SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MÔN: TOÁN

GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Giáo viên: Nguyễn Văn Lưu

Tổ: Toán – Tin

Trường: THPT Gia Viễn A

Ninh Bình, tháng 05 năm 2014

0

MỤC LỤC

Nội dung

Trang 2 4

Vị trí của nội dung sáng kiến trong chương trình Phần I: Giải pháp cũ thường làm trong việc giảng dạy các bài toán về góc và khoảng cách trong hình học không gian

4

I. Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở các tài liệu giáo khoa hiện hành II. Hạn chế của giải pháp cũ

4 6

Phần II: Những giải pháp mới để ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian

6 7 7 7

1.1. Khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng 1.2. Cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống 7

phẳng.

1.3. Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu vuông góc của 8

11

11

2.1. Ứng dụng trong bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 2.2. Ứng dụng tròn bài toán về góc giữa hai mặt phẳng

15 20

I. Những giải pháp mới II. Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể 1. Hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng mặt một điểm xuống mặt phẳng 2. Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong các bài toán về góc 3. Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong các bài toán về khoảng cách

3.1. Khoảng cách giữa hai điểm hay độ dài đoạn thẳng 3.2. Khoảng cách giữa điểm và đường thẳng 3.3. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng 3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

45

20 23 27 34 43

1

Phần III: Kết quả thực nghiệm và hiệu quả kinh tế của sáng kiến KẾT LUẬN

VỊ TRÍ CỦA NỘI DUNG SÁNG KIẾN TRONG CHƯƠNG TRÌNH

Hình học không gian chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán THPT. Nội dung về hình học không gian được trình bày trong toàn bộ chương trình hình học 12 và hình học 11, trong đó hình học không gian thuần túy được trình bày trong học kỳ I hình học 12 và toàn bộ chương trình hình học 11. Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song hình học không gian vẫn là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, GDTX. Trong chương trình trước đây cũng như trong những năm 2002 tới nay (khi thi theo đề chung), trong các đề thi Đại học, Cao đẳng thì hình học học không gian là phần bắt buộc và không thể thiếu. Trong đó, có hai phần là hình học không gian thuần túy và hình học giải tích trong không gian. Mặc dù hình học giải tích trong không gian là phần ứng dụng giải tích vào hình học không gian, tuy nhiên cách phân tích vấn đề cũng như giải bài tập đều sử dụng hình học không gian thuần túy.

Với các đề thi Đại học, Cao đẳng gần đây; câu hình học không gian thuần túy có hai phần, một phần tương đối dễ với học sinh, phần còn lại là câu phân loại học sinh khá. Đa số học sinh hiểu đề và không khó khăn để giải phần đầu tiên chủ yếu là tính thể tích khối đa diện. Tuy nhiên phần thứ hai liên quan đến nhiều yếu tố hình học không gian như yếu tố về góc, về độ dài, về khoảng cách giữa các yếu tố trong không gian. Do đó, chỉ một phần các em dự thi có thể làm được và chủ yếu là các học sinh khá, giỏi môn Toán. Hơn nữa, hình học không gian thuần túy vốn là phần cần khả năng tưởng tượng, phân tích, phán đoán và tư duy tốt nên học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong giải quyết các bài toán hình học không gian thuần túy.

Trong hình học không gian thuần túy, góc và khoảng cách giữa các yếu tố trong không gian, các quan hệ vuông góc là nội dung trọng tâm. Trong đó các quan hệ vuông góc sẽ xoay quanh quan hệ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Nếu bài toán chỉ dừng lại ở việc tìm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng, đa số học sinh có thể làm được do kiến thức đã được rèn luyện và hệ thống khá rõ ràng. Tuy nhiên để áp dụng nó trong các bài tập khác thì đa số học sinh còn lúng túng do không hiểu vận dụng như thế nào. Nguyên

2

Trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây thì hình học không gian luôn là phần kiến thức trọng tâm và không thể thiếu. Đây cũng là câu hỏi phân loại mức độ tư duy của các học sinh giỏi. Để làm được các bài toán đó, không những cần nắm chắc các kiến thức cơ bản mà còn có hệ thống liên kết chặt chẽ các kiến thức trong hình học không gian.

nhân chính là sự liên hệ các kiến thức trên của học sinh còn kém, sự tư duy tưởng tượng và phán đoán còn yếu.

Ngoài ra, việc trình bày các kiến thức cơ bản để giải các bài tập đó còn chưa đầy đủ, các kiến thức được trình bày đơn lẻ, còn nằm rải rác và các bài tập còn ít ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn dài trải và học sinh thường lúng túng khi giải bài tập mà chỉ biết làm theo các bài tập mẫu có sẵn.

Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy ban KHTN, các lớp học sinh trình độ khá và đều nhau, các lớp luyện thi đại học cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “GIẢI PHÁP MỚI TRONG ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” với mong muốn giúp đỡ các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.

Cấu trúc của sáng kiến gồm trang, ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần

nội dung của sáng kiến gồm 3 phần:

Phần I: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

Phần II: NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

3

Phần III: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ HIỆU QUẢ KINH TẾ CỦA SÁNG KIẾN.

Phần I.

GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở các tài liệu giáo khoa hiện hành:

Trong các tài liệu giáo khoa hiện hành (Sách giáo khoa và Sách bài tập cơ bản và nâng cao), kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gian được trình bày ở học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11. Về tổng thể, tài liệu giáo khoa đã trình bày các khái niệm cơ bản, các trường hợp đặc biệt cũng như hệ thống các ví dụ và bài tập minh họa cho các kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gian. Tuy nhiên một số dạng toán còn chưa được đưa ra (khoảng cách giữa hai điểm), một số dạng toán chỉ đưa ra cách giải chung nhất mà thông thường không thể áp dụng ngay trong bài học (khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng…), một số dạng toán còn không có hoặc rất ít các ví dụ minh họa cũng như bài tập rèn luyện (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng…)

II. Hạn chế của giải pháp cũ:

Ở phần trên đã trình bày một số nội dung cơ bản về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở các tài liệu giáo khoa hiện hành. Sau một thời gian nghiên cứu các nội dung trên, cũng như đọc qua rất nhiều tài liệu tham khảo và dự giờ nhiều giáo viên khác, tôi nhận thấy trong cách giảng dạy cũ còn một số hạn chế như sau:

Hạn chế 1: Các bài toán cũng như cách giải nêu ra còn khá tổng quan, chưa rõ ràng chi tiết theo từng bước cụ thể chi tiết nên làm học sinh khó tiếp thu. Một số dạng toán còn chưa được nêu đầy đủ trong các tài liệu giáo khoa do lượng thời gian có hạn trong chương trình. Tuy nhiên trong các đề thi vẫn xuất hiện những dạng toán đó làm cho học sinh lúng túng, không định hướng được cách giải.

Hạn chế 2: Các bài toán cơ bản nêu trong các tài liệu giáo khoa đã nêu ra một số cách giải tổng quát để học sinh áp dụng. Tuy nhiên thực tế giảng dạy cho thấy chỉ một số ít học sinh có thể áp dụng được cách giải đó. Còn đa số học sinh cảm thấy lúng túng, có thể hiểu cách giải nhưng không biết áp dụng, bắt đầu từ đâu và áp dụng thế nào để giải bài toán. Trong các tài liệu giáo khoa cũng đã nêu ra một số ví dụ và bài tập để minh họa cho phương pháp và học sinh rèn

4

luyện. Tuy nhiên, thông thường học sinh chỉ biết áp dụng một cách máy móc để giải các bài tập tương tự, khi gặp bài toán khác vẫn gặp những lúng túng như ban đầu. Nguyên nhân là học sinh chưa hiểu để giải bài toán đó, ta phải trải qua các bước nào, ý nghĩa của từng bước trong bài toán, chưa hình thành được lối tư duy để giải quyết các bài toán.

Hạn chế 3: Hệ thống bài tập trong các tài liệu giáo khoa cũng như trong các tài liệu tham khảo thường viết theo các bài trong sách giáo khoa. Do đó nội dung các bài tập còn dàn trải, mang tính giới thiệu là chủ yếu. Số lượng câu hỏi và bài tập cho từng nội dung cụ thể còn khá ít, các câu hỏi và bài tập chuyên sâu cho học sinh khá, giỏi, học sinh chuẩn bị thi vào đại học, cao đẳng trình bày chưa hệ thống và chưa đủ về số lượng và chất lượng. Do đó học sinh chưa có tư duy hệ thống về các dạng bài tập, kỹ năng giải cũng hạn chế.

Hạn chế 4: Hình học không gian là nội dung mà học sinh mới làm quen trong chương trình phổ thông. Do đó các em phải tiếp cận với rất nhiều các khái niệm, định nghĩa, tính chất, định lý mới cũng như một hệ thống hoàn toàn mới các dạng bài tập. Các kiến thức đó được trình bày trong từng bài học cụ thể. Theo cách dạy thông thường, giáo viên chỉ cung cấp các kiến thức của từng bài cụ thể, việc liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức trên còn bị xem nhẹ. Từ đó dẫn đến học sinh phải nhớ quá nhiều kiến thức mới, không có lối suy nghĩ mạch lạc kết nối các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán. Do đó việc tiếp thu các kiến thức về hình học không gian gặp rất nhiều khó khăn.

Như vậy có thể thấy rằng nếu giáo viên chỉ giảng dạy theo các tài liệu giáo khoa hiện hành thì làm cho học sinh khó tiếp thu các kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gian, dẫn đến tâm lý ngại học và nghĩ rằng chúng quá khó và chỉ dành cho học sinh giỏi. Ngoài ra, kiến thức các em được học không đủ để các em tham gia các kì thi học sinh giỏi hoặc thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Và học sinh thường mất điểm ở câu hỏi này, một điểm mất rất đáng tiếc. Do đó những yêu cầu của giải pháp mới cần phải đạt được và chi tiết hóa trong các nội dung của sáng kiến sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.

5

Hạn chế 5: Để dạy các kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gian, giáo viên thường nhấn mạnh và chọn quan hệ “đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” làm nền tảng chủ đạo. Hầu hết mọi bài toán đều sử dụng quan hệ đó. Tuy nhiên việc áp dụng quan hệ đó để giải bài tập của học sinh còn lúng túng và gặp nhiều khó khăn. Nguyên nhân do để giải được bài tập phải qua rất nhiều bước sử dụng quan hệ trên và bài làm không phải lúc nào cũng “tự nhiên”.

Phần II.

NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Những giải pháp mới:

Để khắc phục những hạn chế của giải pháp cũ, giúp học sinh và các thầy cô giáo có cách tiếp cận tốt hơn với các ứng dụng của hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian, tôi đưa ra các giải pháp sau:

Giải pháp 1: Đưa ra các nguyên tắc cơ bản và một số trường hợp thường gặp để dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng. Từ đó chuyển nội dung trọng tâm từ “đường thẳng vuông góc vơi mặt phẳng” sang nội dung trọng tâm “hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng”. Với nội dung này, học sinh dễ nhớ và áp dụng hơn.

Giải pháp 2: Hệ thống hóa thành một số dạng bài tập cơ bản về góc và khoảng cách trong hình học không gian, hoàn thiện và bổ sung các dạng toán thường gặp trong các đề thi Đại học Cao đẳng mà trong các tài liệu giáo khoa chưa trình bày. Với mỗi dạng bài tập đều đưa ra phương pháp giải ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng với các bước áp dụng cụ thể. Qua đó học sinh có kiến thức tổng hợp, hệ thống và tư duy mạch lạc để giải các bài toán.

Giải pháp 3: Bổ sung các câu hỏi bài tập bằng một hệ thống các bài tập trong các đề thi Đại học Cao đẳng chính thức của BGD và các đề thi thử Đại học ở các trường THPT để học sinh bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng. Qua đó dần làm quen với các dạng đề thi, từ đó học sinh tự tin và đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi.

Giải pháp 4: Mỗi dạng đều phải có các ví dụ đặc trưng minh họa cho phương pháp, đồng thời phải có hệ thống các ví dụ khác để minh họa nhiều trường hợp thường gặp khi giải quyết dạng toán đó. Cuối mỗi dạng toán là các bài tập áp dụng đa dạng và có nhiều câu hỏi khó, hay phục vụ nâng cao kiến thức cho học sinh giỏi.

Chương tiếp theo sẽ là nội dung chính của sáng kiến, khắc phục được các hạn chế của phương pháp cũ cũng như giải quyết trọn vẹn được các yêu cầu đặt ra ở trên trong các nội dung kiến thức cụ thể.

6

II. Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể:

1. Hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.

Để ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng, trước hết ta tìm hiểu khái niệm cũng như cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng. Qua đó học sinh có thể hiểu cách tư duy mạch lạc theo trình tự cụ thể để giải quyết bài toán. Ngoài ra, để học sinh có thể thuần thục hơn trong làm bài, ta đưa ra một số trường hợp thường gặp trong bài toán dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.

1.1. Khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.

Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (α). Hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (α) là điểm H nằm trên mặt phẳng (α) sao cho AH  (α).

  A 

Do đó, nếu điểm A nằm trên (α) thì hình chiếu của A trên (α) là chính nó. . Ngoài ra, hình Vì vậy trong toàn bộ nội dung về sau, ta luôn quy định

A

M

α

H

chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α) luôn tồn tại duy nhất.

Hình chiếu vuông góc của một điểm có tính chất hình học rất thú vị. Nếu M là điểm bất kỳ trên (α) thì AM ≥ AH hay H là điểm thỏa mãn khoảng cách từ A đến một điểm bất kỳ trên (α) là nhỏ nhất.

Để dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (α), ta thường dựng đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó, H chính là giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α).

Tuy nhiên, việc dựng đường thẳng ∆ thông thường là khó khăn. Do đó, việc xác định điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α) thông thường được xác định thông qua các bước sau:

1.2. Cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.

Bước 1: Qua điểm A, dựng mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).

Bước 2: Xác định d là giao tuyến của mặt phẳng (α) và (β).

7

Bước 3: Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với d tại H.

β

∆

A

d

H

α

Khi đó H là điểm cần dựng.

1.3. Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống

mặt phẳng.

Trong phần trên, ta đã có các bước cơ bản để dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng. Tuy nhiên, việc dựng mặt phẳng (β) là không hề đơn giản trong một số trường hợp cụ thể. Do đó, để việc dựng hình chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (α) đơn giản và cụ thể hơn, ta tìm hiểu một số trường hợp đặc biệt và thường gặp sau:

Dạng I: Tồn tại hai mặt phẳng (β) và (γ) qua A cùng vuông góc với mặt

phẳng (α).

Khi đó giao tuyến ∆ của (β) và (γ) qua A và ∆  (α). Hình chiếu vuông góc H

β

γ

∆

H

α

của A xuống (α) là giao điểm của ∆ và (α).

Dạng II: Tồn tại đường thẳng a  (α) (A không thuộc đường thẳng a).

Dựng mặt phẳng (β) chứa A và a. Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (α) và (β). Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với d và cắt d tại H. Khi đó H là điểm cần dựng.

8

β

a

∆

A

d

H

α

Dạng III: Tồn tại mặt phẳng (β) qua A và vuông góc với mặt phẳng (α).

Tìm giao tuyến d của (α) và (β). Trong mặt phẳng (β), qua A dựng đường

β

∆

A

d

H

α

thẳng ∆ vuông góc với d và cắt d tại H. Khi đó H là điểm cần dựng.

Dạng IV: Tồn tại điểm M và đường thẳng d (M  d) nằm trong mặt phẳng

(α) sao cho AM  d.

Trong mặt phẳng (α), từ M kẻ đường thẳng d’  d. Từ A dựng đường thẳng

A

d'

M

H

d

α

AH vuông góc với d’ tại H. Khi đó H là điểm cần dựng.

Dạng V: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) sao cho

AM = AN = AP (hay AM, AN, AP tạo với mặt phẳng (α) các góc bằng nhau).

9

Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là tâm đường tròn

ngoại tiếp của ∆MNP.

Dạng VI: Tồn tại hai điểm M, N phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) sao cho

A

d

M

H

I

N

α

AM = AN (hay AM, AN tạo với mặt phẳng (α) các góc bằng nhau).

Gọi I là trung điểm của MN. Trong mặt phẳng (α), kẻ đường thẳng d qua I, vuông góc với MN. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Khi đó H là điểm cần dựng.

Dạng VII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho AM, AN, AP đôi một

vuông góc với nhau tại A.

A

M

P

H

I

N

α

Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là trực tâm ∆MNP. Hoặc ta gọi I là hình chiếu của M trên đường thẳng NP, H là hình chiếu của A trên MI. Khi đó H là điểm cần dựng.

Dạng VIII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho các mặt bên (AMN), (ANP), (AMP) tạo với mặt phẳng đáy (α) (hay chính là mặt phẳng (MNP)) các góc bằng nhau.

Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là tâm đường tròn

nội tiếp của ∆MNP.

10

Dạng IX: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho các mặt bên (AMN), (ANP) tạo với mặt phẳng đáy (α) (hay chính là mặt phẳng (MNP)) các góc bằng nhau.

Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) nằm trên đường

. phân giác trong của góc MNP

2. Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong các

bài toán về góc.

2.1. Ứng dụng trong bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Trong không gian, cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Trường hợp d song song hoặc nằm trong (α) thì góc giữa d và (α) là 00. Do đó, ta chỉ xét trường hợp đường thẳng d và mặt phẳng (α) cắt nhau. Khi đó, góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) được xác định thông qua các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Bước 2: Trên đường thẳng d, chọn một điểm A khác M sao cho dễ dàng dựng

hình chiếu vuông góc H của A xuống mặt phẳng (α).

Bước 3: Chứng minh góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là AMH .

Việc tính góc đó cũng rất đơn giản do đó là một góc nhọn trong ∆AMH vuông tại H. Điều quan trọng là việc chọn điểm A thích hợp. Để làm rõ hơn, ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết

rằng ∆ABC đều cạnh a.

a/ Tính SA biết rằng góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là 600.

b/ Xác định và tính góc giữa SM và mặt phẳng (ABC), với M là trung điểm

của cạnh BC.

c/ Xác định và tính góc giữa AC và mặt phẳng (SBC).

d/ Xác định và tính góc giữa BC, SC và mặt phẳng (SAB).

Giải:

a/ Do SB cắt mặt phẳng (ABC) tại B. Do SA  (ABC) nên góc giữa SB và

mặt phẳng (ABC)

là

. Xét ∆SAB vuông

tại A,

ta có

SBA

060

.

 SA AB

.tan

SBA a

3

. Xét

b/ Tương tự như trên, góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) là góc SMA

a

3

SMA

AM

;

 SA a

3

∆SMA vuông tại A,

nên tan

 . 2

SA AM

2

11

H

A

C

M

N

B

S

ACH

c/ AC cắt mặt phẳng (SBC) tại C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC). Do đó góc giữa AC và tại H. Ta có AC = a, (SBC) . Xét ∆ACH vuông

AH

sin

ACH

2

2

a 3 15

3 15

SA

AM

là SA AM . .

060

góc giữa BC và mặt phẳng (SAB) là . d/ BC cắt mặt phẳng (SAB) tại B. Gọi N là trung điểm của cạnh AB. Khi đó CN  AB nên N là hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (SAB). Do đó CBN

SC cắt mặt phẳng (SAB) tại S. Hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng

a

a

3

2

. (SAB) là N nên góc giữa SC và (SAB) là CSN

CN

;

SN

2 SA

AN

tan

CSN

13 2

SN CN

2

13 3

Ta có .

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O. Biết rằng

SA = 2a và góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là 450.

a/ Tính độ dài cạnh AB.

b/ Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho CM = 3MD. Xác định và tính góc

giữa SM và mặt phẳng (ABCD).

c/ Gọi N là trung điểm cạnh SD. Xác định và tính góc giữa AN và mặt phẳng

(ABCD).

d/ Xác định và tính góc giữa AC và mặt phẳng (SAB).

Giải:

12

a/ Do S.ABCD là hình chóp đều nên O là hình chiếu vuông góc của S xuống

SAO

045

(ABCD). Do đó góc giữa SA và (ABCD) là . Do SA = 2a nên

SO OA a

2

  AC

2 2

a

  AB

2

a

.

b/ Do O là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) nên góc giữa SM và

. (ABCD) là SMO

a

5

2

2

Xét ∆SOM vuông tại O,

 SO a

2,

OM

OC

CM

2.

OC CM .

.sin

OCM

2

. Vậy

tan

SMO

SO OM

2 10 5

S

N

H

C

B

E

O

M

P

A

D

.

vuông

tại

a

2

2

.

NP

;

AP

 OA OP

tan

NAP

SO 2

10 2

NP AP

a 2

1 5

∆OAH

vuông

Xét

tại

.

d/ Góc giữa AC và (SAB) là góc giữa OA và (SAB). Gọi E là trung điểm của AB, khi đó OE  AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SE. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của O trên (SAB). Do đó góc giữa AC và (SAB) là OAH H,

a

6

.

 OA a

2,

OH

sin

OAH

SO OE . 2

2

3

OH OA

1 3

 SO OE

13

c/ Gọi P là trung điểm của cạnh OD. Khi đó NP // SO hay P là hình chiếu . Xét P, vuông góc của N trên (ABCD). Do đó góc giữa AN và (ABCD) là NAP ∆APN

Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600. Xác định và tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).

Giải:

a

a

Do S.ABCD là hình chóp đều nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là O. Gọi H là trung điểm của OA. Khi đó MH // SO nên H là hình chiếu vuông góc của M trên (ABCD). Do MN cắt (ABCD) tại N nên góc giữa MN và

CN

;

CH

AC

NH

MNH

060

a 2

3 2 4

10 4

3 4 a

a

0

(ABCD) là . Ta có .

 MH NH

.tan 60

  SO

30 4

30 2

S

P

M

I

N

B

C

Q

O

H

A

D

Dễ thấy rằng AC  (SBD). Gọi Q là trung điểm của OB, P là trung điểm của SO. Khi đó NQ // MP // AC nên P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N trên (SBD). Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Khi đó I là giao của MN và (SBD). Do đó góc giữa MN và (SBD) là MIP . Dễ thấy MPNQ là hình bình có hành

trung

điểm

nên

của

Ta

là

I

a

tan

MIP

. Khi đó

MP

;

IP

PQ. MP IP

1  . 2

OA 2

SB 4

2 2 4

a 2 2

a 2

Xét ∆MHN vuông tại H ta có .

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = a. ∆SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Gọi M, N là

14

trung điểm của SA, BC. Tính độ dài cạnh SB biết góc giữa MN và (ABC) bằng 600.

Bài 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa AB’ và mặt phẳng

(ABC) là 600. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng B’C’.

a/ Tính côsin góc giữa đường thẳng AI và mặt phẳng (A’B’C’), với I là giao

điểm của BC’ và B’C.

b/ Tính góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng (A’BC).

c/ Tính côsin góc giữa AN và (BCC’B’), với N là điểm trên cạnh BB’ sao cho

BN = 2NB’.

d/ Gọi P là trung điểm đoạn thẳng AA’. Tính góc giữa đường thẳng A’I và

mặt phẳng (MB’C’).

a

Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có

AA

'

,

 AC a

2,

  , BC a ACB

0 135

10 4

. Hình chiếu vuông góc của C’ lên

mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của cạnh AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M và mặt phẳng (ACC’A’).

2a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,

SA a SC a ,

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính

∆SAC có 3 côsin góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC).

AC a

2

Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α); và tạo với mặt phẳng (α) một góc 600. Chứng minh rằng đường

cạnh thẳng BC tạo với mặt phẳng (α) góc 450.

Trong chương trình sách giáo khoa đã đưa ra hai phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Cách thứ nhất là xác định hai đường thẳng d và d’ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng; khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa d và d’. Cách thứ hai là xác định mặt phẳng (P) vuông góc với giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng, xác định giao tuyến a và b của (P) lần lượt với (α) và (β); khi đó góc giữa a và b là góc giữa hai mặt phẳng.

Tuy nhiên, trên thực tế học sinh rất lúng túng trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng. Do với cách thứ nhất, việc xác định các đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng đã khó, việc xác định góc giữa hai đường thẳng bất kỳ đó cũng không phải đơn giản. Với cách thứ hai, việc xác định mặt phẳng (P) vuông góc với giao tuyến là khá trừu tượng.

15

2.2. Ứng dụng trong bài toán về góc giữa hai mặt phẳng.

Do đó, để học sinh có cách nhìn rõ ràng hơn, qua đó có thể giải quyết được

bài toán về góc giữa hai mặt phẳng, ta xét hai cách tường minh hơn như sau:

180

Cách 1: Chọn trong không gian một điểm M sao cho từ M có thể dựng được A và B lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống (α) và (β). Khi đó góc giữa (α) và (β) là AMB (nếu là góc nhọn) hoặc 0 (nếu góc AMB tù). AMB

Cách 2: Trên mặt phẳng (α) chọn điểm A sao cho dựng được H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (β). Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng. Từ A kẻ AI vuông góc với ∆ (I  ∆). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là AIH .

Mặc dù hai cách trên đây chỉ là các trường hợp đặc biệt tuy nhiên đó lại là các trường hợp thông dụng và hay gặp phải trong các đề thi. Để là rõ hơn, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) biết:

a/ ∆ABC đều cạnh a và SA = a.

b/ ∆ABC vuông tại B, biết rằng SA = BC = a, AC = 2a.

ACB

0120

S

c/ ∆ABC cân tại C, biết rằng AC = 2a, , SA = a.

N

A

C

M

B

Do (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) nên giao tuyến của hai mặt phẳng là SA  (ABCD) hay hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là A. Giao tuyến của (SBC) và (ABC) là đường thẳng BC. Do đó để dựng góc giữa (SBC) và (ABC), ta chỉ cần tìm hình chiếu của A xuống đường thẳng giao tuyến BC.

16

Giải:

SMA

a

3

a/ Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM  BC. Do đó góc giữa (SBC) và A, ∆SMA vuông Xét tại là . (ABC)

SA a AM ;

tan

SMA

2

2 3

.

SBA

045

b/ Do AB  BC nên góc giữa (SBC) và (ABC) là (do ∆SAB

vuông cân tại A).

ACB

0120 nên hình chiếu của A xuống BC là điểm N nằm ngoài đoạn thẳng BC về phía C (như hình vẽ). Do đó góc giữa tại A, (SBC)

c/ Do ∆ABC cân tại C,

SNA

a

3

. Xét (ABC) ∆SAN vuông và là

SA a AN

;

tan

SNA

2

SA AN

2 3

.

Chú ý: Ngoài cách giải trên, các bạn có thể tìm hiểu việc giải bài toán

theo cách 1.

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = 2a. Gọi M là trung điểm của

BC.

a/ Tính độ dài SA, biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là 450.

b/ Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (SAM).

S

c/ Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD).

E

Q

D

A

P

H

N

O

G

B

M

C

a/ Do (SBC) và (ABCD) cắt nhau theo giao tuyến BC, hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là tâm O của hình vuông ABCD, OM  BC nên góc

17

Giải:

SMO

045

2

giữa (SBC) và (ABCD) là . Xét ∆SMO vuông tại O,

SA

2  SO OA

a

3

OM a

  

SO OM

0 .tan 45

 . Do đó

a

.

a

2

b/ Tương tự ý a, (SAM) cắt (ABCD) theo giao tuyến AM, O là hình chiếu của S xuống (ABCD). Gọi H là hình chiếu của O xuống AM. Khi đó góc giữa (SAM) và (ABCD) là SHO . Gọi G là giao của OB và AM, khi đó G là trọng

OG

OB

1 3

3

a

2

SHO

5

tâm ∆ABC nên . Xét ∆SHO vuông tại O, SO = a,

OG

OH

2

SO OH

3

a 5

OG OA . 2  OG OA

. Do đó tan .

c/ Mặt phẳng (SBC) và (SCD có giao tuyến là đường thẳng SC. Rõ ràng việc dựng hình chiếu vuông góc của điểm B xuống mặt phẳng (SCD) là tương đối khó (chân đường vuông góc sẽ nằm ngoài ∆SCD), và việc dựng tiếp theo cách 2 là khó khăn trong cách dựng cũng như tính toán. Do đó, ở đây là sử dụng cách 1, và điểm thuận lợi cho cả hai mặt phẳng là điểm O.

2

a

MN

Gọi N là trung điểm của cạnh CD. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của điểm O xuống SM và SN. Do ABCD là hình vuông, SO  (ABCD) chứa BC và CD nên P, Q chính là hình chiếu vuông góc của điểm O xuống mặt phẳng (SBC) và (SCD). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng OM và ON.

. Do ∆SOM có SO = OM = a, SO  OM nên P là trung điểm Xét ∆OMN cân tại O (do tính cân xứng của hình chóp đều), BD 2

OP 

SM a  2 2

0

. Vậy góc giữa hai mặt phẳng

PQ

,

 OM ON

MON

60

MN 2

a 2

a    2

(SBC) và (SCD) là 600.

của đoạn thẳng SM. Khi đó . Do đó

Chú ý: Qua ví dụ 2, ta thấy việc áp dụng cách 1 hay cách 2 phụ thuộc vào vị trí của hai mặt phẳng và cách nhìn vị trí điểm thuận lợi với mặt phẳng. Tuy nhiên, ở một số trường hợp cụ thể với các vị trí của hai mặt phẳng đặc biệt, ta có thể dựng góc giữa hai mặt phẳng theo một cách khác. Ví dụ câu 2c, ta có thể lợi dụng tính chất SC  BD, do đó gọi I là hình chiếu của B trên SC thì I là hình chiếu của D trên SC. Từ đó ta có thể thấy việc xác định cũng như tính góc đơn giản hơn nhiều so với cách làm trên. Hơn nữa với cách trên, ta phải có vị trí của P và Q đặc biệt thì việc tính góc thực hiện đơn giản, còn nếu có vị trí tùy ý thì cách vừa trình bày ở trên ta sẽ thấy tính hiệu quả hơn hẳn. Do đó, ta không nên

18

quá máy móc trong cách làm bài mà phải tùy thuộc vào đề bài cụ thể để có cách giải hay và tối ưu nhất!

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Xác định và tính góc giữa mặt

phẳng (ABC) và (A’BC) biết rằng:

BAC

0120

a/ ∆ABC cân tại A, AA’ = AB = AC = a, .

AA a '

3

b/ ∆ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a, .

c/ ∆ABC vuông tại B, AC = 2BC = 2a, AA’ = a.

B’

C’

A’

H

M

B

C

A

Giải:

đó góc giữa (A’BC) và (ABC) là

a/ Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Do ∆ABC cân tại A nên AM  BC. Do  . Xét ∆A’AM vuông tại A,

'A MA

 AA a AM

,

'

tan '

A MA

 . 2

a   2

b/ Tương tự như trên, gọi H là hình chiếu của A xuống BC. Do đó góc giữa tại A,

. Xét ∆A’AH

(ABC)

vuông

và

là

(A’BC)

'A HA

a

3

.

 AA a AH

;

'

tan '

A HA

AA ' AH

2

2 3

19

Giao tuyến của (A’BC) và (ABC) là đường thẳng BC. Do lăng trụ đứng nên hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là A. Do đó để xác định góc giữa (A’BC) và (ABC), ta cần xác định hình chiếu của điểm A xuống BC.

'A BA

0

. ∆A’BA Xét tại A, ta

tan '

A BA

A BA '

30

3

AA a AB a ,

'

AA ' AB

. c/ Do AB  BC nên tương tự như trên, góc giữa (A’BC) và (ABC) là có vuông 1    3

Bài tập rèn luyện:

060

BAD . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm H của ∆ABD. Biết ∆SAC vuông tại đỉnh S, tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, AB = 2a,

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4a. M là trung điểm của BC, H là trung điểm AM và SH  (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 600. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với

BAC

0120

 AB = AC = a, Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).

, cạnh bên BB’ = a, gọi I là trung điểm của CC’.

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có các cạnh bên SA = SB = SD = a, đáy ABCD là hình thoi có góc BAD 600 và mặt (SDC) tạo với (ABCD) một góc 300. Tính V khối chóp S.ABCD.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a,

0120

SCA

SBA

 

090 BAC , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 450. Tính V khối chóp S.ABC theo a, góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABC).

. Biết

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông

BC 

2

. Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với A’C.

tại B, AB = 1, AA’ = 2, Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABC).

Bài 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (A’BC). Tính tanα theo a và b.

Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2, BC = 4. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh AC. Góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) bằng 600. Tính độ dài AA’.

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm I, đường chéo BD = a. Đường thẳng SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính độ dài SC theo a để mặt phẳng (SAB) và (SAD) tạo với nhau góc 600.

20

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SD tạo với đáy góc 450. Gọi  là góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính tan.

3. Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong

các bài toán về khoảng cách.

3.1. Khoảng cách giữa hai điểm hay độ dài đoạn thẳng.

Cho hai điểm A, B phân biệt bất kỳ. Để tính khoảng cách giữa hai điểm A, B hay độ dài đoạn thẳng AB; ta có thể tính dễ dàng được nếu vị trí của hai điểm A, B là thuận lợi. Tuy nhiên, nếu vị trí của hai điểm A, B là bất kỳ thì việc tính độ dài AB còn phụ thuộc rất nhiều vào hình ban đầu và vị trí của A và B.

Thông thường ta sẽ đặt đoạn thẳng AB vào một đa giác (thường là tam giác hoặc tứ giác), sau đó dựa vào tính chất đa giác đó để tính độ dài đoạn thẳng AB. Tuy nhiên đa giác đó được dựng như thế nào, có nguyên tắc cơ bản để dựng không? Tất nhiên không thể có nguyên tắc cơ bản cho mọi trường hợp. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng cách sau đây có thể giải được đa số các bài toán về tính độ dài đoạn thẳng AB:

Bước 1: Tìm mặt phẳng (α) chứa điểm B sao cho có thể dễ dàng tìm hình

chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (α).

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (α). Tính độ

2

2

dài đoạn thẳng AH và HB.

AB

AH

HB

Bước 3: Khi đó xét ∆AHB vuông tại H, ta có: .

Để làm rõ hơn phương pháp trên, ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a và đường thẳng A’B tạo

a/ Gọi P là trung điểm của cạnh CC’, Q là điểm trên cạnh A’B’ sao cho A’Q

= 2QB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.

a/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B’C’. Tính độ dài

đoạn thẳng MN.

c/ Gọi E là điểm trên cạnh B’C sao cho B’E = 2EC, F là trung điểm của cạnh

AA’. Tính độ dài đoạn thẳng EF.

với đáy một góc 600.

Giải:

0

Góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) là

.

A BA '

  

AA a '

60

3

21

2

2

a/ Do lăng trụ đứng nên hình chiếu vuông góc của P trên (A’B’C’) là C’. Do

PQ

PC

'

C Q '

a

7

a

3

2

0

đó mà

C P '

;

C Q '

2  B Q B C

'

'

'

2 '

B Q B C .

'

'.cos 60

3

2

a

nên

PQ 

55 6

M

A

C

K

B

E

P

F

G

M’

C’

A’

N

Q

B’

.

a

2

b/ Gọi M’ là trung điểm của cạnh A’C’. Do đó MM’ // AA’ hay hình chiếu

MN

2  MM M N

'

'

13 2

c/ Ta dựng hình chiếu của điểm E trên (ABB’A’). Gọi K là trung điểm của cạnh AB. Khi đó CK  AB nên CK  (ABB’A’) hay K là hình chiếu vuông góc của C trên (ABB’A’). Gọi G là trọng tâm ∆ABB’. Khi đó EG // CK hay G là hình chiếu vuông góc của điểm E trên (ABB’A’).

22

của M trên (A’B’C’) là M’. Do đó .

a

3

a

3

CK

  EG

CK

2

2 3

3

a

7

2

2

0

Ta có ,

GF

A F '

A G '

2 '

A F A G .

'

.cos30

6

a

2

2

nên

EF

 EG FG

19 6

.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân tại B, AB = a. Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và AB. Tính độ dài MN theo a.

Giải:

S

a

3

a

3

Gọi H là trung điểm của cạnh AC. Do ∆SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH  (ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh HC. Khi đó MI // SH hay I là hình chiếu vuông góc của M trên (ABC). Ta có

SH

  MI

2

4

a

2

2

NI

AN

AI

2

AN AI .

0 .cos 45

10 4

M

a

2

2

. Ngoài ra

MN

MI

NI

13 4

I

H

C

A

N

B

nên .

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa (ABC) và (SBC) bằng 600. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SB vuông góc với đáy, BC = a, SB = 2a. Gọi M và N là trung điểm của AB, SC. Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a.

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

. Điểm A’ cách đều các điểm A, B, D. Góc giữa đường thẳng AA’

ABC

0120

23

và mặt phẳng (ABCD) là 600. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A’B’, N là điểm trên cạnh AD sao cho AN = 2ND.

a/ Tính độ dài đoạn thẳng CM.

b/ Tính độ dài đoạn thẳng B’N, độ dài đoạn thẳng C’M.

AH

;

3.2. Khoảng cách giữa điểm và đường thẳng.

 d A d dựng điểm H là dễ dàng và độ dài đoạn thẳng AH là tính được.

Cho điểm A và đường thẳng d không qua A. Để tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d, nguyên tắc cơ bản là tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A . Đó là cách tính trực tiếp nếu việc xuống đường thẳng d. Khi đó

Tuy nhiên với vị trí bất kỳ của A và d thì hai yếu tố trên không phải lúc nào cũng thực hiện đơn giản. Do đó với một số trường hợp, ta có thể áp dụng cách tính gián tiếp đơn giản sau:

Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa d sao cho có thể dễ dàng tìm H là hình

chiếu vuông góc của A trên (α).

2

2

Bước 2: Trong mặt phẳng (α), dựng I là hình chiếu vuông góc của H trên d.

AI

HI

AH

.

;

;

 d a b

Bước 3: Khoảng cách cần tìm là:  Ngoài ra, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song cũng được tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Cụ thể, nếu a // b thì khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ trên a đến đường thẳng b, ký hiệu là .

 d A b Để làm rõ hơn phương pháp, ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau

SA a SB a ;

2;

 SC a

3

C

I

H

B

S

tại S biết .

A

24

a/ Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AC. b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Giải:

a

3

a/ Do S và AC cùng nằm trên mặt phẳng (SAC) nên ta dựng H là hình chiếu

d S AC ;

SH

SA SC . 2

2

2

SA

SC

của S xuống đường thẳng AC. Khi đó .

a

2

b/ Mặc dù A và BC cùng nằm trong mặt phẳng (ABC), tuy nhiên ∆ABC không có dạng đặc biệt. Do đó việc tính khoảng cách từ A đến BC dựa vào ∆ABC là phức tạp. Do đó, ta có thể chọn mặt phẳng (SBC) chứa đường thẳng BC và hình chiếu của A xuống mặt phẳng (SBC) là S. Từ S kẻ SI  BC. Dễ

d A BC ;

AI

2 SA

SI

55 5

dàng chứng minh được AI  BC. Do đó

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. a/ Tính khoảng cách từ trung điểm M của BC đến đường thẳng A’B’. b/ Gọi N là điểm trên cạnh BB’ sao cho B’N = 2NB. Tính khoảng cách từ

C

A

M

B

N

H

A’

C’

điểm A đến đường thẳng C’N.

M’

I

B’

a/ Do tất cả các mặt bên của lăng trụ là hình vuông cạnh a nên lăng trụ

ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều với đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên là a.

Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A’B’, ta có thể tính trực tiếp được do các cạnh của ∆A’B’M hoàn toàn có thể tính được. Tuy nhiên dạng của ∆A’B’M có thể không đặc biệt nên việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng A’B’ phụ thuộc việc tính diện tích ∆A’B’M theo công thức Hêrông. Để đơn giản

25

Giải:

hơn bài toán, ta dựng hình chiếu của điểm M xuống mặt phẳng chứa A’B’, và đó là mặt phẳng (A’B’C’).

'

a

3

Gọi M’ là trung điểm của đoạn thẳng B’C’. Khi đó MM’ // BB’ hay M’ là hình chiếu của M xuống mặt phẳng (A’B’C’). Gọi I là hình chiếu của M’ trên đường thẳng A’B’. Khi đó dễ thấy MI  A’B’ hay khoảng cách từ M đến đường thẳng A’B’ là MI.

B I '

M I '

,

MM a '

 . Do đó

A B ' 4

a   4

4

a

a

2

Do ∆ABC đều nên

MI

2  MM M I ' '

d M A B 

;

'

'

19 4

19 4

. Vậy .

b/ Tương tự như trên, việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng C’N phụ thuộc vào dạng của ∆AC’N và tính diện tích ∆AC’N. Do đó để đơn giản cách tính, ta đựng hình chiếu của của điểm A xuống mặt phẳng (BCC’B’) chứa đường thẳng C’N.

a

3

Do AM  BC (do ∆ABC đều) nên AM  (BCC’B’) hay M là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCC’B’). Gọi H là hình chiếu của M xuống đường thẳng C’N. Khi đó AH  C’N hay khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng C’N là AH.

AM 

2

Ta có , giả sử C’N cắt đường thẳng BC tại P, gọi Q là hình chiếu

'

của Khi đó

BP

    

CQ

CP

MH

a 2

CQ 2

a 3 2 13

 CP CC

2 '

2

. Do đó xuống CP CC . 2 C a 3 2 C’N. a 3 13

AH

2  AM MH

d A C N  '

;

a 2 3 13

a 2 3 13

. Vậy .

Bài tập rèn luyện:

BAC

  2

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC với đáy là tam giác vuông tại B có  ACB và các đường trung tuyến BB’, phân giác trong CC’. Các mặt phẳng (SBB’), (SCC’) cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng (SB’C’) và mặt đáy là 600 và B’C’ = a. Tính khoảng cách từ trọng tâm của ∆SBC đến đường thẳng B’C’ theo a.

26

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AC = 2a, ∆SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là 600.

a/ Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng SA, khoảng cách từ D đến đường

thẳng BM với M là điểm trên cạnh SA sao cho SM = 2MA.

b/ Gọi N là trung điểm cạnh SC, tính khoảng cách từ N đến đường thẳng BD. c/ Gọi G là trọng tâm ∆ABC, P là điểm trên cạnh AD sao cho AP = 2PD.

Tính khoảng cách từ điểm G đến đường thẳng CP.

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

điểm A’ cách các điểm A, B, C, D một khoảng bằng a.

a/ Tính khoảng cách từ A’ đến đường thẳng CD, khoảng cách từ C’ đến

đường thẳng AD.

b/ Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tính khoảng cách từ B’ đến

đường thẳng AM.

c/ Gọi P là điểm trên cạnh B’C’ sao cho B’P = 2PC’. Tính khoảng cách từ C

đến đường thẳng D’P.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

SC a

3

. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, M

vuông góc với mặt phẳng đáy và là trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.

Bài 5: Cho ∆ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho OA = 4cm. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC.

3.3. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng.

AH

Cho điểm A và mặt phẳng (α) bất kỳ. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α), nguyên tắc cơ bản là tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống

mặt phẳng (α). Khi đó . Đó là cách tính trực tiếp nếu việc dựng

 d A ;

     điểm H là dễ dàng và độ dài đoạn thẳng AH là tính được.

.

  

  

Tuy nhiên, với trường hợp điểm A và mặt phẳng (α) bất kỳ thì hai yếu tố trên không phải lúc nào cũng thực hiện đơn giản. Do đó, để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α), ta có thể tính gián tiếp thông qua khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (α). Cách làm trên được gọi là “phép dịch chuyển điểm” trong bài toán khoảng cách. Có hai cách dịch chuyển sau:

Cách 1: Dịch chuyển song song: Nếu đường thẳng AB // (α) thì  d A ;

 d B ;

Cách 2: Dịch chuyển tỷ lệ: Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng (α) tại điểm

I thì

.

;

IA IB

     

 d A ;  d B

 

Thông qua phép dịch chuyển điểm trên, rõ ràng việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) không phụ thuộc hoàn toàn vào việc tìm hình chiếu vuông

27

góc của điểm A xuống mặt phẳng (α). Ta có thể chọn một điểm B nào đó phù hợp để dựng hình chiếu và tính khoảng cách từ B xuống mặt phẳng (α). Từ đó ta tìm mối liên hệ giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (α), qua đó tìm mối liên hệ về khoảng cách từ điểm A và B đến mặt phẳng (α). Nói cách khác, việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thì mặt phẳng là yếu tố cố định, điểm là yếu tố di động có thể dịch chuyển đến điểm tùy ý phù hợp với mặt phẳng.

 )

 )

;(

;(

Và phép dịch chuyển trên cũng giúp giáo viên có thể tự xây dựng các bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng nếu biết khoảng cách từ một điểm nào đó đến mặt phẳng. Phải chú ý rằng điểm ban đầu đề bài cho không quan trọng mà cần quan tâm đến điểm “thuận lợi” nhất có thể dựng hình chiếu và tính khoảng cách đến mặt phẳng đã cho. Qua đó, ta cũng có thể giải quyết bài toán về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

 d A

 d a

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cũng ứng dụng để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Cụ thể, cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α), khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ điểm A bất kỳ trên . Cho hai mặt đường thẳng a đến mặt phẳng (α), ký hiệu

  ( ) );(

 )

;(

 d A

. phẳng (α) và (β) song song với nhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng là khoảng cách từ điểm A bất kỳ trên mặt phẳng (α) đến mặt phẳng (β), ký hiệu d

Để làm rõ hơn phương pháp, ta xét một số ví dụ sau:

ABC

030

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a V khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến (SAB).

Gọi H là trung điểm của BC. Do đó SH  BC mà (SBC) vuông góc với đáy

nên SH  (ABCD) hay H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD).

Với mặt phẳng (SAB), việc dựng hình chiếu của điểm C xuống mặt phẳng (SAB) là khó khăn do ∆SBC đều nhưng ∆SAB không có dạng đặc biệt. Do đó, ta chọn điểm thuận lợi hơn so với mặt phẳng (SAB) là điểm H do ta đã có SH  AB.

Do CH cắt (SAB) tại B và BC = 2 BH nên d(C;(SAB)) = 2d(H;(SAB). Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB. Khi đó HM // AC nên HM  AB. Gọi I là hình chiếu của H trên SM. Dễ thấy I là hình chiếu vuông góc của H trên (SAB) hay d(H;(SAB)) = HI.

28

Giải:

AC

MH

a   2

a  . 4 39

a

a

3

SH MH .

a

39

Do BC = a nên Do

)

SH

  HI

  d C SAB ;

2

2

2

26

13

 SH MH

S

I

A

C

H

M

. Vậy .

B Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có SA = AB = a. Gọi M là trung điểm

S

cạnh AB. Tính khoảng cách từ M đến (SBC).

A

D

H

O

M

B

C

N

Do hình chóp là đều nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là giao điểm O của AC và BD. Với mặt phẳng (SBC), việc dựng hình chiếu vuông góc của điểm M xuống mặt phẳng (SBC) là tương đối khó khăn do

29

Giải:

Do OM // BC nên OM // (SBC), do đó . Gọi N điểm M không có các quan hệ đặc biệt với mặt phẳng (SBC). Do đó ta chọn điểm thuận lợi với mặt phẳng (SBC) là điểm O do SO  BC và OB = OC. 

  d M SBC ;

  d O SBC ;

2

là trung điểm của cạnh BC. Do đó ON  BC, do SO  BC nên BC  (SON). Gọi H là hình chiếu của điểm O xuống SN. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của điểm O xuống (SBC).

ON

;

SO

2  SA OA

  

OH

ON SO . 2

2

a 2

a 6

a 2

ON

SO

Ta có, . Vậy

a 6

khoảng cách từ điểm M đến (SBC) là .

ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân

.

'

'

'

AB

a

2

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng

 . Mặt phẳng 

'A BC tạo với mặt phẳng 

 ABC

tại A ;  0120 , BAC

060 . Tính khoảng cách từ điểm

'B đến mặt phẳng 

 'A BC .

C’

một góc

A’

B’

I

H

A

C

M

B

Xét mặt phẳng (A’BC), điểm A sẽ là điểm thuận lợi nhất do AA’  (ABC) và AB = AC. Do đó để tính khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BC), ta sẽ dịch chuyển điểm B’ đến điểm A.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AM  BC nên BC  (A’AM). Do đó góc

giữa

(A’BC)

và

(ABC)

là

.

Ta

có

A MA '

0 60

a

3

0

. Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B. Do

AM

  AA

'

AM

.tan 60

2

a 3 2

30

Giải:

'

;

'

  d B A BC ';

đó I là trung điểm của AB’ nên . Gọi H là hình

   d A A BC thấy AH 

0

;

'

 AH AM

.sin 60

';

trên A’M. Dễ nên

a 3 4

. Vậy . chiếu   d A A BC của A  (A’BC) a  3  d B A BC  ' 4

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AMN) biết:

a/ ∆ABC đều cạnh 2a.

b/ ∆ABC vuông tại B biết rằng BC = a, AC = 2a.

S

Bình luận: Đây là ví dụ khá hay và thú vị do nó có dạng tương đối khác so với những dạng quen thuộc trong các đề thi hay các bài tập mà học sinh thường tiếp xúc. Cái khó của ví dụ này nằm ở chỗ điểm “thuận lợi” của mặt phẳng (AMN) lại chứa điểm A (tức là điểm ta hay nghĩ đến nhất khi dựng hình chiếu vuông góc và tính khoảng cách). Do đó ta cần chọn một điểm khác, có thể đã có sẵn trên hình hoặc cần dựng. Tuy nhiên, điểm cần chọn là điểm nào? Nếu có sẵn thì nhận biết như thế nào, nếu cần dựng thêm thì nguyên tắc dựng là gì? Ta sẽ trả lời trong phần bài giải sau.

N

P

I

M

H

C

A

K

B

a/ Ở đây, với mặt phẳng (AMN) ta chọn điểm S là điểm thuận lợi. Do ta thấy rằng SM = SN (do SB = SC). Hơn nữa ta lại có AM = AN nên mặt phẳng (SAI) vuông góc với MN (với I là trung điểm của MN). Do đó ta có lời giải sau:

31

Giải:

  d S AMN ;

. Gọi I là trung điểm của MN. Do SA  (ABC), AB = AC nên SB = SC, AM = AN. Do đó AI  MN và SI  MN hay MN  (SAI). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S xuống AI. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của điểm S xuống (AMN). Ngoài ra SC cắt mặt phẳng (AMN) tại trung điểm N của cạnh SC nên   d C AMN ;

Gọi K là trung điểm cạnh BC. Khi đó SA  (ABC) và AK  BC nên góc giữa

SKA

030

 AK a

3

  . SA a

AI

SI

a

(SBC) và (ABC) là . Do ∆ABC đều cạnh 2a nên

 nên ∆SAI đều cạnh a. Khi đó

a

3

SK 2 3

a

Xét ∆SAI, SA = a,

SH 

;

 d C AMN 

2

2

. Vậy .

b/ Dễ thấy (SBC) và (ABC) có giao tuyến là BC, SA  BC mà AB  BC nên

SBA

030

0

 AB a

3;

 SA AB

.tan 30

 . a

góc giữa (SBC) và (ABC) là . Do đó,

Khi ∆ABC vuông tại B thì SM khác SN và AM khác AN. Hơn nữa SM và SN không vuông góc nên điểm S không còn phù hợp. Do đó, ta chọn điểm khác phù hợp hơn. Chú ý rằng MN // BC mà BC  (SAB) nên MN  (SAB). Do đó điểm thích hợp ở đây là điểm B.

  d C AMN ;

  d B AMN ; góc của điểm B xuống đường thẳng AM. Do MN  (SAB) nên BP  (AMN) hay P là hình chiếu vuông góc của điểm B xuống mặt phẳng (AMN). Ta có

a

3

a

3

0

Do BC // MN nên . Gọi P là hình chiếu vuông

 BP AB

.sin

 PAB AB

.sin 30

;

 d C AMN 

2

2

. Vậy .

Chú ý: Sau khi xem xong ví dụ 5 ở sau đây, bạn hãy giải lại ví dụ 4 theo cách làm của ví dụ 5. Ngoài ra, bạn đọc có suy nghĩ gì nếu chỉ cho M là trung điểm của cạnh SB, còn N là điểm bất kỳ trên cạnh SC, ví dụ điểm N nằm trên cạnh SC sao cho SN = 2NC, bài toán sẽ được giải như thế nào?

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt

BAC

030

phẳng (ABC). Biết rằng ∆ABC vuông tại B, , BC = a và góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 450. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, P là điểm trên cạnh SC sao cho SC = 4SP. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (MNP).

32

Bình luận: Đây là một ví dụ không mẫu mực khác ở dạng toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Thoạt nhìn, học sinh nhầm tưởng là mặt phẳng (SMN), do đó dựng hình chiếu vuông góc I của A xuống MN, sau đó dựng hình chiếu H của A xuống SI hoặc xuống PI. Đó là cách làm sai lầm do mặt phẳng (SMN) và (MNP) hoàn toàn khác nhau về bản chất và SA  MN nhưng AP không vuông góc với MN. Do đó, để giải quyết bài toán, học sinh khá lúng túng. Hơn nữa điểm A là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) lại không thuận lợi nên học sinh không biết dịch chuyển đến điểm nào thuận lợi hơn. Vậy điểm thuận lợi đó là điểm nào? Nguyên tắc để tìm là gì? Ta sẽ có trong phần bài giải sau.

Giải:

Do (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA  (ABC). Gọi I là trung điểm của AM. Khi đó PI // SA hay PI  (ABC). Từ đó ta thấy việc dựng hình chiếu của điểm I xuống mặt phẳng (MNP) cũng tương tự như việc dựng hình chiếu của điểm A xuống mặt phẳng (SMN).

S

P

H

N

C

I

A

E

M

B

33

Gọi E là trung điểm MN. Khi đó IE // AM hay IE  MN. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I xuống PE. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của I xuống (MNP).

 AB a

3,

AC

2

a

SCA

045

3

3

Ta có BC = a, . Góc giữa SC và đáy là góc

PI

;

IE

SA 4

a 3 2

AB a  4

4

nên SA = 2a. Do đó . Vậy

IH

2

;

  d A MNP ;

  d I MNP

PI IE . 2

2

a 3 2 13

a 3 13

PI

IE

. Mà .

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến (SCD).

3

AD a

Bài 2: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =

. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với a, giao điểm của AC và BD. Góc giữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm B’ đến (A’BD) theo a.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa (SBC) và (ABC) là 600, ABC và

SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).

a

 ' 2

BAC

120

AA  5; điểm A đến (A’BM).

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a; AC = 2a; 0 . Gọi M là trung điểm của CC’. Tính khoảng cách từ

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, CD và SA. Mặt phẳng (SCN) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) là 600. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BPQ) theo a.

Bài 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Tính khoảng cách từ điểm A đến (P).

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, AC = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a. Biết rằng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (SCD); khoảng cách giữa

6

SA a đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC).

34

Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 600 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ.

3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Thông thường, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’,

ta sử dụng hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và tính

độ dài đoạn thẳng đó.

Phương pháp 2: Đưa về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Trong hai phương pháp thường dùng trên, phương pháp 1 tương đối khó thực hiện do việc dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó về cơ bản là khó thực hiện. Nhiều bài toán đoạn vuông góc chung rất khó dựng hoặc nếu dựng được cũng rất khó tính toán. Do đó phương pháp 1 thường chỉ áp dụng với trường hợp hai đường thẳng vuông góc hoặc đã thấy rõ đoạn vuông góc chung. Tuy nhiên nếu đề bài đã cho đường vuông góc chung của hai đường thẳng để chứng minh hoặc chứng minh hai đường thẳng vuông góc thì phương pháp 1 tỏ rõ hiệu quả, ngắn gọn và trình bày đơn giản.

Để giải bài toán tính khoảng các giữa hai đường thẳng chéo nhau theo phương

pháp 1, ta áp dụng với trường hợp hai đường thẳng a, b vuông góc như sau:

Phương pháp 2 là cách dễ thực hiện và có thể áp dụng cho tất cả các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Ngoài ra việc đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chính là một cách đơn giản hóa bài toán do để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta không nhất thiết dựng hình chiếu của điểm đó xuống mặt phẳng mà ta có thể dịch chuyển đến một điểm phù hợp hơn (như đã trình bày ở trên). Còn đoạn thẳng vuông góc chung luôn luôn là duy nhất nên làm bài toán khó khăn hơn nhiều.

Bước 1: Kiểm tra a  b. Cách đơn giản và dễ nhận biết nhất là sử dụng định

lý ba đường vuông góc như sau:

a

b

a’

α

35

Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b sao cho dễ dàng dựng hình chiếu a’

của đường thẳng a trên mặt phẳng (α). Khi đó a  b khi và chỉ khi a’  b.

Bước 2: Xét mặt phẳng (β) là mặt phẳng chứa a và a’. Khi đó b  (β) tại điểm

b

a

H

a’

K

β

H (H là giao của b và a’).

Bước 3: Trong mặt phẳng (β), kẻ HK  a với K nằm trên đường thẳng a. Khi đó HK chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b hay khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn thẳng HK. Tính HK.

Để giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dựa vào

khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ta làm các bước như sau:

;

;

Bước 1: Gọi hai đường thẳng chéo nhau là d1 và d2. Dựng đường thẳng d1’ //

  

  

 d d d 1

2

2

Bước 2: Khi đó với A là một điểm bất kỳ d1 và d1’ cắt d2. Xác định mặt phẳng (α) chứa d1’ và d2.  

 d A ;

 d d

trên d2.

Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) và kết luận.

Để làm rõ hơn các phương pháp trên cũng như so sánh hai phương pháp trong

từng trường hợp cụ thể, ta xét một số ví dụ sau:

Do đó, nếu hai đường thẳng chéo nhau là vuông góc với nhau, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng dựa vào đường vuông góc chung; nếu hai đường thẳng chéo nhau không vuông góc với nhau, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng AB và CD.

Giải:

Cách 1: Sử dụng đường vuông góc chung.

Gọi G là trọng tâm ∆BCD. Do tứ diện là đều nên AG  (BCD). Hình chiếu của AB xuống mặt phẳng (BCD) là BG mà BG  CD nên AB  CD. Gọi N là trung điểm của CD. Mặt phẳng (ABN)  CD và cắt CD tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên AB. Khi đó MN chính là đường vuông góc chung của hai

36

a

2

a

3

2

2

đường thẳng AB và CD. Do các tứ diện ABCD đều nên BN = AN. Do đó M là

 AN BN

MN

AN

AM

2

2

a

2

A

trung điểm của AB. Ta có . Vậy

d AB CD MN

;

2

M

C

N

D

G

Q

B

E

P

.

Cách 2: Đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

 d AB CD d CD ABE

;

;

  d C ABE ;

. Do 3CG CE = Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành. Khi đó CD // BE. Khi đó   nên

  d C ABE ;

  d G ABE ;

 3 2

hình chiếu của G xuống AP. Do đó Q là hình chiếu vuông góc của G xuống mặt

d AB CD ;

GQ

phẳng (ABE). Do đó

. Tính toán tương tự ta được kết quả

2 3

trên.

. Gọi P là hình chiếu của G xuống BE, gọi Q là

Bình luận: Theo nhận xét ở trên, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dựa vào khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là tối ưu hơn ở trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, khi hai đường thẳng vuông góc với nhau, việc dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đơn giản hơn nhiều so với việc đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng như ví dụ trên (ta phải dựng ra ngoài hình). Do đó, với hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chọn cách thứ nhất là sử dụng đường vuông góc chung.

37

A’

C’

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh AA’. Biết góc giữa hai mặt phẳng (BMC’) và (ABC) là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC’.

B’

M

D

H

C

A

C

Giải:

N

B

E

Kéo dài MC’ cắt AC tại E. Khi đó A là trung điểm của EC hay ∆BEC vuông

tại B.

Xét góc giữa mặt phẳng (BEC’) (chính là mặt phẳng (BMC’)) và mặt phẳng (ABC). Giao tuyến hai mặt phẳng là đường thẳng BE, hình chiếu của C’ xuống mặt phẳng (ABC) là C mà CB  BE nên góc giữa (BEC’) và (ABC) là

CC a '

3

C BC '

0 60

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC’, ta có hai cách vẽ song

song.

. Do đó .

Cách 1: Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BB’ tại trung điểm N đó

của

'

'

;

'

;

'

. Tuy nhiên

 d AB MC ;

  d AB C MN ;

  d B C MN

BB’. 

Khi 1   d C C MN 2

với cách này mặt phẳng (C’MN) nằm cắt giữa lăng trụ nên để tính khoảng cách từ C đến (C’MN) ta lại kéo dài CN cắt đường thẳng BC tại F sao cho B là trung điểm của CF. Khi đó hình vẽ tương đối khó nhìn. Bạn đọc có thể giải tiếp bài toán theo định hướng trên.

38

'

'

 d AB MC ;

của C’. Khi đó . Rõ ràng với

  d C ABD ';

CH

Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với C’M cắt CC’ tại trung điểm D   d C M ABD ; mặt phẳng (ABD) thì việc chọn điểm thích hợp là dễ dàng và việc dựng hình chiếu cũng đơn giản hơn do có AB nằm trên mặt phẳng đáy.

Mà . Khi đó, với mặt phẳng (ABD) thì điểm thuận lợi ở đây là C do CD  (ABC). Gọi N là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông góc của C xuống DN. Khi đó CN  AB mà CD  (ABC) nên H là hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Mà CC’ cắt (ABD) tại trung điểm D của CC’ nên     d C ABD d C ABD ; ';

 a

'

3

 3

a

a

6

a

6

CD

;

CN

  CH

d AB MC  ;

'

CC 2

2

2

4

4

. Vậy .

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Giải:

Rõ ràng với hai đường thẳng SA và BC, để dựng đường thẳng song song ta phải vẽ phía ngoài hình ban đầu. Với cách dựng như vậy, học sinh sẽ khó nhìn hình, dẫn đến ngộ nhận một số tính chất làm cho việc giải sai bài toán. Đặc biệt học sinh khó hình dung đường thẳng vẽ ngoài thuộc những mặt phẳng nào. Để khắc phục khó khăn trên, ta sẽ vẽ lại hình và mở rộng hình ban đầu để đường thẳng song song vẽ thêm sẽ nằm trong hình ban đầu, khi đó học sinh nhìn hình sẽ đơn giản và chính xác hơn. Cụ thể, ta đựng hình như sau:

(do với mặt phẳng

 d SA BC ;

đều). BC //

Gọi D là điểm trên mặt phẳng (ABC) sao cho ABCD là hình thoi (do ∆ABC AD nên  Do   d BC SAD ;

  d H SAD ;

  d B SAD ;

đó 

3 2

(SAD) thì điểm H là điểm thuận lợi nhất vì H là hình chiếu của S xuống (ABCD) chứa đường AD của mặt phẳng (SAD)).

Gọi I là hình chiếu của H xuống đường thẳng AD (chú ý rằng I là điểm nằm ngoài cạnh AD về phía A do HAD tù, vì vậy học sinh rất dễ vẽ sai hình ở bài này do không đúng vị trí tương đối giữa các điểm). Gọi K là hình chiếu vuông góc của H xuống đường thẳng SI. Do SH  (ABCD) chứa đường AD, HI  AD mà HK  SI nên K là hình chiếu vuông góc của điểm H xuống mặt phẳng (SAD).

39

S

C

D

K

B

A

H

I

a

7

2

2

CH

BC

BH

2

BC BH .

.cos

CBH

3

Ta có: , do SH  (ABCD)

a

0

0

SCH

  

SH CH

60

.tan 60

nên góc giữa SC mặt phẳng đáy là và

21 3

a

42

a

3

0

Do .

AH

  

HI AH

.sin 60

HK

SH HI . 2

2

a 2 3

12

3

SH

HI

a

.

d SA BC ;

HK

3 2

42 8

. Vậy

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

060

, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) 060 . Điểm M là trung điểm cạnh CD, điểm N thuộc cạnh SD

ABC  và (ABCD) bằng sao cho SD = 4ND. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC theo a.

Giải:

40

a

3

AM 

2

0

0

SMA

  

SA AM

60

.tan 60

Do ∆ABC đều cạnh a nên AM  CD và . Do SA  (ABCD) nên

a 3 2

S

N

F

K

H

A

D

E

M

O

B

C

góc giữa (SCD) và (ABCD) là .

Tương tụ như ví dụ 1, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta cũng có hai cách để vẽ các đường thẳng song song: trong mặt phẳng (ABCD) từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại trung điểm K của AD, trong mặt phẳng (SCD) từ điểm C kẻ đường thẳng song song với MN cắt SC tại trung điểm I của SC.

Để minh họa cho phương pháp, ở đây tôi trình bày theo cách dựng thứ nhất.

. Rõ ràng mặt phẳng (MNK) có

Gọi K là trung điểm của cạnh AD, do đó MK // AC. Khi đó:  d AC MN ;

Cách dựng thứ hai các bạn có thể dựng hình và giải bài toán.

  d AC MNK ;

  d A MNK ;

2KH nên

.

vị trí ở giữa hình chóp, do đó điểm thuận lợi ở bài toán là chưa rõ ràng. Và tương tự như ví dụ 5 mục 3.3. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng, ta dựng hình chiếu H của điểm N xuống mặt phẳng (ABCD) với H nằm trên đường thẳng AD. Do đó NH // SA hay H là trung điểm của KD. Khi đó, H là điểm thuận lợi của mặt phẳng (MNK). Do AH cắt mặt phẳng (MNK) tại K và AK =  

  d H MNK ; 2

  d A MNK ;

Gọi E là hình chiếu của H trên MK, F là hình chiếu của H trên NE. Do MH  (ABCD) chứa MK nên F là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (MNK).

41

3

NH

;

HE

OD a 

  HF

HN HE . 2

2

SA 4

a 3 8

4

8

a 3 16

HN

HE

d AC MN  ;

Ta có . Vậy

a 3 8

.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

ACB

030

, góc giữa mặt phẳng (ABC) và (AB’C) là 450. Biết rằng AA’ = a.

a/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AC’, với M là trung điểm

của đoạn thẳng AB.

b/ Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM.

SH a

3

. Tính khoảng cách

Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A’C’, B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và A’F theo a.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SB vuông góc với đáy, BC = a, SB = 2a. Gọi M và N là trung điểm của AB, SC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC.

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,

0120

BAC . Gọi H, M lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC, SH vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a và tạo với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC.

Bài 8: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB = 3a, CD = a, AD = 2a, ∆SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

42

43

đáy. Biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Phần III.

KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ HIỆU QUẢ KINH TẾ CỦA SÁNG KIẾN

1. Tác giả đã tiến hành giảng dạy và triển khai thực nghiệm sáng kiến này tại trường THPT Gia Viễn A và đã thu được những kết quả nhất định. Trong quá trình giảng dạy, rút kinh nghiệm thì sáng kiến đã ngày một hoàn thiện hơn. Sau đó tác giả đã cung cấp tài liệu này cho các đồng nghiệp tại trường THPT Gia Viễn A và một số trường THPT trong tỉnh, các bạn đồng nghiệp ở các tỉnh ngoài và nhận được nhiều ý kiến đóng góp và các phản hồi tích cực từ các thầy cô. Qua các ý kiến phản hồi đó, tác giả đã hoàn thiện hơn sáng kiến. Hầu hết các bạn đồng nghiệp đều đánh giá cao tư tưởng mà tác giả đã đưa ra cũng như hệ thống các ví dụ, bài tập trong tài liệu và đã áp dụng tài liệu này vào việc giảng dạy, ôn tập, ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi Đại học, Cao đẳng cũng như bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi. Qua áp dụng thực tế vào quá trình giảng dạy, tác giả và các đồng nghiệp nhận thấy tính hiệu quả của sáng kiến, làm cho học sinh dễ tiếp thu kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.

Chẳng hạn tác giả đã áp dụng tài liệu vào giảng dạy và thu được kết quả như sau. Trong năm học 2012 – 2013 và năm học 2013 – 2014, đề thi học kỳ II môn Toán lớp 11 có câu 4 về hình học không gian với số điểm là 3,0 điểm. Trong đó có 2,0 điểm liên quan đến góc và khoảng cách trong không gian. Kết quả tại lớp 11A năm học 2012 - 2013 mà tác giả dạy và lớp 11B1 năm học 2013 – 2014 mà cô Vũ Thị Hoa dạy như sau:

Lớp Tổng số học sinh Số học sinh đạt 2,0 điểm Số học sinh đạt 1,5 điểm Số học sinh đạt 1,0 điểm Số học sinh đạt 0,5 điểm Số học sinh đạt 0,0 điểm

11A 45 35 8 2 0 0

Tương tự, cô Vũ Thị Hoa, tổ trưởng tổ Toán – Tin trường THPT Gia Viễn A cũng đã áp dụng tài liệu này vào giảng dạy. Trong kỳ thi thử Đại học lần III tại trường THPT Gia Viễn A năm học 2013 - 2014 có câu 4 là một bài tập hình học không gian trong đó có ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng để giải các bài toán về góc và khoảng cách. Số điểm dành cho câu đó là 1,0 điểm. Kết quả ở lớp 12A tác giả giảng dạy và lớp 12B1 mà cô Vũ Thị Hoa giảng dạy như sau:

Lớp

Tổng số học sinh

Số học sinh đạt 1,0 điểm

Số học sinh đạt 0,5 điểm

Số học sinh đạt 0,0 điểm

Số học sinh đạt 0,75 điểm

Số học sinh đạt 0,25 điểm

44

11B1 42 33 7 2 0 0

12A 45 30 10 4 1 0

12B1 42 22 12 6 2 0

Qua bảng số liệu cho thấy một tỷ lệ lớn học sinh đã hoàn thành tốt câu hỏi về hình học không gian với ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng. Với mức độ khó của nội dung câu hỏi thì có thể thấy ý nghĩa to lớn mà sáng kiến mang lại.

2. Là một giáo viên cốt cán của bộ môn Toán trường THPT Gia Viễn A, tác giả luôn cố gắng nêu gương trong tìm tòi, học hỏi, đưa ra nhiều giải pháp mới nhằm nâng cao chất lượng giáo dục của bộ môn mình. Cùng với sự cố gắng của các bộ môn khác và sự chỉ đạo sát sao của trường THPT Gia Viễn A, điểm trung bình thi Đại học của trường THPT Gia Viễn A tăng dần theo từng năm. Thứ hạng của trường trong Tỉnh luôn đứng trong 10 trường dẫn đầu trong khi điểm thi đầu vào lớp 10 luôn trong nằm trong các trường thấp nhất của Tỉnh. Đó là sự nỗ lực rất lớn của nhà trường. Ngoài ra trong kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng năm 2014, trường THPT Gia Viễn A có em Nguyễn Trung Đức, do tôi giảng dạy bộ môn Toán suốt ba năm học đã đạt 27,25 điểm, cao thứ hai ở Tỉnh. Tác giả cảm thấy rất tự hào vì những kết quả trên vì có một phần đóng góp của mình cũng như của sáng kiến, mặc dù rất nhỏ bé.

3. Nếu xét về hiệu quả kinh tế, rất khó có thể tính chính xác do nội dung sáng kiến là các kiến thức cung cấp cho học sinh tiếp thu và áp dụng để giải quyết các bài tập trong các đề thi. Tuy nhiên để thấy được hiệu quả kinh tế của sáng kiến, ta có thể làm một vài phép tính sau:

- Về thời gian lao động: Tác giả đã bỏ ra ít nhất 60 giờ để biên soạn tài liệu này. Số giáo viên dạy Toán ở trường THPT Gia Viễn A là 10 người, số học sinh lớp 11 và 12 năm học 2013 – 2014 ở trường THPT Gia Viễn A là 600 em (số liệu đã được làm tròn). Như vậy với sáng kiến trên chúng ta đã tiết kiệm được ít nhất 60 x (600 + 10) = 36.600 giờ công lao động, tức là 1.525 ngày công lao động. Nếu áp dụng sáng kiến cho nhiều năm học, cho giáo viên và học sinh nhiều trường THPT khác thì con số trên còn lớn hơn rất nhiều.

- Về tiền mặt: Để viết nên sáng kiến này, tác giả đọc ít nhất 5 đầu sách tham khảo với trung bình mỗi đầu sách là 35.000 đồng, không kể tài liệu giáo khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), quá trình lâu dài thu thập và phân tích các tài liệu tham khảo trên Internet. Như vậy nếu áp dụng tại trường THPT Gia Viễn A cho một khóa học thì đã tiết kiệm được 35.000 x 5 x (600 + 10) = 106.750.000 đồng! Nếu ta áp dụng cho nhiều năm học, cho giáo viên và học sinh ở nhiều trường THPT khác nữa thì số tiền tiết kiệm được sẽ là rất lớn.

45

KẾT LUẬN

+ Sáng kiến đã trình bày một số kiến thức cơ bản về hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng và cách sử dụng để giải các bài tập về góc và khoảng cách trong hình học không gian.

+ Sáng kiến đã xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập về Hình học 11, Hình học 12 cho chuyên đề về quan hệ vuông góc trong hình học không gian, các bài toán về góc và khoảng cách trong không gian.

+ Sáng kiến đã tạo ra sự liên hệ mật thiết giữa hình chiếu vuông góc của điểm xuống mặt phẳng và các kiến thức về góc, khoảng cách trong không gian, giúp nâng cao các kiến thức cho học sinh thi Đại học, Cao đẳng.

+ Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Việc tự giải quyết hệ thống bài tập, giúp các em hiểu rõ bản chất, phương pháp giải dạng toán này, từ đó các em có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới. Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao năng lực tự học ở mỗi học sinh.

+ Sáng kiến trước hết rất có ý nghĩa đối với tác giả vì nó là một nội dung quan trọng trong chương trình giảng dạy. Hi vọng sáng kiến là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh, cũng như các bạn đồng nghiệp.

+ Tôi đề nghị với trường THPT Gia Viễn A tạo điều kiện để tôi có thể phổ biến rộng rãi hơn nữa với giáo viên và học sinh như một tài liệu tham khảo hữu ích. Ngoài ra tôi đề nghị Sở GD&ĐT cùng với trường THPT Gia Viễn A tạo điều kiện để bộ môn Toán tổ chức chuyên đề để giới thiệu cũng như nhận được sự góp ý từ các giáo viên Toán khác trong tỉnh. Từ đó tôi có thể hoàn thiện sáng kiến hơn đồng thời sáng kiến có thể được áp dụng với giáo viên và học sinh trong toàn tỉnh giúp nâng cao chất lượng giáo dục và tăng tính hiệu quả của sáng kiến.

46

+ Sáng kiến đã cố gắng trình bày vấn đề một cách chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu, có nhiều hình vẽ minh họa thông qua một hệ thống các bài tập phong phú. Đặc biệt, ở một số bài toán chúng ta có thể tương tự hóa hoặc tổng quát hóa cho bài toán đó hoặc trình bày cách giải theo nhiều phương pháp khác nhau. Ngoài ra, các bạn có thể xây dựng các ví dụ khác khó hơn, hoặc giải các bài toán thông qua việc thay đổi một số dữ kiện nào đó. Ngoài ra, hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng còn một số ứng dụng khác như chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian, tính thể tích khối đa diện, các bài toán về mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện… tuy nhiên do một số có sự trùng lặp cũng như thời gian có hạn, tôi chưa nêu thật sự đầy đủ trong sáng kiến.

Xác nhận của cơ quan Gia viễn, tháng 5 năm 2014

Người viết sáng kiến

47

Nguyễn Văn Lưu