Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Dùng kiến thức hình học giải bài tập số phức

Chia sẻ: Ganuongmuoiot | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài nhằm cũng cố, khắc sâu kiến thức về số phức và hình học phẳng. Gợi ý thêm một phương pháp để giải bài tập số phức. Làm rõ thêm mối liên hệ giữa hai chủ đề số phức và hình học phẳng. Nghiên cứu khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp vào giải quyết những vấn đề thực tiễn nãy sinh khi học tập môn toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Dùng kiến thức hình học giải bài tập số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DÙNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC Tháng 2 năm 2016
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT CB : Cơ bản GV : Giáo viên HS : Học sinh SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông VD : Ví dụ 2
MỤC LỤC Trang Phần I: MỞ ĐẦU ………………………………………………………………. 04 1. Lý do chọn đề tài ……………………………………………… 04 2. Mục đích nghiên cứu …………………………………………... 05 3. Đối tượng nghiên cứu …………………………………………. 05 4. Phạm vi nghiên cứu …………………………………………… 05 5. Giả thuyết khoa học …………………………………………… 05 6. Nhiệm vụ nghiên cứu …………………………………………. 05 7. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………… 06 8. Đóng góp mới của đề tài ………………………………………. 06 Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ……………………………………………... 07 Chƣơng 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VIỆC CHỌN ĐỀ TÀI ……………… 07 1. Cơ sở lí luận …………………………………………………… 07 2. Cơ sở thực tiễn ………………………………………………… 07 Chƣơng 2. QUÁ TRÌNH ĐIỀU TRA VÀ KHẢO SÁT THỰC TẾ ………… 08 1. Các nguồn thông tin khảo sát …………………………………. 08 2. Những nhận định chung ………………………………………. 08 Chƣơng 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP 09 1. Dạng toán biểu diễn hình học của số phức ……………………. 09 2. Một số bài toán sử dụng kiến thức hình học để giải bài tập số phức …………………………………………………………… 12 Chƣơng 4. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ……………………………………. 25 1. Mục đích thực nghiệm ………………………………………… 25 2. Nội dung thực nghiệm ………………………………………… 25 3. Kết quả thực nghiệm ………………………………………….. 25 Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 26 1. Kết luận ……………………………………………………….. 26 2. Kiến nghị, đề xuất …………………………………………….. 26 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… 28 3
Phần I: MỞ ĐẦU: 1. Lý do chọn đề tài . Chúng ta đã biết rằng số phức đóng vai trò rất quan trọng không chỉ trong các lĩnh vực của Toán học mà còn cả trong Sinh học, Vật lý... Nó đã xâm nhập vào các phương trình tĩnh điện, thuỷ động lực học, khí động lực học, lý thuyết dao động và cả trong cơ học lượng tử. Có lẽ vì thế nên trong chương trình toán Trung học của nhiều nước trên thế giới đều có phần số phức, thậm chí họ còn dùng số phức để giảng dạy hình học phẳng. Còn ở nước ta chủ đề số phức có thời lượng khá ít, chỉ đề cập đến những khái niệm rất cơ bản và nằm ở cuối chương trình dạy học lớp 12 nên số phức chưa được quan tâm nhiều so với vai trò của nó. Đối với HS thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, việc các em biết khai thác mối liên hệ giữa số phức với các chủ đề khác còn hạn chế. Đặc biệt việc nhận thấy mối liên hệ giữa số phức và các bài toán hình học phẳng để sử dụng được khi học số phức là một vấn đề khó, đòi hỏi HS phải có năng lực nhất định. Tuy nhiên nếu GV giúp cho HS nắm được điều này thì sẽ đạt được rất nhiều mục tiêu sư phạm là: bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS, cũng cố, khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa được kiến thức cho HS, giải quyết được một số bài toán khó, đồng thời làm cho các em thấy được phải biết vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các tình huống xảy ra khi học tập, bồi dưỡng khả năng tự học. Bài toán về số phức trong đề thi xét tốt nghiệp, đại học thường là các câu dễ để học sinh trung bình cũng làm được. Tuy nhiên không thiếu những bài tập khó, phương pháp giải bài tập về số phức cũng không nhiều như những chủ đề khác vì vậy ít nhiều gây lúng túng không những với học sinh mà cả với giáo viên. Với mong muốn được hiểu biết thêm và giúp các em học sinh vững vàng hơn tôi xin trình bày một ít kinh nghiệm thu được khi giải toán về số phức. Có thể gọi là “ Phương pháp hình học để giải bài tập số phức’’ hoặc “Cực trị hình học và cực trị trong số phức” hay như tên đề tài tôi 4
đặt ở trên cũng đều có mục đích là cung cấp thêm một phương pháp để giải bài tập số phức. 2. Mục đích nghiên cứu.  Cũng cố, khắc sâu kiến thức về số phức và hình học phẳng.  Gợi ý thêm một phương pháp để giải bài tập số phức.  Làm rõ thêm mối liên hệ giữa hai chủ đề số phức và hình học phẳng.  Nghiên cứu khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp vào giải quyết những vấn đề thực tiễn nãy sinh khi học tập môn toán. 3. Đối tƣợng nghiên cứu.  Hệ thống kiến thức chủ đề số phức và hình học phẳng trong môn toán THPT.  Mối liên hệ giữa hình học phẳng và số phức.  Bản chất hình học của một số bài toán về số phức.  Kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống khi giải toán.  Các tài liệu liên quan đến đề tài: SGK THPT, đề thi thử đại học, THPT quốc gia của các trường THPT trên cả nước các năm 2011, 2012, 2013 … 4. Phạm vi nghiên cứu.  Kiến thức môn Toán phổ thông, chủ đề số phức và hình học phẳng.  Phương pháp dạy học môn Toán ở bậc THPT.  Nghiên cứu dựa trên đối tượng là học sinh THPT. 5. Giả thuyết khoa học. Chúng ta đã biết khá rõ mối liên hệ giữa số phức và hình học phẳng, đặc biệt là ở toán cao cấp. Đã có nhiều GV và HS viết các chuyên đề ứng dụng số phức để giải bài tập hình học phẳng rất hay và bổ ích. Vậy điều ngược lại thì thế nào?. Dựa vào đặc điểm mỗi số phức đều được biểu diễn hình học bởi một điểm có toạ độ xác định trong hệ toạ độ đề các và căn cứ vào các quy tắc khi thực hiện phép toán trên tập số phức. Tác giả đề tài cho rằng: Một bài toán về số phức cũng có thể được chuyển về giải bằng hình học phẳng. 6. Nhiệm vụ nghiên cứu. 5
 Nghiên cứu mối liên hệ giữa hai chủ đề số phức và hình học phẳng.  Nghiên cứu cách sử dụng hình học phẳng như là phương tiện để giải bài tập số phức.  Nghiên cứu khả năng sử dụng đề tài để dạy học theo hướng tích hợp, vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn.  Nghiên cứu bản chất hình học của một số bài toán số phức. 7. Phƣơng pháp nghiên cứu. Phương pháp mà tôi sử dụng để thực hiện đề tài này là:  Đọc, phân tích, nghiên cứu các tài liệu về số phức, các kiến thức, các bài toán của hình học phẳng. Nghiên cứu các bài toán số phức trong các đề thi thử trên cả nước.  Tổng hợp các tài liệu, các kết quả thu được khi giải bài tập, hệ thống hoá tài liệu, sắp xếp các kêt quả theo các bài tập điển hình để làm rõ mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu.  Ngoài ra còn sử dụng phương pháp quan sát, thăm dò để đánh giá thực trạng của vấn đề. 8. Đóng góp mới của đề tài. Nếu đề tài được áp dụng thì có thể có những đóng góp sau: - Về mặt khoa học: HS có thể thấy được mối liên hệ giữa các mạch kiến thức được học, góp phần phát triển năng lực giải toán, khả năng sử dụng kiến thức được học như một phương tiện để giải quyết các vấn đề nảy sinh. - Về mặt thực tiễn: HS được cũng cố thêm kiến thức số phức và hình học phẳng, biết thêm phương pháp giải bài tập số phức, thấy được ứng dụng của hình học phẳng. 6
Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chƣơng 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VIỆC CHỌN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lí luận. Ở sách giáo khoa chỉ đề cập đến việc điểm M  a; b  trong mặt phẳng Oxy là điểm biểu diễn hình học cho số phức z  a  bi , z  OM . Ngoài ra thì OM  (a; b) có thể coi là biểu diễn vectơ cho số phức z  a  bi . Nếu điểm M  a; b  biểu diễn hình học cho số phức z  a  bi , điểm M '  a '; b '  biểu diễn hình học cho số phức z '  a ' b ' i thì OM  OM ' và M ' M lần lượt biểu diễn cho z  z ' và z  z ' . Vì vậy một số bài tập về số phức có thể chuyển về bài toán hình phẳng, dùng kiến thức vectơ và toạ độ để giải. 2. Cơ sở thực tiễn. 2.1. Đặc điểm tình hình: - Về học sinh: Phần chủ đề số phức chỉ nắm được kiến thức cơ bản, giải được các bài tập ở mức độ nhận biết thông hiểu. Những bài tập mang tính vận dụng ít em làm được và không làm được dạng bài toán lạ, phải vận dụng nhiều kiến thức hình học. Qua đó bộc lộ kiến thức hình học phẳng nắm chưa chắc chắn, chưa được đào sâu, thậm chí đã quên. - Về giáo viên: Chưa chú trọng việc liên hệ kiến thức giữa số phức và các chủ đề khác khi dạy toán để cũng cố kiến thức cho học sinh. - Về điều kiện khách quan: Thời lượng dành cho chủ đề số phức chưa nhiều, lại được bố trí học cuối chương trình lớp 12. SGK chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, bài tập liên hệ số phức với các chủ đề khác còn hạn chế. 2.2. Nguyên nhân: Nguyên nhân là chủ đề số phức chưa được học kĩ. thời lượng chưa nhiều và các bài tập trong SGK chưa đa dạng. Các phương pháp giải bài tập số phức còn ít. HS chưa có khả năng vận dụng kiến thức cũ để học kiến thức mới. 7
Chƣơng 2. QUÁ TRÌNH ĐIỀU TRA VÀ KHẢO SÁT THỰC TẾ 1. Các nguồn thông tin khảo sát.  Khảo sát các tài liệu, SGK, các bài viết trên mạng internet … liên quan đến chủ đề số phức và hình học phẳng.  Dự giờ tiết ôn tập chương IV môn Toán lớp 12 SGK CB tại trường tác giả công tác.  Khảo sát, thăm dò ý kiến của HS về những vấn đề: Năng lực giải các bài tập số phức và hình học, khả năng vận dụng kiến thức hình học để giải bài tập số phức, kể tên những ứng dụng của số phức mà học sinh biết…  Khảo sát ý kiến của GV về các vấn đề: cách dạy học chủ đề số phức, các phương pháp giải bài tập số phức, các ứng dụng của số phức, mối liên hệ giữa số phức và các chủ đề khác của môn Toán, giữa số phức và hình học phẳng 2. Những nhận định chung. Qua khảo sát cho thấy:  Đa số học sinh chỉ mới nắm được những kiễn thức hết sức cơ bản của số phức. Các em làm khá tốt các dạng bài tập nhận dạng, thể hiện về các khái niệm của số phức, các bài tập liên quan đến các quy tắc thực hiện các phép toán trên số phức. Rất nhiều em không giải được dạng bài tập vận dụng kiến thức của số phức, chưa biết dùng kiến thức của hình học phẳng để giải bài tập số phức. Khi được hỏi về các ứng dụng của số phức và những phương pháp giải bài tập số phức khá nhiều em còn lúng túng, thể hiện chủ đề này các em chưa dành nhiều thời gian để nghiêm cứu, đào sâu kiến thức.  Giáo viên chưa làm cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa số phức và các mạch kiến thức khác, chưa chú trọng khai thác các ứng dụng của số phức cũng như dùng kiến thức khác để dạy học chủ đề số phức.  Các tài liệu, chuyên đề liên quan đến dùng hình học phẳng để giải bài tập số phức còn hạn chế, HS chưa có dịp được tiếp xúc để học tập. 8
Chƣơng 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP  Cần phải làm cho HS thấy được mối liên hệ giữa hình học phẳng và số phức từ đó khai thác để ứng dụng vào việc giải bài tập.  Trước hết rèn luyện cho các em dạng toán sau: 1. Dạng toán biểu diễn hình học của số phức. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện T  z  nào đó. Giải: Gọi M  x; y  biểu diễn hình học cho số phức z  x  yi . Từ điều kiện T  z  dấn tới phương trình F  x; y   0 . Tuỳ vào dạng của phương trình này mà ta kết luận. Các kết quả hay thu được là: 1.1. Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng. VD1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn hệ thức 2 z 1  z  z  2 . ( Trích đề thi thử THPT Cầu Xe Hải Dương Khối A lần 1 năm 2012). Giải: Gọi M  x; y  biểu diễn hình học cho số phức z  x  yi , ( x, y  ). 2 z 1  z  z  2  2  x 1  y2  4  4 y2  x  1 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng x  1 . 9
Bài tập: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  z  1  2i  3. (Trích đề thi thử THPT Hồng Quang Hải Dương 2011) 1.2. Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn. VD2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn hệ thức z  2  i  5 . Giải: Gọi M  x; y  biểu diễn hình học cho số phức z  x  yi ,  x, y   . Ta có: z  2  i  5   x  2  y2  5 2   x  2  y2  5 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I  2;0  bán kính 5 . 1.3. Tập hợp điểm biểu diễn là đường Elip. VD3. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2  z  2  5 . ( trích đề thi thử THPT Cao Lãnh Khối A năm 2011). Giải: Gọi M  x; y  biểu diễn hình học cho số phức z  x  yi , ( x, y  ). Xét các điểm A  2;0  , B  2;0  . Ta có z  2  MA , z  2  MB nên z  2  z  2  5  MA  MB  5 (1) Vì A và B cố định nên từ điều kiện (1) suy ra điểm M thuộc một Elip có các tiêu điểm là A và B, tiêu cự AB  4 và trục lớn bằng 5. Từ đó suy ra tập hợp điểm cần tìm là elip  E  : x2 y2 E: 2  2  1. 5 3     2 2 10
Bài tập: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10 . ( Trích đề thi thử Khối D năm 2010). 1.4. Tập hợp điểm biểu diễn là đường hypebol. VD4. Trong mặt phẳng phức, xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thoả mãn: 1  i  z  1  i  z  2 z  1 . ( Trích đề thi thử ĐH Vinh Khối A lần 3 năm 2012). Giải: Gọi M  x; y  biểu diễn hình học cho số phức z  x  yi , ( x, y  ). 1  i  z  1  i  z  2 z  1  x y   x  1  y2 2 x  y    x  y    x  1  y 2 2 2  x  y    2x 1  y  2 x Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là phần đường hypebol 2x 1 y nằm dưới đường thẳng y  x . 2 x 11
1.5. Tập hợp điểm biểu diễn là đường parabol. VD5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn hệ thức 2 z  i  z  z  2i . Giải: Gọi M  x; y  biểu diễn hình học cho số phức z  x  yi , ( x, y  ). 1 2 2 z  i  z  z  2i  2 x2   y  1  2  2y  y 2 2 x 4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường 1 parabol y  x2 . 4 Bài tập: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  z  z  3i . 2. Một số bài toán sử dụng kiến thức hình học để giải bài tập số phức.  Sau khi HS đã nắm được dạng toán biểu diễn hình học của số phức thì GV gợi ý để các em có thể chuyển yêu cầu của bài tập số phức trở thành chỉ cần giải quyết bài toán hình học phẳng. Ta có thể gặp một số bài toán sau: 2.1. Tìm điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định A là nhỏ nhất. 12
a)Giải: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d ) thì AM  AH . Từ đó AM nhỏ nhất khi M  H . b)Bài tập áp dụng: VD6. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn: z  z  4  3i . Giải. Gọi z  x  yi  x, y   , điểm M  x; y  biểu diễn hình học của z. Từ giả thiết ta có: 8x  6 y  25 . Vậy M thuộc  : 8x  6 y  25  0. và z  OM Bài toán trở thành: Tìm M thuộc  sao cho OM nhỏ nhất  M trùng với hình chiếu H của O lên  . Lập đường thẳng d qua O và d    d : 3x  4 y  0 Toạ độ H thoả mãn hệ x  2 3x  4 y  0    3 8 x  6 y  25  0  y   2 3  z  2 i 2 Bài tập: 1. Tìm số phức z thoả mãn ( z  1)  z  2i  là số thực và z nhỏ nhất. 2. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn 2  3i  z  z  i . (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên 2011). 3. Cho số phức z thoả mãn z  1  5i  z  3  i . Tìm z có modun nhỏ nhất. (Trích đề thi thử THPT An Dương – Hải Phòng 2013). 13
4. Cho số phức z thoả mãn z  2  4i  z  2i . Tìm z có z nhỏ nhất. (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2013 Khối D). z 1 3 5. Cho số phức z thoả mãn  1 . Tìm z biết z   5i nhỏ nhất. z  2i 2 (Trích đề thi thử THPT Thanh Chương 3 – Nghệ An 2013). 2.2. Tìm vị trí điểm M chạy trên đường thẳng cố định (d) để tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định A, B nhỏ nhất. a)Giải: - Nếu A và B nằm về hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d thì vị trí điểm M cần tìm là giao điểm của AB và d. - Nếu A và B nằm cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Lấy A’ đối xứng với A qua. Khi đó: MA  MB  MA ' MB  A ' B . Từ đó suy ra:  MA  MB min  A ' B khi M  E (với E giao điểm của A’B và d). b)Bài tập áp dụng: VD7. Tìm z thoả mãn đồng thời hai điều kiện z  z  4  3i và biểu thức F  z  i  1  z  2  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. Gọi z  x  yi  x, y   và điểm M ( x; y) là điểm biểu diễn hình học của z . Ta có: z  z  4  3i  x  y  ( x  4)  ( y  3) 2 2 2 2  8x  6 y  25  0 .  M   : 8 x  6 y  25  0 Xét các điểm A(-1;1); B(2;-3)  F  MA  MB . Bài toán trở thành tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho tổng độ dài đường gấp khúc AMB nhỏ 69 58 nhất.(Bài toán quen thuộc). Lấy A ' đối xứng với A qua  ,  A '( ; ). 25 25 14
Phương trình đường thẳng A ' B là: 133x  119 y  91 .  Toạ độ M là nghiệm của hệ:  503  x 133 x  119 y  91  250   8 x  6 y  25  y  371  250 503 371 z  i. 250 250 2.3. Tìm điểm M nằm trên đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định A là nhỏ nhất. a)Giải: Trường hợp A nằm ngoài đường tròn (C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của (C) cắt (C) tại H và H’ với H nằm giữa A và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta có: OA  OM  AM  OA  OM hay AH  AM  AH ' . Từ đó AM min  AH khi đó M  H . Trường hợp A nằm trong đường tròn (C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của (C) cắt (C) tại H và H’ với A nằm giữa H và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta có: OM  OA  AM  OA  OM  OH  OA  AM  OA  OH ' hay AH  AM  AH ' . Từ đó AM min  AH khi đó M  H . b)Bài tập áp dụng: 15
* Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định là nhỏ nhất. VD8. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  1  2i  1 tìm số phức z có modun nhỏ nhất. (Trích đề thi thử THPT Đông Hưng Hà- Thái Bình). Giải. Gọi z  x  yi  x, y   . Từ giả thiết ta có:  x  1   y  1  1 ,  điểm 2 2 M  x; y  biểu diễn hình học của z thuộc đường tròn (C):  x  1   y  1  1. 2 2 Vì z  OM nên bài toán trở thành tìm vị trí M thuộc (C) sao cho OM nhỏ nhất. Ta thấy điểm O nằm ngoài (C). Suy ra M  H với H là giao điểm của (C) với đường thẳng OI và H nằm giữa O,I.  y  2x  Đường OI: y  2 x . Suy ra toạ độ H thoả mãn hệ:   x  1   y  1  1 2 2  1 1 1 2  x  1  ( loại x  1  ).  x  1   y  2  . 5 5 5 5 1 2 Vậy z  1   (2  )i . 5 5 Bài tập: 1. Cho số phức z thoả mãn z  3i  1. Tìm z có z nhỏ nhất. (Trích đề thi thử THPT Thái Phúc - Thái Bình). 2. Cho số phức z thoả mãn z  2  3i  1 . Tìm z có z nhỏ nhất. (Trích đề thi thử THPT Quỳnh Lưu2 Nghệ An 2012) 3. Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  1 . Tìm z có z nhỏ nhất. 16
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ 2013). 4. Cho số phức z thoả mãn z  2  2 . Tìm z sao cho z  (1  3i) nhỏ nhất. (Trích đề thi thử THPT Quốc học Quy Nhơn 2013) z  1  5i 5. Tìm z có z nhỏ nhất biết  2. z 3i ( Trích đề thi thử THPT Phượng Bình lần 3 2011). (1  i) z 6. Trong các số phức z thoả mãn  2  1 . Tìm z có z nhỏ nhất, lớn 1 i nhất. (Thanh Chương I Nghệ An Lần 2 2011). 3 7. Cho số phức z thoả mãn z  2  3i  . Tìm z có z nhỏ nhất, lớn nhất. 2 8. Cho số phức z thoả mãn z  1  2i  1 . Tìm z có z nhỏ nhất. * Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định là lớn nhất. z 3i VD9. Cho z thoả mãn  2 . Tìm z có z lớn nhất. z 2i Giải. Gọi z  x  yi  x, y   . Điểm M  x; y  biểu diễn hình học của z. Từ giả thiết suy ra điểm M thuộc đường tròn (C):  x  1   y  3  10 . 2 2 Bài toán trở thành tìm M  (C ) để OM lớn nhất. Ta thấy O  (C )  M  (C ) để OM lớn nhất khi OM là đường kính hay M  2;6  hay z  2  6i . Bài tập: 17
 z  3  4i  1  1. Tìm z có z lớn nhất thoả mãn: log 1    1 . 2  2 z  3  4i  8  (Trích đề thi thử THPT Yên Khê- Phú Thọ 2012). 2. Trong các số phức z  2  i  52 . Tìm z có z  4  2i nhỏ nhất, lớn nhất. 2.4. Ứng dụng biểu diễn tổng, hiệu hai số phức theo hai véctơ để giải toán. VD10. Cho hai số phức z, z ' thoả z  z '  1 và z  z '  3 . Tính z  z ' . (Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ Lần 3-2011). Giải. Gọi z  x  yi , z '  x ' y ' i và M ( x; y) , M '( x '; y ') là các điểm biểu diễn hình học của z, z ' thì  OM  OM '  1, z  z '  OM  OM '  3 và z  z '  M ' M  MM ' . Các điểm M , M ' thuộc đường tròn tâm O, bán kính R 1. Gọi I là điểm để MOM ' I là hình bình hành,  OI  OM  OM ' , OI  z  z '  3 . Vì OM  OM '  1  MOM ' I là hình thoi. Theo tính chất của hình thoi ta có: OI 2  MM '2  4OM 2  MM '2  4OM 2  OI 2  1  MM '  1 hay z  z ,  1 .  z1  z2  13 Bài tập: 1. Cho z1 , z2 thoả  Hãy tính z1  z2 .  z1  z2  5 2 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2013). 2.5. Tìm một điểm chạy trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định là nhỏ nhất. 18
VD11. Tìm tất cả các số phức z sao cho z  2  2 và z  z  1 đạt giá trị nhỏ nhất. ( Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2011). Gọi z  x  yi , z  2  2   x  2   y 2  2 ,  M ( x; y) biểu diễn 2 Giải. hình học của z nằm trên đường tròn  C  :  x  2   y 2  2 . 2 Xét điểm A  1;0  ,khi đó z  1  AM  MA vì vậy z  z  1  OM  MA . Bài toán trở thành tìm M   C  sao cho tổng OM  MA nhỏ nhất. Gọi H là giao điểm của  C  và OI. Ta có: OM  OI  MI  OH , MA  AI  IM  AH . Sử dụng bất đẳng thức tam giác  OM  MA  OH  AH . Dấu "  " xảy ra khi M  H . y  0  y  0  H thoả mãn hệ :    x  2   y  2  2 x  2  2 2  Vì H nằm giữa I và O nên x  2  2 . Vậy M  H (2  2;0)  z  2  2 2.6. Tìm một điểm chạy trên đường tròn để hiệu các bình phương khoảng cách từ đó đến hai điểm cố định nhỏ nhất, lớn nhất. VD12. Tìm số phức z sao cho z  (3  4i)  5 và biểu thức P  z  2  z  i 2 2 đạt giá trị lớn nhất. Giải. Gọi z  x  yi ,  x, y   và điểm M  x; y  biểu diễn hình học của z. Từ điều kiện suy ra M thuộc đường tròn  C  :  x  3   y  4   5 . 2 2 19
Xét các điểm A  2;0  , B  0;1  P  MA  MB . 2 2 Bài toán trở thành tìm M  (C ) sao cho MA2  MB 2 đạt giái trị nhỏ nhất. Gọi d là đường thẳng đi qua A và B. H là hình chiếu của M lên d thì: MA2  MH 2  AH 2 , MB 2  MH 2  BH 2 .  MA2  MB 2  AH 2  BH 2  ( AH  BH )( AH  BH )  AB( AB  2BH ) .  P  MA2  MB 2 đạt giá trị lớn nhất khi BH lớn nhất. Khi đó M là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến đường tròn vuông góc với AB hay M là giao điểm của đường thẳng  (  đi qua I và  d ) với đường tròn  C  . Ta có AB   2;1 ,   có dạng x  2 y  5  0 . Toạ độ giao điểm của  và  C  là nghiệm của hệ: x  2 y  5  y  5   y  4  1   2   2 x  8   y  4   5 y  3 2 2  Để BH lớn nhất thì chọn y  5 là hợp lý  x  5  M (5;5) hay z  5  5i 2.7. Cho hai điểm chạy trên hai đường tròn tìm vị trí để chúng cách xa nhau nhất. VD13. Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn z1  1  2; z2  4  2 . Tìm tất cả các số phức z1 , z2 sao cho z1  z2 đạt giái trị nhỏ nhất. (Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm 2011). Giải. Gọi z1  a  bi ; z2  c  di . Từ đó các điểm M 1 (a; b) , M 2 (c; d ) biểu diễn hình học cho z1 , z2 lần lượt thuộc các đường tròn: (C1 ) :  x  1  y 2  2 và 2 (C2 ) :  x  4   y 2  4 .  z1  z2  M 2 M1  M 2 M1 . Bài toán trở thành tìm các 2 điểm M1   C1  , M 2   C2  sao cho đoạn M1M 2 lớn nhất. 20