1
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ---------------
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến ngành giáo dục thị xã Bình Long.
Tôi (chúng tôi) ghi tên dưới đây:
Họ và tên Nơi công tác Số TT Chức danh Ngày tháng năm sinh Trình độ chuyên môn Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến
1 NGUYỄN VĂN 7/10/1977 Trường THCS Giáo ĐHSP 100%
HUÂN An Lộc B viên
1. Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: " Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị "
2. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến (trường hợp tác giả không đồng thời là chủ đầu tư
tạo ra sáng kiến)3: Không có
3. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến4: Toán 9
5. Mô tả bản chất của sáng kiến5:
4. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu 10/2020
5.1. Tính mới của sáng kiến:
+ Những bài toán về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất trong chương trình toán THCS là tương đối khó, đặc biệt là trong việc ứng dụng các kiến thức cũng như cách giải .
+ Trong chương trình đại số lớp 8, phần chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị (chủ yếu là phần vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ ), trong ôn thi tuyển sinh 10, thi các trường chuyên và ôn thi hoc sinh giỏi có nhiều bài nâng cao. Trong khuôn khổ bài viết này tôi chỉ xin đề cập đến một vấn đề cơ bản là " Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị "
+ Hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm tòi, lựa chọn xử lí thông tin trong các tình huống cụ thể.
5.2. Nội dung sáng kiến:
5.2.1: Thực trạng vấn đề
Qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi lớp 10, tôi thấy:
2
- Đa số HS sợ toán chứng minh, toán cực trị và không hình dung được cách giải, nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. - HS không áp dụng được các kiến thức đã biết để CM bất đẳng thức và tìm cực trị. - Khả năng tư duy để tìm ra kiến thức áp dụng vào yêu cầu của bài toán rất yếu. Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp.
NhiÒu n¨m gÇn ®©y trong c¸c kú thi chän läc häc sinh giái c¸c cÊp bËc THCS vµ c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT thêng cã c¸c bµi to¸n yªu cÇu chứng minh bất đẳng thức và t×m gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN); gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña mét biÓu thøc nµo ®ã.
C¸c bµi to¸n chứng minh bất đẳng thức và tìm cùc trÞ rÊt phong phó vµ ®a d¹ng, nã t¬ng ®èi míi vµ khã ®èi víi häc sinh THCS. §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n bất đẳng thức và cực trị häc sinh ph¶i biÕt biến ®æi t¬ng ®¬ng c¸c biÓu thøc ®¹i sè, ph¶i sö dông kh¸ nhiÒu h»ng ®¼ng thøc tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p... ph¶i tæng hîp c¸c kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n, t duy s¸ng t¹o.
VËy lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh cã thÓ ®Þnh híng ®îc híng ®i, hay h¬n thÕ lµ h×nh thµnh ®îc mét c«ng thøc "Èn tµng" nµo ®ã khi gÆp mét bµi to¸n chứng minh bất đẳng thức và cùc trÞ ®¹i sè.
5.2.2: Cơ sở lí luận
5.2.3: Giải pháp
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt ôn thi lớp 10 và học sinh giỏi, tôi luôn trăn trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để dẫn dắt hình thành cho HS một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần các em có được một phương pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ này tôi xin nêu ra một kiến thức cơ bản sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị "
Trong đề tài này, tôi xin nêu các định nghĩa cực trị và các kiến thức cơ bản để giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị .
C¸c kiÕn thøc cÇn thiÕt 1. C¸c ®Þnh nghÜa
1. f(x,y,...) M (x,y,..) D 2. (x0, y0,...) D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiÖu : M = Max f(x,y,..) = fmax víi (x,y,...) D
1.1. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn tập xác định D : M ®îc gäi lµ GTLN cña f(x,y,...) trªn tập xác định D nÕu 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi tho¶ m·n :
3
1.2. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh tập xác định D : M ®îc gäi lµ GTNN cña f(x,y,...) trên tập xác định D ®Õn 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi tho¶ m·n :
1. f(x,y,...) M 2. (x0, y0,...) D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiÖu : M = Min f(x,y,..) = fmin víi (x,y,...) D
(x,y,..) D
2. C¸c kiÕn thøc thêng dïng
2.1. Luü thõa :
a) x2 0 x R x2k 0 x R , k z - x2k 0
Tæng qu¸t : f (x)2k 0 x R, k z - f (x)2k 0 Tõ ®ã suy ra :
M - f (x)2k M x 0 x 0 ( x )2k 0 x0 ; k z
b)
f (x)2k + m m x R, k z
Tæng qu¸t : ( A )2k 0 A 0 (A lµ 1 biÓu thøc) 2.2. BÊt ®¼ng thøc chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi :
a) |x| 0 x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nÕu "=" x¶y ra x.y 0 c) |x-y| |x| - |y|
; nÕu "=" x¶y ra x.y 0 vµ |x| |y| 2.3. Mét sè bÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n thêng gÆp ®îc suy ra tõ bÊt ®¼ng thøc (a+b)2 0.
2
b a
4 ba
1 a
1 b
a. a2 + b2 2ab b. (a + b)2 4ab c. 2( a2 + b2 ) (a + b)2 a d. b e.
a
....
a
a 1
2
n
n
..... a
nN, n 2.
* ai 0 ; i = n,1 :
. aa 1
2
n
n
dấu "=" xảy ra a1 = a2 = ... = an
- Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ( Inequality of arithmatic and geometric means ). Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM-GM ( AM là viết tắt của arithmatic mean và GM là viết tắt của geometric mean ) - Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp
Augustin-Louis Cauchy ( 1789-1857 ), tức là bất đẳng thức Cauchy.
2.4. BÊt ®¼ng thøc Cauchy :
4
- Đây là bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh
nước ta. Nó được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.
2
a b
2
2
2
ab
a
b
* Bất đẳng thức này còn được viết ở hai dạng khác tương đương là
2
a b 2
và
Trong phạm vi chương trình toán cấp THCS, chúng ta quan tâm nhiều nhất đến
ba trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy là :
VÝ dô 1 : Cho a > b > 0. T×m GTNN cña M = a +
1 bab
(
)
Kỹ thuật sử dụng Cauchy trực tiếp
Gi¶i :
Ta cã : M = a +
= b + (a-b) +
3. 3
(theo Cauchy).
ab b ( ) bab .( )
1 bab
(
)
1 bab
(
)
M 3 minM = 3 b = a-b =
2 1
1 bab
(
)
a b
VËy : minM = 3
2 1
a b
2
2
y
2
VÝ dô 2 : Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y = 2 . Chứng minh
xy x
Gi¶i :
2
Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy dạng : ab
, ta có
a b 2
2
2
2
4
2
xy
x
y
x
y
2
2
2
2
xy x (
y
)
2
xy
x
y
.
2
1 2
1 2
4
8
x
y
x
y
1
2 2
2
2
xy
x
y
Kỹ thuật ghép đối xứng .
Trong bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta sử dụng kỹ thuật " ghép đối xứng " để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán
sau :
Dấu " = " xảy ra
+) Dạng 1: Chứng minh X Y Z A B C
5
A
2
Z X
B
2
Y Z
X Y ( nhờ tính chất đối xứng của bài toán )
. Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra Ý tưởng. Nếu ta chứng minh được C 2 và
,
Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh.
X Y Z , 0
2
2
XY A
YZ B
+) Dạng 2: Chứng minh XYZ ABC với
2
. Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra Ý tưởng. Nếu ta chứng minh được ZX C ( nhờ tính chất đối xứng của bài toán ) và
2
2
XYZ
2 A B C
ABC ABC
a b c
ca b
Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có
VÝ dô 1: Cho a, b, c là ba số thực dương . Chứng minh rằng ab bc c a Gi¶i :
với
,
Y
X
Z
,
ab c
, A = a, B = b, C = c
b 2
là đối xứng với b ( tức vai trò của a và c là như nhau ) Bài toán này có dạng X Y Z A B C bc ca a b Để ý hai biểu thức ab c và bc a
bc a
2
( theo Cauchy)
1
1
1
1
x
y
z
. Do đó, sử dụng kỹ thuật gép đối xứng, ta dễ dàng chứng minh được : ab c Từ đó bài toán được giải quyết hoàn toàn . VÝ dô 2: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 1 1
Tìm giá trị lớn nhất của Q = xyz.
2
Từ giả thiết
, ta suy ra
1
1
1
x
1
y
1
z
1
1
1
2
2
1
1
x
1
1
y
1
1
z
y
1
y
z
z
y
z
1
1
x
y
z
1
yz 1
1
yz 1
1
2
;
2
Tương tự :
1
1
1
y
1
x
z
z
y
x
zx 1
1
xy 1
1
xyz
xyz y
1
1 8
y
x
x
z
z
Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta thu được 8 1
1
1
1
1
1
Gi¶i :
6
x
1
y
z
y
x
z
1 2
2
x
y 1
1
y
z 1 1
1
z
x 1 1 1
x
y
Dấu "=" xảy ra
1 z 2
khi Vậy maxQ = 1 8
T
2
2
2
Kỹ thuật Cauchy ngược dấu .
VÝ dô 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTNN của a b
c a
1
1
b c 1 Gi¶i :
2
2
a
a
a
2
2
1
a b
ab b 1
b
c
Để ý rằng theo bất đẳng thức Cauchy thì
2
2
ab 2 bc ; 2 1
c a
ca 2
1
ab b 2 b c Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế, suy ra
ca
ca
T
a b c
3
2
2
2
a b
1
b c
1
c a
1
ab bc 2
ab bc 2
a b c
2
ab bc
ca
3
ab bc
ca
Hoàn toàn tương tự
, điều này hiển nhiên đúng vì
3
3
Ta lại có
,
0
khi a = b = c = 1 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1 Vậy minT = 3 2
z
2
x
y
x
y
z
1
1
VÝ dô 2: Cho các số
x y z và x+ y + z = 1 . Chứng minh rằng , 4 1 Gi¶i :
2
z
z
z
x
y
y
y
x
x
4
2
y
x
z
Do x+ y + z = 1 nên bất đẳng thức cần chúng minh có thể viết lại thành
2
y
a b
ab
4
4
x
z
z
z . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng
, ta có
x y
2
2
x
x
y
(
)
z
y z )(
z
. Hiển nhiên đúng khi giả sử x ) 0
z
Do vai trò của x và z trong bất đẳng thức là như nhau, nên ta hoàn toàn có thể giả sử . x Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được x x
( y x Bài toán được chứng minh Dấu "=" xảy ra khi x = z = 0,5 và y = 0
5.3. Khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến này có thể áp dụng cho GV bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở trường THCS, phụ đạo nâng cao và ôn thi tuyển sinh lớp 10.
7
6 . Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
7 . Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Đối với Gv: Nắm vững kiến thức và phối hợp các phương pháp một cách linh hoạt.
Đối với Hs: Nắm vững kiến thức, tự tin, năng động, sáng tạo.
Kết quả cụ thể: Năm học 2020 – 2021, khi ôn tập và phụ đạo lớp 9.
8 . Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả1:
Lớp Sĩ số Tỉ lệ %
Biết hướng giải Không biết cách giải Tỉ lệ %
38 15 23 60,5 39,5 9
Chưa áp dụng
Áp dụng 9 38 25 13 34,2 65,8
9 . Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có)7: ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật
và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
Người nộp đơn
Phú Thịnh, ngày 28 tháng 01 năm 2021
