SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Người thực hiện: Đào Thị Trường Lê Thị Thu Hằng Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
SĐT: 0384117204; 0389229510
NGHỆ AN NĂM 2023
1. Lý do chọn đề tài.
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế xã hội trong giai đoạn hiện nay đòi hỏi con người phải năng động sáng tạo, không ngừng đổi mới để thích nghi. Nhằm đáp ứng nhu cầu đó của xã hội, nền giáo dục Việt Nam không ngừng đổi mới để phát triển năng lực cho HS.
Thực tế cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp sẽ kích thích được hứng thú học tập của HS, giúp HS phát triển tư duy lĩnh hội được tri thức và đạt được mục đích học tập.
Năm học 2022 - 2023 chúng tôi được phân công giảng dạy toán 12 và bồi dưỡng HSG tỉnh 12 chúng tôi thấy: Các bài toán về cực trị của hàm số chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong chương trình toán phổ thông và nó được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế và thường xuất hiện trong đề thi THPTQG và các đề thi HSG. Khi gặp phải phần này gây không ít khó khăn cho HS. Trong quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy HS gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt các bài toán ở mức độ vận dụng. Từ khi Bộ GD&ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những kiến thức sâu rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất. Phần cực trị của hàm số đã được yêu cầu rộng hơn, mức độ khó hơn trước, đặc biệt là các bài toán về tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyêt đối, nó đòi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức về cực trị thật vững và tư duy linh hoạt mới giải quyết được lớp các bài toán dạng này bởi lẽ có những câu vận dụng cao tìm cực trị hàm số mà không cho hàm cụ thể nên việc sử dụng máy tính Casio để có thể tìm đáp án là hạn chế.
Vì những lí do trên, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có những cách tiếp cận nhanh nhất, có hệ thống kiến thức vững chắc về cực trị đặc biệt là cực trị của hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng tôi xây dựng một chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh và quan trọng hơn là bồi dưỡng chuyên môn cho chính bản thân mình nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục, chúng tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
2
Với đề tài này chúng tôi hi vọng và mong muốn sẽ giúp cho học sinh phát triền tư duy, dễ dàng nắm bắt và thành thạo trong việc giải các bài toán về cực trị nói chung và giải được các bài toán về cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải quyết được phần được coi là khó của đề thi, đòi hỏi phải có tư duy cao. Phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề, biết quy lạ về quen, rèn luyện tư duy sáng tạo, phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập của HS, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPTQG và HSG tỉnh.
- Giải quyết các vấn đề mà HS còn lúng túng, mắc nhiều sai lầm và thậm chí là không có định hướng về lời giải trong việc tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Làm cho HS thấy được vấn đề cốt lõi của chương học, tiếp nhận và giải
các dạng toán tiếp theo.
- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần
nâng cao chất lượng dạy học.
3. Đối tượng và thời gian nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12 trường THPT Đô Lương 2 - Đô Lương - Nghệ an.
3.2. Thời gian nghiên cứu
- Năm học 2022 - 2023
4. Phạm vi nghiên cứu
- Đề tài tập trung nghiên cứu và xây dựng hệ thống bài tập tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm góp phần phát triển tư duy cho HS lớp 12 Trường THPT Đô lương 2
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn của HS khi làm các dạng bài tập liên quan đến
cực trị của hàm hợp hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tự tìm tòi, trao đổi với đồng nghiệp khám phá, đưa vào thực nghiệm và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo từng mức độ từ dễ đến khó.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tham khảo ý
kiến của GV và thăm dò ý kiến HS.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Thống kê và xử lí số liệu kết quả học
tập của HS trước và sau khi áp dụng sáng kiến.
- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.
- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4, 12C2, 12C4 trường THPT Đô
3
lương 2 - Nghệ an
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nhiệm đề tài trong dạy
học để rút ra hiệu quả.
- Phương pháp thống kê toán học.
- Phương pháp đối chứng.
6. Những đóng góp mới của đề tài.
Trong nhiều đề thi những năm gần đây những bài toán liên quan đến cực trị hàm hợp, hàm ẩn đặc biệt là hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều. Vấn đề này đã gây không ít khó khăn cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập. Sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” bắt kịp xu thế dạy học hiện nay, tạo thêm nguồn tài liệu cho GV và HS tham khảo. Đề tài của chúng tôi đã cung cấp được hệ thống kiến thức lý thuyết và phương pháp cụ thể cho các dạng toán được nêu ra. Đồng thời cập nhật được các bài toán tương tự các bài trong đề thi THPTQG hàng năm. Qua đó HS thấy được sự cần thiết phải học tập chuyên đề này.
Phân loại các dạng toán để làm mềm các lớp bài toán, từ đó giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết các bài toán phân loại sâu ở mức khó trong đề thi.
Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân chúng tôi đã áp dụng đề tài của mình vào giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đã rất chủ động và hứng thú khi tiếp cận với những bài toán liên quan. Từ đó phát huy tính tích cực, tư duy logic, hệ thống và khái quát hoá tính sáng tạo của mình trong học tập.
4
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo trong bồi dưỡng HSG, ôn thi THPTQG cho học sinh khá giỏi.
PHẦN II: NỘI DUNG. Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài.
1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1. Tư duy - Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người ta chưa biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết đó ngày một sâu sắc phải vạch ra những cái bản chất và quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó được gọi là tư duy.
Tư duy có đặc điểm cơ bản sau: - Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích
cực đến thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện
qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo . - Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.
)
)
(
)
)
(
)
( f x
0
)
(
)
( f x
( ) < 0h > sao cho f x 0 ( f x đạt cực đại tại điểm 0.x ( ) > 0h > sao cho f x 0 ( 0.x f x đạt cực tiểu tại điểm
0
)
= y xác định và liên tục trên khoảng( ;a b và điểm (cid:0) . x 0 (cid:0) - x h với mọi và x 0 + 0; h x x x(cid:0) (cid:0) - x h với mọi và x 0 + 0; h x x x(cid:0)
0x thì
1.1.2. Các kiến thức cơ bản liên quan 1.1.2.1. Định nghĩa: ( f x Cho hàm số ; a b + Nếu tồn tại số ) thì hàm số + Nếu tồn tại số ) thì hàm số Lưu ý: + Nếu hàm số (
0x được gọi là điểm ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của
( ;M x 0
f x đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm ( f x 0 ) )
)
cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; ( f x tiểu) của hàm số, còn điểm 0 đồ thị hàm số.
+ Nếu hàm số ;a b và đạt cực đại hoặc
0
)
( ) f x ) ( x = có thể bằng 0 tại điểm
0x nhưng hàm số f không đạt cực trị tại
= f có đạo hàm trên khoảng ( 0. '
điểm
y cực tiểu tại điểm 0x thì + ( x(cid:0) f 0x . + Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo
5
hàm.
+ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
(
)
= - K h 1.1.2.2. Tính chất Định lí 1: Giả sử hàm số x 0 + 0; h x
( ) f x , với x ( 0
) ( x < trên khoảng ' f ) . ( f x ) ( x > trên khoảng f ' ) . ( f x
- 0 0. ) 0 liên tục trên khoảng h > h x ; 0 ( x x ; 0 0 - ( ) 0 0 h x ; 0 x 0 ( = y } { \K x 0 ( ) x > trên khoảng ' và 0x là một điểm cực đại của hàm số ) ( x < trên khoảng ' và 0x là một điểm cực tiểu của hàm số x x ; 0 0
)
( f x
có đạo hàm cấp 2 trong khoảng
= - y ( h ) và có đạo hàm trên K hoặc f + Nếu h+ ) thì f + Nếu h+ ) thì Định lí 2: Giả sử hàm số , x 0 + h x ; 0
0
0
( (
) )
) )
với
0x là điểm cực tiểu của hàm số. 0x là điểm cực đại của hàm số.
0
0
'' '' f f f f ' ' x > thì 0 x < thì 0 x = và 0 x = và 0
0h > . Khi đó: ( + Nếu ( + Nếu - Thông qua quá trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các dạng
bài toán liên quan.
- Trong thực tiễn tôi đã vận dụng khá tốt các nội dung của chuyên đề. Từ đó
hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này.
1.2. Cơ sở thực tiễn: Trong những năm gần đây các đề minh họa của bộ GD&ĐT, đề thi THPTQG và đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc, học sinh thường gặp một số câu về tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao.
Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, chúng tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh trường THPT Đô lương 2 năm học 2022 - 2023 (thông qua các lớp trực tiếp giảng dạy) về các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng tôi đã thu được kết quả như sau:
Bảng 1: Khảo sát chất lượng học tập trước khi sử dụng giải pháp Khá
Giỏi
Yếu
TB
Kém
Lớp
Sĩ số
% SL % SL % SL % SL %
12C4 12A4 12C2 12A1 12B1 12B4
SL 1 0 1 0 0 0
42 41 39 41 40 38
2,4% 4 4 0% 2,6% 6 3 0% 2 0% 2 0%
57,1% 9 53,6% 11 56,4% 8 51,2% 12 50% 13 60.5% 10
21,5% 4 26,8% 4 20% 2 32,2% 3 32.5% 5 26.3% 3
9,5% 9,8% 5% 9,3% 12.5% 7.9%
9,5% 24 9,8% 22 15,4% 22 7,3% 21 20 5% 5.3% 23 Bảng 2: Kết quả khảo sát độ hứng thú
Lớp 12A1(41) 12A4(41) 12C2(39)
6
Độ hứng thú Rất thích Thích Bình thường Số lượng 2 7 23 Tỷ lệ % 4.9% 17.1% 56.1% Số lượng 3 9 20 Tỷ lệ % 7.3% 22% 48.8% Số lượng 5 8 19 Tỷ lệ % 12.8% 20.5% 48.7%
Không thích 9 21.9% 9 21.9% 7 18%
Bảng 3: Kết quả khảo sát độ hứng thú
Lớp 12B1(40) 12B1(38) 12C4(41)
Độ hứng thú Rất thích Thích Bình thường Không thích Số lượng 0 0 15 25 Tỷ lệ % 0% 0% 37.5% 62.5% Số lượng 0 0 10 28 Tỷ lệ % 0% 0% 26.3% 73.3% Số lượng 3 8 23 7 Tỷ lệ % 7.3% 19.5% 56.1% 17.1%
Thực tế cho thấy số lượng hầu như học sinh chưa nắm được dạng toán này, có rất nhiều em chưa định hướng được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.
Thực hiện đề tài này chúng tôi đã hệ thống lại các phương pháp tìm cực trị của hàm số đã được học để áp dụng cho hàm ẩn, hàm hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thông qua các phương pháp giải cụ thể và ví dụ tương ứng cho mỗi phương pháp đó.
)
(
( f u
với
= y
) ( f x
)
(
7
= u u x = y = = f x ( y x y ) f Cuối cùng là bài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết. Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra các phương pháp tìm và cực trị đó là: Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng ) phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá tri tuyệt đối quen thuộc là , và .
Chương 2: Các giải pháp tổ chức thực hiện
)
( f u
2.1. Giải pháp nhằm góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
với
(
y
= u u x
Để thực hiện đề tài này chúng tôi chia nội dung thành hai phần : = Phần 1. Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng ) . Phần 2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phần
) ) )
( f x ( x ( x
= = = này chúng tôi chia thành 3 dạng: y y y f f
)
( f u
)
( f x
= y với = u u x
)
(
)
y
( f x
( f u
) x ). Tìm số điểm cực trị của hàm số
Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3: Mỗi phần được thực hiện theo các bước: - Đưa ra phương pháp giải. - Nêu các ví dụ áp dụng. - Đưa ra các bài tập tương tự để học sinh tự luyện. 2.2. Nội dung cụ thể. 2.2.1. Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng ( ). 2.2.1.1. Phương pháp giải: = Bài toán: Cho hàm số f ' , (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến = trong đó u là y
)
( f x
thiên của một hàm số đối với x = y
)
= y '. ' Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số ( u f u ' Bước 1. Tính đạo hàm
(cid:0) u (cid:0) = (cid:0) ' 0 y Bước 2. Giải phương trình = = ' 0 ( ) f u ' 0 (cid:0)
'y không xác định.
(
( f x
) x như sau:
2
=
= Bước 3. Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà Kết luận 2.2.1.2. Ví dụ áp dụng: ) 'f y , bảng biến thiên của hàm số Câu 1. Cho hàm số
)
y
( f x
2
x
- Số điểm cực trị của hàm số là
A. 9. B. 3. C. 7. D. 5.
8
Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toán này là: - Tìm y(cid:0) .
0
y(cid:0) = và lí luận các nghiệm đôi một khác nhau.
- Xét số nghiệm phương trình
Lời giải
2
Chọn C
=
(
(
)
y
2
x
) 1 .
f
x
2
x
(cid:0) (cid:0) - - Ta có .
2
) =
(cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 0 y (cid:0) - = ( f x 2 x 0 (cid:0) (cid:0)
2
2
2
2
) ; 1 )
) ; 1 (1) )
2
2
( ( (
2
2
( ( ( (
)
)
2
(cid:0) (cid:0) = = x 1 x (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) - - (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x = (cid:0) x a 2 x 1 - = 2 x a 0, a (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) - (cid:0) - x = (cid:0) x b 2 x - = 2 x b 0, b (2) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) x = (cid:0) x c 2 1;0 ) 0;1 x - = 2 x c 0, c (3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) 1;0 ) 0;1 ( + (cid:0) x = (cid:0) x d 2 + (cid:0) 1; x - = 2 x d 0, d 1; (4) (cid:0) (cid:0)
) =
(cid:0) - 0 x x
2
)
)
)
( x(cid:0)
0 - 2 x
=
+
(
)
( f x , bảng biến thiên của hàm số 24 x
4
y
x
f
f như sau:
Phương trình (1) vô nghiệm, các phương trình (2),(3),(4) đều có hai nghiệm phân ,b c d đôi một khác nhau nên các nghiệm của phương trình , biệt khác 1 và do ( (2),(3),(4) cũng đôi một khác nhau. Do đó 2 f có 6 nghiệm phân biệt. y(cid:0) = có 7 nghiệm phân biệt, do đó số điểm cực trị của hàm số Vậy ( = y f x là 7. Câu 2. Cho hàm số Số điểm cực trị của hàm số là
A. 5. B. 9. C. 7. D. 3.
Lời giải
2
2
(
)
)
(
)
(cid:0) (cid:0) + = + + Có , Chọn C ( (
)
f 4 x 4 x 4 f 8 x 4 x 4 x
2
(
)
(cid:0) x (cid:0) (cid:0) +
(
)
)
9
f 4 x 4 x = (cid:0) 0 . (cid:0) (cid:0) + = (cid:0) = - ( f 4 1 2 2 x 4 x 0 (cid:0)
2
2
) ; 1 )
2
2
(
)
2
2
( ( ( (
)
4
(cid:0) + (cid:0) - (cid:0) - 4 x 4 = x a 1 (cid:0) + (cid:0) - (cid:0) 4 x = x a 4 (cid:0) + f 4 x 4 x = (cid:0) 0 (cid:0) Từ bảng biến thiên trên ta có . (1) + (cid:0) 4 x 4 1;0 ) 0;1 (cid:0) = x a 3 (cid:0) + +(cid:0) (cid:0) 4 x = x a 4 1; (cid:0)
)
)
)
( g x
( g x
24 x
( g x
)
(cid:0) = (cid:0) = + = - 8 x 4 x = (cid:0) 0 x Xét , + , 4 ta có bảng biến thiên 1 2
2
Kết hợp bảng biến thiên của
( g x và hệ (1) ta thấy: (
) ; 1
2
+ (cid:0) - (cid:0) - 4 x 4 Phương trình vô nghiệm. = x a 1
(
)
2
+ (cid:0) - - 4 x 4 1;0 Phương trình tìm được hai nghiệm phân biệt khác . = x a 2 1 2
(
) 0;1
tìm được thêm hai nghiệm mới phân biệt khác
+ (cid:0) 4 x 4 Phương trình = x a 2
2
- . 1 2
(
)
+ +(cid:0) (cid:0) 4 x 4 1; Phương trình tìm được thêm hai nghiệm phân biệt khác = x a 2
- . 1 2
(
)
24 x
= + y f x Vậy hàm số có tất cả 7 điểm cực trị.
)
( x(cid:0)= f
( f x có đạo hàm liên tục trên R . Đồ thị hàm số
2
2
=
+
4 ) y Câu 3. Cho hàm số
)
y
( f x
4
x
x
4
x
- - có bao nhiêu điểm cực trị
)5;1
10
- như hình vẽ bên. Hàm số thuộc khoảng ( ?
y(cid:0) =
0
A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 .
Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : - Tìm nghiệm - Cách chọn nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ.
2
2
=
+
Lời giải
)
( f x
4
x
x
2
- - Đặt
(
)
(
) =
(
)
(
)
) x (
4 )
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = + + + 2 (cid:0) - - Chọn A ( g x ( ) g x 4 f 2 x x 4 x + x 2 4 + x 2 4 x f 4 x 1 . (cid:0) (cid:0)
2
)
( g x
2
2
(
2
2
+ = (cid:0) 2 x (cid:0) + 4 0 = - x x 4 4 (1) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 0 . Ta có (cid:0) + = x x 4 (2) (cid:0) + (cid:0) x 0 = (cid:0) x a 4 (cid:0)
) 1;5 (3) )
(
+ = + 1;5 x = (cid:0) x a 4 y x 4 x , ta có BBT của hàm số trên
)5;1
- Xét phương trình ( như sau:
2
= - x - - , (2) có 2 nghiệm phân biệt 4 x = - = x 2 khác 2; 0; , (3) có 2 ) = có 5 0 = - = x 4; = 0 x 4; ( g x(cid:0) . Do đó phương trình x 0 ; là nghiệm bội ba, các nghiệm =
)
)
( x(cid:0)
y
y= f'(x)
2
x
O
= x x ; 1 ( g x có 5 điểm cực trị. ( f x y f Suy ra (1) có nghiệm kép = x x x ; nghiệm phân biệt 1 x = - 2 nghiệm trong đó có = x x là các nghiệm đơn. 2 ) Vậy Câu 4. Cho hàm số liên tục trên R , có đồ thị như hình vẽ.
)
(
)
( g x
11
= + 2 - f x x Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 .
Lời giải
2
Chọn A
)
) = -
(
)
) 1
( g x
(cid:0) (cid:0) = + 2 - (cid:0) - f x x f + x x + 2 x .
( g x )
( (
( )
(
) ) 1
) =
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - Ta có ( g x = (cid:0) 0 + x 2 = x 0 f + 2 x (cid:0) = x (cid:0) (cid:0) = x (cid:0) (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 1 2 1 x . (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) = (cid:0) 0 x 1 0 + 2 - + = x 2 ( x x f 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - 1 2 + = 2 x + = 2 x x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0)
) >
)
(
(
( g x
) 1
) > (cid:0) x
) <
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 0 + 2 - + > x 2 ( x x f 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) > (cid:0) 0 + x 2 f + 2 x 0 Do đó - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 0 + 2 - + < x 2 ( x x f 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) < < x (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 1 2 > 1 x < (cid:0) 0 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) < (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 0 x (cid:0) 1 2 + > 2 x + < 2 x x 0 (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) < < x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) > > (cid:0) (cid:0) x (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) < - 1 2 < < x 0 1 (cid:0) (cid:0) 0 + < 2 x x 2 (cid:0) (cid:0)
)
( g x(cid:0)
( ) g x
Bảng biến thiên +(cid:0) - (cid:0) x 0 1 1 2 - + - 0 + 0 0
( f x
2
= - - Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu. ) y Câu 5. Cho hàm số có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm
)
( f x
= - y 2 x liên tục trên R. Khi đó hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 . B. 8 . C. 10 . D. 7 .
12
Lời giải
)
- - có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm liên tục Vì hàm số
2
2
- - f 0 trên R nên
=
(
)
y
( f x ) = có ba nghiệm là 2; 1;0 ( f x
) 2 .
2
2
x
y
x
f
2
x
x
=(cid:0) x
1
(cid:0) (cid:0) = y ( x(cid:0) = - - - (ba nghiệm bội lẻ). ) ( Xét hàm số có ;
2
x
2
2
2
(
(
)
) 2 .
2
x
2
1
2
2
0
x
= - x = - x = x 1x = ) và hai nghiệm đơn (
= (cid:0) (cid:0) x 1 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) = - - (cid:0) y = (cid:0) 0 2 x f x = x 2 0 x 0 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) = x 2 (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
2
Do 0x = ; 2x = ) nên hàm
y
2
x
- y(cid:0) = có một nghiệm bội lẻ ( ) = 0 ( f x số
)
( f x
2
3
chỉ có ba điểm cực trị. = y Câu 6: Cho hàm số đa thức bậc bốn có bảng biến thiên như sau
)
(
)
( g x
( + f x
) 1
= - (cid:0) (cid:0) x x Số điểm cực trị của hàm số là (cid:0) (cid:0)
A. 11. B. 8. C. 13. D. 10.
Lời giải
2
3
4
2
3
, < < x 1 3
2
4
(cid:0) (cid:0) - (với 0a > ). g x ( ) 1 1 1 x x x x (cid:0) (cid:0) x 1
) ( x a x -α = (cid:0) ( ) 0
2
4
- - - Chọn D f x = có 4 nghiệm phân biệt, gọi 4 nghiệm đó ( ) 0 Từ bảng biến thiên ta thấy rằng < - < < < x x x x x với 1 , 1 0 , x . Khi đó: lần lượt là 1 2 ( ) ( ) ( ) + - + - + - = 1 x x { x 4 ) ( + - x 3 } 1 0; 1; g x 1; 1; 1; x x x , trong đó Ta có x 3 x 1
) ( g x như
- - - - 1, 1, 1, 1 là các nghiệm kép. Ta có bảng biến thiên của x 2 x 3 x 4
13
x 1 sau:
Vậy
)
( f x
= ( )g x có 10 điểm cực trị. ( ) f x y Câu 7: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
6
y Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số là 2- ; 0 ; 2 ; a ; 6 với 4 6a< < .
( f x
23 x
= - = ) y Số điểm cực trị của hàm số là
A. 8. C. 9. D. 7. B. 11.
)
( x(cid:0)
Lời giải
f .
2
6
2
6
5
)
(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = = - - - Ta có: Chọn B Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; a ; 6 là tất cả các nghiệm của ) )
(
( f x
) x f
3 3 6 6 x y x x x
( = (cid:0)
6
5
6
4
6
2
6
6
6
6
= (cid:0) = = (cid:0) (cid:0) 0, x 1 x x 0, x 1 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) = - 2 - 1 x 3 x 2 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - = = (cid:0) = 2 - x = x 6 0, x 3 x x 3 x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) ' 0 y (cid:0) - = 2 - (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 6 ( 0 ) = (cid:0) x f 3 x 0 x 3 x 2 2 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 2 - = (cid:0) > x 3 x a (cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) = 2 - = (cid:0) x 6 x m m , > n n m , (cid:0) (cid:0)
( g x
23 x
6
= - x 3 ) x Ta có bảng biến thiên của hàm số
)
( g x
23 x
6
6
= - x Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta suy ra 1(cid:0) là nghiệm kép
14
- - của phương trình và 0 là nghiệm kép của phương trình x = - 23 x 2 x = 23 x 0
6
(
)
23 x
(cid:0) - x f . Do vậy 1(cid:0) và 0 là nghiệm bội ba và 0 là nghiệm kép của
và 0 của y(cid:0) đều là nghiệm đơn.
+ 2 ( ) 1 f x
f x ( )
= f x '( ) y Do đó 1(cid:0) của y(cid:0) . Các nghiệm khác 1(cid:0) Vậy hàm số đã cho có 11 cực trị. Câu 8: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
= + y e 5 Tìm số điểm cực trị của hàm số
A. 1. B. 2 . D. 3 . . C. 4 .
f x 2 ( ) 1
f x ( )
)
+ +
( x(cid:0)
Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : Thiếu tỉnh táo trong việc lí luận xét dấu y’
f 2e 5 > " ln 5 0, x (Dấu của ý chính là dấu của vì )
+ 2 ( ) 1 f x
f x ( )
Lời giải
f x ( )
+ 2 ( ) 1 f x
+ 2 ( ) 1 f x
f x ( )
+ Chọn D y 5 Ta có
+
(
(
)
) (
(cid:0)= f
x
2e
5
ln 5
f x 2 ( ) 1
f x ( )
)
+ +
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = + = ( e ) y 2 f x .e f x .5 ln 5
) . ( f x xác định nên dấu của y(cid:0) phụ
Nhận xét: 2e 5 x làm cho
( x(cid:0)
+ 2 ( ) 1 f x
f x ( )
)
> " ln 5 0, ) f thuộc hoàn toàn vào .
( x(cid:0)
= + f y e 5 đổi dấu 3 lần nên số điểm cực trị của hàm số
Vì vậy, do là 3 .
)
)
)
( x(cid:0)
= - f (cid:0) +(cid:0) ; y Câu 9. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng ( .
( f x )
( f x
15
= y Đồ thị của hàm số như hình vẽ
)
(
) 2
( f x
= Đồ thị của hàm số y có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?
A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải:
Chọn A Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên
)
(
)
)
(
) 2
) ( f x f .
( f x
( f x (
)
= (cid:0) (cid:0) (cid:0) . = = (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 2 x 0 y y (cid:0) 0 = (cid:0) f x 0 (cid:0)
)
(
)
(
( f x
) 0;1
1
(
)
= = (cid:0) (cid:0) x x 0 x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = = (cid:0) 0 f x = (cid:0) 0 x (cid:0) x 1 x 1 Quan sát đồ thị ta có và với và (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = x 3 x (cid:0) (cid:0) x 2
2
x (cid:0) 1;3 .
)
( f x (
)
(
)
)
(
)
( f x (
(cid:0) > (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 > +(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f 0 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) > (cid:0) 0 y (cid:0) Suy ra (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3; ( < (cid:0) x ) (cid:0) x 0; 1; (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 < (cid:0) f x 0 (cid:0) (cid:0)
) (
)
(
)
(
)
+(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3; x 0; 1; x 1 x 2
)
(
) 2
( f x
16
= Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số y
)
( f x có bảng xét dấu như sau:
2
4
Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Câu 10. Cho hàm số bậc bốn
)
( g x
( f x
) 1
= + (cid:0) (cid:0) x Số điểm cực trị của hàm số là (cid:0) (cid:0)
A. 11. B. 9 . C. 7 . D. 5 .
g x = '( ) 0 Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : f x . '( ) - Xác định - Xác định nghiệm
Lời giải
4
Chọn B
)
( f x
2
3
= + 2 - 5 x 10 x 3 Ta chọn hàm .
(
) 1
) 1
( g x
(cid:0) (cid:0) + + (cid:0) (cid:0) Đạo hàm ) x 2 f x 4 (cid:0) (cid:0)
( 4 x f x (
( f x ) 1 2
) 1 ) 1 .
(cid:0) + + + + = (cid:0) (cid:0) + ( f x + ) 1 xf x = ( 3 x f x 2 (cid:0) (cid:0)
)
( g x
) 1 +
( 3 x f x ( + f x
) 1
) 1 +
(
) 1
17
(cid:0) x (cid:0) = (cid:0) 2 (cid:0) 0 + (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 0 (cid:0) Ta có . (cid:0) + = 0 ( (cid:0) + ) 1 2 xf x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 + + = = ( f x ( f x 2 = ) 1 x 0 xf (cid:0)
4
(
(
( f x +
)1
)* (cid:0)
) 1
) + = 1
+ (cid:0) (cid:0) x 1 1,278 (cid:0) + (cid:0) x 1 0,606 (cid:0) (cid:0) + - = ( 0 5 x + x 10 3 0 +) (cid:0) - x 0,606 (cid:0) - x + (cid:0) 1 + (cid:0) 1 1,278 (cid:0)
= + 1 t x
4
3
(cid:0)
(
(
)
( t 2 5
( f x
) 1
) 1
) ( t 1 20
(cid:0) + 2 + + + - - - +) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 . ) + = (cid:0) 0 t 10 xf 2 3 x t = 20 t 0
4
3
(cid:0) (cid:0) t 1,199 (cid:0) (cid:0) t 0,731 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - t 30 t 20 + 2 40 t + = 20 t 6 0 (cid:0) (cid:0) - t 0, 218 (cid:0) (cid:0) - t 1,045 (cid:0)
)* .
(cid:0) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương
)
( f x
) ( g x là 9 y
( x(cid:0)= f
2
= trình ( Vậy số điểm cực trị của hàm số ) y Câu 11. Cho hàm số , hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số
- - (cid:0) (cid:0) 1 (5sin 1) + + 3 = ( ) 2 g x f có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 5sin 2 x 4
(0;2 )p .
A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 8 .
Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : - Đạo hàm của hàm số lượng giác. - Công thức lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải
18
Chọn B
(
) 1
- (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) + - g x = ( ) 5cos xf cos x 5sin x (cid:0) (cid:0) Ta có: . (cid:0) (cid:0) x 5sin 2 5 2
(
) = 1
- (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) + - g x = (cid:0) ( ) 0 5cos xf cos x 5sin x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 5sin 2 5 2
= (cid:0) cos x 0 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:0) (cid:0) = - f (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 5sin 2 x 5sin 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = cos x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = cos x 0 - (cid:0) 1 = (cid:0) (cid:0) cos x = - 3 (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) sin x 1 5sin 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - 1 (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 5sin 0 - = - x 1 - = - x 1 2 = - sin x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - 5sin x - = 1 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) sin x (cid:0) 1 1 = 3 (cid:0) (cid:0) - = 5sin x 2 3 1 2 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 1 = = 1 sin x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 5sin 2 x 5sin 2 x 5sin 2 x 5sin 2 1 3 3 5
(Vì 0
19
(cid:0) p (cid:0) (cid:0) = = (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) p 3 2 (cid:0) = (cid:0) cos x 0 (cid:0) = (cid:0) x = - (cid:0) sin x 1 2 p 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - = (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - < < sin x = - p x arc sin x + p 2 arc sin (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ). p 2x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 5 1 5 1 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) sin x = - p (cid:0) (cid:0) = x arc sin x arc sin (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 3 1 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = sin x (cid:0) = - p (cid:0) (cid:0) = x arc sin x arc sin (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 3 3 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 5 3 5
)
( g x(cid:0)
= 0 x Suy phương trình = có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm là nghiệm p 3 2
kép.
)
( g x
4
3
= y Vậy hàm số
)
= = - - có 7 cực trị. ( f x 3 y x 4 x 12 + 2 x 1 . Số điểm cực trị của hàm số
(
( f x
= Câu 12: Cho hàm số ) ) y f bằng
A. 13 . B. 10 . C. 3 . D. 11.
3
2
Lời giải
(
)
3
2
(cid:0) = - - Chọn A f x 12 x 12 x 24 x ,
(cid:0) - - Ta có ) ( x f = (cid:0) 0 12 x 12 x = (cid:0) x 24 0 = x = - 0, x = 1, x 2 .
Bảng biến thiên
)
(
)
(
)
( f x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = y f . f x Cách 1: Ta có
)
)
(
)
(
)
( f x
( f x
(cid:0) = (cid:0) f x (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y = (cid:0) 0 . f f x = (cid:0) 0 (cid:0) = , ( ( 0 ) ) (cid:0) f 0 (2) (cid:0)
(
)1
(cid:0) 0; = x 2 x = x .
(
)
= - (cid:0) 1 (3) (cid:0) = (cid:0) 2 0 (4) (cid:0) (cid:0) = 1; ) ) ) = - ( f x ( f x ( f x 2 (5) (cid:0)
0
)
)
(
( g x
( f x
( g x như sau
20
= f Theo bảng biến thiên thì (3) và (4) có bốn nghiệm phân biệt và (5) có hai nghiệm y(cid:0) = có 13 nghiệm phân biệt và y(cid:0) đổi dấu khi đi phân biệt. Do đó phương trình qua các nghiệm đó. Vậy hàm số đã cho có 13 điểm cực trị. Cách 2: Sử dụng phương pháp ghép trục. ) ) Đặt , ta có bảng biến thiên của
2
2
)
(
)
( f x
) 1
=
( ) = x + x m
( 8
y
)
(cid:0) - - f x 2 x .Tìm - x ) có đạo hàm trên R và ( 2 f x có 5 điểm cực trị.
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 13 điểm cực trị. 2.2.1.3. Bài tập tương tự = y Bài 1. Cho hàm số tất cả các giá trị của tham số m để hàm số Bài 2. Cho hàm số ( f x có đạo hàm trên R và
.
4
(cid:0) (cid:0) y = (cid:0) f (cid:0) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có 6 điểm cực trị. 5 x + 2 (cid:0) (cid:0) x 4
)
(
)
)
(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = + + + x y x m 2 2 x x 3 (cid:0) (cid:0) 18 . )
)
( f x
= y
) ( = f x có đạo hàm R và Câu 3. Cho hàm số ( ( ) 3 + + 2 2 x x f 6 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số Bài 4. Cho hàm số bậc bốn
3
=
+
)
)
( f x
23 x
.
+ m ( f x có đúng một điểm cực trị. có đồ thị như hình bên.
)
)
( f x
( x(cid:0)= f
= y y có đạo hàm trên R , hàm số có bảng biến
=
(
)
f
y
4
x
Tìm số điểm cực trị của hàm số ( g x Bài 5. Cho hàm số thiên của như sau:
)
( f x
+ 24 x xác định trên R , có đồ thị (
)C như hình vẽ.
21
= y Tìm số điểm cực trị của hàm số Bài 6. Cho hàm số
y
3
O
2
x
1
y= f(x)
3
=
+
)
( f x
x
( ) g x ) ( f x
. có bảng biến thiên như sau:
4
2
y Tìm số điểm cực trị của hàm số = Bài 7. Cho hàm số bậc bốn
)
( f x
) 1
( g x
- (cid:0) (cid:0) Tìm số điểm cực trị của hàm số . (cid:0) (cid:0)
)
( f x
= y
2
= x 2.2.2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối 2.2.2.1. Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng: a. Phương pháp giải:
)
(
( f x
= y f Ta có
) x )
(
)
2
( ) x f x . ( ) f x
( ) x f x . ( )
( ) f x = ) 0
= ( ' f ' f = = (cid:0) y ' y ' Đạo hàm , ( 'y không xác định khi x f
)
(
(
)
( ) x f x =
(
= (cid:0) f 0 (1) (cid:0) (cid:0) ' . 0 f Xét phương trình = x ) (cid:0) ' ( f x 0 (2) (cid:0)
) ) ( x f x = 0.
' f
Giải phương trình (1); (2) tìm số nghiệm của chúng. Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình . Chú ý: Sử dụng phép suy đồ thị (Đối với các bài toán đã có đồ thị hoặc đồ
thị dễ vẽ) = y f x ( ) Để tìm cực trị của hàm số = = ta sẽ lập bảng bảng thiên hoặc vẽ đồ thị f x ( ) y y hàm số từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm .
22
gồm 2 phần: y = = ( ) f x f x ( ) nằm trên Ox = y f x ( ) nằm dưới Ox = f x ( ) y bằng tổng số điểm cực trị của hàm số = f x ( ) - Đồ thị hàm số y + Phần đồ thị + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị - Số điểm cực trị của hàm số f x ( ) f x = ( ) 0 y và số nghiệm bội lẻ của phương trình
)
( f x
)
( f x
= b. Ví dụ áp dụng y liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị
y Câu 1. Cho hàm số = hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Lời giải:
)
( f x
= y Chọn A Ta có đồ thị hàm như hình vẽ sau:
)
= y có bảng biến thiên như sau. Đồ thị hàm số = Từ đồ thị ta thấy ngay đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. ( f x Câu 2: Cho hàm số y f x ( ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 6. C. 3. D. 7.
Lời giải:
)
( f x
f x ( ) ( = f x = y nằm trên Ox =
( f x
3
23
= y ; ; Chọn D y gồm 2 phần. Đồ thị hàm ) + Phần đồ thị + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị ) Đồ thị hàm số y nằm dưới Ox giao với trục Ox tại các điểm có hoành độ 1 x x x x ; 2 4
= y f x ( ) Từ đó ta có bảng biến thiên của
=
y
x
(
có 7 điểm cực trị. - - = 2) f x ( ) 2 . Số điểm cực trị của hàm số là:
y Từ bảng biến thiên này hàm số x 1)( Câu 3: Cho hàm số A. 1 B. 2. C. 3. D. 4.
2
2
Lời giải
= - - (cid:0) - Chọn C x f x ( ( ) = '( ) 3 f x x + 10 x 8
= (cid:0) x 1)( x 2) 2 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) '( ) 0 f x Hàm số f x có hai cực trị ( ) (cid:0) = x (cid:0) 4 3
có 1 nghiệm đơn
2
2)
x
(
2
=
là tổng số điểm cực trị của f x = ( ) 0.
2)
y
x
x
(
2
=
(
x
1)(
x
2)
là 3
= - - f x ( ) ( x - - 1)( x = y - - = 2 0 2) x 1)( và số nghiệm bội lẻ của phương trình - -
Mặt khác phương trình Ta có số điểm cực trị của hàm số 1)( hàm số y Vậy số điểm cực trị của hàm số )C có hình vẽ sau. Câu 4: Đồ thị (
= y có ba điểm cực trị là: - - 1.m (cid:0) hoặc (cid:0) m (cid:0) m = - 1 1 Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3m (cid:0) A. . 3m = . C. hoặc hoặc
) ( + f x m m (cid:0) 3 B. 3.m(cid:0) D. 1
Giải
(
)
)
(
)
2
(
)
) ( f x m
) ( f x m
2
)
( + f x m f . ( ) ( f x m
'
(cid:0) x (cid:0) + = (cid:0) = + y . y Ta có = +
) ( f x m
'y không
= + y , ta tìm x thỏa mãn y = hoặc 0
24
Để tìm cực trị của hàm số xác định.
)
(
) 1 (
)
( x(cid:0) ( ) f x
= (cid:0) f 0 (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) m 2 (cid:0)
2
2
,x x trái dấu.
2,x x . )C và đường thẳng y
m= - .
Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số có 2 điểm cực trị 1 ,x x trái dấu. Suy ra (1) có hai nghiệm 1 Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì (2) có một nghiệm khác 1 Số nghiệm của (2) chính là số giao điểm của đồ thị ( Do đó để (2) có một nghiệm thì dựa vào đồ thị ta có điều kiện:
- (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) m m 3 m m 3 (cid:0) (cid:0)
'
(cid:0) Đáp án A
)
(
)
( f x
0
0
= y 0 f là cực trị của hàm số x = hoặc không tồn tại thì
0
4
3
x= .
- - 12 + 2 x m 4 x x
)
có điểm cực trị? B. 6 D. 3 C. 4
y Chú ý: x Nếu ) ( x(cid:0) f Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số = y 3 A. 5 Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là: Chuyển từ bài toán số cực trị = thành bài toán tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại n điểm
( f x Lời giải.
4
3
)
(
)
)
(
- - x + 2 x (cid:0) (cid:0) - - f x = (cid:0) 0 x 0 = x 3 x = 12 4 3 x 12 2 x 12 m x 24 x = - 1 Chọn C ( = f x y f Ta có: .; = hoặc hoặc 2x = .
)
)
( f x
( f x có ba điểm cực trị nên hàm số
= y Do hàm số có 7 điểm cực trị khi
)
( f x = có 4 nghiệm
> (cid:0) m < < (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 0 m 5 Phương trình . 0 - < (cid:0)
25
= 3; m = . 4 1; = m = y 5 0 = m ( f x m Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa đề bài là Câu 6: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số 2; m ) .
)1 +
( f x
- m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng
C. 18 . B. 12 . D. 15 .
)
( f x
= với Ox bằng số giao (cid:0) = -
( f x
) + 1
( f x
) 1
(cid:0) (cid:0) = - m C y có được bằng cách (cid:0) = - C y Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số = y A. 9 . Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : ) - Không nhận định được: Số giao điểm của ( :C y ) ( ) điểm của ( f x C y 1 : - Quên phép suy đồ thị: Vì ) tịnh tiến ( :
) :C y
) + 1
) ( = : f x 0m > nên ( ( ) = f x :
) 1 C ) 1
= với Ox . ) 0m > nên ( : lên trên m đơn vị. Lời giải ) ( f x với Ox bằng số giao điểm của (cid:0) - y (cid:0) (cid:0) - y có được bằng cách tịnh tiến (cid:0) - y Nhận xét: Số giao điểm của ( ( C với Ox . ) ( = m f x : Vì ( lên trên m đơn vị. C
26
3m< < . Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị. Loại. TH1: 0 TH2: 3m = . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận.
*
{
} 3;4;5
6m<
)
( f x
6m (cid:0) 6m(cid:0) < . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận. . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại. m (cid:0) < . Do .
y TH3: 3 TH4: m (cid:0) Z nên Vậy 3 Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 . = Câu 7: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ
)
( f x
= - y 2 m Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi
(
) 4;11
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m (cid:0) m m 2; 2; (cid:0) (cid:0) A. . B. . C. 3m = . D. . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 11 2 11 2
)
( f x
)
( f x
Lời giải = y ta có bảng biến thiên của hàm số = - Từ bảng biến thiên của hàm số y m 2 như sau
)
( f x
)
)
( f x
= - y m = - gồm hai phần: ( f x 2 2 y = - nằm phía trên trục hoành. m y 2 nằm phía dưới trục hoành
)
( f x
= - y có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi
) (
)
2
3
(cid:0) (cid:0) . - - (cid:0) (cid:0) Đồ thị hàm số m + Phần đồ thị của hàm số + Phần đối xứng với đồ thị của hàm số qua trục Ox . Do đó, đồ thị hàm số ( 11 2 4 2 < m 2; m m 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
( f x . Hàm số
= + + y cx d c 2 + + d < 16 0 - 2 m 11 2 + x 2 ( ) f x 54 + thỏa mãn 4 bx b có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 8. Cho hàm số + > 3 c d b và 9 A. 2 .
) = = y B3 .
C. 5 . D. 4 .
3
2
Lời giải
)
( f x
) ( f x + c 2
27
= - (cid:0) - Chọn C = y Ta có )2 ( = b f 4 = 2 x + + d cx ( f + liên tục trên R . Vì d )3 > + - - = 54 0 c 3 b 9 d + + bx < , 16 0 , , (cid:0) - (cid:0) lim x
)
)
( f x = có ba nghiệm phân biệt
0 nên phương trình
= +(cid:0) < < 2 x 2 ( ) = f x
( f x lim (cid:0) +(cid:0) x < - < x 3 1 y Suy ra Ta có bảng biến thiên
< < < < n . x 3 có hai điểm cực trị 1 x m x 2 x 3
)
( f x
= y Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.
4
=
+ 2
c. Bài tập tương tự
x
2
mx
4
=
+ 2
- -
+ 2 y
12 2
m
1
2
với m là tham số thực. Tìm tất cả các
3
2
3
- - có bảy điểm cực trị. mx
)
)
(
(
)
(cid:0) = - - 2 2 x x x f - f
) ) ( ( ( có đạo hàm trên R x f x x ) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? )C như hình vẽ bên liên tục trên R và có đồ thị ( ( f x
y
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số m m y 2 x Bài 2. Cho hàm số giá trị của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. = Bài 3. Cho hàm số y = 1 2021 x y Hàm số = Bài 4. Cho hàm số dưới.
( f x
)1 +
= - y m có 5 điểm cực
)0 =
)
( )
)
( ) f f x có đạo hàm trên R , ( ( x(cid:0)= g x f y . Hỏi hàm số
= y + < và đồ thị hình 0 ( x f x 3 có bao
28
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trị. Bài 5. Cho hàm số đa thức bên dưới là đồ thị của hàm số nhiêu cực trị?
)
)
( f x
( f x
) +
)
[
( f x
( h x
= = y y = - có đạo hàm trên R , đồ thị hàm số ] 2 f x ( ) 4 1 là có bao nhiêu điểm
Bài 6. Cho hàm số đường cong ở hình vẽ. Hỏi hàm số cực trị?
(
)
)
( f x
( x(cid:0)= f
= y f 0. y có = Biết là hàm số bậc bốn và có
)0 Bài 7. Cho hàm số đồ thị là đường cong trong hình dưới.
)3
( f x
)
( f x
29
= - ( )g x x . = y Tìm số điểm cực trị của hàm số Bài 8. Cho là hàm đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ.
)
( g x
( f x
) + 1
= - 2 m có 5 điểm
)
( f x
2
(
)
)
( h x
( f x
= y = + x f m 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị ) + có đúng 3 điểm cực
(
)0
f
0
y
( x(cid:0)= f
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số cực trị. Bài 9. Cho hàm số của tham số m để đồ thị hàm số trị.
) ( f x có
= . Biết
2
=
Bài 10. Cho hàm số
)
) ( f x
x
( g x
- là hàm số bậc bốn và có đồ )4 thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là
(
A. 4. B. 3. D. 5.
) .
C. 6. = y x f
2.2.2.2. Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng a. Phương pháp giải: Hàm số đã cho là hàm số chẵn (cid:0) đồ thị của hàm số đối xứng với nhau qua
30
trục tung.
(
)
(
)
= (cid:0) = = (cid:0) (cid:0) y ' ' x . f y f x x y f
)2
(
Ta có đạo hàm không xác x x
)
( f x
(
là 2
(
)
x = 0. định tại = (cid:0) y Gọi m là số điểm cực trị dương của hàm số số điểm cực trị của = f y x hàm số = f x = y y gồm 2 phần: nằm bên phải trục Oy )C 1(
) 1.m + Chú ý: - Đồ thị hàm số ) ( f x + Phần đồ thị )C qua Oy 1( + Phần lấy đối xứng b. Các ví dụ
)
(
)
( f x
có đồ thị (
có
= = y y f x )C như hình vẽ. Hàm số
Câu 1: Cho hàm số bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 4. C. 5. D . 6.
Lời giải
= y f được vẽ như sau.
)C 1(
2
)C ta được 1( )C 2( = (cid:0) C ( ') ) ) Chọn C ) ( Đồ thị ( )C của hàm số x )C nằm bên phải trục tung ta được + Giữ nguyên phần đồ thị của ( + Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị của C ( + Khi đó có đồ thị như hình vẽ dưới C ( 1
(
)
có 5 điểm cực trị.
)
(
( x(cid:0)
)3
có
= f x = = - f y f x có bảng xét dấu . Hàm số
31
y Từ đồ thị (C') tathấy hàm số ( ) f x y Câu 2. Cho hàm số bao nhiêu điểm cực trị
A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 1.
Lời giải
(
)
) ( ) 3 1
)0
)1 trở thành:
= - t x= - 3 y f t t (cid:0) Chọn C ( = x f y , Đặt , . Thì ( ( . t (cid:0) 0
/ x
(
2
) 23
(
)
/
- x 3 = (cid:0) t = - Có t x - x 3
(
)
/ x
/ x
= y t f t Có
/
/
/
/
(
)
(
)
xt
xy = 0
/
xt f
/
/
(
)
(
)
= = (cid:0) (cid:0) x 3 3 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 L x f t = 0 (cid:0) (cid:0) = = ( 0 ) (cid:0) t 0 (cid:0) (cid:0) 7 = - x 1 (cid:0) 4 = - t (cid:0) =(cid:0) t
8 t 5 f 0 8x = có > , đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng
Lấy biến thiên:
(
)3
)
( x(cid:0)
2
- x có 3 cực trị. = y = y ( ) f x f Dựa vào BBT thì hàm số Câu 3. Cho hàm số f là một hàm đa thức có bảng xét dấu như sau
)
( f x
x
( g x
-
) = B. 3 .
D. 7 .
) x bằng hai lần số điểm cực
C. 1. ( f
Số điểm cực trị của hàm số A. 5 . Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : Không nhận định được số điểm cực trị của hàm số ) ( f x cộng thêm 1 trị dương của hàm số
Lời giải
32
Chọn A
2
2
)
(
) =
( g x
( f x
= - - x f x x f
(
)
) x bằng
)
( f x cộng thêm 1.
. Số điểm cực trị của hàm số
Ta có hai lần số điểm cực trị dương của hàm số Xét hàm số
2
2
)
) =
(
)
(
( h x
( f x
( h x
) 1
) = (cid:0) x
2
2
=
(cid:0) = x (cid:0) (cid:0) = x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) x 2 x f x 0 - = - 2 x 1 . (cid:0) (cid:0) 1 2 1 5 (cid:0) = x 1 2 x - = x x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0)
)
)
( h x
( f x
x
2
=
- Bảng xét dấu hàm số
)
( f x ) = x
)
( f x
( x(cid:0)
- có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số 2 - - có 5 điểm cực trị.
f
) x ) có đạo hàm
)
( x(cid:0)= f
trên R. Hình vẽ bên là đồ thị của y
( h x Hàm số ( ) ( = 2 g x f x Câu 4. Cho hàm số hàm số
) x ( f x = y trên R.
= + y 2023 Tìm số điểm cực trị của hàm số
( f x ) Lời giải:
đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục
2023 f x + ( ) là hàm số chẵn (cid:0)
(
) .
)
f x + ( ) 2023 bằng số điểm cực trị của hàm số = x f
( x(cid:0)= f ) có 5 điểm cực trị (cid:0) x
) ( = f x f x + ) hàm số (
y ta thấy hàm số = y ( y 2023 có hai điểm cực trị có 5 điểm
33
TXĐ: D = R Hàm số tung. Số điểm cực trị của hàm số y Từ đồ thị hàm số của f dương nên hàm số cực trị.
=
+ 2
x
y 2
) ( f x có đạo hàm trên R và + + mx m
= =
)
- m > - 10 . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số
C. 9 . D. 8 .
1) 1)( có 5 điểm cực trị? B. 7 .
(
= x f là hàm số chẵn.
) ( )g x ( )g x có 5 điểm cực trị khi ( )g x có 5 điểm cực trị khi = (cid:0) ( ) 0
2 x x (
' f x
+ = - ( ) f x có đúng 2 điểm cực trị dương. f x có đúng 2 điểm cực trị dương khi và chỉ ( ) + 2 x 1)( + mx m 1) 0 2 có đúng 2 nghiệm
Câu 5. Cho hàm số 2 ' x x f x ( ( ) ( ( )g x x f A. 6 . Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : - Hàm số - Hàm số - Hàm số khi phương trình bội lẻ dương.
Lời giải
)
(
= f x ( )g x là hàm số chẵn nên ( )g x có 5 điểm cực trị khi f x có ( )
2 x x (
+ = - + mx m = (cid:0) ( ) 0 1) 0 2 có đúng 2 nghiệm bội lẻ dương.
' f x
2
)* có một nghiệm dương khác và một nghiệm bằng 0 hay
(cid:0) (cid:0) Chọn C Hàm số đúng 2 điểm cực trị dương, hay phương trình + 2 ' 1)( x f x = x = x = (cid:0) ( ) 0 Ta có (cid:0) (cid:0) + = 0 1 + x + mx m 2 1 0(*) (cid:0)
Xét các trường hợp + Trường hợp ( + = (cid:0) m = - (cid:0) (cid:0) m 1 . - 1 0 > m 2 (cid:0)
)* có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm dương khác 1, hay
0 + Trường hợp (
(cid:0) + (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) + 1 2 + m m 1 0 m < - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m 1 . + < m 1 0 (cid:0) (cid:0) < - m 2 3 1 (cid:0)
-
} 9; 8;...; 1
2
2
2
- - - thì m (cid:0) m (cid:0) 10 1 nên
)
(
)
) + 1
2
x
x
(
x f
x
(cid:0) - - - - . Tìm tất cả các giá trị của tham
( )g x có 5 điểm cực trị. Vậy với { m > - Vì Câu 6. Cho hàm số có đạo hàm trên với ( ) ( ( = x f 1 ( ) = số m để hàm số g x , có 9 giá trị. ) ( + x m m 1 2 ) có 5 điểm cực trị?
)
)
(
)
( g x
( f x
Lời giải: = = f x y có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số có 2 cực trị
Để hàm số dương.
(
)
2
)
) 1
( 1 0 *
= (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) = f x = (cid:0) 0 2. Ta có (cid:0) (cid:0) - = 2 - x (cid:0)
34
2 2x = là nghiệm bội 2, Có x ( + + x m m 1x = là nghiệm đơn.
2
(
) 1
có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương
2
- 1 0 2 + x m
(
- = (cid:0) 2 = (cid:0) - + - = 2 x m Vậy 0x (cid:0) 1x (cid:0) , có một nghiệm Trường hợp 1: Có nghiệm ) x 1 0 1 + x m + m 2 0x = khi đó - = (cid:0) 2 m 1 0 m 1
2
2
(
(
)
) 1
2
= (cid:0) x 0 - = (cid:0) 2 - - x 2 + m + x m 1 0 x = (cid:0) 4 x 0 TM (cid:0) Với 1m = ,ta có = x 4 (cid:0)
- = (cid:0) 2 x 0 = x 0 1 m = - (Loại)
( + m + m
2
- có hai nghiệm phân biệt, có một 1 0 1 0 2 ( 2 x , ta có Với Trường hợp 2: 2 x 1x (cid:0) nghiệm dương
(
) 1;1
2
(
) + - = (cid:0) 2 x m 1 ) - = + 2 x m 1 , có một nghiệm âm - < 1 0 ) + 1 .1
2 1
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Điều kiện tương đương - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 0 m + m 2 m (cid:0) (cid:0) m 1 3 (cid:0)
(
]1;1 3
(cid:0) (cid:0) - m (cid:0) (cid:0) Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán. (cid:0) - (cid:0) m 1 (cid:0)
)
(
)
( f x
= = y f x có đồ thị hình bên. Hàm số có
c. Bài tập tương tự y Câu 1. Cho hàm số bao nhiêu điểm cực trị?
)
3
( f 5 2) (
4 1) (
)
( g x
C. 2 . D. 5 . = y B. 1. = y ) + - x + x 3) x với mọi
2
hãy suy ra đồ thị hàm số f x x '( ) ) ( x f = ( là:
4 2) (
với mọi
= - - - y B. 3. ) ( f x C. 5. = x ( f x '( ) 1)( x x D. 7. 4)
)
)
2
)
= có đạo hàm ( x f là:
= + +
( g x B. 3. ( = f x
4 2) (
với mọi
y D. 7. 4 4) C. 5. f x '( ) x x ( x
)
(
( g x
2
= có đạo hàm ) x f là
với mọi
= + + B. 1. ) ( f x y D. 5. + 5) C. 3. = 2 x x ( f x '( ) 1)( x 2 mx có đạo hàm
35
A. 3 . ( ) f x Chú ý: Từ đồ thị hàm số ( f x có đạo hàm Câu 2. Cho hàm số = x (cid:0) R . Số điểm cực trị của hàm số A. 1. Câu 3. Cho hàm số x (cid:0) R . Số điểm cực trị của hàm số A. 1. Câu 4. Cho hàm số x (cid:0) R . Số điểm cực trị của hàm số A. 0. Câu 5. Cho hàm số x (cid:0) R .
(
)
( g x
f x 10 có 5 điểm cực trị ? để hàm số
D. 9.
) = C. 8.
2
2 1) (
(
= 2 + - - có đạo hàm + 3 5 x 3) 4) ( với mọi x (cid:0) R . Có bao nhiêu số nguyên
x ( g x
4 1) (
5 ) (
( f x có đạo hàm
với mọi
m > - B. 7. ) ( f x m 3 ) x có 3 điểm cực trị ? B. 4. ) + - C. 5. = x ( f x '( ) + x m x D. 6. 3 4)
)
(
)
]5;5
( g x
2
= - f x để hàm số có 3 điểm
2 ( x x ( = f
= y f x '( ) D. 6. + 5) có đạo hàm
+ ) x 2 mx với mọi có đúng 1 điểm
=
(
)
f
x
B. 3. D. 5.
=
y
Có bao nhiêu số nguyên A. 6. y Câu 6. Cho hàm số + = m f x x '( ) ( ) = m để hàm số f A. 3. Câu 7. Cho hàm số x (cid:0) R . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [ cực trị ? C. 5. B. 4. A. 3. ) ( + = f x 1) x ( Câu 8. Cho hàm số ) ( x (cid:0) R . Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x cực trị ? C. 4. A. 2. y 2.2.2.3. Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng
(
)
= liên tục trên R . Ta dựng: = y f x ( ) x f a. Phương pháp giải: ) ( f x Cho hàm số y +) Đồ thị hàm số bằng cách bỏ toàn bộ phần đồ thị
(
= = f x ( ) y x
= = ở phần bên trái trục tung và lấy đối xứng phần bên phải. Như vậy nếu đồ thị hàm số ) y f có n điểm cực trị ở phần bên phải trục tung thì đồ thị hàm số sẽ có 2n + 1 điểm cực trị (do lấy đối xứng + 1 điểm cực trị nằm ở trục tung) . f x ( ) y f x ( ) y bằng cách bỏ toàn bộ phần đồ thị +) Đồ thị hàm số
= = f x ( ) y = có n điểm cực trị thì đồ thị hàm số f x ( ) y nằm bên dưới trục hoành, lấy đối xứng phần bỏ đi qua trục hoành. Vậy nếu đồ thị hàm sẽ có n + p điểm cực trị số với p là số giao điểm của đồ thị hàm số f x ( ) y với trục Ox.
b. Ví dụ áp dụng
3
2
=
(
)
y
x
f
+ > (cid:0) = + + - (cid:0) f x ( ) x ax bx 2 Câu 1: Cho hàm số thỏa mãn . Tìm số 1 + < a b + 3 2 a b 0 (cid:0)
3
2
điểm cực trị của hàm số .
'
2
= + + - (cid:0) 2 f = + - a b f x ( ) x
' f x
ax + (1) = + (1) 3 2 f = ( ) 3 x 2
>
(
+ >
f
0
'
1 + <
<
a b + 3 2
a b
0
) 1 ) ( ' 1
f
0
(
)
(cid:0) bx + (cid:0) ax b + > (cid:0) (cid:0) (cid:0) f (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Theo đề bài, 1 + < (cid:0) (cid:0) a b + 3 2 a b (cid:0) (cid:0) Cách giải: 1 + a b > (1) 0 < (1) 0 (cid:0)
f x f .
36
f = = y 0 = y ) x f x ( ) Khi đó, vẽ đồ thị hàm số ( y Như vậy, hàm số Câu 2: Cho hàm số có tất cả 11 cực trị. xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:
=
+
(
)
y
f
x
m
-1
có 11 điểm
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cực trị
=
+
)
f
y
x
m
Cách giải:
= y
+
)
m
x
f
2
f x m = y
)
( f x
= + - + 3 x mx nx 1
( khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo Xét đồ thị trụcOy . Từ bảng biến thiên ta thấy f x ( ) đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực + cắt Ox tại 3 điểm có = y ( ) trị nằm bên phải trục Oy . Vậy nếu giả sử + f x m ( ) sẽ có 5 điểm cực trị (theo lí hoành độ dương thì đồ thị hàm số ( = y thuyết phần phương pháp), suy ra đồ thị hàm số sẽ có 11 điểm cực trị (theo lí thuyết phần phương pháp). Như vậy ta tìm điều kiện của m để phương = + có 3 nghiệm dương phân biệt. Từ bảng biến thiên dễ thấy với ( ) f x m y trình < thỏa mãn. 1m< 0 Câu 3: Cho hàm số
, m n là các tham số thực thỏa
với
+ > (cid:0) 0 (cid:0) mãn m n + 7 2(2 + m n < ) 0 (cid:0)
= y f
Tìm số cực trị của hàm A. 2 .
( ) x . B. 5 .
C. 9 . D. 11.
2
Lời giải
)
( f x
= + - + 3 x mx nx 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R, mặt khác
(
(
)
)
) 1 .
( f x = có ít nhất một
= -
= + > (cid:0) f m n 0 (cid:0) < (cid:0) (cid:0) f 2 f 0 0 suy ra Chọn D Ta có ) ( 1 ) ( (cid:0) f 2 (cid:0)
)
) = +(cid:0)
( f x
)
( f x
lim x
37
(cid:0) = = + + 7 2(2 m n nghiệm thuộc khoảng ( ( f x y Ta có ta có bảng biến thiên của hàm (cid:0) - (cid:0) < ) 0 )1;2 . ; lim (cid:0) +(cid:0) x
)
(
)
( f x
(
)
(
x
f
)
(
(
= = y f x có 2 cực trị dương nên hàm số = y f x cắt trục Ox tại 6 điểm. Suy ra hàm số có 5 cực trị. Mặt ) = y
)0
)1
)
f f (cid:0) 0 f x là hàm số bậc ba thỏa mãn = và 2 = . Hàm số
( x(cid:0)
3
2
y Hàm số khác, đồ thị hàm số có 11 cực trị. Câu 4: Cho ( f có bảng biến thiên như sau
= - - f f ( x ) 3 g x ( ) ) 2023
3
2
( x B. 6 . có bao nhiêu điểm cực trị? C. 9 . D. 11.
)
3
2
- - g x ( ) ) 3 x ( ( f f ta thấy
( h x là một hàm chẵn ( h x chính bằng cộng thêm 1.
- - x ( ) 3 f Hàm số A. 7 . Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : ) = x ) 2023 Thấy được hàm số nên nhận trục tung là trục đối xứng, vì vậy số điểm cực trị của x ( ) 2023 hai lần số cực trị dương của hàm số
3
2
= f p x ( ) Lời giải
( ) f x ) ( x
)
( x(cid:0)
+ . d (cid:0) = = + + ax bx cx + + 23 c . bx 2 ax
f đối xứng nhau qua trục
(
23 ax
b = 0. (cid:0) + c . x f
Chọn A Giả sử f Ta có Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra đồ thị hàm số tung nên là hàm chẵn suy ra ) = Khi đó Mặt khác cũng từ bảng biến thiên và giả thiết, ta có
( (
) 0 ) 1
2
3
(cid:0) = - (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) f 3 (cid:0) c = a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . 1 = - (cid:0) = a 3 3 + = c 0 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) f 1 (cid:0)
( f x
(cid:0) = - (cid:0) - c ) = x + 3 x C .
3
( ) x = (cid:0) 2 ) = x
38
3 2. - 3 x C 3 = + x 2. f Khi đó ( )0 f Mà ( f x Vậy
3
2
=
f
f
(
(
x
x
g x ( )
) 2023
)
3
2
- - ta thấy
( ) h x là một hàm chẵn nên ( h x chính bằng hai lần cộng thêm 1.
3
= - -
2
- - f f trên ( ta có
)
(
) 3 Xét hàm số nhận trục tung là trục đối xứng, vì vậy số điểm cực trị của ( ) 2023 x số cực trị dương của hàm số ) 0;+(cid:0) x ( ) 3 p x ( ) Xét hàm số ) ( ) = x f
( p x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - = ( ( ) x ( ) 3 f p x 2 x f ( ) 2023 ) ( ) x f x 6 3 f f .
(
3
)
( p x
3
( f x ( f x
)
(cid:0) = (cid:0) (cid:0) - = x ) (cid:0) = f 0 3 x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) - = (cid:0) 0 0 x 3 x = x 0 (cid:0) (cid:0) (do 0x > ). (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - = = x ) ) x 3 0 + = (cid:0) x 2 0 + = x 2 2 3 2 x (cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
+ =
( g x bằng số điểm cực trị của hàm số
3 ( h x là 2.2 1 5. ,Ox do đó số điểm cực trị của ( h x cộng với số nghiệm bội lẻ của
0.
( h x = có hai nghiệm bội đơn.
) + = điểm cực trị.
0
)
)
( . Số điểm cực trị của hàm số
) ( h x là
- Lập biến thiên ta suy ra số điểm cực trị của hàm số ( g x đối xứng qua Mặt khác, đồ thị của hàm số ) ) hàm số ( ) h x = phương trình Dựa vào bảng biến thiên ta có thấy ) ( g x có tất cả 5 2 7 Vậy hàm số ( ) ) f x g x là các hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ dưới. Đặt , Câu 5: Cho ( ) ( ( = g x f x h x
A. 7 . B. 7 . C. 3 . D. 9 .
( =
Lời giải
)
)
) ( f x g x thì hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt , ( h x 3x của với
) ( x 1 ) ( g x âm.
) ( + 2 3x của
- - 4 x , 1, 4 nên 0a > (do hệ số của
)
( h x
39
= (cid:0) Chọn A ) Theo đồ thị của ( là 2- a x ) ( f x dương còn hệ số của y đồ thị của có dạng:
=
)
)
y
( h x
( h x
Đồ thị hàm số
)
= (cid:0) y được vẽ dựa trên đồ thị hàm số .
+ Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, bỏ phần bên trái rồi lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. + Từ đồ thị có được qua bước 1, giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành, lấy đối xứng với phần đồ thị dưới trục hoành. ( h x Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số là 7.
)
( f x
c. Bài tập tương tự = y liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ
=
)
(
( g x
f
x
Câu 1. Cho hàm số sau:
3
)
( f x
A. 5. = + ax d
) C. 11. + 2 bx
-
)0;3 ) =
) 2; 1 + 2 bx
c x
nhiều nhất là bao nhiêu? D. 13. + có đồ thị nhận hai điểm cx làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số + Hỏi số điểm cực trị của hàm số B. 7. Câu 2. Cho hàm số bậc ba ( ( A ( g x B và 2 ax x
A. 5.
+ d . B. 7.
)
Câu 3: Cho hàm số D. 11. C. 9. ( f x liên tục trên R và có bảng biến thiên dưới đây
= - y f ( 6 x + 5 ) + 2023 m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số có 3 điểm cực đại? A. 5 . C. 7 . B. 6 . D. 4 .
2.3. Khảo sát tính cấp thiết và tính khả thi của giải pháp 2.3.1. Mục đích khảo sát - Nhận thấy tính thực tiễn cao, tức là giải pháp có thể áp dụng vào thực tế
giảng dạy của bộ môn.
- Giúp người nghiên cứu có những điều chỉnh kịp thời 2.3.2. Nội dung và phương pháp khảo sát 2.3.2.1. Nội dung khảo sát Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện nội dung khảo sát, chúng tôi tập
40
trung vào 02 vấn đề chính sau:
Thứ nhất, các giải pháp được đề xuất có thực sự cấp thiết đối với vấn đề
nghiên cứu hiện nay không?
Thứ hai, các giải pháp được đề xuất có khả thi đối với vấn đề nghiên cứu
hiện tại, không?
2.3.2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá Để khảo sát hai vấn đề thuộc nội dung khảo sát, phương pháp được chúng tôi sử dụng để khảo sát là Trao đổi bằng bảng hỏi; với thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ 1 đến 4):
Không cấp thiết; Ít cấp thiết; Cấp thiết và Rất cấp thiết. Không khả thi; Ít khả thi; Khả thi và Rất khả thi. Tính điểm trung bình X theo phần mềm Excel 2.3.3. Đối tượng khảo sát Tổng hợp các đối tượng khảo sát Đối tượng Số lượng
TT 1 Giáo viên Toán trường THPT Đô Lương 2 2 Học sinh khối 12 trường THPT Đô Lương 2 3 11 270 281
Tổng 2.3.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã
đề xuất
2.3.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất
Các thông số TT Các giải pháp Mức X
3.59 4
Giải pháp phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Từ số liệu thu được ở bảng trên có thể rút ra những nhận xét sau: - Việc phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối là rất cần thiết đặc biệt là học sinh khối 12.
2.3.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất
Các thông số TT Các giải pháp Mức X
3.61 4
41
Giải pháp phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ số liệu thu được ở bảng trên, chúng tôi rút ra những nhận xét sau:
- Giải pháp phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối có tính khả thi cao, giúp học sinh khối 12 ôn thi tốt nghiệp THPTQG đạt kết quả cao.
- Nhận thức về tính cấp thiết của giải pháp ở giáo viên và học sinh trường THPT Đô Lương 2 rất cao nên khả năng ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy cũng rất lớn. Điều này giúp những người nghiên cứu có đủ tự tin để thực hiện đề tài.
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdBL0I-6KIa1-7DKdojiNHw4-
1SIhEyAlaDXN9oncqTJGtlTA/viewform?usp=sf_link
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdj0NJcGQxy-64jTLJJF-
79QkItaVQzoUUqLw6bNw8cwpV81w/viewform?usp=sf_link
Xem phụ lục 2.4. Thực nghiệm sư phạm 2.4.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, phương pháp thực nghiệm 2.4.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm khẳng định tính đúng đắn và hiệu quả
của đề tài.
2.4.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm - Chọn đối tượng để thực nghiệm và đối chứng - Tiến hành giảng dạy trên đối tượng thực nghiệm là học các lớp 12C2,
12C4, 12A1, 12A4
- Thống kê kết quả thực nghiệm và xử lí bằng PP thống kê toán học. Đối chiếu kết quả của nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng để minh chứng tính hiệu quả và khả thi của đề tài.
2.4.1.3. Nguyên tắc thực nghiệm sư phạm - Đảm bảo tính khoa học, khách quan - Đảm bảo tính đa dạng của các đối tượng HS và trình độ nghiệp vụ của GV
dạy thực nghiệm
2.4.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm - Giảng dạy chuyên đề nhằm phát triển tư duy của học sinh để thực hiện tốt
hơn giảng toán này trong đề thi THPT quốc gia.
42
2.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Việc thực nghiệm được tiến hành ở 6 lớp 12 trường THPT Đô Lương 2, Nghệ An. Tiến hành dạy học 2 nhóm lớp theo hình thức 4 lớp thực nghiệm và 2 lớp đối chứng. Với nhóm lớp thực nghiệm, chúng tôi áp dụng quy trình dạy học, các biện pháp ở đề tài nói trên. Với nhóm lớp đối chứng, chúng tôi vẫn thực hiện dạy học nhưng không đi sau vào đề tài. Sau giai đoạn dạy học, chúng tôi tiến hành đánh giá chất lượng dạy học thông qua các sản phẩm học tập của HS và khảo sát ý kiến của HS về hiệu quả của lớp học, nhất là đối với nhóm lớp thực nghiệm, và phân tích, xử lí kết quả kiểm tra hệ thống bài tập của HS bằng phương pháp thống kê toán học. Kết quả đánh giá được lưu trữ lại để làm tư liệu tổ chức dạy học tốt ôn thi THPTQG.
2.4.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 2.4.4.1. Xác định thời gian thực nghiệm Căn cứ vào mục đích, nội dung thực nghiệm, căn cứ vào kế hoạch dạy học ở trường THPT Đô Lương 2 và quỹ thời gian thực hiện đề tài, chúng tôi xác định thời gian thực nghiệm là vào học kì 1 năm học 2022 – 2023, từ tháng 10/2022 đến tháng 11/2022. Việc dạy thực nghiệm được tiến hành trong điều kiện bình thường theo thời khóa biểu của THPT Đô Lương 2, không ảnh hưởng tới các hoạt động chung của các lớp, nhà trường và bộ môn. 2.4.4.2. Đối tượng thực nghiệm Lớp 12C2; 12C4; 12A1; 12A4; 12B1; 12B4 Chúng tôi đã chọn ở trường THPT Đô Lương 2, tỉnh Nghệ An 6 lớp 12. Nhóm đối chứng gồm 2 lớp (12B1) và (12B4). Nhóm thực nghiệm cũng gồm 4 lớp 12C2, 12C4, 12A1, 12A4. Sĩ số các lớp dao động từ 39 - 41 HS. Điều kiện cơ sở vật chất của các lớp là như nhau, học lực đầu vào của các lớp là tương đối đồng đều.
2.4.4.3. Tiến trình thực nghiệm - Thực nghiệm thăm dò Giai đoạn này được tiến hành vào đầu HK1, năm học 2022-2023. Chúng tôi tiến hành khảo sát nhận thức của HS về cách tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm đánh giá mức độ hiểu biết và hứng thú của học sinh.
- Thực nghiệm tác động Bước 1: Chuẩn bị thực nghiệm Thứ nhất, thiết kế (đã thiết kế ở trên) Thứ hai, lựa chọn nhóm lớp đối chứng và nhóm lớp thực nghiệm Bước 2: Tiến hành thực nghiệm Thứ nhất, kiểm tra sự chuẩn bị cho quá trình thực nghiệm: phương pháp, hệ
thống bài tập, cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy học
Thứ hai, tiến hành thực nghiệm. GV tiến hành thực nghiệm cũng là người nghiên cứu thực hiện theo kế hoạch đã xây dựng. Người nghiên cứu liên tục quan sát, rút kinh nghiệm trong tiến trình thực nghiệm ở các lớp đối chứng và thực nghiệm.
Thứ ba, kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm Việc kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm cần được tiến hành một cách
khách quan, chính xác và khoa học. Để xử lý được kết quả thực nghiệm, người nghiên cứu phải xây dựng chuẩn và thang đánh giá kết quả thực nghiệm. Dựa vào mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm, các tiêu chí đánh giá được chúng tôi xác định như sau:
43
* Tiêu chí đánh giá - Tiêu chí 1. Kết quả học tập của HS thể hiện qua các sản phẩm học tập + Công cụ đo: Bài trình bày ý kiến + Thang đo: Thang mức độ, xếp loại theo 5 mức độ:
- Mức 1: Loại hoàn toàn không tốt. HS không hiểu được nội dung chủ đề
thảo luận trong tiết học nói và nghe, không nắm bắt được những nội dung cơ bản
- Mức 2: Loại chưa tốt. HS không thực sự hiểu chủ đề, trình bày máy móc
các nội dung; hiểu sơ sài về các thao tác, quy trình cơ bản
- Mức 3: Loại trung bình. HS tái hiện được những nội dung cơ bản của chủ
đề thảo luận, nắm bắt tương đối về các thao tác, quy trình cơ bản
- Mức 4: Loại tương đối tốt: Thực hiện tương đối tốt yêu cầu của hoạt động,
hiểu sâu sắc về chủ đề, vận dụng linh hoạt các thao tác, quy trình cơ bản
- Mức 5: Loại rất tốt: Thực hiện vượt ngoài mong đợi yêu cầu của hoạt
động, hiểu sâu sắc về chủ đề, vận dụng linh hoạt các thao tác, quy trình cơ bản
- Tiêu chí 2. Sự hợp tác, giao tiếp của HS trong quá trình học; sự vận dụng
kĩ năng nói và nghe của HS trong thuyết trình và tranh luận một vấn đề.
+ Công cụ đo: Rubric. + Thang đo: Căn cứ vào các thao tác hành động của HS trong thảo luận
nhóm và trong thuyết trình, tranh luận với 5 mức độ khác nhau
Công thức tính % về mức độ tiếp thu kiến thức:
in n
= .100% P (%) ( in : số học sinh đạt mức tương ứng của từng lớp; n : tổng số học
sinh từng lớp).
Công thức tính số % về số mức độ hứng thú của học sinh
im : số học sinh đạt mức tương ứng của từng lớp; m : tổng số
im m học sinh từng lớp).
= H (%) .100% (
2.5. Kết quả thực nghiệm Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Đô lương 2 năm học 2022 - 2023, chúng tôi được nhà trường giao cho giảng dạy các lớp 12A1, 12C4, 12C2, 12A4. Sau khi sử dụng đề tài này chúng tôi thấy học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng học toán được nâng lên rõ rệt.
Bảng 4: Bảng khảo sát chất lượng học tập sau khi áp dụng đề tài
Lớp
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ số
SL % SL %
SL
%
SL
%
SL %
12C4
42
9
25
59.5%
8
19.1%
0
0%
0
0%
12A4
41
6
22
53.7% 13
31.7%
0
0%
0
0%
12C2
39
9
21,4 % 14.6 % 23% 23
59%
7
18%
0
0%
0
0%
12A1
41
6
25
61%
10
24.4%
0
0%
0
0%
14.6 %
44
Bảng 5: Bảng khảo sát kết quả độ hứng thú sau khi áp dụng giải pháp 12C4(41) 12A4(41) 12A1(41) 12C2(39) Lớp
Tỷ lệ % Số lượng
Độ hứng thú Rất thích Thích Bình thường Không thích Số lượng 7 18 10 0 Tỷ lệ % 17% 44% 39% 0% Số lượng 10 19 12 0 24.4% 11 46.3% 20 8 29.3% 0 0% Số Tỷ lệ lượng % 28.2% 9 51.3% 20 20.5% 12 0 0% Tỷ lệ % 22% 48.8% 29.2% 0%
Bảng 6: Bảng khảo sát chất lượng học tập lớp đối chứng
Lớp
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ số
SL % SL %
SL
%
SL
%
SL %
12B1
40
0
0 %
3
7.5 % 29
72.5%
17.5% 1
2,5%
7
12B4
38
0
0%
4
10.5% 26
68.4%
18.4% 1
2.7%
7
Bảng 7: Bảng khảo sát kết quả độ hứng thú lớp đối chứng
Lớp 12B1(40) 12B4(38)
Số lượng Số lượng
Độ hứng thú Rất thích Thích Bình thường Không thích 0 2 16 22 Tỷ lệ % 0% 5% 40% 55% Tỷ lệ % 0% 2.6% 26.3% 71.1% 0 1 10 27
Như vậy qua kết quả trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu tôi nhận thấy chất lượng học tập môn toán của học sinh được nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh khá giỏi tăng lên nhiều ở các lớp thực nghiêm. Còn ở các lớp đối chứng không thực hiện đề tài, chúng tôi thấy số lượng học sinh giỏi không có và số lượng học sinh yếu, kém vẫn còn.
45
Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận và rút kinh nghiệm. Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về vấn đề cực trị của hàm số hợp, hàm ẩn và hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập.
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
Môn toán cũng như nhiều môn học khác đòi hỏi sự chăm chỉ và nỗ lực trong quá trình học tập. Sự đầu tư thời gian và công sức để học là một trong những nhân tố quan trọng làm nên thành công.
Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo. Mỗi giáo viên đều tự hình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạt được mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân tương lai của đất nước. Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo và ôn thi THPTQG chúng tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên.
Như vậy với đề tài "Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” đã giúp học sinh phát triển được tư duy, có được hệ thống kiến thức, linh hoạt hơn trong việc định hướng biến đổi và có kinh nghiệm trong việc tìm cực trị của hàm số nói chung và tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong dạy học.
Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng nghiệp song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý, bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị
2.1. Đối với tổ chuyên môn :
Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung phương pháp tìm cực trị của hàm số. Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bài tập trong bài giảng.
2.2. Đối với trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán.
Tổ chức bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên về các phương pháp dạy học tích cực và về việc đổi mới kiểm tra đánh giá một cách sâu rộng và hiệu quả hơn nữa. Đặc biệt là bồi dưỡng cho giáo viên cách ra đề trắc nghiệm và ôn thi theo hình thức trắc nghiệm cho phù hợp với yêu cầu của bộ giáo dục
2.3. Đối với Sở giáo dục:
46
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
1.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích 12, Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. NXB giáo dục Việt Nam, 2013. 2. Bài tập giải tích 12, Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên
3. Giải tích 12 Nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng. NXB Giáo dục Việt Nam, 2014.
4. Bài tập Giải tích 12 Nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thi Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2014.
5. Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học, Nguyễn Lăng Bình (chủ biên), Đỗ Hương Trà, Nguyễn Phương Hồng, Cao Thị Thặng NXB Đại học Sư phạm, 2010. 6. Tạp chí toán học và tuổi trẻ. 7. Diễn đàn toán học. 8. Sử dụng các trang mạng toán khác toán học. 9. Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2022, đề thi thử THPT QG của các
Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. NXB giáo dục Việt Nam, 2013.
10. Phát triển tư duy cho học sinh qua môn toán (Khoa SP ĐH Cần Thơ)
47
trường trên cả nước.
