1. Tên sáng kiến: Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn
hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPT.
2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 2/2021.
3. Các thông tin cần được bảo mật: Không
4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm:
Trường THPT Yên Thế, là một trường thuộc huyện miền núi của tỉnh Bắc
Giang, với nhiều học sinh là con em các dân tộc thiểu số như: Tày, Nùng, Cao
lan, Dao, Sán trí, Sán dìu, Sán chay..., còn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu kiến
thức, đặc biệt là kiến thức của các môn đòi hỏi tư duy trừu tượng như môn Toán.
Phần đông học sinh có học lực môn Toán mức trung bình, yếu. Với đặc điểm
như trên, để cải thiện chất lượng môn Toán cho đối tượng học sinh cơ bản, tôi
thường mong muốn tập trung vào giúp các em nắm vững và giải thành thạo các
bài toán có mức độ khó vừa phải (mức 1, 2, 3) và bám sát các đề kiểm tra giữa
học kỳ, cuối học kỳ hoặc các bài toán làm cơ sở để phát triển cho các chủ đề
khác, bài toán giới hạn hàm số là một trong số kiến thức cần thiết.
Lượng kiến thức về giới hạn hàm số trình bày trong chương trình sách giáo
khoa Đại số và Giải tích lớp 11 tương đối ít, nghèo nàn; bài tập chưa phong phú
và chưa nhiều; chưa có sự phân dạng và đưa ra cách giải cụ thể. Điều này thực
sự là khó khăn đối với những học sinh có học lực trung bình, yếu. Thực tế trong
sách giáo khoa chỉ trang bị những kiến thức cơ bản và đưa ra một số bài tập đại
diện.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp ở lớp 11a6 (một lớp cơ bản đối với môn
Toán), tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng,
không hiểu đầu bài, không định hướng được cách giải, trong quá trình biến đổi
và áp dụng các tính chất. Cụ thể, năm học 2018-2019 khi chưa áp dụng sáng
kiến vào giảng dạy. Tôi tổng hợp kết quả điểm phần giới hạn hàm số qua bài
kiểm tra cuối học kỳ được kết quả như sau:
Lớp Số Điểm tối đa Đạt 75% Đạt 50% Dưới 50%
HS
SL % SL % SL % SL %
11a1 45 1 2.22 6 13.33 11 24.44 27 60.01
Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2020-2021 tôi đã tiến hành đổi
mới cách dạy nội dung này tại lớp 11a6 (có chất lượng tương đương với lớp
11a1 trong năm học trước), bằng cách vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này.
Trước khi thực hiện giải pháp, các phương pháp chủ yếu áp dụng trong dạy
học bài giới hạn hàm số là: dạy học giải quyết vấn đề, kết hợp phương pháp dạy
học nhóm và các phương pháp truyền thống....bám sát theo nội dung, chương
trình sách giáo khoa hiện hành, trang bị kiến thức cơ bản cho học sinh sau đó
vận dụng vào giải các bài tập trong sách giáo khoa. Tuy nhiên, đáp ứng mục
tiêu giáo dục với yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, các phương pháp trên
còn một số hạn chế như: sự vận động của học sinh chưa toàn diện, sự trải
nghiệm đồng thời về cùng một vấn đề nghiên cứu theo các kênh thông tin còn ít,
sự phát triền đồng đều hài hòa phẩm chất và năng lực của học sinh đôi khi còn
bị hạn chế. Đặc biệt đối với đối tượng học sinh trung bình và yếu thì khả năng tư
duy phân tích, tổng hợp rất hạn chế, gần như giải bài nào biết bài đó. Việc tự
hình thành phương pháp giải chung và phân loại bài toán là rất khó khăn. Hơn
nữa, lượng thời gian dành cho tiết học trên lớp là không nhiều nên giáo viên
giúp học sinh tổng hợp, phân dạng và đưa ra cách giải cụ thể là việc làm rất cần
thiết.
5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến:
Toán học là một môn học đòi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc phân dạng và hình thành
phương pháp giải từng dạng toán là biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng
dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu.
Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, việc phân loại và hình thành
phương pháp giải các bài toán tìm giới hạn hàm số có vai trò rất quan trọng, nó
có tính chất thực hành, tổng hợp và sáng tạo. Ngoài ra, nó củng cố, huy động
nhiều kiến thức và rèn luyện được kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản.
Khi giải các bài tập tìm giới hạn hàm số thầy và trò vừa phải nhớ kiến thức
cơ bản, vừa phải xác định mối quan hệ của các dữ kiện từ đó hướng đến những
điều cần tìm tòi. Do vậy, người học phải luôn tư duy, suy luận logic, cẩn thận, tỷ
mỷ, đảm bảo tính chính xác, thúc đẩy người học không ngừng sáng tạo, luôn
luôn phải cố gắng, tích cực, tự lực.
Trong quá trình giảng dạy đối tượng học sinh các lớp cơ bản tôi thấy các
em còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng và nhầm lẫn, sai sót trong việc giải quyết
một số bài toán tìm giới hạn hàm số. Có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến
tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là học sinh chưa biết
nhận dạng và lựa chọn các phương pháp phù hợp để giải bài toán hữu hiệu.
Các bài toán tìm giới hạn hàm số ở lớp 11 là một chủ đề quan trọng và
xuyên suốt, làm cơ sở để giải nhiều bài toán ở lớp 11, 12, thường được đưa vào
các bài kiểm tra giữa học kỳ, cuối học kỳ lớp 11, đề thi THPT quốc gia và đề thi
học sinh giỏi. Vì vậy, việc phân loại và đưa ra phương pháp giải là hết sức quan
trọng đối với học sinh.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của Bộ giáo dục và
đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy
phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các
phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ.
Các bài toán tìm giới hạn hàm số là phần kiến thức rất đa dạng, phong
phú, cần có tư duy lô gíc, khả năng ước lượng và độ chính xác cao. Để học tốt
được phần này học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, thường xuyên làm
bài tập để học hỏi, trau rồi phương pháp, kĩ năng khi biến đổi. Kiến thức, bài tập
ở phần này tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học
sinh trung bình, yếu thì khá khó khăn trong việc phân loại các dạng toán và vận
dụng phương pháp phù hợp.
Do đó, tôi luôn chú trọng việc hệ thống, phân loại các dạng bài tập và
phương pháp giải hoặc tìm ra một phương pháp mới, để giảng dạy cho học sinh,
một phương pháp học đơn giản, một phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng
thú khi học.
6. Mục đích của giải pháp sáng kiến:
Đề tài góp phần nghiên cứu một cách có hệ thống, làm rõ hơn việc phân
loại và đưa ra phương pháp giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình
Toán lớp 11 THPT.
Giúp học sinh nhận dạng và tìm ra phương pháp giải tối ưu, nhanh nhất
một số dạng bài tập tìm giới hạn hàm số thường gặp trong các đề kiểm tra giữa
học kỳ, cuối học kỳ, đề thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi. Phát triển khả
năng tổng hợp, khái quát hóa dạng toán và phương pháp giải chung.
Rèn luyện kỹ năng giải nhanh và giải bài tập trắc nghiệm.
Nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ phục vụ cho công tác giảng
dạy, ôn tập giữa học kỳ, cuối học kỳ, ôn thi học sinh giỏi và thi THPT quốc gia.
Đồng thời chia sẻ với đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân.
7. Nội dung:
7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến
7.1.1. Giải pháp 1:
- Tên giải pháp: Nghiên cứu, tìm hiểu cơ sở lý thuyết để giải quyết bài toán tìm
giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPT.
- Nội dung: Hệ thống lại kiến thức cơ bản; tổng hợp và phân loại các dạng toán;
đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Chỉ ra những điểm cần chú
ý, những sai lầm thường gặp và hạn chế của phương pháp.
- Các bước tiến hành thực hiện giải pháp:
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo
và các đề thi, đề kiểm tra.
Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy và học phần kiến thức này qua các hình
thức như dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp…
Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản thân trong
quá trình dạy học. Đặc biệt là kinh nghiệm của những giáo viên có chuyên môn
cao về vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức
thực nghiệm ở lớp ôn thi đại học, so sánh kết quả học tập của học sinh ở khóa
trước khi chưa áp dụng sáng kiến.
Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê toán học để phân tích
kết quả.
- Kết quả khi thực hiện giải pháp:
+ Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: Cơ sở lý thuyết để giải quyết bài toán tìm
giới hạn hàm số ở lớp 11 THPT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Giới hạn của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Cho hàm số
f x
xác định trên khoảng
;
a b
, có thể trừ điểm
0
;
. Nếu
với mọi dãy số
n
x
mà
0 0
; \ ; lim
n n
x a b x x x
ta đều có
lim n
f x L
thì ta
nói hàm số
f x
có giới hạn là số
L
khi
x
dần đến
0
x
. Khi đó ta kí hiệu
0
lim
x x
f x L
hoặc
f x L
khi
0
x x
.
b) Giới hạn vô cực
Tương tự như các điều đã nêu trong phần a, nếu L là

thì ta nói
f x
có giới
hạn vô cực khi
0
x x
và kí hiệu
0
lim
x x f x

hay
f x

khi
0
x x
.
2) Giới hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số
f x
xác định trong khoảng
;a
. Khi đó nếu với mọi dãy số
n
x
với , lim
n n
x a n x

ta đều có
lim n
f x L
(hoặc
,

) ta nói hàm số
f x
có giới hạn là L (hoặc
,

) khi x dần tới vô cực. Khi đó viết lim
x
L

(hay

) hoặc
f x L
(hay

)
Khi
x

hàm số
f x
trong
;
b
 , với mọi dãy
n
x
mà lim
n n
x b x

ta
đều có
lim n
f x L
(hay

) thì ta có
lim
x
f x L

(hay

) hoặc
f x L
(hay

) khi
x

Một số giới hạn của hàm số tại vô cực
* 1 1
lim 0, lim 0
x x
x x
 
* lim k
xx


(với ); lim k
xx


nếu k chẵn và

nếu k lẻ.