Ụ
Ạ
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ
ƯỜ
Ễ
NG THPT NGUY N XUÂN NGUYÊN
Ở TR
Ế
Ệ
SÁNG KI N KINH NGHI M
Ọ
Ụ
Ẫ
H
Ề
Ọ Ộ Ẳ
Ố
ƯỚ NG D N H C SINH CHINH PH C BÀI TOÁN V Ề T A Đ PH NG TRONG Đ THI THPT QU C GIA
ệ
ạ
i th c hi n : Vũ M nh Hùng
ườ ự ứ ụ
Ng Ch c v : Giáo viên SKKN môn: Toán
1
THANH HOÁ NĂM 2016
Ụ Ụ M C L C
Trang Ộ N I DUNG
ầ
ề
ứ ạ ở ầ Ph n 1. M đ u. ọ I. Lý do ch n đ tài. ụ II. Ph m vi ng d ng. 1 1 2
ầ ệ ế
ậ
ệ ơ ả ơ ả i toán. ọ ộ ng pháp t a đ . ẳ ọ ả ề ươ ề
ề ặ ng g p.
ề ệ ướ c.
ế ế ỏ ườ ng trình đ ườ ng trình đ ẳ ng th ng. ng tròn.
ộ Ph n 2. N i dung sáng ki n kinh nghi m. ơ ở A. C s lý lu n. ơ ở ự ễ B. C s th c ti n. ệ ố 1. H th ng và rèn luy n kĩ năng gi ộ ố 1.1. M t s bài toán c b n v ph ộ ố 1.2. M t s bài toán c b n v hình h c ph ng. ộ ố 1.3. M t s bài toán trong đ thi ĐH CĐ. ộ ố ạ 2. M t s d ng toán th ạ 2.1. D ng 1. Tìm t a đ đi m th a mãn đi u ki n cho tr ạ 2.2. D ng 2. Vi ạ 2.3. D ng 3. Vi ậ ự 3. Bài t p t ườ ọ ộ ể ươ t ph ươ t ph ệ rèn luy n kĩ năng. 2 2 2 3 3 4 7 7 7 16 17 18
ầ ả ạ ượ ệ ọ c và bài h c kinh nghi m.
ệ ọ ế Ph n 3. K t qu đ t đ ả ế 1. K t qu . 2. Bài h c kinh nghi m. 19 19 20
Ở Ầ ầ Ph n 1: M Đ U
2
ọ ề I. Lý do ch n đ tài.
ư ế ữ ệ ọ ỹ Nh chúng ta đã bi t môn toán giúp cho h c sinh rèn luy n nh ng k năng
ẽ ồ ị ỹ ư ẽ ụ ọ ử ụ s d ng công c toán h c nh v hình không gian, v đ th , k năng tính
ạ ộ ọ ậ ổ ợ ọ toán, phân tích, t ng h p. Qua ho t đ ng h c t p môn toán, h c sinh còn rèn
ệ ẩ ậ ả ẩ ỹ ư ẩ luy n tính c n th n, kh năng phân tích đúng sai, óc th m m cũng nh ph m
ấ ố ẹ ườ ệ ề ậ ạ ọ ch t t ủ t đ p c a con ng ụ i. Vì v y vi c d y h c môn toán luôn đ ra m c
ể ư ụ ọ ạ đích và m c tiêu quan tr ng là hình thành và phát tri n t duy logic, t o cho
ự ễ ậ ụ ứ ứ ế ế ố ọ h c sinh v n ki n th c và cách v n d ng ki n th c vào th c ti n.
ử ố ố ọ Trong kì thi THPT Qu c Gia 2015 và các kì thi th THPT Qu c Gia năm h c
ề ọ ẳ ặ ẳ ộ ọ ộ ộ 20152016, bài toán v t a đ ph ng (t a đ trong m t ph ng Oxy) là m t
ỏ ố ớ ấ ả ọ ể ả ọ ứ ỏ thách th c không nh đ i v i t t c h c sinh, k c h c sinh khá gi i. Trong
ọ ộ ẳ ộ ượ ạ ọ ể ề đ thi bài toán t a đ ph ng là m t câu khó, đ c dùng đ phân lo i h c sinh.
ể ả ế ượ ỏ ọ ế ả Do đó đ gi i quy t đ c bài toán này đòi h i h c sinh ph i có ki n th c v ứ ề
ả ọ ư ọ ố ả ồ ờ ữ hình h c v ng, ph i có t duy hình h c t t và đ ng th i ph i bi ế ử ụ t s d ng
ươ ọ ộ ặ ẳ ạ ph ng t a đ trong m t ph ng khéo léo, linh ho t, chính xác....
ả ạ ặ ệ ạ Trong quá trình gi ng d y môn toán THPT nói chung, đ c bi t là d y ôn thi
ố ọ ậ ấ ố ườ THPT Qu c Gia môn toán nói riêng, tôi nh n th y đa s h c sinh th ng né
ộ ố ọ ỏ ề ậ tránh bài toán này, còn m t s ít h c sinh khá gi i thì bàn lu n v bài toán này
ụ ư ứ ế ầ ố ượ ấ theo cách đ y ti c nu i, ví d : ch a ch ng minh đ ấ c tính ch t này, tính ch t
ặ ỉ ượ ư ư ầ ẫ ộ ớ kia, ho c m i ch làm đ ắ c m t ph n.... Nh ng nói chung là v n ch a ch c
ượ ả ủ ư ế ớ ắ ch n đ c k t qu c a bài toán đã hoàn toàn chính xác ch a. V i kinh
ứ ủ ệ ả ạ ả ượ ề nghi m gi ng d y c a b n thân, tôi ý th c đ ộ ấ c đây là m t v n đ khó và
ủ ườ ả ị ướ ọ ộ ệ trách nhi m c a ng ầ i giáo viên c n ph i đ nh h ng cho h c sinh m t cách
ề ả ậ ậ ạ ạ ơ ơ ọ ề ấ nhìn nh n rõ ràng và đ n gi n h n v v n đ này. Vì v y tôi m nh d n ch n
ề ọ ộ ướ ọ ẫ ẳ ề đ tài: ụ “H ng d n h c sinh chinh ph c bài toán v t a đ ph ng trong
ố ề đ thi THPT Qu c Gia” .
3
ứ ụ ạ II. Ph m vi ng d ng.
ề ề ọ ộ ẳ ướ ọ ẫ Đ tài: ụ “H ng d n h c sinh chinh ph c bài toán v t a đ ph ng trong
ố ượ ạ ạ ớ ụ ả đ c áp d ng vào gi ng d y t i l p 12A2; 12A4 và ề đ thi THPT Qu c Gia”
ườ ễ ọ 10B5 tr ng THPT Nguy n Xuân Nguyên năm h c 2015 2016.
Ộ Ế Ệ ầ Ph n 2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M
ơ ở ậ A. C s lý lu n.
ươ ọ ộ ặ ẳ ộ Trong ch ng trình môn toán THPT, n i dung t a đ trong m t ph ng Oxy
ộ ể ủ ế ạ ọ ỏ ị ề ậ t p trung ch y u vào các d ng toán: Xác đ nh t a đ đi m th a mãn đi u
ệ ướ ứ ườ ế ươ ki n cho tr c trong tam giác, t giác, đ ng tròn. Vi t ph ng trình đ ườ ng
ứ ạ ủ ẳ ứ ủ ế ặ ườ th ng ch a c nh c a tam giác, t ế giác, ho c ti p tuy n c a đ ng tròn ....
ế ươ ườ ế ạ ậ ộ Vi t ph ng trình đ ệ ế ng tròn n i ti p, ngo i ti p đa giác..... Vì v y vi c
ứ ủ ế ấ ươ ả ạ ố ộ cung c p và c ng c n i dung ki n th c, ph ng pháp gi i toán, phân lo i bài
ế ứ ầ ọ ế toán là h t s c quan tr ng và c n thi t.
ơ ở ự ễ B. C s th c ti n.
ố ớ ọ ộ ạ ậ ướ ầ Đ i v i h c sinh: Đây là m t d ng toán khó, vì v y b c đ u ta không
ổ ế ể ấ ả ọ ượ ự ệ ả th ph bi n chung cho t t c h c sinh đ c, mà ph i th c hi n theo cách
ỗ ớ ọ ỉ ỏ ậ ậ ạ ộ ố m i l p ch cho m t s ít h c sinh khá gi i t p trung làm bài t p d ng này. Và
ự ễ ọ ỏ ủ ỗ ớ ứ ượ ầ ấ th c ti n cho th y, h c sinh khá gi i c a m i l p đáp ng đ c yêu c u có
ế ể ấ th nói là r t khan hi m.
ố ớ ề ấ ề ậ ặ ấ Đ i v i giáo viên: Bài t p v v n đ này trong sách giáo khoa ho c là r t
ự ế ễ ặ ớ ề ệ ặ ọ ít, ho c là quá d so v i th c t khi h c sinh g p trong đ thi. Tài li u tham
ề ậ ầ ở ứ ộ ư ế ề ấ ả ậ ỉ kh o cũng đ c p đ n v n đ này, nh ng ch yêu c u m c đ nh n bi ế t,
4
ở ứ ộ ậ ư ụ ề còn các bài toán ấ ư m c đ v n d ng cao thì ch a nhi u và ch a có tính ch t
ệ ố h th ng.
ệ ố ệ ả 1. H th ng và rèn luy n kĩ năng gi i toán.
ơ ả ề ươ ộ ố 1.1. M t s bài toán c b n v ph ọ ộ ng pháp t a đ .
-
D
x
y
A
2
+ = 3
0
1; 2
(
) :
(
) 1;1 ,
( B -
)
ệ ọ ặ ẳ ớ ườ ộ Oxy , cho đ ẳ ng th ng Bài 1. Trong m t ph ng v i h t a đ
(
và hai đi m ể .
)1d đi qua A và song song v i ớ (
)D
(
ế ươ ườ 1) Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng
)2d đi qua B và vuông góc v i ớ (
)D
ế ươ ườ 2) Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng
AB
M
ế ươ ườ 3) Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng
� � 3 ;0 � � 2
ớ ệ ọ ặ ộ Oxy , cho tam giác ABC có là ẳ Bài 2. Trong m t ph ng v i h t a đ
AC . Ph
,AH BK l n l
-
x
x
y
2
2
0
4
13
0
ạ ươ ườ ầ ượ ể trung đi m đo n ng trình các đ ng cao t là
y- + = và 3
+ = . Xác đ nh t a đ các đ nh c a tam giác
ABC .
ọ ộ ủ ị ỉ
x
4
( M -
) - 1; 1
ớ ệ ọ ặ ẳ ữ ộ Oxy , cho hình ch nh t ậ ABCD , đ ngườ Bài 3. Trong m t ph ng v i h t a đ
BC có ph
y+ - = , đi m ể 0
ươ ể th ng ẳ ng trình ủ là trung đi m c a
( E -
)1;1
ủ ữ ọ ộ ị ỉ đo n ạ AD . Xác đ nh t a đ các đ nh c a hình ch nh t ậ ABCD , bi ế ườ ng t đ
AB đi qua đi m ể
)2;0M (
th ng ẳ .
ớ ệ ọ ộ Oxy , cho tam giác ABC . Đi m ể là trung Bài 4. Trong mp v i h t a đ
-
x
y
x
y-
2
3
4
ườ ế ể ườ ầ ượ đi m c a ủ AB . Đ ng trung tuy n và đ ng cao k t ẻ ừ A l n l t có ph ươ ng
- = và 6 0
- = . Vi 0
AC .
ế ươ ườ trình 7 t ph ng trình đ ẳ ng th ng
? B C= =
090
x
x
y-
2
3
0
ươ . Ph ng trình các đ ườ ng Bài 5. Cho hình thang vuông ABCD có ?
AC và DC l n l
y+ = và 0
- = . Xác đ nh t a đ các ị
-
M
;
ầ ượ ọ ộ th ng ẳ t là
ABCD , bi
AD là
� - �
� . �
3 2
3 2
ủ ế ạ ỉ đ nh c a hình thang ể t trung đi m c nh
5
D
x
y+ + =
5; 4
4
0
( A -
)
(
) : 3
(
ườ ọ và đ ẳ ng th ng ộ ể . Tìm t a đ đi m Bài 6. Cho đi m ể
'A đ i x ng v i đi m
)D .
-
D
A
B
x
y+ - =
3
3
0
(
) 2;0 ,
(
) 1;1
(
) :
ố ứ ớ ườ ể A qua đ ẳ ng th ng
(
ườ và đ ẳ ng th ng . Bài 7. Cho đi m ể
)D m t góc ộ
045 .
(
ế ươ ườ ạ 1) Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng ớ ( )1d đi qua A và t o v i
)2d đi qua A và cách B m t kho ng
2 2 .
-
D
A
B
x
y+ + =
- 5; 4
4
0
(
) 4;8 ;
(
)
(
) : 3
ế ươ ườ ả ộ 2) Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng
(
ườ t ế và đ ng . Bài 8. Cho tam giác ABC bi
)D sao cho MA MB=
ọ ộ ể ườ Tìm t a đ đi m M trên đ ẳ ng th ng .
ơ ả ề ộ ố ọ ẳ 1.2. M t s bài toán c b n v hình h c ph ng.
=
AN
AC
ể ể ủ BC , N là đi m trên Bài 1. Cho hình vuông ABCD . G i ọ M là trung đi m c a
AC sao cho
DMN vuông t
1 4
ứ ằ c nh ạ . Ch ng minh r ng tam giác i ạ N .
ợ ứ G i ý ch ng minh
ẽ ể ấ ờ ả ể L y đi m ph ụ F là trung đi m c a ủ DI s giúp tìm ra l i gi i bài toán.
CN
ND= 2
ể ể ủ BC , N là đi m trên Bài 2. Cho hình vuông ABCD . G i ọ M là trung đi m c a
CD sao cho
045
MAN =
ứ . Ch ng minh . hoctoancapba.com
:
ợ ứ G i ý ch ng minh
AHMD
ứ ừ ẽ ượ , t đó s suy ra đ c đpcm. Cách 1: Ch ng minh ADND
ủ ạ ộ ạ AMN theo a (c nh hình vuông). Cách 2: Tính đ dài ba c nh c a tam giác
AMN s đ
ụ ị ẽ ượ Áp d ng đ nh lý Côsin vào tam giác c đpcm.
6
ữ ế ậ ABCD . G i ọ H là hình chi u vuông góc c a ủ B trên Bài 3. Cho hình ch nh t
AC . Các đi m ể
,M K l n l
BM KM^
ườ ầ ượ ể đ ng chéo t là trung đi m c a ủ AH và DC .
ứ ằ Ch ng minh r ng .
ợ ứ G i ý ch ng minh
ẽ ể ấ ờ ả ể L y đi m ph ụ E là trung đi m c a ủ BH s giúp tìm ra l i gi i bài toán.
AB sao cho
AB
AD= 3
ể ạ i ạ A . G i ọ D là đi m trên c nh Bài 4. Cho tam giác ABC cân t
AM BM^
ể ế và H là hình chi u vuông góc c a ủ ủ B trên CD , M là trung đi m c a
HC . Ch ng minh r ng
ứ ằ .
ợ ứ G i ý ch ng minh
,N I là giao đi m c a đ
B vuông góc v i ớ BC v i các
ủ ể ườ ẳ ớ G i ọ ng th ng qua
,CD CA
ườ đ ẳ ng th ng
NAME là hình bình hành và E là tr c tâm tam giác
NBM
ứ ứ ự Ch ng minh t giác
ượ ẽ s suy ra đ c đpcm.
ữ ố ứ ể ậ ABCD . G i ọ M là đi m đ i x ng c a ủ B qua C , N là Bài 5. Cho hình ch nh t
ế ườ ứ hình chi u vuông góc c a ủ B trên đ ẳ ng th ng ằ MD . Ch ng minh r ng
AN CN
^ .
ợ ứ G i ý ch ng minh
BCND và t
ABCN n i ti p s giúp ta tìm ra l
ứ ứ ộ ế ẽ ờ ả T giác giác i gi i bài toán.
7
ầ ượ ể i ạ A , D là trung đi m đo n ạ AB . ,I E l n l t là Bài 6. Cho tam giác ABC cân t
ABC , tr ng tâm tam giác
ADC và G là
ườ ọ tâm đ ạ ế ng tròn ngo i ti p tam giác
DG IE
^ ứ ằ ể giao đi m c a ủ AI và CD . Ch ng minh r ng .
ợ ứ G i ý ch ng minh
G là tr c tâm tam giác
DEI
ứ ự Ch ng minh
,M N l n l
AI AD=
ầ ượ ủ ể ạ t là trung đi m c a các c nh Bài 7. Cho hình vuông ABCD . G i ọ
,AB BC . G i ọ I là giao đi m c a
ứ ể ằ ủ CM và DN . Ch ng minh r ng .
ợ ứ G i ý ch ng minh
=
=
ấ ể ẽ ờ ả ể L y đi m ph i gi i bài toán.
A D=
2
DC
AB
ủ DC s giúp tìm ra l )090 ụ P là trung đi m c a ( và , H là hình chi uế Bài 8. Cho hình thang vuông ABCD
HC . Ch ngứ
ườ ủ ẳ ạ c a ủ D trên đ ng chéo ể AC , M là trung đi m c a đo n th ng
BM MD
^ minh r ng ằ .
ợ ứ G i ý ch ng minh
=
ể ấ ờ ả ẽ ể L y đi m ph ụ E là trung đi m c a i gi i bài toán.
A B=
(
BC
AD= 2
ủ DH s giúp tìm ra l )090 và , H là hình chi uế Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD
BC .
ủ ạ ủ ạ ẳ vuông góc c a đi m ể B trên c nh ể CD , M là trung đi m c a đo n th ng
AH MH
^ ứ ằ Ch ng minh r ng .
ợ ứ G i ý ch ng minh
BDHM và t
AHMD n i ti p s giúp ta tìm ra l
ứ ứ ộ ế ẽ ờ ả T giác giác i gi i bài toán.
8
(
)
,O R , phân giác trong c a góc
ộ ế ườ ủ ng tròn Bài 10: Cho tam giác ABC n i ti p đ
A c t ắ BC t
ớ ườ ế i ạ D , ti p tuy n t I ế ạ A v i đ ng tròn c t ắ BC t ứ i ạ E . Ch ng minh
tam giác ADE cân t i ạ E .
=
AN
NC
3
ủ ể ạ AB và N Bài 11: Cho hình vuông ABCD có đi m ể M là trung đi m c a đo n
ể ộ ộ là đi m thu c đo n ạ AC sao cho . Tính đ dài đo n ế ằ t r ng ạ IN bi
10
MN =
.
(
)
,O R , H là tr c tâm tam
ộ ế ườ ự ng tròn Bài 12: Cho tam giác nh n ọ ABC n i ti p đ
K là trung đi mể
ắ ườ giác, AH c t ắ BC t i ạ K và c t đ ng tròn t ứ ạ D . Ch ng minh i
c a ủ HD .
(
) ,O R ,
,M N là chân các
ộ ế ườ ng tròn Bài 13: Cho tam giác nh n ọ ABC n i ti p đ
B và C . G i ọ ,I J l n l
,BM CN v iớ
^ AO IJ
ườ ẻ ừ ỉ ầ ượ ủ ể đ ng cao k t đ nh t là giao đi m c a
ườ đ ứ ng tròn. Ch ng minh .
BD
, M B M D
(
)
ể ộ ườ ẳ ng th ng Bài 14: Cho hình vuông ABCD . M là m t đi m tùy ý trên đ
,H K l n l
^ CM HK
ầ ượ ế , t là hình chi u vuông góc c a ủ M trên các đ ngườ
,AB AD . Ch ng minh r ng
ứ ằ th ng ẳ .
(
)
,O R , K là tâm đ
(
ộ ế ườ ườ ng tròn ng tròn Bài 15: Cho tam giác ABC n i ti p đ
) ,O R t
=
=
DB DC DK
ế ườ ứ ộ n i ti p tam giác, ắ AK c t đ ng tròn ằ i ạ D . Ch ng minh r ng
A - ( 2;5)
ộ ố ề 1.3. M t s bài toán trong đ thi ĐH CĐ.
ớ ệ ọ ẳ ộ Oxy , cho đi m ể và đ ngườ ặ Bài 1. (CĐ). Trong m t ph ng v i h t a đ
x
+ = y
d ( ) : 3
1 0
4
A và vuông
- ế ươ ườ ẳ th ng ẳ . Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua
AM = . 5
góc v i ớ ( )d . Tìm t a đ đi m ọ ộ ể M thu c ộ ( )d sao cho
D -
(1; 1)
ớ ệ ọ ặ ẳ ộ Oxy , cho tam giác ABC có Bài 2. (ĐHK.D). Trong m t ph ng v i h t a đ
A là đi m ể
AB có
- =
x
3
y+ 2
9 0
ườ ủ ườ ẳ chân đ ng phân giác trong c a góc . Đ ng th ng
- =
x
y+ 2
7 0
ươ ủ ế ườ ạ ế ph ng trình , ti p tuy n t ế ạ A c a đ i ng tròn ngo i ti p tam
BC .
ươ ế ươ ườ giác ABC có ph ng trình . Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng
9
M -
H -
( 3;0)
(0; 1)
ớ ệ ọ ặ ẳ ộ Oxy , cho hình bình hành Bài 3. (ĐHK.B). Trong m t ph ng v i h t a đ
ABCD . Đi m ể
AB , đi m ể
G
ủ ạ ể là trung đi m c a c nh l hình chi uế
BCD . Tìm
4 3
� � ;3 � � � �
ọ vuông góc c a ủ B trên AD và đi m ể là tr ng tâm tam giác
ọ ộ t a đ các đi m ể B và D .
ớ ệ ọ ặ ẳ ộ Oxy , cho hình vuông ABCD Bài 4. (ĐHK.A). Trong m t ph ng v i h t a đ
=
M
N -
(1; 2)
(2; 1)
AN
NC
3
ủ ể ể ộ có đi m ể M là trung đi m c a đo n ạ AB và N là đi m thu c đo n ạ AC sao cho
CD , bi
ế ươ ườ ế ằ . Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng t r ng và .
ộ ố ạ ườ ặ 2. M t s d ng toán thi th ng g p.
+ + =
M
ax
by
c
0
( � D
) :
ọ ộ ể ỏ ề ệ ạ ướ 2.1. D ng 1: Tìm t a đ đi m th a mãn đi u ki n cho tr c.
ề ệ ỏ Tìm đi m ể th a đi u ki n cho ổ Bài toán t ng quát:
tr c.ướ
ươ *Ph ng pháp 1
-
M
0
;
0
ặ ọ ộ ể M . B1. Đ t t a đ cho đi m
� M m ; �
� b , �
� - �
� m a , �
- am c b
- bm c a
ho c ặ
ọ ủ ể M . ấ B2. Khai thác tính ch t hình h c c a đi m
ố ứ ả + Tính đ i x ng; Kho ng cách; Góc.
ệ + Quan h song song, vuông góc.
ấ ủ ể ườ ệ + Tính ch t c a đi m và đ ặ ng đ c bi t trong tam giác.
ể ẳ ơ ươ + Ba đi m th ng hàng, hai vect cùng ph ng.
ươ *Ph ng pháp 2
ủ ể ườ ườ ườ ng (đ ẳ ng th ng, đ ng tròn). B1. Xem đi m ể M là giao đi m c a hai đ
M .
ươ ườ ả ệ ng trình các đ ng. Gi i h tìm ậ B2. L p ph
10
)
( A 1;3
+ = x 2y 2 0
- - D ườ ươ và đ ẳ ng th ng có ph ng trình . Ví d 1. ụ Cho đi m ể
D ự ằ ỉ ộ ỉ D ng hình vuông ABCD sao cho hai đ nh B, C n m trên ọ và các t a đ đ nh
ề ươ ọ ộ ỉ C đ u d ng. Tìm t a đ các đ nh B, C, D.
+ +
Bài gi iả
- + +
=
ẳ ườ
)
� �
= - �
( A 1;3
2 3 m 0 m
1
= có pt: 2x y m 0 )d : 2x y 1 0 + - =
- D
2
�
�
) ( B 0;1
- (cid:0) (cid:0) Đ ng th ng (d) đi qua A và vuông góc v i ớ D . Suy ra: ( {
{
= - x 2y + = 2x y 1
= x 0 = y 1
=
=
+ =
5
ủ ệ ươ ọ ộ ệ T a đ B là nghi m c a h ph ng trình:
x , y 0
0
0
0
0> ,
1 4 ) C x ; y
Suy ra: BC AB ( ớ v i ta có:
+ 0
0
�
�
+
2y ( y
5
D� C = BC
5
0 2 0
0
= 0 + 2 0
0
x � � x �
x � � x �
=
2
0
0
(
= 2 0 ) 2 = 5 1 ượ {
- - (cid:0) Đ t ặ { - -
) C 2; 2
2y 2 ( ) 2 = y 1 = ho c ặ {
x y
2 2
= - = 0
x y
0
0
ả ệ ạ c: Gi i h này ta đ (lo i). Suy ra:
1 0
D
)
uuur uuur CD BA
( D 1; 4
-
{
(cid:0) Do ABCD là hình vuông nên:
{ - = - x 2 = ���- = - y 2 3 1
1 4
D
= x D = y D
ặ ẳ ạ Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A. Bi ế t
(
)
) A 1; 4 , B 1; 4
BC đi qua đi m ể
1 � � I 2; � � 2 � �
- - ụ Ví d 2. ( ườ và đ ẳ ng th ng ọ ộ ỉ . Tìm t a đ đ nh C.
=
9x 2y 17 0
=
)
=
uuur AB uuur AC
+ c 1;
9c 17 2
-� C c; � �
� , ta có � �
( 2; 8 � � �
� � �
=
�
�
uuur uuur AB.AC 0
+ - c 1 4.
0
= c 3
9c 25 2 9c 25 = 2
(
)
Bài gi - - (cid:0) ươ ườ ẳ iả Ph ng trình đ ng th ng BC: (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ể ặ (cid:0) Do C BC nên ta có th đ t (cid:0) (cid:0) - (cid:0) ạ Theo gt tam giác ABC vuông t i A nên:
C 3;5 .
(cid:0) V y ậ
(
)
I
ữ ệ ẳ ặ ậ ằ Ví d 3. ụ Trong m t ph ng Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng
ữ ủ ậ ủ ạ 12, và tâm c a hình ch nh t là ể M 3;0 là trung đi m c a c nh AD.
9 3 � � ; � � 2 2 � � ọ ộ iả
ữ ậ ủ ỉ
Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t. Bài gi
11
=
+
=
= AB 2MI
2
3 2
9 4
9 4
=
=
=
=
=
=
�
AB.AD 12
AD
2 2 MA MD
2
ườ ủ (cid:0) Do MI là đ ng trung bình c a ABD nên
12 AB
=
(
)
uuur IM
(cid:0) Vì ABCD S nên
M 3;0 và nh n ậ
3 3 � � ; � � 2 2 � �
ườ (cid:0) Đ ng th ng AD qua ẳ làm VTPT có ph ngươ
(
(
)
�
) + x 3
= y 0
+ - = x y 3 0
0
3 2
3 2
= 2
- - trình là:
) 2 +
x 3
y
2
R
2=
- (cid:0) ươ ườ Ph ng trình đ ng tròn tâm M bán kính là: (
4
2
�
�
�
(cid:0) ủ ệ ươ ọ ộ ệ T a đ A và D là nghi m c a h ph ng trình:
{
{
= = -
(
)
= x 2 = y 1
x y
1
2
= 3 x
2
+ - = x y 3 0 � ( ) � 2 = + 2 y x 3 �
(
(
= - y 3 x � ( ) � 2 + x 3 � ) ) A 2;1 , D 4; 1-
- - -
Suy ra: ta ch n ọ
C
I
)
( C 7; 2
= =
x y
2x 2y
x y
9 2 7 3 1 2
C
I
= - = A = - = A
- (cid:0) ủ (cid:0) Vì I là trung đi m c a AC nên: ể -
B
I
)
( B 5; 4
- (cid:0)
{ {
= =
x y
2x 2y
x y
5 4
B
I
= D = D
ủ ể Vì I là trung đi m c a BD nên: -
(
(
)
) A 2; 4 , B 0; 2
- + = 3x y 1 0
- - ặ ẳ ớ Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC v i và Ví d 4. ụ
ộ ườ ọ ộ ủ ọ tr ng tâm G thu c đ ẳ ng th ng . Hãy tìm t a đ c a C bi ế ằ t r ng
ệ ằ tam giác ABC có di n tích b ng 3.
=
=
Bài gi iả
S
S
= .3 1
GAB
ABC
1 3
1 3
D D ọ (cid:0) Do G là tr ng tâm c a tam giác ABC nên: ủ
=
�
+ + = x y 2 0
x 2 2
+ y 4 2
- + =
(
)
- + =
( �
G d : 3x y 1 0
- (cid:0) ươ ườ ẳ Ph ng trình đ ng th ng AB là: -
) G a; b , do
=
+ + =
=
)
(
�
�
(cid:0) Đ t ặ nên 3a b 1 0 , ta có:
S
1
.AB.d G, AB 1
a b 2
� 1
GAB
1 2
D
(
)
G
;
G 1; 2
1 2
1 2
� � �
� ho c ặ � �
- - - - ọ ộ T a đ G là:
12
G
;
1 2
1 2
7 9 ; 2 2
� thì � �
� -� � C �
� � �
- - (cid:0) V i ớ
)
)
� � � (
( -�
G 1; 2
C 5;0
(
)d : x y 1 0 - + =
- - (cid:0) V i ớ thì .
2
2
+
+
=
ặ ườ ẳ Trong m t ph ng Oxy, cho đ ẳ ng th ng và đ ngườ
y
2x 4y 0
) C : x
- ọ ộ ể ộ . Tìm t a đ đi m M thu c (d) mà qua đó có th k ể ẻ Ví d 5. ụ tròn (
0
ượ ế ể ế ế ớ đ c hai ti p tuy n MA và MB v i (C) (A,B là hai ti p đi m) sao cho
AMB 60=
.
(
)
I
1; 2
5=
0
0
=
=
=
Bài gi - (cid:0) iả (C) có tâm và bán kính R
�
AMB 60
AMI
AMB 30
1 2
=
(cid:0) ả Theo gi thi ế t:
�
s in30
= IM 2AI
= 2R 2 5
0 AI = IM
2
(
2 =
= 2
(
( + -
) + (cid:0) M t; t 1
(d)
�
�
= 2 IM 20
) + t 1
) t 1
20
t
= � � t 3
9
(cid:0) ạ Tam giác AMI vuông t i A nên:
(cid:0) Đ t ặ , ta có:
)
( 1M 3; 2
( ) 2M 3; 4 .
- ể ầ ậ (cid:0) V y có hai đi m c n tìm là và
d
x
: 2
0
( A -
)4;8
ớ ệ ọ ữ ẳ ặ Trong m t ph ng v i h t a đ ộ Oxy , cho hình ch nh t ậ ABCD có Ví d 6. ụ
y+ + = và 5
ộ ườ ể đi m ể C thu c đ ẳ ng th ng ố . G i ọ M là đi m đ i
5; 4
( N -
)
ế ườ ứ x ng c a ủ B qua C , N là hình chi u vuông góc c a ủ B trên đ ng th ng ẳ MD .
ế ằ Tìm t a đ đi m ọ ộ ể B và C , bi t r ng .
Bài gi iả
13
-
- t ; 2
( C t
) 5
Do C d
AC , suy ra
4
I
;
� - t � 2
� - + t 2 3 � 2
Tam giác BDN vuông t
ủ ể nên . G i ọ I là trung đi m c a
t
t
4
3
4
3
1; 7
-
-
( C -
)
=� t
4
4
1
i ạ N nên IN IB= . Suy ra: IN IA= :
� � - 5 � � �
2 � � � � + - � � � � � �
2 � � � � = - � � � � � �
2 � � � � + - 8 � � � � � �
2 � � � � �
- 2
- + t 2 2
- 2
- + t 2 2
x
3
. Suy ra:
Đ ng th ng
AC có ph
y+ + = . 4 0
-
x
y
3
- = (cid:0) 17 0
a+ 17;
( B a 3
)
ườ ẳ ươ ng trình:
BN qua N và vuông góc v i ớ AC là:
a
5
4
= -� a
3
+ = 4
0
7
ườ ẳ Đ ng th ng
Trung đi m c a
� a 3 �
� + �
+ + 17 2
- 2
- 4; 7
( B -
)
V y ậ
ể ủ BN thu c ộ AC nên:
.r
x
0
6
2
AD
BC= 3
ườ ớ ng chéo vuông góc v i nhau và Ví d 7. ụ Cho hình thang cân ABCD có hai đ
BD có ph
y+ - = và tam giác ABD
( H -
)3; 2
ườ ẳ ươ . Đ ng th ng ng trình
C và D .
ự ọ ộ ỉ có tr c tâm là . Tìm t a đ các đ nh
IB IC=�
IC^
IBCD
iả
ể Bài gi G i ọ I là giao đi m c a ủ AC và BD . Mà IB nên vuông
? ICB =�
I
045
^�
�D
BH BC
HBC
cân t i ạ
Do CH BD^
ủ HC ể BH AD ^ vuông cân t i ạ B I là trung đi m c a
x
2
0
(
) + - 3
( C -
)1;6
và trung đi m ể I c a ủ CH thu c ộ BD nên t a đ đi m ọ ộ ể C t/m:
x
y
3
+
2
- = 6
0
- 2
) ( - = y 2 � � + 2 � � 2
10
2
2
=
=
=
=
=
+
=
=
=
�
�
ID
IC
CD
IC
ID
IC
3
10
5 2
Ta có
BC IB IC ID ID AD
1 3
CH 2
2
2
1
D
- t t 6 2 ;
- t 7 2
6
= 50
(
)
)
( + - t
)
. Do đó
CD =
5 2
7
= t = t
)4;1D (
( D -
)8;7
V y ậ
Do và suy ra: (
ho c ặ .
14
-
H
;
ẳ ặ Trong m t ph ng v i h t a đ Ví d 8. ụ ộ Oxy , cho tam giác ABC có chân
A là
A
)0;1M (
ườ ạ ừ ỉ ườ ủ đ ng cao h t đ nh ng phân giác trong c a góc
C .
ủ ạ ọ ộ ỉ ớ ệ ọ � � 1 17 , chân đ � � 5 5 AB là ể và trung đi m c a c nh . Tìm t a đ đ nh
-
x
A
a a
y+ - = (cid:0) 0 3
2
3 2 ;
(
)
AH có ph
)5;3D ( là iả Bài gi Ta có H AH
3
2
2
(cid:0) ươ và AH HD^ ng trình:
a
- 3 2
= 13
(
)
( + - a
) 1
Do M là trung đi m c a
1 5
= a = - a
( A -
)3;3
N
3
0
(
)0;5
(cid:0) ể ủ AB : MA MH= (cid:0)
Ph
AD là
y - = . G i ọ N đ i x ng v i
-
x
y
2
3
15
ươ ố ứ ng trình ớ M qua AD
Đ ng th ng
AC có ph
+ = 0
x
y-
2
ườ ẳ ươ ng trình
BC có ph
- = 7 0
-
x
y
2
ườ ẳ ươ Đ ng th ng ng trình
-
x
y
2
3
- = 7 0 + = 15
0
M
ỏ Suy ra t a đ đi m ệ ọ ộ ể C th a mãn h
AB ,
� � 9 3 - ; � � 2 2
( H -
)2; 4
( I -
)1;1
ủ ạ ể là trung đi m c a c nh Ví d 9. ụ Cho tam giác ABC có đi m ể
ầ ượ ườ đi m ể và đi m ể l n l t là chân đ ng cao k t ẻ ừ B và tâm
ABC . Tìm t a đ đi m
ườ đ ạ ế ng tròn ngo i ti p tam giác ọ ộ ể C .
iả
x
IM^
AB : 7
y- + = 0 33
-
-
� �
A AB
a
- 9; 7
30
� � 7 1 = - ; � � 2 2 ( A a a + ;7
( - B a
)
(cid:0) Bài gi uuur IM . Ta có M AB và AB
2
=
+ + =
�
�
�
^ AH HB
a
a
) 33 uuur uuur AH HB .
0
20
9
0
ể . Do M là trung đi m c a
5
Ta có ủ AB nên = - a 4 = - a
15
= -
-
-
�
a
A
B
y+ - =
4
- 5; 2
6
0
(
) 4;5 ,
(
)
V i ớ
AC :
2
2
1
-
=
�
�
C
c c
= IC IA
6 2 ;
- c 7 2
25
(
)
(
)
( + - c
) 1
(cid:0) . Ta có BH AC^
5
x 2 = c = c
Do đó . T ừ
= -
-
�
B
A
a
y- + =
8
0
^
)4;1C ( ( ) - - 5; 2 ,
(
2
2
1
�
�
= IC IA
t
+ + + = t 2
7
25
) ; 2 t 8
(
(
) 1
)
(
(cid:0) ) 4;5 Do C khác A , suy ra V i ớ 5 . Ta có BH AC
C t + . T ừ
5
x AC : 2 = - t = - c
( C -
)1;6
Do đó
2
2
D
:
y - = 3
0
-
x
C
:
4
Do C khác A , suy ra
(
)
) 1
( + - y
) 1
= và đ
. ( ườ ườ Cho đ ng tròn ẳ ng th ng . ụ Ví d 10.
)C , các đ nh
N và P thu c ộ D ,
ự ớ ỉ ủ ( Tam giác MNP có tr c tâm trùng v i tâm c a
)C . Tìm t a đ đi m
ể ỉ M và trung đi m c nh đ nh ạ MN thu c ộ ( ọ ộ ể P .
I
(
)1;1
iả
)C là
IM ^ D (cid:0)
x = (cid:0) 1
)1;M a . (
( M C
)
( M -
) 1; 1
a = -
a -
1
3
= (cid:0) 4
) 2 1
Do
ườ ẳ Bài gi Ta có tâm c a ủ ( . Đ ng th ng IM:
a = . Mà M �D (cid:0)
2
2
1
�D �
=
N
�
�
( N b
);3
4
( + -
) 1 1
nên ( ho c ặ .
)C
� b �
3
�+ - 1 � 2
= b 5 = - b
N
(
)5;3
( N -
)3;3
Do đó
. Trung đi m ể MN thu c ộ (
�D �
P
( P c
);3
N
(
)5;3
( P -
)1;3
c = -
1
ho c ặ
uuur ừ MP
uur IN^
P
( N -
)3;3
(
)3;3
3
+ Khi , t . Do đó
c = . Do đó
uuur ừ MP
+ Khi , t suy ra .r suy ra uur IN^
CN
ND= 2
ớ ệ ọ ặ ẳ Trong m t ph ng v i h t a đ ộ Oxy , cho hình vuông ABCD . G iọ ụ Ví d 11.
CD sao cho
M
x
y-
2
3
0
ủ ạ ạ ể M là trung đi m c a c nh ể BC , N là đi m trên c nh .
- = . Tìm t a đ đi m
� � 11 1 ; � � 2 2
ươ Gi ả ử s và AN có ph ng trình ọ ộ ể A .
iả
H và song song
ể ẻ ườ Bài gi G i ọ H là giao đi m c a ủ AN và BD . K đ ẳ ng th ng qua
x= . Suy ra
= PD x AP
HQ
,
3
3
= và x
x= . Ta có QC x= , nên MQ x= .
ầ v i ớ AB , c t ắ AD và BC l n l ượ ạ P và Q . Đ t ặ HP t t i
16
=
D
D
HMQ
=
=
=
AH HM=
Do đó AHP , suy ra AH HM^
AM
MH
2
2
d M AN , (
)
H n n a, ta cũng có
(
)
3 10 2
t -
; 2
( A t
) 3
A AN
ơ ữ . Do đó
1
2
=
=
- + =
�
�
�
MA
t
t 5
4
0
2 2 � � � � � � � � + - - t t 2 � � �� � � � � � � � �
4
3 10 2
11 2
7 2
45 2
= t = t
A
( A -
) 1; 1
(
)4;5
V y ậ
, suy ra . Khi đó:
ho c ặ .r
x
3
ớ ệ ọ ữ ẳ ặ Trong m t ph ng v i h t a đ ộ Oxy , cho hình ch nh t ậ ABCD . ụ Ví d 12.
AC và AD l n l
y+ = và 0
x
M
0
ườ ầ ượ ươ Các đ ẳ ng th ng t có ph ng trình là
y- + = ; đ 4
BD đi qua đi m ể
� � 1 - ;1 � � 3
ABCD .
ườ ọ ỉ ẳ ng th ng ủ ộ . Tìm t a đ các đ nh c a
x
( -� A
) 3;1
Bài gi iả
T a đ đi m
x
4
0
+ = y 3 0 - + = y
ỏ ệ ọ ộ ể A th a mãn h
G i ọ N là đi m thu c
||MN AD .
x
0
ể ộ AC sao cho
4 y- + = . 3
- + =
y
x
0
ươ Suy ra MN có ph ng trình là
� � 1 -� N 1; � � 3
y
0
4 3 + = x 3
ỏ Vì N thu c ộ AC , nên t a đ đi m ệ ọ ộ ể N th a mãn h
Đ ng trung tr c
x
ườ ể ự D c a ủ MN đi qua trung đi m c a ủ MN và vuông góc v iớ
AD , nên có ph
y+ = 0
ươ ng trình là:
G i ọ I và K l n l
x
I
0;0
(
)
ầ ượ ể t là giao đi m c a ủ D v i ớ AC và AD .
x
y
0
+ = y 0 + = 3
x
0
2; 2
( -� K
)
ọ ộ ủ ệ Suy ra t a đ c a đi m ỏ ể I th a mãn h
x
4
0
+ = y - + = y
=
=
-
�
�
uuur AC
uur AI
C
uuur AD
uuur AK
D
2
2
(
) - 3; 1 ;
(
) 1;3
ỏ và t a đ đi m ệ ọ ộ ể K th a mãn h
17
=
uuur uuur BC AD B
( -�
) 1; 3
.
2
-
D
x
y+ + =
2 + - y
x
y
:
2
0
4
2
0
(
) C x :
ệ ọ ẳ ặ ớ ườ Trong m t ph ng v i h t a đ ộ Oxy , cho đ ẳ ng th ng ụ Ví d 13.
= . G i ọ I là tâm c a ủ (
)C ,
ườ và đ ng tròn
)C ( A và B là
ế ể M là đi m thu c ẻ ộ D . Qua M k các ti p tuy n ế MA và MB đ n ế (
10 .
ế ể ằ các ti p đi m). Tìm t a đ đi m ọ ộ ể M , bi ế ứ t t giác ệ MAIB có di n tích b ng
I
(
(
)2;1
Bài gi iả
IA =
5
Đ ng tròn
)C có tâm
?
=
ườ , bán kính .
MAIB có ?
= MAI MBI
090
2
2
=
=
=
=
�
�
�
IA MA MA
IM
+ IA MA
.
2 5
5
MAIBS
t- -
;
2
( M t
)
ứ T giác và MA MB=
M �D , có t a đ d ng
2
2
2
=
-
+ - =
�
�
�
MA
t
t
5
2
25
t 2
12
t 2
0
(
)
) + + = 3
(
3
= t 2 = - t
2; 4
( M -
)
( M -
)3;1
V y ậ
ọ ộ ạ
M
(2; 1)
ho c ặ .
,Oxy cho tam giác ABC có
ẳ ặ ớ ệ ọ ộ Trong m t ph ng v i h t a đ là ụ Ví d 14:
H -
E
(0; 3)
(23; 2)
- ể ể ườ ẻ ừ ể ạ trung đi m c nh AC, đi m là chân đ ng cao k t A, đi m
- =
d
x
: 2
y+ 3
5 0
ườ ẻ ừ ứ ế ẳ ọ ộ ể ế ộ thu c đ ng th ng ch a trung tuy n k t C. Tìm t a đ đi m B bi ể t đi m
ộ ườ ộ ươ ể A thu c đ ẳ ng th ng và đi m C có hoành đ d ng.
+
- =
�
�
� A d
x
y
A
: 2
3
5 0
+ a ( 3
+ a 1, 2
1).
= - = +
x y
t 1 3 t 1 2
Bài gi iả (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
= -
+ a
1; 2
4)
+
M
C
(2; 1)
a a (3 3 ; 1 2 )
Vì
+ a ( 3 +
=
uuur HA uuur HC
a
a
(3 3 ; 4 2 ).
=
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ể là trung đi m AC nên suy ra - (cid:0) (cid:0)
a
1
uuur uuur HA HC .
= (cid:0) 0
Vì
AHC =
090
= -
a
.
=
�
a
A
C
1
( 2; 3),
(6; 1)
19 13 th a mãn.
= -
a
(cid:0) (cid:0) nên (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - ỏ + V i ớ
19 13
18 51 ; 13 13
� -� � C �
� không th a mãn. � �
+
+
ỏ + V i ớ
y
CE x :
17
= 11 0,
BC x :
- = y 9
3
0
C
(6; 1)
V i ớ ( 2; 3), A
- - - ta có
18
+
+
b
7
3
+
b
BC
N
B b (3
9;
)
;
�� trung đi m AB là
2
2
b 3 � � �
� . � �
= -
ể Suy ra
� �
�
N CE
b
B
4
( 3; 4).
- - Mà
,Oxy cho tam giác ABC có đ nhỉ
A
I
(3; 3),
(2; 1),
ớ ệ ọ ẳ ặ ộ Trong m t ph ng v i h t a đ ụ Ví d 15:
BAC là
y- =
x
0.
BC =
ườ ạ ế ươ tâm đ ng tròn ngo i ti p ph ng trình phân giác trong góc
8 5 5
B
C
B
(0; 2),
;
;
(0; 2)
ọ ộ ỉ ế ằ Tìm t a đ các đ nh B, C bi t r ng và góc BAC nh n.ọ
8 6 � �- � � 5 5 � �
8 6 � �- C , � � 5 5 � �
ho c ặ . Đáp án:
ế ươ ườ ạ 2.2. D ng 2: Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng.
(
)
ọ ộ ặ ế ươ ườ t ph ng trình các đ ẳ ng th ng ẳ Ví d 1. ụ Trên m t ph ng t a đ Oxy, hãy vi
A 1;6 và hai đ
+ =
- =
ứ ạ ế ườ ế ủ ch a các c nh c a tam giác ABC bi t ằ ng trung tuy n n m
x 2y 1 0,3x y 2 0
- - ườ ẳ ươ trên hai đ ng th ng có ph ng trình là .
Bài gi iả
+ =
- =
ọ ộ ể ệ ươ (cid:0) Do t a đ đi m A không nghi m đúng các ph ng trình nên ta có:
- - BM là: x 2y 1 0 ; CN là: 3x y 2 0
(
)
B 2b 1; b
+� b 6 N b; � 2 �
� � �
- =
- ể (cid:0) Đ t ặ , do N là trung đi m AB nên :
)
� � CN
3b
2 0
= � b
2
( B 3; 2
+ b 6 2
+ b 6 2
� N b; � �
� � �
+
+
(
)
C c;3c 2-
M
c 1 3c 4 ;
- . Suy ra:
2
2
� � �
� � �
+
+
+ =
ể (cid:0) Đ t ặ , do M là trung đi m AC nên :
(
)
�
M
c 1 3c 4 ;
� � BM
2.
1 0
= - c
1
C 1; 5
2
2
+ c 1 2
+ 3c 4 2
� � �
� � �
(
- - - . Suy ra:
) M 6; 2 và đ
2 +
ể ặ ẳ ườ Trong m t ph ng Oxy, cho đi m ng tròn (C) có Ví d 2. ụ
(
(
) x 1
) 2 = y 2
5
=
- - ươ ươ ườ ẳ ph ng trình ậ . L p ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua M
AB
10
ắ ườ ạ ể và c t đ ng tròn (C) t i hai đi m A, B sao cho .
Bài gi iả
19
)
5=
( I 1; 2 và bán kính R
=� IH
ườ (cid:0) Đ ng tròn (C) có tâm
10 2
2
2
=
=
)
�
( d I;(d)
IH
9a
b
b
ủ ế ọ (cid:0) G i H là hình chi u vuông góc c a I trên AB
= � � . 3a
ỏ ề ườ ẳ (cid:0) Đ ng th ng (d) th a đ bài khi:
(
(
ặ ẳ ườ ng phân giác trong
0
( ) M 0; 1-
+ + = , c nh AC qua ạ
Ví d 3: ụ )AD : x y - = Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có đ )CH : 2x y 3 0 ườ ng cao , đ , AB 2AM= .
+ =
- =
+
ươ ế ạ
)AC : 2x y 1 0
)AB : x 2y 1 0
)BC : 2x 5y 11 0 = . +
- - Vi t ph Đáp án: ( ủ ng trình ba c nh c a tam giác ABC. ; ( ; (
)
( A 1; 2
+
=
- =
- ẳ ặ ỉ . Trung Ví d 4: ụ Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có các đ nh
BH : 5x 2y 4 0
- - ườ ế ươ tuy n ế CM : 5x 7y 20 0 và đ ng cao . Vi t ph ng trình
=
ạ các c nh AC và BC.
(
)BC : 3x 2y 12 0 +
- ươ ạ ng trình c nh BC là: . Đáp án: Ph
d
x
+ = y
:2
1 0
5
- ằ Cho tam giác cân ABC có đáy BC n m trên , c nhạ Ví d 5: ụ
y
x
= 23 0
AB n m trên
AC bi
d :12 )3;1M (
(cid:0) - - ằ ế ươ ườ . Vi t ph ng trình đ ẳ ng th ng t nóế
. đi qua đi m ể
AC x : 8
y+ 9
= 33 0
2
2
- Đáp án:
+
(
)
B
)4;1A (
,
y
x
+ y 9
= 18 0
- - - . ( ườ ng tròn và 2 đi m ể . Ví d 6: ụ Cho đ
T : ộ ( ,C D là hai đi m thu c
) 3; 1 x )T sao cho ABCD là m t hình bình hành. Vi ộ
ể G i ọ ế t
CD .
x
- + = y
- + = x y
2
6 0; 2
1 0
ươ ườ ph ng trình đ ẳ ng th ng
́ ̃ ươ ̉ ̉ Đáp án: Co hai đ ̀ ng thăng thoa man : .
A
B
(1; 2),
(4; 1)
ế ươ ườ ạ 2.3. D ng 3: Vi t ph ng trình đ ng tròn.
,Oxy cho hai đi m ể
ớ ệ ọ ặ ẳ ộ Trong m t ph ng v i h t a đ và Ví d 1: ụ
x
: 3
+ = y 4
5 0.
D - ườ ế ươ ườ đ ẳ ng th ng Vi t ph ng trình đ ắ ng tròn đi qua A, B và c t
CD =
6.
D ạ t i C, D sao cho
),
R >
0.
Bài gi iả
Gi
I a b bán kính ( ;
ả ử s (C) có tâm
20
2
2
=
=
+ 2
=
�
a
a
b
R
(
1)
b (
= 2 2)
(
+ 4)
(
1)
Vì (C) đi qua A, B nên IA IB R
- - - -
+ a
9
29
=
CH
3,
= IH d I ( ,
D = )
K ẻ IH CD
5
+ 2
= 2
- ^ ạ t i H. Khi đó
x
+ y
C (
) : (
1)
(
3)
25
C (
) :
.
Suy ra
43 13
51 13
1525 169
� x � �
2 � � + y � � � �
2 � = � �
- - - ho c ặ
x
y
5:
2
19
0
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ặ ườ ẳ Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ẳ ng th ng và ụ Ví d 2:
y
x
y
xC :) (
4
2
.0
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ộ ể ằ ườ ườ đ ng tròn T m t đi m M n m trên đ ẳ ng th ng kẻ
(C (A và B là hai ti p đi m).
ế ế ế ườ ế ể hai ti p tuy n MA, MB đ n đ ng tròn Vi tế
(cid:0)AB
.10
(
)
( A ;
1 2
ươ ườ ạ ế ế ằ ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p tam giác AMB bi t r ng
(
d y - =
:
3 0.
ớ ệ ọ ặ ẳ Trong m t ph ng v i h t a đ ộ Oxy , cho hai đi m ể Ví d 3: ụ
) ; B ; và 3 4 )C đi qua hai đi mể
ườ ẳ ế ươ ườ đ ng th ng ,Vi t ph ng trình đ ng tròn
d t
,M N sao cho
MAN =
060
2
2
2
2
+
=
ắ ườ ạ ể ệ ẳ ng th ng i hai đi m phân bi t .
(
)
(
)
(
)
�
y
x
C
x
y
) C x :
6
+ = y 4
9 0
:
+ 3
2
4
,A B và c t đ Đáp án:(
- - - - .
ậ ự 3. Bài t p t ệ rèn luy n kĩ năng.
,M N
ớ ệ ọ ặ ẳ ộ Oxy , cho hình vuông ABCD . G i ọ Bài 1: Trong m t ph ng v i h t a đ
M
AB và CD . Bi
1 � � ; 2 � � 2 � �
- ủ ể ạ ế ằ ầ ượ l n l t là trung đi m c a các c nh t r ng và
x
2
y+ 9
= 34 0
BN có ph
,A B
- ườ ươ ể ọ đ ẳ ng th ng ng trình ộ . Tìm t a đ các đi m
AC
BD= 2
ế ằ ộ bi t r ng đi m ể B có hoành đ âm.
AC có ph
- =
(
x
y-
A
x
y+ - =
1 0
)3;5
d ( ) :
1 0
. Bi ế ườ t đ ẳ ng th ng ngươ Bài 2: Cho hình thoi ABCD có
B thu c đ
,
ộ ườ trình 2 ỉ , đ nh và đi m ể ẳ ng th ng .
,B C D c a hình thoi
ABCD .
ọ ộ ỉ ủ Tìm t a đ các đ nh
ớ ệ ọ ặ ẳ ữ ộ Oxy , cho hình ch nh t ậ ABCD có di nệ Bài 3: Trong m t ph ng v i h t a đ
M
N -
(1; 4),
( 4; 1)
- ể ằ ầ ượ ằ ườ tích b ng 30 và hai đi m l n l t n m trên hai đ ẳ ng th ng
21
x
y+ 4
= 13 0
,AB AD . Ph
AC là 7
- ươ ườ ọ ỉ ng trình đ ng chéo ộ . Tìm t a đ các đ nh
ế ề ộ ủ c a hình ch nh t ữ ậ ABCD , bi t hai đi m ể A và D đ u có hoành đ âm.
ữ ậ ủ ể ệ ườ ng Bài 4: Cho hình ch nh t ABCD có di n tích S = 12, giao đi m c a hai đ
9 3 � � ; � � 2 2 � �
ủ ạ ộ ể ể cho là I ớ , trung đi m c a c nh BC là M(3; 0) và hoành đ đi m B l n
=
CD
AB
2
ữ ậ ộ ể ủ ỉ ị ạ ộ ơ h n hoành đ đi m C. Xác đ nh to đ các đ nh c a hình ch nh t ABCD.
,AB CD và
ớ . G i ọ H là chân Bài 5: Cho hình thang ABCD v i hai đáy
AC và M là trung đi m c a
B
DH
x
y- =
(5;6)
(
) : 2
0
ườ ể đ ng vuông góc h t ạ ừ D xu ng ố ủ HC . Bi ế ọ t t a
ươ ườ ươ ộ ỉ đ đ nh , ph ng trình đ ẳ ng th ng , ph ng trình
DM x
+ = y
(
) :
5 0
3
ABCD .
I
- ườ ọ ộ ủ đ ẳ ng th ng ỉ . Tìm t a đ các đ nh c a hình thang
M
N
2;
AC
BD= 2
ớ ệ ọ ặ ẳ ộ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm (3;3) Bài 6: Trong m t ph ng v i h t a đ
AB ,
4 � � � � 3 � �
13 � � 3; � � 3 � �
ườ và . Đi m ể ộ thu c đ ẳ ng th ng ộ thu c đ ườ ng
CD . Vi
BD , bi
B có hoành đ nhộ
ế ươ ườ ế ỉ th ng ẳ t ph ng trình đ ng chéo t đ nh ỏ
(1;3)M
ơ h n 3.
BC ,
ủ ạ ể là trung đi m c a c nh Bài 7: Cho hình vuông ABCD . G i ọ
=
N
AN
AC
AC sao cho
3 1 ; 2 2
1 4
� � �
� là đi m trên c nh � �
- =
x
y-
d ( ) :
3 0
- ể ạ ộ ỉ ị ọ . Xác đ nh t a đ các đ nh
ABCD , bi
ườ ủ c a hình vuông ằ t ế D n m trên đ ẳ ng th ng .
+
- =
ứ ườ ườ ẳ ế ng trung tuy n k t ẻ ừ Bài 8: Cho tam giác nh n ọ ABC. Đ ng th ng ch a đ
x
y
x
- = y
3
5
8 0,
4 0
- ườ ầ ượ ươ ỉ A và đ đ nh ng th ng ẳ BC l n l t có ph ng trình l
)
( D -
4; 2
ườ ẳ ớ ườ ắ ườ . Đ ng th ng qua A vuông góc v i đ ẳ ng th ng BC c t đ ạ ng tròn ngo i
ế ạ ể ế ươ ti p tam giác ABC t ứ i đi m th hai là . Vi t ph ng trình các đ ườ ng
+ - =
AB
x
y
AC
: 3
4
0;
: y 1
)
(
)
ế ằ ộ ủ ớ ơ th ng ẳ AB, AC; bi t r ng hoành đ c a đi m ể B không l n h n 3.
- = . 0
ế ả ( K t qu :
Ả Ạ ƯỢ Ế ầ Ọ Ệ Ph n 3. K T QU Đ T Đ C VÀ BÀI H C KINH NGHI M
22
ả ế 1. K t qu .
ả ủ ọ ư ự ế ệ ề ợ ả Khi ch a th c hi n đ tài này, k t qu c a h c sinh qua các đ t thi kh o
ấ ượ ể ươ ủ ể ấ ố ộ sát và ki m tra ch t l ng là t ọ ọ ng đ i th p. M t đi m c a câu hình h c t a
ộ ố ố ọ ề ẳ ọ ỏ ộ đ ph ng trong đ thi đa s h c sinh " b qua ", còn m t s ít h c sinh gi ả i
ỉ ạ ượ ế ố ể ư ấ quy t câu này cũng ch đ t đ c 50% s đi m là cao nh t. Nh chúng ta bi ế t,
ả ế ượ ủ ể ắ ắ ọ h c sinh nào gi i quy t đ c bài toán này, thì ch c ch n đi m c a bài thi
ẽ ừ ạ ọ ẽ ấ ậ ả ở môn toán s t 8 tr lên, và khi đó kh năng đ u đ i h c s r t cao. Do đó
ả ế ượ ạ ạ gi i quy t đ ữ c d ng bài toán này không nh ng phát huy tính sáng t o trong
ạ ấ ớ ọ ọ ậ ủ ọ h c t p c a h c sinh, mà nó còn t o đ ượ ự ự c s t tin r t l n cho h c sinh trong
ề ủ ự ề ố ươ kì thi THPT Qu c Gia, là ti n đ c a s thành công trong t ng lai cho các
ọ em h c sinh.
ự ế ấ ượ ự ệ ọ ậ ọ Th c t ề khi th c hi n đ tài này, ch t l ủ ng h c t p c a h c sinh đ ượ c
ự ệ ế ả ầ ấ ả nâng lên rõ r t, k t qu qua các l n thi kh o sát tăng lên r t tích c c. C th ụ ể
ề ố ượ ố ọ ượ ọ ộ th ng kê v s l ng h c sinh hoàn thành đ ả ẳ c câu t a đ ph ng qua kì kh o
ả
ả
ả
ả
iả
Gi
ế i quy t
Gi
ế i quy t
Gi
ế i quy t
Không gi
ế i quy t
ư ấ ầ sát g n đây nh t nh sau:
quy tế
70%
50%
25%
đ
cượ
L pớ Sĩ số Gi
100% 10 5 2
12A2 12A4 10B5 37 44 42 15 5 4 6 14 16 4 9 10 2 11 10
ọ ệ 2. Bài h c kinh nghi m.
ủ ọ ừ ệ ế ế ệ ớ T vi c ti p thu trên l p đ n vi c trình bày vào bài thi c a h c sinh là c ả
ộ ươ ự ế ố ề ấ ọ m t quá trình t ng đ i dài và khó khăn. Th c t đã cho th y, nhi u h c sinh
ư ứ ế ế ệ ấ ế ề ấ ti p thu ki n th c và phát hi n v n đ r t nhanh, nh ng khi trình bày thì thi u
ế ệ ẽ ậ ặ ậ ầ ọ ch t ch , th m chí là thi u chính xác. Do v y giáo viên c n rèn luy n cho h c
ậ ẩ ự ể ứ ế ậ ả sinh tính c n th n, tính t ki m tra và luôn ph i ôn t p ki n th c có liên quan
ườ ụ ỉ th ỉ ng xuyên, liên t c và t m .
23
ệ ượ ừ ự ế ả ạ ữ Trên đây là nh ng kinh nghi m đ c đúc rút t th c t gi ng d y môn toán
ề ạ ả ọ ộ ớ ủ c a tôi trong năm h c 2015 2016. V i kh năng và trình đ có h n nên đ tài
ế ấ ự ữ ế ạ ỏ ổ này không tránh kh i nh ng thi u sót và h n ch , r t mong có s trao đ i và
ể ề ủ ệ ạ ấ ạ ồ ượ góp ý c a các c p lãnh đ o, các b n đ ng nghi p đ đ tài đ ệ c hoàn thi n
ầ ủ ơ ấ ượ ệ ầ ả và đ y đ h n, góp ph n vào vi c nâng cao ch t l ạ ng gi ng d y môn toán ở
ễ ậ b c THPT nói chung và ở ườ tr ng THPT Nguy n Xuân Nguyên nói riêng.
Ủ Ậ Thanh Hoá, ngày 24 tháng 05 năm 2016 XÁC NH N C A TH TR Ủ ƯỞ NG
Tôi xin cam đoan đây là SKKN c aủ Đ N VƠ Ị
ế ộ mình vi ủ t, không sao chép n i dung c a
ườ ng i khác.
Ạ
VŨ M NH HÙNG
24
