Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách trong không gian

Ế

Ệ

SÁNG KI N KINH NGHI M

Ị

ƯỚ

Ư

Đ NH H

NG T  DUY, PHÂN TÍCH BÀI TOÁN

Ả

Ỹ

VÀ RÈN K  NĂNG TÍNH KHO NG CÁCH

Ọ

Ả

CHO H C SINH QUA BÀI TOÁN KHO NG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN

̃

́

Ự

LINH V C: TOAN HOC

̣

̣

Ở Ở

Ụ Ụ

S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NGHÊ AN S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NGHÊ AN

̣

Ạ Ạ ̀ ̀

ƯỜ ƯỜ

Ợ Ợ

TR TR

NG THPT QUY H P 3 NG THPT QUY H P 3

­­­­­­­­***­­­­­­­ ­­­­­­­­***­­­­­­­

Ế

Ệ

SÁNG KI N KINH NGHI M

Ị

ƯỚ

Ư

Đ NH H

NG T  DUY, PHÂN TÍCH BÀI TOÁN

Ả

Ỹ

VÀ RÈN K  NĂNG TÍNH KHO NG CÁCH

Ọ

Ả

CHO H C SINH QUA BÀI TOÁN KHO NG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN

Lĩnh v cự :  Toán h cọ

̀ ễ ̣ ườ ế i vi t :  Nguy n Đinh Ngo

:  Toán ­ Tin

Ng Tổ Năm hoc̣ :  2020 ­ 2021

́ ̣ ̣ Sô điên thoai :  0974.364.777

̀ ợ

Quy H p, tháng 3­2021

3

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Ụ Ụ M C L C

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

5 ............................................................................................................

II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI.

5 ......................................................................................................

III. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

6 .......................................................................................................

PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

7 ............................................................................................

I. CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI

7 ..............................................................................................................

7 1. Cơ sở lý luận ....................................................................................................................

7 2. Cơ sở thực tiễn .................................................................................................................

II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

8 .................................................................................................

III. NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI

9 ..........................................................................................

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

9 .........................................................................................................

B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG

11 ............................................................................

11 1. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ...................................

2. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

13 .......................................

27 3. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ................................

36 4. Một số bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song ................

37 5. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ....................................

40 6. Một số bài tập đề nghị ....................................................................................................

IV. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG

42 .......................................................................................................

PHẦN III. KẾT LUẬN

44 .................................................................................................................

44 1. Quá trình thực hiện đề tài ...................................................................................................

44 2. Ý nghĩa của đề tài ...............................................................................................................

45 3. Khả năng ứng dụng, triển khai ...........................................................................................

4. Hướng phát triển

45 ................................................................................................................

45 5. Kiến nghị ............................................................................................................................

46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..............................................................................................................

Trang 5 .................................................................................................................

̀ ́ ̣ ̀ PHÂN I. ĐĂT VÂN ĐÊ

́ ̀ ̣ ̀ I. LY DO CHON ĐÊ TAI

ộ ̉ Trong ch

́ ́ ọ ệ ng h c sinh. Đ c bi

ọ ớ ng đôi kho v i m i đ i t ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̉ ̣

́ ̉

ạ ộ ́ ọ ̀ ́ ̀ ́ ặ ầ ậ ́ ́ ơ ơ ề ế ắ ệ ướ ấ ị ả ờ ̀ ươ   ng trình toán h c THPT thì bai toan khoanh cach là m t trong ọ ố ượ ươ ạ ữ   nh ng d ng toán t t trong các ỳ k  thi hoc sinh gioi va ky thi tôt nghiêp THPT trong các năm g n đây thì các bài   ả   ề ậ t p v  khoang cach luôn xu t hi n nhi u và khi n đ i b  ph n h c sinh c m ấ ng đi tìm l th y b  t c trong quá trình đ nh h i đôi v i l p bai toan nay. ế i gi

ươ

ấ ế

ụ ả

ệ ọ ớ ộ ế ỉ ạ ế c trình bày r t là ít và h n ch . Ch  có m t ti ư c 1 ví d  và đ a ra cách gi i thích v n t ố ươ t phân ph i ch

ể ư ượ ề ạ ả   ng trình SGK Hình h c l p 11 hi n hành, bài toán tính kho ng   t lý thuy t sách giáo khoa, ầ   ắ ắ ễ ắ t và d  m c sai l m. ế ầ   t) nên ng trình cho ph n này quá ít (3 ti ậ   c nhi u bài t p cho

ể ề ạ ả Trong ch ượ cách đ ệ ơ ượ ớ gi i thi u s  l ố ế ữ ơ H n n a, do s  ti ả trong quá trình gi ng d y, các giáo viên không th  đ a ra đ ỹ nhi u d ng đ  hình thành k  năng gi ọ i cho h c sinh

ậ ệ ề ớ ọ ấ ờ

ả ể ư V i h c sinh vi c gi ệ ả ạ ề ậ ạ duy, sáng t o thông qua các bài t p đó l

ữ ề ả

ứ ơ ứ ụ ế ể ệ

i bài t p v  kho ng cách đã m t nhi u th i gian thì ớ v i giáo viên vi c phát tri n t   i càng ờ ở ế   ấ m t nhi u th i gian và công s c h n. Chính nh ng khó khăn đó đã c n tr  đ n ề ạ   quá trình truy n th  ki n th c và phát tri n trí tu  cho hoc sinh trong ho t ạ ả ộ đ ng gi ng d y.

̀ ợ ậ ấ

ư ả Trong quá trình gi ng d y  ng pháp gi

̀ ầ ẫ ế ắ ặ ậ

ế ế ọ

ả ơ ự ậ ợ ể ờ ạ ề ả ề   ạ ở ườ ng THPT Quy H p 3 tôi nh n th y nhi u  tr ế ớ ả   i quy t l p bài toán này, ho c còn lúng túng ̣ n u s p x p các bài t p kho ng cách   ơ   ứ ữ ề ả  tin h n ệ   i đ  phát

ệ ố ậ ự ọ ạ ươ ọ h c sinh ch a có ph nh m l n trong quá trình làm bài. Vi vây  ẽ có tính h  th ng thì s  giúp h c sinh có n n t ng ki n th c v ng h n,t ồ i bài t p hình h c không gian, đ ng th i t o đi u ki n thu n l khi gi huy tính tích c c, sáng t o cho các em.

́ ̃ ̃ ̀ ̀ ́ ́ ơ ư ươ ư ̣ ̣ Đinh h ́ ng t

V i nh ng ly do trên, tôi đa chon đê tai: ” ́ ́ ́ ̀ ̀ ̃ ̀ ́ ̉ ̣

̣ ươ ượ ̉ ̣ ̣ ̣ ng day hoc tai tr duy, phân tich ̀ kho ngả   ́ ̀   ng THPT noi

́ ̀ ̣ ươ ượ ợ ̣ ̣ bai toan va ren ky năng tinh khoang cach cho hoc sinh qua bai toan  ́ cách trong không gian” nh m ằ cai thiên chât l ́ chung va chât l ̀ ̀ ng THPT Quy H p 3 noi riêng. ng day hoc tai tr

̀ ̣ ̉ ̀ II. MUC TIÊU CUA ĐÊ TAI.

ụ 1. M c tiêu chung

́ ́ ́ ̀ ệ ọ ư ả ­ Rèn luy n cho h c sinh cach t duy, cach phân tich va kĩ năng gi i toán

5

ạ ớ và t o ra các bài toán m i.

ạ ứ ệ ồ   ­ Rèn luy n cho các em đ c tính c n cù, ch u khó tìm tòi, sáng t o và đ ng

ờ ộ ứ ầ th i hình thành cho các em m t thói quen t ị ự ọ ự  h c, t nghiên c u.

ộ ế ề ơ ­ Hình thành cho các em m t thói quen bi ả   ấ t khai thác các v n đ  đ n gi n

ọ ủ c a Toán h c.

ụ ể ụ 2. M c tiêu c  th

ự ắ

ệ ố ̀ ́ ́ ́ ̀ ̃ ư ̣ ả Xây d ng, s p x p các bài t p kho ng cách có tính h  th ng, thông qua đó  duy, cach phân tich bai toan, ren ky năng ậ ́ ươ ng t

ế ự ọ ̉ ể đ  phát huy tính tích c c, đinh h ́ ́ tinh khong cach cho h c sinh.

̀ ̣ ̉ III. GI ́ ̀ Ơ I HAN CUA ĐÊ TAI

ề ố ượ ứ 1. V  đ i t ng nghiên c u

́ ̀ ế ứ ̉ ơ ự ệ ả ạ

̀ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣

́ ́ ơ ̣ ̣

́ ủ ̉ ̣ Nghiên c u lý thuy t và th c nghi m trong gi ng d y, trao đôi v i đông ̀ nghiêp, tim hiêu tai liêu, cac đê thi hoc sinh gioi, đê thi đai hoc, tôt nghiêpTHPT ế ạ ự trong cac năm qua.Th c hành thông qua các ti t d y trên l p, day ôn hoc sinh ườ ng. gioi, ôn thi tôt nghiêpTHPT môn Toán c a nhà tr

ề 2. V  không gian

́ ́ ́ ́ ̀ ượ ơ ơ ươ ̣ ̣ ̉ Đang ap dung cho đôi t ng hoc sinh l p 11 va l p 12 cua tr ̀ ng THPT

̀ ợ Quy H p 3.

6

̀ Ộ Ư ́ PHÂN II. N I DUNG NGHIÊN C U

̀ Ơ Ở ̉ ̀ I. C  S  CUA ĐÊ TAI

́ ơ ở ̣ 1. C  s  ly luân

ọ ọ ệ ư

ệ ộ ụ ữ ể ả Toán h c là m t trong nh ng môn h c quan tr ng đ  rèn luy n t ế

ọ ộ ố ấ ọ ể ề ả ự

ỹ ệ ạ ọ ọ ậ ế ọ

ộ ố ế ọ ạ ầ

ữ ị

ế ườ ị ự ứ ầ ọ ế ỉ ạ ề ệ ể ả i th y còn ph i d y cho h c sinh có năng l c, trí tu  đ  gi

duy, rèn ự ế ậ . Vì   i quy t m t s  v n đ  x y ra trong th c t luy n k  năng v n d ng đ  gi ự ừ  ệ ạ ọ ậ v y vi c d y h c môn Toán là d y cho h c sinh có năng l c trí tu , năng l c t ứ ậ   t cách v n đó giúp h c sinh h c t p và ti p thu các ki n th c khoa h c và bi ọ   ườ ụ d ng nó vào cu c s ng. D y h c môn Toán ng i th y không ch  d y cho h c ề ữ ứ sinh ki n th c toán h c (nh ng công th c, nh ng đ nh lý, đ nh đ , tiên đ  …)   ế ấ   mà ng i quy t v n ề ượ đ  đ ọ ả ạ ọ ậ c nêu ra trong h c t p và sau này.

ạ ̀ ọ ̀ ớ V i ph ̃ ̀ ư ệ ỹ ệ ầ ́ ế ̣ ̉

ứ ầ ả

ầ ế ổ ệ ứ ợ ọ

ơ ả ệ ỹ ộ ể ự ả ế ậ ọ ạ ́ ế ệ ố ế t t ng h p, khái quát hóa các ki n th c đã h c m t cách h  th ng đ ế ấ ứ i quy t v n đ gi

ạ ộ ̣   ươ ệ ng pháp d y h c hi n đ i nh  hi n nay ngoài vi c giup hoc ế   t cho sinh linh hôi ki n th c, hinh thanh va phat triên k  năng c  b n c n thi ậ   ọ h c sinh, th y giáo c n ph i quan tâm đ n vi c rèn luy n k  năng suy lu n ể  logic, bi ề  ụ ả ọ h c sinh có kh  năng v n d ng các ki n th c đã h c đ  t ộ m t cách năng đ ng sáng t o.

2. C  s  th c tiêñ ơ ở ự

́ ́ ̉

ừ ượ ạ ở ọ ọ ầ

ệ ế ề ạ Bài toán tinh khoang cach trong môn hình h c không gian là bài toán khó ng. D ng toán liên ặ ng xuyên có m t trong các đ  thi

́ ̀ ̣ ̉ ̣ ố ớ ọ đ i v i h c sinh THPT b i đây là môn h c có ph n tr u t ườ ế quan đ n thi t di n cũng khá đa d ng và th hoc sinh gioi, đê thi tôt nghiêp THPT hàng năm.

́ ́ ế ề ơ ̉

ộ ỉ ắ ả

ả ả ệ i quy t m t bài toán tinh khoang cach không h  đ n gi n, yêu Vi c gi   ế ậ   ả ườ i gi t v n i không ch  n m v ng ki n th c c  b n mà còn ph i bi ạ ề ạ ữ ế ứ ơ ả ự ả ầ ượ c th c hành nhi u. ầ c u ng ụ d ng linh ho t, sáng t o và ph i c n đ

ỹ ậ ự ế ườ ọ ỏ

ứ ộ ủ ữ ặ M t khác, s  ti n b  c a khoa h c k  thu t đòi h i ng ụ ậ

ề ể ằ ợ ớ

ổ ́ ế ủ ắ ữ ệ ̣

ờ ạ ệ ừ ọ ậ

ứ ớ ữ ụ ả ả ọ ụ   i h c liên t c ầ ậ ụ   c p nh t tri th c. Trong nh ng năm g n đây, ngành giáo d c đã liên t c có ể  ượ c th nh ng thay đ i nh m đ  phù h p v i xu th  c a th i đ i, đi u đó đ ố ớ   ứ hi n trong cac năm hoc thông qua hình th c thi tr c nghi m và liên môn. Đ i v i ả ỗ ự ườ ọ i h c ph i n  l c và không ng ng h c t p tìm tòi cách hình th c thi này, ng   ớ ạ ượ ệ i m i; liên t c rèn luy n thì m i đ t đ gi ế c nh ng k t qu  cao

7

̀ Ự ̣ ̉ ̀ II. TH C TRANG CUA ĐÊ TAI

ọ ọ ế ủ ự ố

ậ ọ

ằ ọ ả ắ ữ ị

ọ ả ắ ứ ế

ố

ả

ọ ể ễ ộ

ậ ế ặ ủ ế ộ

ấ ẳ ả Hình h c không gian là s  n i ti p c a hình h c ph ng, kho ng cách   ả   ướ c khi h c kho ng trong không gian cũng n m trong cái chung đó. Do v y, tr ệ cách trong không gian h c sinh ph i n m v ng các khái ni m, đ nh lí liên quan   ề  ớ ẳ ữ v i nó trong hình h c ph ng.Ngoài ra còn ph i n m v ng các ki n th c v ệ ệ ữ ệ   quan h  song song,quan h  vuông góc và m i quan h  gi a chúng trong không ề ế ứ ộ ấ ả ệ i bài t p kho ng cách là gian. M t v n đ  h t s c quan tr ng trong vi c gi   ể   ủ ị ế ẽ ả ọ t v  các hình bi u di n, xác đ nh hình chi u c a m t đi m h c sinh ph i bi ẳ ộ ườ ẳ ể ộ lên m t đ   ng th ng, hình chi u c a m t đi m lên m t m t ph ng…Đây là ề ề v n đ  gây ra nhi u khó khăn cho hoc sinh.

ọ ẳ ả Kho ng cách trong không gian và trong hình h c ph ng có m i liên h

ả ̉

ẳ ả ữ ườ ể ượ ừ ộ ẫ

ế  m t đi m đ n m t đ ữ c gi ấ ệ

ả ộ ̣ ̉

ư ẳ ế ớ ườ ữ ả

ặ ấ

ẳ ơ ồ ả ị ọ ượ ướ c h

ữ ẳ ầ ẫ ế ế ề ấ ề ậ ệ  ố ̀ ụ ư ộ ươ khăng khít nhau. Ví d  nh  kho ng cách t   ng thăng, ể    nguyên khi chuy n ng th ng song song v n đ kho ng cách gi a hai đ ề ở ộ   ọ sang hình h c không gian. Tuy nhiên có nhi u tính ch t, khái ni m m  r ng ả   ể ừ ộ  m t đi m đ n m t măt phăng, kho ng trong không gian nh  kho ng cách t ặ ẳ   ng th ng và m t ph ng song song v i nó, kho ng cách gi a hai cách gi a đ ườ   ng th ng chéo nhau làm h c sinh r t khó hình m t ph ng song song, hai đ ấ   ng làm cho bài dung,h u h t các em c m th y m  h  không xác đ nh đ toán,d n đ n tâm lý chán nán khi làm bài t p v  v n đ  này.

̀ ́ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ơ ̉ ̉ Tiên hanh cho cac em lam bai kiêm tra 45 phut cho 2 l p thi kêt qua thu

ượ đ c là :

L pớ Điêm̉ < 3.5 3.5(cid:0) Điêm̉ < 5.0 5,0 (cid:0) Điêm̉

11A2 15% 55% 30%

11A1 5% 45% 50%

ạ ế ố ớ ề ơ ỉ

ứ

ệ ế ủ Đ i v i giáo viên, n u d y Kho ng cách mà đ n thu n ch  truy n th ọ ế ệ

ế ế

ứ ể ả ế ứ ế ạ ọ ọ

ẽ ượ ụ ả ắ ụ  ả ầ ề ẽ   cho h c sinh ki n th c trong sách giáo khoa thì s  gây ra nhi u khó khăn cho ụ   ạ ượ ả ầ ạ c trong giáo d c. i hi u qu  c n đ t đ vi c ti p thu c a các em không mang l ự   ỗ ế ắ t s p x p, xâu chu i các ki n th c đ  phát huy tính tích c c Tuy nhiên n u ta bi ề  ượ ủ i quy t các bài toán v c h ng thú cho h c sinh khi gi c a h c sinh, t o đ ể ộ ạ c kh c ph c m t cách đáng k . kho ng cách thì tình tr ng trên s  đ

̀ ̀ ̀ ̀ ệ ề ớ ̣ ̣

ứ ự ́ ề ́ ́ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ọ ̉ ́ ươ   ng Vi vây đê tai nay ch a đ ng nhi u ti m năng to l n trong vi c đinh h ̃ ạ    duy, cach phân tich bai toan va ren ky năng tinh khoang cach cho h c sinh. t o ư t

8

ạ ủ ự ể ọ ơ ộ c  h i cho h c sinh phát tri n năng l c sáng t o c a mình.

̀ ́ ̣ ̉ ̀ III. NÔI DUNG CHINH CUA ĐÊ TAI

́ Ơ Ở ́ A. C  S  LY THUYÊT

ừ ộ ộ ườ ể ế ẳ ả 1. Kho ng cách t m t đi m đ n m t đ ng th ng

ả ừ ộ ộ ườ ế ể m t đi m đ n m t đ ẳ ng th ng a + Kho ng cách t

(cid:0) ế ủ d (M, (cid:0) ) = MH,, trong đó H là hình chi u c a M trên

ừ ộ ộ ể ế ẳ ặ ả 2. Kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng

a = d(O, ( )) OH

ả ừ ộ ể ế ặ ẳ ộ + Kho ng cách t ế  m t đi m đ n đ n m t m t ph ng ( (cid:0) )

ế ủ , trong đó H là hình chi u c a O trên ( (cid:0) )

ị ự ế . Xác đ nh hình chi u ế H c a ủ O trên ((cid:0) ) và tính OH Cách 1. Tính tr c ti p

­ D ng m t ph ng (P) ch a

ự ặ ẳ ứ O và vuông góc v i (ớ (cid:0) )

­ Tìm giao tuy n ế (cid:0)

a =

ủ c a (P) và ( (cid:0) )

(cid:0) ẻ ­ K  OH (cid:0) ( H D� ). Khi đó  d(O, ( )) OH .

=

V

S.h

=� h

ử ụ ứ ể Cách 2. S  d ng công th c th  tích

3V S

ể ố ể ủ Th  tích c a kh i chóp ả   . Theo cách này, đ  tính kho ng

1 3 ặ

ừ ỉ ủ ế cách t đ nh c a hình chóp đ n m t đáy, ta đi tính V và S

ượ ỉ ử ụ Cách 3. S  d ng phép tr t đ nh

(cid:0) ế ườ ẳ ặ ế ả . N u đ ẳ ng th ng ớ  song song v i m t ph ng ( (cid:0) ) và M, N (cid:0)

)) d(N;(

))

K t qu  1 a = a (cid:0) thì  d(M;(

(cid:0) ế ế ườ ặ ẳ ắ ạ ể ả . N u đ ẳ ng th ng c t m t ph ng ( (cid:0) ) t i đi m I và M, N (cid:0) K t qu  2

(cid:0) (M, N không trùng v i ớ I) thì

=

a

d(M;( )) MI d(N;( )) NI

a

a = d(M;( ))

d(N;( ))

1 2

a =

a ệ ủ ể ế ặ Đ c bi t: + n u M là trung đi m c a NI thì

d(M; (

)) d(N;(

))

a ủ ể ế + n u I là trung đi m c a MN thì

ấ ủ ứ ệ ử ụ Cách 4. S  d ng tính ch t c a t di n vuông

ơ ở ủ ươ ấ ứ ệ C  s  c a ph ng pháp này là tính ch t sau: Gi ả ử OABC là t s di n vuông

9

^ ^ ^ ủ ế ặ ẳ   )   và   H   là   hình   chi u   c a   O   trên   m t   ph ng

=

+

+

2

2

2

2

1 OH

1 OA

1 OB

1 OC

i  ạ O  ( OA OB, OB OC, OC OA t (ABC).

ử ụ ươ ọ ộ Cách 5. S  d ng ph ng pháp t a đ

ươ ệ ọ ầ ợ ọ ộ ng pháp này là ta c n ch n h  t a đ  thích h p sau đó s ử

+

+

+

Ax

0

0

0

+ =

+

+

ứ ơ ở ủ C  s  c a ph ụ d ng các công th c sau:

) : Ax By Cz D 0

d(M; (

a = ))

0

0

0

M(x ; y ; z ) ,  (

2

2

2

By Cz D +

+

A B C

a + v i ớ

d(M,

D = )

(cid:0)

uuuur r MA u r u

r u

ườ ẳ ơ + v i ớ (cid:0) là đ ng th ng đi qua A và có vect ỉ  ch  ph ươ   ng

d( ,

D = ')

'

uur A '  và có vtcp  u '

r uur uuuur u u '.AA ' r uur u u '

(cid:0) D D ườ ẳ + v i ớ là đ ng th ng đi qua (cid:0)

ể ả ằ ọ i m t bài toán hình h c không gian b ng ph ử

Chu ý ́: Đ  gi ọ ườ ự ệ ộ ộ ụ d ng t a đ  Đê ­các trong không gian Oxyz, ta th ươ ng th c hi n các b ng pháp s ướ c sau:

ợ ồ ừ ậ ộ ệ ọ t c  bài toán, l p h  t a đ  thích h p r i t đó suy ra

B c ướ 1: T  gi ể ừ ả ầ ọ ộ t a đ  các đi m c n thi ế ả  thi ế t.

ọ i tích trong không gian

B c  ướ 2: Chuy n h n bài toán sang hình h c gi ứ ể ế ậ ẳ ể ị ầ ị ả t l p bi u th c cho giá tr  c n xác đ nh. ằ b ng cách: + Thi

ế ậ ả ầ ứ ứ ệ ể ế ề + Thi ể t l p bi u th c cho đi u ki n đ  suy ra k t qu  c n ch ng minh.

ế ậ ố ượ ể ự ầ ỹ ị + Thi ứ t l p bi u th c cho đ i t ng c n tìm c c tr , qu  tích…

ử ụ ươ ơ Cách 6. S  d ng ph ng pháp vect

ướ ả ế ế ậ ủ B c 1 thi t k t lu n c a bài toán hình

ệ : Chon h  véc t ữ ư ơ ố  g c, đ a các gi ơ ọ h c đã cho ra ngôn ng  “véc t ”.

ự ế ệ B ế   ướ : Th c hi n các yêu c u c a bài toán thông qua vi c ti n hành bi n

c 2 ệ ứ ơ ổ đ i các h  th c véc t ệ ệ  theo h  véc t ầ ủ ơ ố  g c.

ướ ế ể ế ả ậ B c 3 ơ : Chuy n các k t lu n “véc t ” sang các k t qu  hình h c t ọ ươ   ng

ng.ứ

ộ ặ ế ẳ ẳ ả 3. Kho ng cách t ừ ộ ườ  m t đ ớ   ng th ng đ n m t m t ph ng song song v i

nó

10

(cid:0) ể ấ ằ + d ((cid:0) , ((cid:0) )) = d (M, ((cid:0) )), trong đó M là đi m b t kì n m trên .

(cid:0) ế ệ ả ẳ ượ (cid:0) ) đ c quy

+ Vi c tính kho ng cách t ừ ộ ừ ườ  đ ể ế ả ẳ ộ ề ệ v  vi c tính kho ng cách t ặ ẳ  đ n m t ph ng ( ng th ng  ặ  m t đi m đ n m t m t ph ng.

ả ặ ẳ ữ

ấ ằ ) = d (M, ( )b ể ), trong đó M là đi m b t kì n m trên ( (cid:0) ) 4. Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song + d ( ((cid:0) ), ( )b

ệ ượ ề ệ   c quy v  vi c

ả ừ ộ ẳ ẳ ặ ặ ể ế ộ ữ + Vi c tính kho ng cách gi a hai m t ph ng song song đ  m t đi m đ n m t m t ph ng. ả tính kho ng cách t

ữ ả ườ ẳ 5. Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau

(cid:0) ắ ả ọ ớ + Đ ng th ng c t c  a, b và cùng vuông góc v i a, b g i là đ ườ   ng

ẳ ủ ườ vuông góc chung c a a, b.

ắ ạ ượ ọ ủ ạ + N u ế (cid:0) c t a, b t i I, J thì IJ đ c g i là đo n vuông góc chung c a a, b.

ạ ộ ượ ọ ữ ả + Đ  dài đo n IJ đ c g i là kho ng cách gi a a, b.

ả ẳ ả + Kho ng cách gi a hai đ

ườ ớ ứ ẳ ặ ẳ ữ ẳ ườ ộ ng th ng đó v i m t ph ng ch a đ ữ   ằ ng th ng chéo nhau b ng kho ng cách gi a ườ   ng th ng kia và song

m t trong hai đ ớ song v i nó.

ữ ả ẳ ả

+ Kho ng cách gi a hai đ ầ ượ ặ ẳ ườ hai m t ph ng song song l n l ườ t ch a hai đ ữ   ằ ng th ng chéo nhau b ng kho ng cách gi a ẳ ứ ng th ng đó.

ệ ặ * Đ c bi t

b^ ể

ứ ế ẳ ớ + N u ế a

ạ ườ ặ ớ ủ thì ta tìm m t ph ng (P) ch a a và vuông góc v i b, ti p theo ng   cao   IH.   Khi   đó

IH=

ta   tìm   giao   đi m   I   c a   (P)   v i   b.   Trong   mp   (P),   h   đ d(a, b)

ế ứ ệ ạ ẳ ố

di n ABCD có AC = BD, AD = BC thì đo n th ng n i hai trung ủ + N u t ủ ể ạ đi m c a AB và CD là đo n vuông góc chung c a AB và CD.

̀ ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ B. MÔT SÔ DANG BAI TÂP VÂN DUNG

ộ ố ả ừ ộ ộ ươ ế ể ̉ 1. M t s  bài toán kho ng cách t m t đi m đ n m t đ ̀ ng thăng

: Cho hình chóp tam giác S.ABC v i ớ SA vuông góc v i (ớ ABC) và SA =

́ ả ừ Bai 1̀ ệ 3a. Di n tích tam giác ằ ABC b ng 2 a2,BC = a. Tinh kho ng cách t ế  S đ n BC.

́ ́ ́ ́ ̀ ̀ ơ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉

:  Đây la bai toan tinh khoang cach c  ban nên hoc sinh co kha ượ ̉ Nhân xet́ ́ năng giai quyêt đ c.

11

2

ướ ẫ ả K  ẻ AH vuông góc v i ớ BC: H ng d n gi i:

=

=

=

=

S

AH BC AH

.

4

a

�

ABC

1 2

S ABC BC

2 4 a a

D D

ả Kho ng cách t ừ S đ n ế BC chính là SH

2

2

2

ự D a vào tam giác vuông A SAH ta có

=

+

=

+

=

SH

2 SA

AH

a (3 )

a (4 )

5

a

INCLUDEPICTURE  "C:\\Users\\admin\\A ppData\\Local\\Temp \\FineReader11.00\\m edia\\image1.jpeg"   \*  MERGEFORMATIN ET

ứ Bai   2̀

di n   ừ

́ :  Cho  t ớ vuông góc v i nhau t ng đôi  ả = 2a. Tinh kho ng cách t ệ SABC  trong   đó  SA,   SB,   sc  m t ộ và SA = 3a, SB = a,sc   ẳ ế ườ ng th ng ừ A đ n đ BC

ướ ẫ ả H ng d n gi i:

d A BC AH= ( )

;

�

AH BC

^ + D ng ự INCLUDEPICTURE

BC AS BC

��

AS SBC ) ( AH BC

^ ^ (cid:0) (cid:0) + ^ (cid:0) \*

́ ̀ Va AH căt AS ằ n m trong ( SAH). "C:\\Users\\admin\\AppData\\Loc al\\Temp\\FineReader11.00\\medi   a\\image5.jpeg" MERGEFORMATINET

BC

(

SAH

)

BC SH

�

SH � �

^ ^

Xét trong ASBC vuông t i ạ s có SH

=

+

=

+

�

2

2

2

1 SH

1 2 SB

1 SC

1 SH

1 2 a

1 2 a 4

5

2

=� SH

a 5

ườ là đ ng cao có:

ễ ứ ̣ + Măt khac t́ a d  ch ng minh đ ượ c

AS SBC ( )

AS SH

ASH

SH ��

�

^ ^ D

5

7

2

2

2

2

=

=

=

AH

+ SA SH

AH

9

AH

�

�

2 2 4 a + a 5

a 5

ệ ứ ượ vuông t ụ i ạ S. Áp d ng h  th c l ng trong AASH vuông t i ạ S ta có:

12

ộ ố ả ừ ộ ộ ế ể ẳ ặ 2. M t s  bài toán kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng

ứ ề : Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có AB = a, SA =

ủ ể ạ 2a ả t là trung đi m c a các c nh SA, SB, CD. Tính kho ng cách t ọ . G i M,   ừ    P

S

Bai 3̀ ầ ượ N, P l n l ẳ ặ ế đ n m t ph ng (AMN).

ươ ̣ ́ ng: Phân tích, đinh h

M

N

ế ể ệ

ậ

D

P

ừ ả

C

ệ ẳ ể

O

A

ả ố

B

ằ

ừ ế Theo giả   ố thi   t,   vi c   tính   th   tích   các   kh i   chóp S.ABCD   hay   S.ABC   hay   AMNP   là   dễ  ệ ế ể   dàng. V y ta có th  nghĩ đ n vi c quy ặ   ế   P   đ n   m t vi c   tính   kho ng   cách   t ủ   ề ệ ph ng (AMN) v  vi c tính th  tích c a ừ   các kh i chóp nói trên, kho ng cách t  P ả   ể ế đ n   (AMN)   có   th   thay   b ng   kho ng  C đ n (SAB). cách t

(cid:0) ướ ẫ ủ ọ ả G i   O   là   tâm   c a   hình   vuông   ABCD,   khi   đó   SO H ng   d n   gi i:

(ABCD).

2

ầ ượ ể M, N l n l ủ t là trung đi m c a SA và SB nên

AMN

ANS

ABS

a 7 = = = S S S 1 2 1 4 16

)

(

)

PC AMN ) . = / /( ( � d P AMN ,( ( )) d C AMN ,( ( ))

V y: ậ

)

(

)

(

P AMN

AMN

ABS

.

= = V S S d P AMN . ,( ( )) d C AMN . ,( ( )) 1 3 1 1 . 3 4

2

2

C ABS

S ABC

ABC

.

.

ABC

3

a 6 = = = = = = 2 - V V S SO . . . S SA AO a SO , 1 4 1 4 1 1 . 4 3 2 1 2

PAMN

2

(

)

AMNP

AMN

a a 6 = = = = � a d P AMN ,( ( )) V y ậ V a . V 3 S 6 7 1 1 . 12 2 2 6 48

S.

Bai 4̀ : . (K­D 2007).

Cho hình chóp  ABCD có đáy là hình thang.

090 ,

ﾷ = = AD = , a= 2 . ﾷ = ABC BAD BA BC a

13

ạ ớ ế C nh bên SA  vuông góc v i đáy và

( ả SA a= ế ẳ . G i ọ H  là hình chi u vuông SCD . ) góc c a ủ A  trên  SB . Tính kho ng cách t 2 ặ ừ H  đ n m t ph ng

ườ ̣ Trong bài toán này, vi c tìm chân đ ́ ng:

Phân tích, đinh h ố ạ ừ ươ ẳ ệ ậ ẽ ặ

ề ệ ừ ế ả ng vuông ể  H xu ng m t ph ng (SCD) là khó khăn. Vì v y, ta s  tìm giao đi m K  H đ n (SCD) v  vi c tính

S

N

E

H

D

K

A

Q

P

B

C

M

ừ ế ả góc h  t ủ c a AH và (SCD) và quy vi c tính kho ng cách t kho ng cách t ệ  A đ n (SCD)

14

ướ ẫ ả H ng d n gi i:

ấ ủ ứ ệ ử ụ di n vuông. Cách1: S  d ng tính ch t c a t

ủ ủ ể ể ọ ớ G i M là giao đi m c a AB và CD, K là giao đi m c a AH v i SM. Ta có:

BH BS 1 = . 3

ủ ọ Suy ra H là tr ng tâm c a tam giác SAM.

ừ T  đó ta có:

) )

( ( ) d H SCD , ( ( ) d A SCD ,

= = KH KA 1 3

ứ ệ ạ Do t di n ASDM vuông t i A nên:

)

)

( ( d A SCD ,

2

2

2

2

2

)

(

)

)

(

)

( d H SCD =

= + + = = � a 1 AS 1 AD 1 AM 1 a 1 ( d A SCD ,

, V y ậ a 3

́ ươ ợ ̣ ̉ ng phap tông h p ử Cách 2: S  dung ph

1

2

ầ ượ ừ ể ế ả t là kho ng cách t các đi m H và B đ n mp (SCD), ta G iọ ,d d  l n l

BSCD

BSCD

có:

2

SCD

SCD

2

3

= = = = = � d d 1 D D d 1 d SH SB V 2 S 2 3 2 3 V 2 3 � S 3

BSCD

BCD

BID

= = = = D D V � SA S � SA S SA AB ID Trong đó 1 3 1 3 1 3 1 �� 2 a 3 2

2

2

2

2

2

2

^ (cid:0) CD AC (cid:0) ^� CD SC Ta có: ^ (cid:0) CD SA

1

SCDS

= = + + + = d =� � � D � SC CD SA AB BC CE ED a 2 a 3 1 2 1 2

ử ụ ơ ươ . Cách3: S  d ng ph

Đ t ặ ; ;

= = = Ta có: ́ ́ ng phap vec t uuur r uuur r uuur r = = AB a AD b AS c r r r r � � b c a c = r r � a b 0; 0; 0

15

= - - uur r r uuur r = + SB a c SC a r r uuur r r = - b c SD b c ; ; 1 2

ườ ẳ ặ SCD) G i ọ N  là chân đ ng vuông góc h  t ạ ừ H lên m t ph ng (

= � HN= d H SCD ;( ( )) ễ ượ D  dàng tính đ c SH SB 2 3

+ = - uuur uuur uuur = HN HS SN uuur uuur uur + + SB xSC ySD Khi đó: 2 3

= - - - x r + y b r + a x 2 3 x 2 � � � � � + � � � � � 2 3 � � � � � r � y c � �

Ta có:

(cid:0) - - - - = x r 2 + a r 2 y b x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 2 3 r � 2 = y c � � 5 6 � � (cid:0) (cid:0) uuur uuur =�� HN SC uuur uuur � =� HN SD 0 = - + - - - x � � � y x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 3 x 2 (cid:0) � � � � � x 2 1 + � � � � � 2 2 3 �� � � � � � r 2 � � � 2 � y b � � � 3 � � � r � 2 = y c � �

2 � � �

= + + = + = � uuur HN r a r b r � c HN r r + b c 1 6 1 12 1 6 1 6 1 2 a 3 r � a � �

ệ ự ệ ơ ố ấ ọ ả ọ Vi c l a ch n h  véc t g c là r t quan tr ng khi gi ậ * Nh n xét:

ằ ơ ệ ọ ệ ự . Nói chung vi c l a ch n h  véc t ế   i quy t ơ ố    g c

ươ ng pháp véc t ầ ộ ả ả m t bài toán b ng ph ph i tho  mãn hai yêu c u:

ơ ố ả ơ ẳ ệ + H  véc t g c ph i là ba véc t ồ  không đ ng ph ng.

ơ ố ơ ữ ể ể ầ ệ + H  véc t g c nên là h  véc t

ệ ơ ộ ả ấ ữ ủ    mà có th  chuy n nh ng yêu c u c a ơ  m t cách đ n gi n nh t. bài toán thành ngôn ng  véc t

ế ặ Bài 5:  Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O, hình  ể H ớ ABCD) trùng v i trung đi m

ủ ỉ chi u vuông góc c a đ nh  ế ằ ạ AO.  Bi ủ t  r ng   c a  đo n ẳ S lên m t ph ng đáy ( SC  =  3a  và

ả OH   = .Tính   theo  a  kho ng   cách   t ừ a 2

ế ẳ ặ SBD). đi m ể A đ n m t ph ng (

̣ ́ ng:

ươ Phân tích, đinh h ủ ị

ả ẳ ọ Ta c nầ   ặ   ế xác   đ nh   hình   chi u   c a   A   lên   m t ặ   ph ng   (SBD),   do   đó   ph i   ch n   m t

16

ẳ ẳ ặ ớ ph ng đi qua A và vuông góc v i m t ph ng (SBD).

17

ướ ẫ ả H ng d n gi i:

ươ ổ ọ ợ ng pháp hình h c không gian t ng h p Cách1: Ph

ễ ấ ẳ ặ ắ D  th y m t ph ng (SAO) vuông góc và c t m t ph ng (SBD) theo giao

(cid:0) ế ẻ ặ SO) thì AE  (cid:0)

ế ẳ tuy n SO. Khi đó trong m t ph ng (SAO), k  AE   ừ ả (SBD) hay d (A, (SBD)) = AE.T  gi thi ẳ ặ   SO (E  (cid:0) t ta có AC = 4OH = 2a

2

2

2

3 = = 2 - ạ ∆SCH vuông t i H, nên ta có SH SC HC a 3 2

= + = ạ Tam giác SHO vuông t i H nên . SO SH OH a 7

21 = = = Ta có AE.SO = SH.AO, suy ra A E , d A SBD ( ( )) SH A O . SO a 3 14

ươ ế ợ ọ ổ ng pháp hình h c không gian t ng h p ứ   ợ  k t h p công th c Cách 2: Ph

ể th  tích

2

2

ừ ả ế ằ ạ ộ T  gi thi t ta có AC = 4OH = 2a, suy ra đáy có đ  dài c nh b ng 2a

= + = Tam giác SHO vuông t i ạ H nên . SO SH OH a 7

2 7a

3 3 a 2

S ABD

Ta có SO. BD = VS.ABD = SH.S∆ABD = và S∆SBD = 1 3 1 2

SBD

21 V y ậ d (A, (SBD)) = V .3 S D a =  3 14

ươ ng pháp ộ ọ t a đ  trong không gian Cách 3: Ph

ừ ả ế ủ ệ ụ ọ ộ ớ T  gi thi t c a bài toán ta xét h  tr c t a đ  Oxyz v i O (0; 0; 0), A (0; ­a;

0),

3 B (a; 0; 0), C (0; a; 0), D (­a; 0; 0), S a a 3 ; 2 2 � -� 0; � � . � �

ươ ặ ẳ Ta có ph ng trình m t ph ng (SBD): 3 3 y + z = 0, do đó d (A, (SBD)) =

21 . a 3 14

: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, c nh ạ a. Bai 6̀

ặ ẳ ạ ộ ớ ớ SA vuông góc v i m t ph ng ( ạ ABCD), c nh bên SB t o v i đáy m t góc

18

ể ả 00. G i ọ M, N l n l ủ SB, SD. Tính theo a kho ng cách

ế ặ t là trung đi m c a  AMN). ầ ượ ằ b ng 6 ẳ ừ ể S đ n m t ph ng ( t  đi m

ế ủ ươ ̣ ́ ng: Phân   tích,  đinh  h

ị ệ ầ ư

ặ ệ ự ẳ   Ta  c n  tìm  hình  chi u  c a  S  lên  m t  ph ng ế   ả  đi m S đ n ế ừ    S mà

ổ ự

ế ệ ể ệ

ệ

ậ ệ

ủ

ừ

ơ

ủ ừ ế ể ệ ặ ả ẳ    trung đi m E c a AO đ n m t ph ng

ặ ừ ể (AMN), vi c xác đ nh là không khó nh ng khi tính kho ng cách t ự hình chi u thì g p khó khăn.Do đó ta không th c hi n tính tr c ti p t ả   ể th c hi n chuy n đ i kho ng ậ   cách đ  vi c tính toán thu n ừ   ự ợ ơ i h n. Ta th c hi n tính t l ể   đi m   O.   Tuy   v y,vi c   xác ị ế đ nh   hình   chi u   c a   O   lên   ẳ ơ   ặ m t   ph ng   (AMN)   là   đ n ả   ư ả gi n   nh ng   khi   tính   kho ng ế   ế   O   đ n   hình   chi u cách   t ẳ   ặ ủ c a   nó   trên   m t   ph ng ả   (AMN) cũng không đ n gi n, ế ể do đó ta chuy n đ n vi c tính kho ng t (AMN).

ướ ẫ ả H ng d n gi i:

ươ ợ ọ ổ ng pháp hình h c không gian t ng h p Cách 1: Ph

ạ ủ ể ắ Ta có SO c t (AMN) t ể   i trung đi m I c a MN, khi đó I cũng là trung đi m

ủ c a SO.

)

(

(

)

(

)

=

= 1

) ( d S, AMN = d O, AMN

) )

) )

SI OI

( ( d S, AMN ( ( d O, AMN

(cid:0) V y ậ

(cid:0) ủ ể ọ G i E là trung đi m c a AO thì IE // SA nên IE (ABCD).

a

21

(cid:0) ẻ K  EF AI (F (cid:0) AI) và do MN (cid:0) (SAC) nên MN (cid:0) EF

14

(cid:0) ậ V y EF (AMN) và d (E, (AMN)) = EF =

(

)

(

)

(

)

) ( d O, AMN = 2d E, AMN

) )

) )

( ( d O, AMN ( ( d E, AMN

a = � = = 2 Mà OA EA 21 7

ươ ế ợ ọ ổ ng pháp hình h c không gian t ng h p ứ   ợ  k t h p công th c Cách 2: Ph

19

=

=

= AM AN

SB

= SD a;

1 2

1 2

ể ừ ả ế ượ T  gi thi t ta tìm đ c ; MN = =SA a 3 th  tích

= a

=SO a

SO

14 4

7 2

7

= a

2 = a Trong tam giác SAO ta có BD ; AI =  1 2 1 2 2

AMN =

AI MN .

8

1 2

3

a

3

=

ủ ệ Di n tích c a tam giác AMN là S

S.ABCD =

SA S .

ABCD

3

1 3

3

a

=

=

ể ố Th  tích kh i chóp S.ABCD là V

V

V

S.AMN =

S ABD

S ABCD

.

.

1 4

1 8

3 24

ể ố Th  tích kh i chóp S.AMN là V

S AMN

AMN

a = Do đó d (S, (AMN)) = . V .3 S D 21 7

ươ ng pháp ộ ọ t a đ  trong không gian Cách 3: Ph

ừ ả ế ủ ệ ụ ọ ộ T  gi thi ớ   t c a bài toán ta xét h  tr c t a đ  Đê­cac vuông góc Oxyz v i

3 3 ;0; A (0; 0; 0), D (a; 0; 0), B (0; a; 0), S (0; 0; , N 3a ), M a a ; 2 2 a 2 � 0; � � � � � � a � 2 � � . � �

ươ ặ ẳ Ta có ph ng trình m t ph ng (AMN): 3 x + 3 y ­ z = 0.

a a Do đó d (S, (AMN)) = = . 3 7 21 7

a

5

i ạ A, AB = AC Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t

2

ể = a, SA = . G iọ  I là trung đi m c a ế ủ SC, hình chi u vuông góc c a ủ S trên

ả (ABC) là trung đi m ể H c a ủ BC. Tính theo a kho ng cách t ừ I đ n (ế SAB).

̣

ế ủ

ị ẳ

ế ả ặ ẳ ế ủ i thi

ế ặ ả

ự ả ́ ươ ầ   Ta   c n   tìm ng:   Phân   tích,   đinh   h ẳ ệ   ặ hình chi u c a I lên m t ph ng  (SAB), vi c ọ ả   xác đ nh là khó vì ph i ch n m t ph ng đi ặ ớ   qua   I   và   vuông   góc   v i   m t   ph ng   (SAB). ế   Tuy nhiên n u ta chú ý đ n gi t c a bài ễ ấ   toán thì d  th y do IH // (SAB)đó thay vì tính ẳ ừ  I đ n m t ph ng (SAB) ta kho ng cách t   ế   ừ ể ệ  đi m H đ n th c hi n tính kho ng cách t

20

(SAB).

ướ ẫ ả H ng d n gi i:

ươ ợ ọ ổ ng pháp hình h c không gian t ng h p Cách 1: Ph

Ta có IH // SB và IH (cid:0) (SAB) do đó IH // (SAB).

ậ V y d (I, (SAB)) = d (H, (SAB))

(cid:0) (cid:0) ẳ K  HM AB (M  (cid:0) AB) thì AB  (cid:0) ặ   (SHM), do đó m t ph ng (SAB)

ẻ (SHM) và (SAB) (cid:0) (SHM) = SM.

(cid:0) ẻ ặ ẳ (SAB). Khi đó SM (K(cid:0) SM) thì HK (cid:0)

ủ ế ẳ Trong m t ph ng (SHM), k  HK  ặ K là hình chi u vuông góc c a H lên m t ph ng (SAB) hay d (H, (SAB)) = HK

a 2 3 ừ ả ế T  gi i thi t ta suy ra BC = a BC = , SH = 2 , BH = AH = 1 2 2 a 2

ạ Tam giác AHB vuông cân t i H suy ra HM = . a 2

3 ượ Trong tam giác SHM ta tính đ c HK = . a 4

ươ ế ợ ứ ổ ọ ng pháp hình h c không gian t ng h p ợ  k t h p công th c th ể Cách 2: Ph

tích

Ta có IH // SB và IH (cid:0) (SAB) do đó IH // (SAB).

ậ V y d (I, (SAB)) = d (H, (SAB))

a 2 3 ừ ả ế T  gi i thi t ta suy ra BC = a BC = , SH = 2 , BH = AH = 1 2 2 a 2

3 3 a 24

S AHB

SM. AB = a. a = a2 Do đó VS.AHB = SH. S∆AHB = và S∆SAB = 1 3 1 2 1 2 1 2

SAB

3 ậ V y d (H, (SAB)) = = . V .3 S D a 4

ươ ng pháp ộ ọ t a đ  trong không gian Cách 3: Ph

ừ ả ế ủ ệ ụ ọ ộ T  gi thi ớ   t c a bài toán ta xét h  tr c t a đ  Đê­cac vuông góc Oxyz v i

3 3 ; A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), C (0; a; 0), S a a a ; ; 2 2 2 a a a 3 ; 4 4 4 � � � � , I � � � � � � . � �

21

ươ ặ ẳ Ta có ph ng trình m t ph ng (SAB): 3 y ­ z = 0.

3 Do đó d (I, (SAB)) = . a 4

Bai 8̀ :  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA

ớ ầ ượ ọ vuông góc v i đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = . G i H, K l n l t là hình 2a

ế ủ ả ế ẳ ặ  đi m O đ n m t ph ng (AHK). ừ ể chi u c a A trên SB, SD. Tính kho ng cách t S

ươ ̣ ́ ng: Phân   tích,   đinh   h

K

ặ

ằ ể ể

D

H

ơ

A

ệ

O

C

B

Kh iố   ỉ chóp AOHK và ASBD có chung đ nh,   ẳ   ộ đáy   cùng   n m   trên   m t   m t   ph ng ượ ố   c th  tích kh i nên ta có th  tính đ ữ chóp OAHK, h n n a tam giác AHK   ủ   ượ c   di n   tích   c a cân   nên   ta   tính   đ nó.

ướ ẫ H ng d n gi ả  :    i

ươ ọ ợ ổ ng pháp hình h c không gian t ng h p Cách 1: Ph

)

)

( ( d O AHK . ;

OAHK

AHK

= V S Ta co: ́ 1 3

Trong đó:

2

2

2

2

a 6 + = + = ; =� AH 1 AH 1 AB 1 AS 3 a 2 3

a 6 D � = D SAD SAB = = AK AH 3

ẳ ồ ớ Ta có HK và BD đ ng ph ng và cùng vuông góc v i SC nên HK // BD.

ạ ủ ọ ộ ắ AI c t SO t i G là tr ng tâm c a tam giác SAC, G thu c HK nên

a = = = . � HK BD HK SG = BD SO 2 3 2 3 2 2 3

(cid:0) ủ ể Tam giác AHK cân tai A, G là trung  đi m c a HK nên AG HK và

= = = = AG AI SC a .2 2 3 2 1 . 3 2 1 3 a 2 3

22

2

AHK

a a = = = S AG HK . . 1 2 a 1 2 . 2 3 2 2 3 2 2 9

)

(

(

)

)

)

( d A OHK S .

( d A SBD S .

OAHK

AOHK

OHK

OHK

OHK

+ = = = = D D D V V ; ; h S . 1 3 1 3 1 3

ứ ệ ạ T  di n ASBD vuông t i A nên:

2

2

2

2

a = + + = =� h 1 2 h 1 AS 1 AB 1 AD 5 a 2 10 5

2

3

ạ ằ Tam giác OHK cân t ệ i O nên có di n tích S b ng

OAHK

3

a a = = = = = � S V Sh OG HK . . 1 2 1 2 10 2 2 . 3 6 a 5 9 1 3 a 2 27

OAHK

)

)

( ( d O AHK ;

AHK

(cid:0) 3 = = = � V 3 S a 2 a 2 27 2 a

2 2 9

́ ́ ươ ̉ ng phap thê tich: Cách 2: Ph

OAHK

SABD

V ứ Ta ch ng minh 2 V= 9

OHK

SBD

3

= = = = = � � � HK SO S � HK OG BD SO S BD OG ; Ta có: 1 3 1 2 1 2 2 9 2 9 2 3

AOHK

SABD

a 2 = = = � V V AB AD SA 2 9 2 1 9 3 1 � � � 2 27

ả ằ ươ ộ ư ọ i b ng ph ng pháp t a đ  nh  sau: Cách 3: Gi

(cid:0) ệ ọ ộ ọ Ch n h  t a đ  Oxyz sao cho O A, B (a; 0; 0), D (0; a; 0), S (0; 0; 2a

).

2 2 ; ;0 ọ ộ ủ Tính SH, SK suy ra t a đ  c a H , K 3 3 a a� , O ; � 2 2 � � � � a a� 2 0; � 3 � � � � a� a 2 ;0; � 3 � � � �

= V ụ ứ , Áp d ng công th c uuur uuur uuur � AH AK AO � � . � 1 6

ườ ạ ừ ng vuông góc h  t O xuông (AHK) có

ươ ượ ị ể Cách 4: SC (cid:0)  (AHK) nên chân đ c theo ph ng SC. th  xác đ nh đ

23

* AH (cid:0) SB, AH (cid:0) BC (do BC (cid:0) (SAB)) (cid:0) AH (cid:0) SC

(cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t AK ậ  SC. V y SC (AHK)

ả ử ắ ạ ủ ể ọ * Gi s  (AHK) c t SC t i I, g i J là trung đi m c a AI, khi đó OJ // SC

(cid:0) OJ (cid:0) (AHK).

(cid:0) ạ ủ SA = AC = (cid:0) (cid:0) SAC cân t i A ể  I là trung đi m c a SC. 2a

= = = = OJ IC SC a V y ậ .2 1 2 1 4 1 4 a 2

tam giác Bài 9.  Cho hình lăng tr

ủ ỉ vuông t i ạ A, AB = a, AC =

ủ ạ ẳ ặ ụ 3a , AA(cid:0)  = 2a. Hình chi u vuông góc c a đ nh  ế ớ ABC) trùng v i trung đi m ABC.A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0)   có đáy  ABC  là tam giác  A(cid:0) BC. Tính theo a kho ngả ể H c a c nh lên m t ph ng (

ế ẳ ặ ABB(cid:0) A(cid:0) ). cách t ừ ể C đ n m t ph ng ( đi m

ươ ̣

ầ

ặ

ả

ặ ẳ

ừ

ặ

ả

ặ ́ ng: Phân tích, đinh h   ế   ị Ta   c n   xác   đ nh   hình   chi u ẳ   ủ c a   C   lên   m t   ph ng (ABB(cid:0) A(cid:0) ),   do   đó   ph i   ch n ọ     m t ph ng đi qua C và vuông ẳ   ặ ớ góc   v i   ph ng   m t (ABB(cid:0) A(cid:0) ).Tuy   nhiên   vi c   xác ệ   ư ị đ nh  là   không  khó   nh ng  khi   ả ế   tính   kho ng   cách   t   C   đ n ứ ạ   ế hình chi u thì g p ph c t p, ệ ổ ự do   đó   ta   th c   hi n   đ i   tính   ế   ừ ể   đi m   H   đ n kho ng  cách   t (cid:0) A(cid:0) ). ẳ m t ph ng (ABB

ướ ẫ ả H ng d n gi i:

ươ ợ ổ ọ ng pháp hình h c không gian t ng h p Cách 1: Ph

)

)

)

)

( ( d C ABB A

( ( d H ABB A 2

) )

(cid:0) (cid:0) , (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = = 2 , , Do đó (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có CH (cid:0)  (ABB(cid:0) A(cid:0) ) = B ( ) ( d C ABB A ( ) ( d H ABB A CB HB ,

ể ẳ ặ ọ ắ ủ G i I là trung đi m c a AB thì m t ph ng (A (cid:0) HI) vuông góc và c t m t ặ

24

’HI), k  HK  ẻ

(cid:0) ph ng (ABB (cid:0) A(cid:0) ) theo giao tuy n Aế (cid:0) I. Trong m t ph ng (A ặ A(cid:0) I (K

(cid:0) ẳ  A(cid:0) I) thì HK (cid:0) ẳ  (ABB(cid:0) A(cid:0) ) hay d (H, (ABB(cid:0) A(cid:0) )) = HK

3 Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI = AC = . 1 2 a 2

Trong tam giác A(cid:0) HA ta có A(cid:0) H = 3a

2

2

1 a = + = (cid:0) Trong tam giác A(cid:0) HI ta có HK = (cid:0) 1 HK 1 2 A H HI 5 2 a 3 15 5

)

(

)

)

( ( d C ABB A

( ) d H ABB A = 2HK =  2

2 15 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = , , V y ậ . a 5

ươ ế ợ ứ ổ ọ ng pháp hình h c không gian t ng h p ợ  k t h p công th c th ể Cách 2: Ph

tích

ừ ả ế ượ T  gi thi t ta tính đ c

3 Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI = AC = . 1 2 a 2

Trong tam giác A(cid:0) HA ta có A(cid:0) H = 3a

a Trong tam giác A(cid:0) HI ta có A(cid:0) I = 15 2

.

.

(cid:0)A H HI AB =

A ABH

ABH

.

1 3

1 2

3 a 4

(cid:0) = (cid:0) V A H S D . Mà = 1 3

A ABS

2 15 a 4

(cid:0) = (cid:0) D và A I AB = . . 1 2

A ABH

.

=

)

(cid:0) a (cid:0)

)

( ( d H ABA ,

V 3 S

A AB

Do đó = (cid:0) D 15 5

)

(

)

)

( ( d C ABB A

( ) d H ABB A = 2HK =  2

2 15 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = , , V y ậ . a 5

ươ ng pháp ộ ọ t a đ  trong không gian Cách 3: Ph

ừ ả ế ủ ệ ụ ọ ộ ớ T  gi thi t c a bài toán ta xét h  tr c t a đ  Đê­cac vuông góc Oxyz v i

3 a ; 3 A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), C (0; 3a ; 0), A(cid:0) � a a ; � 2 2 � � . � �

25

ươ ẳ Ta có ph ặ ng trình m t ph ng (A (cid:0) AB): 2y ­ z = 0, do đó d (C, (ABB(cid:0) A(cid:0) ))

15 2 = . a 5

ạ

(

z

= ^ SA Bai   10̀ :  Cho   hình   chóp   SABCD   có   đáy   ABCD   là   hình   vuông   c nh   a. ) , ABCD SA a ể ạ ọ ộ ị ị ủ   . G i M là đi m di đ ng trên c nh CD. Xác đ nh v  trí c a

S

ế    đi m S đ n

ừ ể ấ ể ớ ỏ ả M đ  kho ng cách t ấ BM l n nh t, nh  nh t.

ươ ̣

̀ ́ ̀ ố

C

A

y

́ ́ ̣

̀ ̣ ̣

M

K

̀ ơ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉

B

D

x

́ ́ ̀ ̣ ợ ́ ư ư ̉

́ ́ ́ ̉

̃ ́ ́ ng: Phân   tích,   đinh   h   ̀ ́ Kh i chóp co đay la hinh vuông va   ̀ ́ ơ   canh bên SA vuông goc v i đay diêu ́ ̣   nay rât thuân l i cho viêc chon hê ́ toa đô co gôc toa đô trung v i điêm   ̀ ́ ̀ ̀   A. T  đo đ a vê giai bai toan tim ́ ̉   ̣ ơ gia tri l n nhât, nho nhât trong giai ̀ ́ tich 1 cach dê dang.

ẫ ướ ẩ ọ i:

(

(

(

) 1;1; 0 ,

) 0;1; 0 ,

(cid:0) D C B ả Ch n h  to  đ  tr c chu n Oxyz sao cho ệ ạ ộ ự H ng d n gi ) ( 1;0; 0 ,

) 0; 0; 0 , ) 0; 0;1 .

)

O A ( S

( M t

(

)

(cid:0) (cid:0) ;1;0 ộ M là đi m di đ ng trên CD nên v i ớ 0 1t .

2

ể uuuur BM t= - 1;1;0

(

)

2

- = � � = d S BM , t 2 - t + t 2 + + t 2 3 2 uur uuuur � SB BM , � uuuur BM

(

) 1

(

)

)

2

) 2

(

- - 2 - = = t f ' t Xét hàm s  ố ( f trên [0; 1] => t 2 - - t t + t 2 2 t + t 2 + + t 2 3 2

ế Ta có b ng bi n thiên: - (cid:0)

ả                               0                                        1                          +(cid:0) + ­ ­ t f’(t)

2

f(t)

3 2

26

(

(

) t =

ừ ả ạ ượ f ế T  b ng bi n thiên ta có c khi t = 0 min [ ] 0;1 3 ) t = , đ t đ 2

)

(

f 2 ạ ượ , đ t đ c khi t = 1 max [ ] 0;1

(

)

(

)

= (cid:0) , ấ Do đó d S MB  l n nh t khi  ớ M C d S BM & , 2

(

)

= (cid:0) , ấ ỏ d S MB  nh  nh t khi M D d S BM & , 3 2

ộ ố ữ ậ ả ườ ẳ 3. M t s  bài t p tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau

ụ ề ấ ả ề ạ ằ t c  các c nh đ u b ng Bai 11̀ :  Cho lăng tr

đ u   ể ữ ầ ượ t là trung đi m c a ABC A B C   có t . ' ' ủ 'AA  và ' ả 'BB . Tính kho ng cách gi a a.  'B M

ọ G i M, N l n l và CN

ươ ể ữ ̣ ả Đ  tính kho ng cách gi a ́ ng:

ặ

'B M  và CN ta tìm m tộ   ượ ể   t đ ả    m t đi m đ n m t m t ph ng v  vi c tính kho ng

ừ ộ ả 'B M , ti p theo ta dùng các phép tr ẳ ề ệ ế ộ ế ặ

A'

C'

B'

M

N

D

C

A

O

B

Phân tích, đinh h ẳ ớ ứ m t ph ng ch a CN và song song v i  ể ệ quy vi c tính kho ng cách t ứ ệ cách trong t di n vuông.

ướ ầ ượ ọ ể ả :  G i O, D l n l i

(cid:0) ẫ H ng d n gi ứ ệ ạ i O. ủ t là trung đi m c a BC và CN thì   . M tặ NA B M / / '

=

=

=

h

d B M CN '

(

,

)

d B M ACN ,(

(

'

))

d B ACN ',(

(

))

d B ACN ,(

(

= )) 2 (

d O ACD ,(

= )) 2

' ớ ứ ẳ di n vuông t OACD là t ph ng (ACN) ch a CN và song song v i AMB N   là hình bình hành   'B M  nên

ấ ủ ứ ệ ụ ượ Áp d ng tính ch t c a t di n vuông ta đ c

2

2

2 OA

a 1 1 1 3 = + + = =� h . 1 2 64 2 8 h OC OD a 3

27

a 3 V y ậ d B M CN = , ( ) ' 4

ạ Bai 12̀ : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a,

2a

ữ ả ườ ẳ SA = SB = SC = SD = . Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo

nhau AD và SC.

S

ướ ẫ H ng d n gi ả   Vì AD // BC nên d (AD, SC) = d (AD, (SBC)) = d (A, i:

(SBC))

CO CA

1(cid:0) 2

Ta có AO (cid:0) (SBC) (cid:0) C và do đó

a 2

H

D

d (A, (SBC)) = 2.d (O, (SBC));

C

SO (cid:0) (ABCD) nên SO (cid:0) BC

O

I

A

a

B

(cid:0) ủ ể K  SJ ẻ BC thì J là trung đi m c a BC

Suy ra BC (cid:0) (SOJ) (cid:0) (SBC) (cid:0) (SOJ)

(SBC) (cid:0) (SOJ) (cid:0) S.

(cid:0) ẻ K  OH SJ (H (cid:0) SJ). Khi đó d (O, (SBC)) = OH

a

6

2

2

ạ ệ ứ ượ Xét tam giác SOJ vuông t i O, theo h  th c l ng trong tam giác vuông ta có

OJ

a .

SO

SC

CO

2

2

2

1 OH

1 OJ

1 OS

1(cid:0) 2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mà ,

SC

a

OH

a

ADd (

,

)

.2

a .

42 14

42 7

42 14

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra V y ậ

ọ ậ ụ ớ ạ ầ ị i nh n xét trong ph n đ nh nghĩa v

ả ư ể ư ề

ả ể

ế ể ả

ư ậ ế ọ

ế ả ỹ

ượ ố ư c l ả ụ ụ ề   Sau khi đ a ví d  này h c sinh nh  l ệ   kho ng cách đ  phát hi n d (AD, SC) = d (AD, (SBC)). Rõ ràng ta đ a v  bài ặ ừ ộ ẳ ộ ầ ử ụ  m t đi m đ n m t m t ph ng, do đó c n s  d ng các toán tính kho ng cách t   ề ế ắ   ế ở ấ ỹ t s p  v n đ  này đ  gi k  năng đã trình bày  i quy t bài toán. Nh  v y n u bi ệ ệ ố ẹ ủ ả ế   x p các bài toán có tính h  th ng thì vi c gi i toán c a h c sinh nh  nhàng ơ ự ế ừ h n, phát huy đ    duy tích c c, s  k  th a k t qu  đã có, k  năng đã i t ế bi ự ớ i các bài toán m i. t ph c v  vào gi

Bai 13̀ : (K­ B 2007)

NM ,

ề Cho hình chóp t giác đ u

S. ủ D  qua trung đi m c a

a .  E   ể   t là trung đi m

ể ầ ượ có đáy  ABCD là hình vuông c nh ạ  l n l

ả ứ ABCD ể ố ứ là đi m đ i x ng c a  c a ủ AE  và  BC . Tính kho ng cách gi a ủ SA .  ữ MN  và  AC .

28

́ ướ ẫ ử ụ ươ ơ ́ ng phap vec t H ng d n gi ả Cách1: S  d ng ph i:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = = Đ t: ặ = = =  Ta có: a c . 0, b c . 0, a b . 0 OA a OB b OS c , ,

= + = + uuuur uuur uuur uuur + MN MA AC CN uuur uuur + SD AC uuur CB

+ + = = - -

(

(

1 2 uuur uuur uuur ) + SO OD AC 1 2 uuur uuur ) + CO OB r a r c 1 2 1 2 3 2 1 2

= -

AC

a

2

S

E

P

M

c

A

D

a

b

O

B

C

N

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ạ G i ọ PQ  là đo n vuông góc chung c a ủ MN  và  AC , ta có:

+ = = + uuuur uuur uuuur uuur uuur + PQ PM MA AQ xMN uuur uuur + SD y AO 1 2

= = - - - - - - - -

(

)

( + x

) 1

x r a r + c r r c b r ya r c r b 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 � � � � � � � + y � � r � x a � �

(

) 1

2

+ + = = - (cid:0) x r 2 a 0 (cid:0) (cid:0) 0 1 4 � � (cid:0) uuur uuuur =�� PQ MN uuur uuur � =�(cid:0) PQ AC 0 x � � = y � + = (cid:0) 0 1 3 2 (cid:0) 3 2 (cid:0) � 3 y � 2 � � � � � y 2 � (cid:0) � r 3 �+ 2 x a � 2 � r � 2 x a � �

a 2 = - = 2 = 2 � � � uuur PQ r b PQ OB = PQ 1 2 1 4 a 8 4

́ ươ ượ ̉ ng phap tr t điêm Cách 2: Ph

(cid:0) (cid:0) MP AD / / NC AD / / (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ Ta có: ; nên t giác MNCP  là hình bình hành = = MP AD NC AD (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2

29

(

)

(cid:0) SAC / /MN

(

)

a

2

=

=

=

=

=

(

)

)

)

)

)

�

d MN AC

BO

BD

;

( ( d N SAC ;

( ( d B SAC ;

1 2

1 4

4

1 2

^ (cid:0) BO SO ^ (cid:0) � � BO SAC Do hình chóp SABCD đ u ề ^ (cid:0) BO AC

Bai 14̀ : (K­ A 2006)

D

A

1

1

Cho hình

C

ạ

B

1

ể ậ l p ằ t là trung đi m c a

H

ữ ươ   ng ph   a. G i ọ M, N  ủ AB và CD. Tính  ẳ   ườ ng th ng

A

D

K

ABCD.A1B1C1D1 có c nh b ng  ầ ượ l n l ả theo  a  kho ng cách gi a hai đ A1C và MN.

N

M

ươ ̣ ́ ng: Phân   tích,   đinh   h

B

C

ế ệ

ậ

ừ ế ặ ẳ ả Theo   giả   ố ể   thi t,   vi c   tính   th   tích   các   kh i   chóp ễ   S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là d  dàng. ệ ế ể V y ta có th  nghĩ đ n vi c quy vi c tính   kho ng cách t ệ  P đ n m t ph ng (AMN)

ướ ẫ ươ ợ ọ ổ ng pháp hình h c không gian t ng h p H ng d n gi ả Cách 1: Ph i:

Ta có MN // BC nên MN // (A1BC)

Do đó d (MN, A1C) = d (MN, (A1BC)) = d (M, (A1BC)).

1

1 2

ọ ể G i H = AB A∩ 1B và K là trung đi m c a BH thì MK // AH và MK =  ủ

AH.

A1B.

a

2

Do AB1 (cid:0) Do CB (cid:0) MK (cid:0) MK (cid:0) A1B nên MK (cid:0)  (BAA1B1) nên CB (cid:0) (A1BC).

1C) = d (M, (A1BC)) = MK =

1 4

1 2

4

ậ V y d (MN, A AH = AB1 =

ươ ạ ộ ng pháp to  đ  trong không gian Cách 2: Ph

ệ ụ ạ ộ ớ Xét h  tr c to  đ  Oxyz v i:

A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), C (a; a 0), D (0; a; 0)

A1 (0; 0; a), B1 (a; 0; a), C1 (a; a; a) D1 (0; a; a)

30

uuur 1A C

a 2

(cid:0) ươ M ( ; 0; 0) và = (a; a; ­ a) cùng ph ng

uuur = (1; 1; ­1);  BC

ươ ớ v i ớ = (0; a; 0) cùng ph ng v i

r u r v

=

r n

= (0; 1; 0).

1BC) là

r r ,� � u v = (1; 0; 1).  � �

ặ ẳ ủ Khi đó VTPT c a m t ph ng (A

1BC): x + z ­ a = 0.

ươ ẳ ặ ổ Ph ng trình t ng quát m t ph ng (A

a

2

Ta có MN // BC nên MN // (A1BC)

4

Do đó d (MN, A1C) = d (MN, (A1BC)) = d (M, (A1BC)) =

ứ ổ ủ ụ ể ố ả Cách 3: Áp d ng công th c đ i kho ng cách và tính th  tích c a kh i đa

di nệ

Ta có MN // BC nên MN // (A1BC)

Do đó d (MN, A1C) = d (MN, (A1BC)) = d (M, (A1BC)).

1BC) = B nên

1

ặ

(

)

(

)

(

)

=

) ( d M, A BC = d A, A BC

1

1

) )

MB 1 = AB 2

1 2

1

3

2

a

2

=

=

=

(cid:0) (A∩ M t khác AM  ( ) ( d M, A BC ( ) ( d A, A BC

S

V

A B BC . 1

A BC 1

A ABC 1

ABCD A B C D . 1 1 1 1

1 2

2

1 V= 6

a 6

V 3

a

2

A ABC 1

=

=

)

)

( ( d A A BC ,

.

Mà và D

1

1BC)) =

SD

1 2

1 2

4

A BC 1

ậ V y d (M, (A .

̀ ướ ượ ế ấ ẫ ­ Qua ví d  nay ta th y, n u h c sinh đ c h

ng d n và phân tích c ể ọ ầ

ụ ờ ế ợ ề ớ ầ ế ệ ằ ụ   ể ồ   th  đ ng th i k t h p v i máy tính c m tay các em có th  nhanh chóng cho đáp ố s  chính xác. Đi u này c n thi ắ t cho các bài thi b ng tr c nghi m khách quan.

ạ ằ Bài 15. Cho hình chóp đ u ề S.ABCD có c nh bên b ng

ườ ữ ạ   a 2 , góc gi a c nh 600. G i ọ O là tâm hình vuông ABCD. Tính theo a kho ngả   ằ ẳ ng th ng ặ bên và m t đáy b ng  ữ cách gi a hai đ AB, SC.

ươ ̣ Phân   tích,   đinh   h

ấ ườ

ạ ộ

ườ ́ Ta  ng:   ẳ   ng   th ng th y   AB   và   SC   là   hai   đ ữ ả   chéo nhau nên kho ng cách gi a AB ằ   và SC b ng đ  dài  đo n vuông góc ẳ ủ   ng   th ng.   Tuy chung   c a   hai   đ

31

ị ạ ủ ả ơ

ả ặ ẳ

ệ ự ứ ả

ẳ ặ ệ ạ ẳ

ể ệ ư ẳ ặ ặ

ự ả ớ

ừ ể ế ả ẳ nhiên,vi c xác đ nh đo n vuông góc chung c a AB và SC là không đ n gi n, do ệ ớ   ữ đó ta th c hi n đi tính kho ng cách gi a AB và m t ph ng (SCD) song song v i ể   ừ ộ ự ườ  m t đi m ng th ng SC. Khi đó ta th c hi n tính kho ng cách t nó và ch a đ ầ ẳ ế   tùy ý trên AB đ n m t ph ng (SCD), ch ng h n là đi m A. Lúc này ta c n xác ế ủ ứ ạ   ị đ nh hình chi u c a A lên m t ph ng (SCD), nh ng vi c làm này g p ph c t p ệ   ẳ ặ ọ vì ph i ch n m t ph ng đi qua A và vuông góc v i (SCD). Do đó ta th c hi n ặ ổ  đi m O đ n m t ph ng (SCD). đ i kho ng cách tính t

ướ ẫ ả H ng d n gi i:

ươ ổ ọ ợ ng pháp hình h c không gian t ng h p Cách 1: Ph

(cid:0) ọ ể G i M là trung đi m CD, thì (SOM) (SCD) và (SOM) (cid:0) (SCD) = SM.

(cid:0) ẻ ặ ẳ Trong m t ph ng (SOM), k  OK SM (K (cid:0) SM) thì OK (cid:0) (SCD).

Do đó d (O, (SCD)) = OK.

a a 6 2 ừ ượ T  tam giác vuông SAO ta tính đ c AO = , SO = 2 2

ằ ộ ạ Hình vuông có đ  dài c nh b ng a nên OM = a 2

a ừ ượ T  tam giác SOM ta tính đ c OK = . 3 14

(cid:0) ặ M t khác ta có AB // CD và AB (SCD) do đó AB // (SCD).

=

=

2

V y ậ d (AB, CD) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)).

) )

) )

AC OC

( ( d A SCD , ( ( d O SCD ,

Mà  AO (cid:0) (SCD) = C nên

a (cid:0) d (A, (SCD)) = 2 d (O, (SCD)) = 2OK = . 42 7

ươ ế ợ ứ ọ ổ ng pháp hình h c không gian t ng h p ợ  k t h p công th c th ể Cách 2: Ph

tích

Ta có AB // CD và AB (cid:0) (SCD) do đó AB // (SCD).

ậ V y d (AB, CD) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)).

a

6

2

a 2 ừ ượ T  tam giác vuông SAO ta tính đ c AO = , SO = 2

32

a

7

2

ừ ượ T  tam giác vuông SOM ta tính đ c OM = , SM = a 2

D ACD

2 7 a 4

3 6 a 12

S ACD

SOS . .SM.CD = = . Khi đó S∆SCD = và VS.ACD = 1 3 1 2

SCD

a ậ V y d (A, (SCD)) = = V .3 S D 42 7

ươ ng pháp ộ ọ t a đ  trong không gian Cách 3: Ph

ế ủ thi ớ   t c a bài toán ta xét h  tr c t a đ  Đê­cac vuông góc Oxyz v i T  gi

̀ ́ ́ ệ ụ ọ ộ ́ ừ ả ̀ ̣ ̣ ̉ ̣ ̣ gôc toa đô la: O (0; 0; 0), va cac điêm co toa đô

a a a a 2 6 2 2 2 ;0;0 0;0 ;0 ;0;0 ;0 , C , S , D A , B 2 2 2 2 2 � � � � -� � � � � � � � � � � � 0; � � � . � � � a � � � � �

, a d (AB, CD) = = 42 7 � -� 0; � uuur uuur uuur � � AB SC AC . � � uuur uuur � AB SC , � � �

ể ự ư ệ Chú ý: Ta có th  th c hi n tính cách khác nh  sau:

a 6 ươ ẳ ặ Khi đó ta có ph ng trình m t ph ng (SCD): = 0. 3 x ­  3 y ­ z + 2

a Do đó d (A, (SCD)) = . 42 7

ề Bài 16. Cho hình h pộ  ABCD.A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) D(cid:0) có A(cid:0) ABD hình chóp đ u và

ả AB =  ố ộ  ABCD.A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) D(cid:0)  và kho ng cách gi a ữ

ườ AA(cid:0)  = a. Tính theo a th  tích kh i h p  hai đ ể AB(cid:0)  và A(cid:0) C(cid:0) . ẳ ng th ng

ướ ẫ ả H ng d n gi i:

33

ể a. Tính th  tích kh i h p ố ộ ABCD.A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) D(cid:0)

ủ ọ ọ Do A(cid:0) ABD là hình chóp đ u, khi đó g i G là tr ng tâm c a tam giác ABD

=

ủ ộ ề  (ABD) hay A(cid:0) G là chi u cao c a hình h p. ề thì A(cid:0) G (cid:0)

AG

a 3 3

ủ ể ọ G i O là giao đi m c a BD và AC thì

=

= 2

A G

2 A A AG

a 6 3

3

a

2

3

=

(cid:0)=

(cid:0) (cid:0) - Trong tam giác A(cid:0) AG ta có

V

A G.S

ABCD.A B C D

ABCD

2

2a 2

và Do đó SABCD = 2SABD = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ữ ả ườ b. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng ẳ AB(cid:0)  và A(cid:0) C(cid:0)  chéo nhau

ẳ ườ ươ ̣ (cid:0)   và A(cid:0) C(cid:0)   là hai đ ́ ng: Phân tích, đinh h

ộ ằ ả ữ nhau nên kho ng cách gi a AB

ị ẳ ườ ạ ng th ng. Tuy nhiên,vi c xác đ nh đo n vuông góc chung c a AB

ự ữ ệ ả

ườ ứ ự ẳ hai đ A(cid:0) C(cid:0)   là ph c t p, do đó ta th c hi n đi tính kho ng cách gi a A ph ng (AB ứ ạ (cid:0) C) song song v i nó và ch a đ ớ

ừ ộ ế ể ẳ ẳ ng th ng AB (cid:0) C(cid:0)   đ n m t ph ng (AB ặ m t đi m tùy ý trên A

ủ ế ặ ầ

ầ ặ ẳ ặ ọ ớ

ự ệ ả ấ Ta th y AB ng th ng chéo (cid:0)  và A(cid:0) C(cid:0)  b ng đ  dài đo n vuông góc chung c a ủ   ạ (cid:0)   và  ủ ệ (cid:0) C(cid:0)   và m tặ   (cid:0) . Khi đó ta th c hi n ệ   (cid:0) C), ch ngẳ   ả tính kho ng cách t ẳ   ị ể ạ h n là đi m H. Lúc này ta c n xác đ nh hình chi u K c a H lên m t ph ng (AB(cid:0) C), do đó ta c n ch n m t ph ng đi qua H và vuông góc v i m t ph ng ẳ   (AB(cid:0) C), ta th c hi n gi ư i nh  sau:

ươ ổ ợ ọ ng pháp hình h c không gian t ng h p Cách 1: Ph

ể ọ G i   H   là   giao   đi m   c a ủ B(cid:0) D(cid:0)   và   A(cid:0) C(cid:0) .  Do   A(cid:0) C(cid:0)   //   AC   nên  A(cid:0) C(cid:0)   //

(AB(cid:0) C)

Do đó d (A(cid:0) C(cid:0) , AB(cid:0) ) = d (A(cid:0) C(cid:0) , (AB(cid:0) C)) = d (H, (AB(cid:0) C))

ẻ ẳ ặ ắ K  HE // A (cid:0) G (E (cid:0) AC) thì ta có m t ph ng (B (cid:0) HE) vuông góc và c t m t ặ

ẳ ph ng  (AB (cid:0) C) theo giao tuy n Bế (cid:0) E.

(cid:0) ẻ K  HK B(cid:0) E (K (cid:0) B(cid:0) E) thì HK (cid:0) (AB(cid:0) C) hay d (H, (AB(cid:0) C)) = HK

34

=

+

Trong tam giác B(cid:0) HE ta có:

2

2

2

11 2 2a

1 HK

1 B H

1 HE

a 22 11

(cid:0) = HK = (cid:0)

ươ ế ợ ứ ọ ổ ng pháp hình h c không gian t ng h p ợ  k t h p công th c th ể Cách 2: Ph

tích

ẳ ườ ươ ̣ (cid:0)   và A(cid:0) C(cid:0)   là hai đ ́ ng: Phân tích, đinh h

ộ ằ ả ữ nhau nên kho ng cách gi a AB

ị ẳ ườ ạ ng th ng. Tuy nhiên,vi c xác đ nh đo n vuông góc chung c a AB

ự ữ ệ ả

ườ ứ ự ẳ hai đ A(cid:0) C(cid:0)   là ph c t p, do đó ta th c hi n đi tính kho ng cách gi a A ph ng (AB ứ ạ (cid:0) C) song song v i nó và ch a đ ớ

ừ ộ ế ể ẳ ng th ng AB (cid:0) C(cid:0)   đ n m t ph ng (AB ặ m t đi m tùy ý trên A ả tính kho ng cách t

ủ ế ể ầ

ứ ạ ệ ệ ặ ị

ừ ể ư ấ Ta th y AB ng th ng chéo (cid:0)  và A(cid:0) C(cid:0)  b ng đ  dài đo n vuông góc chung c a ủ   ạ (cid:0)   và  ủ ệ (cid:0) C(cid:0)   và m tặ   (cid:0) . Khi đó ta th c hi n ệ   (cid:0) C), ch ngẳ   ẳ (cid:0)   lên m t ph ng (cid:0) . Lúc này ta c n xác đ nh hình chi u c a A ẳ   ặ ị ạ h n là đi m A (AB(cid:0) C), tuy nhiên vi c xác đ nh này g p ph c t p do đó ta th c hi n tính kho ng ả   ự cách t đi m B nh  sau:

3

a

2

(cid:0) =

ễ ấ D  th y d (A (cid:0) , (AB(cid:0) C)) = d (B, (AB(cid:0) C))

V

ABCD.A B C D

1 6

12

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có VB(cid:0) .ABC =

=

=

B E

+ 2 B H HE

a 33 6

2

(cid:0) (cid:0) Trong tam giác B(cid:0) HE ta có

∆AB(cid:0) C =

11 (cid:0) = a ệ Khi đó tam giác AB(cid:0) C có di n tích S . . B E AC . 1 2 4

B .ABC

=

3V S

a 22 11

AB C

(cid:0) d (B, (AB(cid:0) C)) = . (cid:0) D

ươ ng pháp ộ ọ t a đ  trong không gian: Cách 3: Ph

ừ ả ệ ụ ọ ộ T  gi thi ớ   t c a bài toán ta xét h  tr c t a đ  Đê­cac vuông góc Oxyz v i

́ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉ ế ủ gô toa đô O (0; 0; 0), va toa đo cac điêm:

a

a

3

6

6

3

3

6

;0;

;0;

;

6

3

a 5 6

3

a 3

a a ; 2

3

� a � � �

� , C(cid:0) � � �

� � � �

� , B(cid:0) � � �

� � � �

� . � � �

- - - 3 ;0;0 A 2 � a � � � , A(cid:0) � �

35

,

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a 22 11

uuuur uuur uuuur � � A C AB AC . � � uuuur uuur � A C AB , �

� �

Ta có d (A(cid:0) C(cid:0) , AB(cid:0) ) = = (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ể ự ư ệ Chú ý: Ta có th  th c hi n tính cách khác nh  sau:

̃ ừ ệ ọ ộ ươ ẳ ̣ T  h  t a đ  đa chon ta có ph ặ ng trình m t ph ng (AB (cid:0) C): 2 2 y ­  3 z

= 0

a 22 11

d (A(cid:0) C(cid:0) , AB(cid:0) ) = d (A(cid:0) C(cid:0) , (AB(cid:0) C)) = d (A(cid:0) , (AB(cid:0) C)) =

ộ ố ữ ươ ậ ả ̉ ̣ ̉ 4. M t s  bài t p tính kho ng cách gi a đ ̀ ̀ ng thăng va măt phăng

song song

ứ ấ ả ằ a. ạ t c  các c nh b ng Bài 17:  Cho hình chóp t

́ ữ ườ ả ẳ Tinh kho ng cách gi a đ giác đ u   ẳ ng th ng ề S.ABCD  có t ặ AB và m t ph ng ( SCD).

́ ́ ́ ̀ ư ̣ ̉ Ta   co   AB//   (SCD)   nên   khoang   cach   t ̀   AB   đên   (SCD)   băng Nhân   xet:  ́

́ ́ ư ̉ ̉ ̣ ̉ khoang cach t ̀ ̀  điêm A (hoăc 1 điêm năm trên AB) đên (SCD).

ướ ẫ H ng d n gi ả : G i ọ O là tâm hình vuông ABCD i

SO ABCD (

)

(

SCD

)

^� OH SI OH

OI =

^ ^ ^ Khi đó , ke ̉ OI CD ;

AD a = 2 2

a

2

a

2

2

=

=

ượ ́ Ta tinh đ c:

OA

;

SO

= 2 SA OA

2

2

-

1

a

6

=

INCLUDEPICTURE   "C:\\Users\\admin\\AppDat a\\Local\\Temp\\FineReader 11.00\\media\\image9.jpeg"  \* MERGEFORMATINET

=� OH

2

2

1 OH

1 + 2 SO OI

6

a

6

=

́ ̀ Va ta co

= d AB SCD d A SCD )

;(

;(

(

(

)

6

̣ Vây:

ậ ươ ng

ằ ữ a.  Tinh   kho ng   cách   gi a   đ ABCD.A'B'CD'  ườ   ng

́ ẳ Bài 18:  Cho hình l p ph ả CB'D'). ạ có   c nh   b ng   ặ th ng ẳ BD và m t ph ng (

́ ́ ̀ ̀ ̣ ̉

̉ ̣ ̉

̃ ̀ ́ ̀ ́ Đây la bai toan tinh khoang cach t ́ ự ươ ở ̉ ̉ ̉ Nhân xet: ́ ̀ ư   ́ ̀ ươ ng thăng đên 1 măt phăng song song nên ta co 1 đ   ́ ́ ư thê tinh t bai 17, nh ng ng t ́  đây ta cung co thê tinh khoang cach băng

36

ươ ̣ ̣ ph ́ ng phap toa đô.

ẫ ừ ả ế ủ ệ ụ ọ ộ thi t c a bài toán ta xét h  tr c t a đ  Đê­cac ả : T  gi i

ướ H ng d n gi vuông góc Oxyz v i ớ

A (0; 0; 0); B (1; 0; 0); D (0; 1; 0); A’ (0; 0; 1);

C (1; l; 0); B' (l; 0; l); D' (0; 1; l); C’ (l; 1; l)

uuur 'CB

uuuur 'CD

= (0; ­1; 1); = (­1; 0; 1)

=

́ ́ ́ ́ ơ CB'D') co vec t

[

= (­1; ­1; ­1) ẳ ặ M t ph ng ( uuur uuuur r '; n CB CD ']

=

=

d BD CB D ;(

(

'

')

d B CB D

( ;(

'

')

3 3

a

3

ươ ẳ ặ ng trình m t ph ng ( CB'D') la  ̀ INCLUDEPICTURE  "C:\\Users\\admin\\A ppData\\Local\\Temp \\FineReader11.00\\m ̀    phap tuyên la edia\\image10.jpeg" \ *  MERGEFORMATIN ET Khi đo  ́ph X + y + z ­ 2 = 0

d BD CB D = (

;(

')

'

3

̣ Vây:

ộ ố ậ ả ữ   5. M t s  bài t p tính kho ng cách gi a

̣ ̉ hai măt phăng song song

ậ l p   ph Bài 19: Cho   hình

ươ   ng ) ( a ạ ặ ẳ ộ ằ ABCDA’B’C’D’ c nh b ng 1. M t m t ph ng

ườ ấ b t kì đi qua đ ng chéo B’D.

ữ ả ặ a) Tính kho ng cách gi a hai m t ph ng (ACD’) và (A’BC’)

(

ẳ )a ủ ệ ế ị ủ ặ ẳ ị sao cho di n tích c a thi ệ ắ   t di n c t

)a

A

N

B

b) Xác đ nh v  trí c a m t ph ng  ( ươ ậ ấ và hình l p ph ng là bé nh t. ở b i mp

z

ớ ̣

ươ

C

D

H

ạ

y

ệ

A'

B'

ở

x

ệ ả ừ

D'

C'

M

́ ộ   ươ V i   m t ng:   Phân   tích,   đinh   h ộ ệ   ọ ượ ậ c m t h ng ta luôn ch n đ hình l p ph ỉ ộ ợ ạ ộ   to  đ  thích h p, khi đó t o đ  các đ nh đã ế ữ ả t   nên   vi c   tính   kho ng   cách   gi a   hai bi   ẳ ễ   ặ m t ph ng (ACD’) và (A’BC’) tr  nên d ầ ớ ệ   dàng. V i ph n b, ta quy vi c tính di n tích ề ệ ệ ế thi    M t di n v  vi c tính kho ng cách t ẳ ế ườ ng th ng DB’. đ n đ

37

)

( ' 0;0;0

(

(

O D(cid:0) ọ ệ ạ ộ ố

) 0;1;1 ,

C C A B ể ấ ọ G i M là đi m b t kì trong

( ) ' 1;1;0 , ( M x

(cid:0) A x(cid:0) ờ ả Ch n h  to  đ  sao cho g c to  đ   ạ ộ L i gi i:  ) ( ) ( ) ' 1;0;0 , 1;0;1 ' 0;1;0 , ) ;0;0 ; 0 1 ứ ẳ ạ đo n th ng C’D’, t c

ễ ứ

(

)

)

) ' ,

= � a) D  dàng ch ng minh đ ( ( d ACD ượ c (ACD’) // (A’BC’) ( ) ( ) d A ACD ', ' ' A BC '

ẳ ặ ươ M t ph ng (ACD’) có ph ng trình:

=

=

(

)

)

)

)

�

( ( d ACD

) ' ,

A BC '

'

( ( d A ACD ',

'

1 3

+ - = y z x 0

)

a ắ ế ậ ươ b) Gi ả ử (  s ng có

(

c t (CDD’C’) theo giao tuy n DM, do hình l p ph ) a ặ ố ệ ớ ắ các m t đ i di n song song v i nhau nên ế     c t (ABB’A’) theo giao tuy n

ậ ế ệ B’N//DM và DN//MB’. V y thi t di n là hình bình hành DMB’N.

ế ủ ọ G i H là hình chi u c a M trên DB’. Khi đó:

(

)

DMB N

'

2

= S DB MH DB d M DB =� ' , ' . Ta có: DB = ' 3

2

- x + x 2 2 � � = = d M DB , ( ') 2 3 � ' uuuur uuuur � MD DB ; ' � uuuur DB '

DMB N

'

2 1 � � � � 2 � �

= + - - (cid:0) S x x 2 + = x 2 2 2 3 2 3 2

ứ ả ấ ẳ D u đ ng th c x y ra khi 1 x = . 2

DMB N

'

S M ấ ỏ ể ệ Nên di n tích nh  nh t khi , hay M là trung đi m D’C’ 1 2 � � ;0;0 � � � �

)

( M y 0;

(cid:0) M ;0 0; ươ ự ế Hoàn toàn t ng t n u 1 � � ;0 � � 2 � �

DMB N

'

S ậ ể ặ ấ ỏ ệ V y di n tích nh  nh t khi M là trung đi m D’C’ ho c M là trung

ể đi m D’A’.

ABCD .

'

(

DAB '

)'

DCBA ' ' ' ( BDC '

)

ươ ậ ằ ạ ng có c nh b ng a. Tính theo a

Bài 20: Cho hình l p ph ẳ ặ ả ữ kho ng cách gi a hai m t ph ng và .

38

(

DAB '

)'

ươ ọ ổ ợ ng pháp hình h c không gian t ng h p ờ ả Cách 1: Ph L i gi i:

( BDC '

)

ẳ ặ ả ươ ̣ ữ Kho ng cách gi a hai m t ph ng và

( BDC '

(

DAB '

)'

Phân tích, đinh h ) ằ ́ ng:   ả ừ ộ ể ấ ặ ẳ song song b ng kho ng cách t m t đi m b t kì trên m t ph ng

DAB '

)'

(

ẳ ọ ầ ặ ế đ n m t ph ng ể . Tuy nhiên ta c n ch n đi m sao cho qua đi m đó có

ặ ẳ ớ ế ặ ọ , khi đó n u g i O và O

ẳ ủ ể ể (cid:0)  l n l ẩ ượ   t ỏ   ể ABCD và  A 'B'C'D' thì đi m O chính là đi m th a

m t ph ng vuông góc v i m t ph ng  là tâm c a hai hình vuông  mãn yêu c u.ầ

l n l ẩ ượ

(

DAB '

)'

( BDC '

)

(cid:0) ọ ủ G i O và O t là tâm c a hai hình vuông ABCD và A 'B'C'D'.

)

( BDC ' (

)

( DAB ' )' // ễ ấ   D  th y nên d ( (AB'D') , ) = d (O, ).

ặ ẳ ặ ắ M t khác m t ph ng

(

DAB '

)'

(cid:0) ẻ theo  giao  tuy n  ế O'A ,  khi  đó  k   OK A 'C'CA đi qua O và vuông góc và c t m t ph ng ẳ     O'A   (K(cid:0) ặ   O'A )   thì   OK  (cid:0)

(

DAB '

)'

(

DAB '

)'

ậ V y d (O, ) = OK

3

a 3

a 2 Trong tam giác vuông  O'OA ta có  O'O  = a và OA = , suy ra OK = 2

ươ ế ợ ứ ổ ọ ng pháp hình h c không gian t ng h p ợ  k t h p công th c th ể Cách 2: Ph

(

DAB '

)'

tích

( BDC '

)

ươ ẳ ặ ả ̣ ữ Kho ng   cách  gi a  hai  m t  ph ng và

( BDC '

(

DAB '

)'

Phân  tích,  đinh  h ) ằ ́ ng:   ả ừ ộ ể ấ ẳ ặ song song b ng kho ng cách t m t đi m b t kì trên m t ph ng

ẳ ả ặ ế đ n m t ph ng ọ i 1, ta ch n đi m ớ . Khác v i cách gi ể C' .

(

DAB '

)'

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có  C'A(cid:0) =  O' nên d ( C ,(AB'D') ) = d ( A ,(AB'D') )

39

V (cid:0)

S (cid:0)

(cid:0) =

A .B D A

B D A

3 a 6

2 3 a 2

(cid:0) (cid:0) D ặ M t khác và =

A .B D A

3

A ,(AB'D')

3V S

B D A

a 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ V y d ( ) = = (cid:0) (cid:0) D

ươ ng pháp ộ ọ t a đ  trong không gian Cách 3: Ph

DAB )' ' ( BDC '

ặ ẳ ̣

( ữ Kho ng   cách  gi a  hai  m t  ph ng ẳ

và  ) ́ ươ ng:   ả ể ấ ặ m t đi m b t kì trên m t ph ng

(

ả ừ ộ song song b ng kho ng cách t )' ằ DAB ' ể ẳ ọ Phân   tích,  đinh  h ( BDC ) ' ặ ế đ n m t ph ng ,ta ch n đi m B.

ế ủ ệ ụ ọ ộ ớ thi t c a bài toán ta xét h  tr c t a đ  Đê­cac vuông góc Oxyz v i

(

DAB '

)'

ừ ả T  gi C (0; 0; 0), B (a; 0; 0), A (a; a; 0), C(cid:0)  (0; 0; a) B(cid:0)  (a; 0; a), D(cid:0)  (0; a; a).

3

ươ ẳ Ta có ph ặ ng trình m t ph ng : x + y + z ­ 2a = 0

B,(AB'D') ) =

a 3

ậ V y d ( .

̀ ộ ố ậ ̣ 6. M t s  bài t p đê nghi

2

ằ ể AC  ^   và  M  là trung đi m c a (BCD)  và  BCD  là tam giác  ́ ả   ủ BD. Tinh kho ng a.  Bi

AC a= ẳ AM

ế ườ cách t t  ế ng th ng

ả Bài 1:  Cho hình chóp  A.BCD  có c nh  ạ ề ạ đ u c nh b ng    ừ C đ n đ Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ^ ho ng cách t ế AD = 2a, SA = a. Tinh ḱ ậ nh t. Bi t (ABCD), đáy ABCD là hình chữ  ừ A đ n (ế SCD).

Bài 3. K­D 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t

ớ ẳ ẳ ̣ SBC) vuông góc v i m t ph ng (

ể ố . Tính th  tích kh i chóp iạ   ặ ABC).  S.ABC  và kho ngả t  ế SB  = 3

030 SAC) theo a.

BA = 3a, BC = 4a; m t ph ng ( và   ﾷ ặ a= 2 ế B, canh  Bi cách t ặ SBC = ẳ ừ ể B đ n m t ph ng ( SB  đi m

Bài 4. (K­D 2009).

ụ ứ Cho hình lăng tr  đ ng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông t

ạ ẳ

ủ ố ứ ệ ủ ể ả di n IABC và kho ng cách t ạ i B,   I là giao  ừ

ế ể ẳ AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. G i ọ M là trung đi m c a đo n th ng A’C’, ể ể đi m c a AM và A’C. Tính theo a th  tích kh i t ặ A đi m đ n m t ph ng (IBC)

= ̀ Bai 5: ( = ế ể . Hình chi u vuông góc c a  đi m AB a AD a , 3

ủ ể ớ

ủ ữ ụ ủ ể ằ ả ố nh t  ậ (ABCD) trùng v i giao đi m c a AC và BD, góc gi a hai m t ph ng ( 0. Tính th  tích c a kh i lăng tr và (ABCD) b ng 60 ẳ  đã cho và kho ng cách t

K­ B 2011). Cho lăng tr  ụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ  ẳ   ặ A1  trên m t  ph ng ặ ADD1A1)  ừ  40

ế ặ ẳ đi m ể B1 đ n m t ph ng ( A1BD) theo a.

ề ằ ặ ớ

.S ABCD  có đáy là hình vuông c nhạ   THPTQG­2019).Cho hình chóp  ặ   SAB   là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ẳ   ừ D   đ n m t ph ng

ư ế ẽ ẳ ả ặ ọ

̀ Bai 6: ( ẳ ặ a , m t bên   ph ng đáy (minh h a nh  hình v  bên). Kho ng cách t ) ( SAC b ngằ

(cid:0) ̀ Cho hình lăng tr

ABC A B C(cid:0) . ả

a . G i  ọ M   là trung đi m c a

(cid:0)   có t tấ   ừ M

(

)

A BC(cid:0)

ụ ứ ́ ể đ ng   ủ CC(cid:0) . Tinh kho ng cách t

ẳ ̀ THPTQG­2020­Lân 1). Bai 7: ( ằ ạ ả c  các c nh b ng   ặ ế đ n m t ph ng .

ứ ạ

ạ . Các c nh bên SA = SC; SB = SD . O, góc giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi c nh a, tâm 3a= Bài 8.Cho hình chóp t 060 BAD =

ả ừ ể ế ẳ a) Tính kho ng cách t ặ  đi m O đ n m t ph ng (SBC).

ữ ả ườ ẳ b) Tính kho ng cách gi a các đ ng th ng SB và AD.

ứ ộ Bài   9.  Cho   t

= = , ạ ể  là trung đi m các c nh 1

= . G i M, N theo th  t ứ ự ữ ườ ả ẳ diên   OABC   có   OA,   OB,   OC   đôi   m t   vuông   góc   và   AB OA Tính  . ọ OA OB OC kho ng cách gi a hai đ ng th ng OM và CN.

ụ ứ Bài 10. (K­ D 2008).  Cho lăng tr

ể ạ ọ

ụ ủ ữ ể ả ố

ẳ đ ng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam ủ ạ   giác vuông, AB = BC = a, c nh bên AA' =  a 2. G i M là trung đi m c a c nh BC. Tính theo a th  tích c a kh i lăng tr  ABC.A'B'C' và kho ng cách gi a hai   ườ đ ng th ng AM, B'C.

̀

ầ ượ ể ạ Bai 11: ( a. G i ọ M và N l n l K­A 2010).  Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông  ủ AB và AD; H là giao t là trung đi m c a các c nh c nh ạ

ể ặ ẳ ớ đi m c a ủ CN v i ớ DM. Bi ABCD) và . SH a= 3

ữ ả ườ Tính kho ng cách gi a hai đ t ế SH vuông góc v i m t ph ng ( ẳ DM và SC theo a. ng th ng

ớ

ặ ể ặ ẳ ẳ ủ AB; m t ph ng qua

i ạ B, AB = BC = 2a; hai m t ph ng ( ABC). G i ọ M là trung đi m c a  ặ ữ ế ẳ i ạ N. Bi

ườ ữ ể Bài 12. (K­ A 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông  ặ   SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t SM và song song v iớ   o. Tính  ằ AB và SN theo t góc gi a hai m t ph ng ( ả S.BCNM và kho ng cách gi a hai đ SBC) và (ABC) b ng 60 ẳ ng th ng

cân t ẳ ph ng ( BC, c t ắ AC t ố th  tích kh i chóp  a.

Bài 13. (THPTQG­2018).Cho hình chóp

.S ABCD  có đáy  ABCD  là hình chữ  SA a= . Tinh kho ng ́ ả

BC ườ

ặ ớ ẳ ,  SA  vuông góc v i m t ph ng đáy và

a= 2 ẳ ng th ng

AC  và  SB .

nh t, ậ AB a= ,  ữ cách gi a hai đ

41

̀ ̀

.S ABC  có đáy  ABC  là tam  =SA a . G iọ

ẳ

AC và  SM .

́ Cho hình chóp  ớ ữ ườ ể ẳ ng th ng THPTQG­2020­Lân 2). i ạ A ,  AB = a .  SA  vuông góc v i m t ph ng đáy và  ặ ả ủ BC . Tinh kho ng cách gi a hai đ Bai 14: ( giác vuông cân t M là trung đi m c a

́ ́ơ ̣ ̉ ̀ Bai 15:

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông goc v i măt phăng ( ề ầ ượ ặ ABCD là hình thang vuông có chi u cao AB = a. G i ọ I và J l n l ABCD),    t là

ữ ườ ả ủ AB và CD. Tính kho ng cách gi a đ ẳ ng th ng IJ và (SAD). m t đáy  ể trung đi m c a

ở A và AD = 2a. Cho hình thang vuông ABCD vuông Trên đ ngườ ̀ Bai 16:

ẳ ấ ̉ th ng vuông góc t ạ D v i (ớ ABCD) l y đi m ể s v i ớ SD i . Tính khoang cách = a 2

̃ư ườ gi a đ ng th ng ẳ DC và (SAB).

ụ ứ ạ ằ giác đ u

Cho hình lăng tr  t ầ ượ ả t là trung đi m c a ề ABCD.A' B'C'D' có c nh đáy b ng  a.  ữ   ủ AD, DC, A' D'. Tính kho ng cách gi a

ặ ̀ Bai 17:  G i ọ M, N, P l n l hai m t ph ng ( ể ẳ MNP) và  (ACC').

ữ ̀ Bai 18:

ộ Cho hình h p ch  nh t  ạ ữ ặ ả ặ ớ ộ ậ ABCD.A'B'C'D' có AB = 4, AD = 3. M tặ   ACD') t o v i m t đáy m t góc 60°. Tính kho ng cách gi a hai m t đáy

ộ ẳ ph ng ( ủ c a hình h p.

Ụ Ả Ệ IV. HI U QU  ÁP D NG

̀ ̀ ọ ừ ả ạ ớ ̣

́ Trong năm h c v a qua,gi ng d y ap dung đê tai cho 2 l p 11A2, 11A1 tôi ế ả ạ ượ ấ ư c nh  sau: th y k t qu  đ t đ

ế ọ ể ầ ắ ắ ắ ượ ế ề ­ H u h t h c sinh hi u, n m ch c, kh c sâu đ ầ   ứ c ki n th c v  ph n

h c.ọ

ọ ả ổ ữ   i bài t p. T o không khí sôi n i, có nh ng

ẻ ạ ớ ứ ­ H c sinh h ng thú trong gi ệ phát hi n m i m  có tính sáng t o trong gi ậ ạ ờ ọ  h c.

ấ ẫ ớ ạ ượ ữ ụ   c nh ng m c

ứ ớ ọ ủ ộ ­ Giáo viên r t nhàn trong quá trình lên l p mà v n đ t đ ủ ế ạ t d y. Ch  đ ng cùng khám phá tri th c v i h c sinh. đích c a ti

ọ ụ ượ ậ ặ ữ ớ c các bài t p khác đ c bi t là v i nh ng đ ề

­ H c sinh áp d ng làm đ ệ ệ ạ ủ ọ ủ ộ ự bài có tính phát hi n và phát huy tính tích c c ch  đ ng sáng t o c a h c sinh.

́ ́ ̀ ́ ́ ượ ̉ ̉ ̉  c kha

̀ ́ ́ ́ ̀ ­ Tiên hanh cho cac em lam bai kiêm tra 45 phut thi kêt qua thu đ ̀ ̀ ơ ơ ươ ố ̣ ́ c khi ap dung đê tai, kêt qua t ̀ ̉ h ng kê: quan h n so v i tr

L pớ Điêm̉ < 3.5 3.5(cid:0) Điêm̉ < 5.0 5,0 (cid:0) Điêm̉

12A2 5% 25% 70%

42

12A1 0% 15% 85%

43

̀ Ậ Ế PHÂN III. K T LU N

̀ ́ ̀ ự ̣ ̀ 1. Qua trinh th c hiên đê tai

̣ ̣ ̉ ̉ TT ̀ơ Th i gian Nôi dung công viêc San phâm

́ ́ ̀ ư ̉

̉ ̣ ̣ Chon đê taì ̀ 1 ̀ ́ ́ ́ ư T  thang 3 đên thang 5/ 2020 ́ ̀ ́ ́ ơ ̀ Nghiên   c u   vê   cac   bai   khoang   ́ ở  cach, khao sat cac em hoc sinh  2 l p 11A1 va 11A2

́ ̀ ́ ư ươ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ 2 ́ ́ ́ ư T  thang 5 đên thang 7/2020 ợ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̣ ̣ ̉ ̉   Nghiên c u thêm tai liêu, trao đôi ́ ơ ở  ơ v i đông nghiêp, tông h p c  s ́ ly thuyêt va hê thông bai tâp ̀   ng   sang Đê   c ̀ ́   kiên; Hê thông bai tâp điên hinh̀

̃ ư ̣ ̣

̀ ̀ ́ơ ̣ ̣ ̉ 3 ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ́ ư T  thang 7 đên thang 9/2020

ự Đ a vao day th c nghiêm ôn thi cho   l p   12A3   năm   hoc   2020­ ́ ̉ ơ   2021 va ôn thi hoc sinh gioi l p 11 ́ ự     tac Theo   doi   s ̀ ̀ ̀ đông cua đê tai va   ̣   ự s  tiên bô cua hoc sinh

̀ ̀ ́ ư ̣

̀ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̉ Thông kê kêt qua 4 ́ ́ơ ́ ́ ư T  thang 10 đên thang 12/2020

́ ̃ ̀ ơ ̉ ́ Nghiên c u thêm tai liêu va cac đê   thi   qua   cac   năm.   Day   ôn   thi THPTQG cho 2 l p 12A1, 12A2 ́ (La l p 11A1, 11A1 đa khao sat)

́ ư

̀ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ̀ Hoan thiên đê tai ́ư Đê tai chinh th c 5

́ ̀ T  thang 12/2020 đêń   thang 2/2021

́ ̀ ̉ ̀ ̃ 2. Y nghia cua đê tai

ọ ệ ố ề ổ

ả ủ ề ả đó có kĩ năng gi

ộ ộ ố ừ ể ứ ụ ể

­  Giúp h c sinh có cái nhìn t ng quát và có h  th ng v  bài toán tính ạ i thành th o các bài toán thu c ch  đ  này và kho ng cách, t   ự   ế ơ h n th  có th   ng d ng chúng vào bài toán tính th  tích và m t s  bài toán th c ế  khác.  t

ả ế ộ ươ ệ ể ề ả i quy t m t cách t ủ   t đ  bài toán v  tính kho ng cách c a

ườ ẳ ẳ ố ng đ i tri ặ ­ Gi ố ượ các đ i t ể ng đi m, đ ng th ng và m t ph ng.

ệ ẽ ố ư ườ ể

ả

­ Thông qua vi c v  hình, tính toán, tìm con đ ạ ự ủ ọ ng t ạ ớ ủ ộ ậ ươ ệ ầ ộ cách, t o cho các em kh  năng làm vi c đ c l p, sáng t o, phát huy t tích c c c a h c sinh theo đúng tinh th n ph ả   i  u đ  tính kho ng ố   i đa tính ụ   ng pháp m i c a B  Giáo d c và

44

ạ ề ề ắ ọ ụ ượ c tâm lí s ợ

ề ọ ạ Đào t o. Đi u quan tr ng là t o cho các em ni m tin, kh c ph c đ bài toán v  hình h c không gian.

̀ ự ụ ệ

ươ ư ỹ ệ ố ­ Giúp cho giáo viên th c hi n t t nhi m v  bôi d ọ ng giáo d c, giúp h c sinh hình thành t

́ ụ ộ ướ ả ợ ấ ượ ế ể ̣ ̃ ng chuyên môn và  duy logic k  năng ặ i đúng và thích h p khi g p môt sô bài toán ng gi

́ ́ ̉ nâng cao ch t l phân tích đ  đi đ n m t h tinh khoang cach.

Hi v ng đ  tài này là ngu n t li u tham kh o cho quý th y cô giáo trong

ả ọ ọ ả ề ạ ̣ ậ ư ̣ ồ ư ệ ầ ̀ quá trình gi ng d y cũng nh  tai liêu cho các em h c sinh hoc t p.

ứ ụ ể ả 3. Kh  năng  ng d ng, tri n khai

ế ơ ở ề ả ể ụ ề ả

ả ủ ạ ổ ọ

ứ ạ ộ ế ặ ể ạ ọ ứ ọ ọ ữ   ọ ớ V i cách trình bày logic, khoa h c, súc tích trên c  s  n n t ng là nh ng ứ ki n th c căn b n c a toán THPT, đ  tài có kh  năng  ng d ng, tri n khai trong   ổ ọ   các bu i sinh ho t T  chuyên môn, trong các câu l c b  toán h c, cho ôn thi h c ỏ i, h c sinh ôn thi đ i h c ho c đ  nâng cao ki n th c cho h c sinh. sinh gi

ướ ể 4. H ng phát tri n

́ ể ướ ả ẽ ủ

̀ ế ́ ́ ́ H ng phát tri n ti p theo c a đ  tài, tác gi ́ ư ̉ ̉

ứ ọ

ứ ọ ộ ể ả ọ ọ ́ ề ơ   ơ  s  đi sâu h n vào cac l p ́ ữ   ề bai toan khac liên quan đên chu khoang cach sô nh  các bài toán v  tính góc gi a ề ứ   ẳ ố ượ ng hình h c hay ch ng minh đ ng th c hình h c; các bài toán v   ng các đ i t ươ ủ ụ d ng c a ph i các bài toán hình h c không gian,… ng pháp t a đ  đ  gi

ị ế 5. Ki n ngh

̀ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ượ ̣ ̣ ̉ ̀ Mong cac đông nghiêp va ng ̀ ươ i đoc gop y thêm đê đê tai ngay đ ̀ c hoan

̀ ̣ ̉ ́ thiên va phat triên thêm.

45

Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O

ầ ả ọ Gi i toán hình h c 11 1.  Tr n Thành Minh, , NXB Giáo d c.ụ

́ ộ 2.  Sách GK, bài t pậ , nâng cao toan 11, 12 ạ ụ ­ B  Giáo d c và Đào t o

ề ụ ộ 3.  Đ  thi THPTQG năm 2018, 2019, 2020 ­ ạ . B  Giáo d c và Đào t o

ử ề ườ ụ ở 4.  Đ  thi th  các tr ng, các S  Giáo d c và Đào t o ạ  trên toàn qu c.ố

ọ 5.  Báo toán h c tu i tr ; ổ ẻ Các trang Web: mathscope.org; boxmath.vn; math.vn

́ ̃ ́ ươ ụ ộ B  Giáo d c và ĐT 6.  H ng dân ôn thi THPT Quôc gia 2018, 2019, 2020 ­ .

ể ậ ọ Tuy n t p 170 bài toán hình h c không gian ạ 7. Võ Đ i Mau, , NXB Tr .ẻ

46