Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Dùng kiến thức hình học giải bài tập số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

DÙNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC

Tháng 2 năm 2016

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CB : Cơ bản

GV : Giáo viên

HS : Học sinh

SGK : Sách giáo khoa

THPT : Trung học phổ thông

VD : Ví dụ

MỤC LỤC Trang

Phần I: MỞ ĐẦU ………………………………………………………………. 04

1. Lý do chọn đề tài ……………………………………………… 04

2. Mục đích nghiên cứu …………………………………………... 05

Đối tượng nghiên cứu …………………………………………. 05 3.

Phạm vi nghiên cứu …………………………………………… 05 4.

Giả thuyết khoa học …………………………………………… 05 5.

6. Nhiệm vụ nghiên cứu …………………………………………. 05

7. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………… 06

8. Đóng góp mới của đề tài ………………………………………. 06

Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ……………………………………………... 07

Chƣơng 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VIỆC CHỌN ĐỀ TÀI ……………… 07

1. Cơ sở lí luận …………………………………………………… 07

2. Cơ sở thực tiễn ………………………………………………… 07

Chƣơng 2. QUÁ TRÌNH ĐIỀU TRA VÀ KHẢO SÁT THỰC TẾ ………… 08

1. Các nguồn thông tin khảo sát …………………………………. 08

2. Những nhận định chung ………………………………………. 08

09 Chƣơng 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP

1. Dạng toán biểu diễn hình học của số phức ……………………. 09

2. Một số bài toán sử dụng kiến thức hình học để giải bài tập số

phức …………………………………………………………… 12

Chƣơng 4. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ……………………………………. 25

1. Mục đích thực nghiệm ………………………………………… 25

2. Nội dung thực nghiệm ………………………………………… 25

3. Kết quả thực nghiệm ………………………………………….. 25

26 Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận ……………………………………………………….. 26

2. Kiến nghị, đề xuất …………………………………………….. 26

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… 28

Phần I: MỞ ĐẦU:

1. Lý do chọn đề tài .

Chúng ta đã biết rằng số phức đóng vai trò rất quan trọng không chỉ

trong các lĩnh vực của Toán học mà còn cả trong Sinh học, Vật lý... Nó đã

xâm nhập vào các phương trình tĩnh điện, thuỷ động lực học, khí động lực

học, lý thuyết dao động và cả trong cơ học lượng tử. Có lẽ vì thế nên trong

chương trình toán Trung học của nhiều nước trên thế giới đều có phần số

phức, thậm chí họ còn dùng số phức để giảng dạy hình học phẳng. Còn ở

nước ta chủ đề số phức có thời lượng khá ít, chỉ đề cập đến những khái niệm

rất cơ bản và nằm ở cuối chương trình dạy học lớp 12 nên số phức chưa được

quan tâm nhiều so với vai trò của nó. Đối với HS thì số phức là một nội dung

còn mới mẻ, việc các em biết khai thác mối liên hệ giữa số phức với các chủ

đề khác còn hạn chế. Đặc biệt việc nhận thấy mối liên hệ giữa số phức và các

bài toán hình học phẳng để sử dụng được khi học số phức là một vấn đề khó,

đòi hỏi HS phải có năng lực nhất định. Tuy nhiên nếu GV giúp cho HS nắm

được điều này thì sẽ đạt được rất nhiều mục tiêu sư phạm là: bồi dưỡng năng

lực giải toán cho HS, cũng cố, khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa được kiến

thức cho HS, giải quyết được một số bài toán khó, đồng thời làm cho các em

thấy được phải biết vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các tình huống

xảy ra khi học tập, bồi dưỡng khả năng tự học.

Bài toán về số phức trong đề thi xét tốt nghiệp, đại học thường là các

câu dễ để học sinh trung bình cũng làm được. Tuy nhiên không thiếu những

bài tập khó, phương pháp giải bài tập về số phức cũng không nhiều như

những chủ đề khác vì vậy ít nhiều gây lúng túng không những với học sinh

mà cả với giáo viên. Với mong muốn được hiểu biết thêm và giúp các em học

sinh vững vàng hơn tôi xin trình bày một ít kinh nghiệm thu được khi giải

toán về số phức. Có thể gọi là “ Phương pháp hình học để giải bài tập số

phức’’ hoặc “Cực trị hình học và cực trị trong số phức” hay như tên đề tài tôi

đặt ở trên cũng đều có mục đích là cung cấp thêm một phương pháp để giải

bài tập số phức.

2. Mục đích nghiên cứu.

 Cũng cố, khắc sâu kiến thức về số phức và hình học phẳng.

 Gợi ý thêm một phương pháp để giải bài tập số phức.

 Làm rõ thêm mối liên hệ giữa hai chủ đề số phức và hình học phẳng.

 Nghiên cứu khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp vào giải quyết những

vấn đề thực tiễn nãy sinh khi học tập môn toán.

3. Đối tƣợng nghiên cứu.

 Hệ thống kiến thức chủ đề số phức và hình học phẳng trong môn toán

THPT.

 Mối liên hệ giữa hình học phẳng và số phức.

 Bản chất hình học của một số bài toán về số phức.

 Kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống khi giải toán.

 Các tài liệu liên quan đến đề tài: SGK THPT, đề thi thử đại học, THPT

quốc gia của các trường THPT trên cả nước các năm 2011, 2012, 2013 …

4. Phạm vi nghiên cứu.

 Kiến thức môn Toán phổ thông, chủ đề số phức và hình học phẳng.

 Phương pháp dạy học môn Toán ở bậc THPT.

 Nghiên cứu dựa trên đối tượng là học sinh THPT.

5. Giả thuyết khoa học.

Chúng ta đã biết khá rõ mối liên hệ giữa số phức và hình học phẳng, đặc biệt

là ở toán cao cấp. Đã có nhiều GV và HS viết các chuyên đề ứng dụng số

phức để giải bài tập hình học phẳng rất hay và bổ ích. Vậy điều ngược lại thì

thế nào?. Dựa vào đặc điểm mỗi số phức đều được biểu diễn hình học bởi

một điểm có toạ độ xác định trong hệ toạ độ đề các và căn cứ vào các quy tắc

khi thực hiện phép toán trên tập số phức. Tác giả đề tài cho rằng: Một bài toán

về số phức cũng có thể được chuyển về giải bằng hình học phẳng.

6. Nhiệm vụ nghiên cứu.

 Nghiên cứu mối liên hệ giữa hai chủ đề số phức và hình học phẳng.

 Nghiên cứu cách sử dụng hình học phẳng như là phương tiện để giải bài

tập số phức.

 Nghiên cứu khả năng sử dụng đề tài để dạy học theo hướng tích hợp, vận

dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn.

 Nghiên cứu bản chất hình học của một số bài toán số phức.

7. Phƣơng pháp nghiên cứu.

Phương pháp mà tôi sử dụng để thực hiện đề tài này là:

 Đọc, phân tích, nghiên cứu các tài liệu về số phức, các kiến thức, các bài

toán của hình học phẳng. Nghiên cứu các bài toán số phức trong các đề thi

thử trên cả nước.

 Tổng hợp các tài liệu, các kết quả thu được khi giải bài tập, hệ thống hoá

tài liệu, sắp xếp các kêt quả theo các bài tập điển hình để làm rõ mục tiêu

và nhiệm vụ nghiên cứu.

 Ngoài ra còn sử dụng phương pháp quan sát, thăm dò để đánh giá thực

trạng của vấn đề.

8. Đóng góp mới của đề tài.

Nếu đề tài được áp dụng thì có thể có những đóng góp sau:

- Về mặt khoa học: HS có thể thấy được mối liên hệ giữa các mạch kiến thức

được học, góp phần phát triển năng lực giải toán, khả năng sử dụng kiến thức

được học như một phương tiện để giải quyết các vấn đề nảy sinh.

- Về mặt thực tiễn: HS được cũng cố thêm kiến thức số phức và hình học

phẳng, biết thêm phương pháp giải bài tập số phức, thấy được ứng dụng của

hình học phẳng.

Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Chƣơng 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VIỆC CHỌN ĐỀ TÀI

1. Cơ sở lí luận.

Ở sách giáo khoa chỉ đề cập đến việc điểm trong mặt phẳng

là điểm biểu diễn hình học cho số phức , . Ngoài ra thì

có thể coi là biểu diễn vectơ cho số phức . Nếu điểm

biểu diễn hình học cho số phức , điểm biểu diễn

hình học cho số phức thì và lần lượt biểu diễn

cho và . Vì vậy một số bài tập về số phức có thể chuyển về bài

toán hình phẳng, dùng kiến thức vectơ và toạ độ để giải.

2. Cơ sở thực tiễn.

2.1. Đặc điểm tình hình:

- Về học sinh: Phần chủ đề số phức chỉ nắm được kiến thức cơ bản, giải được

các bài tập ở mức độ nhận biết thông hiểu. Những bài tập mang tính vận dụng

ít em làm được và không làm được dạng bài toán lạ, phải vận dụng nhiều kiến

thức hình học. Qua đó bộc lộ kiến thức hình học phẳng nắm chưa chắc chắn,

chưa được đào sâu, thậm chí đã quên.

- Về giáo viên: Chưa chú trọng việc liên hệ kiến thức giữa số phức và các chủ

đề khác khi dạy toán để cũng cố kiến thức cho học sinh.

- Về điều kiện khách quan: Thời lượng dành cho chủ đề số phức chưa nhiều,

lại được bố trí học cuối chương trình lớp 12. SGK chỉ cung cấp những kiến

thức cơ bản, bài tập liên hệ số phức với các chủ đề khác còn hạn chế.

2.2. Nguyên nhân:

Nguyên nhân là chủ đề số phức chưa được học kĩ. thời lượng chưa nhiều và

các bài tập trong SGK chưa đa dạng. Các phương pháp giải bài tập số phức

còn ít. HS chưa có khả năng vận dụng kiến thức cũ để học kiến thức mới.

Chƣơng 2. QUÁ TRÌNH ĐIỀU TRA VÀ KHẢO SÁT THỰC TẾ

1. Các nguồn thông tin khảo sát.

 Khảo sát các tài liệu, SGK, các bài viết trên mạng internet … liên quan

đến chủ đề số phức và hình học phẳng.

 Dự giờ tiết ôn tập chương IV môn Toán lớp 12 SGK CB tại trường tác giả

công tác.

 Khảo sát, thăm dò ý kiến của HS về những vấn đề: Năng lực giải các bài

tập số phức và hình học, khả năng vận dụng kiến thức hình học để giải bài

tập số phức, kể tên những ứng dụng của số phức mà học sinh biết…

 Khảo sát ý kiến của GV về các vấn đề: cách dạy học chủ đề số phức, các

phương pháp giải bài tập số phức, các ứng dụng của số phức, mối liên hệ

giữa số phức và các chủ đề khác của môn Toán, giữa số phức và hình học

phẳng

2. Những nhận định chung.

Qua khảo sát cho thấy:

 Đa số học sinh chỉ mới nắm được những kiễn thức hết sức cơ bản của số

phức. Các em làm khá tốt các dạng bài tập nhận dạng, thể hiện về các khái

niệm của số phức, các bài tập liên quan đến các quy tắc thực hiện các phép

toán trên số phức. Rất nhiều em không giải được dạng bài tập vận dụng

kiến thức của số phức, chưa biết dùng kiến thức của hình học phẳng để

giải bài tập số phức. Khi được hỏi về các ứng dụng của số phức và những

phương pháp giải bài tập số phức khá nhiều em còn lúng túng, thể hiện

chủ đề này các em chưa dành nhiều thời gian để nghiêm cứu, đào sâu kiến

thức.

 Giáo viên chưa làm cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa số phức và

các mạch kiến thức khác, chưa chú trọng khai thác các ứng dụng của số

phức cũng như dùng kiến thức khác để dạy học chủ đề số phức.

 Các tài liệu, chuyên đề liên quan đến dùng hình học phẳng để giải bài tập

số phức còn hạn chế, HS chưa có dịp được tiếp xúc để học tập.

Chƣơng 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP

 Cần phải làm cho HS thấy được mối liên hệ giữa hình học phẳng và số

phức từ đó khai thác để ứng dụng vào việc giải bài tập.

 Trước hết rèn luyện cho các em dạng toán sau:

1. Dạng toán biểu diễn hình học của số phức.

Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức thoả mãn điều

kiện nào đó.

Giải: Gọi biểu diễn hình học cho số phức . Từ điều kiện

dấn tới phương trình . Tuỳ vào dạng của phương trình này

mà ta kết luận. Các kết quả hay thu được là:

1.1. Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng.

VD1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thoả mãn hệ thức .

( Trích đề thi thử THPT Cầu Xe Hải Dương Khối A lần 1 năm 2012).

Giải: Gọi biểu diễn hình học cho số phức , ( ).

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường thẳng .

Bài tập: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa

mãn:

(Trích đề thi thử THPT Hồng Quang Hải Dương 2011)

1.2. Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn.

VD2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thoả mãn hệ thức .

Giải: Gọi biểu diễn hình học cho số phức , .

Ta có:

Vậy tập hợp điểm biểu

diễn các số phức là

đường tròn tâm

bán kính .

1.3. Tập hợp điểm biểu diễn là đường Elip.

VD3. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z

thỏa mãn điều kiện:

( trích đề thi thử THPT Cao Lãnh Khối A năm 2011).

Giải: Gọi biểu diễn hình học cho số phức , ( ).

Xét các điểm , . Ta có , nên

(1) Vì A và B cố định nên từ điều kiện (1) suy

ra điểm M thuộc một Elip có các tiêu điểm là A và B, tiêu cự và trục

lớn bằng 5. Từ đó suy ra tập hợp điểm cần tìm là elip :

: .

Bài tập: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

z thỏa mãn điều kiện:

( Trích đề thi thử Khối D năm 2010).

1.4. Tập hợp điểm biểu diễn là đường hypebol.

VD4. Trong mặt phẳng phức, xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số

phức thoả mãn: .

( Trích đề thi thử ĐH Vinh Khối A lần 3 năm 2012).

Giải: Gọi biểu diễn hình học cho số phức , ( ).

Vậy tập hợp điểm biểu

diễn các số phức là

phần đường hypebol

nằm dưới đường thẳng .

1.5. Tập hợp điểm biểu diễn là đường parabol.

VD5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thoả mãn hệ thức .

Giải:

Gọi biểu diễn hình học cho số phức , ( ).

Vậy tập hợp điểm

biểu diễn các số

phức là đường

parabol .

Bài tập:

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

2. Một số bài toán sử dụng kiến thức hình học để giải bài tập số phức.

 Sau khi HS đã nắm được dạng toán biểu diễn hình học của số phức thì GV

gợi ý để các em có thể chuyển yêu cầu của bài tập số phức trở thành chỉ

cần giải quyết bài toán hình học phẳng. Ta có thể gặp một số bài toán sau:

2.1. Tìm điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ M đến

một điểm cố định A là nhỏ nhất.

a)Giải:

Gọi H là hình chiếu của

A lên đường thẳng (d )

thì . Từ đó AM

nhỏ nhất khi .

b)Bài tập áp dụng:

VD6. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn: .

Giải. Gọi , điểm biểu diễn hình học của z.

Từ giả thiết ta có: . Vậy M thuộc và

Bài toán trở thành: Tìm M

thuộc sao cho OM nhỏ nhất

M trùng với hình chiếu H

của O lên .

Lập đường thẳng d qua O và

Toạ độ H thoả mãn hệ

Bài tập:

1. Tìm số phức z thoả mãn là số thực và nhỏ nhất.

2. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn .

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên 2011).

3. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z có modun nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT An Dương – Hải Phòng 2013).

4. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z có nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2013 Khối D).

5. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z biết nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Thanh Chương 3 – Nghệ An 2013).

2.2. Tìm vị trí điểm M chạy trên đường thẳng cố định (d) để tổng khoảng cách

từ nó đến hai điểm cố định A, B nhỏ nhất.

a)Giải:

- Nếu A và B nằm về hai nửa mặt

phẳng có bờ là đường thẳng d thì vị trí

điểm M cần tìm là giao điểm của AB

và d.

- Nếu A và B nằm cùng một nửa mặt

phẳng có bờ là đường thẳng d. Lấy A’

đối xứng với A qua. Khi đó:

Từ đó suy ra: khi

(với E giao điểm của A’B và d).

b)Bài tập áp dụng:

VD7. Tìm z thoả mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải. Gọi và điểm là điểm biểu diễn hình học

của z . Ta có:

Xét các điểm A(-1;1); B(2;-3) . Bài toán trở thành tìm điểm

thuộc đường thẳng sao cho tổng độ dài đường gấp khúc AMB nhỏ

nhất.(Bài toán quen thuộc). Lấy đối xứng với A qua , .

Phương trình đường thẳng

là: .

Toạ độ M là nghiệm của hệ:

2.3. Tìm điểm M nằm trên đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến một

điểm cố định A là nhỏ nhất.

a)Giải:

Trường hợp A nằm ngoài đường tròn

(C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của

A và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta

có: hay

. Từ đó

khi đó .

Trường hợp A nằm trong đường tròn

(C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của

H và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta

có:

hay

. Từ đó

khi đó .

b)Bài tập áp dụng:

* Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định

là nhỏ nhất.

VD8. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện tìm số phức z có

modun nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Đông Hưng Hà- Thái Bình).

Giải. Gọi .

Từ giả thiết ta có:

, điểm

biểu diễn hình học

của z thuộc đường tròn (C):

Vì nên bài toán trở

thành tìm vị trí M thuộc (C) sao

cho OM nhỏ nhất. Ta thấy điểm O nằm ngoài (C). Suy ra với H là

giao điểm của (C) với đường thẳng OI và H nằm giữa O,I.

Đường OI: . Suy ra toạ độ H thoả mãn hệ:

( loại . ).

. Vậy

Bài tập:

1. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z có nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Thái Phúc - Thái Bình).

2. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z có nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Quỳnh Lưu2 Nghệ An 2012)

3. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z có nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ 2013).

4. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z sao cho nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Quốc học Quy Nhơn 2013)

5. Tìm z có nhỏ nhất biết .

( Trích đề thi thử THPT Phượng Bình lần 3 2011).

6. Trong các số phức z thoả mãn . Tìm z có nhỏ nhất, lớn

nhất.

(Thanh Chương I Nghệ An Lần 2 2011).

7. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z có nhỏ nhất, lớn nhất.

8. Cho số phức z thoả mãn . Tìm z có nhỏ nhất.

* Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định

là lớn nhất.

VD9. Cho z thoả mãn . Tìm z có lớn nhất.

Giải. Gọi

. Điểm

biểu diễn hình học của z. Từ

giả thiết suy ra điểm

thuộc đường tròn (C):

. Bài

toán trở thành tìm để

OM lớn nhất.

Ta thấy để OM lớn nhất khi OM là đường kính hay

hay .

Bài tập:

1. Tìm z có lớn nhất thoả mãn: .

(Trích đề thi thử THPT Yên Khê- Phú Thọ 2012).

2. Trong các số phức . Tìm z có nhỏ nhất, lớn nhất.

2.4. Ứng dụng biểu diễn tổng, hiệu hai số phức theo hai véctơ để giải toán.

VD10. Cho hai số phức thoả và . Tính .

(Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ Lần 3-2011).

Giải.

Gọi ,

và , là các

điểm biểu diễn hình học của

thì ,

và

Các điểm thuộc

đường tròn tâm O, bán kính

Gọi I là điểm để là hình bình hành, ,

. Vì là hình thoi. Theo tính chất của

hình thoi ta có:

hay .

Bài tập: 1. Cho thoả Hãy tính .

(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2013).

2.5. Tìm một điểm chạy trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ nó đến

hai điểm cố định là nhỏ nhất.

VD11. Tìm tất cả các số phức z sao cho và đạt giá trị nhỏ

nhất.

( Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2011).

Giải. Gọi , biểu diễn ,

hình học của z nằm trên đường tròn : .

Xét điểm ,khi

đó

vì vậy

Bài toán trở thành tìm

sao cho tổng

nhỏ nhất.

Gọi H là giao điểm của

và OI.

Ta có: , . Sử dụng bất đẳng thức tam

giác . Dấu xảy ra khi .

H thoả mãn hệ :

Vì H nằm giữa I và O nên . Vậy

2.6. Tìm một điểm chạy trên đường tròn để hiệu các bình phương khoảng

cách từ đó đến hai điểm cố định nhỏ nhất, lớn nhất.

VD12. Tìm số phức z sao cho và biểu thức

đạt giá trị lớn nhất.

Giải. Gọi , và điểm biểu diễn hình học của z.

Từ điều kiện suy ra thuộc đường tròn : .

Xét các điểm , .

Bài toán trở thành tìm sao cho đạt giái trị nhỏ nhất.

Gọi d là đường thẳng đi qua A

và B. H là hình chiếu của M

lên d thì: ,

đạt giá trị lớn

nhất khi BH lớn nhất.

Khi đó M là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến đường tròn vuông góc với AB hay

M là giao điểm của đường thẳng ( đi qua I và ) với đường tròn

. Ta có , có dạng . Toạ độ giao điểm của

và là nghiệm của hệ:

Để BH lớn nhất thì chọn là hợp lý hay

2.7. Cho hai điểm chạy trên hai đường tròn tìm vị trí để chúng cách xa nhau

nhất.

VD13. Cho các số phức thoả mãn . Tìm tất cả các

số phức sao cho đạt giái trị nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm 2011).

Giải. Gọi . Từ đó các điểm , biểu diễn ;

hình học cho , lần lượt thuộc các đường tròn: và

. Bài toán trở thành tìm các .

điểm , sao cho đoạn lớn nhất.

Gọi , lần lượt là tâm của và , các điểm , lần lượt là giao

điểm của , với trục Ox ( , nằm ngoài đoạn ). Ta có theo bất

đẳng thức trong tam giác thì

Vậy , dấu “=” xảy ra khi .

Giải ta được , , . ,

2.8. Một điểm chạy trên đường thẳng, một điểm chạy trên đường tròn, tìm vị

trí để chúng gần nhau nhất.

VD14. Cho các số phức thoả mãn: . Tìm

sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

(Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc ).

Giải Giả sử , và , biểu diễn

hình học của và . Từ giả thiết ,

. Suy ra điểm thuộc ,

điểm thuộc đường tròn .

Ta có:

Bài toán trở thành tìm ,

sao cho nhỏ nhất.

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I của

đường tròn . Các điểm E, H lần

lượt là giao điểm của d với và

( E nằm giữa I và H) .

Ta có: .

Suy ra nhỏ nhất khi và . Giải bài toán tìm toạ độ giao

điểm của của d với và ta được: , .

. Vậy: ,

2.9. Bài toán dùng đến phép quay

VD15. Cho các số phức thoả mãn: và . Tìm giá trị

nhỏ nhất của .

(Chuyên đề Nguyễn Huệ Hà Nội lần 4- 2012).

Giải. Giả sử và điểm biểu diễn hình học của .

Từ giả thiết , thuộc đường

tròn : . Ta có , suy ra

là điểm biểu diễn hình học của và .

Ta thấy là ảnh của qua phép quay tâm O góc quay . Suy ra

thuộc đường tròn là ảnh của qua phép quay .

Bài toán trở thành: Tìm vị trí của , sao cho nhỏ nhất.

Gọi và là tâm và bán kính của , ta có và .

Ta thấy vuông cân,

nhỏ nhất khi nhỏ nhất.

Gọi A là giao điểm của đoạn

với thì

Suy ra .

Vậy . Hay giá trị nhỏ nhất của là .

2.10. Bài toán phải biết kết hợp tính chất tìm một điểm trên đường

tròn có khoảng cách đến O nhỏ nhất.

VD16. Xét số phức z thoả mãn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn

nhất của biểu thức .

(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị 2013).

Giải. Đặt thì ta có .

Bài toán trở thành tìm w sao cho và w có mođun nhỏ nhất.

Giả sử và điểm biểu diễn hình học của w và

với và . Vậy điểm thuộc đường tròn :

. Bây giờ chỉ cần tìm sao cho OM nhỏ nhất. Suy

ra toạ độ điểm M thoả mãn hệ .

Để w có mođun nhỏ nhất thì ta chọn

. ,

Hay .

2.11. Dùng phép vị tự và phép tịnh tiến biểu diễn hình học số phức.

VD17. Cho số phức z thoả mãn . Tìm tập hợp điểm biểu diễn hình

học của số phức .

(Trích đề thi thử THPT Chuyên Quốc Học Huế lần 2 -2013).

Giải. Gọi , và điểm biểu diễn hình học của z.

Suy ra . Gọi E là điểm biểu diễn hình học của w, vì

nên ta có: với

là ảnh của M qua thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 và phép

tịnh tiến theo véctơ . Ta thấy phép biến đường tròn

thành và phép biến thành

Vì vậy tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức

là đường tròn .

Bài tập:

Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho biết z thoả mãn .

(Trích đề thi thử THPT Lý Thái Tổ Bắc Ninh năm 2013)

Tìm tập hợp điểm biểu diễn của biết z: .

(Trích đề Dự bị 2012).

Chƣơng 4. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

1. Mục đích thực nghiệm.

Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài, rút kinh nghiệm để có thể áp

dụng vào dạy học nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy.

2. Nội dung thực nghiệm.

 Triển khai vào các tiết ôn tập chương, các tiết tự chọn và các giờ ôn tập

cho HS khối 12.

 Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12A3, 12A10.

 Thời gian thực hiện:

* Đối với lớp 12A3:

+ Thực hiện nội dung các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học của

số phức lồng trong tiết ôn tập chương IV môn Toán Giải tích lớp 12 CB.

+ Thực hiện nội dung giải một số bài toán về số phức bằng phương pháp ứng

dụng hình học phẳng trong một buổi dạy học tự chọn.

* Đối với lớp 12A10:

+ Thực hiện nội dung các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học của

số phức lồng trong tiết ôn tập chương IV môn Toán Giải tích lớp 12 CB.

+ Thực hiện nội dung giải một số bài toán về số phức bằng phương pháp ứng

dụng hình học phẳng trong một buổi ôn tập tổng hợp cuối năm.

3. Kết quả thực nghiệm.

* Đối với lớp 12A3:

+ Đa số các em giải được các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học

của số phức.

+ Nhiều em đã nắm được phương pháp chuyển một số bài toán số phức về

giải theo phương pháp hình học. Các em cũng thể hiện sự hiểu biết thông qua

việc giải và nộp bài tập tương tự, đặt câu hỏi về những cách giải khác mà các

em tham khảo được chẳng hạn như phương pháp dùng bất đẳng thức.

* Đối với lớp 12A10:

+ Các em đã biết giải các bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn hình học của số

phức. Phần ứng dụng hình học thì ít HS tiếp thu được, một phần do kiến thức

hình học phẳng các em không còn nhớ nữa.

Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận.

 Đề tài này đã nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của việc dùng các kiến

thức về hình học phẳng để giải bài tập về số phức, đóng góp thêm một

phương pháp giải bài tập số phức, một hướng đi khác để giải dạng toán

cực trị của số phức mà không dùng đến phương pháp bất đẳng thức.

 Góp phần cũng cố thêm kiến thức về hình học phẳng và số phức, làm cho

học sinh thấy được mối liên hệ giữa các mạch kiển thức trong chương

trình phổ thông, bồi dưỡng khả năng sử dụng kiến thức đã học được như

công cụ, phương tiện để chiếm lĩnh tri thức khác, tập cho học sinh thói

quen tự nghiên cứu, bồi dưỡng khả năng tự học cho học sinh.

 Đưa ra một giải pháp để GV có thể vận dụng để đạt được mục đích là cũng

cố kiên thức cho học sinh, thiết kế bài giảng theo tinh thần đổi mới gắn nội

dung kiến thức dạy học với nhu cầu thực tiễn.

 Mặt hạn chế của đề tài là các dạng bài tập giải theo phương pháp này

thường không nhiều, ít xuất hiện trong các kỳ thi, bài tập đó lại ở mức

nhận thức tương đối cao nên khó triển khai với đối tượng HS trung bình và

ít gây được hứng thú cho các em.

 Một số bài toán hình học phẳng áp dụng trong chuyên đề này chưa ở dạng

tổng quát nên chưa bao quát hết các trường hợp khó.

2. Kiến nghị, đề xuất.

 Cần nghiên cứu lựa chọn các bài tập phù hợp để triển khai dễ dàng hơn khi

áp dụng đề tài vào việc dạy học.

Đề xất thêm: phần nghiên cứu thêm các bài toán cực trị của hình học phẳng

dẫn tới bài toán dựng hình, tìm cách dựng hình để xác định vị trí của một

điểm thoả mãn một số tính chất nào đó. VD bài toán ở mục 2.5 trang 19 “Tìm

một điểm chạy trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm

cố định là nhỏ nhất” dẫn tới cần dựng được một elip có hai tiêu điểm cố định

và tiếp xúc với một đường tròn cố định.

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: (2008),

Giải tích 12, NXBGD.

2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: (2008),

Giải tích 12, Sách giáo viên, NXBGD.

3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) và các tác

giả: (2008), Hình học 10, NXBGD.

4. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) và các tác

giả: (2008), Hình học 11, NXBGD.

5. Vũ Tuấn (chủ biên) – và các tác giả: (2008), Bài tập giải tích 12, NXBGD.

6. Tuyển tập các để thi thử đại học cao đẳng của các trường THPT trên cả

nước các năm 2010, 2011, 2012, 2013, 2014.

7. Các trang mạng internet: www.violet.vn, www.diendantoanhoc.net.

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Dùng kiến thức hình học giải bài tập số phức