Ấ
Ầ
Ề
Ặ PH N 1. Đ T V N Đ
ọ ề 1. Lí do ch n đ tài
ướ ự ủ ấ ướ ể ỏ ứ Đ ng tr c s phát tri n và đi lên c a đ t n ụ c đòi h i Ngành Giáo d c
ả ổ ớ ươ ấ ượ ể ụ ạ ọ ph i đ i m i ph ng pháp đ nâng cao ch t l ả ạ ng d y h c. Giáo d c ph i t o
ữ ườ ủ ấ ự ề ạ ộ nên nh ng con ng i năng đ ng, sáng t o có năng l c làm ch v n đ và gi ả i
ế ấ ề ề ấ ộ ọ ọ ứ quy t v n đ . M t trong các môn h c cung c p cho h c sinh nhi u kĩ năng, đ c
ấ ủ ẩ ườ ộ ớ ọ tính, ph m ch t c a con ng ọ i lao đ ng m i là môn h c Hình h c không gian.
ứ ề ấ ộ ọ ọ M t trong các môn h c cung c p cho h c sinh nhi u kĩ năng, đ c tính,
ẩ ườ ộ ớ ọ ấ ủ ph m ch t c a con ng ọ i lao đ ng m i là môn h c Hình h c không gian.
ầ ổ ọ Trong môn toán ở ườ tr ng ph thông ph n Hình h c không gian gi ữ ộ m t
ế ứ ứ ệ ế ấ ọ ọ ị vai trò, v trí h t s c quan tr ng. Ngoài vi c cung c p cho h c sinh ki n th c, kĩ
ả ứ ệ ọ ọ năng gi ẩ i toán, hình h c không gian còn rèn luy n cho h c sinh đ c tính, ph m
ấ ủ ườ ỉ ậ ẩ ậ ộ ớ ch t c a con ng i lao đ ng m i: c n th n, chính xác, có tính k lu t, tính phê
ồ ưỡ ạ ư ề ạ phán, tính sáng t o, b i d ẩ ng óc th m mĩ, t duy sáng t o, phát huy ti m năng,
ạ ủ ả ọ ỗ kh năng sáng t o c a m i cá nhân cho h c sinh.
ứ ậ ả ạ ậ ấ ọ Qua nghiên c u lí lu n và trong quá trình gi ng d y tôi nh n th y h c sinh
ạ ọ ấ ằ ọ ừ ớ l p 11 r t e ng i h c môn Hình h c không gian vì các em nghĩ r ng nó tr u
ự ế ế ề ầ ặ ượ t ng, thi u tính th c t . V ph n giáo viên cũng g p không ít khó khăn khi
ạ ộ ứ ề ế ươ ả ạ ậ truy n đ t n i dung ki n th c và ph ng pháp gi ọ i các d ng bài t p Hình h c
ặ ệ ữ ậ ả ườ ẳ không gian, đ c bi t là các bài t p tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo
ườ ệ ấ ươ nhau trong không gian vì các em th ng r t khó trong vi c tìm ph ng pháp gi ả i
ị ượ ủ ạ ườ và xác đ nh đ c đo n vuông góc chung c a hai đ ẳ ng th ng đó.
ệ ầ ủ ự ứ ự ạ ầ Th c tr ng và yêu c u c a vi c c n có s yêu thích h ng thú trong gi ả i
ữ ả ườ ẳ Toán tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau trong không gian: Qua
ề ề ả ạ ấ ấ ọ ọ ế ậ nhi u năm gi ng d y môn toán tôi nh n th y có r t nhi u h c sinh h c y u
1
ư ắ ư ầ ắ ố ươ ề ph n này. Đa s các em ch a có ni m yêu thích và ch a n m ch c ph ng pháp
ả ữ ạ ả ườ ẳ gi i các d ng toán tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau. Do đó gây
ạ ả ọ ọ nên tình tr ng chán và n n h c môn h c này.
ứ ụ ế ề ả ầ ớ ọ ộ Kh năng áp d ng: Do đây là ph n n i dung ki n th c m i nên nhi u h c
ư ớ ư ừ ượ ủ ứ sinh còn ch a quen v i tính t duy tr u t ộ ng c a nó, nên tôi nghiên c u n i
ữ ằ ươ ạ ạ ứ dung này nh m tìm ra nh ng ph ng pháp d y t o h ng thú, phát huy tính tích
ớ ọ ủ ủ ạ ạ ộ ọ ợ ự c c ch đ ng sáng t o c a h c sinh, phù h p v i h c sinh, bên c nh cũng
ữ ằ ỡ ướ ắ ọ ườ ặ nh m tháo g nh ng v ng m c, khó khăn mà h c sinh th ả ớ ng g p ph i v i
ấ ượ ầ ố ả ạ mong mu n nâng d n ch t l ng gi ng d y môn Toán nói chung và môn Hình
ọ h c không gian nói riêng.
ự ự ể ế ạ ệ ả ờ ạ Tuy nhiên đ sáng ki n th c s mang l i hi u qu trong các gi d y ta
ắ ơ ả ừ ứ ả ả ạ ả ọ ạ ầ ư c n l u ý nguyên t c c b n trong d y h c là: ph i đ m b o tính v a s c, d y
ả ự ớ ừ ể ấ ả ợ ầ ọ h c ph i d a vào vùng phát tri n g n nh t, ph i phù h p v i t ng đ i t ố ượ ng
ọ h c sinh.
ấ ằ ứ ậ ọ Qua nghiên c u sách giáo khoa Hình h c 11, tôi nh n th y r ng ngoài các
ậ ủ ố ế ứ ậ bài t p c ng c ki n th c, còn có các bài toán hay và khó. Vì v y v i đ i t ớ ố ượ ng
ể ử ụ ậ ủ ệ ắ ố ọ h c sinh trung bình ta có th s d ng bài t p c ng c các khái ni m và kh c sâu
ố ớ ọ ể ậ ổ ị đ nh lí; đ i v i h c sinh khá có th thông qua các bài t p b sung, nâng cao.
ệ ố ự ế ễ ể ả ớ ứ Đi m m i trong k t qu nghiên c u là tính th c ti n và tính h th ng,
ặ ậ ụ ễ ặ ọ ệ không áp đ t ho c r p khuôn máy móc do đó h c sinh d dàng áp d ng vào vi c
ả ế ạ gi i quy t các bài toán l , các bài toán khó.
ế ợ ừ ể ặ ớ ọ ứ T lý do trên, k t h p v i nghiên c u đ c đi m sách giáo khoa Hình h c
ề ươ ạ ứ ọ ệ ọ 11, tôi ch n đ tài: ng pháp t o h ng thú cho h c sinh trong vi c tìm “Ph
ờ ả ườ ả l i gi i cho các bài toán tìm đ ng vuông góc chung và tính kho ng cách
ữ ườ ọ ẳ gi a hai đ ng th ng chéo nhau trong không gian Hình h c 11 ớ ố ”, v i đ i
ọ ỏ ượ t ng là h c sinh khá và gi i .
2
ủ ề ụ 1.2. M c đích c a đ tài
ứ ủ ề ụ ọ ươ M c đích nghiên c u c a đ tài là hình thành cho h c sinh các ph ng pháp và
ả ạ ả ườ ẳ ỹ k năng gi i d ng toán tính kho ng cách g ữ i a hai đ ng th ng chéo nhau trong
ộ ố ươ ứ ể ọ ư không gian. Đ a ra m t s ph ng pháp đ gây h ng thú cho h c sinh và giúp
ữ ượ ấ ộ ọ ố ắ ọ h c sinh n m v ng đ c n i dung tr ng tâm nh t, bài ể toán g c đ các bài toán
ể ả ế ự ố khác có th gi i quy t d a vào bài toán g c đó.
ố ượ ủ ề ạ 1.3. Đ i t ng và ph m vi c a đ tài
ọ ố ườ ư ỳ H c sinh kh i 11 tr ng THPT Qu nh L u 2
ươ ứ 1.4. Ph ng pháp nghiên c u
ươ 1.4.1. Ph ng pháp
ứ ậ Nghiên c u lí lu n chung.
ề ả ừ ự ế ạ ọ Kh o sát đi u tra t th c t d y và h c.
ổ ợ ừ ệ ả ạ T ng h p so sánh, đúc rút t kinh nghi m gi ng d y.
ự ệ 1.4.2. Cách th c hi n
ổ ớ ồ ệ ế ả ộ Trao đ i v i đ ng nghi p, tham kh o ý ki n giáo viên cùng b môn.
ệ ự ế ườ ệ Liên h th c t trong nhà tr ng, đúc rút kinh nghi m qua quá trình
ạ ả gi ng d y.
ự ế ệ ả ạ ớ ố ọ Thông qua vi c gi ng d y tr c ti p các l p kh i 11 qua các năm h c.
ứ ờ 1.5. Th i gian nghiên c u
3
ề ế ệ ượ ể ừ Đ tài sáng ki n kinh nghi m đ c tri n khai t năm 20 21.
Ộ Ứ Ầ PH N 2. N I DUNG NGHIÊN C U
ươ ơ ở ự ễ ủ ề ơ ở ậ Ch ng 1: C s lí lu n và c s th c ti n c a đ tài
ậ 1.1. C s ơ ở lí lu n chung
ỗ ộ ố ề ộ ộ M i m t con ng ườ ồ ạ i t n t i trong cu c s ng đ u hình thành cho mình m t kĩ
ủ ố ườ ả năng s ng riêng. Kĩ năng c a con ng i không ph i là sinh ra đã có mà đ ượ c
ừ ườ ừ ủ ệ hình thành t môi tr ố ng s ng, t ố kinh nghi m s ng c a m i c ỗ on ng i.ườ
ả ả ả ơ ể ả ộ ộ Đ hình thành m t kĩ năng không ph i đ n gi n mà ph i tr i qua m t quá
ơ ở ơ ở ữ ệ ố ổ trình dài trên c s đúc rút nh ng kinh nghi m v n có, trên c s phân tích, t ng
ợ h p và khái quát hóa.
ả ể ượ ư ể ả Kĩ năng trong gi i toán cũng có th đ ữ ữ c hi u nh là nh ng kĩ x o, nh ng
ủ ậ ả ỗ ạ ố ớ ề th thu t trong quá trình gi i toán. Đ i v i m i d ng toán đ u mang trong nó
ả ớ ủ ủ ữ ữ ệ ậ nh ngữ cách gi ậ i v i nh ng th thu t riêng mà vi c hình thành nh ng th thu t
ự ự ầ ề ộ ế ườ ọ đó là m t đi u th c s c n thi t cho ng i h c toán.
ệ ả ỉ ọ Vi c hình thành cho h c sinh kĩ năng trong gi i toán không ch mang l ạ i
ề ặ ộ ọ ổ ươ ố ớ ộ cho h c sinh có m t cách nhìn t ng quát v m t ph ng pháp đ i v i n i dung
ụ ọ ế ể toán nào đó mà còn giáo d c cho h c sinh bi ỗ t phân tích, xem xét đ trong m i
ệ ụ ể ẽ ậ ụ ể ụ ả ố ợ ồ tình hu ng c th , công vi c c th s v n d ng kh năng nào là h p lý. Đ ng
ồ ưỡ ầ ờ ườ ọ ữ ầ ế ủ th i nó góp ph n b i d ng cho ng ứ i h c nh ng đ c tính c n thi t c a ng ườ i
ư ạ ộ ượ ệ ố ế ạ lao đ ng sáng t o nh tính kiên trì v t khó, tính k ho ch, tính h th ng, kĩ
ộ ự ậ ệ ượ ủ ổ ợ năng phân tích, t ng h p,... c a m t s v t, hi n t ng.
ố ớ ộ ể ế ọ ượ ỏ ọ Đ i v i b môn hình h c không gian, đ ti p thu đ c nó đòi h i h c sinh
ự ư ả ừ ượ ố ể ả ữ ế ph i có s t duy tr u t ng t t và đ gi ế i quy t nh ng bài toán liên quan đ n
ứ ế ả ầ ọ ọ ố tính toán trong hình h c không gian thì h c sinh c n ph i có v n ki n th c liên
ệ ứ ượ ư ế ị quan đ n kĩ năng tính toán nh : H th c l ọ ng, đ nh lí Talet trong hình h c
ẳ ằ ồ ạ ph ng, tam giác đ ng d ng tam giác b ng nhau,..
4
ủ ấ ự ề ạ 1.1.1. Th c tr ng c a v n đ
ậ ợ a. Thu n l i:
ề ạ ượ ố ượ ế ề Là giáo viên d y toán nhi u năm đ ớ c ti p xúc v i nhi u đ i t ọ ng h c
ố ọ ươ ọ ậ ớ sinh. Đa s các em thích h c Toán, thích tìm ph ng pháp m i trong h c t p.
ả ườ ỏ ư ổ ườ B n thân là ng ọ i thích h c h i và t duy. T chuyên môn th ng xuyên
ề ổ ớ ư ả ổ ọ ậ trao đ i, th o lu n v đ i m i t ạ duy trong d y h c Toán.
ưở ụ ứ ệ ạ ở ộ ế H ng ng vi c S giáo d c và đào t o phát đ ng phong trào vi t sáng
ề ổ ự ế ệ ằ ớ ọ ạ ki n kinh nghi m v đ i m i trong d y h c, nh m phát huy tính tích c c ch ủ
ạ ủ ọ ộ đ ng sáng t o c a h c sinh.
b. Khó khăn:
ọ ọ ớ ỏ ư Môn hình h c không gian là môn h c m i, đòi h i tính t duy tr u t ừ ượ ng
ầ ỹ ố ẽ cao. Yêu c u k năng v hình và quan sát hình t t.
ứ ơ ả ệ ắ ứ ế ế ớ ọ ế Vi c n m các ki n th c c b n và ti p thu ki n th c m i hình h c không
ủ ọ ạ ớ ố ế gian l p 11 c a h c sinh đa s còn h n ch .
ỹ ư ả ế ố ượ K năng t duy phân tích gi thi ệ ữ t, quan h gi a các đ i t ng trong hình
ủ ế ọ ẳ không gian và hình h c ph ng c a các em còn y u.
ỹ ả ờ ả ế K năng gi i Toán và trình bày l i gi i còn y u.
ơ ả ự ề ế ậ ả ạ ớ ấ Qua nhi u năm tr c ti p gi ng d y các l p 11 ( c b n), tôi nh n th y
ỉ ừ ế ạ ở ứ ộ ế ả ị ằ r ng n u giáo viên ch d ng l m c đ nêu đ nh nghĩa th nào là kho ng cách i
ữ ườ ẳ ị ườ gi a hai đ ng th ng chéo nhau và nêu cách xác đ nh đ ng vuông góc chung
ườ ư ẳ ọ ủ c a hai đ ng th ng chéo nhau nh trong sách giáo khoa Hình h c 11 Ban c ơ
ỉ ắ ầ ọ ượ ệ ơ ả b n, thì h c sinh đ n thu n ch n m đ ư c khái ni m mà ch a có kĩ năng trong
ư ệ ị ướ ể ả ế ấ ề ượ vi c xác đ nh cũng nh các b c đ gi ề i quy t v n đ . Đi u đó đ ể ệ c th hi n
ả ữ ả ườ ẳ khá rõ khi các em gi i các bài toán tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo
ể ề nhau trong không gian trong sách giáo khoa, trong bài ki m tra, trong các đ thi,...
ớ ạ ủ ệ ạ ạ ặ ộ Nguyên nhân c a vi c ng i va ch m v i d ng toán này, m t m t là các em
5
ữ ắ ắ ả ườ ẳ ệ không n m ch c khái ni m kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau và các
ế ấ ặ ả tính ch t liên quan. M t khác, do các em thi u kĩ năng gi ậ i toán, kĩ năng nh n
6
ướ ế ờ ả ạ d ng và các b c ti n hành trong quá trình trình bày l i gi i.
ạ ướ ứ ề ự 1.1.2. Th c tr ng t ạ ườ i tr ng tr c khi nghiên c u đ tài
ộ ố ế ầ ả ấ ọ ự ậ H u h t các h c sinh không thích, th m chí m t s còn c m th y áp l c
ế ỗ ế ặ ế ở ứ ề ọ m i khi đ n ti t hình không gian. Nhi u em h c m c trung bình ho c y u các
ệ ố ớ ườ ồ ọ ệ ặ ớ l p, đ c bi t các em l p kh i C, D th ng ng i h c nói chuy n riêng, không chú
ụ ằ ậ ế ọ ề ả ý, th m chí n m g c trên bàn trong các ti t h c v tính kho ng cách trong không
ả ọ ậ ế ế ạ ượ ấ gian. Chính vì th k t qu h c t p các em đ t đ ể c r t kém, các em không hi u
ự ế ấ ả ẫ ả ầ ế ạ bài d n đ n c m th y chán n n và áp l c. Do đó c n thi t giáo viên t o ra
ươ ứ ề ể ạ ọ ph ng pháp d y h c hay, gây h ng thú và ni m tin cho các em, đ các em tìm
ạ ượ ự ầ ọ l i đ c s say mê cho ph n h c này nói riêng và môn hình không gian nói
7
chung.
ươ Ch ng 2:
Ứ Ằ Ả Ệ CÁC BI N PHÁP NH M GÂY H NG THÚ TRONG GI I TOÁN
Ọ HÌNH KHÔNG GIAN CHO H C SINH
ự ế ử ụ ề ọ ươ Th c t trong các năm h c tôi đã s d ng nhi u ph ứ ng pháp gây h ng
ọ ậ ề ấ ấ ọ ượ thú h c t p cho h c sinh, giúp các em tìm th y ni m vui, th y đ c cái hay cái
ữ ọ ươ ụ ể ự ẹ đ p trong môn h c. Nh ng ph ự ng pháp c th sát th c giúp phát huy tính c c
ế ạ ủ ộ ứ ự ế ể ạ ọ ch đ ng sáng t o, phát tri n năng l c ki n t o và khám phá ki n th c cho h c
ự ự ể ị ướ ề sinh giúp các em phát tri n năng l c d đoán, đ nh h ng có ni m say mê môn
h c.ọ
ơ ồ ư 2.1. Dùng s đ t duy
8
ữ ả ị ườ ẳ ng th ng chéo nhau Cách xác đ nh kho ng cách gi a hai đ
ể ọ ự ế ế ọ ớ Cũng có th cho h c sinh t thi t k và trình bày ngay trên l p h c. Các
ể ệ ả ạ ỏ ư ừ ượ em th a thích th hi n kh năng sáng t o, t duy tr u t ế ể ệ ng và th hi n ý ki n
ẽ ủ ả ạ ổ ớ ủ c a mình vào trong b n v c a mình. Sau đó cho các b n trong l p b sung thêm
ổ ợ ẽ ủ ệ ế ả các ý ki n b tr hoàn thi n b n v c a các em.
ữ ệ ể ả ợ ổ ườ T ng h p các khái ni m kho ng cách gi a đi m, đ ặ ng và m t
ệ ố H th ng
ứ ki nế th c và
ph ngươ pháp tính
kho ngả cách gi aữ
các y uế tố
ụ 2.2. Sử d ng công
nghệ thông tin
9
ạ ọ trong d y h c
ộ ế Dùng Tivi trong m t ti ệ ậ t luy n t p
10
ạ ọ ợ ổ ứ ọ ậ ơ 2.3. D y h c h p tác theo nhóm, t ch c trò ch i trong h c t p
ự ợ ượ ữ ự ọ ộ Năng l c h p tác đ ủ c xem là m t trong nh ng năng l c quan tr ng c a
ườ ự ể ậ ộ ợ con ng i trong xã h i hiên nay, chính vì v y phát tri n năng l c h p tác t ừ
ườ ế ớ ụ ế ọ ở ộ ạ ọ trong tr ng h c đã tr thành m t xu th giáo d c trên th gi ợ i. D y h c h p
ự ễ ủ ế ỏ ự ả tác theo nhóm nh chính là s ph n ánh th c ti n c a xu th đó
ươ Ch ng 3.
Ơ Ả Ạ CÁC D NG TOÁN C B N
Ị 3. 1. CÁC Đ NH NGHĨA
ị ể ộ ườ ẳ ẳ ặ ọ ng th ng . Trong m t ph ng , g i là Cho m t đi m và đ Đ nh nghĩa 1.
ế ủ ạ ộ ượ ả ọ hình chi u c a O trên . Khi đó đ dài đo n đ c g i là kho ng cách t ừ ể đi m
ệ ẳ ế ườ đ n đ ng th ng , kí hi u là .
ị ả ừ ộ ể ế ẳ ặ m t đi m đ n m t ph ng () là ạ ộ đ dài đo n Kho ng cách t Đ nh nghĩa 2.
ủ ế ệ ớ , v i là hình chi u vuông góc c a lên (), kí hi u là
ị ữ ả ườ ẳ ẳ ặ ng th ng và m t ph ng () song song Kho ng cách gi a đ Đ nh nghĩa 3.
ừ ộ ộ ớ ể ệ ặ ẳ ả ớ v i là kho ng cách t ấ m t đi m b t kì thu c t i m t ph ng (), kí hi u .
ị ữ ả ặ ẳ Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song () và () là Đ nh nghĩa 4.
ả ừ ộ ể ế ẳ ấ ặ ặ ộ kho ng cách t ẳ m t đi m b t kì thu c m t ph ng này đ n m t ph ng kia, kí
ệ hi u là
=v i () ớ
ớ =v i ()
ị ữ ả ườ ẳ ộ ng th ng chéo nhau là đ dài Kho ng cách gi a hai đ Đ nh nghĩa 5.
ủ ạ ườ đo n vuông góc chung c a hai đ ẳ ng th ng đó.
ầ ư ụ ự ế ể ằ ả ị Chúng ta c n l u ý r ng: Tính kho ng cách có th áp d ng tr c ti p đ nh
ư ể ế ặ ẳ ạ ủ nghĩa ho c tính gián ti p, ch ng h n nh có th tính đ ượ ườ c đ ộ ng cao c a m t
ả ừ ỉ ớ ế ế ố ộ tam giác (kho ng cách t đ nh t i đáy) n u bi ệ ạ t s đo đ dài c nh đáy và di n
ủ ể ề ướ ầ ộ tích c a tam giác đó. Và m t đi u không th quên là tr c khi tính toán c n xác
11
ế ố ữ ầ ả ị đ nh rõ bài toán yêu c u tính kho ng cách gi a hai y u t nào.
12
ƯƠ Ơ Ả Ả 3. 2. PH NG PHÁP GI I TOÁN, BÀI TOÁN C B N VÀ BÀI TOÁN
Ụ Ậ V N D NG
ả ừ ể ế ẳ ặ ấ 3. 2. 1. V n đ 1: ề Tính kho ng cách t đi m đ n m t ph ng ().
ươ ả Ph ng pháp gi i:
ướ ự ớ D ng () v i (), B c 1:
ướ ạ ộ Tính đ dài đo n . B c 2:
ư ế ủ chính là hình chi u c a lên (). L u ý:
ả ừ ế ể ấ ặ ẳ ộ ộ - Trong các kho ng cách t đ n m t đi m b t kì thu c m t ph ng () thì
ấ ả ỏ kho ng cách là nh nh t.
ề ả ừ ể ớ ặ ẳ ơ ả Nhi u bài toán tính kho ng t đi m t i m t ph ng, t ừ Bài toán c b n:
S
ơ ả ể ẳ ể đi m t ớ ườ i đ ề ng th ng có th quy v bài toán c b n sau:
H
ọ Phân tích: G i H là hình
C
ủ ế ẳ ặ chi u c a A lên m t ph ng (SBC).
A
K
ừ ạ Khi đó t ậ đó . L i có nên do v y .
B
ọ ủ G i K là giao c a SH và BC khi
đó .
13
ọ ườ ạ ừ ng vuông góc h t ố A xu ng BC. Cách gi i:ả G i K là chân đ
ạ ườ ố H đ ng vuông góc AH xu ng SK. Ta có:
,
ạ ự l i có do cách d ng
ừ ứ +) T ch ng minh trên đã có:
ẽ ạ L i do cách v ta có:
ậ ờ ể ỹ ệ ậ ỹ Ta th K thu t d i đi m: ả ngườ dùng k thu t này trong vi c tính kho ng
ừ ộ ộ ườ ể ế ế ẳ ộ cách t m t đi m đ n m t đ ng th ng m t cách tính gián ti p.
+)
+)
+)
S
H
I
C
A
M
K
14
B
ườ ặ ợ ệ ể Tr ng h p đ c bi t I là trung đi m MN thì .
ự ế ể ả ớ ừ ế ẳ ặ M đ n m t ph ng Phân tích: V i bài này đ tính tr c ti p kho ng cách t
ế ử ụ khá khó khăn nên ta s d ng cách tính gián ti p
15
ả Gi i:
S
ụ ể ủ Phân tích: Câu a) C th hóa c a
ơ ả bài toán c b n.
H
ử ụ ỹ ậ ờ Câu b) S d ng k thu t d i
K
C
M
đi mể
A
Gi i: ả
B
ế a) Ta có: , cũng t ừ ả gi thi t ta có
Mà tam giác ABC vuông cân nên
.
V y ậ
ọ ườ ạ ừ b) G i H là chân đ ng vuông góc h t A lên SB. Theo câu a)
ạ l i có
ủ ấ ể L y K là trung đi m c a CH, suy ra
nên
16
V y .ậ
ạ ằ ặ ẳ ạ ạ i , có c nh n m trong m t ph ng , c nh Bài toán 4: Cho tam giác vuông t
0. và t o v i m t góc 60
ạ ớ ộ
ả Tính kho ng cách t ừ ớ t i . a)
ứ ằ ạ ộ ớ ạ Ch ng minh r ng c nh t o v i m t góc . b)
ậ ể ả ượ ả ầ ọ Đ gi i đ c bài này yêu c u h c sinh ph i bi ế ượ t đ ấ c tính ch t Nh n xét:
C
ế ủ ể ặ ộ ộ ẳ ủ c a hình chi u c a m t đi m lên m t m t ph ng
ộ ườ ạ ở ẳ ộ và góc t o b i m t đ ặ ng th ng và m t m t
ượ ữ ị ườ ẳ ph ng đ ở c xác đ nh b i góc gi a đ ẳ ng th ng
a 2
ế ủ ặ ẳ và hình chi u c a nó lên m t ph ng đó.
a 3
ế ủ ọ . Khi đó Gi i:ả a) G i là hình chi u c a trên
60°
ả ầ ộ là kho ng cách t ừ ớ t ạ i . Ta c n tính đ dài đo n .
A
H
ả ế Theo gi thi t ta có góc
a
, do đó .
B
ữ ạ ớ b) Ta có góc chính là góc gi a c nh v i
ằ ặ ẳ ỉ ầ m t ph ng . Ta c n ch ra r ng góc
ậ ậ Th t v y, vì .
T đó:ừ .
ộ ế ử ụ ề ậ ự ả Cho hình chóp có đáy là n a l c giác đ u n i ti p trong Bài t p t gi i:
ườ ườ ặ ạ ẳ ớ ớ đ ng tròn đ ng kính và có c nh vuông góc v i m t ph ng đáy () v i .
ả ừ ế ẳ ặ a) Tính các kho ng cách t và đ n m t ph ng
ẳ ẳ ặ b) ả Tính kho ng cách t ừ ườ đ ế ng th ng đ n m t ph ng
ữ ả ườ ẳ ấ 3. 2. 2. V n đ 2: ề Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau a và b
17
ươ ư ề ả ừ ộ ế ể ẳ ặ ộ Đ a v kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng Ph ng pháp 1.1.
ứ ườ ẳ ẳ ng th ng b và // a. B ặ c 1ướ : Tìm m t ph ng ch a đ
ả ừ ộ ể ế ấ ặ ẳ ộ m t đi m M b t kì thu c a đ n m t ph ng . B c 2ướ : Tính kho ng cách t
ế ậ . B c 3ướ : K t lu n
ươ ư Ph ng pháp 1.2 ả ề : Đ a v kho ng
a
ữ ẳ ặ cách gi a hai m t ph ng song song
β
ẳ B ặ ướ : Tìm 2 m t ph ng và sao c 1
ứ ứ cho : ch a a, ch a b và //.
b
ướ ấ ấ ộ B c 2 ể : L y m t đi m M b t kì
α
ặ ẳ ả ộ thu c m t ph ng và tính kho ng cách t ừ
M đ n .ế
ế ặ ả ặ ẳ ữ ậ ho c kho ng cách gi a hai m t ph ng song song. B c 3ướ : K t lu n
ầ ượ ự ặ ẳ ứ ườ ẳ ả D ng hai m t ph ng song song và l n l t ch a hai đ ng th ng. Kho ng cách
ữ ậ ẳ ả ầ gi a hai m t ph ng đó là kho ng cách c n tìm.
ươ ự ạ ộ ọ D ng đo n vuông góc chung và tính đ dài đ an vuông Ph ng pháp 2.
góc chung đó.
b
ả ả ử ườ ẳ là hai đ ng th ng chéo Kh năng 1 : Gi s và
a
nhau và vuông góc v i .ớ
B
A
ướ ứ ự ặ ẳ Ta d ng m t ph ng () ch a và vuông góc B c 1:
α
ớ ạ v i t i .
ướ ự ặ ẳ Trong m t ph ng (), ta d ng vuông B c 2:
ớ ạ góc v i t i .
ướ ạ ộ Tính đ dài đo n B c 3: .
ủ ạ ạ ườ ẳ Khi đó đo n là đo n vuông góc chung c a hai đ ng th ng chéo nhau và .
18
ả ả ử ư ớ Gi s và chéo nhau nh ng không vuông góc v i nhau. Kh năng 2:
Cách 1:
ướ ứ ự ặ ẳ ớ D ng m t ph ng () ch a và song song v i B c 1:
B
M b
ướ ự ể ấ ộ L y m t đi m tùy ý trên , d ng () B c 2:
ạ ừ ự ắ ạ ớ t i .T d ng song song v i , c t t i .
b'
M'
A
ướ ừ ự ớ ớ T d ng song song v i , v i . B c 3:
a
α
ạ ộ ằ ạ Tính đ dài đo n ạ Chú ý r ng đo n là đo n .
ủ ườ ẳ vuông góc chung c a hai đ ng th ng chéo nhau
a và .
Cách 2:
a
b
A
ướ ự ẳ ặ ớ D ng m t ph ng () vuông góc v i B c 1:
B
b'
ạ ắ t i , () c t t i .ạ
O
H
I
ướ ủ ự ế D ng hình chi u vuông góc c a là B c 2:
α
trên ().
ướ ẽ ẳ ặ ừ ự Trong m t ph ng (), v , .T d ng B c 3:
ườ ắ ạ ẳ ớ đ ng th ng song song v i c t t i .
ướ ườ ắ ạ ẳ ớ ừ ự T d ng đ ng th ng song song v i c t t ạ ạ i . Khi đó đo n là đo n B c 4:
ủ ườ ẳ vuông góc chung c a hai đ ng th ng chéo nhau và , hay
ậ ươ ế ườ ợ Trong hai ph ng pháp trên, n u trong tr ng h p hai đ ườ ng Nh n xét:
ư ẳ ớ ươ ể th ng a, b không vuông góc v i nhau, ta u tiên dùng ph ng pháp 1: Đ tính
ữ ả ườ ề ả ẳ kho ng cách gi a hai đ ữ ng th ng chéo nhau, ta quy v tính kho ng cách gi a
ể ự ể ẳ ộ ộ ườ ộ ố ớ ặ m t đi m và m t m t ph ng vì đ d ng đ ng vuông góc chung v i m t s bài
19
toán khá khó khăn
Gi i:ả
ạ ậ ạ ớ ấ a) Phân tích: V i câu này ta nh n th y ngay đo n chính là đo n vuông góc
ườ ủ chung c a hai đ ẳ ng th ng và ử ụ ậ ươ ể ả . Do v y ta s d ng ph ng pháp 2 đ gi i.
Ta có:
ủ ặ ạ ả M t khác . V y ữ ậ BC là đo n vuông góc chung c a và . Kho ng cách gi a
S
ẽ ạ và là đo n (hình v ).
ườ ẳ ớ ng th ng và vuông góc v i b) Phân tích: Hai đ
K
ử ụ ậ ả ả nhau, do v y chúng ta s d ng cách gi i cho kh năng
E
A
1.
D
H
F
O
C
ả ế Theo gi thi t:
B
ủ ể ọ G i O là giao đi m c a AC và BD.
ạ ạ ẳ ặ Trong m t ph ng h t i , ta có và
ủ ạ ậ (vì ). V y là đo n vuông góc chung c a và .
Ta có: . V y ậ
Ta có: .
ẳ ặ ặ ẳ Trong m t ph ng ta có là hình chi u c a ế ủ SC lên m t ph ng ( SAD). Vẽ t iạ
ẽ ớ ặ ẳ K. Trong m t ph ng v v i .
20
Khi đó KE//AB
ẳ ớ ớ ặ Trong m t ph ng v ẽ EF// AK v i . Ta có ặ AB và I cùng vuông góc v i m t
ẳ ph ng nên và .
ậ Do Ta có: V y và. Vì nên và .
ạ đó là đo n vuông góc chung c a ủ SC và AB.
Ta có
.
ườ ẳ ằ ẳ ặ ng th ng n m trong m t ph ng song song v i đ ớ ườ ng Phân tích: Ta có đ
ậ ử ụ ươ th ng ẳ ấ , nh n th y do v y ậ có th ể s d ng ph ng pháp 1 cho ta cách gi iả khác
bài toán này nh sauư :
21
ạ ườ Xét tam giác SAD vuông t i A, có đ ng cao AH. Khi đó:
ậ ấ ườ ng Phân tích: Nh n th y hai đ
ẳ th ng BC và SD chéo nhau, có m tặ
ẳ ph ng ( SAD) ch a ứ SD và song song v iớ
ườ ậ ả đ ẳ ng th ng BC. Vì v y kho ng cách
ữ ườ gi a hai đ ẳ ng th ng SD và BC cũng
ừ ế ả là kho ng c ách t ể đi m ặ B đ n m t
ẳ ph ng ( SAD).
Gi i: ả
Ta có: suy ra
Mà.
S
Ta có:.
ươ ự ng t câu c Phân tích: Bài này t
ụ ươ ví d 1, nên ta cũng có ph ng pháp gi ả i
a
ở trên. Tuy nhiên bài này hình đã cho là
A
B
O
22
a
C
D
ề ẽ ầ hình chóp đ u nên yêu c u v hình chính
ử ụ ấ ườ xác, ngoài ra ta còn s d ng tính ch t đ ng cao trong tam giác vuông trong hình
ẳ ọ h c ph ng.
ữ ả ườ ẳ ng th ng chéo nhau SC và Gi i:ả Vì nên . Do đó kho ng cách gi a hai đ
ằ ặ ẳ ứ ớ ả AB b ng kho ng cách gi a ữ AB và m t ph ng ch a và song song v i .
ọ ầ ượ ủ ượ ủ ể G i l n l ể t là trung đi m c a , ta đ c là trung đi m c a và . Do đó: .
Ta có: v i .ớ
Trong tam giác vuông SOK ta k .ẻ
B
C
ậ ạ L i có: do đó . V y:
ấ ườ ng ậ Phân tích: Nh n th y hai đ
3
ầ ượ ằ th ng ẳ AC và B’D’ n m l n l t trong
4
A
D
ẳ ặ hai m t ph ng ( ABCD) và (A’B’C’D’)
B'
C'
5
ớ song song v i nhau.
Gi i:ả Ta có và .
A'
D'
Nên .
ể ậ Chú ý: Ta cũng có th nh n ra
ủ ạ ườ ngay đo n vuông góc chung c a hai đ ẳ ng th ng AC và B’D’ là OO’, v i ớ O, O’
23
ể ầ ượ l n l t là trung đi m c a ủ AC và B’D’.
C'
A'
ướ ự ế ặ ộ ẳ c h t, ta d ng m t m t ph ng Gi i:ả Tr
B'
ườ ứ ch a đ ẳ ng th ng AM và song song v i đ ớ ườ ng
ể ể ả th ng ẳ ề B’C đ chuy n v tìm kho ng cách t ừ ộ m t
ể ế ể ẳ ặ ấ ộ đi m đ n m t m t ph ng. L y là trung đi m khi
E
A
đó ME// B’C nên B’C// (MAE).
C
ừ T đó: .
M
B
ử ụ ươ ể ị S d ng ph ể ng pháp d ch chuy n đi m ta có: Vì
ể E là trung đi m BB’ nên
ở Mà t ứ ệ có 3 góc vuông di n nên
Suy ra .
ậ ớ Phân tích: V i bài toán này ta nh n
ấ ườ ẳ ằ ẳ ặ ớ th y hai đ ụ ng th ng và có n m trong m t ph ng vuông góc v i . Ta áp d ng
24
ả ể ả kh năng 1 đ gi i.
S
ừ ẻ Gi ớ i: ả T O k OI vuông góc v i
ạ ạ SA t i I. Khi đó OI là đo n vuông góc
a
ủ ả chung c a SA và BD, kho ng cách
A
D
ữ ộ gi a và chính là đ dài đo n ạ OI.
a 3
Hai tam giác vuông và có c nhạ
a
O
3
ằ chung và nên chúng b ng nhau. Do đó
C
B
ạ suy ra tam giác SOA cân t i O.
ạ Xét tam giác SOB vuông t i O có
A
B
ạ Xét tam giác SOA cân t i O có .
D
C
ươ ấ
H
Phân tích: Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình ậ ễ ậ l p ph ng nên d nh n th y và . Do v y .ậ
B'
A'
ủ ể ọ ớ Ta có: . G i H là giao đi m c a v i . Vì
là hình vuông nên .
D'
C'
ạ Ta có: suy ra là đo n vuông góc chung
25
ườ ẳ ủ c a hai đ ng th ng và , do đó .
ự ạ a) Hãy d ng đo n vuông góc chung
ủ c a và .
ạ ộ b) Tính đ dài đo n vuông góc
x
ủ chung c a và .
ậ ấ BC ễ Phân tích: D nh n th y
ớ và SM không vuông góc v i nhau
ử ụ ư ự nên ta s d ng cách d ng đ a ra
ả trong kh năng 2.
ể ự ể ự ủ ạ ọ Gi ộ i:ả a) Đ d ng đo n vuông góc chung c a và ta có th l a ch n m t
trong hai cách sau:
ứ ự ặ ẳ ọ ớ Cách 1: D ng m t ph ng ch a SM và song song v i BC. G i là trung
ủ ể đi m c a , suy ra .
Ta có: và .
H .ạ
ừ ự ắ ạ ớ ừ ự ắ ạ ớ T d ng song song v i và c t t i . T d ng song song v i và c t t i .
ủ ạ Khi đó là đo n vuông góc chung c a và .
ự ặ ẳ ị ớ BC t ế i ạ B, xác đ nh hình chi u Cách 2: D ng m t ph ng vuông góc v i
c a ủ SM lên .
ằ ẳ ớ ọ ặ Phân tích r ng . Do đó chính là m t ph ng qua và vuông góc v i . G i là
ủ ể trung đi m c a suy ra ;
26
ủ ế hay là hình chi u vuông góc c a trên .
ạ ừ ự ắ ạ ừ ự H ạ t i H. Suy ra . T d ng ớ song song v i và c t t i .T d ng song
ắ ạ ớ song v i và c t t i .
ủ ạ Khi đó là đo n vuông góc chung c a và .
ằ b) Phân tích r ng tam giác và tam giác là hai tam giác vuông có hai góc
ố ỉ ạ ọ ồ nh n đ i đ nh nên chúng đ ng d ng, suy ra:
v i ớ
.
ữ ậ ả ằ Suy ra . V y kho ng cách gi a và b ng
ư ể ườ ng vuông góc chung mà Phân tích: Bài này ta ch th tìm ra ngay đ
ấ ậ ớ chúng Phân tích: Nh n th y MN và AB không vuông góc v i nhau nên ta xây
ự ặ ẳ ắ ớ ạ ự d ng m t ph ng vuông góc v i và c t t ặ ế i N. D ng hình chi u cua MN lên m t
ụ ẳ ả ph ng đó, sau đó áp d ng cách 2 cho kh năng 2.
x
M
ừ ẻ ườ ự ẳ ng th ng song song Gi i: ả D ng . T k đ
A
I
x'
F
M'
B
E
N
27
y
ớ ắ ạ v i c t t i .
ẻ ườ ắ ẳ ớ ạ K . Qua ự E d ng đ ng th ng song song v i , c t t i . Qua k đ ẻ ườ ng
ẳ ớ th ng song song v i , c t ắ AB t i ạ I. Ta có:
(Vì .
ừ T đó .
ườ ủ Ta có: suy ra là đ ng vuông góc chung c a và . Ta có do đó
ườ ủ ng cao c a hình chóp. Phân tích: Chú ý bài này chính là đ
ứ ự ứ ẳ ặ ớ ộ ớ ừ V i ý th 2 ta d ng m t m t ph ng ch a và song song v i , t đó đ a v ư ề
S
ữ ộ ả bài toán tính kho ng cách gi a m t
ể ặ ẳ ộ đi m và m t m t ph ng.
Gi iả :
H
T và ừ
D
nênmà . Suy ra :
N
C
A
a
M
60°
28
B
ạ ặ ở hay là góc t o b i m t ph ng ẳ và
khác: là ườ đ ng trung bình ủ c a ặ M t
nên
V y ậ
=
ẽ Qua, v .Suy ra :
H ( ạ
Vì và nên mà hay
* H ạ
ữ ả ậ ả V y là kho ng cách gi avà ; hay là kho ng cách gi a ữ AB và SN. Xét
tgSBA.AB =
AH =
S
ể ấ Phân tích: Đ ý th y vuông góc
K
ứ ặ ẳ ớ v i m t ph ng () ch a hay .
ả Gi i: a) Ta có :
B
C
nên
M
H
A
N
D
29
ụ ị + Áp d ng đ nh lí Pitago. Ta có :
.
V y ậ
ừ ứ T ch ng minh trên.
Ta có : mà MD
V y ậ
ạ H mà nên
ữ ả ườ hay là kho ng cách gi a hai đ ẳ ng th ng và .
ặ + M t khác :
S'
S
ệ ứ ượ ụ Áp d ng h th c l ng. Ta có :
ườ ng cao SH c aủ Phân tích : Vì nên đ
K
ườ hình chóp cũng là đ ủ ng cao c a tam giác
A
D
30°
H
a
30
B
2a
C
SAB.
ể ử ụ ự ặ ẳ ớ V i câu b) ta có th s d ng cách 1 d ng m t ph ng ch a ứ SD và song song
ớ v i AB.
ạ ạ ả ộ ặ ạ i , khi đó đ dài đo n là kho ng cách t ừ ớ t ẳ i m t ph ng đáy. Gi i:ả a) H t
ạ ậ Xét tam giác vuông t i góc góc suy ra . V y .
ừ ẻ ấ b) Vì là hình bình hành nên . L y sao cho . Khi đó . T k . Khi đó (Vì )
ừ ả ừ ế T đó là kho ng cách t đ n hay .
Xét có suy ra . V y ậ
ụ ớ ế ả ế N u ta thay gi thi t đáy ABCD là hình bình hành V i bài toán ví d 12.
31
ộ ổ ả ượ thành tam giác ABC và thay đ i m t vài gi thiêt ta đ c bài toán sau đây:
S
ậ ấ ườ ẳ ng th ng Phân tích: Nh n th y đ
ặ ẳ ớ SA vuông góc v i m t ph ng đáy nên
ả ừ ế ẳ kho ng cách t ặ đáy đ n m t ph ng đáy
ộ chính là đ dài đo n ạ ạ SA. Đ tính đo n ể
A
2a
120°
60°
a
ắ SA ta g n vào tam giác SAE v i ớ E là chân
C
E
K
B
ườ ủ đ ng cao c a tam giác A BC h t ạ ừ A.
M
ả ẻ ượ Gi i: a) K . Ta tính đ c . Khi đó góc .
ặ M t khác
.
V y:.ậ
ậ ườ ớ ấ Nh n th y hai đ ẳ ng th ng ự AC và SB không vuông góc v i nhau. Ta d ng
ẳ ặ ừ ị m t ph ng vuông góc v i ớ AC t i ạ A. Xác đ nh hình chi u c a ế ủ SB lên . T đó tìm
ườ ủ ườ ra đ ng vuông góc chung c a hai đ ẳ ng th ng này.
ấ ạ ế ủ ẻ L y sao cho suy ra t i . K . Khi đó hình chi u c a lên là .
ẻ K . Xét tam giác có góc ,
Xét có . Hay
ụ ớ ế ả ế N u ta thay gi thi t đáy ABCD là hình vuông và V i bài toán ví d 12.
S
E
a 3
a
M
ộ ổ ả ượ thay đ i m t vài gi thiêt ta đ c bài toán sau đây:
A
B
H
O
ẻ ế ẳ
32
C
D
ạ i:ả a) K . Khi đó là kho ng ả Gi ừ ặ đ n m t ph ng . Ap cách t ị ụ d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông , t i . Ta có .
ừ ẻ ủ ẻ ấ ả b) Qua k . L y sao cho . Khi đó nh c a lên là . T k . Khi đó là
ữ ườ ả ữ ẳ ặ ẳ ả kho ng cách gi a đ ng th ng và m t ph ng và chính là kho ng cách gi a hai
ườ ẳ ặ ặ đ ng th ng chéo nhau . Xét , đ t . M t khác
.
A
Phân tích: Bài toán này không
ớ ả khó, chúng ta chú ý t i gi thi ế ề ặ t v đ c
ể đi m hai tam giác và là bài toán đ ượ c
M
ả ế gi i quy t xong ngay.
C
D
N
ậ ấ Bài gi i:ả Nh n th y tam giác
ACD và tam giác BCD là hai tam giác
B
ạ ằ cân b ng nhau nên . L i có: .
Suy ra tam giác ANB là tam giác vuông
cân t i ạ N nên .
ậ ặ ườ ủ ặ M t khác: . V y là đ ng vuông góc chung c a và . M t khác tam giác
33
ạ ớ V y ậ vuông cân t i nên V i
S
Phân tích: Đây là bài toán khó, không thể
K
ượ ả ầ tính ngay đ c kho ng cách c n tìm theo
ươ ườ các ph ng pháp thông th ng mà chúng ta
I
ể ừ ữ ả ầ c n chuy n t kho ng cách gi a hai đ ườ ng
A
ề ả ẳ ừ th ng chéo nhau v kho ng cách t ộ m t
B
H
60°
ệ ế ể ẳ ặ ộ ọ đi m đ n m t m t ph ng, và vi c ch n
C
ề ầ ẳ ặ ợ m t ph ng h p lí là đi u c n quan tâm.
Gi i:ả
ủ ẽ ế ặ ẳ ữ V hình chi u vuông góc c a lên m t ph ng là nên góc là góc gi a
ườ đ ẳ ng th ng và
(cid:0)
Xét ta có:
(cid:0) ẻ ườ ứ ọ ớ ẻ HI ; . Qua k đ ẳ ng th ng song song v i , g i là mp ch a và suy ra . K
(cid:0) (cid:0) iạ I (cid:0) t (SHI) (cid:0) ((cid:0) ), k t ẻ ạ K (cid:0) i HK (cid:0) ((cid:0) ) (cid:0) d(H,((cid:0) )) = HK.
Ta có :
.
34
V y .ậ
ự ẳ ặ B’C và song song v i ớ AM . Ta đ a vư ề Phân tích : Xây d ng m t ph ng
A'
C'
B'
a 2
K
I
C
A
M
B
ả ừ ộ ế ể ẳ ặ ộ bài toán tính kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng.
Gi i: ả
Ta có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ẻ ườ ứ ẳ ặ ớ ọ . Qua k đ ẳ ng th ng song song v i , g i là m t ph ng ch a và suy ra
ẻ ạ K t i
ẻ ạ , k t i . Ta có:
35
.
V y ậ
Ệ Ậ Ự 3.3. BÀI T P T LUY N
ậ ự ậ 3.3.1. Bài t p t lu n
ứ ệ ặ ẳ ặ ẳ ớ di n có m t ph ng vuông góc v i m t ph ng tam giác vuông ở . Bài 1: Cho t
0 . Tính th tích t
ế ữ ẳ ặ ằ ể ứ ệ ả Bi t . Góc gi a m t ph ng và b ng 60 di n và kho ng cách
ẳ ặ ừ ế t đ n m t ph ng theo .
ẳ ặ ạ ạ ớ Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi c nh , góc . Các m t ph ng , t o v i
đáy các góc 900, 600,
ể ố ữ ả ườ SA, DC Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ẳ ng th ng
theo .
ứ ệ ạ ạ ề ầ ượ ằ ọ di n có và , các c nh còn l i đ u b ng . G i và l n l t là trung Bài 3: Cho t
đi m ể AB và . CD
ứ ườ ủ a) Ch ng minh và là đ ng vuông góc chung c a và . Tính theo .
ể ẳ ặ ớ b) Tìm đ hai m t ph ng và vuông góc v i nhau.
ẽ ớ ầ ượ ể ọ là trung đi m . V v i . G i l n l t là trung Bài 4: Cho hình vuông . G i ọ
ủ ự ể ạ đi m . D ng và tính đo n vuông góc chung c a:
a) và
b) và
ậ ươ ạ ng c nh Bài 5: Cho hình l p ph
36
ữ ườ ả a) Tính theo kho ng cách gi a hai đ ẳ ng th ng và .
ọ ầ ượ ủ ể ườ b) G i l n l t là trung đi m . Tính góc c a hai đ ẳ ng th ng và .
ụ ấ ả ề ể ạ ằ ọ có t t c các c nh đ u b ng . G i là trung đi m . Bài 6: Cho hình lăng tr
ữ ứ ả ớ ườ Ch ng minh vuông góc v i . Tính kho ng cách gi a hai đ ẳ ng th ng vài .
ữ ậ ặ ẳ ộ ộ Bài 7: Cho hai hình ch nh t không cùng thu c m t m t ph ng và vuông góc
v i .ớ
ứ ủ ể ặ ẳ ọ ớ ớ a) G i là giao đi m c a v i m t ph ng ch a và song song v i. Tính
S
ữ ả b) Tính kho ng cách gi a và .
Bài 8 Cho hình chóp có đáy là hình vuông
ặ ớ ạ ạ c nh , và vuông góc v i m t đáy, góc t o
0. G i là trung
D
A
ặ ẳ ằ ọ ở b i và m t ph ng b ng 30
a
O
ủ ể đi m c a .
KI
ể ố a) Tính th tích kh i chóp .
C
B
S
E
ữ ả b) Kho ng cách gi a hai đ ườ ng
N
ẳ th ng chéo nhau và theo .
M1
2a
Bài 9: Cho hình chóp , đáy là tam giác vuông
M
ạ ặ ẳ ọ , t ớ i có , , vuông góc v i m t ph ng , . G i
A
C
ủ ế ầ ượ l n l ể t là hình chi u vuông góc c a đi m
a
a 3
ủ ể ạ ố trên các c nh và . Tính th tích c a kh i
B
chóp .
ệ ậ ắ 3.4. 2. Bài t p tr c nghi m
ề ố Bài 1: (Trích đ thi THPT qu c gia năm 2018)
ữ ặ ẳ ớ ậ Cho hình chóp có đáy là hình ch nh t vuông góc v i m t ph ng đáy và .
37
ữ ả ườ ẳ ằ Kho ng cách gi a hai đ ng th ng và b ng.
A
D
M
ề ọ Bài 2: (Trích đ thi minh h a THPT
B
C
ố ọ qu c gia h c năm 2018)
A'
ậ ươ ạ Cho hình l p ph ọ ng c nh . G i ,
D'
ể ẽ ầ ượ l n l t là trung đi m và (hình v ).
B'
N
C'
ữ ả ườ Kho ng cách gi a hai đ ẳ ng th ng
MN và B’D’b ngằ
ề ố Bài 3: (Trích đ thi THPT qu c gia năm 2018)
ứ ệ ớ ộ Cho t di n có , , đôi m t vuông góc v i nhau,
38
ể ọ ả ườ ằ ẳ và . G i là trung đ m . Kho ng cách hai đ ng th ng và b ng
0
ử ề ố Bài 4: (Trích đ thi th THPT qu c gia năm 2019)
ằ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông t i ạ B, góc BCA b ng 60 , AC =2
ớ ả SA vuông góc v i đáy, SA=1 . G i ọ M là trung đi m ể AB. Kho ng cách d gi a ữ SM
và BC là:
ử ề ố Bài 5: (Trích đ thi th THPT qu c gia năm 2019)
ề ạ ặ ằ Cho hình chóp có đáy là hình vuông c nh . M t bên là tam giác đ u n m
ữ ặ ẳ ả ườ ớ trong m t ph ng vuông góc v i đáy. Kho ng cách gi a hai đ ẳ ng th ng và
b ng:ằ
ử ề ố Bài 6: ( Trích đ thi th THPT qu c gia năm 2019)
ế ạ ố ủ Cho kh i chóp , có đáy là hình vuông c nh 2. Hình chi u vuông góc c a
ẳ ộ ế ặ S lên m t ph ng ( ABCD) là đi m ể H thu c đo n ạ BD sao cho HD=3HB. Bi t góc
ữ ẳ ử ằ ẳ ặ ả ặ gi a m t ph ng ( SCD) và m t ph ng đáy b ng n a góc vuông. Kho ng cách
ữ ườ gi a hai đ ẳ ng th ng SA và BD b ng:ằ
ử ề ố Bài 7: ( Trích đ thi th THPT qu c gia năm 2019)
ộ ạ ạ ự Cho tam giác đ uề ABC có c nh . Đi m ể H thu c c nh ạ AC v i ớ HC=. D ng đo n
ặ ẳ ả th ng ẳ ớ SH vuông góc v i m t ph ng ( ABC) v i ớ SH=. Kho ng cách t ặ ừ C đ n m t ế
39
ẳ ph ng ( SAB) b ng:ằ
40
ử ề ố Bài 8: ( Trích đ thi th THPT qu c gia năm 2019)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông t i ạ C, CH vuông góc v i ớ AB
ủ ể ẳ ặ ớ t i ạ H, I là trung đi m c a đo n ạ HC. Bi t ế SI vuông góc v i m t ph ng đáy, góc
0. G i ọ O là trung đi m c a đo n
ặ ầ ủ ể ằ ASB b ng 90 ạ ế ạ AB, O’ là tâm m t c u ngo i ti p
ở ườ ạ ẳ ặ ứ ệ SABI. Góc t o b i đ t di n ng th ng ẳ OO’ và m t ph ng ( ABC) b ng:ằ
ử ề ố Bài 9: ( Trích đ thi th THPT qu c gia năm 2019)
ớ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SO vuông góc v i đáy . Góc
ữ ườ ẳ gi a đ ẳ ng th ng ặ SA và m t ph ng ( SBD) là góc:
ử ề ố Bài 10: (Trích đ thi th THPT qu c gia năm 2019)
ứ ệ ữ ạ ả ằ Cho t di n đ u ề ABCD có c nh b ng 2. Tính kho ng cách gi a hai đ ườ ng
th ng ẳ AB và CD:
Ả Ế 3.5. K T QU
ế ủ ọ ụ ề ấ ạ ả Sau khi áp d ng đ tài này tôi th y h n ch c a h c sinh gi ậ i các bài t p
ườ ữ ả về “bài toán tìm đ ng vuông góc chung và tính kho ng cách gi a hai đ ườ ng
ọ ẳ ượ ắ ụ c kh c ph c đáng k ể th ng chéo nhau trong không gian Hình h c 11” đã đ
ế ọ ị ể ư ế ạ ả ấ ượ ậ nh : H n ch h c sinh b đi m y u khi gi ầ i bài t p ph n này, ch t l ọ ng h c
ể ố ọ ậ ạ ả ậ ố ơ sinh tăng lên đáng k , s h c sinh nh n d ng và gi i bài t p t ệ ề t h n nhi u. Vi c
ạ ạ ư ươ ả ể ọ ậ ớ phân lo i d ng bài và đ a ra ph ng pháp gi i cùng v i các bài t p đ h c sinh
ụ ượ ắ ạ ả ự ả t gi i đã giúp các em kh c ph c đ c tình tr ng lúng túng khi gi ậ i các bài t p
41
ứ ơ ữ ế ọ ươ ố ơ ắ có liên quan. H c sinh n m v ng ki n th c h n, ph ng pháp t t h n, kĩ năng
ậ ố ơ ứ ố ứ ế ế ọ làm bài t p t ọ t h n. H c sinh h ng thú h c bài, ti p thu ki n th c t ự t, tích c c
ậ ụ ọ ậ ưở ủ trong h c t p, v n d ng ý t ng c a mình.
ự ủ ề ổ ủ ọ ể ệ ữ ự ế ả ộ Nh ng s thay đ i c a h c sinh th hi n k t qu tác đ ng tích c c c a đ tài,
ể ệ ấ ượ ư ạ ỳ th hi n ch t l ng đ i trà môn toán l p ớ 11A5, 11B trường THPT Qu nh L u 2
ư nh sau:
ướ
ụ Sau khi áp d ng SKKN năm 20 202021
Tr c khi áp d ngụ SKKN
L p 11ớ A5 L pớ 11A5 SL T l %ỉ ệ SL T l %ỉ ệ Sĩ s 42ố Sĩ s 42ố
Gi iỏ 7 2,38 Gi iỏ 18 42,9
Khá 16 14,28 Khá 17 40,5
TB 14 57,14 TB 7 16,6
Y uế 5 26,19 Y uế 0 0
ướ
ụ Sau khi áp d ng SKKN năm 20 202021
c khi Tr áp d ngụ SKKN
ớ L p 11ớ B L p 11B SL T l %ỉ ệ SL T l %ỉ ệ Sĩ s ố 41 Sĩ s 4ố 1
Gi iỏ 5 Gi iỏ 12,2 12 29,3
Khá 16 Khá 39 23 56,1
TB 16 TB 39 5 12,2
42
Y uế 4 Y uế 9,8 1 2,4
43
Ầ Ế Ế Ị Ậ PH N 3. K T LU N VÀ KI N NGH
ậ ế 1. K t lu n
ủ ệ ế 1.1. Ý nghĩa c a sáng ki n kinh nghi m
ả ằ ạ ự ạ ự ẩ ộ ứ Nh m t o c m h ng giúp các em t t o đ ng l c cho mình, thúc đ y và
ọ ậ ủ ộ ự ạ ầ ệ phát huy tính tích c c ch đ ng sáng t o trong h c t p, góp ph n nâng cao hi u
ả ọ ậ ả ả ế ệ ạ ả ả ụ qu h c t p, hi u qu gi ng d y cho b n thân nói riêng và k t qu giáo d c
ườ ủ c a nhà tr ng nói chung.
ọ ầ ứ ạ ồ ườ ọ ậ ổ ơ Trong d y h c c n kh i ngu n h ng thú, môi tr ầ ng h c t p sôi n i, c n
ứ ỹ ứ ế ế ẩ ạ ọ ấ bám sát chu n ki n th c k năng, nh n m nh ki n th c tr ng tâm, các ph ươ ng
ụ ứ ụ ậ ầ pháp ch ng minh ph c v trong quá trình làm bài t p. Ngoài ra c n hình thành
ế ố ữ ẽ ắ ọ ỹ ệ ẽ cho h c sinh k năng v hình. N m v ng các y u t ả trên s giúp cho vi c gi ng
ượ ậ ợ ứ ế ế ọ ạ ủ d y c a giáo viên đ c thu n l i, h c sinh ti p thu ki n th c ngày m t t ộ ố ơ t h n.
ả ả ừ ệ ầ ạ T đó góp ph n nâng cao hi u qu gi ng d y.
ụ ậ ươ ướ ẫ ả Qua v n d ng ph ng pháp h ọ ng d n h c sinh gi ậ i bài t p tìm đ ườ ng
ữ ả ườ ẳ vuông góc chung và tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau trong
ự ệ ậ ấ ỹ ư không gian tôi nh n th y k năng th c hi n các thao tác t ọ ậ duy trong h c t p
ượ ể ư ệ ể ủ c a các em đ ầ c nâng cao rõ r t và góp ph n đáng k vào phát tri n t ặ duy đ c
ủ ộ ể ư ư ư ọ tr ng c a b môn hình h c không gian nói riêng cũng nh phát tri n t duy khoa
ọ ế ớ ỗ ọ h c nói chung cho h c sinh. Tôi thi ế ớ t nghĩ, v i m i giáo viên có tâm huy t v i
ữ ụ ả ầ ớ ọ giáo d c nói chung, và v i nh ng giáo viên Toán h c nói riêng c n ph i tìm tòi,
ệ ụ ư ạ ạ ượ ề ề suy nghĩ v nghi p v s ph m, sáng t o đ ệ ủ ả c ít nhi u trong công vi c c a b n
thân.
ứ ụ ả 1.2. Kh năng ng d ng
ế ể ệ ọ ố ộ ụ Sáng ki n kinh nghi m có th áp d ng r ng rãi cho h c sinh kh i 11. Kh ả
ạ ứ ụ ứ ủ ế ệ năng ng d ng c a sáng ki n kinh nghi m là t o h ng thú giúp các em yêu thích
ệ ế ọ ơ ươ ặ ấ môn h c h n. Sáng ki n kinh nghi m đi sâu khai thác ph ề ng pháp đ t v n đ ,
44
ướ ẫ ả phân tích, h ọ ng d n h c sinh gi ề ế ấ i quy t v n đ .
45
ọ ệ ướ ể 1.3. Bài h c kinh nghi m, h ng phát tri n
ọ ố ơ ư ọ ọ ố Nh đã nêu trên, mu n cho h c sinh h c t t h n môn hình h c không gian
ộ ố ỹ ả ầ thì giáo viên c n ph i có m t s k năng sau:
ọ ậ ự ứ ề ề ạ ả ả ở Kh năng t o ni m vui, ni m tin và s h ng kh i trong h c t p c các
em.
ẽ ỹ ờ ả K năng v hình và trình bày l i gi i.
ề ấ ỹ ướ ẫ ả ế ấ ề K năng nêu v n đ và h ọ ng d n h c sinh gi ọ i quy t v n đ , giúp h c
ự sinh bi ế ư t t ẽ duy và tr c quan hình v .
ế ả ệ ươ ế ẫ ọ Giáo viên ph i tâm huy t, nhi t tình, g ng m u quan tâm đ n h c sinh,
ọ ậ ự ể ả ạ ỡ ấ giúp đ các em đ các em không c m th y áp l c trong h c t p. Luôn t o ra tình
ọ ậ ở ọ ứ ề ấ ả ố hu ng có v n đ , kích thích h ng thú tìm tòi h c t p h c sinh. Ph i th ườ ng
ọ ỏ ể ồ ươ ạ ợ xuyên h c h i trau d i chuyên môn đ tìm ra ph ớ ọ ng pháp d y h c phù h p v i
ố ượ ừ t ng đ i t ọ ng h c sinh.
ế ề ấ ị 2. Ki n Ngh Đ Xu t
ị ộ ố ế 2.1. M t s ki n ngh
ố ớ 2.1.1. Đ i v i giáo viên
ạ ộ h c c n tăng c
Trong các gi ệ ớ ườ ườ ng, liên h v i cu c s ng hàng ngày và th c ti n xung quanh nhà tr
ọ ự ễ ơ ủ
ế ề ầ ơ
ứ ự ạ ươ ụ
ậ ả ọ ậ ủ ọ ế ờ ọ ầ ng cho h c sinh các ho t đ ng tìm tòi, liên ớ ộ ố ưở t ng, l p ữ ấ ộ ể ọ h c, gia đình và xã h i đ các em th y rõ h n ý nghĩa c a nh ng tri th c và ể ọ ậ C n quan tâm nhi u đ n phát tri n năng l c mô ứ h ng thú h n trong h c t p. ọ ạ ả ọ hình hóa toán h c cho b n thân. V n d ng linh ho t các ph ng pháp d y h c ể đ đánh giá nâng cao k t qu h c t p c a h csinh .
ố ớ ọ 2.1.2. Đ i v i h c sinh
ạ Tích c c tham gia các ti
ệ ớ
ế ọ ứ ọ ệ ọ ừ ự ộ ọ ậ mà giáo viên ầ t h c ngo i khóa, các yêu c u h c t p ọ ễ ự ọ ng xuyên có ý th c liên h toán h c v i th c ti n và các môn h c đó có thêm đ ng l c và ủ c t m quan tr ng c a vi c h c toán, t
ệ ọ ự ườ ổ ứ t ch c. Th ể ấ ượ ầ khác đ th y đ ố ớ ứ h ng thú đ i v i vi c h ctoán
ườ ổ ớ ạ ạ ộ Tăng c ng ho t đ ng nhóm, trao đ i v i b n bè.
ứ ệ ế ằ Tăng c ả ng kh năng t tìm ki m thông ti, tài li u nh m đáp ng các
46
ườ ọ ậ ờ ạ ự ọ ự h c, t kĩ năng h c t p trong th i đ i 4.0.
ố ớ ệ 2.1.3. Đ i v i Ban giám hi u
ơ ở ậ ấ ể ứ ạ ị ọ Trang b thêm c s v t ch t đ đáp ng cho quá trình d y h c
ổ ứ ạ ộ ệ T ch c các ho t đ ng ngo i khóa, các ho t đ ng tr i nghi m sáng toán đ ể
ề ơ ộ ậ ụ ả ự ễ ạ ộ ọ
47
ạ ọ h c sinh có thêm nhi u c h i v n d ng toán h c vào th c ti n. Ngày 20 tháng 03 năm 2021
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O
ọ [1] Sách giáo khoa Hình h c 11 NXBGD, 2014.
ậ ọ [2] Bài t p hình h c 11 NXBGD, 2014.
ọ [3] Hình h c nâng cao 11 NXBGD, 2014.
ậ ọ [4] Bài t p hình h c nâng cao 11 NXBGD, 2014.
ả ứ ự ọ ồ ộ [5] Gi i toán Hình h c 11 NXB Hà N i Lê H ng Đ c Nhóm C Môn, 2011.
ạ ọ ộ ề ứ ễ ể [6] B đ tuy n sinh đ i h c Nguy n Đ c Dân, 2001.
ề ố ọ [7] Đ thi THPT Qu c gia năm h c 2016 2017, 2017 2018.
ử ề ọ ố [8] Đ thi th THPT Qu c gia năm h c 2018 2019.
48
Ụ Ụ M C L C
Trang
Ấ
Ầ
Ề
Ặ PH N 1. Đ T V N Đ
1
ọ ề 1. Lí do ch n đ tài 1
ủ ề ụ 1.2. M c đích c a đ tài 2
ố ượ ủ ề ạ 1.3. Đ i t ng và ph m vi c a đ tài 3
ươ ứ 1.4. Ph ng pháp nghiên c u 3
ươ 1.4.1. Ph ng pháp 3
ự ệ 1.4.2. Cách th c hi n 3
ứ ờ 1.5. Th i gian nghiên c u 3
Ộ Ứ Ầ PH N 2. N I DUNG NGHIÊN C U 4
ươ ơ ở ự ễ ủ ề ơ ở ậ Ch ng 1: C s lí lu n và c s th c ti n c a đ tài 4
ậ 1.1. C s ơ ở lí lu n chung 4
ủ ấ ự ề ạ 1.1.1. Th c tr ng c a v n đ 4
ạ ướ ứ ề ự 1.1.2. Th c tr ng t ạ ườ i tr ng tr c khi nghiên c u đ tài: 6
ươ Ứ Ằ Ệ Ch 7 ng 2: CÁC BI N PHÁP NH M GÂY H NG THÚ TRONG Ả Ọ GI I TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO H C SINH
ơ ồ ư 2.1. Dùng s đ t duy 7
ử ụ ạ ọ ệ 2.2. S d ng công ngh thông tin trong d y h c 9
49
ạ ọ ợ ổ ứ ọ ậ ơ 2.3. D y h c h p tác theo nhóm, t ch c trò ch i trong h c t p 9
ươ Ơ Ả Ạ Ch ng 3. CÁC D NG TOÁN C B N 10
Ị 3. 1. CÁC Đ NH NGHĨA 10
ƯƠ Ơ Ả Ả 3. 2. PH NG PHÁP GI I TOÁN, BÀI TOÁN C B N VÀ BÀI 11 Ụ Ậ TOÁN V N D NG
ả ừ ể ế ặ ẳ ấ 3. 2. 1. V n đ 1: ề Tính kho ng cách t đi m đ n m t ph ng 11
ữ ả ườ ẳ ề Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo 15 ấ 3. 2. 2. V n đ 2: nhau a và b
35 Ệ Ậ Ự 3.3. BÀI T P T LUY N
35 ậ ự ậ 3.3.1. Bài t p t lu n
37 ệ ắ ậ 3.4. 2. Bài t p tr c nghi m
Ả Ế 3.5. K T QU 39
Ầ Ế Ế Ị Ậ PH N 3. K T LU N VÀ KI N NGH 41
ậ ế 1. K t lu n 41
ủ ệ ế 1.1. Ý nghĩa c a sáng ki n kinh nghi m 41
ụ ứ ả 1.2. Kh năng ng d ng 41
ọ ệ ướ ể 1.3. Bài h c kinh nghi m, h ng phát tri n 41
ế ề ấ ị 2. Ki n Ngh Đ Xu t 42
ị ộ ố ế 2.1. M t s ki n ngh 42
ố ớ 2.1.1. Đ i v i giáo viên 42
50
ố ớ ọ 2.1.2. Đ i v i h c sinh 42
ố ớ ệ 2.1.3. Đ i v i Ban giám hi u 42
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O 44
51
