Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Góp phần hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài: GÓP PHẦN HÌNH THÀNH, PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

(Môn: Toán)

Người thực hiện: Ngô Trí Hải

Tổ: Toán - Tin Số điện thoại: 0987.615.468

Hoàng Mai, tháng 2 năm 2020

Phần một. ĐẶT VẤN ĐỀ Lí do chọn đề tài MỤC LỤC Trang 4 4

6 Phần hai. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. CỞ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lý luận

6 1.1. Khái niệm năng lực

6 1.2. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

6 1.3. Tình huống

7 7 1.4. Tình huống thực tiễn 1.5. Bài toán chứa tình huống thực tiễn

7 1.5.1.Bài toán

8 8 1.5.2. Bài tập toán chứa tình huống thực tiễn 2. Cơ sở thực tiễn

9 II. TỔNG QUAN CÁC NỘI DUNG ĐÃ TIẾN HÀNH TRONG LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU ĐỂ NÊU BẬT ĐƯỢC Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI

9 1. Nghiên cứu lý luận

9 2. Nghiên cứu thực tiễn

9 3. Tham vấn ý kiến chuyên gia

9 4. Phương pháp nghiên cứu trường hợp

9 5. Phương pháp thống kê toán học

10 6. Phương pháp thực nghiệm sư phạm III. SỐ LIỆU ĐIỀU TRA, KHẢO SÁT TÌNH HÌNH THỰC TẾ, THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI

10 1.Mục đích điều tra, khảo sát

10 2. Nội dung điều tra khảo sát

10 3. Phương pháp khảo sát

10 4. Đối tượng khảo sát

10 5. Kết quả thu được qua điều tra khảo sát

10 IV. PHÂN TÍCH, ĐÁNH GIÁ NHỮNG VẤN ĐỀ THỰC TIỄN

V. ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GÓP PHẦN HÌNH THÀNH, PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẰNG VI. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN HÌNH THÀNH, PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẰNG 1.1. Biện pháp 1: Khai thác những tri thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tiềm ẩn trong những hình ảnh thực tế và những công trình kiến trúc hiện đại để thiết kế và khai thác những bài toán hoặc hệ thống bài toán chứa tình huống thực tiễn 1.1.1. Mục đích của biện pháp 1.1.2. Căn cứ của biện pháp

11 11 12

25 25 25

1.1.3. Cách thực hiện biện pháp 1.2. Biện pháp 2: Khai thác, thiết kế và tổ chức hoạt động phát hiện bài toán mới từ bài toán cơ bản 1.2.1. Mục đích của biện pháp 1.2.2. Căn cứ của biện pháp 1.2.3. Cách thực hiện biện pháp VII. TÍNH KHOA HỌC, TÍNH SƯ PHẠM, TÍNH MỚI, TÍNH THỰC TIỄN, NHỮNG KINH NGHIỆM ĐƯỢC RÚT RA NHẰM ĐẠT ĐƯỢC MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

41 VII. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

42 1. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ NGUYÊN TẮC THỰC NGHIỆM

42 1.1. Mục đích thực nghiệm

42 1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm

42 2. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM

42 2.1. Chọn đối tượng thực nghiệm

43 2.2. Kết quả thực nghiệm

44 3. Nhận xét kết quả thực nghiệm

1. KẾT QUẢ THỰC HIỆN

2. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI 3. ĐỀ XUẤT

PHẦN BA: KẾT LUẬN

45 45 45 45 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như chúng ta đã biết, môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh. Trong khi đó chương trình giáo dục phổ thông hiện hành được xây dựng theo hướng tiếp cận nội dung (quan tâm chủ yếu tới việc lĩnh hội tri thức; xem đó là mục đích cuối cùng của hoạt động học tập; nhưng vấn đề phát triển năng lực chưa được quan tâm một cách đúng mức). Liên quan đến vấn đề này, Nghị quyết 29- NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban chấp hành Trung ương Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học”. Nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 của Quốc hội về đổi mới chương trình, sách giáo khoa phổ thông cũng đã xác định mục tiêu đổi mới, đó là “Đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”. Quán triệt các tư tưởng và yêu cầu đó, trong Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã xác định “chương trình giáo dục phổ thông nhằm giúp học sinh phát triển khả năng vốn có của bản thân, hình thành tính cách và thói quen; phát triển hài hoà về thể chất và tinh thần; trở thành người học tích cực, tự tin, có ý thức lựa chọn nghề nghiệp và học tập suốt đời; có những phẩm chất tốt đẹp và các năng lực cần thiết để trở thành người công dân có trách nhiệm, người lao động cần cù, có tri thức và sáng tạo”. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng đã xác định các năng lực chung cần được hình thành và phát triển cho học sinh, trong đó có năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là đối tượng nghiên cứu được chú ý từ rất lâu trong lý luận dạy học ở các nước và kể cả nước ta, đặc biệt là trong lĩnh vực phương pháp dạy học (Dạy học nêu và giải quyết vấn đề, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, sáng tạo khi giải quyết vấn đề...). Giống như các năng lực khác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo được hình thành và phát triển qua việc hoạt động học tập mỗi môn học. Toán học với tư cách là môn học lại càng thể hiện ưu thế trong việc hình thành và phát triển năng lực đó.

Hiện nay, đã có nhiều nghiên cứu trong và ngoài nước về năng lực giải quyết các vấn đề và sáng tạo. Tuy nhiên, trong các nghiên cứu này, các năng lực giải quyết các vấn đề và sáng tạo được nghiên cứu chung chung hoặc nghiên cứu riêng lẻ ở một số nội dung kiến thức, chưa có nghiên cứu nào trình bày quy trình hình thành, phát triển năng lực giải quyết các vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Vì những lý do trên, tác giả chọn đề tài nghiên cứu là: “Góp phần hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”.

PHẦN HAI: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I. CƠ SỞ KHOA HỌC

1. Cơ sở lý luận

1.1. Khái niệm năng lực

Hiện nay có rất nhiều quan điểm và cách hiểu về năng lực cả trên thế giới và ở Việt Nam. Ở đây, tôi chọn cách hiểu theo tài liệu tập huấn hướng dẫn thực hiện Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 của Bộ giáo dục: Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.

1.2. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

Dựa trên nhiều nghiên cứu, có thể thấy, giải quyết vấn đề là quá trình tư duy phức tạp, bao gồm sự hiểu biết, đưa ra luận điểm, suy luận, đánh giá, giao tiếp,... để đưa ra một hoặc nhiều giải pháp khắc phục khó khăn, thách thức của vấn đề. Trong quá trình giải quyết vấn đề, chủ thể thường phải trải qua hai giai đoạn cơ bản: Khám phá vấn đề và tổ chức nguồn lực của chính mình (tìm hiểu vấn đề; tìm hướng đi, thủ pháp, tiến trình,...để dần tiến tới một giải pháp cho vấn đề); thực hiện giải pháp (giải quyết các vấn đề nhỏ hơn ở từng lĩnh vực/nội dung cụ thể; chuyển đổi ý nghĩa của kết quả thu được về bối cảnh thực tiễn) và đánh giá giải pháp vừa thực hiện, hoặc tìm kiếm giải pháp khác. Qua đó, năng lực giải quyết vấn đề thể hiện khả năng của cá nhân (khi làm việc một mình hoặc làm việc cùng một nhóm) để tư duy, suy nghĩ về tình huống vấn đề và tìm kiếm, thực hiện giải pháp cho vấn đề đó.

Cho tới nay, khái niệm năng lực và năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo có nhiều định nghĩa khác nhau phản ánh các khía cạnh khác nhau của khái niệm này. Tuy nhiên, theo Chương trình giáo dục phổ thông - Chương trình tổng thể (Bộ GD- ĐT (2018): Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong học tập là khả năng giải quyết vấn đề học tập để tìm ra những cái mới ở mức độ nào đó. Để có năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, chủ thể phải ở trong tình huống có vấn đề, tìm cách giải quyết mâu thuẫn nhận thức hoặc hành động và kết quả là đề ra được phương án giải quyết có tính mới.

1.3. Tình huống

Tình huống: Sự diễn biến của tình hình, về mặt cần phải đối phó (theo nghĩa từ điển);

Theo Nguyễn Bá Kim (2006): Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể là người, còn khách thể lại là hệ thống nào đó.

1.4. Tình huống thực tiễn

Cũng theo từ điển Tiếng Việt, tình huống là “sự diễn biến của tình hình, có mặt cần phải đối phó”. Như vậy, theo nghĩa này tình huống tự nó đã chứa đựng một yêu cầu cần được giải quyết (“có mặt cần phải đối phó”). Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó, chủ thể có thể là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó. Trong đó: Hệ thống được hiểu là một tập hợp các phần tử cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó.

Tham khảo các định nghĩa và quan điểm trên, trong phạm vi đề tài này, khi nói đến “tình huống thực tiễn”, ta có thể hiểu: Tình huống thực tiễn là loại tình huống mà trong khách thể của nó chứa đựng các yếu tố mang nội dung thực tế, trong đó có các hoạt động tác động của con người nhằm biến đổi thực tế. Tình huống thực tiễn là loại tình huống mà để giải quyết nó cần hoạt động vật chất có mục đích, mang tính lịch sử - xã hội của con người nhằm cải biến tự nhiên và xã hội.

Mặt khác, đồng tình với quan điểm của Muller & Burkhardt (2007) là cần đặt giáo dục toán học trong mối quan hệ biện chứng “Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và trở về phục vụ thực tiễn”, trong phạm vi dạy học toán ở trường phổ thông, chúng tôi quan niệm tình huống thực tiễn theo nghĩa mở; bao gồm cả thực tiễn học tập môn Toán, thực tiễn học tập các môn học khác cùng với thực tiễn đa dạng trong cuộc sống. Ở đó, kiến thức toán học được sử dụng theo nhiều cách ở nhiều môn học khác nhau như Vật lí, Hóa học, Sinh học, Địa lí, Kĩ thuật,... trong công việc và trong cuộc sống hằng ngày của mỗi học sinh.

Tóm lại, ta có thể hiểu tình huống thực tiễn là tình huống xuất phát từ thế giới bên ngoài lĩnh vực toán học, không có các đối tượng, kí hiệu, cấu trúc toán học. Trong những tình huống này, thông tin có thể không đầy đủ, dữ liệu có thể quá nhiều hoặc quá ít, yêu cầu đặt ra thường không rõ ràng dẫn đến có nhiều cách để giải quyết, tùy thuộc vào khía cạnh mà người mô hình hóa quan tâm.

1.5. Bài toán chứa tình huống thực tiễn

1.5.1. Bài toán

Theo G. Polya: “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích tuy trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”. Theo các tác giả L.N. Landa và A.N.Leontiev thì “bài toán là mục đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể (người giải toán) cần phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết”. Như vậy, một bài toán phải có các giả thiết (những điều kiện nhất định) đã biết và các câu hỏi kết luận (cái chưa biết, cần tìm kiếm). Theo Trần Vui “bài toán là một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức đã được học trước đó để giải”. Ngoài ra, bài toán phải được sự chấp nhận của học sinh. Nếu học sinh từ chối chấp nhận các thách thức thì thời điểm đó, nó không phải là bài toán cho em học sinh đó.

- Theo Nguyễn Bá Kim (2011) thì có thể quan niệm bài toán là một tình huống mà mục tiêu của chủ thể là tìm yếu tố chưa biết nào đó dựa vào một số những yếu tố cho trước ở trong khách thể.

1.5.2. Bài tập toán chứa tình huống thực tiễn

Trong phạm vi dạy học toán, mỗi bài toán được đưa vào để học sinh giải quyết và thường gọi là một bài tập đối với các em. Như vậy có thể xem xét về mặt dạy học thì bài toán đối với học sinh được cho dưới dạng một bài tập toán. Có nhiều cách phân loại bài tập toán, theo những tiêu chí khác nhau.

Căn cứ vào mục đích nghiên cứu của đề tài này, các bài tập toán được phân làm 2 loại: bài toán “Toán học thuần túy” và “Bài toán chứa tình huống thực tiễn”.

- Bài toán “Toán học thuần túy” là bài toán chỉ giải quyết đặt ra trong nội bộ toán học, với các yêu cầu, chẳng hạn: giải, tính giá trị hàm số, tìm giá trị lớn nhất và chỉ liên quan tới các tri thức toán học. Một trong những giá trị quan trọng của các bài toán “Toán học thuần túy” là giúp học sinh hiểu rõ hơn hoặc sâu hơn các kiến thức toán học được học tạo điều kiện rèn luyện các kĩ năng cần thiết qua việc giải toán. Việc giải quyết tốt những bài toán này cũng góp phần chuẩn bị tốt cho việc ứng dụng học trong thực tiễn.

- Bài toán chứa tình huống thực tiễn: Theo Bùi Huy Ngọc thì “Bài toán thực tiễn là một bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có các nội dung liên quan đến thực tiễn”. Tác giả Phan Thị Tình cũng đưa ra quan niệm “Bài toán thực tiễn là bài toán mà trong nội dung của giả thiết hay kết luận có chứa đựng yếu tố liên quan đến các hoạt động thực tiễn”. Như vậy, có thể thấy, bài toán chứa tình huống thực tiễn là bài toán mà trong giả thiết hoặc dữ kiện của bài toán chứa đựng các tình huống xảy ra từ thực tiễn cuộc sống hoặc cũng có thể hiểu rộng hơn là từ nghiên cứu học tập các môn học khác. Nói cách khác, bài toán chứa tình huống thực tiễn là bài toán mà yêu cầu hay nhu cầu cần đạt được là giải quyết được vấn đề mà các tình huống thực tiễn đặt ra.

Tuy nhiên, ranh giới giữa bài toán “Toán học thuần túy” và bài toán chứa tình huống thực tiễn cũng chỉ là tương đối. Bởi lẽ, trong thực tế dạy học toán ở trường phổ thông, nhiều bài tập toán được xây dựng dựa trên chính nhu cầu thực tiễn của việc xây dựng và thực hiện Chương trình môn Toán (với mục đích để học sinh được tiếp cận, nhận thức và vận dụng toán học theo yêu cầu ở mức độ phổ thông).

2. Cơ sở thực tiễn

Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho người học là một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục phổ thông. Tuy nhiên việc phát triển năng lực này cho học sinh trung học phổ thông vẫn đang gặp khó khăn do thực tế hiện nay chúng ta đang dạy học theo chương trình giáo dục phổ thông hiện hành (Chương trình sách giáo khoa năm 2006) được xây dựng theo hướng tiếp cận nội dung. Nhưng môn Toán ở trường phổ thông rất cần phải góp phần hình thành và

phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh như chúng ta đã được tập huấn và thực hiện dạy học theo hướng đó để tiếp cận dần với chương trình môn Toán phổ thông mới. II. TỔNG QUAN CÁC NỘI DUNG ĐÃ TIẾN HÀNH TRONG LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU ĐỂ NÊU BẬT ĐƯỢC Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI

1. Nghiên cứu lý luận

Tổng quan các tài liệu, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài. Xây dựng cơ sở lý luận về định hướng và biện pháp hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong dạy học môn Toán góp phần vào công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo trong giai đoạn hiện nay.

2. Nghiên cứu thực tiễn

Điều tra, khảo sát thực trạng hoạt động dạy của giáo viên thông qua trao đổi, phỏng vấn và dự một số giờ của một số giáo viên trong việc dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để thấy được những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh. Sử dụng phiếu điều tra để tìm hiểu về sự quan tâm của giáo viên trong việc rèn luyện, phát triển năng lực nói chung và năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo nói riêng cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.

3. Tham vấn ý kiến chuyên gia

Đề tài đã được thu thập ý kiến của các chuyên gia được thực hiện bằng trực tiếp xin ý kiến đánh giá, nhận xét về những lĩnh vực, vấn đề liên quan đến đề tài và thông qua Hội thảo khoa học.

4. Phương pháp nghiên cứu trường hợp

Nghiên cứu kết quả học tập của các lớp giảng dạy trong suốt quá trình thực nghiệm để rút ra các kết luận sư phạm của vấn đề nghiên cứu.

5. Phương pháp thống kê toán học

Các thông tin thu thập định tính sẽ được đối chiếu với các nguồn tài liệu khác nhau và với kết quả phân tích định lượng để từ đó đưa ra những kết luận chính xác, khách quan về kết quả nghiên cứu.

6. Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả của định hướng và biện pháp hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Quá trình thực nghiệm được tiến hành theo hai giai đoạn: thực nghiệm thăm dò và thực nghiệm chính thức.

III. SỐ LIỆU ĐIỀU TRA, KHẢO SÁT TÌNH HÌNH THỰC TẾ, THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI

1.Mục đích điều tra, khảo sát

Nghiên cứu thực trạng việc khai thác chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong dạy học toán nhằm góp phần góp phần hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.

2. Nội dung điều tra khảo sát

- Tìm hiểu nhận thức của giáo viên (GV), học sinh (HS) đối với ý nghĩa, tác dụng của việc hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.

- Tìm hiểu việc khai thác chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong chương trình hình học 10, tài liệu tham khảo, hoạt động giảng dạy và học tập của học sinh trong lớp dạy, trong trường và các trường lân cận.

3. Phương pháp khảo sát

- Hồi cứu tư liệu: Xem xét nội dung đã được quy định trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cấp Trung học phổ thông (THPT) hiện hành, tìm hiểu qua sách giáo khoa (SGK), sách bài tập (SBT) và các tài liệu tham khảo khác về môn Toán cấp THPT; hồi cứu các báo cáo về thực trạng có liên quan đã được thực hiện trong các công trình nghiên cứu trước đây.

- Điều tra bằng phiếu hỏi: Phương pháp này được sử dụng cho việc khảo sát tại các trường THPT đối với các đối tượng được chọn lựa theo các nội dung đã xác định.

4. Đối tượng khảo sát

Đối tượng tham gia khảo sát được lựa chọn trong số HS và GV ở các trường tại địa bàn thị xã Hoàng Mai và tại huyện Quỳnh Lưu Nghệ An. Nội dung khảo sát chủ yếu liên quan đến việc GV khai thác chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng như thế nào để góp phần hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.

5. Kết quả thu được qua điều tra khảo sát

- Đối với giáo viên: Vẫn còn nhiều khó khăn khi dạy làm sao để góp phần góp hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

- Đối với học sinh: Chưa có nhiều cơ hội để hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. IV. PHÂN TÍCH, ĐÁNH GIÁ NHỮNG VẤN ĐỀ THỰC TIỄN

Hiện nay, chúng ta đang đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển các phẩm chất chủ yếu và các năng lực cho học sinh theo hướng tiếp cận Chương trình phổ thông mới 2018, trong đó năng lực giải quyết các vấn đề và sáng

tạo cũng rất quan trọng. Tuy nhiên, trong các nghiên cứu hiện nay, các năng lực giải quyết các vấn đề và sáng tạo được nghiên cứu chung chung hoặc nghiên cứu riêng lẻ ở một số nội dung kiến thức, chưa có nghiên cứu nào trình bày quy trình hình thành, phát triển năng lực giải quyết các vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

V. ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GÓP PHẦN HÌNH THÀNH, PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẰNG Môn Toán góp phần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua việc giúp học sinh nhận biết được tình huống có vấn đề; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác; biết đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề và biết trình bày giải pháp cho vấn đề; biết đánh giá giải pháp đã thực hiện và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. VI. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN HÌNH THÀNH, PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẰNG Có nhiều biện pháp để góp phần hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Do khuôn khổ của Sáng kiến hạn chế số trang nên tôi xin được trình bày hai biện pháp chính sau: 1.1. Biện pháp 1: Khai thác những tri thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tiềm ẩn trong những hình ảnh thực tế và những công trình kiến trúc hiện đại để thiết kế và khai thác những bài toán hoặc hệ thống bài toán chứa tình huống thực tiễn 1.1.1. Mục đích của biện pháp Biện pháp này nhằm tạo ra những câu hỏi, bài toán về đọc hiểu, hiểu biết Toán nhằm nâng cao năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn của học sinh hoặc cài đặt trong đề kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh. 1.1.2. Căn cứ của biện pháp + Căn cứ vào nhu cầu đánh giá năng lực đọc hiểu và hiểu biết toán của học sinh. Theo OECD/PISA: Đọc hiểu là năng lực của một cá nhân để hiểu, sử dụng và phản ánh về các bài viết, để đạt được các mục đích của một người, để phát triển kiến thức tiềm năng của một người và để tham gia vào xã hội. Hiểu biết Toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh. Lĩnh vực hiểu biết toán được hiểu là những khả năng của học sinh để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, và giải thích các vấn đề toán học trong nhiều tình huống khác nhau.

Hình 1 (Ảnh nguồn Internet)

Hiện nay, đánh giá của OECD/PISA được nhiều quốc gia hưởng ứng vì nó tập trung vào các bài toán thực tế, đặc biệt là những loại tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học. + Căn cứ vào định hướng đổi mới kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh. + Căn cứ vào thực tiễn có nhiều công trình kiến trúc hiện đại, được thiết kế, xây dựng dựa trên những mô hình toán học: Hiện nay có rất nhiều công trình kiến trúc hiện đại, được thiết kế, xây dựng dựa trên những mô hình toán học với những hình dạng “bắt mắt” làm chúng ta không khỏi ngạc nhiên về sự độc đáo của chúng. 1.1.3. Cách thực hiện biện pháp Như vậy, môn Toán góp phần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo khi dạy học theo định hướng trên có thể được thông qua các bước như sau: Bước 1. Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học: Xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác. Bước 2. Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề: Lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề. Bước 3. Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra: Thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề. Bước 4. Đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hoá được cho vấn đề tương tự: Đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái quát hoá được cho vấn đề tương tự. Ví dụ 1: Cho học sinh quan sát hình ảnh công trình kiến trúc sau:

Vấn đề là những tri thức hình học tiềm ẩn trong những công trình kiến trúc hiện đại đó là gì? Có thể dựa trên những tri thức hình học và những công trình kiến trúc hiện đại đó để thiết kế những bài toán về hiểu biết toán như thế nào?

Các bước thực hiện cách này như sau:

+ Bước 1: Giáo viên cần phải phát hiện ra những tri thức hình học tiềm ẩn trong những công trình kiến trúc hiện đại. Muốn vậy cần phải đặt ra những câu hỏi, những vấn đề từ việc quan sát các công trình kiến trúc như sau:

- Kiến trúc này có những phần gần gũi với hình dạng nào trong Hình học 10?

- Những đường thẳng, mặt phẳng, mặt cong được ẩn khuất trong những kiến trúc đó như thế nào?

- Những vấn đề về đại lượng (khoảng cách, độ lớn góc, diện tích, thể tích) có thể đặt ra từ kiến trúc đó như thế nào?

- Những mối liên hệ, quan hệ song song, quan hệ vuông góc…có thể khai thác được trong kiến trúc đó như thế nào?

+ Bước 2: Giáo viên cần đặt ra một hệ thống câu hỏi, bài toán phù hợp, sắp xếp theo một trình tự lôgic sao cho việc giải quyết bài toán trước có thể gợi mở cho việc giải quyết bài toán sau, hỗ trợ học sinh giải quyết vấn đề.

+ Bước 3: Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận, học hợp tác, hoặc làm các bài tập lớn, thực hiện dự án Stem…Thông qua đó, học sinh sẽ thấy được ý nghĩa của những nội dung môn Toán đang được học ở trường Trung học phổ thông, thấy được những điều mình học thật lí thú và hấp dẫn.

Chú ý: Những bài toán dạng này cần đến một thời lượng đủ lớn và cần có sự hợp tác làm việc. Bởi vậy, với những dạng toán này, giáo viên nên giao cho học sinh dưới dạng phiếu học tập và cần tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm… Cũng có thể tổ chức cho học sinh thực hiện nhiệm vụ dưới dạng một dự án hoặc chủ đề dạy học STEM.

Bây giờ chúng ta bắt đầu thiết kế bài toán từ việc quan sát kiến trúc hiện đại từ Hình 1 trên.

Câu hỏi được đặt ra:

Câu hỏi 1: Công trình kiến trúc trong Hình1 có những hình ảnh nào liên quan đến kiến thức mà các em đã được học trong hình học 10?

Câu hỏi 2: Cần diện tích đất bao nhiêu để xây dựng công trình này hoặc một phần nào đó của công trình này?

Để có câu trả lời, hãy nghiên cứu hệ thống các bài toán liên quan tới cấu trúc này, được đặt ra tình huống như sau: Tình huống: Vào năm 2001, Việt Nam quyết định xây dựng một sân vận động quốc gia để tổ chức SEA Games 2003. Với sức chứa theo thiết kế là 40.192 chỗ

Hình chữ nhật bao bên ngoài

Đường chạy

Sân cỏ

ngồi (450 ghế VIP, 160 ghế dành cho phóng viên báo chí), sân Mỹ Đình là trung tâm của Khu liên hợp thể thao quốc gia Việt Nam. Hạng mục chính là một sân thi đấu bóng đá hình chữ nhật theo tiêu chuẩn của Hội đồng Liên đoàn Bóng Đá Quốc tế (IFAB) với kích thước chuẩn cho chiều dài sân là 105m và chiều rộng là 68m, bao bọc bên ngoài sân là một đường chạy (đường Pitch) có hình dạng elip, các đỉnh của hình chữ nhật nằm trên đường elip này. Biết rằng hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật vuông góc với hai trục tiêu tại hai tiêu điểm của elip. Hãy tính diện tích phần đất hình chữ nhật bao bên ngoài đường chạy đó? Chúng ta bắt đầu định hướng phương pháp góp phần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua giải quyết tình huống thực tiễn trên: Bước 1: Giúp học sinh nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học: - Xác định được tình huống có vấn đề: Giúp học sinh phát hiện một ứng dụng quan trọng của đường elip trong lĩnh vực xây dựng, thiết kế và các tình huống liên quan: Đường chạy đó là đường gì? Ta có gắn vào hệ trục tọa độ phẳng để viết phương đường đó hay không? Hình chữ nhật bao bên ngoài đường chạy đó được gọi là gì? Làm sao tính được chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó mà chỉ biết được các thông tin như tình huống đã cho? Chiều dài và chiều rộng đó có liên quan gì đến các yếu tố của các đường elip? - Thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin: Từ tình huống trên, ta sắp xếp lại thông tin như hình vẽ:

- Chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác: Giúp học sinh hình thành nên tư duy làm việc nhóm, tiếp thu kiến thức thông qua phương tiện Internet và tìm hiểu thực tế. Bước 2: Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề (Lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề).

- Giúp học sinh đề xuất được bài toán chứa tình huống thực tiễn tương ứng như sau: Người ta dự tính xây một sân bóng đá hình chữ nhật theo tiêu chuẩn của IFAB với kích thước chuẩn cho chiều dài sân là 105m và chiều rộng là 68m, bao bọc bên ngoài sân là một đường chạy (đường Pitch) có hình dạng elip, các đỉnh của hình chữ nhật nằm trên đường elip này. Biết rằng hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật vuông góc với hai trục tiêu tại hai tiêu điểm của elip. Hãy tính diện tích hình chữ nhật bao bên ngoài đường chạy đó? - Học sinh biết thiết lập và xây dựng hệ trục toạ độ cho phương trình chính tắc của đường elip. Từ đó tính toán được các thông số quan trọng của elip khi biết một số yếu tố. Bước 3: Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra (Thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề). Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ bên:

Gọi phương trình elip .

Ta có chiều dài sân bóng: .

Từ giả thiết suy ra:

Điểm (1)

Mà: (2)

Thay (2) vào (1) ta được: .

Suy ra: .

Vậy diện tích hình chữ nhật cần tìm là: Bước 4: Đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hoá được cho vấn đề tương tự (Đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái quát hoá được cho vấn đề tương tự).

. Kinh phí cho mỗi làm đường

Bài toán 1 Một sân chơi trong công viên cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài người ta làm một con đường nằm trong sân. Biết rằng viền và chiều rộng là ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của đồng. Tính tổng số tiền mặt đường là làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

vào tâm của hình Elip. đặt gốc tọa độ

Hướ ng dẫn giải Xét hệ trục tọa độ Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán thực tiễn trên, ta được bài toán sau: Bài toán 2: Ông Bình có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và

độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một mảnh đất rộng 8 m và

nhận trục bé của elip làm trục đối xứng. Biết kinh phí trồng hoa là 100000 đồng/ 1

m2. Hỏi ông Bình cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó (số tiền được

làm tròn đến hàng nghìn).

Hướ ng dẫn giải

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Ta có phương trình đường elip là:

Phần đường cong phía trên trục Ox có phương trình là:

Suy ra diện tích mảnh đất trồng hoa là:

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được 2S = 76,5289182 ( )

Suy ra số tiền để trên mảnh đất này là: 2S. 100000 = 7652891,82 (đồng).

Do làm tròn đến hàng nghìn nên số tiền là 7653000 đồng.

và chi phí trồng hoa là

Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán thực tiễn trên, ta được bài toán sau: m và độ dài Bài toán 3: Ông Tuấn có một khu đất hình elip với độ dài trục lớn trục bé m. Ông Tuấn muốn chia khu đất thành hai phần, phần thứ nhất là một hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá cảnh và phần còn lại dùng để trồng hoa. Biết chi phí xây bể cá là đồng trên đồng trên . Hỏi ông Tuấn có thể thiết kế xây dựng như trên với tổng chi phí thấp nhất là bao nhiêu?

Hướ ng dẫn giải Gắn mảnh vườn hình elip của ông An vào hệ trục tọa độ như hình vẽ. Độ dài trục lớn 10m và độ dài trục bé bằng 8m nên ta có và .

Phương trình của elip là: .

Diện tích của elip là: .

Hình chữ nhật nội tiếp elip. Đặt .

Diện tích hình chữ nhật là: .

Diện tích phần còn lại trồng hoa là: .

Tổng chi phí xây dựng là:

Mặt khác ta có: .

Dấu xảy ra khi (thỏa mãn).

Vậy tổng chi phí thiết kế xây dựng thấp nhất gần với số .

, chiều rộng là là

Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán thực tiễn trên, ta được bài toán sau: . Bài toán 4: Một mặt bàn hình elip có chiều dài là Anh Quân muốn gắn đá hoa cương và dán gạch tranh trên mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương bên ngoài và điểm nhấn bên trong là bộ tranh gồm 2 miếng gạch với ). Biết rằng đá hoa cương có giá và bộ tranh kích thước mỗi miếng là gạch có giá vnđ/bộ. Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương và dán gạch tranh theo cách trên bằng bao nhiêu?

Hướ ng dẫn giải Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng

, , ,

Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán thực tiễn trên, ta được bài toán sau: Bài toán 5: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là đồng/

như và phần còn lại là , đồng/ . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên là bao nhiêu, biết

và tứ giác là hình chữ nhật có ?

Hướ ng dẫn giải: Giả sử phương trình elip .

Theo giả thiết ta có .

Diện tích của elip là .

Ta có: với và .

Khi đó, diện tích phần không tô màu là .

Diện tích phần tô màu là Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là

đồng.

Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán thực tiễn trên, ta được các bài toán tương tự sau sau: Bài toán 6: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn) Hướ ng dẫn giải

Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với tâm thiết diện

Suy ra elip: . Thể tích quả dưa hấu chính là thể tích vật thể thu được

đ.

khi quay phần gạch chéo quanh trục Ox.

Số tiền thu được là:

Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán thực tiễn trên, ta được các bài toán tương tự sau sau: Bài toán 7: Mái vòm của một cái cửa có hình dạng một nửa hình elip. Biết các kích thước như hình vẽ bên. Hãy viết phương trình chính tắc của elip này?

Ảnh nguồn Internet

Bài toán 8: Khu vực ngoài trời ở phía Nam của Nhà Trắng (Mỹ) được xây dựng với hình dáng elip. Hãy xây dựng phương trình chính tắc của elip này với các kích thước cho ở hình bên?

Ảnh nguồn Internet

Bài toán 9: Một cây cầu được xây dựng với cấu trúc vòm phía dưới là một nửa hình elip. Biết chiều cao của câu cầu là 100 ft, chiều dài của cây cầu là 400 ft. Cách điểm chính giữa của cầu 50 ft, họ xây một thanh trụ thẳng đứng. Tính chiều dài của thanh trụ này?

Bài toán 10: Để tránh phẫu thuật mở khi điều trị sỏi thận, người ta dùng một lithotripter hình elip có thể được sử dụng để phá vỡ sỏi. Một máy phát điện tia phát ra các sóng xung kích siêu cao tần dưới nước (UHF) từ một điểm tập trung, với thận của bệnh nhân được đặt ở vị trí khác. Máy tán sỏi là môt phần của elip với trục chính là 26 inch và trục nhỏ là 10 inch. Khoảng cách từ trung tâm của hình elip đến nguồn sóng xung kích hoặc viên sỏi là bao nhiêu? (Đặt máy ở hông bệnh nhân sao cho khi phát xung đúng tiêu điểm F1 của máy thì xung sẽ phản xạ tới đúng ở vị trí sỏi ở tiêu điểm F2 để tán vỡ sỏi).

Ảnh nguồn Internet

Ví dụ 2: Cho học sinh quan sát hình ảnh thực tế sau:

Hình 2 (Ảnh nguồn Internet)

Hình 3 (Ảnh nguồn Internet)

Vấn đề là những tri thức hình học tiềm ẩn trong những hình ảnh thực tế đó là gì? Có thể dựa trên những tri thức hình học và những hình ảnh thực tế đó để thiết kế những bài toán về hiểu biết toán như thế nào?

Các bước thực hiện cách này như sau:

+ Bước 1: Giáo viên cần phải phát hiện ra những tri thức hình học tiềm ẩn trong những hình ảnh thực tế đó. Muốn vậy cần phải đặt ra những câu hỏi, những vấn đề từ việc quan sát các hình ảnh thực tế đó như sau:

- Hình ảnh thực tế đó là mặt trăng. Vậy học sinh sẻ liên tưởng ngay mặt trăng chuyển động quanh trái đất theo quỹ tích là hình gì?

- Hiện tượng kỳ thú nào đã từng xẩy ra đối với mặt trăng?

+ Bước 3: Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận, học hợp tác, hoặc làm các bài tập lớn, tổ chức dạy học theo phương thức Stem, thực hiện dự án… Thông qua đó, học sinh sẽ thấy được ý nghĩa của những nội dung môn Toán đang được học ở trường trung học Phổ thông, thấy được những điều mình học thật lí thú và hấp dẫn.

Bây giờ chúng ta bắt đầu thiết kế bài toán từ việc quan sát hình ảnh thực tế từ Hình 2 và Hình 3 trên.

Có nhiều tình huống có thể khai thác từ hình ảnh trên. Chẳng hạn câu hỏi có thể được đặt ra như sau:

Câu 1: Hình ảnh trên là một hiện tượng gì của mặt trăng?

Câu 2: Mặt trăng và các vệ tinh của Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo là các đường gì? Tâm Trái Đất là một điểm của nó?

Để có câu trả lời, hãy nghiên cứu hệ thống các bài toán liên quan tới cấu trúc này, được đặt ra tình huống như sau:

Tình huống

Hiện tượng siêu trăng là gì?

Được coi là vệ tinh tự nhiên duy nhất của Trái Đất, Mặt Trăng di chuyển quanh Trái Đất theo một quỹ đđạo hình oval. Khi Mặt Trăng di chuyển tới vị trí có khoảng cách gần với Trái Đất nhất (điểm cận địa), kích thước Mặt Trăng khi nhìn từ Trái Đất sẽ lớn hơn.

Đặc biệt, khi Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng xếp thẳng hàng đúng thời điểm Mặt Trăng ở điểm cận địa, Mặt Trăng sẽ sáng và có kích thước lớn hơn nhiều khi nhìn từ Trái Đất, đó được gọi là hiện tượng Siêu trăng hoặc Siêu Mặt Trăng (Supermoon). So với kích thước của Mặt Trăng tại vị trí có khoảng cách xa nhất

với Trái Đất trên quỹ đạo (điểm viễn địa), Mặt Trăng sáng hơn 30% và có kích thước lớn hơn 14% khi nhìn từ Trái Đất vào lúc xảy ra hiện tượng Siêu trăng.

Từ đó ta có các tình huống sau: a) Hãy xác định vị trí của điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của Mặt Trăng. Biết khoảng cách từ điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của một vệ tinh đến tâm trái đất theo thứ tự là . Tâm sai của quỹ đạo này bằng bao và nhiêu? b) Biết độ dài trục lớn và độ dài trục bé của quỹ đạo mặt trăng là

và . Tính khoảng cách lớn nhất và khoảng cách bé nhất giữa tâm trái đất và

Vệ tinh

tâm của mặt trăng? Chúng ta bắt đầu định hướng phương pháp góp phần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua giải quyết tình huống thực tiễn trên: Bước 1: Giúp học sinh nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học: - Xác định được tình huống có vấn đề: Hãy xác định vị trí của điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của Mặt Trăng? Tâm sai của quỹ đạo này bằng bao nhiêu? Tính khoảng cách lớn nhất và khoảng cách bé nhất giữa tâm trái đất và tâm của mặt trăng? - Thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin: Từ tình huống trên, ta sắp xếp lại thông tin như hình vẽ:

Điểm viễn địa (Apogee)

Trái Đất

Điểm cận địa (Perigee)

- Giúp học sinh đề xuất được bài toán chứa tình huống thực tiễn tương ứng như sau:

Mặt trăng và các vệ tinh của Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo là các đường elip mà tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Điểm gần Trái Đất nhất trên quỹ đạo gọi là điểm cận địa (Perigee), điểm xa trái đất nhất trên quỹ đạo gọi là điểm viễn địa (Apogee) a) Hãy xác định vị trí của điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của Mặt Trăng. Biết khoảng cách từ điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của một vệ tinh đến tâm trái đất theo thứ tự là . Tâm sai của quỹ đạo này bằng bao và nhiêu? b)Biết độ dài trục lớn và độ dài trục bé của quỹ đạo mặt trăng là

và . Tính khoảng cách lớn nhất và khoảng cách bé nhất giữa tâm trái đất và

a)Theo công thức bán kính qua tiêu, ta có:

vì

nên

Suy ra: Vị trí điểm cận địa và điểm viễn địa chính là hai đỉnh trên trục lớn

của elip

Khi đó:

;

b)Theo đề ra, ta có:

Mà:

Vậy khoảng cách lớn nhất từ tâm Trái Đất tới tâm Mặt Trăng là:

và khoảng cách bé nhất là:

tâm của mặt trăng? - Học sinh thiết lập và xây dựng hệ trục toạ độ cho phương trình chính tắc của đường elip. Từ đó nhớ lại công thức bán kính qua tiêu elip, biết được cách xác định vị trí điểm trên đường elip cách tiêu điểm một đoạn ngắn nhất và dài nhất. Từ đó tính toán được các thông số quan trọng của elip khi biết một số yếu tố. Bước 3: Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra (Thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề).

Bước 4: Đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hoá được cho vấn đề tương tự (Đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái quát hoá được cho vấn đề tương tự).

Phần này giáo viên có thể mời đại diện nhóm trình bày lời giải mà nhóm đã thảo luận và thống nhất. Học sinh báo cáo và thảo luâ ̣n: Gọi học sinh nhận xét câu trả lời của các nhóm sau đó. Kết luâ ̣n: Giáo viên chính xác hoá lời giải và đưa ra bình luận. Từ đó, đánh giá được giải pháp đề ra là hoàn toàn chính xác, khả thi. Từ đây, giáo viên có thể định hướng cho học sinh khái quát hóa cho các vấn đề tương tự: Bằng cách cho 2 hành tinh bất kỳ với số liệu tổng quát. Mở rộng vấn đề: (Giáo viên đặt câu hỏi cho nhóm) Hãy giải thích một số hiện tượng thiên văn liên quan đến mặt trăng sau: Trăng tròn (Full Moon), Trăng rằm Trung thu (Harvest Moon), Trăng non (New Moon), Nhật thực (Solar Eclipse), Nguyệt thực (Lunar Eclipse), Trăng máu (Blood Moon). Nhận xét qua các bước thực hiện trên: Học sinh biết thiết lập và xây dựng hệ trục toạ độ cho phương trình chính tắc của đường elip. Từ đó biết được cách xác định vị trí điểm trên đường elip cách tiêu điểm một đoạn ngắn nhất và dài nhất. Giúp học sinh phát hiện, hiểu và giải thích được một số hiện tượng kì thú trong thiên văn học và hình thành nên tư duy nghiên cứu khoa học, làm việc nhóm, tìm hiểu kiến thức thông qua phương pháp tự tra cứu qua sách, báo, Internet… 1.2. Biện pháp 2: Khai thác, thiết kế và tổ chức hoạt động phát hiện bài toán mới từ bài toán cơ bản 1.2.1. Mục đích của biện pháp Biện pháp này giúp giáo viên khai thác, xây dựng được những bài toán hoặc những tình huống để học sinh khám phá những tri thức toán học dựa trên bài cơ bản đã có giúp học sinh được học tập và rèn luyện các cách tiếp cận một bài toán theo hướng khai thác và phát hiện các hướng để tạo ra bài toán mới (kể cả bài toán chứa tình huống thực tiễn). Từ đó giúp các em giải quyết một cách sáng tạo những bài toán mới. 1.2.2. Căn cứ của biện pháp Có 5 con đường đi đến bài toán mới từ bài toán ban đầu đã biết trong sách giáo khoa của tác giả Tôn Thân. Đó là: Lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu; lập bài toán đảo của bài toán ban đầu; thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố, đặc biệt hóa bài toán ban đầu; bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, khái quát hóa bài toán ban đầu; thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu. Tuy nhiên, chương trình toán ở trung học phổ thông có đưa thêm 2 công cụ để nghiên cứu toán học so với chương trình ở trường trung học cơ sở, đó là phương pháp véc tơ và phương pháp tọa độ, nên ngoài 5 con đường nói trên, ta có thể đề xuất thêm một cách sáng tạo bài toán mới, đó là: Chuyển đổi ngôn ngữ. 1.2.3. Cách thực hiện biện pháp

Chúng ta bắt đầu với bài toán cơ bản sau:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách từ M(2;-1) đến đường

thẳng cố định d: 6x+y-1=0.

Từ ví dụ đơn giản này, ta có thể có một số định hướng xây dựng hệ thống bài tập

trong mặt phẳng toạ độ như sau:

Định hướng 1: Giữ điểm M cố định, thay giả thiết đường thẳng d cố định thành

đường thẳng d thay đổi ta có bài toán mới:

Bài toán 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x+(m-1)y+2m=0 và

điểm M(2;-1). Tìm m để khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất. Tìm giá

trị lớn nhất đó.

Bài toán này có thể giải theo nhiều cách, chẳng hạn sử dụng công thức khoảng

cách. Từ đó khảo sát hàm số theo m để tìm giá trị lớn nhất của nó. Tuy nhiên việc

làm này không đơn giản vì hàm số này có cấu trúc phức tạp gồm cả căn và trị tuyệt

đối. Vì vậy cần phải phát hiện được: Bài toán ẩn đi yếu tố đường thẳng d thay đổi

nhưng luôn đi qua điểm cố định là I(-2;-2). Nên ta có thể giải theo cách nhìn hình

học như sau:

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d. Ta có MH dấu bằng xảy

ra khi H trùng I. Khi đó khoảng cách từ M đến d là lớn nhất và d chính là đường

thẳng vuông góc với MI nên

là vectơ chỉ phương của d). Khoảng cách lớn nhất là (Với

MI= .

Định hướng 2: Xây dựng bài toán mới bằng tư duy thuận nghịch bài toán cơ bản

trên ta có các bài toán mới sau:

Bài toán 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2;-1) và điểm I(-2;-2). Viết

phương trình đường thẳng d đi qua I sao cho:

a) Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất.

b) Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải: a) Giải như Bài toán 1.

b) Khoảng cách từ M đến đường thẳng d nhỏ nhất khi d là đường thẳng đi qua MI.

Định hướng 3: Tiếp tục tăng số điểm cố định lên, ta có bài tập mới sau:

Bài toán 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(2;-1), N(-1;3) và đường

thẳng d: 6x+y-1=0. Tìm I thuộc d để IM+IN đạt giá trị nhỏ nhất.

Đây là dạng bài tập đã quen biết của phần hình học phẳng và hình học véctơ, bây

giờ được giải bằng phương pháp tọa độ nên ta sẽ dùng kiến thức hình học phẳng để

lập luận và tìm kiếm lời giải.

Hướng dẫn giải: Do M, N khác phía so với d nên điểm I thuộc d để IM+IN nhỏ nhất chính là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng d vì IM+IN . Dấu bằng xảy ra khi I là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng d.

Bài toán tổng quát 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(m1;m2),

N(n1;n2) và đường thẳng d: ax+by+c=0 ( M và N không thuộc d và nằm khác phía

với đường thẳng d). Tìm I thuộc d để IM+IN đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận xét: Nếu M, N cùng phía so với d, ta có bài toán quen thuộc sau: Bài toán 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(2;-1), N(1;3) và đường

thẳng d: 6x+y-1=0. Tìm I thuộc d để IM+IN đạt giá trị nhỏ nhất.

Tương tự, đây là dạng bài tập đã quen biết của phần hình học phẳng và hình học

véctơ, bây giờ được giải bằng phương pháp tọa độ nên ta sẽ dùng kiến thức hình

học phẳng để lập luận và tìm kiếm lời giải.

Hướng dẫn giải: Ta chuyển bài toán cùng phía về bài toán khác phía nhờ cách . Dấu bằng

lấy đối xứng M qua d được điểm M’. Khi đó IM+IN=IM’+IN xảy ra khi I chính là giao điểm của M’N với d.

Bài toán tổng quát 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định

M(m1;m2), N(n1;n2) và đường thẳng d: ax+by+c=0 ( M và N không thuộc d và nằm

cùng phía với đường thẳng d). Tìm I thuộc d để IM+IN đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận xét: Nếu thay IM+IN bởi thì ta có bài toán tổng quát quen thuộc

sau: Bài toán tổng quát 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định

M(m1;m2), N(n1;n2) và đường thẳng d: ax+by+c=0 ( M và N không thuộc d và nằm

cùng phía với đường thẳng d). Tìm I thuộc d để lớn nhất.

Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức tam giác ta luôn có dấu bằng

ta tiếp tục khai thác ý tưởng này: nằm cùng phía so với đường thẳng , tìm vị trí điểm ,

xảy ra khi I là giao điểm của đường thẳng MN với d. (Điều này đúng khi M, N nằm cùng phía với d. Trường hợp M, N nằm khác phía ta có thể lấy đối xứng điểm M qua d được điểm M’ và đưa về trường hợp M, N nằm cùng phía với d ). Nhận xét: Tiếp tục khai thác Bài toán tổng quát 2: Thay hai điểm M, N bởi hai điểm A, B, đường thẳng d bởi Cho hai điểm trên đạt giá trị nhỏ nhất? sao cho:

, khi đó: .

qua , , thẳng hàng. Vậy điểm cần tìm là giao

Theo cách giải trên là điểm đối xứng với Gọi Đẳng thức xảy ra khi ba điểm điểm của và Từ đó, ta lại có phân tích: Gọi điểm sao cho : , khi đó ta vẽ

hình elip đi qua điểm đó và nhận , làm hai tiêu điểm.

Suy ra: - Với mọi điểm nằm trên thì .

- Với mọi điểm nằm trên thì .

Từ đó suy ra sẽ “tiếp xúc” với tại điểm .

Giả sử không tiếp xúc với thì khi đó sẽ cắt tại hai điểm phân biệt

, . Khi đó ta lấy một điểm nằm bất kỳ giữa và

như hình trên thì: nhỏ nhất. Khi đó: , mâu thuẫn với giả thiết

như vậy là một đường tiếp tuyến của đường elip tại điểm

là một tiếp tuyến của elip tại điểm thì

Ta gọi Tóm lại: Nếu một điểm chung duy nhất và đạt giá trị nhỏ nhất với . và elip chỉ có là hai ,

. Qua điểm

tiêu điểm của elip. Từ đây, ta lại khai thác ngay bài toán sau: và Cho một hình elip có hai tiêu điểm là vẽ một đường tiếp tuyến nằm trên hình elip, với đường elip như hình bên. Chứng minh rằng

Ta có thể giải như sau:

Dựa vào bài toán trên, ta đã biết tại điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và

elip thì đạt giá trị nhỏ nhất, lấy điểm đối xứng với qua đường

thẳng .

Ta có: , mặt khác là giao điểm giữa và khi đó:

và ngược lại ánh sáng phát ra từ tiêu điểm

ta đặt một Từ đây ta lại có liên tưởng trong thực tiễn: Nếu như tại tiêu điểm ngọn đèn, ánh sáng đèn sẽ phản xạ qua bề mặt của hình Elip và tập trung tại tiêu cũng tập trung tại tiêu điểm điểm làm cho hai điểm này sáng bừng lên. Âm thanh cũng như vậy, khi diễn viên đứng hát tại một tiêu điểm, âm thanh mà người ấy phát ra cũng phản xạ qua bề mặt của hình Elip cuối cùng cũng tập trung tại tiêu điểm kia làm cho khán giả ngồi ở đó cũng nghe thấy rất rõ. Hiện tượng này làm cho nhà hát giống như là có hai sân khấu vậy và thính giả ngồi ở hai bên đều có thể đồng thời nghe rõ được buổi biểu diễn (Đó là Định luật phản xạ ánh sáng (Vật Lý 7)) Từ đó, giúp học sinh phát hiện được một ứng dụng độc đáo của elip trong lĩnh thiết kế xây dựng và âm nhạc và chủ động trong việc tự tìm hiểu kiến thức để giải thích được những điều mới lạ phát hiện được. Mở rộng vấn đề: Giáo viên tổng quát với các em học sinh rằng: Điều mà các em vừa phát hiện ra trên thật ra là tính chất âm học của elip đã được các nhà bác học Hy Lạp cổ đại phát hiện ra và ứng dụng vào xây dựng các nhà hát.

Ảnh nguồn Internet Sự phản xạ âm thanh từ tiêu điểm này qua tiêu điểm kia của elip được gọi là tính chất âm học của elip. Đây là nguyên do vì sao ở một số phòng trưng bày nghệ thuật, người xem đứng tại hai chỗ nhất định có thể nghe được tiếng thì thầm của nhau, cho dù ở giữa họ có rất nhiều người. Từ nay, các em sẻ được hiểu “Vì sao trần nhà hát Opera thường có hình dạng elip?” Định hướng 4: Bằng cách tương tự hóa ta tìm được bài toán mới sau:

Bài toán 5. Cho tam giác ABC biết tọa độ ba đỉnh cố định và đường thẳng d có

phương trình cố định. Tìm I thuộc d sao cho nhỏ nhất.

Có thể giải tương tự như Bài toán 4.

Cách 1: Do I thuộc d có thể viết tọa độ I theo một tham số từ đó tính

theo t và đánh giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số theo t.

Cách 2: Sử dụng kiến thức vectơ: với G là trọng tâm tam giác

ABC khi đó nhỏ nhất khi IG nhỏ nhất I là hình chiếu của G lên

đường thẳng d.

Định hướng 5: Bằng cách khái quát hóa các định hướng 3, 4 ta tìm được bài toán

tổng quát mới sau:

Bài toán 6. Cho n điểm biết tọa độ cố định và đường thẳng d có

phương trình cố định. Tìm I thuộc d sao cho nhỏ nhất.

Định hướng 6: Quay về Bài toán tổng quát 1 và 2, tiếp tục gia tăng số điểm trên

đường thẳng để có bài toán:

Bài toán 7. Cho M, N biết tọa độ cố định và đường thẳng d có PT cố định (M, N

không thuộc d). Tìm hai điểm A, B thuộc d biết AB=2 sao cho MA+AB+BN nhỏ

nhất.

a. Cho M, N khác phía so với d.

b. Cho M, N cùng phía so với d.

Giả sử đã tìm được A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi M’ là đỉnh thứ tư của

hình bình hành MABM’.

Ta có MA+AB+BN nhỏ nhất khi và chỉ khi MA+BN=M’B+BN nhỏ nhất.

Bài toán quay về tìm một điểm như bài toán 3,4.

Một cách tương tự ta có bài toán mới :

Bài toán 8. Cho M và N là hai điểm cố định không thuộc và nằm cùng phía với

đường thẳng d, P và Q là hai điểm thuộc d, k là một số thực. Tìm A và B thuộc d

sao cho và độ dài đường gấp khúc MABN ngắn nhất.

Định hướng 7: Từ bài tài toán trên ta có thể khái quát hóa thành bài toán :

Bài toán 9. Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d, M và N là hai điểm cố định tuỳ

ý cho P1, P2, ... Pn là các điểm cố định thuộc d, k1, k2, ... kn-1 là (n-1) số thực. Tìm

trên d các điểm A1, A2, ... An sao cho và tổng MA1 +

A1A2 + ... + AnN ngắn nhất.

Định hướng 8: Tăng thêm về số đường thẳng

Trường hợp 1: Nếu các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Ta có bài toán mới sau:

Bài toán 10. Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d1 và đường thẳng d2 song song

hoặc trùng nhau, cho P và Q là hai điểm cố định lần lượt nằm trên d1 và d2 , điểm A

và điểm B nằm về hai phía khác nhau đối với mỗi đường thẳng đó. Tìm lần lượt

và tổng AM + MN + NB bé nhất. trên d1 và d2 điểm M và N sao cho

Tổng quát hóa bài toán 10 ta có bài toán mới:

Bài toán 11. Trong mặt phẳng, cho n đường thẳng d1, d2, ... dn đôi một song song

hoặc trùng nhau. Cho P1 , P2 , ... Pn là n điểm lần lượt cố định trên d1, d2 ,... dn,

điểm A và điểm B cố định tuỳ ý. Tìm lần lượt trên d1, d2, ... dn các điểm M1, M2,...

Mn sao cho và tổng AM1 + M1M2 + ... + MnB bé nhất.

Trường hợp 2: Nếu hai đường thẳng cắt nhau ta tìm được bài toán:

Ta có bài toán mới sau:

Bài toán 12. Cho A là một điểm thuộc miền trong của góc nhọn xOy. Hãy tìm

điểm M, N lần lượt thuộc tia Ox, Oy sao cho tổng độ dài đường gấp khúc AMNA

ngắn nhất.

Hướng dẫn giải: Độ dài đường gấp khúc AMNA ngắn nhất Chu vi tam giác

AMN nhỏ nhất.

Gọi lần lượt đối xứng với A qua Ox, Oy.

Khi đó: AM+MN+NA=A’M+MN+NA'' ≥ A'A'' . Dấu bằng xảy ra khi M, N lần

lượt là giao điểm của với các tia Ox, Oy.

Trường hợp 3: Trường hợp ba đường thẳng cắt nhau.

Bài toán 13. Biết tọa độ điểm P thuộc phương trình đường thẳng BC. Tìm M, N là

2 điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và cạnh AC của tam giác nhọn ABC sao cho

tam giác MNP có chu vi ngắn nhất.

Đây chính là một cách phát biểu khác của bài toán 12.

Trong bài toán 13, chúng ta đã xét bài toán với giả thiết điểm điểm P cố định trên

BC và đi tìm M, N lần lượt trên AB, AC. Trong bài toán tiếp theo chúng ta sẽ xét

bài toán với tư duy đảo lại là:

Bài toán 14. Cho M, N là 2 điểm cố định lần lượt nằm trên cạnh AB và cạnh AC

của tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P thuộc đường thẳng BC sao cho tam giác

MNP có chu vi ngắn nhất.

(Đây là cách phát biểu khác của bài toán 3).

Phức tạp hơn nữa ta đi tìm cả 3 điểm M, N, P.

Bài toán 15. Cho tam giác nhọn ABC. Tìm trên AB, BC, CA các điểm M, N, P sao

cho tam giác MNP có chu vi bé nhất.

Ta chứng minh được để tam giác MNP có chu vi bé nhất M, N, P chính là

chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh xuống 3 cạnh.

Trong bài toán 15, tam giác ABC được cho trước và chúng ta đi tìm tam giác

MNP. Tiếp theo, chúng ta thử hoán vị giả thiết và kết luận để có bài toán mới. Cụ

thể chúng ta xét bài toán sau đây:

Bài toán 16. Trong mặt phẳng, cho tam giác MNP. Hãy xác định tam giác ABC

sao cho và tam giác ABC nhận MNP làm tam giác nội

tiếp có chu vi bé nhất trong tất cả các tam giác nội tiếp nó.

Định hướng 9: Đổi vai trò của điểm và đường thẳng trong bài 3 hay chính là đặc

biệt hóa giả thiết bài toán 12. Cho hai đường thẳng cố định và một điểm cố định, xét

trường hợp đặc biệt hai đường thẳng cố định chính là hai trục Ox, Oy ta có hai bài

toán sau:

Bài toán 17. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(2;3) cắt các tia Ox, Oy tại

M, N khác O sao cho:

a. Diện tích tam giác OMN bằng 10.

b. Diện tích tam giác OMN nhỏ nhất.

c. Sao cho OM+ON nhỏ nhất.

d. Sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.

e. Sao cho OM+ON=8.

f. Sao cho chu vi tam giác OMN= 20.

Các yêu cầu a, b, c, d đã được giải quyết ở phần trước. Còn yêu cầu e, f không

quá khó các em sẽ tự tìm kiếm được lời giải.

Ví dụ 2: Xét các bài toán sau: Cho ABC, biết A=(1,2), hai đường cao có phương trình (d): x-y =0 và (d'): 2x+y- 1=0. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác? Hướng dẫn giải: Dễ thấy A không thuộc (d) và (d'), gọi (d) là đường cao qua B, (d') là đường cao qua C. Do (d) AC nên AC có chỉ phương

là pháp tuyến , AC qua A nên

phương trình AC là:  x+y-3=0

Tương tự có phương trình AB là: x-2y+3=0. B=AB(d), giải hệ AB và (d) có B=(3,3). C=AC(d'), giải hệ AC và (d') có C=(-2,5). Nhận xét: Bài toán trên không có gì là khó khăn khi tìm lời giải. Vấn đề đặt ra là ta có khai thác được gì qua bài toán này không? Trước hết ta thử thay đổi giả thiết 2 đường cao bằng hai đường khác của tam giác. Chẳng hạn thay bằng 2 đường trung tuyến, ta có bài toán mới sau: Bài toán 1: Cho ABC, biết A=(1,3) và hai trung tuyến có phương trình là:

(d): x-3y+1=0 và (d'): y-1=0. Xác định toạ độ các đỉnh B,C. Hướng dẫn giải: Từ giả thiết A(d), A(d'), gọi (d) là trung tuyến qua B, (d') là trung tuyến qua C và G là trọng tâm ABC  Toạ độ G là nghiệm của hệ phương trình:

 G=(2,1). Nếu M trung điểm BC thì

 M=(5/2,0).

(d) có dạng tham số: x =3t-1, y = t; (d') có dạng tham số: x = t', y =1. Vì B(d), C(d') nên: B=(3t-1,t), C=(t',1). Do M trung điểm BC nên ta có:

 . Vậy B=(-4,-1) và C=(9,1).

Nhận xét: Thay 2 đường cao bằng hai phân giác, ta có bài toán mới sau: Bài toán 2: Cho ABC biết A=(2,4), hai đường phân giác trong qua B,C là

(d): x+y-2=0 và (d'): x-3y-6=0. Viết phương trình cạnh BC của tam giác.

Hướng dẫn giải: Đối xứng điểm A qua (d) và (d') được M, N BC vì các ABM, ACN cân. Vậy BC ≡ MN. Xác định M: AM  (d) nên AM có chỉ phương

 Phương trình AM:  x-y+2=0. Nếu I là hình chiếu của A lên (d)

thì I=(d)AM  I=(0,2) 

. Vậy M=(-2,0).Tương tự ta có phương trình AN: x-2=0.

Nếu J là hình chiếu của A lên AN thì J=(18/5,-4/5) và N=(26/5,-28/5). Vậy phương trình MN≡BC: 7x+9y+14=0. Nhận xét: Ta có thể thay hai đường cao bởi hai đường bất kỳ, chẳng hạn một đường cao, một trung tuyến, hay một đường cao một phân giác; một trung tuyến một phân giác ta có các bài toán mới sau: Bài toán 3: Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của ABC biết B=(2,-1), đường cao qua A là (d): 3x-4y+27= 0 và phân giác ngoài góc C là (d'): x+2y-5=0. Hướng dẫn giải: Vì (d)  BC, nên BC có chỉ phương là pháp tuyến của (d): =(3,-4).

 Phương trình BC:

 4x+3y-5=0, C=BC(d')  C=(-1,3). Sử dụng tính chất phân giác như trên, đối xứng B qua (d') được DAC. BD có chỉ phương là pháp tuyến của (d') là =(1,2), phương trình BD :

 2x-y-5=0. Nếu I là hình chiếu của B lên (d') thì I=BD(d') 

I=(3,1)  D=(4,3). Vậy phương trình AC ≡ DC: y-3=0. Vì A=(d)AC nên A=(-5,3). Vì A(d) nên: 2t-1-(2-4t)= 0  t=1/2 A=(0,0). Nhận xét: Như vậy, qua hệ thống bài toán trên ta thấy rõ sự vận động trong suy luận, nhìn vấn đề dưới góc độ vận động, ta được nhiều kết quả tương tự, nhờ đó có thể sáng tạo ra nhiều bài toán hay, phù hợp với nhận thức của học sinh. Ví dụ 3 Xét các bài toán sau:

Cho hình vuông ABCD, hai điểm E, F thoả mãn

. Gọi I là giao

điểm của AE và BF . Chứng minh

Hướng dẫn giải:

Có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bài này theo hai cách sau:

Cách 1: Biểu diễn theo hai véc tơ . Dùng tích vô hướng để kết luận.

Cách 2: Gọi cạnh hình vuông có độ dài bằng x. Tính các cạnh của tam giác AIC. Kết

luận

Bây giờ, gắn bài toán cơ bản với tính chất đặc trưng vào hệ trục toạ độ Oxy ta được

một số kết quả sau:

Bài toán 1: ( Áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán cơ bản)