A. M Đ UỞ Ầ
Ọ Ề I. LÝ DO CH N Đ TÀI.
ươ ệ ọ ươ ầ Trong ch ng trình toán h c phô thông, H ph ộ ộ ng trình là m t ph n n i
ọ ườ ề ặ ọ ỏ dung quan tr ng, th ng xuyên g p trong các đ thi h c sinh gi ấ i các c p và đ ề
ướ ề ậ ố ạ ọ thi đ i h c tr c đây và trong ma tr n đ thi THPT qu c gia năm 2015 cũng có
ộ n i dung này.
ươ ở ặ ệ H ph ng trình sách giáo khoa (đ c bi ệ ở ươ ch t ng trình sách giáo khoa
ư ượ ậ ả ầ ả ơ ớ ơ ả c b n) đ a ra l ng bài t p quá ít, quá đ n gi n so v i yêu c u ph i gi ả ượ c i đ
ỏ ỏ ở ấ ộ ư ụ ậ ở ề ọ ỏ các bài toán đ i h i c p đ t duy v n d ng cao các đ thi h c sinh gi i các
ủ ề ạ ọ ướ ế ấ c p, c a đ thi đ i h c tr c đ n nay.
ộ ố ỹ ậ ử ệ ấ ớ ố ọ V i mong mu n cung c p cho h c sinh m t s k thu t x lý h ph ươ ng
ư ệ ể ể ậ ấ ạ trình cũng nh cách nhìn nh n, quan sát các d u hi u đ có th quy “l ” v ề
ặ ệ ạ ề ạ ọ ọ quen, đ c bi ậ t t o cho h c sinh ni m đam mê – sáng t o trong h c toán. Vì v y
ề ế ế ạ ạ ỷ ọ tôi đã ch n đ tài “ ọ ề Th bi n – k năng t o ni m đam mê sáng t o cho h c
ứ ể đ nghiên c u. sinh thông qua bài toán gi ả ệ ươ i h ph ng trình”
Ứ Ụ II. M C ĐÍCH NGHIÊN C U
ậ ợ ủ ữ ế ể ậ ọ Tìm hi u nh ng khó khăn và thu n l i c a h c sinh khi ti p c n các bài
ệ ươ ừ ề ệ ấ ậ toán h ph ng trình t đó đ xu t các bi n pháp giúp các em nhìn nh n các
ướ ế ậ ệ ấ ả ể ư ị đ nh h ng, các d u hi u ti p c n cách gi i bài toán. Phát tri n t duy khái quát
ươ ự ậ ượ ấ ạ ề ư ạ ủ hóa, t ng t hóa, l t ng ề c v n đ , quy l v quen, t ọ duy sáng t o c a h c
sinh…
- 1 -
Ố ƯỢ Ứ Ạ III. Đ I T NG VÀ PH M VI NGHIÊN C U
ọ ố H c sinh kh i 10 THPT
ể ộ ố Đ i tuy n HSG kh i 11 THPT
ọ ố ườ H c sinh kh i 12 THPT ôn thi vào các tr ạ ọ ng Đ i h c
ả ậ ạ Giáo viên gi ng d y môn Toán b c THPT
Ứ Ạ Ế IV. K HO CH NGHIÊN C U
ờ ộ ả ẩ TT Th i gian ệ N i dung công vi c S n ph n
ọ ế ề ươ ả 1 15/9/2015 đ nế ề Ch n đ tài, Vi t đ ế B n đ c ng chi
ứ 15/10/2015 ươ c ng nghiên c u. ti t.ế
ự ả ạ ố ệ ả 2 Kh o sát th c tr ng, S li u kh o sát đã
15/10/2015 đ nế ợ ố ệ ổ t ng h p s li u th c t ự ế . x lý.ử
5/11/ 2015
ệ ậ ệ ứ Nghiên c u tài li u ợ T p h p tài li u.
ậ 3 ế ợ T p h p ý ki n ổ ồ Trao đ i các đ ng ủ ồ đóng góp c a đ ng ệ ề ấ ệ nghi p, đ xu t các bi n nghi p.ệ 5/11/2015 đ nế pháp, các sáng ki n.ế
ả 15/3/2016 ế K t qu th ử ụ ử ệ Áp d ng th nghi m nghi m.ệ
ế Vi t báo cáo. ả B n nháp báo cáo
4 15/3/2016 đ nế ệ Hoàn thi n báo cáo Báo cáo chính th cứ 15/5/ 2016
- 2 -
ƯƠ Ứ V. PH NG PHÁP NGHIÊN C U
ả ừ ệ ế ế ồ Tìm ki m tài li u tham kh o t các ngu n khác nhau liên quan đ n h ệ
ươ ươ ữ ế ạ ọ ph ng trình. ph ệ ng pháp d y h c môn toán và nh ng sáng ki n kinh nghi m
ộ ộ ủ c a các giáo viên khác thu c b môn Toán THPT.
ổ ớ ể ề ự ệ ệ ệ ấ ồ Trao đ i v i các đ ng nghi p đ đ xu t bi n pháp th c hi n.
ả ế ạ ớ ạ Gi ng d y các ti ậ t bài t p toán t ộ i l p 10B2. Ôn thi HSG cho đ i
ể ố ỳ ạ ớ ủ ườ tuy n. Ôn thi k thi THPT Qu c gia t i l p 12A2 c a tr ng THPT đang làm
ệ ể ự ế ậ vi c đ thu th p thông tin th c t .
Ộ B. N I DUNG
Ự Ủ Ạ Ề I. TH C TR NG C A Đ TÀI.
ườ ộ ườ ơ Tr ng THPT n i tôi đang công tác là m t tr ng năm trên xã bãi ngang vì
ệ ọ ậ ự ự ượ ấ ủ ư ấ ọ ậ v y vi c h c t p và ph n đ u c a các em h c sinh ch a th c s đ c quan tâm
ậ ọ ướ ứ ơ ở ề ủ ế ậ ừ t các b c h c d ầ i THPT vì v y ki n th c c s v môn Toán c a các em h u
ở ứ ộ ế ậ h t t p trung m c đ trung bình.
ể ạ ứ ư ụ ữ ề ọ ả Khi ch a áp d ng nh ng nghiên c u trong đ tài đ d y h c gi ậ i bài t p
ườ ế ậ ụ ộ ệ ề ệ ươ v h ph ng trình, các em th ng th đ ng trong vi c ti p c n bài toán và ph ụ
ứ ượ ữ ề ế ộ ứ ư ứ ấ thu c nhi u vào nh ng ki n th c đ c giáo viên cung c p ch ch a ý th c tìm
ư ạ ượ ạ ự ư ề ấ tòi, sáng t o cũng nh t o đ c ni m vui, s h ng ph n khi làm toán.
ề ạ ượ ạ ọ ớ Đi u đáng lo ng i là các em đ c tham gia các l p ôn thi Đ i h c cao
ượ ườ ọ ự ừ ọ ự ở ẳ đ ng đã đ c nhà tr ng ch n l a t các em có h c l c trung bình khá tr lên.
ổ ớ ả ỉ ố ắ ậ ấ ắ ố ượ Trao đ i v i các em tác gi nh n th y đa s các em ch c g ng n m đ c các
- 3 -
ệ ơ ả ụ ụ ố ớ ể ầ ạ d ng h c b n đ ph c v cho các ph n toán khác, đ i v i các bài toán ở ứ m c
ậ ụ ậ ụ ị ộ ư đ t duy v n d ng hay v n d ng cao thì các em lúng túng, không có đ nh h ướ ng
ả ừ ư ấ ạ ệ ố ớ ầ ậ gi i và t đó các em g n nh ch p nh n buông xuôi đ i v i các lo i h này.
Ơ Ở Ế II. C S LÝ THUY T
ươ ậ ố 1. Ph ng trình b c b n.
4
2
ươ ậ ạ ố ươ a) Ph ng trình b c b n d ng trùng ph ng:
2
2
+ (cid:0) ax bx + = c a 0; ( 0).
2 +
= + ươ � ả Đ t ặ . t x bt + = c PT at : 0 Ph ng pháp gi i:
)
(
) 2 = x b
- - ươ ạ b) Ph ậ ố ng trình b c b n d ng: x a c (
ươ ươ ề ạ ả Đ t ặ ư , đ a ph ng trình v d ng ph ươ ng t = - x Ph ng pháp gi i: + a b 2
4
3
2
ươ trình trùng ph ẩ ng n t.
2
+ + + ươ ậ ạ ố ồ c) Ph ng trình b c b n d ng h i quy: + = ; ax bx cx dx e 0
a (cid:0) ( 0) ệ ố ỏ ề ệ ớ v i a, b, c, d, e là các h s th a mãn đi u ki n: e a d � �= � � . b � �
2
ươ ớ ườ ể ả Ki m tra riêng v i tr ợ ng h p 0x = . Ph ng pháp gi i:
2
+ + + + = c 0 ươ ươ ươ Xét 0x (cid:0) , ph ng trình t ng đ ng: e ax d bx � a x � � � � b x � � � � � � �
2 � � + b x � � � �
2 = (cid:0) + + t Đ t ặ + - c 0 d bx � +� x � � . � � d bx d bx ad = b � � � a x � � � �
ươ ể ả ượ ậ ố ề ằ ươ d) Ph ng trình b c b n có th gi i đ ư c b ng đ a v ph ng trình
- 4 -
ươ trùng ph ng:
4
3
2
= + + + ươ ươ ax bx cx dx ả Xét ph ng trình: f x ( ) + = e 0 Ph ng pháp gi i:
(cid:0) f x (cid:0) ề ệ ệ ớ v i đi u ki n h có nghi m ệ x a= . (cid:0) f = '( ) 0 = x '''( ) 0
4
2
2
a t ề ươ ậ = + thì ph ư ng trình đ a v ph ng trình b c 4 trùng ph ươ ng
+ + + + a Đ t ặ x ( at a a f ươ ) c t 6 a b 3 ( = ) 0 ạ d ng:
4
3
2
ươ ả ươ ậ ổ e) Ph ng pháp gi i ph ạ ng trình b c 4 d ng t ng quát:
+ + + ax bx cx dx + = . e 0
ị ướ ệ ẩ ử Đ nh h ng 1: Nh m nghi m và phân tích thành nhân t .
ị ướ ề ệ ể ươ ồ Đ nh h ng 2: Ki m tra đi u ki n ph ng trình h i quy.
ị ướ ệ ư ề ươ ể ươ Đ nh h ề ng 3: Ki m tra đi u ki n đ a v ph ng trình trùng ph ng.
ị ướ ề ạ ệ ớ ươ Đ nh h ng 4: Thêm b t nhóm v d ng hi u hai bình ph ng.
4
3
2
2
2
ị ướ ươ Đ nh h ử ụ ng 5: S d ng ph
+ + + + + + = ệ ố ấ ị ng pháp h s b t đ nh: (
)
� ax bx cx dx + = e Ax
) ( Bx C Dx
+ Ex F 0 0 Phân tích: .
ằ ươ ệ ố ấ ị ủ ệ ể ệ ẩ B ng ph ng pháp h s b t đ nh, và nh m nghi m nguyên c a h đ tìm A, B,
C, D, E, F.
ươ ậ 2. Ph ng trình b c cao
(
) 1
- n n + = ươ 1 ... + + 0 Xét ph ng trình : v iớ - a x n a n x 1 + a x a 1 0
γ n N n , 2
0x
ế ẩ ượ ủ ệ ươ N u ta nh m đ c nghi m c a ph ng trình là
(
) =
(
)P x là đa th c:ứ (
) x P x 0
- x 0 ể Thì ta có th phân tích: v i ớ
)P x ta l p b ng nh sau: ( ả
- 5 -
ứ ể ư ậ ệ ố ủ Đ tính h s c a đa th c
na
1na -
1a
0a
..
.
na
0x
1nb -
1b
.. 0
.
n
1
1
= + - - a Ta có : b n a x n 0
n
2
2
= + - - - a b n b x n 1 0
.................
= + b 1 b x 2 0 a 1
0
= a+ 0 b x 1 0
n
n
(
) (
- - + 1 -
) =
) 1
� - x + + 2 ... 0 Khi đó ta có ( a x n x 0 b x n 1 + b x b 2 1
ộ ố ệ ẩ Chú ý: M t s cách nh m nghi m
-+ a n
1
+ + + ... ươ ệ N u ế = ph 0 ng trình có nghi m 1x = a n a 1 a 0
k
n
n
(
(
(
) 1
) 1
) = 1
n
1 + - a 1
- - ươ N u ế ph ng trình có - - a 0 a n + + - a ... n k + + - ... 1 a 0
x = - nghi m ệ 1
0a ; Nghi m h u t ữ ỉ ệ
ủ ệ ươ ướ ủ Nghi m nguyên c a ph ế ng trình n u có là c c a
= x ủ ươ c a ph ng trình có p là c c a h s ướ ủ ệ ố na c c a h s ướ ủ ệ ố 0a và q là p q
ệ ươ ơ ả 3. Các h ph ng trình c b n.
- 6 -
ệ ươ ộ ươ ươ ấ ậ a) H ph ng trình có m t ph ng trình là ph ng trình b c nh t.
(cid:0) + ax by + = c 0 (1) (cid:0) ệ ươ H có d ng ạ : (cid:0) Ph ng pháp gi ả : Rút m t ộ i = (cid:0) F x y ( ; ) 0 (2)
ẩ ừ ươ ế ươ ph n t ng trình (1) th vào ph ng trình (2).
ệ ươ ể b) H ph ố ứ ng trình đ i x ng ki u 1.
= (cid:0) F x y ( ; ) 0 (cid:0) ( ; ); ( ; ) ệ ứ ố ứ ể H có d ng ạ : v i ớ F x y G x y là các bi u th c đ i x ng = (cid:0) G x y ( ; ) 0
ẩ ớ v i hai n x, y
2
2
(cid:0) = + x y S (cid:0) (cid:0) ươ ệ ớ ả ề v i đi u ki n , gi i tìm S, (cid:0) Ph ng pháp gi ả : Đ t ặ i S P 4 (cid:0) = P xy
- ủ ệ ươ ậ P khi đó x, y là hai nghi m c a ph ng trình b c hai : X + = SX P 0
= (cid:0) F x y ( ; ) 0 (cid:0) = F x y G y x ( ; ) ( ; ) ệ ố ứ ể ệ H có d ng ạ : v i ớ c) H đ i x ng ki u 2: = (cid:0) G x y ( ; ) 0
ươ ế ươ ệ ượ c (cid:0) Ph ng pháp gi ả : Tr v theo v các ph i
)
ừ ế ( y- x ươ ử ặ ộ m t ph ng trình có nhân t chung ể ho c có th đánh giá đ ng trình trong h ta đ y= . ượ x c
ệ ươ ế ố ẳ ấ d) H ph ng trình có y u t đ ng c p.
ệ ươ ộ ươ ẳ + H ph ng trình có m t ph ấ . ng trình đ ng c p
= (cid:0) F x y ( ; ) 0 (cid:0) ( ; ) 0 ệ ộ ươ ẳ H có d ng ạ : v i ớ F x y = là m t ph ấ ng trình đ ng c p = (cid:0) G x y ( ; ) 0
ươ ả ươ ế ẳ ấ ả : Gi i ph ng trình đ ng c p tìm x theo y th vào (cid:0) Ph ng pháp gi i
ươ ạ ph ng trình còn l i.
- 7 -
ệ ươ ấ ổ ẳ + H ph ng trình đ ng c p t ng quát :
(
)
(
)
(
(
)
) ;G x y
( A x y ; (
( B x y ; (
) )
) ) = F x y G x y
= (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ H có d ng ạ : v i ớ ;A x y ; ;B x y ; ;F x y ; (cid:0) ; ; (cid:0)
ứ ẳ ể ấ ẩ ớ là các bi u th c đ ng c p v i hai n x,y.
ươ ừ ươ (cid:0) ệ ớ ố ng trình trong h v i s Ph ng pháp gi ả : Nâng lũy th a các ph i
ợ ồ ế ế ế ặ ươ ế mũ thích h p r i ti n hành nhân v theo v ho c nhân chéo v các ph ng trình
ộ ươ ấ ể ư ề ệ đ đ a v h có m t ph ẳ ng trình đ ng c p.
Ộ Ề III. N I DUNG Đ TÀI.
ề ệ ữ ầ ươ ườ Trong nh ng năm g n đây các bài toán v h ph ng trình th ng xuyên
ệ ề ấ ọ ỏ ề ấ ả xu t hi n trong các đ thi h c sinh gi ạ ọ i các c p, đ thi đ i h c và c trong ma
ề ậ ố ượ tr n đ thi THPT qu c gia năm 2015. Các bài toán này đ c yêu c u ầ ở ứ ộ m c đ
ứ ụ ề ệ ậ ấ ộ ư t duy v n d ng c p đ cao ch không còn là các bài toán v các h ph ươ ng
ặ ấ ơ ả ề ề ọ ọ trình c b n. Đi u này làm cho h c sinh g p r t nhi u khó khăn cho h c sinh,
ệ ọ ậ ầ ư ạ ủ ọ ặ đ c bi t tinh th n h c t p, tính t duy – sáng t o c a h c sinh trong bài toán gi ả i
ấ ấ ố ừ ự ễ ầ ệ ệ h ngày càng có d u hi u đi xu ng. Xu t phát t yêu c u th c ti n đó, trong
ố ượ ầ ứ ể ạ ọ ph n này tôi mu n đ c nêu lên quan đi m d y h c sinh cách nghiên c u, tìm tòi
ướ ể ủ ệ ươ ừ ệ ươ các xu h ng phát tri n c a bài toán h ph ng trình t các h ph ng trình c ơ
ụ ể ắ ượ ấ ả b n (đã nêu trong m c IV) đ qua đó các em n m đ ệ c các d u hi u, hình thành
ậ ỹ ả ệ ươ ở ứ ộ ậ ụ ạ các k thu t gi i các h ph ng trình ứ m c đ v n d ng cao và t o nên h ng
3
ọ ậ ọ thú h c t p cho h c sinh
2
2
(cid:0) + 3 + 2 + = 2 - (cid:0) x y x y 3 0 (1) (cid:0) Ví dụ: Gi ả ệ ươ i h ph ng trình : + 2 + - (cid:0) (cid:0) x y x + = y 2 4 4 1 0 (2)
iả Gi :
- 8 -
ấ ươ ộ ớ ươ ế L y ph ng trình (1) c ng v i ph ế ng trình (2) v theo v ta có :
3
3
3
2
2
(
(
( + x
( + x
) + 1
) = 1
) + 1
) 1
3
2
+ + + 3 - - - � x x x y y y y 3 4 + - 4 3 = y 4 0 (*)
(cid:0) + > " (cid:0) f t ( ) f t f t R Xét hàm số : t ( ) = + . Ta có t = t t '( ) 3 1 0 , là hàm
2 +
- � � � = - x y (*) f x ( + = 1) f y ( 1) + = - x y 1 1 2 ế ồ đ ng bi n trên R, do đó (3)
)
(
)
+ 2 - - - Thay (3) vào (2) ta có : ( y y y 2 2 4 2 + = y 4 1 0
2
(cid:0) - 2 13 = (cid:0) y 3 (cid:0) - � � y - = y 3 4 3 0 (cid:0) + 2 13 = (cid:0) y (cid:0) 3
- - - 2 13 4 13 = = V i ớ , ta có y x 3 3
+ 2 13 - + 4 13 = = V i ớ , ta có y x 3 3
- - 4 13 4 13 = 3 3 ; ệ ươ ậ V y h ph ng trình có (2) nghi m ệ : - 2 13 + 2 13 = = � x � � � � y � � - + � = x � � � � y � � 3 3
3
ư ọ ớ ọ ố ố ươ ng pháp hàm s ố Chú ý : V i h c sinh kh i 10, kh i 11 khi ch a h c ph
(
(
)
( - + x
) 1
) 3 + 1
2
2 +
+ = - - ể ả ươ ư � ta có th gi i ph ng trình (*) nh sau : x y y (*) 2 0
(
(
)
(
(
= -
(
) 1
) ( 1
) - + y 1
) + 1
� = - � - + y x + x + x y - + = � x y x y 2
) 1
0 2 0 2
(3).
ờ ả ủ ố ủ ể ấ ả Trong l i gi ấ i c a bài toán thì đi m m u ch t c a bài toán là ph i th y
- 9 -
ượ ệ ữ ố ươ ệ ặ ệ đ c m i liên h gi a hai ph ng trình trong h đ c bi t là các đ i l ạ ượ ng
3
3
)
(
)
+ - ươ ệ ủ ằ ấ ẳ trong các ph ứ ( ng trình có d u hi u c a h ng đ ng th c đ cóể a b và a b
ể ộ ế ế ươ ứ ừ ằ ẳ th c ng v theo v các ph ng trình, nhóm các h ng đ ng th c t đó tìm ra l ờ i
ả ể ấ ượ ể ể ề ể gi ọ i. Đ có th giúp h c sinh có th th y đ c đi u này ta có th có các h ướ ng
khai thác nh sauư :
ế ế ớ ỷ ọ ể ậ ạ 1. T p cho h c sinh làm quen v i k năng th bi n đ sáng t o ra các
ớ ừ ệ ươ bài toán m i t các h ph ng trình đã gi ả ượ i đ c.
ệ ạ ọ ươ ườ ướ Trong quá trình d y h c h ph ng trình, tôi th ng xuyên h ẫ ng d n
ộ ệ ươ ớ ừ ộ ệ ươ ạ ọ h c sinh cách t o ra m t h ph ng trình m i t m t h ph ng trình gi ả i
ượ ằ ươ ế ế ấ ạ ậ ớ đ c b ng ph ng pháp th bi n. V i cách làm này tôi nh n th y t o đ ượ ự c s
ạ ọ ớ ứ h ng thú cho h c sinh, các em thay nhau sáng t o các bài toán m i và thách đ ố
ả ấ ữ ế ổ nhau gi ệ i r t sôi n i. Không nh ng th , quá trình này còn giúp các em rèn luy n
ấ ề ấ ệ ủ ậ ả ươ ả ệ cách nhìn nh n ra b n ch t v d u hi u c a các ph ng pháp gi i h ph ươ ng
ặ ệ ươ ặ ẩ trình đ c bi t là ph ụ ng pháp đ t n ph .
ệ ươ ự ớ ằ ỷ Quy trình xây d ng h ph ng trình m i b ng k năng th bi n ế ế :
ộ ệ ươ ả ượ h c b n ng trình gi ệ ơ ả ). c ( i đ B ọ c 1ướ : Ch n m t h ph
ế ệ ế ọ ượ ế ế (L u ýư : Bi n đ ọ c ch n B ể ự c 2ướ : Ch n bi n đ th c hi n phép th bi n
ệ ơ ả ả ả ượ ớ ủ ệ ạ ể ế ế đ th bi n ph i là t o ra các h c b n gi c v i các nghi m c a ph i đ ươ ng
ướ trình trong b c 1).
ể ạ ệ ươ ế ế ọ ớ ng trình m i. B ổ c 3ướ : Ti n hành bi n đ i, thu g n đ t o ra h ph
( y x
) 1
2
- 10 -
(cid:0) + + = - x (cid:0) (cid:0) 5 4 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài toán 1.1 : Gi (cid:0) x + = - y (cid:0) (cid:0) 5 4
2
iả Gi :
2
( y x
) 1
2
2
(
) 1
(cid:0) + + = - - x = - - x 5 4 5 4 � � Ta có : + 3 5 4 + = + = - y x 0 y � � � x x 2 0 (cid:0) � x � � � � x � � � = - y � � � � x � � 5 4 x + = 2 4
(cid:0) (cid:0) = - x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 3 2 (cid:0) = (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 4
(cid:0) = = - (cid:0) x 0 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ậ V y h có hai nghi m ệ : ; = - y (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) y 5 4 (cid:0) (cid:0) 1 2 3 2
ớ ệ ế ươ ự ọ ệ ng trình này chúng ta cho h c sinh th c hi n ậ Nh n xét : N u v i h ph
phép th bi n ế ế x b i ở 2x y+ và th bi n ế ế y b i ở xy ta có h : ệ
2
2
(cid:0) = - x + + y
( xy x
+ + y
) 1
2
2
(cid:0) (cid:0) 5 4 (cid:0) (cid:0) + + = -
(
)
x y xy (cid:0) (cid:0) 5 4
ự ệ ọ ươ ệ ể Th c hi n khai tri n và thu g n các ph ng trình trong h ta có h ệ
ươ ph ng trình sau :
2
3 x y
2 x y
4
2
- 11 -
(cid:0) + + = - x + + y xy (cid:0) (cid:0) 5 4 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài toán 1.2 : Gi (cid:0) + + = - x y xy + x (1 2 ) (cid:0) (cid:0) 5 4
ạ ọ ố ề (Đ thi đ i h c kh i A năm 2008)
iả Gi :
2
2
2
3 x y
2 x y
(cid:0) (cid:0) + + = - = - x + + y xy x + + y
( xy x
+ + y
) 1
2
4
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 4 5 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có : (cid:0) (cid:0) + + = - + + = -
(
)
x y xy x y xy + x (1 2 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 4 5 4
(
) 1
2
2
(cid:0) + = - + u v u (cid:0) (cid:0) + = (cid:0) y u x 5 4 (cid:0) (cid:0) Đ t ặ ta có hệ : (đây là bài toán 1.1). = (cid:0) v xy (cid:0) u + = - v (cid:0) (cid:0) 5 4
(cid:0) (cid:0) = - u (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - v (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 3 2 (cid:0) = (cid:0) u 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) v (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 4
2
2
3
3
(cid:0) = = = - (cid:0) (cid:0) u 0 + = y x 0 (cid:0) 5 4 (cid:0) � � TH1 : N u ế , ta có: = - = - = 3 v (cid:0) (cid:0) 5 4 x � � � = - y � x � � xy � � � y � � x � � 5 4 5 4 (cid:0) (cid:0) 25 16
2
3
- 12 -
(cid:0) (cid:0) = (cid:0) = - (cid:0) u + = - y (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) 1 2 (cid:0) � � TH2 : N u ế , ta có : (cid:0) x 1 � � = - y � = - = - (cid:0) (cid:0) v x � � � xy 3 2 + - = x x xy � � � 2 3 0 2 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 3 2 3 2
3
3
(cid:0) = = (cid:0) (cid:0) 1 5 4 ệ ươ ậ V y h ph ng trình có hai nghi m ệ : = - x � � y � (cid:0) = - ;3 2 x � � � y (cid:0) (cid:0) 25 16
ệ ả ệ ể ấ ả ố ọ ậ i h này đi m m u ch t là h c sinh ph i nhìn nh n ậ Nh n xét : Vi c gi
) 2
2x
ằ ượ ề ị ướ ứ ( ẳ c h ng đ ng th c đ , chính đi u này đ nh h ọ ng cho h c sinh nhìn y+
2
ượ ở ả ươ ệ ề ậ nh n đ c hai ph c ng trình trong h đ u có chung các đ i l ạ ượ ng
+ ừ ờ ả x y xy , t ư đó đ a ra l i gi i. ;
ọ ượ ề ớ ế ế c làm quen nhi u v i phép th bi n thì các Khi h c sinh đã đ
2
3
2
3
ẽ ể ượ ả ệ ề ấ ủ ứ ể ẳ ấ ằ em s hi u đ c b n ch t c a các d u hi u v các h ng đ ng th c có th là s ự
ế ế ủ ể ủ ộ ạ ượ ở x x y y khai tri n c a phép th bi n c a ng nào đó vì ; ; ; ... b i m t đ i l
ấ ự ộ ẽ ử ứ ể ẳ ằ ậ v y m t cách r t t nhiên các em s th nhóm các h ng đ ng th c này đ xem
ượ ừ ươ ặ ẩ tìm l ạ ạ ượ i đ i l ng đ ế c th và t đó hình thành “ ph ng pháp đ t n ph đ ụ ể
”. gi ả ệ ươ i h ph ng trình
2
(cid:0) x 0 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài toán 1.3 : Gi (cid:0) + = y + - = y x 2 0
iả Gi :
2
2
= - (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) = = - (cid:0) y 1 0 (cid:0) � � Ta có : (cid:0) - = (cid:0) + = y + - = y x - = x x 2 0 2 0 x � � x � y � � x � (cid:0) (cid:0) 2 = - (cid:0) (cid:0) y 2 (cid:0)
- 13 -
= - 1 ; ệ ậ V y h có hai nghi m ệ : = 2 = - 1 2 x � � y � = x � � y �
ệ ươ ệ ế Trong h ph ự ng trình trên n u ta th c hi n phép th bi n ế ế x b i ở y � �+� � x x � �
2 y � � + � � (cid:0) � � x
(cid:0) + x + - = y 3 0 (cid:0) (cid:0) y x (cid:0) 3y - và y b i ở ta đ ượ ệ ươ c h ph ng trình m i ớ : (cid:0) x + - = y 5 0 (cid:0)
2
ẫ ố ệ ươ ự ể ệ ồ Th c hi n khai tri n và quy đ ng m u s ta có h ph ng trình sau.
4
2 x y
(cid:0) + - (cid:0) x xy 3 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài toán 1.4 : Gi + + = x y + 2 0 = 2 - (cid:0) (cid:0) x x y 3 5 0
iả Gi :
2
Cách 1 :
2
4
2
2 x y
2 x y
2
(cid:0) - (cid:0) + - = x 3 0 (1) xy 3 Ta có : xy 2 + + = x y + 2 0 = 2 - + + = 2 - (cid:0) + + y ) (cid:0) (cid:0) x � � x x y 3 5 0 x �(cid:0) � ( x y x 5 0 (2) (cid:0)
(
)
- x + = y x y ươ ươ 3 ừ T ph ng trình (1) ta có thay vào ph ng trình (2) ta
có :
2
2
2
2
2 +
(
)
(
)
= (cid:0) x 0 = - - -
(
)
2
� � (cid:0) x y x y x y y 3 = 5 0 + 5 4 0 - (cid:0) y + = y 4 0 5
2
= (cid:0) 0 (cid:0) ế ợ ớ V i ớ 0x = , k t h p v i (1) ta có = (cid:0) x y 0
2 5
2
(cid:0) - (cid:0) + + y = x 3 0 1 (cid:0) - ế ợ y + = y V i ớ 4 0 ớ k t h p v i (1) ta có - (cid:0) (cid:0) =(cid:0) x � = y 1 (cid:0) x � y xy + = y 5 4 0
ệ ươ ậ V y h ph ng trình đã cho có 2 nghi m ệ : (0; 0); (1; 1) .
- 14 -
Cách 2:
= (cid:0) x 0 (cid:0) ậ ệ Nh n xét, 0x = thì h có nghi m ệ = (cid:0) y 0
ế ủ ế ủ ng trình đ u cho x và chia hai v c a
ươ ượ ệ ớ ư ươ 0x (cid:0) V i ớ ta chia hai v c a ph 2 ta đ ứ ng trình th hai cho x c h m i nh sau ầ : ph
2
2
(cid:0) (cid:0) + + + - = y 3 0 + - = y 3 0 (cid:0) (cid:0) y x x y
2
+ + - = + - = y 5 0 y 3 5 0 x � � � x � (cid:0) (cid:0) x �(cid:0) � 2 y � � � + x � � �� � x y x
= - (cid:0) (cid:0) u 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) v 1 0 = + x u (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ặ Đ n đây ta đ t ệ ở Khi đó h tr thành u v 2 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) u + - = v u 2 0 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - y v y x 3 (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) v 2 (cid:0)
2
(cid:0) = - (cid:0) + = - + + = (cid:0) (cid:0) u 1 1 x 4 0 (cid:0) (cid:0) V i ớ , ta có : (Vô nghi m)ệ = (cid:0) v 1 (cid:0) x � = y 4 (cid:0) (cid:0) x � y y x - = 3 1
2
(cid:0) = (cid:0) = + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) u 2 1 2 + = x 1 0 2 (cid:0) � � V i ớ , ta có : = - = (cid:0) (cid:0) v = x � = y 2 1 (cid:0) x � y 1 (cid:0) (cid:0) x � y y x - = - 3 2
ệ ươ ậ V y h ph ng trình đã cho có 2 nghi m ệ : (0; 0); (1; 1) .
ế ể ố ủ ờ i gi
ướ ươ
ợ ệ ả ế ủ ố ớ ọ ớ ậ Nh n xét ả ng “
ạ ượ ượ ẽ ệ ậ ặ đ c bi
ng “ ậ
ộ ng
ế ế t” này th ủ
ườ d ng tích c a nó v i m t đ i l ng trình khi đã khai tri n và chuy n v hoàn toàn. ặ ẩ c khi ti n hành đ t n ệ ớ ng trình trong h v i t” thích h p. Đ i v i h c sinh đã làm quyen v i phép t” này có c đ i l ẫ ố ồ ệ ạ c khi th c hi n phép th bi n và quy đ ng m u s vì v y trong các h lo i ở ộ ế ủ ậ ở ạ m t v c a d ng cô l p m t mình ộ ạ ượ ệ ấ ặ ớ ng chung, ho c xu t hi n ể ế ể Ta xét ví
- 15 -
ấ : Đi m m u ch t c a l i trên là tr ụ ự ệ ph thì ta ph i th c hi n phép chia hai v c a các ph ộ ạ ượ ặ m t đ i l đ c bi ạ ứ ế ế th bi n d ng phân th c các em s nh n ra đ ự ệ ượ đ ệ ặ ạ ượ ng “đ c bi này đ i l ặ ở ạ ươ ph ng trình, ho c ươ ề nhi u h n trong ph d sauụ ơ :
3
)
2
( ( xy y
(cid:0) + = x y 3 55 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài toán 1.5 : Gi + = + 64 ) y (cid:0) 3 3 + x 12 51 (cid:0)
ươ
ử ạ ạ ậ ậ ng trình này, theo phân tích trên nh n xét x là ể ế i vì v y có th ti n còn l
ậ Nh n xét ặ ử “đ c bi ử ạ h ng t hành th chia hai v các ph ệ : Trong h ph ớ ở ạ ệ d ng tích v i các h ng t t” vì nó ệ ươ ế ng trình trong h .
iả Gi :
3
ệ ệ ậ Nh n xét : 0x = h vô nghi m.
3
(
) + + 1
)
2
( ( xy y
3
(cid:0) (cid:0) y 3 52 = + y 55 3 (cid:0) V i ớ 0x (cid:0) , Ta có : + = + 64 ) y 3 3 + x 12 51 (cid:0) x � � � + = + 4 � �= (cid:0) � � �� � x � � ( ) y 1 3 52 (cid:0) (cid:0) 4 x
3
(cid:0) (cid:0) = + = (cid:0) (cid:0) v 3 52 u (cid:0) (cid:0) ệ ở Đ t ặ , h tr thành u 3 = + (cid:0) (cid:0) (cid:0) v u 3 52 (cid:0) 4 x = + y v 1
) ( u v u
(cid:0) + 2 + 2 - = (cid:0) (cid:0) (cid:0) + uv v v
) = 3
3
3
( � u
0 4 � � � - - (cid:0) = u � = v = + 4 (cid:0) u � u u 3 = 52 0 (cid:0) (cid:0) v 3 52
(cid:0) = = (cid:0) (cid:0) (cid:0) u 4 1 4 (cid:0) (cid:0) V i ớ , ta có = (cid:0) (cid:0) v = x � = y 4 3 (cid:0) + = (cid:0) 4 x � y 1 4
= (cid:0) x 1 (cid:0) ệ ệ ậ ấ V y h có nghi m day nh t = (cid:0) y 3
ư ậ ả ằ ặ ẩ ng pháp đ t n ph th
i b ng ph ơ ả ớ
ng trình gi ươ ượ ng pháp th ướ ụ ườ ng ế ậ ng nh n
ươ ươ ế ợ ng trình c b n k t h p v i ph ệ ị ấ c th đ có các d u hi u và đ nh h ể ụ ề ươ ệ ấ ươ ộ ệ Nh v y m t h ph ố ừ ộ ệ ồ m t h ph có ngu n g c t ế ế bi n. Do đó tùy theo bi n đ ặ ẩ ạ d ng v ph ế ể ng pháp đ t n ph . Các d u hi u đó có th là:
ứ ệ ấ
- 16 -
ố ủ ẳ ạ ằ ẳ ồ ủ ế ế ngu n g c c a phép th bi n ch ng h n th bi n ấ ế ế x b i ở ệ f x khi đó ( ) ể Các d u hi u c a các h ng đ ng th c: Các d u hi u này có th là 2x bi nế
ọ ạ ệ ẳ ấ ằ f ể x và khi khai tri n thu g n còn sót l ứ i các d u hi u h ng đ ng th c
2 ( ) thành ể ể đ có th nhóm l
ạ ụ ặ ẩ i và đ t n ph .
(cid:0) ệ ứ ế ể ổ có
H có ch a căn th c, có th là c a phép đ i bi n có ch a căn: ứ ứ ệ ặ ẩ ứ ụ ẳ ể ủ th xem xét vi c đ t n ph b ng căn th c.
ặ ẩ ế ả ế M t s h tr c khi ti n hành đ t n ph th
ộ ố ệ ướ ươ ụ ườ ợ ng ph i ti n hành chia ng phù h p. Nguyên nhân là phép
ệ ng trình trong h cho m t đ i l ầ ượ ử ụ ứ ứ ế v các ph ế ế th bi n ban đ u đ ộ ạ ượ ế ế c s d ng là th bi n có ch a phân th c.
ế ợ ớ ế ế ự ệ ế ổ ạ ố 2. Th c hi n phép th bi n k t h p v i các phép bi n đ i đ i s .
ệ
ướ ế ợ ệ ươ ẫ ế ế Ngoài vi c th c hi n các phép th bi n, trong quá trình h ng trình, ta có th h ọ ẫ ng d n h c ớ ng d n cac em k t h p v i các
ể ướ ạ ố ư ế ộ ự ạ ệ sinh sáng t o các h ph ổ ạ ố phép bi n đ i đ i s khác nh phép c ng đ i s , phép nhân…
2
(cid:0) x 0 (cid:0) ạ ẳ ừ ệ ươ ự Ch ng h n, t h ph ng trình , th c hi n ế ế ệ phép th bi n (cid:0) + = y + - = y x 2 0
2
3y - ồ ọ x b i ở và y b i ở , quy đ ng và rút g n ta đ ượ ệ : c h y � �+� � x x � �
4
2 x y
(cid:0) + - (cid:0) x xy 3 (1) (cid:0) + + = x y + 2 0 = 2 - (cid:0) (cid:0) x x y 3 5 0 (2)
2x
ở ươ ế ươ ph ng trình (1) th vào ph ng trình (2) ta có h ệ
ươ ế ụ Ti p t c rút ng trình sau : ph
2
ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài toán 2.1 : Gi
4
2 x y
(cid:0) + - (cid:0) x xy (1) (cid:0) 0 2 + + = x y 3 + + - (cid:0) (cid:0) x xy y + x = y 3 5 15 5 0 (2)
ướ i đ ệ c h ph
ậ Nh n xét ậ
- y nhìn nh n đ + x xy 3 ự ế
ươ ng trình (1) và ph ng th đ i l ạ ượ ộ ể ả ượ : Đ gi ươ ượ ở c ph ị ể ừ đó đ nh h đ t ạ ố ể ệ phép c ng đ i s đ tri ng trình này, tr ươ ế ạ ượ ng này ả ế ọ c h t h c sinh ph i ậ ộ ng trình (2) có b ph n chung là ệ ng này ho c ti n hành th c hi n ở ươ ph ặ ng trình (2). ướ t tiêu đ i l
- 17 -
iả Gi :
2
4
2 x y
2
(cid:0) + - (cid:0) x xy (cid:0) Ta có : 0 2 + + = x y 3 + + - (cid:0) (cid:0) x xy y + x = y 3 5 15 5 0
4
2 x y
(cid:0) + - (cid:0) x xy 3 (cid:0) (cid:0) + + = x y + 2 0 = 2 - (cid:0) (cid:0) x x y 3 5 0
= (cid:0) x 0 (cid:0) ậ ệ Nh n xét, 0x = thì h có nghi m ệ = (cid:0) y 0
ế ủ ế ủ ng trình đ u cho x và chia hai v c a
ươ ượ ệ ớ ư ươ 0x (cid:0) V i ớ ta chia hai v c a ph 2 ta đ ứ ng trình th hai cho x c h m i nh sau ầ : ph
2
2
(cid:0) (cid:0) + + + - = y 3 0 + - = y 3 0 (cid:0) (cid:0) y x x y
2
+ + - = + - = y 5 0 y 3 5 0 x � � � x � (cid:0) (cid:0) x �(cid:0) � 2 y � � � + x � � �� � x y x
= - (cid:0) (cid:0) u 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) v 1 0 = + x u (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ặ Đ n đây ta đ t ệ ở Khi đó h tr thành u v 2 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) u + - = v u 2 0 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - y v y x 3 (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) v 2 (cid:0)
2
(cid:0) = - (cid:0) + = - + + = (cid:0) (cid:0) u 1 1 x 4 0 (cid:0) (cid:0) V i ớ , ta có : (Vô nghi m)ệ = (cid:0) v 1 (cid:0) x � = y 4 (cid:0) (cid:0) x � y y x - = 3 1
2
(cid:0) = (cid:0) = + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) u 2 1 2 + = x 1 0 2 (cid:0) � � V i ớ , ta có : = - = (cid:0) (cid:0) v = x � = y 2 1 (cid:0) x � y 1 (cid:0) (cid:0) x � y y x - = - 3 2
2
2
ệ ươ ậ V y h ph ng trình đã cho có 2 nghi m ệ : (0; 0); (1; 1) .
2
2
)
(
(
) 1 + =
(cid:0) + = (cid:0) 8 (1) x + y + (cid:0) ả ươ y x 2 ệ i h ph ng trình sau : Bài toán 2.2 : Gi (cid:0) + + (cid:0) x y xy 8 4 3 8 0 (2)
- 18 -
(I)
Gi i:ả
)
( 2 *
(cid:0) (cid:0) x y 1; Đk:
2
ớ V i ĐK (*) ta có:
2
2 � � � � x y = + � � � � + + 2 1 � � � � = + + y xy 2) 1)( 4(
2 � � � � x y = + � � � � + +� � x 2 1 � � y +
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 8 (cid:0) (cid:0) 8 y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) I ( ) x y (cid:0) (cid:0) = 4 . (cid:0) x (cid:0) x + (cid:0) x y 2 1
= = a b ; Đ t ặ x + y + y x 2 1
2
2
ệ ươ ở Ta có h ph ng trình tr thành:
) 2
( � ab
(cid:0) (cid:0) + = = (cid:0) b 8 16 (cid:0) = + a b = (cid:0) (cid:0) a � ab 4 (cid:0) 4
+ = = 4 2
a b = = 2 � � 4 + = - 4 2
a b = = - 4 2 � � � � ab � � � � � � ab � � � � a � � � b � � � = - a � � � b � � �
(cid:0) - (cid:0) = = 2 x (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) x + (cid:0) (cid:0) a 2 4 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tm ( ) * V i ớ ta có: y � = - (cid:0) (cid:0) b 2 = y x 2 � - = - x y 2 2 (cid:0) (cid:0) = = y 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) y + (cid:0) 8 3 10 3 x 1
(cid:0) = - 2 (cid:0) = - + = - (cid:0) x + (cid:0) a 2 4 0 2 (cid:0) � � * V i ớ ta có: (Lo i)ạ y � = - (cid:0) b y 2 + = - y x 2 2 2 (cid:0) x � � 2 � = x � � = - y � = - 2 (cid:0) y + (cid:0) x 1
- 19 -
- ; ủ ệ ươ ệ ậ V y nghi m c a h ph ng trình là: 10 3 -� 8 � 3 � � . � �
ấ ượ ụ ọ c quá trình ậ Nh n xét ẽ : Qua các ví d trên ta s làm cho h c sinh th y đ
ệ ươ ớ ằ ươ ế ươ ạ ố ạ t o ra h ph ng trình m i b ng ph ng pháp th , ph ộ ng pháp c ng đ i s ,
ươ ừ ế ế ph ng pháp nhân v theo v …T đó hình thành cho các em thói quen quan sát
ạ ượ ố ữ ươ ể ị ể ệ ữ m i liên h gi a các “đ i l ng chung” gi a hai ph ng trình đ có th đ nh
ướ ề ươ ươ ể ả ệ ừ ớ h ng v ph ế ợ ng pháp k t h p hai ph ng trình v i nhau đ gi i h t đó hình
ỹ ươ ộ ỹ thành các k thu t s d ng ế , k thu t s d ng ậ ử ụ “ph ng pháp th ” ừ ậ ử ụ “c ng, tr ,
ế ươ và nhân theo v các ph ủ ệ . ng trình c a h ”
Ự Ứ Ệ Ệ Ổ IV. CÁC BI N PHÁP T CH C TH C HI N
ổ ọ ộ ố ữ ự ệ ạ ậ ổ Th c hi n trong ph m vi m t s bu i ch a bài t p, các bu i h c thêm.
ộ ố ụ ề ớ ừ ứ ự ư ầ Th y giáo đ a ra m t s ví d v cách th c xây d ng các bài toán m i t các bài
ơ ả ướ ệ ệ ể ẫ ấ ọ toán c b n, sau đó h ặ ng d n h c sinh tìm tòi đ phát hi n các d u hi u đ c
ư ờ ả ể tr ng đ tìm ra l i gi i.
ệ ươ ự ự ề ổ ố Th c hi n t ng t trong các bu i ôn thi THPT qu c gia v chuyên đ ề
ệ ươ h ph ng trình.
ủ ế ự ệ ọ ổ ỏ ề Th c hi n ch y u trong các bu i ôn thi h c sinh gi i v chuyên đ h ề ệ
ươ ph ng trình.
ụ ự ệ ọ ự ứ ệ Th c hi n giao nhi m v cho h c sinh t ớ nghiên c u các bài toán m i,
ể ị ư ệ ệ ề ặ ướ ả ấ đúc rút kinh nghi m v các d u hi u đ c tr ng đ đ nh h ng gi i các h ệ
ươ ớ ự ướ ủ ể ầ ẫ ph ng trình v i s h ng d n, ki m tra c a Th y giáo.
- 20 -
Ứ Ả Ế V. K T QU NGHIÊN C U.
ụ ề ệ ệ ấ Sau khi áp d ng các bi n pháp trong đ tài đã cho th y các bi n pháp đã
ượ ượ ự ứ ạ ọ ạ t o đ c s h ng thú cho h c sinh, các em thay nhau sáng t o các bài toán c đ
ớ ố ả ấ ự ổ ượ m i và thách đ nhau gi ề i r t sôi n i. Có nhi u em đã xây d ng đ c các bài
ớ ạ ữ ế toán khá hay và m i l . Không nh ng th , quá trình này còn giúp các em rèn
ấ ề ấ ủ ệ ệ ậ ả ươ luy n cách nhìn nh n ra b n ch t v d u hi u c a các ph ng pháp gi ả ệ i h
ươ ph ng trình.
ấ ở ớ ể ị ả ọ Qua kh o sát cho th y, l p 10 và 12: trên 80% h c sinh có th đ nh
ướ ề ươ ả ướ ươ ươ h ng đúng v ph ng pháp gi ứ i khi đ ng tr ệ c h ph ng trình t ng t ự
ử ỳ ư ề ề ặ trong đ tài do giáo viên đ a ra ho c các bài toán trong các đ thi th k thi
ủ ố ườ ả ọ THPT qu c gia c a các tr ng và có kho ng 30% h c sinh có th gi ể ả ượ ớ c v i i đ
ờ ợ ở ớ th i gian h p lý trên l p.
ư ậ ề ế ế ề ạ ạ ỷ Nh v y đ tài “ Th bi n – k năng t o ni m đam mê sáng t o cho
ọ ụ ự ễ ấ có tác d ng th c ti n r t h c sinh thông qua bài toán gi ả ệ ươ i h ph ng trình”
ọ ậ ủ ọ ạ ủ ả ớ l n trong gi ng d y c a giáo viên và quá trình h c t p c a h c sinh.
Ậ Ế Ế Ị C. K T LU N VÀ KI N NGH
Ậ Ế I. K T LU N.
ệ ố ề ấ ộ Trong đ tài, tôi đã cung c p m t cách có h th ng logic quy trình sáng
ệ ươ ớ ừ ệ ươ ơ ả ệ ạ t o các bài toán h ph ng trình m i t các h ph ọ ng trình c b n. Vi c h c
ệ ậ ấ ổ ắ ượ sinh luy n t p quy các quy trình này r t b ích vì các em n m đ ố ồ c ngu n g c
ộ ệ ươ ừ ẽ ượ ể ạ đ t o ra m t h ph ổ ng trình t ng quát, t đó các em s tìm đ ệ ấ c các d u hi u
ấ ủ ệ ươ ằ ị ướ ự ả b n ch t c a các h ph ng trình nh m tìm đúng đ nh h ệ ng, và th c hi n
ả đ ượ ờ c l i gi i.
ự ệ ệ ệ ạ ọ ươ ớ Vi c h c sinh th c hi n sáng t o các h ph ng trình m i còn làm tăng
- 21 -
ự ự ệ ư ạ ự ứ s h ng thú cho các em, kích thích các em s t tin, rèn luy n t duy sáng t o, t ư
ặ ổ ệ ấ ượ ầ ạ duy t ng quát hóa, đ c bi t hóa. Góp ph n nâng cao ch t l ọ ng d y h c toán nói
chung.
ể ế ệ ệ ả ạ Sáng ki n kinh nghi m có th làm tài li u tham kh o cho giáo viên d y
ộ ọ ố ọ ọ h c b môn Toán ở ườ tr ng THPT; cho các em h c sinh đang h c kh i 10 THPT
ư ố ọ ố ỳ cũng nh các em h c sinh kh i 12 THPT đang ôn thi k thi THPT qu c gia.
Ế Ị II. KI N NGH .
ụ ế ệ ạ ắ ả ầ ả ắ Khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m trong gi ng d y, c n ph i ch c ch n
ắ ọ ượ ươ ả ệ ơ ả ạ ằ r ng h c sinh đã n m đ c ph ng pháp gi i các d ng h c b n.
ể ượ ề ở ầ ươ Đ tài có th đ ể c phát tri n thêm trong ph n ph ng trình đ tr ể ở
ệ ả ạ ở ườ thành tài li u cho các giáo viên gi ng d y môn Toán các tr ng THPT.
ế ả ượ ữ ẩ ỏ ị B n sáng ki n đ c chu n b nghiêm túc song không tránh kh i nh ng sai
ả ả ơ ế ả ổ sót. Tác gi xin chân thành c m n ý ki n đóng góp b sung quý giám kh o, quý
- 22 -
ọ ể ề ạ ầ ượ ệ ơ th y cô và các b n đ c đ đ tài ngày càng đ c hoàn thi n h n.
