:
Gọi S là diện tích của đa giác P trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình là góc giữa (P) và , trong đó
chiếu P’ của P trên mặt phẳng (P’) thì: (P’).
(Định lí hình chiếu)
Dựa vào định lý này ta có thể giải bài toán trên như sau:
Ta có:
Suy ra:
Nhận xét.
Từ bài toán 10, có thể chứng minh được bài toán 3 bằng định lý hình chiếu.
Còn có thể chứng minh bài toán 3 như sau(cũng bằng định lí hình chiếu):
Ta có:
Tương tự: ;
Cộng từng vế ta thu được đpcm.
Nhận xét. Một câu hỏi giản đơn là: Dùng công thức lượng giác, hãy biến đổi
hệ thức này theo một hệ thức khác được không?
Một hệ quả trực tiếp là:
Ta có bài toán:
Bài toán 5. Trong hình tứ diện vuông OABC. Gọi lần lượt là góc giữa
các mặt (OAB,(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
29 | SKKN năm học 2022-2023
lần lượt là góc giữa
Bài toán 6. Trong hình tứ diện vuông OABC. Gọi OH với các đường thẳng OA,OB,OC.Chứng minh rằng:
.
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Khi đó:
Ta thấy được:
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách giải trên thấy được bản chất cũng như giá trị thực của các góc đó nếu tính
theo a,b,c.
Một cách giải khác mà ta mong đợi từ học sinh là:
là góc giữa các
Bài toán 7. Trong hình tứ diện vuông OABC. Gọi đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng:
.
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Khi đó:
Ta chứng minh được:
;
Bình phương ba đẳng thức trên rồi cộng theo vế ta có điều phải chứng minh.
Có thể có lời giải nào khác?
30 | SKKN năm học 2022-2023
Tương tự như các góc trước đây, ta có:
Bài toán 8. Cho tứ diện vuông OABC. Gọi là góc giữa OA,OB,OC với
mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: . (trong đó A,B,C là
các góc của tam giác ABC)
Lời giải
Trước hết ta chứng minh được:
Vì tam giác OAI vuông tại O nên:
Xét tam giác ABC, gọi O’ là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác đó, G là trọng tâm.
Ta có:
Gọi AM là trung tuyến tam giác ABC. Khi đó:
và
Từ đó suy ra:
31 | SKKN năm học 2022-2023
Từ (i) và (ii) suy ra:
Chứng minh hòa toàn tương tự ta được:
;
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài toán 9. Cho tứ diện vuông OABC. Gọi P là một điểm bất kì nằm trong tam
giác ABC. Đặt . Tìm giá trị nhỏ nhất của: .
Lời giải
Gọi lần lượt là hình chiếu của P lên các mặt phẳng tương ứng
(OBC), (OAC) và (OAB).Gọi là hình chiếu vủa P lên OC.
Do:
Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) thì:
Vì
Suy ra:
Tương tự:
Cộng các đẳng thức (ii),(iv),(v) và sử dụng (i) và (ii) ta được:
Với mọi P thì: nên:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi P là trực tâm tam giác ABC.
32 | SKKN năm học 2022-2023
Chú ý rằng, nếu gọi là góc tạo bởi đường thẳng OP với mặt phẳng (ABC). Ta
có bài toán:
Bài toán 10. Cho tứ diện vuông OABC.Gọi P là một điểm bất kì nằm trong
tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Lời giải
Theo bài toán 22 và dễ thấy:
Bài toán 11. Cho tứ diện vuông OABC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
lên (ABC), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước hết, ta nhắc lại một khái niệm Phương tích sau đây:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tâm giác ABC.M là một điểm bất kì. Qua M kẻ cát tuyến đến đường tròn cắt đường tròn tại E,F. Khi đó tích vô hướng gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn tâm I. Nếu bán kính của đường tròn là R, thì: .
Trở lại bài toán, gọi AD là đường cao của tam giác ABC, AD cắt đường tròn tại E. Tam giác OAD vuông tại O và HD=HE. Áp dụng công thức Phương tích của điểm là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta H đối với đường tròn tâm I, có:
Suy ra:
Gọi F là chân đường cao hạ từ C của tam giác ABC, ta có:
. Từ (*) và (**) suy ra:
33 | SKKN năm học 2022-2023
Hãy bắt đầu với các bất đẳng thức cơ bản:
Từ bài toán 3, ta nhận thấy hệ thức có bóng dáng của bất đẳng thức. Vì vậy,
nếu kết hợp với bất đẳng thức, ta có nhiều bài toán mới.
Bài toán 12. Trong hình tứ diện vuông OABC mà , gọi
lần lượt là diện tích các tam giác OAB, OBC, OCA
Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức:
Ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Từ bất đẳng thức quen thuộc:
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
+ Áp dụng bất đẳng thức:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Ta có:
Ta có bài toán mới:
Bài toán 13. Chứng minh rằng, trong một tứ diện vuông OABC, lần lượt là diện tích các tam giác OAB,OBC,OCA và ABC, ta có: gọi
34 | SKKN năm học 2022-2023
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ diện vuông cân tại O.
+Trong bất đẳng thức (*), cho: , ta được:
Suy ra:
Ta dẫn đến bài toán:
Bài toán 14. Chứng minh rằng, trong hình tứ diện vuông OABC gọi
lần lượt là diện tích các tam giác OAB, OBC, OCA. Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi đây là tứ diện vuông cân.
Nhận xét. Một dạng thể hiện khác của bài toán này là: . Đây
chính là một bài đề nghị trong đề thi Olympic 30/4/2010.
Kết hợp bài toán 5 và bài toán 6, ta có bài toán khó hơn:
Bài toán 15. Cho tứ diện vuông , có , ,
theo a,b,c. Trong đó .Tìm giá lần lượt là
trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích các tam giác
Lời giải
Từ bài toán 12 và bài toán 14, ta suy ra:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c.
Vậy: .
+Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc:
35 | SKKN năm học 2022-2023
Bài toán 16. Cho tứ diện vuông OABC. Gọi
lần lượt là diện tích các là diện tích tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu tam giác OAB,OBC,OCA;
thức:
Lời giải
Ta có:
Suy ra:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Tổng quát hơn, ta có bài toán:
Bài toán 17. Trong một tứ diện vuông OABC, gọi
lần lượt là diện tích các tam giác OAB, OBC, OCA và S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh
rằng: ,
+ Từ bất đẳng thức:
Ta có:
Như vậy ta có một dạng tương tự bất đẳng thức Nesbit sau đây.
Bài toán 19. Cho một tứ diện vuông OABC, gọi lần lượt là diện tích
các tam giác OAB,OBC,OCA. S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng:
36 | SKKN năm học 2022-2023
.
,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: hay tứ diện OABC vuông cân tại O.
+ Cũng từ bất đẳng thức:
Ta có bài toán trong đề thi Olympic 30/04/2010
Bài toán 20. Trong nhình tứ diện vuông OABC. Gọi lần lượt là
diện tích các tam giác ABC,OAB,OBC,OCA. Chứng minh rằng:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: hay
tứ diện OABC vuông cân tại O.
+ Trở lại hệ thức: .
Ta liên tưởng bất đẳng thức .
Ta có bài toán:
Bài toán 21. Gọi lần lượt là góc giữa các mặt phẳng
(OAB,(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh: .
Ý tưởng. Ta trong bài 21 giá
có đánh . Hãy xét xem thức đẳng và được đánh giá thế
nào?
+ Kỹ thuật 1.
Gọi là các số dương, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
và các bất đẳng thức tương tự, ta suy ra
37 | SKKN năm học 2022-2023
Vậy với các số dương x,y,z ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trên cho
Ta có bài toán mới:
là góc giữa các mặt
Bài toán 22. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .
+ Kỹ thuật 2.
Lưu ý rằng, để chứng minh bất đẳng thức ta
có thể dùng bất đẳng thức Holder:
Chú ý: Bất đẳng thức Holder
Với các số thực dương a,b,c,x,y,z,m,n,p, ta có:
+ Kỹ thuật 3. Ngoài ra, sử dụng kỹ thuật cân bằng hệ số:
Đặt
38 | SKKN năm học 2022-2023
Lưu ý rằng, nếu đặt . Dùng ý
tưởng liên hệ qua :
Với các số dương: và , áp dụng bất đẳng thức Cauchy-
Schwars, ta được:
thì ta
Áp dụng với có bài toán mới sau.
là góc giữa các mặt
Bài toán 23. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh:
.
Một cách giải khác khá tự nhiên như sau:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương
Nhận xét. Đây là một đánh giá rất mới trong hình tứ diện vuông OABC.
Tương tự, kết hợp các bất đẳng thức cơ bản và bất đẳng thức AM-GM, chúng
ta thu được:
Với
Mặt khác:
Từ hai bất đẳng thức trên suy ra:
39 | SKKN năm học 2022-2023
Dấu bằng xảy ra:
Ta có bài toán mới
Bài toán 24. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi là góc giữa các mặt phẳng
(OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Lưu ý: Không ít học sinh sai lầm
.
Tương tự ý tưởng của bài toán trên
Bài toán 25. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi là góc giữa các mặt phẳng
(OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Lời giải
Đặt thì
Ta có các bất đẳng thức sau:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng khi hình tứ diện OABC vuông cân tại O.
Tiếp theo, áp dụng một kết quả quen thuộc:
với
Thật vậy, có thể có 2 hướng như sau:
Hướng 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
40 | SKKN năm học 2022-2023
Hướng 2. Hoặc xét hàm số: có
Từ đó dẫn đến các kết quả mạnh hơn:
và
Sử dụng kết quả này cho hai bài toán sau đây:
Bài toán 26. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi
là góc giữa các mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Đặt thì
Ta có:
;
Dễ dàng nhận thấy:
Giá trị nhỏ nhất của bằng đạt được khi hình tứ diện vuông cân tại O.
41 | SKKN năm học 2022-2023
Theo bài trên ta chứng minh được: nên
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Giá trị nhỏ nhất của bằng khi hình tứ diện vuông cân tại O.
Lưu ý: Để chứng minh với ta có thể dùng cách sau
Ý tưởng mạnh: Kỹ thuật Cosi ngược dấu
Để ý rằng, với các số dương ta có:
Dẫn đến:
Cùng với hai kết quả tương tự, ta có bất đẳng thức sau đây:
Dùng bất thức này ta có bài toán:
Bài toán 27. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi là góc giữa các mặt
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức (*) với và bài toán
là góc giữa các
Bài toán 28. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
42 | SKKN năm học 2022-2023
Lời giải
Ta có: và
Tương tự:
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ta có
Nhận xét. Đó là một cách chứng minh trực tiếp áp dụng tính chất đường cao của tứ diện vuông. Sau đây ta áp dụng một tính chất khác mà lời giải ngắn gọn hơn nhiều:
Đặt
Ta có:
Do:
Suy ra:
Dấu bằng xảy ra , tức tứ diện OABC vuông cân
tại O. Bài toán được chứng minh.
Có gì khai thác thêm?
43 | SKKN năm học 2022-2023
Từ bất đẳng thức nếu là
hằng số, ta suy ra: .
Áp dụng cho tứ diện vuông OABC, ta thu được điều gì?
Giả thiết là gì?
Nếu đặt
, ,
ta thấy là một hằng số.
Nghĩa là các biểu thức dạng
ta đều đánh giá được.
Bài toán sau đây là một trường hợp:
Bài toán 29. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi lần lượt là góc giữa
OH với các đường thẳng OA,OB,OC.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Áp dụng (II), ta có:
Ta lại có: =2.
Suy ra:
Đẳng thức xảy ra khi:
44 | SKKN năm học 2022-2023
.
Vậy: OABC là tứ diện vuông cân tại O.
Nhận xét. Lời giải còn đúng không nếu thay bởi các biểu thức dạng
Không những vậy, ta còn có thể nghĩ đến các biểu thức có dạng hoán vị vòng
quanh.
Bài toán 30. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi lần lượt là góc giữa
OH , với các đường thẳng OA,OB,OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Lời giải
. Đặt
Khi đó: nên . Dấu bằng xảy ra khi
Ta có:
Suy ra:
Dấu bằng xảy ra khi:
Vậy: OABC là tứ diện vuông cân.
Bài toán 31. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi là góc giữa các mặt
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng:
45 | SKKN năm học 2022-2023
.
Lời giải
Ta có: , ,
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
Tương tự:
Cộng các về của các bất đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi: .
Lưu ý rằng, ta thấy ngay:
Suy ra:
Nhận xét: Dùng các kết quả trên và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta thu
được một kết quả rất đẹp là:
Dấu bằng xảy ra .
Từ các kết quả này, ta có kết quả sau đây là một bài đề nghị Olympic
30/04/2007
46 | SKKN năm học 2022-2023
Bài toán 32. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi là góc giữa các mặt
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
.
Tuy vậy, còn một cách chứng minh khác:
Cả hai đẳng thức xảy ra khi tứ diện
vuông cân tại O.
Bây giờ, ta ngẫu hứng (có cố ý tạo ra như vậy) một biểu thức dạng đa thức sau
đây mà vì sự đặc biệt của nó nên lời giải cũng khá bất ngờ:
Bài toán 33. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi là góc giữa các mặt
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Lời giải
Đặt
Ta có:
Dấu bằng xảy ra: .
Điều này không xảy ra được. Bài toán được chứng minh.
47 | SKKN năm học 2022-2023
Bài toán 34. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi
là góc giữa các mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Đặt:
Ta có:
Tương tự: ;
Ta có: (i)
Từ (i) và (ii) suy ra:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Bài toán 35. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi là góc giữa các mặt
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Ta có ngay: vì
Mặt khác:
Tương tự: ;
48 | SKKN năm học 2022-2023
Bất đẳng thức tương đương với:
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc:
Bài toán được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
III. Thực nghiệm sư phạm
Sau khi thực hiện các biện pháp trong sáng kiến kinh nghiệm này, chúng tôi đã
tiến hành lấy ý kiến điều tra đối với các em học sinh và được kết quả như sau:
Mức độ đánh giá TT Tổng Biện pháp Rất hứng thú Hứng thú Không hứng thú
150 20 10 180 1
2 160 25 5 180
3 120 45 15 180
Giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau Thay đổi hình thức bài toán mà không làm thay đổi bản chất bài toán Xây dựng bài toán khó từ những bài toán cơ bản
Tổng số 430 90 30 540
49 | SKKN năm học 2022-2023
Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Với bất cứ một công việc gì bạn muốn thành công đòi hỏi bạn phải có sự đam mê yêu thích, sự đầu tư cả về thời gian, trí tuệ, vật chất và tinh thần cho nó. Công việc giảng dạy không là một ngoại lệ. Để kích thích niềm đam mê yêu thích môn học cũng như phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đòi hỏi người giáo viên phải không ngừng đổi mới, đổi mới trong cách nghĩ, cách đánh giá, đổi mới trong cách làm việc và giảng dạy. Để mỗi ngày đến lớp là một ngày vui, sự giao tiếp giữa thầy và trò luôn được cởi mở và ngày càng gắn bó thân thiện, người giáo viên phải luôn tạo được sự hứng thú học tập đối với học sinh của mình, giúp các em được học tập chủ động, học tập bằng trải nghiệm sáng tạo, học tập trong hoạt động và bằng hoạt động trải nghiệm để chiếm lĩnh tri thức.
Đề tài: Một số biện pháp dạy học chủ đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT, là một giải pháp khả thi giúp học sinh THPT phát triển năng lực nói chung, năng lực Toán học nói riêng đặc biệt là thành tố năng lực toán học đó là năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, đã và đang được áp dụng trong quá trình giảng dạy của bản thân các tác giả tại đơn vị trường đang công tác tại các lớp mà tác giả đang giảng dạy từ năm học 2021-2022 và 2022-2023 đến nay gồm các lớp 11A, 11I, 11N (năm học 2021-2022) và các lớp 11A, 11B, 11E, 11I, 11N trong đó 11A, 11B là lớp mũi nhọn định hướng tổ hợp các môn Toán - Vật lí - Hóa học, tập trung các em có năng lực khá giỏi về môn Toán, lớp 11E, 11I tập trung các em có năng lực trung bình khá và khá về môn Toán, lớp 11N là đối tượng các em học sinh trung bình yếu về môn Toán. Đồng thời đã được các đồng nghiệp cùng trường tiến hành thực nghiệm trên các trong khối. Quá trình triển khai và áp dụng với phương thức lựa chọn kiến thức và bài tập phù hợp tôi nhận thấy gây được sự hứng thú học tập cho các em, các em có sự tiến bộ về mặt tư duy cũng như năng lực giải quyết vấn đề Toán. Đây cũng là đề tài mà qua tìm hiểu của bản thân thì cũng có thầy cô bàn đến … nhưng không cụ thể và không theo con đường nghiên cứu xây dựng của đề tài này, và đề tài này của bản thân đúc rút, tích lũy từ quá trình học tập giảng dạy của bản thân cũng như học hỏi từ đồng nghiệp nên chắc chắn có đặc trưng khác biệt mà không trùng với các đề tài đã được nghiên cứu trước đây.
2. Kiến nghị
Từ kinh nghiệm của bản thân tôi nhận thấy: Để áp dụng đề tài một cách hiệu
quả thì cần có những yêu cầu sau đối với giáo viên, học sinh và các cấp quản lí:
- Đối với GV: Phải thật sự say mê, tâm huyết và yêu nghề, trau dồi chuyên môn. Tích cực chuyển đổi và thay đổi bản thân, đặc biệt là tích cực học hỏi tích lũy trau dồi công nghệ số để thích nghi với công nghệ thời đại 4.0. Chuẩn bị giáo án phù hợp với đối tượng học sinh theo từng mức độ và từng đơn vị lớp. Trong quá trình
50 | SKKN năm học 2022-2023
giảng dạy phải thật sự linh hoạt, gần gũi chia sẻ những kinh nghiệm, trải nghiệm của bản thân với học sinh. Chia sẻ giúp đỡ các em tháo gỡ những khó khăn vướng mắc.
- Đối với học sinh: Phải nghiêm túc, chủ động trong quá trình học tập, mạnh dạn trao đổi trình bày, chia sẻ những băn khoăn, những chỗ chưa hiểu. Luôn đặt mục tiêu phấn đấu trong quá trình học. Trên lớp học và trong giờ học phải cởi mở, hợp tác, tranh luận xây dựng với nhóm, với các bạn và với thầy cô.
- Đối với các cấp quản lí: Tạo điều kiện hết sức cho giáo viên được học tập trao đổi, trau dồi chuyên môn bằng cách giới thiệu, cung cấp tài liệu, tập huấn phổ biến các nội dung mới thiết thực cho việc dạy học. Đầu tư trang thiết bị dạy học phù hợp, khi cần sử dụng khai thác là có ngay để sử dụng.
Mặc dù đã hết sức cố gắng để hoàn thành đề tài, chúng tôi vẫn mong muốn nhận được các góp ý, nhận xét, được học hỏi thêm từ quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!
Diễn Châu, ngày 20 tháng 04 năm 2023
51 | SKKN năm học 2022-2023
B. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN
Thời gian Nội dung thực hiện
Tháng 10 năm 2021 Chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm
Tháng 11 năm 2021 Hoàn thành đề cương
Tập trung nghiên cứu
Tháng 12 năm 2021 đến hết tháng 09 năm 2022
Viết và hoàn chỉnh sáng kiến
Tháng 10 năm 2022 đến tháng 03 năm 2023
Tháng 04 năm 2023
Nạp sáng kiến về hội đồng chấm sáng kiến Trường
C. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] G. Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch của Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD.
[2] G. Polya (1997), Giải một bài toán như thế nào?, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[3] Đào Tam(2004), Hình học sơ cấp, nhà Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
[4] Sách giáo khoa Hình học 11 THPT hiện hành, NXBGD.
[5] Đề thi THPT quốc gia môn Toán.
[6] Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố.
[7] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, NXBGD.
[8] Internet
