Sáng kiến kinh nghiệm: Thiết kế một số bài tập về thiết diện trong "Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1. M  Đ UỞ Ầ

ọ ề 1.1. Lí do ch n đ  tài

ọ ươ

ươ

ặ ẳ ủ ế ươ ấ c nghiên c u ch  y u trong ch ườ "Ch ứ ng:

ộ ươ

ứ ệ ng III. Quan h  vuông góc".  ế ng II đ

ị ớ ư ụ ặ ươ ế

ọ ể ự

ọ ề ấ

ế ề ặ

t khi vi ộ

t v  Ch ể ọ ề ư ấ ể ệ ạ ả ơ

ạ ườ i tr ủ ấ ằ ạ

ư ề ế ở ộ

ủ ằ

ẫ ọ ớ ề ọ ệ ậ

ề ậ ướ ị

ữ ể ượ đ c đánh giá là h c sinh gi

ạ ả

ớ ọ ề ng trình môn Toán c p THPT, phân môn Hình h c không   Trong ch ớ ấ   ọ ớ ượ ng trình Hình h c l p 11 v i c u gian đ ẳ ươ ồ   ng II. Đ ng th ng và m t ph ng trong không trúc g m 2 ch ủ   ệ gian. Quan h  song song và Ch N i dung c a ủ ế ượ   Ch c sách giáo khoa trình bày v i ki n th c hàn lâm, ch  y u là lí ế ậ ầ ậ   thuy t và bài t p lí thuy t, đ nh tính, h u nh  không có ví d  ho c bài t p nào ơ ộ ể   đ  cho h c sinh có c  h i hình thành và phát tri n năng l c tính toán. Các tài ệ ả li u và sách tham kh o v  Hình h c không gian dành cho c p THPT mà tôi   ậ   ầ ươ ế ng II này cũng h u nh  r t ít ho c không có các bài t p bi ự ế  ơ ộ ự có n i dung đ  h c sinh có c  h i phát tri n năng l c tính toán. Qua th c t ầ   ậ ng THPT Tri u S n 3, tôi nh n th y r ng ph n gi ng d y nhi u năm t ọ   ứ ườ ọ đa giáo viên và h c sinh c a nhà tr ng không có h ng thú khi d y và h c ự   ầ ở ươ ng này b i lí do nh  đã trình bày  ch  trên. Đi u này d n d n đ n m t th c ạ ườ ọ ng cho r ng môn Hình h c không gian là tr ng là nhi u h c sinh c a nhà tr   ả ị ị ộ   m t môn h c khó, nhi u đ nh nghĩa, đ nh lí, h  qu  khó nh  và bài t p thì ọ ộ ố ẳ   ch ng có gì thú v . Th m chí trong m t s  năm h c tr c đây, có nh ng em ọ ộ ọ ượ ỏ ọ   c ch n trong đ i tuy n 5 em i toán ( h c sinh đ ế ấ ẫ ư ấ ỉ ự d  thi HSG Toán l p 12 c p t nh   i quy t các ) nh ng v n th y "ng i" khi gi bài toán v  Hình h c không gian.

ủ ừ ệ ắ vi c n m b t đ

ạ ắ ượ ọ

ả

ắ ầ ọ ộ ố ậ

ủ ế ậ ể ệ

ế ướ ề ị ọ

ượ ụ ụ ự ạ

ọ ậ

ọ ầ ừ ạ ộ ấ ượ  bài h c đ u tiên, góp ph n nâng cao ch t l

ư ớ

ọ ọ ầ ườ ệ ơ ế   ọ Cũng t c tâm lí c a các em h c sinh khi b t đ u ti p ớ ậ   c n v i phân môn Hình h c không gian này, trong quá trình d y h c, tôi đã ậ ế ế "ch  bi n, thêm gia gi m" vào các bài t p trong sách giáo khoa và m t s  sách   ọ ề  ậ ậ bài t p hình h c không gian khác, mà t p trung ch  y u vào các bài t p v ệ   ộ ệ ố ệ ế ự t di n đ  có đ c m t h  th ng các bài t p v  thi t di n và di n d ng thi ụ ạ ệ ế ủ ng hình thành tích c a thi   t di n ph c v  cho m c đích d y h c theo đ nh h ứ   ọ ủ ọ ể và phát tri n các năng l c Toán h c c a h c sinh; t o cho các em tâm lí h ng ọ   thú, say mê và thích khám phá, tìm tòi khi h c t p b  môn Hình h c không ọ ộ ầ ng d y h c b  môn gian ngay t   ở  Toán nói chung cũng nh  phân môn Hình h c không gian l p 11 nói riêng  tr ng THPT Tri u S n 3 trong các năm h c g n đây.

ư ế ị

ả ạ ượ ướ ầ c b ậ ề ươ ệ t di n trong "Ch

ế ớ V i nh ng k t qu  đ t đ ế ế ộ ố Thi ẳ ệ

ự ọ

ọ ạ ể ng d y h c phân môn Hình h c không gian

ầ ườ ủ ả ế

1

ng THPT Tri u S n 3  ớ ề ọ ượ ọ ồ ữ ọ   c đ u nh  trên, tôi đã quy t đ nh ch n ườ   ế ề đ  tài:  t k  m t s  bài t p v  thi ng II. Đ ng ặ ọ ẳ   th ng và m t ph ng trong không gian. Quan h  song song ­ Hình h c 11" ọ ủ ướ ị ng phát tri n  các năng l c Toán  h c c a h c sinh góp theo đ nh h   ọ ấ ượ ở  ph n nâng cao ch t l ệ ơ ệ   làm đ  tài sáng ki n kinh nghi m c a b n thân tr ệ   c các đ ng nghi p trong và ngoài trong năm h c 2015­2016 v i hy v ng đ

ể ề ế ị ượ ệ ơ ậ ơ đ n v  đóng góp ý ki n, nh n xét và đánh giá đ  đ  tài đ c hoàn thi n h n.

ụ ứ 1.2. M c đích nghiên c u

ự

ườ ươ ệ ẳ t di n trong Ch

ứ ủ ề ụ ế ủ ệ t di n và di n tích c a thi ẳ ằ ọ ị

ữ ự ể ọ ỹ ậ   ộ ệ ố M c đích nghiên c u c a đ  tài là xây d ng m t h  th ng các bài t p ệ ế ề   v  thi ng II. Đ ng th ng và ệ ặ m t ph ng trong không gian. Quan h  song song ­ Hình h c 11 nh m đ nh   ướ ng hình thành và phát tri n cho h c sinh nh ng năng l c, k  năng sau đây: h

ự ư ­ Năng l c t ự  duy, năng l c tính toán.

ỹ ậ ụ ứ ề ệ ứ ượ ế ­ K  năng v n d ng các ki n th c v  H  th c l ng giác trong ch

ọ ớ

ườ ứ ế ộ ị

ệ ươ   ng ủ ế   ớ ọ trình Hình h c l p 10 vào các bài toán Hình h c không gian l p 11 mà ch  y u ứ   là Đ nh lí Côsin, công th c tính đ  dài đ ng trung tuy n và các công th c tính di n tích tam giác.

ể ưở ượ ể ễ ỹ ­ Phát tri n trí t ng t ng không gian, k  năng bi u di n hình không

gian.

ự ử ụ ươ ỗ ợ ụ ệ ng ti n h  tr tính toán mà c ụ

ự ử ụ ạ ầ ể ở ­ Năng l c s  d ng các công c , ph  đây là năng l c s  d ng các lo i máy tính c m tay. th

ự ử ụ ữ ọ ­ Năng l c s  d ng ngôn ng  Toán h c.

ố ượ ứ 1.3. Đ i t ng nghiên c u

ệ ố ề ế ậ ng nghiên c u c a đ  tài là h  th ng các bài t p v  thi

ố ượ ủ ọ ứ ủ ề t di n trong Ch

ệ ướ ươ ể ế ị

ọ ủ ọ ậ ự ế ả

ệ   t di n ớ   ng II ­ Hình h c không gian l p 11 ự   ng phát tri n các năng l c Toán h c c a h c sinh, ệ ố   t ph i xây d ng h  th ng bài t p này trong ớ ươ ọ ­ Đ i t ệ và di n tích c a thi ế ế ượ t k  theo đ nh h đ c thi ự ầ ị ẳ qua đó kh ng đ nh s  c n thi ạ ả ch ng trình gi ng d y phân môn Hình h c không gian l p 11.

ươ ứ 1.4. Ph ng pháp nghiên c u

ươ ứ ử ụ ề ồ Ph ng pháp nghiên c u s  d ng trong đ  tài bao g m:

ả ươ ự ế ề ậ ng pháp đi u tra kh o sát th c t

ả ề ọ

ọ ấ ơ

ượ ầ ươ ệ ố ề ậ , thu th p thông tin: Đi u tra,   ọ   ạ  d y h c toán nói chung và d y h c phân môn Hình h c ọ   ệ c t m quan tr ng ng THPT Tri u S n 3 đ  t ọ   ng II ­ Hình h c

ệ ớ ọ ­ Ph ự ế ạ kh o sát th c t ể ừ ở ườ  tr không gian  ế ự ệ ủ c a vi c xây d ng h  th ng bài t p v  thi ấ ượ không gian l p 11 trong vi c nâng cao ch t l đó th y đ ệ t di n trong Ch ạ ng d y h c .

ơ ở

ế ỹ ứ

ự ẩ ề ạ ướ ị ệ   ơ ở ng pháp nghiên c u xây d ng c  s  lý thuy t: Trên c  s  tài li u ế ươ   ng trình môn h c, chu n ki n th c ­ k  năng, sách giáo khoa ể   ọ ng phát tri n

ụ ự ể ậ ặ ứ ươ ­ Ph ọ ố phân ph i ch ệ ọ Hình h c 11 ­ Nâng cao và tài li u v  D y h c theo đ nh h ệ ố ự ọ năng l c h c sinh đ  xây d ng h  th ng bài t p theo m c đích đã đ t ra.

Ộ Ế Ệ 2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M

2

ậ ủ ơ ở ế ệ 2.1. C  s  lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m

ị ộ ươ ầ

ế ụ ụ ổ

ị ệ ạ ế ả ươ ệ

ứ ỹ

ạ ụ ậ ặ

ọ h c, t o c  s  đ  ng ậ i h c t

ớ ơ ở ể ự ề ự ọ ể ứ ậ ớ ổ ề  ứ ả Ngh  quy t H i ngh  BCH Trung  ng Đ ng l n th  tám (Khóa XI) v ớ   ổ ạ ớ "Ti p t c đ i m i đ i m i căn b n, toàn di n giáo d c và đào t o nêu rõ:   ạ ướ ọ ẽ ạ ng hi n đ i; phát huy tính tích ng pháp d y và h c theo h m nh m  ph   ụ ườ ọ   ủ ế ủ ộ ự i h c; c c, ch  đ ng, sáng t o và v n d ng ki n th c, k  năng c a ng ạ   ộ ề ụ ố ắ i truy n th  áp đ t m t chi u, ghi nh  máy móc. T p trung d y kh c ph c l ế ườ ọ ự ậ   ạ cách h c, cách nghĩ, khuy n khích t  c p ỹ nh t và đ i m i tri th c, k  năng, phát tri n năng l c...."

ườ ề ọ M i ng

ế ố ớ ấ ả ọ

ể

ươ ườ  duy, ph

ả ộ ố   i đ u c n ph i h c toán và dùng toán trong cu c s ng hàng ự   t c  các lĩnh v c trong ể   i ta có th  tính toán, ng pháp suy   ọ ậ   i quy t các v n đ  n y sinh, trong h c t p

ộ ố ư ả ọ ầ ị ọ ngày. Vì th  mà Toán h c có v  trí quan tr ng đ i v i t ọ ế ề ộ ờ ố t v  Toán h c giúp cho ng đ i s ng xã h i. Hi u bi ứ ư ượ ấ ướ ượ c cách th c t c l suy nghĩ,  ng,...và nh t là có đ ề ả ấ ế ậ nghĩ, suy lu n lôgic,...trong gi cũng nh  trong cu c s ng hàng ngày.

ổ ề ơ ả ạ ộ Ở ườ  tr

ế ọ ọ ế

ụ ự ả

ả ả ỏ

ệ ự ề ng liên quan,... Gi ọ ả ự ỉ i toán giúp h c sinh t

ượ ứ ụ ế ứ ng pháp. Ki n th c môn Toán còn đ

ọ ọ ọ ả ả   i i toán. Gi ng ph  thông, h c toán v  c  b n là ho t đ ng gi ỹ ứ   toán liên quan đ n vi c l a ch n và áp d ng chính xác các ki n th c, k  năng ố ố ệ ơ ả   c  b n, khám phá v  các con s , xây d ng mô hình, gi i thích s  li u, trao ệ ố ạ ưở ổ i toán đòi h i ph i có tính sáng t o, h  th ng. đ i các ý t   ệ ế ề ọ ẫ   t làm vi c có H c toán và gi  tin, kiên nh n, b n b , bi ệ   ụ ụ ươ ph c  ng d ng, ph c v  cho vi c ư ậ ọ h c các môn h c khác nh  V t lí, Hóa h c, Sinh h c,...

ạ ể

ạ ổ ớ ở ườ  tr ầ Do đó,  ượ ọ ả ậ ệ ng đ

ự

ự ư ư ư ư  duy lôgic; t

ư ả ạ

ự ử ụ ồ

ự ử ụ ươ ụ

ượ ưở ọ ệ ng ph  thông nói chung, vi c d y h c môn Toán đ  đáp   ổ ệ   ứ c yêu c u đ i m i trong giai đo n hi n nay ph i t p trung vào vi c ệ   ể ự t hình thành và phát tri n các năng l c chung cũng nh  các năng l c chuyên bi ư   ồ ủ g m: t  duy phê phán; t  duy ( c a môn Toán nh : Năng l c t ọ ), Năng  l c tính toán ự ậ ậ ễ duy sáng t o;  kh  năng suy di n,  l p lu n toán h c   ữ   (g m: năng l c s  d ng các phép tính; năng l c s  d ng ngôn ng  toán; năng ỗ ợ ự l c mô hình hóa; năng l c s  d ng công c , ph ng ti n h  tr  tính toán ).  ể Phát tri n trí t ự ử ụ ệ ự ng không gian, tr c giác Toán h c. ng t

ề ướ ự ủ ạ ấ ụ ế 2.2. Th c  tr ng c a  v n   đ   tr c  khi  áp   d ng sáng  ki n kinh

nghi mệ

ơ ậ ơ ở Tr ng THPT Tri u S n 3 đ

ế

ư tr ờ ệ ơ ằ ở ng n m

. Là ngôi tr ế ệ ệ ệ ủ ệ ề ơ

ự ể ặ ộ

ế

ế ố ọ ệ ỗ ợ ộ c nhà n c h  tr

3

ườ ọ ậ  chi phí h c t p, đ ế ế ọ ườ ượ ệ   c thành l p năm 1979 trên c  s  tách ra ứ   ệ ệ ừ ườ thành phân hi u t ng THPT Tri u S n 1 và đ n năm 1984 chính th c ườ ơ   mang tên nh  bây gi  phía Tây c a huy n Tri u S n, ớ ị   ấ ủ trong vùng có đi u ki n kinh t  khó khăn nh t c a huy n Tri u S n v i đ a ề ệ   bàn tuy n sinh có đ n 4/8 xã thu c khu v c mi n núi và vùng đ c bi t khó ầ ộ i chi m g n 15%, khăn V134, V135;  s  h c sinh là con em các dân t c ít ng   ễ   ượ ướ ượ ố ọ c mi n s  h c sinh thu c di n đ ố ọ ọ ả   gi m h c phí trong năm h c 2015­2016 là 604 em, chi m đ n 2/3 s  h c sinh

ườ ấ ượ ể ầ ấ ớ

ẩ   ng tuy n sinh đ u vào cũng khá th p, v i đi m chu n ả ế ể ng. Ch t l toàn tr ầ đ u vào trung bình kho ng t ể ừ  3,5 đ n 4,0 đi m/môn.

ớ ề ữ ừ nh ng năm 2005 tr  v  tr

ườ ệ V i đi u ki n nh  th  thì t ọ ủ ụ ở ề ướ c, ch t l ả ế

ế ừ

ả i HSG c p t nh môn Toán (

ọ

ự ậ ọ ọ ọ nhiên Toán, V t lí, Hóa h c và Sinh h c. S  l

ả ỗ

ế ế ể ấ ượ   ư ế ng ấ   ng xét trên hai tiêu chí là k t qu  thi HSG c p giáo d c mũi nh n c a nhà tr ế ọ ấ ạ ọ ả ỉ t nh và k t qu  thi đ i h c còn khá th p. T  năm h c 1999­ 2000 đ n năm   ả ấ ấ ỉ ỉ ọ cao nh t là gi i Ba ),  h c 2004­ 2005 ch  có 6 gi ắ ố ớ   ả ườ ậ ng còn "tr ng b ng" HSG đ i v i 4 th m chí năm h c 2004­2005 nhà tr ố ượ ậ ạ   ng h c sinh đ u đ i môn t ề   ụ ỉ ừ ọ  1999 đ n 2005 ch  kho ng vài ch c em m i năm và đ u h c trong các năm t ủ ế ể ở ứ  m c đi m ch  y u là 15 đ n 22 đi m.

ừ ạ ườ i tr

ờ ủ ề ồ ng t ớ

ớ ụ ượ ọ ố ả Khi đ ả ớ

ỗ ộ ậ ườ ả

ấ ề

ừ ừ ế ế

ậ ệ

ỹ ệ ọ

ỉ khi k t thúc khóa h c 2004­2007, tôi đã đ t đ

ấ ỉ ớ ườ ạ ỗ

ườ ề ể ạ

ề ể ạ ạ

ớ

ắ ươ ườ ủ ệ

ệ ể ẳ ở

ọ ư ệ ệ ầ ấ

ư ấ ọ ề ọ ơ

ọ ề ọ ủ ọ ng hình h c c a h c sinh đ

ượ ọ ỹ ữ ừ ầ ấ ậ

ọ ấ ự ọ ọ ộ

ả ọ ả   ượ  tháng 8 năm 2004 và đ m c phân công v  công tác t ạ   nh n gi ng d y môn Toán đ ng th i là GVCN l p "mũi nh n s  1" c a nhà ấ   ọ ế ệ c giao khi k t thúc khóa h c là l p ph i có ít nh t 5 tr ng v i nhi m v  đ ố ể ờ ỳ ấ ỉ th i k  đó m i đ i tuy n HSG văn hóa có t   i đa i HSG c p t nh môn Toán ( gi ữ   ở ấ ỗ 10 em) và có ít nh t 30 em đ  ĐH, tôi đã trăn tr  r t nhi u. Cũng t  nh ng ọ ở ạ t k  và trăn tr  đó, trong quá trình d y h c, tôi đã không ng ng tìm tòi, thi   ề ạ ể   ọ ớ ộ ề ạ biên so n nhi u chuyên đ  d y h c v i n i dung t p trung vào vi c phát tri n ả ọ ự ư  duy toán h c và rèn luy n các k  năng gi   i toán cho h c sinh các năng l c t ự ế ớ   ề ạ ượ ọ ế c ch  tiêu đ  ra v i 5 (th c t ầ   ả ả gi i Nhì môn Toán đ u i HSG văn hóa c p t nh môn Toán, trong đó có 01 gi ể   ủ ng; l p có 31 em đ  ĐH, trong đó có 01 em đ t 27,5 đi m tiên c a nhà tr ể   ạ ng ĐH Bách Khoa HN, nhi u em đ t đi m trên 25,0; có 01 em đ t đi m tr ể ừ 10 môn Toán, 01 em đ t 9,5 đi m môn Toán và nhi u em đ t đi m Toán t    9,0 ấ ộ ố ề M t s  bài ề tr  lênở   ). Trong các chuyên đ  đó, tôi r t tâm đ c v i chuyên đ :  ặ   ẳ ế ệ ề ậ t p v  tính di n tích c a thi ng II. Đ ng th ng và m t t di n trong "Ch ph ng trong không gian. Quan h  song song ­ Hình h c 11" b i lý do ki u bài   ậ   t p này h u nh  r t ít xu t hi n trong SGK cũng nh  trong các tài li u tham ấ   ữ ả kh o v  Hình h c không gian, h n n a khi h c chuyên đ  này, h c sinh r t ạ ượ ứ h ng thú và k  năng tính toán các đ i l   c nâng    nh ng bài h c đ u tiên có tính ch t “nh p môn” Hình h c không lên ngay t ọ    tin khi h c môn Hình h c không gian ­ m t môn h c gian, qua đó các em r t t ể ả ọ k  c  h c sinh khá, gi mà không ph i h c sinh nào cũng thích ( ỏ ). i

ử ụ ể ả ệ ế ề 2.3. Các sáng ki n kinh nghi m đã s  d ng đ  gi ế ấ i quy t v n đ

ề ậ ế ạ ươ ệ t k  các bài t p v  thi t di n trong “§1. Đ i c ng v ề

2.3.1. Thi ẳ ế ế ặ ẳ ườ ng th ng và m t ph ng” đ

ọ ầ ấ ậ Ngay t

ộ ố

ọ ề ự ẽ ọ ể ọ ậ ỹ ủ ế ệ

4

ệ ể ễ ừ  bài h c đ u tiên có tính ch t “nh p môn” Hình h c không gian   ế   ấ ế ế này, tôi đã thi t t k  và cung c p cho h c sinh m t s  bài t p v  d ng thi ệ t di n đ  h c sinh rèn luy n k  năng v  hình và di n và tính di n tích c a thi   ự ư  ể ở ọ bi u di n hình không gian, hình thành và phát tri n ệ  h c sinh năng l c t

ự ệ ạ ượ ọ ng hình h c nh ư

ủ ẳ ạ duy, năng l c tính toán thông qua vi c đi tính toán các đ i l ệ ộ đ  dài đo n th ng, di n tích c a đa giác,..

ầ ế ế t k  và t ổ ứ    ch c

ậ ủ ướ D i đây là m t s  bài t p c a ph n này mà tôi đã thi ọ ở ơ ị ộ ố  đ n v  công tác: ạ d y h c

ứ ệ ủ ể ọ

Bài 1.1. Cho t ớ ố ứ ể ế ớ ị ố   ể  di n ABCD. G i I là trung đi m c a AD; J là đi m đ i ệ ủ   t di n c a

ẳ ặ ớ ứ x ng v i D qua C; K là đi m đ i x ng v i D qua B. Xác đ nh thi ứ ệ t  di n v i m t ph ng (IJK).

Phân tích: (Hình 1.1)

ơ ả ễ ạ ậ ọ ị ­ Đây là d ng bài t p c  b n trong SGK. H c sinh d  dàng xác đ nh

A

ượ ế ệ đ c thi t di n là tam giác IEF.

ỉ ừ i

I

ệ ế

E

ườ

F

K

ậ ắ ớ ạ ở ệ   ế                  ­ N u ch  d ng l  vi c ự   t di n thì đây là bài toán d ng thi ố ớ ọ ả ơ   khá đ n gi n đ i v i h c sinh và ọ   ọ ng các h c sinh có h c thông th ở ự ừ l c t    trung bình khá tr  lên không ứ có h ng thú l m v i bài t p này.

D

B

ỹ

C

ọ

ế

thi ệ ụ

J

ư ử  ệ ể           ­ Đ  rèn luy n k  năng s ệ ứ ượ ụ   ng trong tam d ng các h  th c l ạ ỹ   giác và k  năng tính toán, t o thêm ọ ậ ứ   h ng thú h c t p cho h c sinh, ta ả ổ t vào cho bài b  sung thêm gi   ọ   toán   và   thêm   nhi m   v   cho   h c sinh nh  sau:

ế   ủ t ấ ả   t   c   các Hình 1.1 ệ “Hãy   tính   di n   tích   c a   thi ế ộ ệ di n   khi   bi t   đ   dài   t ủ ứ ệ ằ ạ  di n b ng a ?” c nh c a t

ướ ầ ọ ứ ­ Đ ng tr

ả c yêu c u này, h c sinh ph i đi tìm cách tính di n tích tam ộ ố ướ ể ạ ệ ư ọ giác IEF. Ta có th  v ch ra cho h c sinh m t s  h ng suy nghĩ nh  sau:

ủ ạ ộ 1. Hãy đi tìm cách tính đ  dài các c nh c a tam giác IEF.

= = EF BC ­ Tính đ c ượ 2 3 a 2 3

ể ị ­ Áp d ng Đ nh lí Côsin trong tam giác AIE và AIF có th  tính đ ượ   c

5

a = IE IF= ụ 13 6

ệ ể ự

ể ự ộ ườ ụ ị

- - -

) (

)

ự ứ ế ườ ng cao t 2. Đ  tính di n tích tam IEF có th  l a ch n cách d ng đ ể ặ ng cao, ho c có th  s ) ( = ể p b p c

( p p a

2

S ọ ỉ đ nh I và áp d ng Đ nh lí Pitago đ  tính đ  dài đ ụ d ng tr c ti p Công th c Hêrông ừ  ể ử  ệ    đ  suy ra di n

= tích . S TD a 6

ậ Nh n xét 1.1:

ng

ở ọ    trên   trong  quá  trình   d y   h c ộ ố ệ ế ế ớ ạ ư ệ ả ậ ươ ướ ậ t  k  bài  t p  theo  h 1.  Khi  thi ấ ng II­ HHKG l p 11, tôi nh n th y có m t s  hi u qu  rõ r t nh  sau: Ch

ứ ế ạ ạ ọ ơ ọ t d y h c HHKG phong phú và đa d ng h n, h c sinh

ấ Th  nh t, các ti ơ ọ ậ ứ ộ có h ng thú h n trong quá trình h c t p b  môn HHKG.

ọ ứ ơ ộ ộ ố ư

ệ ự ầ

ể t trong môn Toán  ạ ậ ỹ ng   trong   tam   giác

ụ ọ ớ ươ ễ ầ ỹ ự   Th  hai, h c sinh có c  h i phát tri n m t s  năng l c cũng nh  rèn ư  c p THPT nh : Năng l c tính   ở   ễ   ng trình Hình h c l p 10 vào ph n HHKG l p 11, K  năng bi u di n

ở ấ ế ỹ luy n các k  năng c n thi ệ ứ ượ toán,   K   năng   v n   d ng   linh   ho t   các   H   th c   l ớ ch hình không gian,…

ế ứ ạ ọ Th  ba, tôi thi

ấ ầ ế t k  các bài t p nh  ki u Bài 1.1 là r t c n thi

ậ ẳ ế ế ạ ư ể ạ ọ Ch

ớ ậ ấ

ậ ọ ự ư ể

ư ở ệ ơ ộ ở ệ ệ   ầ ườ ố ớ i th y, vi c t nghĩ trong quá trình d y h c, đ i v i ng ở ộ ố ộ   ấ  m t s  n i t, nh t là  thi ậ   ươ ng II – HHKG l p 11, khi các bài t p dung d y h c, ch ng h n nh   ả   trong SKG và trong các tài li u tham kh o có r t ít bài t p (th m chí là không ọ ể có) đ  cho h c sinh có c  h i phát tri n các năng l c Toán h c cũng nh   rèn   ỹ luy n các k  năng đã nói trên.

ệ ạ ộ

ề ườ ử ụ ứ ọ

ở ẽ ữ ọ ể ướ ị ng đ nh h ượ ứ  công th c này đ

ự ỗ ợ ơ ệ ạ ớ

ủ ẽ ấ ệ 2. Có nhi u cách đ  tính di n tích m t tam giác, tuy nhiên khi d y môn ể   ng cho h c sinh s  d ng công th c Hêrông đ HHKG, tôi th   c trình bày trong SGK Hình h c 10, h n n a khi tính b i l ầ ọ   h c sinh có s  h  tr  tính toán c a các lo i máy tính c m tay m i hi n nay thì ệ vi c tính di n tích tam giác s  r t nhanh.

ứ

3. Tùy theo m c đ  ki n th c c a h c sinh mà trong quá trình h ọ ọ ộ ố ệ ứ ượ ướ   ng   ng trong tam giác i m t s  h  th c l

ứ ủ ắ ạ ơ ọ ậ ẫ d n h c sinh h c t p, ta có th  nh c l ậ ạ cho các em ôn t p l ộ ế ể ớ i và ghi nh  sâu h n.

ể ổ ọ

ấ ẳ

thi = , , ể   4. Đ  có thêm n i dung luy n t p cho h c sinh, ta có th  thay đ i tính ổ   ế t   thay   đ i: DAB = 090 0   120

ệ ậ ạ   ch ng   h n,   và các góc   5 ệ BAC ệ ế ầ ộ ứ ệ ủ   di n, ch t   c a   t = = = AB a,AC a,AD a 2 ọ và yêu c u h c sinh tính di n tích thi ả   cho   gi = 060     CAD ư t di n nh  Bài 1.1

ằ Bài 1.2. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông c nh b ng

ằ ạ ầ ượ 2a (

ằ ạ ế ủ a , các  ể   t là trung đi m ặ   ớ t di n c a hình chóp v i m t

ế ệ ệ ẳ ọ ạ c nh bên b ng nhau và b ng  ủ c a các c nh SA, BC và CD. Xác đ nh thi ph ng (MNP). Hãy tính di n tích thi

)0a > . G i M, N và P l n l ị ệ t di n đó theo

6

a .

Phân tích: (Hình 1.2)

ể ị ượ ế ệ ­ Có th  xác đ nh đ c thi t di n là ngũ giác MKNPQ.

ệ ể ế ể ị ệ ướ ọ ­ Đ  tính di n tích thi t di n, có th  đ nh h ng cho h c sinh theo 2

cách sau:

Cách 1:

ử ụ ể ị ­ S  d ng Đ nh lí Côsin cho tam giác SAB đ  tính cos 1 SAB =  và ti pế   4

a ể ị ượ ươ ụ t c   đ nh   lí   này   cho   tam   giác   MAE   đ   tính   đ c .   T ng   t ự   , ME = 10 2

a . MF = 10 2

2 = = ử ụ ể ị ừ ­ S  d ng Đ nh lí Pitago đ  suy ra . T  đó tính đ ượ   c EF NP 3 a 3 2

MEF

23 a 8

11 = ệ di n  tích tam giác . SD

D= S

KNE

PQF

MEF

2

= D S S ứ ­ Ch ng minh . 1 6

MEF

a 11 = = ừ ­ T  đó suy ra . SD S TD 2 3 4

S

Cách 2:

ể

M

ệ

Q

ệ             ­ Có th  chia vi c ệ   ế t   di n tính   di n   tích   thi ệ ệ thành vi c tính di n tích   tam   giác   MKQ   và   hình  thang KNPQ.

K

ằ

F

A

D

P

ạ

ụ

C

ứ

B

N

E

ộ            ­ B ng cách tính đ ủ   dài   3   c nh   c a   tam   giác ị   MKQ   theo   đ nh   lí   Côsin và   sau   đó   áp   d ng   công   ệ   ể th c Hêrông đ  tính di n tích tam giác này.

Hình 1.2

7

­ Tính các c nhạ   ủ   c a   hình   thang   KNPQ, ượ ấ   c   đây   là   hình th y   đ ừ    đó cũng tính thang cân, t

ệ c   di n   tích   hình

ượ đ thang.

ậ Nh n xét 1.2:

ấ ủ ầ ở ỉ ị

ả ế 1. Bài toán xu t phát c a Bài 1.2  ớ thi

ươ ệ trong SGK ch  yêu c u xác đ nh thi ở ộ ệ t hình chóp có đáy là hình bình hành. Vi c m  r ng và thi ể ng án đ  rèn luy n các k

ế ế   t ế   t ỹ   ọ   t trong môn Toán nói chung và môn HHKG nói riêng cho h c

ệ di n v i gi ế k  thành Bài 1.2 đã giúp cho ta có thêm các ph ầ năng c n thi sinh.

ệ ấ 2. Thông qua vi c tìm tòi và đ  xu t các ph

ề ể ở ọ ọ ặ ọ ươ ệ ứ ộ ư  h c sinh m c đ  t ệ i đa các năng l c Toán h c c a h c sinh, đ c bi ế   ệ t ng án tính di n tích thi ể   ơ  duy cao h n, phát tri n ọ   t là các h c sinh có h c

ở di n đã hình thành và phát tri n  ọ ủ ố t ự ừ l c t ự  trung bình khá tr  lên.

ổ ứ ộ

ư ả ờ

ọ i gi ư

t k  và t ướ ả ụ ể ậ ọ ọ ủ ứ ủ ừ ỉ ờ i gi ứ ộ ạ ẳ ọ

ọ ự ở ố

ầ ầ i thì yêu c u thi

ọ ộ ạ ứ ố ớ ọ ề ệ ở ế ế ậ   ạ ọ 3. Trong quá trình thi  ch c h c đ ng d y h c các bài t p ị ệ   i, còn vi c nh  trên, chúng ta ch  nên đ nh h ng cho h c sinh tìm tòi l ầ   i c  th  là c a h c sinh. Ta nên đ a ra yêu c u tính toán, trình bày l ố ớ   khác nhau tùy theo m c đ  nh n th c c a t ng h c sinh, ch ng h n đ i v i ỉ ộ các h c sinh có h c l c trung bình khá tr  xu ng ch  nên yêu c u tính đ  dài   ế ậ   ỏ ủ c a m t c nh nào đó; còn đ i v i h c sinh khá, gi t l p công th c tính di n tích nhi u cách khác nhau,…

ươ ậ ằ

Bài 1.3. Cho hình l p ph ể ủ t di n c a hình ph a  . G i M, N ọ   ớ   ươ ng v i

F

ủ ế ệ ng ABCD.A'B'C'D' c nh b ng  ế ự ầ ượ t trung đi m c a AB, AD. Hãy d ng thi l n l ệ ẳ ặ m t ph ng (C'MN) và tính di n tích c a thi ạ ệ ủ t di n đó theo a .

Phân tích: (Hình 1.3)

M

B

ế ệ t di n là ngũ

A

J

­ Thi giác C’INMJ.

B’

N

ể ướ

A’

ế ng t

ẫ   ng d n           ­ Có th  h ệ ọ cho h c sinh tính di n tích   ệ ự  ươ ủ c a thi t di n này t ủ theo cách c a Bài 1.2.

C

D

E

ụ ể           ­ C  th :

I

2

Tính cượ   đ

C EF '

C’

D’

a = SD 3 17 8

8

ứ Ch ng minh đ ượ c Hình 1.3

FIM

EIN

C EF '

2

= = D D D S S S 1 9

a = ừ T  đó có S TD 7 17 24

ạ ằ ọ

di n đ u ABCD có c nh b ng  ẳ ủ

ẳ ặ ớ

A

ệ ế Bài 1.4. Cho t ủ c a AB; E là đi m thu c đ ế ị Xác đ nh thi thi a . G i M là trung đi m ề ể   ứ ệ ể ể ườ ộ ng th ng BC sao cho C là trung đi m c a BE.   ủ   ệ ệ ủ ứ ệ t di n c a t  di n v i m t ph ng (DME) và tính di n tích c a a . t di n này theo

Phân tích: (Hình 1.4)

M

ế ệ t di n là tam

N

B

E

­ Thi giác DMN.

C

ị ạ ử ụ                  ­ S  d ng đ nh lí ượ c các c nh:  Côsin tính đ

D

= = , , MN a ND a 7 3

2

Hình 1.4 = MD a 13 6 3 2

TDS

= ử ụ ể ượ ứ          ­ S  d ng công th c Hêrông có th  tính đ c: . a

ứ ệ ề ạ ằ 35 24 ọ di n đ u ABCD có c nh b ng a . G i M và N l n l ầ ượ   t Bài 1.5. Cho t

ủ ể ạ ể là trung đi m c a AB và BC, P là đi m trên c nh CD sao cho CP = 2PD.

ế ệ ủ ẳ ặ ự a) D ng thi ắ ở t di n c a hình chóp khi c t b i m t ph ng (MNP). Thi ế   t

ệ di n là hình gì?

9

ế ệ ệ b) Tính di n tích thi t di n theo a .

A

Phân tích: (Hình 1.5)

ế ứ ệ t di n là t giác

M

Q

H

D

­ Thi MNPQ.

E

B

ứ ừ c AQ = 2QD, t ệ ế

P

ể              ­ Có th  ch ng minh ượ đ  đó suy t  di n   là   hình  thang ra  thi cân.

N

ử ụ

C

ị ạ

c   đ

­ S  d ng đ nh lí Côsin ượ tính đ c các c nh MQ và ủ NP c a  hình thang,  sau  đó ườ ượ ng   cao   QH tính   đ ủ c a hình thang.

2

ừ ượ ế c di n tích thi ệ t di n là:

+

=

=

MN PQ QH

a

.

TDS

­ T  đó tính đ 1 ) ( 2 ệ 5 51 144

ậ Nh n xét 1.3:

ẳ ặ

ừ ạ ươ ế ng th ng và m t ph ng” thông th ỏ ế ậ c d y trong t t Câu h i & Bài t p. Trong s

ỏ 1. Bài “§1. Đ i c ạ  2­3 ti ậ ẳ ề ườ ng v  đ ế t lý thuy t và 1­2 ti ọ ỉ

ấ ằ ự ế ế ạ ọ

t di n. Qua th c t ế

ế ọ ể ả ậ

ế t h c (k  c  lý thuy t và bài t p) s  r t t ọ ậ ứ ấ ọ ọ

ộ ườ   ng ố   ượ đ ế ệ   16 câu h i và bài t p (SGK Hình h c 11­NC), ch  có 2 bài liên quan đ n vi c ỉ   ế ệ ề ị  nhi u năm d y h c tôi th y r ng, n u ch xác đ nh thi ế ế   ậ ỏ ả ở ệ ừ i quy t các câu h i và bài t p trong SGK mà không thi  vi c gi d ng  t k ạ   ẽ ấ ẻ ơ ở ộ ặ  nh t ho c m  r ng h n, thì các ti ớ   ượ c h ng thú h c t p cho h c sinh, nh t là h c sinh các l p và không gây đ thu c Ban KHTN.

ớ ệ cho th y, v i vi c thi

2. Th c t ư ừ ổ ự ế ng nh  trên, các ti

ọ ữ

ơ ộ ượ ậ ạ ể ụ i và v n d ng các ki n th c v

ậ ng trình Hình h c 10 vào gi

ơ ộ ể ở ươ  ch ọ ỏ

ệ ấ

ế ế ươ i khi các em h c đ n ph n tính kho ng cách t

ẽ ử ụ ầ ạ ọ ấ ả ứ ấ ế ế ị ậ ộ   t k  thêm các bài t p có n i dung đ nh ượ ễ ế ọ ế ọ   l t h c HHKG đã di n ra sôi n i ngay t t h c  các ti ầ ự đ u tiên; h c sinh không nh ng có c  h i đ c phát tri n năng l c tính toán   ả ủ ứ ề   ế c a b n thân mà còn có c  h i đ  ôn t p l ọ ệ ứ ượ ế ả i quy t các ng trong tam giác  H  th c l   ề   ề ủ ơ ộ ể ề ấ ớ ấ i có c  h i đ  đ  xu t nhi u v n đ  c a HHKG l p 11; các h c sinh khá, gi ề ộ ệ   ng án khác nhau trong vi c tính di n tích m t đa giác. Đi u này r t có ph ẳ ặ ừ ể ợ    đi m đ n m t ph ng, các l ươ ả   ng pháp em s  s  d ng r t thành th o công th c tính kho ng cách theo ph

= d ể ọ ự ở ứ ấ ằ ế ậ th  tích ầ . Tôi nh n th y r ng h u h t các em có h c l c m c trung

10

ử ụ ấ ươ ả 3V S bình khá r t thích s  d ng ph ng pháp này trong các bài tính kho ng cách.

ướ ệ 3. Vi c thi t k  các bài t p nh  trên hoàn toàn theo h

ườ ọ

ả ế

ế ặ ậ ố ượ ẳ t là t thi

ọ t v  t thi

ế ỏ

ả ử ụ ạ ị ề ậ ế ế ứ   ở ư ng “m ”, t c ự ủ ừ   i giáo viên nên thay ng h c sinh mà ng là tùy theo năng l c c a t ng đ i t ố ớ ạ ọ ợ ổ   t cho phù h p. Ch ng h n đ i v i nhóm h c sinh trung bình đ i các gi  thi ề ứ ệ ả    di n đ u (các Bài 1.1, 1.4, 1.5); còn khá ho c khá thì nên cho gi ế ề ứ ệ ớ ộ ả ỏ ố ớ  di n v i đ  dài các đ i v i nhóm h c sinh gi   i thì nên cho gi ệ   ệ ạ c nh khác nhau, đòi h i các em trong quá trình đi tính di n tích thi t di n ph i s  d ng th t linh ho t đ nh lí Côsin trong nhi u tam giác khác nhau.

ọ ạ ở ọ

ễ

4. Trong quá trình d y h c môn HHKG, vi c hình thành  ẽ ệ ệ ấ t là m t trong nh ng y u t

ể ậ ễ ố ể h c sinh k ể ế ị  quy t đ nh đ ị ầ ề ố

ườ ướ ề ể

ộ ữ i bài t p. Đ  làm t t đi u này, ng ễ ng cho h c sinh bi u di n các hình không gian d ấ ể ẽ ự ọ ố ộ ờ i gi ọ ừ  đó l a ch n “góc nhìn” t

ớ ế ệ ậ ườ ầ ọ ờ

ệ ậ ẽ ầ ỉ ầ

ừ ượ ượ ư duy tr u t

ng hình không gian và s  d ấ ượ ẽ ố ố c “góc nhìn” t

ỹ   ẳ   ễ ọ năng v  hình (bi u di n hình không gian) cũng r t quan tr ng. Có th  kh ng ể   ế ố ị đ nh vi c có m t hình bi u di n t ả   hình thành l i giáo viên c n đ nh ướ   i nhi u “góc nhìn” h t nh t đ  v  hình. Công vi c này khác nhau, t   ộ   ng gây chút khó khăn cho h c sinh trong th i gian đ u m i ti p c n b th ộ ờ   môn HHKG, tuy nhiên ch  c n sau m t th i gian luy n t p các em s  d n hình ẽ ễ   ả ưở ng, kh  năng t thành t ng t ấ ứ dàng tìm đ   t nh t ngay sau khi t nh t, t c là cách v  hình t ọ ề đ c đ  bài.

ế ế ề ậ ế ườ ệ 2.3.2. Thi ẳ   t di n trong “§3. Đ ng th ng

ớ ặ ẳ ẳ t k  các bài t p v  thi ặ song song v i m t ph ng và §4. Hai m t ph ng song song”

ọ ẳ ặ ạ ươ ng v  đ Sau khi h c song “§1. Đ i c

ậ ự ư ẳ ấ ở i các bài t p nh  trên, tôi nh n th y

ọ ễ

ọ ộ ấ ấ

ướ ề ự ế t di n. Đây là c

ế c m t bài toán v  d ng và tính di n tích c a thi ữ ủ ứ ộ ọ ệ ọ ắ

ậ

ọ ế ế ầ ặ ớ ề ả ậ ộ  ph n này (

ệ ề ế ứ ẳ ế ụ

ế ườ ụ ứ ủ ỹ duy, năng l c tính toán; c ng c  ki n th c và rèn luy n các k  năng đã có

ướ ề ườ ng th ng và m t ph ng” và   ả ậ ượ  các em đã và đang   đ c th c hành gi ọ   ể ỹ ự ư  duy trong môn Hình h c; k  năng bi u di n hình h c, hình thành năng l c t ề ủ ỹ k  năng tính toán c a h c sinh ti n b  r t nhi u, các em r t thích thú khi   ơ  ứ đ ng tr ở ấ   s  r t quan tr ng t o n n t ng v ng ch c v  ki n th c hình h c không gian ệ   ơ cho h c sinh khi ti p c n các n i dung ki n th c cao h n. Chính vì v y vi c ẳ   §3. Đ ng th ng song song v i m t ph ng thi ự   và §4. Hai m t ph ng song song ) có tác d ng ti p t c hình thành các năng l c ở  ệ ố ế ư t ọ bài h c tr ạ ế ậ ở t k  các bài t p  ẳ ặ ự c.

ự ệ

ứ giác, ngũ giác v i đ

ậ Các bài t p tôi thi ế ệ ế t di n khi thi ầ ứ ạ ượ ệ ế ế ẫ ậ   t k  v n t p trung vào vi c d ng và tính di n tích ớ ộ  ệ t di n là các hình tam giác, t c nâng d n lên. ủ c a thi ph c t p đ

ằ

ể ẳ ặ ẳ ớ ườ Bài 2.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh ạ ộ ạ ằ , M là đi m thu c c nh SB sao cho  ng th ng MD và song song v i đ a , các c nhạ   = 2MS MB .  ẳ   ng th ng

bên b ng nhau và b ng  3a ứ ườ ọ G i (P) là m t ph ng ch a đ AB.

11

ị ế ệ ủ ặ ẳ ớ a) Xác đ nh thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P).

b) Hãy tính di n tích thi

S

ệ ế ệ t di n theo a .

Phân tích: (Hình 2.1)

ế ệ t di n là hình thang cân

N

­ Thi MNDC.

M

ượ ạ ­ Tính đ c các c nh:

B

A

a 3 = = MN MB , a 2 3 3

ử ụ

D

C

ượ ị          ­ S  d ng đ nh lí Côsin trong tam giác SBC tính đ c:

CBS = cos 3 6 Hình 2.1

ị

25 a

ượ ế ụ ử ụ                    ­ Ti p t c s  d ng đ nh lí Côsin   trong   tam   giác   BCM   tính  = . = c ượ MC ND a đ ừ          ­ T  đó tính đ c:

35 = S TD 36

ậ Nh n xét 2.1:

ớ c thi ậ 1. Bài t p này đ

ả ầ thi

ế ế ự t k  d a trên bài t p trong SGK v i vi c b ạ ủ ẽ ễ ế ệ ơ

ỉ ầ ườ ộ ệ ổ   ậ ượ ệ ế ề t v  các c nh c a hình chóp và yêu c u tính di n tích   ủ   ế ể ệ t di n. Vi c tính di n tích s  d  dàng h n n u cho M là trung đi m c a ứ   ng trung

ử ụ ượ ế sung thêm các gi ệ thi ọ SB, vì khi đó h c sinh ch  c n s  d ng công th c tính đ  dài đ tuy n trong tam giác SBC là tính đ c CM.

ạ ạ

ở ế ủ  thi ọ ộ ộ ả  Bài 2.1) là m t cách bu c h c sinh ph i t

ế ủ ế ả ổ thi

ợ ọ

ạ ố ư ị ẳ ệ ổ   t c a bài toán (ch ng h n nh  v  trí 2. Vi c thay đ i linh ho t gi ả   ả ư ể ủ  duy tìm cách gi i c a đi m M  ả ế   i quy t cũ không t c a bài toán đã thay đ i và cách gi quy t khác khi gi ư ả ệ ừ    duy linh còn phù h p. T  đó hình thành và rèn luy n cho h c sinh kh  năng t ho t, không theo l i mòn.

ầ ế ế t k  và t ổ ứ    ch c

ậ ủ ướ D i đây là m t s  bài t p c a ph n này mà tôi đã thi ọ ở ơ ị ộ ố  đ n v  công tác: ạ d y h c

12

Bài 2.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh ạ ọ ằ ể ằ ạ ộ a , các c nhạ   a . G i M là m t đi m trên c nh SA sao cho bên b ng nhau và cùng b ng

ể ẳ ặ = , (P) là m t ph ng đi qua hai đi m C, M và song song v i đ ớ ườ   ng 2

MS MA ẳ th ng BD.

ị ế ệ ủ ặ ẳ ớ a) Xác đ nh thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P).

b) Hãy tính di n tích thi

ệ ế ệ t di n theo a .

S

N

M

I

E

B

A

K

C

D

F

Phân tích: (Hình 2.2)

Hình 2.2

ế ứ Ở Hình 2.2: EF//BD ­ Thi ệ t di n là t giác MKCI ( )

ướ ệ ọ ế ệ ể ị ng cho h c sinh tính di n tích thi t di n theo các cách

ư ­ Có th  đ nh h ụ ể nh  Bài 1.2. C  th :

Cách 1:

ệ ủ ­ Tính di n tích c a tam giác MEF:

ằ ị + B ng cách s  d ng đ nh lí Côsin cho các tam giác MAE, MAF tính

a = đ c ượ ME MF= ử ụ 31 3

13

ấ ườ ụ + Áp d ng tính ch t đ ng trung bình trong D AEF suy ra EF a= 2 2

MEF

2 26 3

a = ừ ượ ằ ặ + T  đó tính đ c ứ   (B ng công th c Hêrông ho c k ẻ SD

ườ ừ ỉ đ ng cao t đ nh A)

ế ể ươ ứ ị ­ Ti p theo, ta c n xác đ nh xem các đi m I và K t ng  ng chia các

ạ ầ ỉ ố đo n ME và MF theo t  s  là bao nhiêu?

ề ề ạ ừ + Có nhi u cách đ  gi M ta k ẻ

ườ ẳ ể ả ớ ế ấ ạ ẳ ể ấ ắ đ ng th ng song song v i AB, c t SB t i quy t v n đ  này, ch ng h n, t i N thì có th  th y ngay:

= = = = � ươ ự . T ng t cũng có = . T   đóừ MI MN MN AB BE IE IE EM FK FM 2 3 3 5 3 5

ệ ằ ệ suy ra các tam giác ECI và FCD có di n tích b ng di n tích tam giác MEF.

3 10 2 a = ượ ệ ế Do đó tính đ c di n tích thi ệ t di n là . S TD 2 26 15

Cách 2:

ệ ệ ế ệ ệ

ệ ấ ố ứ ư ằ

­ Chia vi c tính di n tích thi t di n thành vi c tính di n tích hai tam giác MIC và MKC. L u ý r ng do tính ch t đ i x ng nên hai tam giác này ằ b ng nhau.

ạ ộ ị

ượ ứ ệ ủ ể ­ Tính đ  dài 3 c nh c a tam giác MIC theo đ nh lí Côsin và sau đó áp ụ d ng công th c Hêrông có th  tính đ c di n tích tam giác này.

ề

ạ ọ

ạ Bài 2.3.  Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh   ầ ượ i A. G i M và K l n l ớ ặ a , c nhạ     t là trung ườ   ng

ể ẳ SA a=  và các tam giác SAB, SAC vuông t ẳ ủ đi m c a SC và AB, (P) là m t ph ng đi qua M và song song v i hai đ th ng SA và CK.

ị ế ệ ủ ặ ẳ ớ a) Xác đ nh thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P)

ủ ệ ế ệ b) Tính di n tích c a thi t di n theo a  .

14

Phân tích: (Hình 2.3)

S

ế ệ ­ Thi t di n là hình thang MNPQ

Q

ể ệ

M

ụ

ể ạ ẳ ẳ ở

N

A

C

ừ

P

K

ứ

ạ ế ệ t di n, ta có            ­ Đ  tính di n tích thi ấ ề ườ   ộ ng th  "l m d ng" m t tính ch t v  đ ươ   ặ ớ th ng vuông góc v i m t ph ng  ng  Ch ệ  đó suy ra PQ và III: Quan h  vuông góc, t   ớ   ẳ ng   th ng   vuông   góc   v i MN   là   các   đ ẫ (ABC),   d n   đ n   t     giác   MNPQ   là   hình thang vuông t ườ ế i P và N.

B

= = MN PQ ­ Tính đ c  ượ và , a 3 4

TD

3 a 3 ừ . T  đó có . S = NP = a 2 25 a 32 4

ạ ậ

ở ụ Vi c "l m d ng" tính ch t  ươ ẳ ế ệ Nh n xét 2.2:  ặ  Ch

ợ ẳ ở ạ ả ờ ở i gi

ụ ạ ấ ọ ữ  ch

ọ ả ướ ọ ớ ầ ấ ở ề ườ ệ   ng th ng vuông góc  v  đ ả i quy t bài toán này ng III: Quan h  vuông góc khi gi   ệ   ạ i tr  nên g n gàng, m ch l c. H n n a vi c ươ   ng ệ   c   đ u   làm   quen   v i   khái   ni m

ườ ẳ ẳ ặ ớ ớ v i m t ph ng  ơ là h p lí, b i nó làm cho l ở ở "l m d ng" này không làm cho h c sinh c m th y khó khăn b i  ớ trình   hình   h c   l p   9   các   em   cũng   đã   b "Đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng".

Bài 2.4. Cho hình chóp S.ABCD có t ể ằ ặ ủ

ườ ẳ ớ a . G i O là  ọ ẳ ể giao đi m c a AC và BD, I là trung đi m c a  OC, (P) là m t ph ng đi qua I  và song song v i hai đ ạ ấ ả t c  các c nh b ng  ủ ng th ng BD, SC.

ị ế ệ ủ ẳ ặ ớ a) Xác đ nh thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P)

ủ ệ ế ệ b) Tính di n tích c a thi t di n theo a  .

S

Phân tích: (Hình 2.4)

ế t di n là ngũ

Q

P

ệ        ­ Thi giác NPQKM.

K

A

E

D

^

N

I

ọ   ể ỉ        ­ Có th  ch  ra cho h c ấ   ừ ấ sinh   th y   t   tính   ch t ủ SC BD   c a   hình   chóp   cượ   S.ABCD  nên  suy ra đ ữ  ứ t  giác MNPK là hình ch ậ nh t có

B

C

M

a 2 = MN KP , a =   2

15

2 ệ nên có di n tích Hình 2.4

MNPK

2 2 4

a = S

2

ạ ­ Tam giác QKP cân t i Q, có:

QKP

2

a a a 2 3 2 = = = � KP = QK QP SD , 2 4 16

D

5 2 = ừ ượ ­ T  đó suy ra đ c . S T a 16

ậ ể ướ ệ ọ Nh n   xét   2.3:

Có   th   h ủ ẫ ng   d n   h c   sinh   tính   di n   tích   ngũ   giác ụ ể MNPQK theo Cách 1 c a Bài 2.2, c  th :

ẽ ứ ủ ọ ượ ­ G i F là giao c a QK và EM thì s  ch ng minh đ c:

EPN

EQF

EQF

= = = = � � D D D S S S , S TD EP EQ EN EF 2 3 1 3 2 9 5 9

= QE QF= ử ụ ị ượ ộ ạ ­ S  d ng đ nh lí Côsin tính đ c đ  dài các c nh , t ừ a 13 10

EQF

29 a 16

2 = đó tính đ c ượ . SD

ươ ậ ạ ằ ng ABCD.A'B'C'D' có c nh b ng

Bài 2.5. Cho hình l p ph ủ ẳ

ẳ a . G i I là ọ ớ ặ tâm c a hình vuông ABCD, (P) là m t ph ng đi qua I và song song v i hai ườ đ ng th ng BD' và B'C.

ị ế ệ ủ ậ ươ ẳ ặ ớ a) Xác đ nh thi ng v i m t ph ng (P).

ệ ủ ệ ế b) Tính di n tích c a thi t di n c a hình l p ph a . t di n theo

16

Phân tích: (Hình 2.5)

E

A’

K

B’

ạ

Q

ắ ể

ự

D’

C’

ẳ ắ

ừ

P

A

M

ế

B

ỉ  ệ ế ể ự t di n, ch              ­ Đ  d ng thi ẳ ườ ự ầ   c n   d ng   đ ng   th ng   qua   I, ớ   i P . song song v i BD' c t DD' t ủ   Khi đó P là trung đi m c a DD'. ườ ng th ng qua P Sau đó d ng đ   ạ   ớ i song song  v i A'D  c t A'D' t ể ị   trung   đi m   Q.   T   đó   xác   đ nh ệ ượ đ   t   di n   là   ngũ   giác c   thi MNPQK.

I

ế

C

D

N

ệ t  ọ

F

cượ

MEF

6 = ồ ờ , đ ng th i cũng D S

2

ượ ứ ệ ể        ­ Đ  tính di n tích thi ể ướ ẫ ng d n h c  di n, ta có th  h ủ ự ươ  theo cách c a  ng t sinh tính t Bài 1.3, theo đó tính đ 29 a 16 ch ng minh đ c

EKF

FPN

MEF

MEF

7 6 = = = = D D D S S S . Do đó . D S S TD 1 9 7 9 a 16

ạ ộ ố ớ ế ệ

2.4. Hi u qu  c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáo ớ ả ườ ụ ệ ả ủ ồ d c, v i b n thân, đ ng nghi p và nhà tr ệ ng

ọ ạ t k  các bài t p nh  trên trong quá trình d y h c đã đ

ở ự ậ ả

ư ạ ệ ơ ế ế ề ạ ườ i tr

ượ ọ ớ  các l p h c theo Ch ự ế ả ấ ượ ể ạ ầ

ả ả ư ọ

ủ ả

ạ ỹ ệ

ừ ể ễ ỹ ệ ặ ng, đ c bi ọ ng hình h c, k  năng bi u di n hình không gian ngay t

ệ c tôi   Vi c thi ươ   ệ ng th c hi n trong nhi u năm gi ng d y môn Toán  ấ   ạ trình Nâng cao t  gi ng d y tôi th y ng THPT Tri u S n 3. Qua th c t ằ   ng gi ng d y môn r ng cách làm này đã góp ph n nâng cao đáng k  ch t l ủ   Toán nói chung cũng nh  phân môn Hình h c không gian c a b n thân, góp ầ ấ ượ ệ ng   gi ng   d y   môn   Toán   c a   nhà ph n   chung   vào   vi c   nâng   cao   ch t   l   ạ   ớ ọ ườ t là đã rèn luy n cho h c sinh l p 11 k  năng tính toán các đ i tr ượ ậ   ớ ế l  khi m i ti p c n ộ b  môn này.

ằ ổ ộ ỉ

ộ ươ ủ ọ

ệ ạ

ự ể ả ạ ố ủ

ế ế ể Cũng xin nói thêm r ng, trong khuôn kh  m t SKKN, tôi ch  trình bày   ng c a phân môn Hình h c không gian. Trong  khi gi ng d y môn Toán, tôi còn th c hi n cách làm nh  trên trong   ớ   i tích) v i    duy toán

ả ọ ộ cách làm cho n i dung m t ch ư ả ự ế th c t ả ề ề nhi u chuyên đ  khác nhau c a môn Toán (k  c  trong Đ i s , Gi ậ ậ ự ư ệ vi c thi t k  các bài t p luôn t p trung vào phát tri n năng l c t ơ ả ỹ ọ i toán cho h c sinh.  h c và hình thành các k  năng c  b n trong gi

ể ủ ọ ự ế ộ ề

17

ườ Đ  đánh giá s  ti n b  v  môn Toán c a h c sinh tr ố ộ ố ư ầ ả ơ ệ   ng THPT Tri u ố ệ ự   S n 3 trong m t s  năm g n đây, tôi xin đ a ra các b ng th ng kê s  li u d a

ấ ỉ ế ế ả ả

trên 2 tiêu chí là k t qu  thi HSG Toán c p t nh và k t qu  thi ĐH môn Toán ướ d i đây:

ả

ả ơ ế ệ ạ ườ ủ   ấ ỉ   K t qu  thi HSG văn hóa c p t nh và thi ĐH môn Toán c a B ng 1: ng THPT Tri u S n 3 giai đo n 2008­2011: Tr

ế

ấ ỉ

ế

ả

K t qu  thi HSG c p t nh môn Toán

ả K t qu  thi ĐH   môn Toán

TT

Năm h cọ

Nh tấ

Nhì Ba KK ĐTB

T ngổ   số  iả gi

T  lỉ ệ  đ tạ   iả gi

X pế   h ngạ   trong  1 t nhỉ

T ngổ   số  h cọ   sinh  dự  thi

1

2008­2009

10

5

50%

2

1

2

3,2

22

2

2009­2010

10

6

60%

1

3

2

3,52

22

3

2010­2011

10

9

90%

1

1

4

3

4,1

13

C ngộ

30

20

66,6%

1

4

8

7

ố ệ i:ả Chú gi 1 S  li u do Th y

ơ ủ ở ườ ầ Vũ Nguyên Hoàng ­ Ph  trách CNTT c a S  GD&ĐT ụ ử ủ ị Qua mail c a các nhà tr ng, g i ngày

ầ ấ Thanh Hóa cung c p cho các đ n v  ( 08/9/2014 ­ Ph n ph  l c ụ ụ ).

Phân tích:

ấ ằ ả ­ Nhìn vào b ng th ng kê (

ủ ả b ng 1 ầ ướ

ế ng có ph n thay theo chi u h ấ ỉ ả ư ố ườ  đ t gi

ể

ấ ả   ) th y r ng k t qu  thi HSG và thi ư   ự ề ng tích c c nh ng ĐH môn Toán c a nhà tr ỉ  ạ ỉ ệ ạ i thi HSG c p t nh trong giai đo n 2008­2011 ch cũng ch a rõ nét, t  l ẫ   ư ứ ạ ạ đ t 66,6%. Th  h ng thi ĐH môn Toán có tăng nh ng đi m trung bình v n còn khá th p (ấ cao nh t là 4,1 ).

ỳ ả ố Th ng kê ch t l

18

ớ ấ ượ ả ạ ừ ạ B ng 2:   ủ ố Qu c gia c a các l p do tôi gi ng d y giai đo n t ng môn Toán trong các k  thi ĐH và THPT  2009­2015:

ả  K t quế ớ   ầ đ u vào l p 10 môn Toán

ả ầ

ế

K t qu  đ u ra môn Toán

ề

ủ

ộ

ể

ể (Theo đ  thi tuy n sinh ĐH c a B GD&ĐT)

TT

Lớ p

Sĩ  số

Khóa  h cọ

(Theo đ  thiề   tuy n sinh   c a Sủ ở  GD&ĐT  Thanh Hóa)

Độ  chênh  l chệ   gi aữ   ầ đ u vào và đ uầ   ra

ĐTB

ĐTB

Số  đi mể    ừ t

Năm  thi  ĐH

S  ố đi mể    ừ t 8­10

8 ­ 10

ườ ỉ

ĐTB, thứ  ạ   h ng thi ĐH môn Toán  ủ c a tr ng 1 /toàn t nh

ĐTB: 4,1

1

D1

47

7,17

11

2012

7,34

24

0,17

2009­ 2012

ứ

ế

X p th : 16

ĐTB: 5,89

2

G6

46

7,43

13

2014

7,78

29

0,35

2011­ 2014

ứ

ế

X p th : 5

32

ĐTB: 6,09

0,95

3

H6

46

7,31

9

2015

8,26

2012­ 2015

Không có k tế   ả ế   qu  x p ạ h ng trên   2 toàn t nhỉ

(Có  10 em  đ tạ   đi mể    9,0ừ   t trở  lên)

ố ệ i:ả Chú gi 1 S  li u do Th y

ủ ở ườ ơ ầ Vũ Nguyên Hoàng ­ Ph  trách CNTT c a S  GD&ĐT ụ ử ủ ị Qua mail c a các nhà tr ng, g i ngày

ầ ấ Thanh Hóa cung c p cho các đ n v  ( 08/9/2014 ­ Ph n ph  l c ụ ụ ).

ể

ả ủ ố ọ ọ

ể

ư ộ ả ế ủ ế ạ

2 ế   ự ườ ng tính d a vào k t   Năm 2015: Đi m trung bình 6,09 là do Nhà tr ữ ỉ   ch  tính nh ng h c sinh qu  thi THPT Qu c gia môn Toán c a 179 h c sinh ( ở đăng ký xét tuy n vào ĐH có môn Toán   ). Năm này S  GD&ĐT Thanh Hóa ấ cũng nh  B  GD&ĐT không cung c p k t qu  x p h ng thi  ĐH c a các   tr

ườ ỉ ng trên toàn t nh.

Phân tích:

ố ấ ả b ng 2 ả ­ Nhìn vào b ng th ng kê (

19

ượ ả ệ ộ ấ ượ ằ ) th y r ng ch t l ọ ừ môn Toán đ c c i thi n m t cách rõ nét theo t ng khóa h c, ch t l ạ   ả ng gi ng d y ấ ượ   ng thi

ủ ườ ượ ng cũng đ

ạ ọ ứ ể ươ

ế ổ ữ ầ

năm 2011 và 2012) lên 5,89 (năm 2014) và v  4,1 ( ầ ộ ủ ớ ấ ệ ự ừ ế ọ ng r t tích c c t

c nâng lên: Đi m TB thi đ i h c tăng ĐH môn Toán c a nhà tr ừ n lên x p th  5 toàn t   ề   ỉ t nh. Đ  chênh l ch gi a “đ u vào” và “đ u ra” cũng thay đ i theo chi u ủ   ướ  0,17 c a l p D1 khóa h c 2009­2012 lên đ n 0,95 c a h ọ ớ l p H6 khóa h c 2012­2015.

ả

B ng 3: ủ ấ ượ ả ạ ừ ố ớ Th ng kê ch t l ấ ỉ c p t nh c a các l p do tôi gi ng d y giai đo n t ỳ ng môn Toán trong các k  thi HSG văn hóa ạ  2009­2016:

ả

ế

ấ ỉ

ớ

K t qu  thi HSG Văn hóa c p t nh môn Toán l p 12 ­ THPT

TT L pớ

Năm h cọ

Sĩ  số

Nh tấ

Nhì Ba KK

T ngổ   iả gi

tr

T  lỉ ệ  đ tạ   iả gi

T nổ g số  h cọ   sinh  dự  thi

X pế   thứ  h ngạ   môn  Toán  c aủ   ngườ /toàn  t nhỉ

11D1

51

2010­2011

100%

1

1

2

1

2

2

12D1

51

2011­2012

6

75%

3

2

1

8

3

11G6

48

2012­2013

2

100%

2

2

4

12G6

48

2013­2014

4

100%

2

1

1

4

5

12H6

47

2014­2015

4

100%

3

1

4

21

6

3

11B4

46

2015­2016

100%

1

1

1

3

22

C ng:ộ

23

21

91,3% 2

6

7

6

i:ả

ấ ở ơ ầ ị Ph n ph ụ Chú gi 1 S  li u do  ố ệ S  GD&ĐT Thanh Hóa cung c p cho các đ n v  (

l cụ ).

2 ễ  S  li u do Th y Nguy n Đình Thanh ­TKHĐ tr

ệ ầ

ườ ả ủ ự ế ở

20

ố ệ ổ ầ ố ệ ổ ơ ợ ị ể ơ   ng THPT Tri u S n ợ 2 tính toán, t ng h p d a trên s  li u t ng h p k t qu  thi HSG c a S  và   ụ ụ ) ả Ph n ph  l c ử g i cho các đ n v  đ  tham kh o (

ố ấ   ng môn Toán trong các k  thi HSG MTCT c p B ng 4:

ả ủ Th ng kê ch t l ớ ấ ượ ạ ả ạ ừ ỉ t nh c a các l p do tôi gi ng d y giai đo n t ỳ  2009­2016:

ả

ế

ấ ỉ

K t qu  thi HSG MTCT c p t nh môn Toán ớ l p 12 ­ THPT

TT L pớ

Năm h cọ

Sĩ  số

Ghi  chú

Nh tấ

Nhì Ba KK

T ngổ   iả gi

T  lỉ ệ  đ tạ   iả gi

T nổ g số  h cọ   sinh  dự  thi

1

1

100%

1

11D1

51

2010­2011

1

5

5

100%

2

12D1

51

2011­2012

1

2

2

2

2

100%

3

11G6

48

2012­2013

2

2

2

100%

4

12G6

48

2013­2014

1

1

3

2

66,6%

5

12H6

47

2014­2015

2

2

2

100%

6

11B4

46

2015­2016

1

1

4

4

6

C ng:ộ

15

14

93,3%

0

Phân tích:

ố ấ ằ

ả ữ ở ứ ấ ổ ế ị

ọ đ t gi ả ươ i t

ả ả b ng 3 và b ng 4 ề ) đ u gi a  ọ ầ ấ ỉ ủ ng thi HSG văn hóa c p t nh môn Toán c a nhà tr

ươ ể ố n lên n m trong t p th  hai c a t nh (

ạ ộ

ả ấ ả ả ủ ỉ ụ ề ả i Ba, không có gi ể ả i Nhì, 02 gi i Nh t, 04 gi 01 gi ả ­ Nhìn vào b ng th ng kê ( HSG môn Toán (c  môn văn hóa và MTCT ố ệ ạ ng đ i cao. Trong hai năm h c g n đây ( l ấ ượ 2015­2016), ch t l ứ ằ ề đ u v trong đó các em trong đ i tuy n do tôi ph  trách đ u đ t 100% gi gi ả ) th y r ng k t qu  thi   ớ ỉ   m c r t  n đ nh v i t năm h c 2014­2015 và   ườ   ng ụ ụ )  ầ tính theo đi m ­ Ph n ph  l c ả ớ ề   i v i nhi u ế i khuy n khích ). i cao (

ệ

ự

i: 02 gi ả ả

21

ả i KK; thi HSG MTCT có 05 gi ỏ ầ ả i: 01 gi ệ ặ ọ ­ Đ c bi t là trong các năm h c 2010­2011, 2012­2013 và 2015­2016 ọ ề ử ớ ọ ớ tôi đ u g i các h c sinh đang h c l p 11 đi d  thi HSG Toán l p 12 và ấ ả  (trong đó thi HSG văn hóa có 07 gi ạ ề i Nh t, 01 i đ u đ t 100% gi ả ả ả i Nhì, 03 gi i Ba và 01 gi gi i Nhì, 03 ả ả i KK i Ba, 01 gi gi ). Thành tích này góp ph n không nh  vào vi c nâng cao

ủ ườ ườ ấ ỉ ấ ượ ng HSG c p t nh c a Nhà tr

ế ng, giúp cho nhà tr ọ năm h c 2010 ­ 2011 đ n năm h c 2015 ­ 2016 luôn đ

ố ằ ầ ừ ườ

ố ế  15 đ n 20 tr ọ

ủ ỉ ế ệ ả

ạ ọ

ề ử ỹ ơ ả ữ ữ ậ ọ

ả

ỳ

ủ ế ọ ự ề ẹ ề ồ ưỡ   ng có ng b i d ch t l ượ   ọ ụ ừ c 6 năm liên t c t ấ ỉ ạ ế   ng THPT có x p h ng thi HSG c p t nh n m trong t p đ u t ấ ủ ỉ   t nh t c a t nh Thanh Hóa, trong đó có 2 năm h c 2011­2012 và thành tích t ủ   ượ ứ ế 2014­2015 x p th  7 c a t nh. Có đ c k t qu  này, theo kinh nghi m c a ọ ả   b n thân, đó là trong quá trình d y h c, tôi đã truy n l a đam mê h c toán cho ị ọ   h c sinh, t p trung trang b  cho h c sinh nh ng k  năng c  b n, nh ng cách ứ ư    duy trong h c gi th c t i toán nói chung và toán hình không gian nói riêng. ờ Cũng nh  đó mà h c sinh c a tôi trong các năm qua khi tham d  các k  thi   HSG và ĐH đ u gi ọ ọ ả i quy t tr n v n bài Hình không gian trong đ  thi.

Ậ Ế Ế Ị 3. K T LU N, KI N NGH

ậ ế 3.1. K t lu n

ộ ọ ậ ệ đó ng

ễ ầ ệ ừ ệ ườ ề

ổ ể ữ ạ D y h c là m t ngh  thu t mà  ừ ướ

ế ụ ữ ứ ầ ề ế ớ ề ả ượ

ầ ủ ườ ớ ậ ơ i th y tr  nên quan tr ng h n bao gi

ổ ừ ư ướ ụ ế i và đáp  ng đ ọ  t

ở ả c h t ph i thay đ i t ứ ẫ ầ ỏ

ả ố ữ ả

ự ế ầ ọ ạ . Ng i t

ạ ể ề

ầ ể ọ ể ự ư ơ ở ứ ả

ủ ự ề ọ

ấ ượ ộ ướ ườ ạ ệ ọ ạ ạ   ở i th y v a đóng vai trò là đ o ễ   di n, v a đóng vai trò là di n viên. Trong đi u ki n hi n nay, khi n n giáo ụ   d c n c nhà đang d n chuy n mình cho nh ng thay đ i, nh ng c i cách ắ ị ằ c yêu nh m b t k p v i các n n giáo d c tiên ti n trên th  gi   ờ  ầ ủ ộ c u c a h i nh p, thì vai trò c a ng ố ọ   ạ ổ ế  duy d y h c h t. Mu n thay đ i giáo d c thì tr ạ   ườ ủ ư  duy d y c a ng i th y; ph i thoát kh i tính khuôn m u, hình th c trong t ế ế  ố ọ ệ ạ t k h c v n đã là c  h u lâu nay. Ph i linh ho t và sáng t o trong vi c thi ườ ổ ứ   ườ ợ ả i th y ph i là ng giáo án d y h c phù h p yêu c u th c t  ch c, ắ ượ   ệ ắ ứ ạ ộ đi u khi n các ho t đ ng đ  h c sinh phát hi n ra tri th c và n m b t đ c    duy, kh  năng phân tích, nhìn tri th c trên c  s  đó phát tri n năng l c t ọ ậ ạ ậ   nh n v n đ ; kích thích s  đam mê và sáng t o trong h c t p c a h c sinh. ầ ụ ủ Làm đ   i th y và đó cũng là ệ ng pháp d y h c trong giai đo n hi n nay.  m t h ớ ư ậ c nh  v y m i hoàn thành nhi m v  c a ng ươ ớ ổ ng đ i m i ph

ị ế 3.2. Ki n ngh

ế ớ Trên đây là sáng ki n tôi đã th c hi n đ i v i h c sinh l p 11 tr

ệ

ấ ọ ụ

ơ ở ộ ự ọ ườ   ng ượ   ề c ề ng h c sinh, giúp các   ọ    tin và h ng thú khi h c môn Toán nói chung và môn Hình h c

ố ớ ọ ệ ự ấ ọ ừ ữ THPT Tri u S n 3 trong nh ng năm h c v a qua. R t mong v n đ  này đ ơ ữ ể ố ượ xem xét, m  r ng h n n a đ  áp d ng cho nhi u đ i t ứ em có thêm t không gian nói riêng./.

XÁC NH N Ậ Ủ ƯỞ Ủ C A TH  TR Ơ Ị NG Đ N V ế ộ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là SKKN c aủ     t, không sao chép n i dung mình vi ủ c a ng i khác.

22

ườ ườ ế t i vi Ng

23

ố ị ượ Tr nh Qu c Ph ng