Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
THPT: Trung học phổ thông
HSG: Học sinh giỏi
BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi
SK: Sáng kiến
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
BT: Bài tập
NC: Nâng cao
CTSHTQ: Công thức số hạng tổng quát.
CSC: Cấp số cộng
CSN: Cấp số nhân
CMR: Chứng minh rằng
CM: Chứng minh
BĐT: Bất đẳng thức
Trang 1
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
“Mét sè kÜ thuËt tÝnh giíi h¹n cña d·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi”
I. LỜI GIỚI THIỆU:
Bài toán tìm giới hạn của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài
toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật biến đổi – tính toán. Bài toán này thường xuất hiện
trong các đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và quốc tế.
Các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số vẫn còn rất hạn chế; Và hôm
nay, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy BDHSG, cung cấp cho các em
học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá - giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài
liệu tham khảo về giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, tôi đã nghiên cứu và
hoàn thành SK nho nhỏ của mình với tựa đề: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy
số cho bởi hệ thức truy hồi”.
II. TÊN SÁNG KIẾN:
Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Lan
- Địa chỉ: Trường THPT Triệu Thái
- Số điện thoại: 0978 205 898
- Email: nguyentthanhlan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn
IV. CHỦ ĐẦU TƢ TẠO RA SÁNG KIẾN: Nguyễn Thị Thanh Lan
Trang 2
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi:
Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức
truy hồi - Đại số & giải tích 11.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƢỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:
GIÚP HỌC SINH CÓ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY
SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.
NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp và
đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy
hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây:
A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác
định CTSHTQ của dãy số.
B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass.
A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY
HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ:
1. Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQ của dãy số.
Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các
2. Phƣơng pháp:
số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ
Bước 2: Tính giới hạn của dãy số bằng cách tính
Trang 3
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Tính giới hạn của dãy số cho bởi:
Phân tích: Ta nhận thấy: ; ; ;
; Dự đoán:
Lời giải:
* Chứng minh (HS tự chứng minh bằng phương pháp quy nạp).
* Tính giới hạn của dãy số : Ta có: =
Ví dụ 2:
Tính giới hạn của dãy số cho bởi:
Phân tích: Nhận thấy: nên dãy số là một CSC
Lời giải:
* Do nên dãy số là một CSC có số hạng đầu và công
sai d = 3, do đó dãy số có CTSHTQ là
* Tính giới hạn của dãy số : Ta có: =
Trang 4
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007)
Cho dãy số xác định bởi:
a) CMR dãy số xác định bởi là một CSN
b) Tính
Phân tích:
- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm thì bài toán trở nên rất
khó và lạ đối với học sinh.
- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định CTSHTQ của dãy số nhờ
vào việc tìm CTSHTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để
tính .
- Vấn đề đặt ra là nếu không có câu a thì làm sao ta có thể tìm ra cách đặt:
để chứng minh dãy là một CSN?
Thực ra vấn đề này không quá khó. Để chứng minh dãy xác định bởi công
thức là một CSN, với (1), ta cần tìm số b sao cho
(2). Từ (1) và (2) suy ra: .
Do vậy, nếu đặt thì nên là một CSN
- HS có thể áp dụng phân tích này với các bài toán tương tự: ,
với A, B, C là các số thực.
Trang 5
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
- Ngoài ra, có thể đặt , khi đó ta có . Suy ra
Lời giải:
a) Thật vậy, ta có: .
Vậy là một CSN có công bội và có số hạng đầu .
Do đó
b) Từ câu a) suy ra .
. Do đó
Ví dụ 4:
Tính giới hạn của dãy số xác định bởi:
Phân tích:
- Ta nhận thấy: Dãy số xác định bởi: có dạng:
, với nên áp dụng phân tích trong Ví dụ 3 thì HS
có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.
Trang 6
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
- Có: (1), ta cần tìm số b để (2). Từ
(1) và (2) suy ra: . Vậy ta sẽ đặt để giải quyết bài toán trên.
Lời giải:
Đặt: . Suy ra dãy số là một
CSN có công bội và có số hạng đầu
. Do đó .
Ví dụ 5: (BT 4.37/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 139/NXBGD 2007)
Cho dãy số xác định bởi:
Đặt
a) CMR dãy số với là một CSN lùi vô hạn
b) Tính
Lời giải:
a) Ta có
Suy ra dãy số là một CSN lùi vô hạn với công bội q = . Nên
b) Từ câu a) suy ra
Vậy:
Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ của dãy bằng phép đổi biến:
Trang 7
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Ta có
Do đó
Hay
Ví dụ 6: (BT 4.73/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 143/NXBGD 2007)
Cho dãy số , xác định bởi:
a) CMR:
b) CMR: Dãy với là một CSN. Tính
Lời giải:
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp .
Khi n = 1 ta có . Đúng
Giả sử , ta chứng minh . Thật vậy, giả sử ngược lại ,
khi đó , trái với giả thiết quy nạp. Vậy
b) Từ câu a) suy ra luôn xác định với mọi . Ta có:
.
Vậy là một CSN lùi vô hạn với công bội q = và số hạng đầu .
Trang 8
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Suy ra nên . Do đó
Ví dụ 7:
Tính giới hạn của dãy số , xác định bởi:
Phân tích:
- Nhận thấy dãy số , xác định bởi: không có dạng:
, với nên ta không thể áp dụng các ví dụ trên để
giải quyết bài toán này.
Để ý rằng: Từ nên suy ra:
Trang 9
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Cộng vế theo vế ta được:
- Từ Ví dụ 7 ta có thể áp dụng với bài toán tổng quát khi cho dãy số , xác định
bởi công thức dạng: , với ; là đa thức ẩn n.
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
Do đó
Ví dụ 8:
Tính giới hạn của dãy số , xác định bởi:
Phân tích: Dễ thấy dãy số có dạng: , xác định bởi:
nên cách giải quyết bài tập này giống với Ví dụ 7
Lời giải: Ta có :
Trang 10
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1:
Tính giới hạn của dãy số , xác định bởi:
(ĐS: = -18)
Bài 2:
Tính giới hạn của dãy số , xác định bởi:
(ĐS: )
Bài 3:
Cho dãy số xác định bởi . Tính lim
(ĐS: lim )
Bài 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)
Cho dãy số xác định bởi công thức:
(n dấu căn ; ). Tính lim
Trang 11
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
(ĐS: lim )
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Hƣớng dẫn: Ta có:
Từ đó tính được: lim
Bài 5:
Cho dãy số xác định bởi công thức:
(n dấu căn ; ). Tính lim
(ĐS: )
B - KĨ THUẬT 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY (ĐS: lim )
HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ & NGUYÊN LÍ KẸP
1. Mục đích:
Tìm giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp giữa.
Nội dung nguyên lí kẹp giữa (nguyên lí kẹp) (Định lí 1/SGK Đại số & Giải tích
NC/Trang 153/NXBGD2007)
Cho 3 dãy số (Un), (Vn), (Wn) sao cho:
Trang 12
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
2. Phƣơng pháp:
Bước 1: Chứng minh:
bằng phương pháp quy
nạp, hoặc sử dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá – nhận xét.
Bước 2: Chỉ ra :
, kết hợp với nguyên lí kẹp, ta đi tính giới
hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: (BT2/SGK/Đại số & Giải Tích 11/Trang 121/NXBGD 2007)
Biết dãy số thỏa mãn . Chứng minh rằng
Phân tích:
- Ta có:
- Coi như: Dãy , ; dãy , ; dãy ,
-
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
(Theo nguyên lí kẹp) Mà
Nhận xét: Ta có thể trình bày cách khác:
(Theo nguyên lí kẹp) Mà
Trang 13
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Ví dụ 2: (Bài 4.4/SBT Đại số & Giải tích 11 NC/Trang 133/NXBGD2007)
Cho dãy số xác định bởi :
a) CMR:
b) CMR: . Tính
Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy sẽ gặp nhiều khó
khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được
giải quyết rất đơn giản.
Lời giải:
a) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được
* Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
Với n = 1 ta có: . Đúng
Giả sử BĐT đúng, ta cần chứng minh BĐT cũng đúng
Thật vậy: Do và nên
Vậy
b) Từ câu a) suy ra
Trang 14
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Do đó ta có
Mà , nên theo nguyên lí kẹp thì
Ví dụ 3: (BT 4.5/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 134/NXBGD2007)
Cho dãy số (un) xác định bởi
a) CMR: và
b) Tính
Hƣớng dẫn:
a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được
Từ hệ thức truy hồi ta có
b) Từ câu a) ta có :
Mà nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0
Ví dụ 4: (BT 4.11/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 135/NXBGD2007)
. Tính Cho dãy số (un) xác định bởi
Trang 15
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Hƣớng dẫn:
Dễ ràng chứng minh được bằng phương pháp quy nạp toán học.
Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có . Tuy nhiên dấu
“=” không xảy ra vì . Do đó (*)
Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có:
Mà lim( ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1
Ví dụ 5: (BT 4.74/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 148/NXBGD2007)
, (với – 1 < a < 0) Cho dãy số (un) xác định bởi :
a) CMR:
b) Tính limun
Hƣớng dẫn:
Dễ dàng chứng minh được: bằng chứng minh quy nap.
Từ đó suy ra
Do đó dãy là dãy giảm
Trang 16
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Nên
Hay
Vì .
Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = -1
4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)
Cho dãy số , xác định bởi:
a) CMR
b) Tính lim (ĐS: = 1)
Bài 2: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)
Cho dãy số , xác định bởi:
a) CMR
b) Tính lim (ĐS: )
Trang 17
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Bài 3: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)
Cho dãy số xác định bởi
a) CMR:
b) Tính lim (ĐS: )
C – KĨ THUẬT 3: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY
HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TIÊU CHUẨN (ĐỊNH LÍ) WEIERSTASS
1. Mục đích:
Tìm giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Weierstass.
Nội dung tiêu chuẩn Weierstass (Định lí 4/SGK Đại số & Giải tích NC/Trang
154/NXBGD2007) :
“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dƣới thì có giới hạn hữu hạn”
2. Phƣơng pháp:
Bƣớc 1: Chỉ ra dãy số tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới
Bƣớc 2: Tính giới hạn của dãy số
Việc tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng tiêu
chuẩn (định lí) Weierstass còn cần thêm một số kiến thức bổ sung sau:
- Nếu dãy số ( ) thõa mãn điều kiện và tồn tại giới hạn
thì ; nếu dãy số ( ) thõa mãn điều kiện và tồn tại giới hạn
thì
Trang 18
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
- Giả sử dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn thì
3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: (Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN)
Cho dãy số ( ) xác định bởi . Tính
, tuy Phân tích: Ta có thể tìm được CTSHTQ của dãy (un) là
nhiên việc xác định CTSHTQ của (un) không phải là đơn giản. Ta có thể sử dụng phần
C - Kĩ thuật 3 để giải bài toán này.
Lời giải:
* Chứng minh dãy số ( ) tăng bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có . Đúng
. Giả sử , khi đó
Vậy > nên dãy số ( ) tăng và bị chặn dưới bởi .
* Chứng minh dãy ( ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp :
Khi n = 1 ta có
. Giả sử , khi đó
Vậy dãy số (un) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.
* Tìm giới hạn của dãy số (un) :
. Ta có Giả sử limun = a, thì
Trang 19
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Hay . Vậy
Ví dụ 2: (Giáo trình giải tích 1 - Jean-Maria Monier)
Cho dãy số thực xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n . Tìm giới
hạn đó? Hƣớng dẫn:
* HS chứng minh bằng phương pháp quy nạp
* Xét tính tăng – giảm của dãy số :
Từ hệ thức: Dãy giảm
Vậy dãy số giảm và bị chặn dưới nên dãy có giới hạn hữu hạn
* Tìm giới hạn của dãy số :
Giả sử , chuyển qua giới hạn của hệ thức ta có phương trình:
. Vậy
Ví dụ 3:
Cho dãy số ( ) xác định bởi . Tính lim
Lời giải:
Trang 20
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Ta thấy , .
Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng.
Ta chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp, tức là
Rõ ràng . Khi n = 2 ta có
Giả sử . Ta có
Nên dãy (un) là dãy số dương tăng
Hơn nữa, ta thấy
Hay . Nên (un) bị chặn trên bởi 4
Do đó dãy số (un) tăng và bị chặn trên nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.
. Chuyển qua giới hạn của hệ thức hệ thức truy hồi Giả sử limun = a, khi đó
ta có phương trình:
Do > 0 nên a = 4. Vậy .
Nhận xét: Ta có thể gặp những bài toán có dạng tương tự, ví dụ như trong quyển Bài
tập giải tích - W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK có bài toán sau:
CMR dãy số ( ) xác định bởi có giới hạn hữu hạn khi
n . Tìm giới hạn đó? (Đáp án: )
Ví dụ 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)
Cho dãy số ( ) xác định bởi
Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.
Trang 21
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Lời giải:
, ta chứng minh Trước hết ta nhận thấy: u1 = 2010 > 0. Giả sử
Từ hệ thức truy hồi suy ra
Lại có:
Mặt khác ta có (vì )
Vậy dãy số (un) giảm và bị chặn dưới bởi nên dãy (un) có giới hạn hữu hạn.
, chuyển qua hệ thức truy hồi Giả sử limun = a, khi đó
ta có phương trình: . Vậy
Ví dụ 5: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Cho dãy số ( ) xác định bởi
Tính lim
Lời giải:
Từ hệ thức truy hồi ta có , do đó
dãy (un) là dãy số tăng
Từ (*) suy ra hay
Trang 22
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Do đó lim
Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a
. Chuyển qua hệ thức truy hồi ta có phương Vì
trình: (vô lý). Vậy (un) không bị chặn, tức là
. Vây lim
Ví dụ 6:
Cho dãy số ( ) xác định bởi (a > 0). Tính limun
Lời giải:
Dễ thấy: (Chứng minh bằng phương pháp quy nạp)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
Vậy dãy số ( ) bị chặn dưới bởi
Mặt khác, ta có mà
nên ( ) là dãy giảm. Do đó
Trang 23
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Vậy dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim = L, khi đó L > 0. Chuyển qua hệ
thức truy hồi ta có phương trình: do L > 0
Vậy limun =
Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán tổng quát, có thể áp dụng rộng rãi. Trong Giáo
trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier có bài toán sau:
Cho dãy số ( ) xác định bởi
Chứng minh rằng dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn khi . Tìm giới hạn đó?
Đáp số: Dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn khi và limun =
Ví dụ 7: (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK)
Cho dãy số ( ) xác định bởi .
CMR dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?
Lời giải:
Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta chứng minh được
Từ hệ thức ,
do đó ( ) là dãy số tăng và bị chặn nên dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn.
Giả sử lim = a, , chuyển qua hệ thức truy hồi ta được
Trang 24
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Toán 11
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
. phương trình:
Vậy limun = 2.
4. Bài tập tƣơng tự:
Bài 1:
Cho dãy số ( ) xác định bởi
CMR dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?
(ĐS: , dãy tăng, )
Bài 2: (Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010)
(ĐS: )
Cho dãy số ( ) xác định bởi
Tính (ĐS: )
Bài 3: (VMO -2009)
(ĐS: )
Cho dãy số ( ) xác định bởi
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính
giới hạn đó (ĐS: limyn = 6)
Trang 25
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Bài 4: (Tạp chí THTT tháng 10/2010)
Cho dãy ( ) xác định bởi . Tính
(ĐS: )
Bài 5: (Các bài toán về dãy số - PHAN HUY KHẢI)
Cho dãy số ( ) xác định bởi
CMR dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó?
(ĐS: Dãy số giảm và bị chặn dưới, )
Với số ít bài tập nhỏ này, hy vọng các bạn sẽ có một tài liệu hữu ích để có thể áp
dụng vào bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi. Đặc biệt,
khi đọc phần C – Kĩ thuật 3 chắc chắn sẽ có nhiều bạn thắc mắc rằng làm sao tác
giả lại tìm đƣợc giá trị bị chặn của mỗi dãy số? Câu trả lời của tôi nhƣ sau:
- Bƣớc 1: Căn cứ vào đề bài để tôi có thể suy đoán dãy đã cho tăng hay giảm
(thử một vài giá trị đầu của dãy là biết ngay)
- Bƣớc 2: Nên giải phƣơng trình chuyển qua giới hạn trƣớc các bạn nhé,
việc này vô cùng quan trọng vì đó là căn cứ quyết định giúp chúng ta suy
đoán ra giá trị bị chặn của dãy số cho bởi công thức truy hồi đó ạ
- Lƣu ý rằng: Một dãy số tăng luôn bị chặn dƣới bởi nên , và
dãy số giảm luôn bị chặn trên bởi nên
KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN:
- Các em học sinh khá, giỏi.
- Các em học sinh Ôn thi ĐH-CĐ cũng có thể ôn tập thông qua sáng kiến này.
Trang 26
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
- Các giáo viên và bạn đọc yêu thích Toán học có thể tham khảo sáng kiến này.
- Nguồn tư liệu phong phú:
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƢỢC BẢO MẬT (Nếu có):
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:
Giáo án điện tử, phòng học máy chiếu và đối tượng học sinh phù hợp.
X. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN:
- Với sáng kiến này Tôi đã giảng dạy cho đội tuyển học sinh khá, giỏi lớp 11
Trường THPT Triệu Thái, và thấy rằng các em hiểu một bài toán tìm giới hạn của
dãy số cho bởi công thức truy hồi nên áp dụng kĩ thuật nào vào tìm giới hạn là hợp
lí với nó.
- Các em có tri thức, có kỹ năng và rất tích cực, hào hứng giải quyết với loại
toán khó này. Thực tế đã nhiều em đã giải quyết tốt dạng toán này ở các đề thi
ĐH-CĐ và thậm chí là khó hơn.
Trang 27
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
Từ những vấn đề đã trình bày, tác giả có thể rút ra một số kết luận và kiến
nghị sau:
1. Một điều chắc chắn là không phải mọi bài toán tìm giới hạn của dãy số cho
bởi công thức truy hồi nào cũng có thể áp dụng được ngay một trong ba kĩ thuật cơ
bản trên để giải quyết, có những bài ta phải vận dụng thêm kiến thức của phần HÀM
SỐ mới có thể chứng minh được tính đơn điệu của dãy số đó.
2. Bản SKKN của Tôi đã tổng kết và xây dựng được một số kĩ thuật tính giới
hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi tương đối rõ ràng và có hệ thống.
3. Với sự thay đổi mang tính chất tích cực của ngành giáo dục, Tôi đề xuất các
Thầy cô nên rèn luyện kỹ năng cho học sinh nhiều hơn để các thế hệ học sinh có thể
thành thạo trong việc giải toán nói chung, và tìm giới hạn của dãy số cho bởi công
thức truy hồi nói riêng.
4. Hy vọng bản SKKN này sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho những học sinh,
và thầy (cô) giáo và các bạn đọc quan tâm đến việc dạy học, bồi dưỡng môn Toán ở
bậc THPT.
Do mặt hạn chế về thời gian nên SKKN của Tôi vẫn còn nhiều thiếu sót, mong
các quí thầy cô cũng như ai đang quan tâm tới SKKN này chân thành đóng góp ý kiến
với tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn sự đóng góp nhiệt tình của bạn đọc!.
Lập thạch, ngày 27 tháng 01 năm 2019
NGƢỜI THỰC HIỆN
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ
Nguyễn Thị Thanh Lan
Trang 28
Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Toán 11
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
Tạp chí toán học tuổi trẻ. Sách giáo khoa, sách Bài tập Đại số & Giải tích 11 Sách giáo khoa, sách Bài tập Đại số & Giải tích NC 11 Các bài toán về dãy số - PHAN HUY KHẢI – NXBGD 2007 Nguồn Internet. Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT – NGUYỄN VĂN MẬU, NGUYỄN VĂN TIẾN – NXBGD 2007
Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009 Tuyển tập đề thi VYOLYMPIC 30/4 – 2008 Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN – NXBGD 2005 Giáo trình giải tích 1 – JEAN, MARIA MONIER – NXBGD 1999 Bài tập giải tích I – Số thực – Dãy số và chuỗi số - W.J.KACZKOR,
M.T.NOWAW – NXBĐHSP 2003 – Đoàn Chi (biên dịch) – GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến (hiệu đính).
C¸c d¹ng to¸n vµ ph ¬ng ph¸p gi¶i §¹i sè & Gi¶i tÝch – NGUYÔN H÷U NGäC – NXBGD 2008
