Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trang 1
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
THPT: Trung học phổ thông
HSG: Học sinh giỏi
BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi
SK: Sáng kiến
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
BT: Bài tập
NC: Nâng cao
CTSHTQ: Công thức số hạng tổng quát.
CSC: Cấp số cộng
CSN: Cấp số nhân
CMR: Chứng minh rằng
CM: Chứng minh
BĐT: Bất đẳng thức
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trang 2
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
“Mét sè kÜ thuËt tÝnh giíi h¹n cña d·y
sè cho bëi hÖ thøc truy håi”
I. LỜI GIỚI THIỆU:
Bài toán tìm giới hạn của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài
toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật biến đổi – tính toán. Bài toán này thường xuất hiện
trong các đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và quốc tế.
Các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số vẫn còn rất hạn chế; Và hôm
nay, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy BDHSG, cung cấp cho các em
học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá - giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài
liệu tham khảo về giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, tôi đã nghiên cứu và
hoàn thành SK nho nhỏ của mình với tựa đề: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy
số cho bởi hệ thức truy hồi”.
II. TÊN SÁNG KIẾN:
Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Lan
- Địa chỉ: Trường THPT Triệu Thái
- Số điện thoại: 0978 205 898
- Email: nguyentthanhlan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn
IV. CHỦ ĐẦU TƢ TẠO RA SÁNG KIẾN: Nguyễn Thị Thanh Lan
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trang 3
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi:
Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức
truy hồi - Đại số & giải tích 11.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƢỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:
GIÚP HỌC SINH CÓ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY
SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.
NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp và
đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy
hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây:
A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác
định CTSHTQ của dãy số.
B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass.
A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY
HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ:
1. Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQ
n
u
của dãy số.
2. Phƣơng pháp:
Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các
số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ
n
u
Bước 2: Tính giới hạn của dãy số
n
u
bằng cách tính
lim ?
n
u
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trang 4
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Phân tích: Ta nhận thấy:
13 9 1 8u
;
;
311 3 8u
;
;
513 5 8u
Dự đoán:
8
n
un
Lời giải:
* Chứng minh
8
n
un
(HS tự chứng minh bằng phương pháp quy nạp).
* Tính giới hạn của dãy số
n
u
: Ta có:
lim n
u
=
lim 8n 
Ví dụ 2:
Phân tích: Nhận thấy:
13; 1
nn
u u n
nên dãy số
n
u
là một CSC
?
n
u
Lời giải:
* Do
1
1
1
3; 1
nn
u
u u n

nên dãy số
n
u
là một CSC có số hạng đầu
11u
và công
sai d = 3, do đó dãy số
n
u
có CTSHTQ là
11 3 4
nn
u u n d u n
* Tính giới hạn của dãy số
n
u
: Ta có:
lim n
u
=
lim 3 4n
Tính giới hạn của dãy số
n
u
cho bởi:
1
1
1
3; 1
nn
u
u u n

Tính giới hạn của dãy số
n
u
cho bởi:
1
2
1
3
1 ; 1
nn
u
u u n
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trang 5
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007)
Phân tích:
- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm
lim n
u
thì bài toán trở nên rất
khó và lạ đối với học sinh.
- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định CTSHTQ của dãy số
n
u
nhờ
vào việc tìm CTSHTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để
tính
lim n
u
.
- Vấn đề đặt ra là nếu không có câu a thì làm sao ta có thể tìm ra cách đặt:
15
4
nn
vu
để chứng minh dãy
n
v
là một CSN?
Thực ra vấn đề này không quá khó. Để chứng minh dãy
n
v
xác định bởi công
thức
15
4
nn
vu
là một CSN, với
1
13
5
nn
uu

(1), ta cần tìm số b sao cho
1
1()
5
nn
u b u b
1
11
55
nn
u b b u
(2). Từ (1) và (2) suy ra:
15
4
b
.
Do vậy, nếu đặt
15
4
nn
vu
thì
1
1,1
5
nn
v v n
nên
n
v
là một CSN
- HS có thể áp dụng phân tích này với các bài toán tương tự:
1
1. , 1
nn
uA
u B u C n
,
với A, B, C là các số thực.
Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
1
1
10
13, 1
5
nn
u
u u n
a) CMR dãy số
n
v
xác định bởi
15
4
nn
vu
là một CSN
b) Tính
lim n
u