Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phần mềm Geogebra trong thiết kế các tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 Trường THPT Đô Lương 3

Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐÔ LƯƠNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐẾ TÀI

“Sử dụng phần mềm Geogebra trong thiết kế các tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 Trường THPT Đô Lương 3”

Giáo viên: Nguyễn Thị Tuất

Tổ: Toán - Tin

Lĩnh vực: Toán học

Năm học: 2022-2023

MỤC LỤC

Nội dung Trang Mục

Phần 1 Đặt vấn đề 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Giả thuyết khoa học 2

7 Đóng góp của đề tài 3

8 Cấu trúc của đề tài 3

Phần 2 Nội dung nghiên cứu 4

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 4

1.1 Cơ sở lí luận 4

1.2 Cơ sở thực tiễn 4

Chương 2 5

Sử dụng phần mềm Geogebra để thiết kế một số tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12.

Dạy học khái niệm 1.1 5

Dạy học định lý 1.2 16

Dạy học giải bài tập 1.3 22

1.4 Khảo sát tính cấp thiết và khả thi của các giải pháp đề xuất 33

1.4.1 Những vấn đề chung về khảo sát 33

1.4.2 Kết quả khảo sát 34

1.4.3 Kết luận 39

Chương 3 Hiệu quả của đề tài 39

Phần 3 Kết luận và kiến nghị 42

Tài liệu tham khảo 43

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

Giáo viên

Học sinh

CNTT

Công nghệ thông tin

THPT

Trung học phổ thông

Ví dụ

SGK

Sách giáo khoa

GDPT

Giáo dục phổ thông

TXĐ

Tập xác định

Phần 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lí do chọn đề tài

Những năm gần đây, công nghệ thông tin trở thành một công cụ không thể thiếu đối với đời sống con người, trên tất cả mọi lĩnh vực nói chung và trong giáo dục nói riêng, nhờ công nghệ phát triển chúng ta có thể nhìn thấy những hình ảnh mà trước đây chỉ có trong trí tưởng tượng. Trong những năm qua, công nghệ thông tin đóng vai trò hết sức to lớn trong việc phát triển trí tuệ, phát huy khả năng sáng tạo, tư duy và khám phá của con người.

Hiện nay, trên thế giới có hai quan điểm chủ yếu về tiếp cận công nghệ thông tin trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông: Tiếp cận CNTT qua máy tính cầm tay và tiếp cận CNTT qua máy vi tính. Ở quan điểm tiếp cận CNTT qua máy vi tính, GV và HS trực tiếp ứng dụng CNTT vào dạy- học. Các tình huống sư phạm cùng với các phần mềm dạy học sẽ tạo ra môi trường học tập hiệu quả cho HS và phát huy được sự sáng tạo trong dạy học Toán học. Hay nói theo một cách khác, nếu trọng tâm của việc dạy học là tạo ra được các tình huống sư phạm, thì CNTT đặc biệt là các phần mềm dạy học đóng một vai trò quan trọng trong việc xây dựng các tình huống ấy.

Ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy góp phần giúp giáo viên đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là sử dụng các phần mềm dạy học. Hiện nay có nhiều phần mềm được sử dụng trong giảng dạy Toán học như Geometer’s SketchPad, Cabri 3D, Geogebra, …

Tuy nhiên, qua quá trình sử dụng phần mềm để giảng dạy và tìm hiểu thêm trên các trang web, tôi nhận thấy Geogebra là phần mềm hoàn toàn miễn phí. Geogebra không chỉ là phần mềm hình học động tương tự như nhiều phần mềm khác như Cabri 3D hay Geometer’s SketchPad. Triết lí của Geogebra là toán học động. Theo như người sáng lập phần mềm này thì Geogebra là phần mềm Hình học động, Đại số động và Tính toán động. Do đó, Geogebra là phần mềm đầu tiên trên thế giới hướng tới mục tiêu giáo dục hiện đại: Những gì giáo viên giảng học sinh phải được nghe và nhìn thấy.

Xuất phát từ những lý do trên mà tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng phần mềm Geogebra trong thiết kế các tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 Trường THPT Đô Lương 3”

2. Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng công cụ hỗ trợ giảng dạy các bài toán về “hình học động” tạo hứng thú học tập cho học sinh, đồng thời đáp ứng cho kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia.

- Làm sáng tỏ các vấn đề liên quan đến kiến thức học sinh đang được học.

- Xây dựng hình ảnh trực quan sinh động trong việc tiếp thu kiến thức mới

cho học sinh.

- Tạo động lực để học sinh tự tin khi giải toán, nâng cao chất lượng dạy và

học.

- Đáp ứng nhu cầu học tập trong giai đoạn mới.

- Tạo ra nền tảng kiến thức bền vững cho các em trong việc phát triển tư duy

về toán học.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phần mềm Geogebra và cách sử dụng.

Nghiên cứu việc ứng dụng Geogebra trong một số tình huống dạy học môn

Toán 12.

Thiết kế các tình huống học tập môn Toán sử dụng phần mềm Geogebra tạo

hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 Trường THPT Đô Lương 3.

Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá tính khả thi, tính hiệu quả khi sử

dụng các tình huống học tập đó.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1. Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về Geogebra và ứng dụng của Geogebra trong một số tình

huống dạy học môn Toán lớp 12.

- Học sinh lớp 12.

4.2. Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về cách ứng dụng phần mềm Geogebra vào xây dựng các tình

huống dạy học môn toán.

- Học sinh lớp 12 trường THPT Đô Lương 3.

5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu được sử dụng là xây dựng cơ sở lý thuyết cùng với việc tổ chức các hoạt động kiểm chứng; phương pháp thống kê và xử lý số liệu được sử dụng cho việc đánh giá hiệu quả của đề tài đến kết quả học tập của học sinh.

6. Giả thuyết khoa học:

Trong dạy học môn Toán ở lớp 12, nếu giáo viên sử dụng phần mềm Geogebra để thiết kế và sử dụng hợp lý các tình huống dạy học thì sẽ góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao chất lượng dạy học môn Toán.

7. Đóng góp của đề tài

Sử dụng phần mềm Geogebra trong thiết kế các tình huống dạy học: Khái niệm Đường tiệm cận, Định lí về phương trình mặt cầu, Bài tập ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12.

Có thể sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá

trình giảng dạy và học tập.

8. Cấu trúc của đề tài

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung

chính của đề tài được trình bày theo 3 chương.

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Sử dụng phần mềm Geogebra để thiết kế một số tình huống dạy

học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12.

Chương 3: Hiệu quả của đề tài

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1. Cơ sở lí luận

Hiện nay, các em HS gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức đặc biệt là môn Toán, chỉ tính riêng chương trình Giải Tích 12 cơ bản, HS phải trải qua việc vẽ đồ thị của các hàm số từ đơn giản đến phức tạp, hình ảnh về sự tương giao của đồ thị các hàm số, vị trí điểm chuyển động trên đồ thị, quỹ tích, tập hợp điểm, những ứng dụng của tích phân trong hình học, … đòi hỏi người học phải có một sức tập trung và tư duy cao độ để có thể tưởng tượng được các mối quan hệ về hình dạng trong các bài toán đó, sự hình thành các khối tròn xoay cho đến việc tính thể tích hay diện tích của những hình ảnh phức tạp, những hình ảnh lúc động, lúc tĩnh đó đã gây không ít khó khăn cho người dạy lẫn người học. Ngày nay sự ra đời của CNTT đã từng bước đưa vào nhà trường những phần mềm hỗ trợ giảng dạy vô cùng đắc lực, nó nối dài và gắn kết khả năng truyền đạt – tiếp thu giữa GV và HS, thể hiện được toàn bộ ý tưởng của người truyền tải thông tin đến HS, là cầu nối giúp HS liên kết được các phần kiến thức riêng biệt lại thành một thể thống nhất để tư duy vấn đề hoàn thiện nhanh chóng và chính xác.

Ngoài ra, một vấn đề mà GV nào cũng trăn trở, đó là việc đổi mới phương pháp giảng dạy như thế nào cho hiệu quả nhất, làm thế nào để giáo dục của chúng ta không bị lỗi thời mà phải bắt kịp thời đại, bắt kịp với nền giáo dục tiên tiến trên thế giới, làm thế nào để HS có một nền tảng kiến thức bền vững và kiên cố nhất. Có như thế giáo dục mới thực sự gọi là “giáo dục”, cái mà người dạy học chúng tôi muốn hướng đến là làm thế nào để dạy học mang một phong cách thoải mái nhất, từng bước từng bước làm cho người học lấy được kiến thức một cách nhẹ nhàng tự nhiên nhất, không phải là áp đặt, cũng không phải “vì thi mà học”, làm thế nào để người học cảm nhận được việc tiếp thu một lượng kiến thức nào đó cũng như một chuyến phiêu lưu đầy thú vị. Muốn thực hiện những mong muốn đó, chúng tôi không thể không nói đến CNTT và phần mềm Geogebra hiện nay với chúng tôi vô cùng hữu hiệu để thực thi nhiệm vụ giáo dục đó.

Hiện nay, phần mềm Geogebra được phổ biến rộng rãi và được rất nhiều GV sử dụng đạt hiệu quả cao, nhằm thực hiện những mong muốn nêu trên và tạo cho mình những công cụ giảng dạy hiệu quả, chúng tôi thiết kế sẵn một số công cụ thường xuyên sử dụng trong các tiết dạy nhằm giúp tiết kiệm thời gian vẽ hình và giúp HS nhìn thấy những hình ảnh trực quan sinh động, tạo cho các em nguồn hứng khởi trong việc tiếp thu kiến thức mới cũng như vận dụng nó vào từng tình huống cụ thể trong đời sống.

1.2. Cơ sở thực tiễn

Với điều kiện học tập và cơ sở vật chất hiện nay của nhà trường, chúng tôi hoàn toàn có thể thực hiện giảng dạy bằng CNTT một cách dễ dàng. Hầu hết các phòng học của nhà trường đều trang bị tivi để GV trình chiếu các hình ảnh bằng các phần mềm hỗ trợ, có thể thực hiện dạy ứng dụng CNTT mọi lúc khi cần thiết, đó là điều tuyệt vời để GV và HS cùng nhau học tập và liên tục cập nhật những

ứng dụng mới có liên quan đến giáo dục để phục vụ tốt nhất cho việc giảng dạy cũng như việc phát triển những tài năng tương lai của đất nước.

CHƯƠNG 2: Sử dụng phần mềm Geogebra để thiết kế một số tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12.

1.1. Dạy học khái niệm

Phần mềm Geogebra có thể hỗ trợ dạy học khái niệm theo các bước sau:

Tiếp cận khái niệm: GV sử dụng phần mềm Geogebra để tạo ra các đối tượng, sau đó thay đổi đối tượng để HS quan sát. GV tạo cơ hội cho HS tiến hành các hoạt động phân tích, so sánh, tổng hợp, … để phát hiện ra các đặc điểm chung của các đối tượng đang xét. Từ đó, HS nhận ra đặc điểm đặc trưng của khái niệm.

Nhận dạng khái niệm: Sử dụng phần mềm Geogebra để đo đạc, tính toán, kiểm tra các thuộc tính của khái niệm, từ đó phát hiện ra đối tượng có thỏa mãn khái niệm hay không.

Hệ thống hóa khái niệm: Phần mềm Geogebra có thể hệ thống hóa khái

niệm, giúp HS thấy được mối liên hệ giữa các khái niệm.

Ví dụ 1: Dạy học khái niệm “Đường tiệm cận”

a) Mục tiêu: Hình thành khái niệm về đường tiệm cận ngang và tiệm cận

đứng. b) Nội dung:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

I.Đường tiệm cận ngang

HĐ1.Cho hàm số

GV sử dụng phần mềm Geogebra chiếu đồ thị.

và

lên đường thẳng

lần lượt nằm trên hai nhánh lần lượt là hình chiếu . Khi đó đến đường thẳng

Lấy của đồ thị. Gọi , của khoảng cách từ là và và .

Di chuyển thanh trượt và

thì

H1. Khi hoành độ của điểm dần ra có nhận xét gì về độ dài đoạn thẳng ?

TL1. Độ dài đoạn thẳng dần về 0. dần ra

thì ?

H2. Khi hoành độ của điểm có nhận xét gì về độ dài đoạn thẳng GV. Đường thẳng gọi là tiệm cận TL2. Độ dài đoạn thẳng dần về 0.

ngang của đồ thị hàm số .

HĐ2. Quan sát đồ thị (C) của hàm số

Lấy và đồ thị. Gọi

, lên đường thẳng ,

lần lượt nằm trên hai nhánh của lần lượt là hình chiếu của . Khi đó khoảng là đến đường thẳng cách từ

và . và

và

Di chuyển thanh trượt H3. Dựa vào đồ thị hãy chỉ ra tiệm cận

TL3. Tiệm cận ngang là đường thẳng ngang của đồ thị hàm số ?

H4. Tính

TL4.

GV.

GV. Một cách tổng quát hãy định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

hoặc ,

VD1. Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị

hàm số xác định trên HS. Cho hàm số một khoảng vô cực (là khoảng có dạng ). Đường là đường tiệm cận ngang thẳng (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn

, .

GV yêu cầu HS kiểm tra lại kết quả bằng phần mềm Geogebra.

HS. TXĐ:

Ta có:

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là

GV. Hãy nêu các bước để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số VD2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

HS. B1. Tìm TXĐ (Nếu TXĐ là khoảng vô cực thì chuyển sang B2) B2. Tìm ,

B3. Kết luận

GV yêu cầu HS kiểm tra lại kết quả bằng phần mềm Geogebra.

HS. TXĐ: Ta có: ,

. và

VD3.

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

có bảng biến thiên sau:

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là HS. Dựa vào bảng biến thiên ta có:

, GV cho HS kiểm tra lại kết quả bằng phần mềm Geogebra. Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là

VD4.

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

có bảng biến thiên sau:

HS. Dựa vào bảng biến thiên ta có: xác định và liên tục , VD5. Cho hàm số trên R\ có bảng biến thiên như sau:

và

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

GV. Hãy tính ,

Suy ra đồ thị có 2 đường tiệm cận ngang là HS.

Ta có: ;

Suy ra đồ thị hàm số có hai VD6. Cho hàm số

và . Tìm thỏa mãn để đồ đường tiệm cận ngang là và

thị hàm số có duy nhất một tiệm .

cận ngang.

có duy nhất

GV. Đồ thị hàm số

một tiệm cận ngang khi nào?

HS. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang khi

và bằng một số hữu hạn.

không có giá trị hữu hạn. Hoặc

Giải:

Vì nên

Suy ra đồ thị hàm số có

tiệm cận ngang TH1.

TH2.

không có giá trị

hữu hạn

hoặc

Vậy đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang khi

II. Đường tiệm cận đứng HĐ1. GV sử dụng phần mềm Geogebra

chiếu đồ thị của hàm số

và và và . và có đến

H1. Di chuyển các thanh trượt nhận xét gì về khoảng cách từ đường thẳng ? TL1. Khi hoành độ của điểm thì khoảng cách từ dần về đến đường thẳng dần về TL2.

H2. Tính ,

GV. Đường thẳng gọi là tiệm cận đứng

của đồ thị hàm số .

GV. Một cách tổng quát hãy định nghĩa đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

được gọi là HS. Đường thẳng đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn , .

VD1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

GV dùng phần mềm Geogebra chiếu đồ thị

hàm số

HS. Đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng Vì

(hoặc )

GV. Nhìn vào đồ thị hãy chỉ ra tiệm cận đứng và kiểm tra lại bằng việc tính giới hạn?

VD2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

có bảng biến thiên sau:

HS. Dựa vào bảng biến thiên ta có:

có

Suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là . đường thẳng có tiệm HS. Đồ thị hàm số khi cận đứng là đường thẳng làm cho không xác định và thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện

, . GV. Khi nào thì đồ thị hàm số tiệm cận đứng là đường thẳng ,

. Tìm tiệm

VD3. Cho hàm số

cận đứng của đồ thị hàm số .

HS. Ta có:

và tính

GV. Hãy tìm , ?

Với thì

(Vì )

Vậy đồ thị hàm số có tiệm

có đồ thị như

VD4. Cho hàm số hình vẽ

cận đứng là

HS.

Từ đồ thị của hàm số tập xác định của hàm số suy ra là

Do đó số đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số chính là số Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm

nghiệm của phương trình . . số

cắt tại 3 điểm phân có 3

Qua đồ thị ta có: Đường thẳng đồ thị hàm số biệt nên phương trình nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số có 3

đường tiệm cận đứng.

Củng cố: GV yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ tư duy thể hiện cách tìm các đường tiệm cận.

Sơ đồ tư duy

PHIẾU HỌC TẬP

Câu 1. Cho hàm số có và . Khẳng định nào sau

đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng và .

B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng và .

Câu 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

D. . . C. B. . .

Câu 5. có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ

A. Cho hàm số thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. B. C. D.

Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?

A. B. C. D.

Câu 7. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số .

A. B. C. D.

Câu 8. Cho hàm số liên tục trên R\{1}và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.

ĐÁP ÁN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8

Đáp án D B D C A D A A

1.2. Dạy học định lý

Quy trình dạy học định lý toán học với sự hỗ trợ của phần mềm Geogebra

gồm các bước như sau:

Tiếp cận định lý: Trước hết GV gợi động cơ, sự tò mò, động viên và thu hút HS. Thiết lập mục đích dạy học, gợi lại kiến thức cũ liên quan đến nội dung dạy học. Tiếp theo GV đưa ra các ví dụ ở dạng động, trực quan và yêu cầu HS quan sát các ví dụ và thực hiện các hoạt động sau:

+ Quan sát, đo đạc, thử nghiệm trên các ví dụ hoặc phản ví dụ.

+ Phân tích, so sánh, phân loại, tìm tòi, tìm kiếm và đưa ra các dự đoán về

hướng giải quyết bài toán.

Phát hiện ra định lý, tạo động cơ chứng minh: Nếu HS sử dụng phần mềm để tạo ra đối tượng và sau đó cho đối tượng thay đổi mà vẫn giữ nguyên các giả thiết ban đầu thì có thể sẽ phát hiện được những bất biến ẩn chứa trong đối tượng trên cơ sở quan sát trực quan. Đây chính là quá trình HS thể hiện năng lực quan sát để tìm và dự đoán. Mặt khác, HS có thể sử dụng các công cụ của phần mềm Geogebra để kiểm tra ngay dự đoán đó. Đây chính là quá trình trợ giúp HS phát hiện ra định lý. Việc phát hiện ra định lý có thể hoặc HS tự mình khám phá và phát hiện ra định lý hoặc HS phát hiện ra định lý thông qua một số bước kiểm nghiệm theo sự định hướng của GV.

Thể chế hóa: GV cho biết điều vừa phát hiện là một định lý cần học. Yêu cầu HS phát biểu định lý. GV sử dụng phần mềm hỗ trợ HS tìm cách chứng minh. Mặc dù phần mềm không có các chức năng để chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học, nhưng trong quá trình chứng minh định lý có thể sử dụng phần mềm trong một số công đoạn.

Nhận dạng và thể hiện định lý: Trong dạy học định lý, hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” có vai trò đặc biệt quan trọng, chức năng của phần mềm Geogebra hỗ trợ HS phân tích một tình huống nào đó cho khớp với định lý nào đó không hoặc tạo ra những tình huống phù hợp với một định lý cho trước.

Củng cố và vận dụng định lý: GV đưa ra các bài tập củng cố và vận dụng

định lý.

Ví dụ 2: Dạy học định lí: “ Trong không gian tâm

bán kính có phương trình là , mặt cầu ”

a.Mục tiêu: Nhận dạng được phương trình mặt cầu và viết được phương trình

mặt cầu.

b.Nội dung:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

bán kính

GV dùng Geogebra chiếu hình ảnh mặt . Lấy một số điểm cầu tâm nằm trên mặt cầu và yêu cầu HS quan sát và nhận xét chúng có tính chất gì chung.

đều một khoảng không đổi

HS. Nhận xét các điểm cách tâm bằng .

HS. Ta có:

, cho . Bài toán. Trong hệ trục tọa độ tâm mặt cầu , bán kính

bất kì.

Hãy tìm điều kiện để điểm thuộc mặt cầu.

HS phát biểu định lý

GV. Phương trình

, HS. Phương tâm

và có bán kính

trình mặt cầu là:

và có bán kính

Gọi là phương trình mặt cầu tâm bán kinh Đây là nội dung của định lí trong SGK. Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm

GV minh họa mặt cầu có phương trình vừa tìm được.

HS.

Với

HS.

Câu a:

GV yêu cầu HS khai triển phương trình mặt cầu vừa tìm được. GV yêu cầu HS khai triển phương trình

(1)

GV. Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng

Mặt cầu có tâm , bán kính

Câu b:

Với Điều ngược lại có đúng không? Ví dụ 2. GV yêu cầu HS sử dụng phần mềm Geogebra để kiểm tra các phương trình sau có là phương trình mặt cầu? a) b) c) Nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính.

Mặt cầu có tâm , bán kính

Câu c: Không phải là phương trình mặt cầu.

HS.

(1) là phương trình mặt cầu khi

HS. Phương trình (*) có dạng

Với

(*) là phương trình mặt cầu khi

GV. Như vậy phương trình dạng (1) có thể là phương trình của mặt cầu cũng có thể không phải. Vậy với điều kiện nào thì (1) là phương trình mặt cầu? Ví dụ 3. Cho phương trình

Tìm m để (*) là phương trình mặt cầu.

Củng cố: GV yêu cầu HS vẽ sơ đồ tư duy thể hiện các dạng của phương trình

mặt cầu.

Sơ đồ tư duy

PHIẾU HỌC TẬP

Câu 1. , cho mặt cầu .

Trong không gian Tâm của có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. , cho mặt cầu . Bán kính

Trong không gian bằng của

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ và bán kính

của mặt cầu , tìm tọa độ tâm .

B. A.

D. C.

. Bán Câu 4. , cho mặt cầu

Trong không gian kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ , phương trình mặt cầu tâm bán kính

là:

. B. . A.

. D. . C.

Câu 6. Trong không gian vơi hệ tọa độ , cho mặt

. Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu cầu :

. B. . A.

. D. . C.

Câu 7. có tâm và đi qua

Trong không gian điểm . Phương trình của , cho mặt cầu là

. B. . A.

. D. . C.

Câu 8. để phương

Trong không gian hệ tọa độ trình , tìm tất cả các giá trị của là phương trình của một mặt cầu.

A. B. C. D.

Câu 9. Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình

mặt cầu có đường kính là

. B. . A.

. D. . C.

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Gọi là

trên trục . Phương trình nào dưới đây là

hình chiếu vuông góc của phương trình mặt cầu tâm bán kính ?

B. A.

D. . C.

Đáp án:

Câu

1 Đáp án D 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 A 8 A 9 B 10 A

1.3. Dạy học giải bài tập

Khai thác phần mềm Geogebra hỗ trợ dạy học trong giải bài tập được tiến

hành theo các bước sau:

Bước 1. Tìm hiểu bài toán: Sử dụng phần mềm Geogebra vẽ hình để tìm hiểu

bài toán, xác định các yếu tố ban đầu.

Bước 2. Xây dựng chương trình giải bài toán: Cho thay đổi hình vẽ để quan sát các yếu tố cần tìm hiểu để từ đó phát hiện ra những vị trí đặc biệt, những mối quan hệ, tính chất bất biến của các đối tượng trong bài toán.

Bước 3. Thực hiện chương trình giải bài toán: Trong quá trình thực hiện lời giải, phần mềm có thể giúp kiểm tra các giả thuyết, trả lời các câu hỏi phục vụ cho quá trình lập luận và viết lời giải cho bài toán.

Bước 4. Kiểm tra lời giải của bài toán: Sau khi giải xong, chúng ta sử dụng các chức năng của phần mềm để minh họa, kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải toán và cho thay đổi các yếu tố đầu bài của bài toán để nghiên cứu mở rộng bài toán.

Ví dụ 3: Dạy học giải bài tập: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình

phẳng

a.Mục tiêu: Rèn luyện kỹ năng làm bài tập tính diện tích hình phẳng bằng

tích phân.

b. Nội dung

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

HS.

GV. Hãy nhắc lại công thức tính diện tích hình phẳng.

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , các đường thẳng , trục

là:

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục , các đường là: thẳng

Bài tập 1. Tính diện tích hình phẳng , giới hạn bởi đồ thị hàm số , các đường thẳng trục HS. . Diện tích hình phẳng cần tìm là: GV minh họa bằng hình vẽ

Bài tập 2. Tính diện tích hình phẳng và giới hạn bởi các đường

GV minh họa bằng hình vẽ

HS. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Bài tập 3. Tính diện tích hình phẳng , giới hạn bởi các đường

và

HS. Hoành độ của các giao điểm GV minh họa bằng hình vẽ

Diện tích của hình phẳng cần tìm là

HS.

Vì nên .

Bài tập 4. Tìm các giá trị dương của tham số sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm thẳng số

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và các đường thẳng hàm số và các đường bằng , . ,

là:

Theo giả thiết ta có:

GV minh họa bằng hình vẽ trên Geogebra .

Di chuyển thanh trượt thì diện tích hình phẳng thay đổi

Bài tập 5.

HS. Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn

Phương trình của nửa đường tròn là Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng . Trên đó người ta thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình Parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô màu) cách nhau một , phần còn lại của khoảng bằng khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Parabol có đỉnh là gốc nên có dạng

đi qua

. Mà nên ta có

Diện tích phần tô màu là

Phần diện tích trồng cỏ là:

Số tiền cần có là: giới (đồng) Định hướng: Bản chất của bài toán là tính diện tích phần không tô màu (được giới hạn bởi nửa đường tròn và parabol). Ta chuyển bài toán về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , bởi bằng việc chọn hạn và trục

hệ trục tọa độ phù hợp.

Ví dụ 4: Dạy học giải bài tập: Ứng dụng tích phân để tính thể tích của vật thể tròn xoay

a.Mục tiêu: Rèn luyện kỹ năng làm bài tập tính thể tích của vật thể tròn xoay

bằng tích phân.

b. Nội dung

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

HS.

GV. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục

. , trục

+ Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi , các đường thẳng là: quanh trục

trục ,

+ Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi , các , quanh trục

đường thẳng là:

Bài tập 1. Cho hàm số .

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo hình thành khi quay quanh trục , đường giới hạn bởi , trục

thẳng và

Minh họa hình phẳng

HS. quay quanh Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

GV di chuyển thanh trượt để hình tạo thành phẳng mặt tròn xoay và cho HS xem dưới các góc độ khác nhau

Bài tập 2. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số và trục .

GV minh họa bằng phần mềm Geogebra

và

Hình phẳng được tạo thành bởi trục .

HS.

và trục là

Hoành độ giao điểm nghiệm của phương trình :

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

GV di chuyển thanh trượt để hình phẳng quay quanh và cho HS nhìn dưới các góc độ khác nhau.

Bài tập 3. Cho hàm số

. Tính thể tích khối tròn xoay được hình và tạo thành khi quay quanh truc , trục

giới hạn bởi . đường thẳng

Minh họa hình phẳng

Di chuyển thanh trượt để hình phẳng tạo thành mặt tròn quay quanh

xoay HS.

và là

Hoành độ giao điểm của nghiệm của phương trình

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

Bài tập 4. Tính thể tích khối tròn xoay

giới hạn bởi

được tạo thành khi quay quanh trục hình phẳng và .

Minh họa hình phẳng

và Di chuyển thanh trượt để hình phẳng tạo thành mặt tròn quay quanh HS. Tọa độ giao điểm của là nghiệm của hệ phương trình xoay

và

Hoành độ giao điểm của là ,

Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là

Bài tập 5. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng

giới hạn bởi đường tròn :

xung quanh trục .

Minh họa hình phẳng

quay quanh

GV di chuyển thanh trượt để hình phẳng tạo thành mặt tròn xoay và cho HS nhìn dưới các góc độ khác nhau

HS. Ta có:

Suy ra hình phẳng bởi các đường được giới hạn ,

, , .

Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là:

Bài tập 6. Một cái phao bơi được bơm từ một cái xăm xe hơi và có kích thước như hình dưới đây. Tính thể tích của cái phao (không kể đầu van).

GV. Có thể xem cái phao là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng sau quanh

HS. Đường tròn bán kính có tâm có phương trình

Thể tích của cái phao là:

1.4. Khảo sát sự cấp thiết và khả thi của các giải pháp đề xuất

1.4.1. Những vấn đề chung về khảo sát

- Mục đích khảo sát

Thông qua khảo sát nhằm khẳng định sự cấp thiết và tính khả thi của các biện pháp sử dụng phần mềm Geogebra trong thiết kế các tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 đã đề xuất, từ đó hoàn thiện các biện pháp dạy học cho phù hợp.

-Đối tượng khảo sát:

Tác giả đã tiến hành trưng cầu ý kiến của 40 giáo viên Toán ở Nghệ An.

- Nội dung và quy trình khảo sát:

Để tiến hành khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất, chúng tôi đã xây dựng phiếu trưng cầu ý kiến theo hai tiêu chí: Tính cấp thiết và tính khả thi của các biện pháp sử dụng phần mềm Geogebra trong thiết kế các tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12. Thực hiện đánh giá các tiêu chí theo 4 mức độ từ cao đến thấp và được lượng hóa bằng điểm số.

+ Tính cấp thiết: Rất cấp thiết (4 điểm); Cấp thiết (3 điểm); Ít cấp thiết (2

điểm); Không cấp thiết (1 điểm).

+ Tính khả thi: Rất khả thi (4 điểm); Khả thi (3 điểm); Ít khả thi (2 điểm);

Không khả thi (1 điểm).

Sau khi nhận kết quả thu được, chúng tôi tiến hành phân tích, xử lí số liệu trên ) của các biện pháp đã ) và điểm trung bình (

bảng thống kê, tính tổng điểm ( được khảo sát, sau đó xếp theo thứ bậc để nhận xét, đánh giá và rút ra kết luận.

-Thời gian tiến hành khảo sát: tháng 03/2023

1.4.2. Kết quả khảo sát

-Đánh giá về tính cấp thiết:

Bảng 1. Kết quả khảo sát tính cấp thiết của các biện pháp

Mức độ đánh giá

TT TB Cấp thiết Biện pháp Thứ bậc Rất cấp thiết Ít cấp thiết Không cấp thiết

SL Điểm SL Điểm SL Điểm SL Điểm

27 108 10 30 144 3,6 3 6 0 0 1

Sử dụng Geogebra trong dạy học khái niệm

26 104 11 33 143 3,58 2 3 6 0 0

Sử dụng Geogebra trong dạy học định lí

8 0 0 24 96 12 36 4 140 3,5 3

Sử dụng Geogebra trong dạy học giải bài tập

0 0 77 308 33 99 10 20 427 3,56 Trung bình chung

Kết quả khảo sát ở bảng 1 cho thấy, các GV được khảo sát đã đánh giá tính cấp thiết của các biện pháp sử dụng phần mềm Geogebra trong thiết kế các tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 có mức độ cấp thiết cao, với điểm trung bình chung của cả 3 biện pháp là 3,56 điểm. Như vậy theo quy luật số lớn, có thể nói đa số lượt ý kiến đánh giá đều thống nhất cho rằng cả 3 biện pháp đề xuất là có tính cấp thiết.

Mức độ cấp thiết của các biện pháp đề xuất tương đối đồng đều, khoảng cách max và

giữa các giá trị điểm trung bình không quá xa nhau (chênh lệch giữa min là ). Từ bảng số liệu trên, có thể biểu đạt qua biểu đồ 1.

Biểu đồ 1. Mức độ cấp thiết của các biện pháp

3.62

3.6

3.58

3.56

3.54

3.52

3.5

3.48

3.46

3.44

Biện pháp 1

Biện pháp 2

Biện pháp 3

Biểu đồ 1 cho thấy, các biện pháp 1 và 2 có điểm về tính cấp thiết lớn hơn điểm, tức là lớn hơn giá trị trung bình chung của 3 biện pháp. Đây là thứ tự ưu tiên về tính cấp thiết của các biện pháp đã đề xuất. Biện pháp 3 có điểm thấp hơn giá trị điểm trung bình, nhưng vẫn cần thiết.

- Đánh giá về tính khả thi của các biện pháp

Kết quả khảo sát tính khả thi của các biện pháp được thể hiện ở bảng 2.

Bảng 2. Kết quả khảo sát tính khả thi của các biện pháp

Mức độ đánh giá

TT TB Khả thi Biện pháp Thứ bậc Rất khả thi Ít khả thi Không khả thi

SL Điểm SL Điểm SL Điểm SL Điểm

12 48 24 72 127 3,18 1 3 6 1 1

Sử dụng Geogebra trong dạy học khái niệm

3 6 2 2 10 40 25 75 123 3,08 3

Sử dụng Geogebra trong dạy học định

lí

12 48 23 69 4 126 3,15 2 8 1 1

Sử dụng Geogebra trong dạy học giải bài tập

4 4 34 136 72 216 10 20 376 3,14 Trung bình chung

Kết quả khảo sát tính khả thi ở bảng 2 cho thấy các GV tham gia khảo sát đã đánh giá tính khả thi của các biện pháp tương đối đồng đều. Điểm trung bình chung của cả 3 biện pháp là điểm. Khoảng cách giữa các giá trị điểm trung bình không quá xa nhau.

Biện pháp 1: “Sử dụng Geogebra trong dạy học khái niệm” là biện pháp có điểm. Biện pháp 2: “Sử dụng Geogebra trong dạy . Mức độ đánh giá

mức độ khả thi cao nhất học định lí” là biện pháp có giá trị điểm thấp nhất với tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất thể hiện ở biểu đồ 2.

3.2

3.18

3.16

3.15

3.14

3.12

3.1

3.08

3.06

3.04

3.02

Biện pháp 1

Biện pháp 2

Biện pháp 3

Biểu đồ 2. Mức độ khả thi của các biện pháp

Biểu đồ 2 cho thấy, giá trị trung bình chung của 3 biện pháp là

điểm, trong đó có 2/3 biện pháp có điểm cao hơn giá trị trung bình theo thứ tự từ cao đến thấp là biện pháp 1, biện pháp 3. Biện pháp 2 cũng có tính khả thi nhưng thấp hơn giá trị điểm trung bình.

Tóm lại, từ bảng kết quả khảo sát cho thấy, các biện pháp đã đề xuất trong đề tài đều được các GV đánh giá mức độ cấp thiết và khả thi cao. Các biện pháp đưa ra đạt điểm trung bình về tính cấp thiết và về tính khả thi.

-Đánh giá về tương quan giữa tính cần thiết và tính khả thi của các biện

pháp:

Kết quả nghiên cứu trên khẳng định tính cần thiết và tính khả thi của các biện pháp. Mối quan hệ giữa các mức độ cần thiết và mức độ khả thi của các biện pháp thể hiện trong biểu đồ 3 về mối tương quan giữa tính cấp thiết và tính khả thi của các biện pháp.

Tính cấp thiết

Tính khả thi

3.7

3.6

3.58

3.5

3.4

3.3

3.2

3.18

3.15

3.08

3.1

2.9

2.8

Biện pháp 1

Biện pháp 2

Biện pháp 3

Biểu đồ 3. Mối tương quan giữa tính cấp thiết và tính khả thi của các biện pháp

Biểu đồ 3 cho thấy, các biện pháp có tính cần thiết và tính khả thi cao. Trong đó, tất cả các biện pháp đều tính cần thiết cao hơn tính khả thi. Biện pháp có tính cấp thiết và tính khả thi thấp nhất vẫn có điểm trung bình lớn hơn 3 điểm, tức là vẫn nằm trong khoảng cao của thang chấm 4 điểm tối đa. Điều này chứng tỏ các biện pháp đề xuất được đa số GV đồng tình ủng hộ.

Tuy nhiên, sự chênh lệch giữa tính cần thiết và tính khả thi có thể dẫn đến tương quan thuận hoặc tương quan nghịch về mối quan hệ của các biện pháp.Việc tìm ra sự tương quan giữa tính cấp thiết và tính khả thi của các biện pháp là một yêu cầu cả về góc độ khoa học và cả trong việc áp dụng kết quả nghiên cứu và thực tiễn.

Bảng 3. Thứ hạng sự cần thiết và tính khả thi của các biện pháp

Tính cấp thiết Tính khả thi

Biện pháp Thứ bậc Thứ bậc

Tổng điểm Tổng điểm

Điểm trung bình Điểm trung bình

144 3,6 127 3,18 1 1 0

Biện pháp 1

2 3 1 143 3,58 123 3,08

Biện pháp 2

140 3,5 126 3,15 3 2 1

Biện pháp 3

427 3,56 376 3,14

Trung bình

Để tìm hiểu tương quan giữa tính cần thiết và tính khả thi của các biện pháp,

tôi đã sử dụng công thức Spearman để tính hệ số tương quan thứ bậc:

Trong công thức trên: n là số biện pháp đề xuất; D là hệ số chênh lệch giữa

thứ bậc của tính cần thiết và tính khả thi; R là hệ số tương quan.

Nếu

và có giá trị càng lớn (nhưng không bao giờ bằng 1) thì tính cần thiết và tính khả thi có tương quan thuận, nghĩa là biện pháp vừa cần thiết vừa khả thi. Nếu thì tính cần thiết và tính khả thi có tương quan nghịch, nghĩa là các biện pháp có thể cần thiết nhưng không khả thi hoặc ngược lại.

Thay số vào công thức trên, ta có:

Với hệ số tương quan cho thấy giữa tính cần thiết và tính khả thi của

các biện pháp có tính tương quan thuận.

1.4.3. Kết luận

điểm. Các biện pháp có mức độ khả thi với điểm trung bình

Kết quả khảo sát cho thấy các biện pháp đề xuất đều được đánh giá cao về tính cần thiết và khả thi. Mức độ cần thiết của các biện pháp tương đối đồng đều, khoảng cách giữa các giá trị điểm trung bình không quá xa nhau và điểm trung bình điểm, khoảng cách giữa các giá trị điểm trung bình không quá xa nhau.

CHƯƠNG 3. Hiệu quả của đề tài

Qua quá trình áp dụng chuyên đề, chúng tôi nhận thấy sự cải thiện rõ nét về mặt tâm lí cũng như chất lượng học tập của học sinh thông qua các bài thi, kiểm tra định kì được nâng lên đáng kể. Thái độ học tập và khả năng vốn có của các em được phát huy một cách tích cực và hiệu quả. Các em tự tin vào khả năng học tập của mình và kĩ năng tư duy và giải quyết vấn đề được thực hiện một cách nhanh chóng và đạt độ chính xác cao. Sau đây là một số thống kê.

Khảo sát mức độ yêu thích của học sinh khi học Toán bằng các mô hình

công cụ Geogebra

Lớp Kết quả Sĩ Hình

số Thích Tỉ lệ Tỉ lệ thức áp dụng Bình thường Tỉ lệ Không thích

12D7 40 Không áp 17 42,5% 14 35% 22,5% 9

dụng

26 65% 10 25% 10% 4 12D6 40 Ít áp dụng

39 100% 0 0% 0% 0

12T4 39 Áp dụng thường xuyên

12D6

12D7

12T4

120%

100%

80%

65%

60%

42.50%

40%

35%

25%

22.50%

20%

10%

Biểu đồ biểu diễn mức độ yêu thích của học sinh khi học Toán bằng các mô hình công cụ Geogebra

Yêu thích

Không thích

Bình thường

Khảo sát kết quả học tập môn Toán của học sinh cuối học kì I (2022-2023)

Kết quả

Lớp Sĩ số

Giỏi Tỉ lệ Khá Tỉ lệ Trung bình Tỉ lệ Yếu Tỉ lệ Hình thức áp dụng

0 0% 26 65% 14 35% 0 0% 12D7 40 Không

áp dụng

12D6 40 2 5% 28 70% 10 25% 0 0%

Ít áp dụng

12T4 39 8 20,5% 24 61,5% 7 18% 0 0%

Áp dụng thường xuyên

Biểu đồ biểu diễn kết quả học tập môn Toán của học sinh cuối học kì I

12D6

12D7

12T4

80%

70%

65%

61.50%

60%

50%

40%

35%

30%

25%

20.50%

20%

18%

10%

(2022-2023)

Khá

Trung bình

Giỏi

Yếu

Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

 Kết luận

Dựa vào các kết quả đã nghiên cứu có thể khẳng định được mục đích nghiên cứu đã đạt được, các nhiệm vụ đề ra trong quá trình nghiên cứu đã hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được. Nghiên cứu đã khẳng định các phương án dạy học được đề xuất là hiệu quả, khả thi, nâng cao kết quả học tập môn toán, phát triển tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cho HS THPT.

 Kiến nghị

Nội dung của đề tài đã được tôi cùng đồng nghiệp thực nghiệm tại đơn vị và hiệu quả đã được tập thể đánh giá tốt, những HS được học theo phương pháp này có kết quả học tập tốt hơn, phát triển nhiều kỹ năng và kiến thức. Vì vậy tôi đề xuất công bố đề tài này để nhiều đồng nghiệp có thể nghiên cứu và áp dụng vào thực tiễn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn “SGK Giải Tích 12”, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.

[2] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy “SGK Hình Học 12”, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.

[3] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018) “ Chương trình GDPT môn Toán”.

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phần mềm Geogebra trong thiết kế các tình huống dạy học Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 Trường THPT Đô Lương 3

Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An