BÁO CÁO KẾT QUẢ
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ………………………………. TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG =====***===== =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn
Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy
Mã sáng kiến: 25.52….
Tên sáng kiến:....................................................... Tác giả sáng kiến:................................................. Môn: ……………………………………………. Trường THCS: …………………………………..
Vĩnh phúc, năm 2018
Vĩnh phúc, năm 2018
Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn
Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy
Mã sáng kiến: 25.52….
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Vĩnh phúc, năm 2018
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiện đại; kiến thức Toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn khoa học khác. Với tư cách là cố vấn cho quá trình học tập, người giáo viên cần có sự đầu tư về thời gian để nghiên cứu bài học, tìm tòi kiến thức để hướng dẫn cho học sinh tiếp cận với tri thức, xóa bỏ rào cản của học sinh khi học môn Toán.
Để hoàn thành tốt môn học này các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ thấp đến cao. Rèn luyện kỹ năng bằng cách chăm chỉ làm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các sách nâng cao. Ngoài ra, học tốt môn Toán cần chú ý đến việc hệ thống hóa kiến thức. Khi làm một bài toán cần nhanh chóng tư duy xem bài đó thuộc dạng nào để tìm ra cách giải.
Nhị thức Niu - tơn là một trong những nội dung kiến thức hay và có nhiều điểm có thể huy động khai thác tư duy của học sinh. Việc học và rèn luyện nội dung này cũng hết sức quan trọng và cần thiết để học sinh có sự chuẩn bị chu đáo cho kỳ thi THPT quốc gia hiện nay khi đề thi có mở rộng sang nội dung toán 11. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra những tình huống cơ bản của Nhị thức Niu- tơn, do đó học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giải các bài toán này.
Đối với đối tượng học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức Nhị thức Niu-tơn một cách hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết.
Chính vì vậy tôi xin mạnh dạn trình bày "Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu - tơn" làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình. Với hy vọng đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc học tập của các em học sinh nói riêng và cho công tác giảng dạy của đồng nghiệp nói chung.
2. Tên sáng kiến:
1
“Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu – tơn”.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Hồ Thị Kim Thúy
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Việt Trì – Phú Thọ.
- Số điện thoại: 0363735787 . E_mail: kimthuy051188@gmail.com.
Môn toán học lớp 11, 12 – các bài toán liên quan tới khai triển Nhị thức
4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Niu- tơn.
5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: - Đề tài được nghiên cứu và thực nghiệm từ tháng 10/2017 đến tháng 3/2018.
6. Mô tả bản chất của sáng kiến
6.1. Thực trạng của vấn đề
Nhị thức Niu - tơn trong chương trình THPT được đưa ra với thời lượng chương trình trong 2 tiết học: 1 tiết lý thuyết và 1 tiết bài tập (chương trình cơ bản). Như vậy việc thông thạo kiến thức cũng như tiếp cận các dạng bài tập của học sinh sẽ còn hạn chế rất nhiều. Học sinh ít có thời gian luyện tập dẫn đến học sinh thường không làm được bài tập. Nhiều học sinh thụ động, chỉ áp dụng máy móc công thức, chỉ dừng lại ở dạng bài tập khai triển một biểu thức theo công thức Nhị thức Niu-tơn. Trong khi đó các dạng bài tập lại rất đa dạng và phong phú.
Học sinh chưa biết tự tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức cho nên kết quả
học tập chưa cao.
6.2. Mục đích nghiên cứu
- Rèn luyện kỹ năng thành thạo cho học sinh với các dạng toán cơ
bản trong chương trình toán 11.
- Cung cấp thêm các kiến thức và các dạng toán có sử dụng các kiến
thức trong chương trình lớp 12.
- Phối kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức trong hai chương trình
để giải quyết các bài toán phức tạp.
- Giải quyết tốt các bài trong các đề thi THPT quốc gia, thi học sinh giỏi.
6.3. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là đã hệ thống hóa được kiến thức và khai thác có hiệu quả các bài toán về “Nhị thức Niu tơn”, không áp đặt hoặc dập 2
khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng tiếp thu để giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó liên quan đến “Nhị thức Niu tơn”.
6.4. Phương pháp thực hiện
- Bước 1: Khảo sát tư liệu Nghiên cứu hệ thống lý thuyết, các dạng bài tập. Tìm hiểu các đề kiểm tra của học sinh và các nguồn tư liệu khác có liên quan tới quá trình dạy học phần “Nhị thức Niu tơn”.
- Bước 2: Đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải, ví dụ và phân tích ví
dụ minh họa, bài tập tương tự để học sinh luyện tập.
- Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh (2 lớp
khối 11).
- Bước 4: Thu thập và xử lý số liệu, rút ra kết luận.
1n
6.5. Nội dung Phần 1. Cơ sở lý thuyết a) Hoán vị : Cho tập hợp A gồm n phần tử
!
n n (
1)...2.1
n N *
nP n
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
1n
* Quy ước : 0! = 1 b) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử
A
k
n n ,
¥
1
k n
n ! n k
!
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho
1n
c) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử
C
k
0
n n ,
¥
k n
!
!
!
n k n k
Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
* Chú ý :
n P A n n
3
A C k . !
k n
k n
k
nC
0
n k C C n
k n
k n
k C n
1
k 1 C n 1
k C n
k n 1
n
n
n
1
1
C a C a b
a b
...
a
b
n
;
;
¡
¡
¥
C b (1) với
0 n
1 n
n n 1 C ab n
n n n
Tính chất của các số
n
k n k k C a b n
k
0
d) Nhị thức Niu-tơn: * Công thức nhị thức Niu - tơn
Trong vế phải của công thức (1) :
- Số các hạng tử (số hạng ) là n + 1 - Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n
k
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau
C a b và là số hạng thứ k +
T k
k n k n
1
- Số hạng tổng quát của khai triển là
1 trong khai triển
n 2
...
0 1 C C n n
n
k
...
...
0 1 C C n n
n C n
k C n
n C n
1
* Hệ quả :
1 Phần 2. Hệ thống các dạng bài tập
Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển.
n
a b . Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai
Loại 1. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển:
a) Bài toán thường gặp : Cho khai triển có dạng triển đã cho.
a
b
n
;
;
¡
¡
¥
n a b với
b) Các bước thực hiện bài toán:
4
. Xét khai triển :
n
n
k
n k
T
C a b
k
0
n n ;
¥
k n k k C a b n
k
k n
1
- Bước 1 : Tìm số hạng tổng quát của khai triển
a b
k
0
hoặc biểu diễn
m n
a
.m n a a
m n
a
m a n a
n
m a
m n . a
m
a b .
m m a b .
Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển. - Bước 2 : Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với giái trị của k. Giải phương trình tìm k. - Bước 3 : Kết luận về hệ số hoặc số hạng của xk trong khai triển. * Một số tính chất của lũy thừa với số mũ thực sử dụng trong loại toán này (để thu gọn số mũ của biến) : Cho a, b là những số thực dương, m,n là những số thực tùy ý:
m
a b
m a m b
n m a
*
,
m Z n N ta có :
m a n
Cho a là số thực dương,
5
3 x
c) Ví dụ minh họa :
10x trong khai triển
2 2 x
Ví dụ 1 : Tìm hệ số của số hạng chứa với 0x .
Lời giải :
k
k
5
k
3
15 5 x
kT
1
k C 5
k . 2 .
k C x 5
2 2 x
- Số hạng tổng quát của khai triển :
10x trong khai triển ứng với
10
1
5
k
k 15 5 k 0 k N
5
- Số hạng chứa
1
1 C
10 x
10
10x trong khai triển là :
10 x
5.( 2) .
- Vậy số hạng chứa
- Hệ số cần tìm là -10.
1 x
x
12
Ví dụ 2 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển với 0x .
k
k
k
12
12 2
Phân tích bài toán : - Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên. Lời giải :
kT
1
k C x 12
k C x . 12
1 x
- Số hạng tổng quát của khai triển :
0
k
6
12
k 12 2 k 0 k N
- Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với
0 6 .C x C 12
6 12
15
25 10
3x
xy
- Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là :
x y trong khai triển
Ví dụ 3 : Tìm số hạng chứa
k
15
k
k
3
45 2
xy
Lời giải :
k y .
kT
1
k C x 15.
k C x 15
- Số hạng tổng quát của khai triển :
25 10 x y trong khai triển ứng với
25
10
k
15
k 45 2 k 10 k 0 k N
10
25 10
3003.
- Số hạng chứa
25 10 x y .
3
2x
x
- Vậy số hạng chứa
C x y 15 . 7
25 10 x y trong khai triển là : 2x trong khai triển:
Ví dụ 4 : Tìm hạng tử chứa
Lời giải :
7
k
5
k
14
7
k
3
2
k
k
2 3
3
x
.
x
x
.
x
kT
1
k C 7
k C 7
k C x 7
- Số hạng tổng quát của khai triển :
2x trong khai triển ứng với
6
- Hạng tử chứa
14
k 5
2
k
3 k
7
4
0 k N
2
2
35
x
2x trong khai triển là :
4 C x 7 .
3x
xy
- Vậy hạng tử chứa
31
5
x
Ví dụ 5 : a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:
1 3 x
12
b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:
Phân tích bài toán :
- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên. - Khi xác định số hạng chính giữa của khai triển cần chú ý
n 2
n
+/ Nếu n là số chẵn thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 1
1 2
n
1
và +/ Nếu n là số lẻ thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ
3x
xy
2 Lời giải : a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:
k
31
k
k
93 2
xy
. 1
k y .
kT
1
k C x 31.
31 k 3 C x 31
- Số hạng tổng quát của khai triển :
- Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 16 và số hạng thứ 17 lần
63
15
15
.
lượt ứng với các giá trị k =15 và k = 16
C x y và số hạng thứ 17 trong
31.
16
.
- Số hạng thứ 16 trong khai triển là :
61 16 C x y
31.
5
x
khai triển là :
1 3 x
12
k
k
5
k 11 72 2
C
x
b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:
kT
1
k 12
k C x . 12
- Số hạng tổng quát của khai triển :
1 3 x
12
7
- Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 7 ứng với k = 6
6
3
12.C x
5x trong khai triển thành đa thức của
5
10
2
x
x
x
x (1 3 )
- Số hạng thứ 7 trong khai triển là :
. Ví dụ 6 : Tìm hệ số của 1 2
5
2
10
x
x
x
x (1 3 )
Phân tích bài toán :
5x trong khai triển thành đa thức của
1 2
10
x
x
2 x (1 3 )
Hệ số của bằng
5x trong hai khai triển
1 2
5 x và
5
x
tổng hệ số của
5x trong khai triển
4x trong khai triển
1 2
x bằng hệ số của
5 1 2x
10
x
2 x (1 3 )
Hệ số của
5x trong khai triển
3x trong khai triển
10
(1 3 )x
Hệ số của bằng hệ số của
5 1 2x
k
5
k
x
5 .1
2
k .( 2) .
k x
kT
1
k C 5
k C 5
Lời giải : * Xét khai triển :
1 2x :
- Số hạng tổng quát của khai triển
4x trong khai triển ứng với
k
4
5
k 4 k 0 k N
4
C
- Số hạng chứa
4x trong khai triển là :
4 5 .( 2)
10
(1 3 )x
- Vậy hệ số số hạng chứa
k
k
10
C
C
10 .1
x 3
k .3 .
(1 3 )x
* Xét khai triển :
k x
kT
1
k 10
k 10
- Số hạng tổng quát của khai triển :
3x trong khai triển ứng với
k
3
10
k 3 k 0 k N
3
3
- Số hạng chứa
3x trong khai triển là :
10.3C
8
- Vậy hệ số số hạng chứa
5x trong khai triển thành đa thức của
5
2
10
x
x
x
x (1 3 )
3
3
4
C
là : Kết luận : Hệ số của 1 2
10.3C
4 5 .( 2)
9
10
14
x
x
x
p x ( )
...
+ = 3320
1
1
1
2
3
14
p x ( )
...
a 0
a x a x 1
2
a x 3
a x . Tìm hệ số a9. 14
Ví dụ 7 : Cho đa thức có dạng khai triển là
2
3
14
p x ( )
...
Phân tích bài toán :
a 0
a x a x 1
2
a x 3
a x nên a9 tương ứng là hệ số của x9. 14
9
14
10
x
x
x
;...; 1
10
14
9
x
x
x
Vì
;...; 1
; 1
C
3003
...
Khi đó hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển ; 1 1 Lời giải : Ta có : Hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển 1
9 a C C 9 9
9 10
9 14
3
3 2
Khi đó :
9
là số nguyên
9
k
9
k
k
3
k 3
2
3
2
3
2
Ví dụ 8 : Tìm hạng tử của khai triển Phân tích bài toán : Thực hiện viết số hạng tổng quát của khai triển. Để tìm được hạng tử của khai triển là số nguyên thì số mũ của lũy thừa nguyên. Lời giải :
kT
k C 9
k C 9
1
9 k chia hết cho 2 và k chia hết cho 3
- Số hạng tổng quát của khai triển :
1kT là số nguyên
0
k
9;
k N
k
- Hạng tử
3;9
3
3
Khi đó
T C 4
9 3 2 4536
9
3
C
k = 3 thì
8
T 10
T
4536
T 8
9 2 Vậy hạng tử của khai triển là số nguyên là: 4
k = 9 thì
x
và 10
2 1x
8
1
Ví dụ 9: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của:
9
Lời giải : Cách 1 :
x
2 1x
8
1
3
4
8
2
2
2
...
x
x
...
x
1
1
1
0 C 8
3 C x 8
4 C x 8
2
2
x
x
Ta có :
1
1
3 C x 8
8 C x 8 3 ;
4 C x 8
4
238
Các hạng tử chứa x8 trong khai triển là :
3 2 C C 8 3
4 C C 8
0 4
Vậy hệ số của hạng tử chứa x8 là :
k
k
8
8
k
8
i
2
2
2
k
i
x
x
x
.
Cách 2:
1
1
1
k C x 8
i C x k
k C x 8
1
k
0
k
0
i
0
k
i
8
0
i
8
Ta có:
1 i
kC C
k 8
i k 2 ¥ i k ,
0 i k 4 2 i k 3
0
2
thỏa mãn Vậy ta có hệ số của x8 là:
1
1
4 C C 8
0 4
3 2 C C 8 3
2
1 2
3x
x
Hệ số trong khai triển của x8 là: =238
4x trong khai triển:
10
2
1 2
3x
x
Ví dụ 10: Tìm hệ số của hạng tử chứa
10
10
2
x (1 2 ) 3
x
2
10
10
9
8
2
2
2
C
x
C
x
.3
x C
x
x
...
C
x
1 2
1 2
1 2
0 10
1 10
2 10
10 10
. 3
. 3
Lời giải : Ta có :
10
9
8
2
C
x
;
C
x
2 x C .3 ;
x
x
1 2
1 2
1 2
0 10
1 10
2 10
2
0
C
x
Các hạng tử chứa x4 trong khai triển là :
6 .1 . 2
4
. 3 10
x 10 1 2
0 C C . 10
4 10
1
2
2
C
x
.3
x
x
.3
Hạng tử chứa x4 trong khai triển là :
x
9
7 .1 . 2
2
10 1 2
8
2
2
C
x
x
Hạng tử chứa x4 trong khai triển
10 1 2
. 3
0
2
x
x
10 .1 . 2
2 C C . 10
0 10
. 3
2
2 .2 .3
2 .3
8085
Hạng tử chứa x4 trong khai triển là : là : 1 2 C C . 10 9 2
0 C C . 10
4 10
1 2 C C . 10 9
2 C C . 10
0 10
Vậy hệ số của hạng tử chứa x4 là :
10
d) Bài tập áp dụng:
2 3x
25
3x
xy
Bài 1 : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển:
21
20
1
4 x x
Bài 2 : a) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau
2
3
xy
7
3
x
b) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau
x 0
1 4 x
Bài 3 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển với
x
101 x
40
Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển:
31x trong khai triển:
1 2 x
x
3
2x
x
Bài 5 : Tìm hệ số của
2x
y
Bài 6 : Tìm hạng tử chứa
2x trong khai triển: Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển
7 14
Loại 2. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa
n
a b . Cho biết một vài số hạng hoặc các hệ số trong
mãn điều kiện cho trước
n
x
a) Bài toán thường gặp : Cho khai triển có dạng tổng thỏa mãn một đẳng thức nào đó hoặc số mũ n thỏa mãn điều kiện cho trước. Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho. b) Các bước thực hiện bài toán: - Dựa vào đẳng thức đã cho hoặc điều kiện về số mũ ta thực hiện tìm n. - Sau khi tìm được n ta thực hiện theo 3 bước như loại 1 đã nêu.
2 1
trong khai triển đó.
n
x
bằng 1024.
2 1
theo công thức Nhị thức Niu- tơn
c) Ví dụ minh họa: Ví dụ 11 : Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển Tìm hệ số a của số hạng ax12 Phân tích bài toán : - Khai triển - Tính tổng các hệ số của khai triển và cho bằng 1024 để tìm n - Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1
11
Lời giải :
n
n
n
1
2
2
2
x
...
C (1)
n n
1
0 C x n
1 C x n
...
Ta có:
0 1 C C n n
n 2n C n
n
x
Thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức (1) ta được :
2 1
10
10
x
n 2 1024 Xét khai triển :
n 2 1
k
10
10
k
2
20 2
x
bằng 1024 nên Theo bài ta có tổng các hệ số của khai triển
kT
1
k C x . 10
k C x . 10
2 1
:
trong khai triển ứng với
12
4
10
k
k 20 2 k 0 k N
a C
- Số hạng tổng quát của khai triển - Số hạng ax12
4 10 210
1
- Vậy hệ số cần tìm là :
C . Tìm số hạng chứa x5
5 n C n
3 n
n
2
Ví dụ 12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
1 x
nx 14
với 0x trong khai triển
1
Phân tích bài toán :
5 n C n
3 C n
- Tìm n thỏa mãn điều kiện
- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1
5.
Lời giải :
n 3 1 C C 5 n n
n
3!
n ! n
n ! 1 !
3 !
n
n
2
30
1
1 6
n
n
2
2 n
5 n 3
1 28 0
KTM
4(
)
n n 7
7
2
Ta có:
1 x
x 2
12
Với n = 7 xét khai triển
7
2
1 x
x 2
k
7
k
2
k 14 3 x
.
.
T k
1
k C 7
k C 7
k . 1 .
k
1 x
x 2
1 7 2
- Số hạng tổng quát của khai triển là :
5
k
3
7
k 14 3 k 0 k N
5
- Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với
5 x
3 C x . 7
1 16
35 16
n
5
x
- Vậy số hạng cần tìm là :
1 3 x
C
C
7 n 3
n 1 n 4
n n 3
Ví dụ 13: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển biết rằng
1
Phân tích bài toán :
5 n C n
3 C n
- Tìm n thỏa mãn điều kiện
- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1
C
7(n 3)
n n 3
n 1 n 4
C
C
C
7 n 3
n 1 n 3
n n 3
n n 3
Lời giải :
n 1 n 3
2 n 3
C
7 n 3
C 7 n 3 7 n 3 n 2 n 3 2! n 2 7.2! 14
n 12
5
x
Ta có: C
1 3 x
12
5
x
Với n = 12 xét khai triển
1 3 x
12
k
k
3
5 2
k 60 11 2
x
kT
1
k C x 12
k C x 12
12
13
- Số hạng tổng quát của khai triển là :
8
12
4
k
k 60 11 2 k
0 k N
C
495
- Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với
4 12
12! 4! 12 4 !
n
n
n
n
1
3
3
3
x
.
...
- Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là :
n C n
0 C x n
1 C x n
2 2 x
2 2 x
2 2 x
Ví dụ 14 : Cho khai triển .
Biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 33. Tìm hệ số của x2 Phân tích bài toán :
- Xác định hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển ( Chú ý hệ số là phần
không chứa biến x)
- Cho tổng ba hệ số bằng 33, giải phương trình tìm n - Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 để tìm hệ số của x2
2 2
33
Lời giải :
0 C n
1 C 2 n
2 C n
4.
33
1 2.
n
2!
n ! n
2 !
n ! 1 ! n n 2 (
1) 33
n
1 2 2 n 2
32 0
4
n n
KTM
4(
)
4
Ta có:
3 x
2 2 x
4
3
x
Với n = 7 xét khai triển
2 2 x
k
k
4
k
3
12 5 x
k .2 .
kT
1
k C 4
k C x . 4
2 2 x
- Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với
14
- Số hạng tổng quát của khai triển là :
k
4
2
2
2
C
24
k 12 5 2 k 0 k N - Vậy hệ số của x2 là :
4 .2
n
x
2
1 x 4
Ví dụ 15 : Trong khai triển tổng các hệ số của hạng tử thứ hai và thứ
ba bằng 36. Hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai. Tìm x
1
2
Phân tích bài toán : Bài toán trên tuy không yêu cầu tìm hệ số hay số hạng chứa xk trong khai triển nhưng vẫn dẫn đến việc ta cần tìm n và sau đó tìm x là số mũ liên quan đến các số hạng trong khai triển
nC C ; cho
;n
- Xác định hệ số của của hạng tử thứ hai và thứ ba lần lượt là :
tổng hai hệ số bằng 36, giải phương trinh trình tìm n
- Xác định hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai, từ giả thiết hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai ta thu được một phương trình mũ; giải phương trình tìm x
n
x
2
Lời giải :
1 x 4
n
x
.
Xét khai triển :
1 C n
. 2
1
1 x 4
2
n
2
x
.
Hạng tử thứ hai của khai triển là :
2 C n
. 2
1 x 4
Hạng tử thứ ba của khai triển là :
1 2 36 C C n n
1)
36
n
n
n n ( 2 2 n
72 0
8
n n
KTM
9(
)
15
- Theo bài có :
8
x
2
1 x 4
2
6
7
x
x
.
.
Với n = 8 xét khai triển
2 C 8
. 2
1 C 7 . 2 8
1 x 4
1 x 4
x
x
x
x
4
2
6 28.2 .2
7 56.2 .2
x
x
x
5 2.2 x 5 1
x
x
2 2 2 2 2 x 1 2 5 1 3
x Vậy
- Ta có :
1 3
là giá trị cần tìm
n
1
3 x x
d) Bài tập áp dụng
15
28
x
2
C
C
C 1
79
n n
n n
n n
10
11
12
13
14
P x ( )
x
x
x
x
x
Bài 1 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển biết rằng
1
1
1
1
1
2
14
P x ( )
...
Bài 2 : Cho đa thức
a 0
a x a x 1
2
a x 14
n
x
2
được viết dưới dạng . Tìm hệ số a7.
1 x 1
2
Bài 3 : Tìm số thực x sao cho trong khai triển tổng các hạng tử thứ
n
7
20
x
C
C
...
C
2
3 và thứ 5 bằng 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối bằng 22 Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của
1
n
1
1 2
2 n 2
n n 2
1
1
1 4 x
n
n
x 2
2x
biết rằng
. Tìm n để a3n-3 = 26n.
Bài 5 : Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của
1
n
5
x
1 3 x
C
C
Bài 6 : Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển
7 n 3
n 1 n 4
n n 3
16
biết rằng
Loại 3. Nhóm bài toán tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển
nhị thức:
a) Bài toán thường gặp : Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển nhị thức.
n
n
k n k k C a b n
b) Các bước thực hiện bài toán :
a b
k
0
- Biểu diễn :
1
- Giả sử uk là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển
u k u k
u k u k
1
- Thực hiện giải bất phương trình và đối chiếu điều kiện của k để
101
101
tìm k. Từ đó suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển với k tìm được.
1 x
nên ta thực hiện theo ba bước đã phân tích nêu trên
101
101
x
.k k C x 101
c) Ví dụ minh họa : Ví dụ 16 : Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển 1 x Phân tích bài toán : Bài toán yêu cầu tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển Lời giải :
k
0
k
101,
k
Ta có : 1
k N là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai
ku C
101 0
Giả sử
C
1
k 101
k 1 101
triển.
C
u k u k
u k u k
1
k 101
k 1 101
C C
k
k
k
k
!
!
101! ! 101
k
k
k
k
!
!
101! ! 101
101! 1 ! 100 101! 1 ! 102
17
Xét hệ :
k
k
1
1
k
1 102
1 101 1 k
k
1 101
k k
k 2
100
102
k 2
k
51
k 102 50 Mà k N nên k = 50 hoặc k = 51 Khi đó có hai số hạng có hệ số lớn nhất.
C
50 101
51 C 101
n
n
2
x
*
,
1 2
...
a x n N và các n
a 0
a x a x 1
2
Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là
4096
...
Ví dụ 17 : Cho khai triển
a 0
a 1 2
a n n 2
n
2
x
...
1 2
n a x (1) n
a x a x 1
a 0
2
. Tìm số lớn nhất hệ số a0, a1,a2,…,an thỏa mãn hệ thức
x
trong các hệ số a0,a1,a2,…,an. Phân tích bài toán : - Thực hiện tìm số mũ n theo yêu cầu bài toán. - Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển theo ba bước đã phân tích nêu trên Lời giải : Ta có :
1 2
n 2
n 2
...
4096
12
n
a 0
a 1 2
a n n 2
12
12
k
12
x
C
x
C
k .2 .
1 2
k x
k 12
k 12
Thay vào hai vế của (1) ta được :
. 2
k
k
0
0
k
k
12,
k
Xét khai triển
k N là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai
ku C
12.2 0
Giả sử
1
1
C
C
k 2 .
k .2
1
k 12
triển.
1
C
C
k 2 .
k 12 k 1 2 .
u k u k
u k u k
1
k 12
k 12
18
Xét hệ :
k
k
k
k
k
!
!
k
k
k
k
k
2 .12! k ! 12 2 .12! k ! 12
!
1 2 .12! 1 ! 11 1 2 .12! 1 ! 13
!
k
1
2
k
k 1 2 13
1 12 1 k
k 1 24 2
k
k k 26 2
23 26
k
k 3 k 3 23 3
26 3
Mà k N nên k = 8
8 2 .C 12
Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là 8
d) Bài tập áp dụng:
x 1 2 3 3
10
10
2
...
a 0
a x a x 1
2
3 a x 3
a x . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 10
12
1 2x
Bài 1 : Trong khai triển thành đa thức
2
3
12
...
a 0
a x a x 1
2
a x 3
a x . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 12
n
x
thành đa thức a0;a1;…;a10 Bài 2 : Trong khai triển
1
có hệ số lớn nhất. Tìm
a0;a1;…;a12 Bài 3 : Biết rằng số hạng thứ 11 trong khai triển số nguyên dương n.
Dạng 2. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp, tính tổng số tổ hợp dựa
vào khai triển một biểu thức.
19
a) Bài toán thường gặp: - Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức. - Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức.
n
n
n
x
x
x
x
;
- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.
n 1 ;
; 1
1
…
b) Các bước thực hiện: - Dựa vào yêu cầu bài toán chọn một hàm số thích hợp và thực hiện khai triển theo công thức Nhị thức Niu – tơn. Ví dụ : 1 - Thay x những giá trị thích hợp kết hợp với các phép biến đồi đại số để giải bài toán ban đầu.
C
C
C
C
16 3
15 3
14 3
13 3
16 2
...
c) Ví dụ minh họa:
0 16
1 C 16
2 16
3 16
16 16
Ví dụ 18 : Chứng minh rằng :
k
0
16,
k
Phân tích bài toán : Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 3
nC
k N . Nên ta
16
x
f x ( )
giảm từ 16 về 0, trong các số hạng có xuất hiện
1
16
15
16
14
13
x
...
0 C x 16
1 C x 16
2 C x 16
3 C x 16
16 C (1) 16
1
có thể chọn hàm số , thực hiện khai triển và sau đó thay x = - 3
C
C
C
C
16 3
15 3
14 3
13 3
16 2
...
0 16
1 C 16
2 16
3 16
16 16
(Vì số hạng ứng với k lẻ thì âm) Lời giải : Ta có : Thay x= - 3 vào hai vế của (1) ta được :
n
...
0
Vậy đẳng thức được chứng minh.
1 3 C C C C n n
0 n
2 n
n C n
1
n
n
x
...
.
n C x (1)
0 n
3 3 C C x C x C x n
2 2 n
1 n
n n
Ví dụ 19 : Chứng minh rằng :
1
n
...
0
Phân tích bài toán : Tương tự ví dụ 18 đã nêu Lời giải : Ta có : 1
1 3 C C C C n n
0 n
2 n
n C n
1
n
2
1
n 4
n 4
n 4
...
2 2
n ... 2
0 C n
2 C n
1 C n
n 0 C C n n
1 C 2 n
2 C n
n C n
Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được :
1
20
Vậy đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 20 : Chứng minh rằng :
Phân tích bài toán : Nhận thấy cả 2 vế của đẳng thức đều được khai triển theo công thức Nhị thức Niu tơn nhưng các số hạng có đặc điểm khác nhau nên ta cần thực hiện như sau - Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ
n
k
,
0
x
f x ( )
k n k N . Nên ta có thể chọn hàm số
của 4 giảm từ n về 0, trong các số hạng có xuất hiện
1
nC hiện khai triển và sau đó thay x = 4
, thực
- Ta thấy vế phải của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số
n
k
f x ( )
,
0
k n k N . Nên ta có thể chọn hàm số
1
x , thực
nC hiện khai triển và sau đó thay x = 2
mũ của 2 tăng từ 0 đến n, trong các số hạng có xuất hiện
- Khi đó ta thu được kết quả vế trái và vế phải của đẳng thức cùng bằng
n
n
n
n
1
2
x
...
n C x C x
2 C x n
0 n
1 n
n C (1) n
1
1
một giá trị trung gian là 3n
n
1
2
n 4
n 4
n 4
...
n 3
0 C n
1 C n
2 C n
n C n
1
n
...
1 2 2 C C x C x n n
0 n
n n C x (2) n
Lời giải : Ta có : Thay x= 4 vào hai vế của (1) ta được :
x
2 2
n ... 2
n 3
Lại có : 1
0 C n
1 C 2 n
2 C n
n C n
n
1
2
n 4
n 4
n 4
...
2 2
n ... 2
Thay x= 2 vào hai vế của (2) ta được :
0 C n
1 C n
2 C n
0 C C n
n n
1 C 2 n
2 C n
n C n
1
Suy ra
2 2
n ... 2
243
Vậy đẳng thức được chứng minh.
0 C n
1 C 2 n
2 C n
n C n
Ví dụ 21 : Tìm số nguyên dương n sao cho
Phân tích bài toán :
n
.
...
n C x (1)
1 2 2 C C x C x n n
0 n
n n
- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 19) - Giải phương trình tìm n
x
n 3
2
n .2
...
Lời giải : Ta có : 1
0 1 C C n n
2 2 C 2 n
n C n
21
Thay x= 2 vào hai vế của (1) ta được :
n
243
5
n 3
2048
...
Khi đó ta có : Vậy n = 5 là số nguyên dương cần tìm.
n
1 C 2
3 C n 2
n 2 1 C n 2
Ví dụ 22: Tìm số nguyên dương n sao cho
Phân tích bài toán :
n
2
n
2
.
...
2 C x (1)
n
0 C n 2
2 3 C x C x C x n 2
3 n 2
1 2
n 2 n 2
- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 20) - Giải phương trình tìm n.
x
n
2 2
...
Lời giải : Ta có : 1
n
0 C n 2
1 C 2
2 C n 2
3 C n 2
n 2 C (3) n 2
...
Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được :
n
0 C n 2
1 C 2
2 C n 2
3 C n 2
n 2 C (4) n 2
Thay x= -1 vào hai vế của (1) ta được :
n
n 2 1
2(
2 ) 2
2
...
...
n
n
1 C 2
3 C n 2
n 2 1 C n 2
1 C 2
3 C n 2
n 2 1 C n 2
n
n
6
2
n 2 12
1 11
2
2
...
0 C n
1 C n
n C n 2
Từ (3) và (4) ta được :
2048 Khi đó : Vậy n = 6 là số nguyên dương cần tìm Ví dụ 23 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có : 2 n C n
k
2 nC với
,
Phân tích bài toán : Để ý các số hạng của đẳng thức ở vế phải đều được viết dưới dạng 0
k n k N nên ta thực hiện khai triển một biểu thức theo hai hướng khác
n
2
n
n
2
3
...
.
...
2 C x (1)
n
2 C x C x C x n 2
0 C n 2
3 n 2
1 2
n C x n 2
n 2 n 2
x
n
n
2
x
x
1
n x
1
n
2
n
n
x
.
.
...
...
C x
1 2 2 C C x C x n n
n n
0 n
2 2 C x C C x C x n
0 n
1 n
n n
nhau sau đó thực hiện đồng nhất thức hệ số. Lời giải : Ta có : 1 Mặt khác : 1 1
(2)
nC
n 2
Hệ số của xn ở vế phải của (1) là
22
Hệ số của xn ở vế phải của (2) là:
1
2
.
.
.
1 n
0 n
1 1 0 C C C C n n
n n
n n
2
2
2
...
0 C n
1 C n
n C n
n n C C C C n n
2
2
...
0 C n
1 C n
n C n 2
n 2 C C . n n
...
2 n C n
Vậy
Ví dụ 24 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có :
2
4
n
2
n
1
2
n
C
3
C
3
C
2 ... 3
C
2
2
0 n 2
2 n 2
4 n 2
2 n n 2
1
k
k
n k N , k chẵn) 2 ,
n
1
n
2
2
n
C x C x
...
1 2 x
C
x
Phân tích bài toán : Ta thấy các số hạng của đẳng thức ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có đặc điểm :Số mũ của 3 tăng và đều là số chẵn ; trong các số hạng có xuất hiện
nC ( 0 Vậy để chứng minh được đẳng thức ta cần triệt tiêu các số hạng ứng với k lẻ. Lời giải : Ta có : 1
2
n 2 C x 2 n
0 C 2 n
n 2 n 2
2 n 2
1 2
n
n
2
n
1
2
n
x
C x C x
C
...
C
1 2 x
(1)
2
0 n 2
2 n 2
1 2
n
2 n n 2
2 n C x n 2
(2)
2
n
2
n
2
2
n
x
x
2
C
...
1
1
0 n 2
2 C x n 2
2 n C x 2 n
(3)
1 Cộng hai vế của (1) và (2) ta được :
2
n
2
n
n
2
C
2 3
...
C
2 3
4
2
0 C 2 n
2 n 2
2 n n 2
4
n
2
n
2
2
n
C
C
2 3
...
2 3
0 n 2
2 n 2
2 n C 2 n
2
n
2
n
2
1
2 2
n
C
2 3
...
C
2 3
0 n 2
2 C 2 n
n 2 n 2
2
n
1
2
n
n
2 (2
2
1)
C
C
2 3
...
2 3
0 n 2
2 n 2
2 n C 2 n
Thay x = 3 vào hai vế của (3) ta được :
2
4
A
n 2
n 2
n 2
...
Vậy đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 25 : Rút gọn biểu thức
0 C n
2 C n
4 C n
1
3
5
B
n 2
n 2
n 2
...
a)
1 C n
3 C n
5 C n
b)
23
Phân tích bài toán :
n
n
n
n
n
1
4
1
3
2
4
3
2
x
n n 2
n 2
n 2
n 2
n 2
...
2
0 C x n
4 C x n
2 C x n
3 C x n
1 C x n
1
n
n
n
n
n
2
2
4
3
1
3
4
1
x
n n 2
n 2
n 2
n 2
n 2
...
2
(1
0 C x n
4 C x n
2 C x n
3 C x n
1 C x n
1
(2)
1
2
3
4
n 3
n 2
n 2
n 2
n 2
n 2
...
0 C n
1 C n
2 C n
3 C n
4 C n
3n A B (3)
Nếu ta thực hiện cộng vế phải của biểu thức A và biểu thức B ta thu được một khai triển Nhị thức Niu tơn trong đó số mũ của 2 giảm dần. Vậy để tính giá trị của A và B ta không thực hiện tính riêng lẻ mà thực hiện liên kết A và B vào hệ phương trình gồm 2 ẩn A và B, từ đó tính A và B Lời giải : Ta có Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được :
1
2
3
4
1
n 2
n 2
n 2
n 2
n 2
...
0 C n
1 C n
2 C n
3 C n
4 C n
Khi đó : Thay x= 1 vào hai vế của (2) ta được :
1 A B(4)
n 3
1
A B
Khi đó :
A B
1
n 3
n 3 1
2 2
A B
Từ (3) và (4) ta được :
2
...
...
d) Bài tập áp dụng :
n
2 C n 2
4 C n 2
n 2 C n 2
1 C 2
3 C n 2
n
n
n 2 1
3 3
4 3
2 ... 3
2
2 2
Bài 1 : Chứng minh rằng
0 C n 2
2 C n 2
4 C n 2
n 2 C n 2
n 2 1 C n 2
2 1
30
S C
C
2 3
... 3
Bài 2 : Chứng minh rằng
0 20
1 C 3 20
2 20
20 C 20
4096
...
Bài 3 : Tính tổng
0 1 C C n n
n C n
Bài 4 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn :
Dạng 3. Sử dụng đạo hàm và tích phân trong bài toán khai triển nhị
thức Niu – tơn
a) Bài toán thường gặp: - Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức. - Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức. - Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.
24
b) Các bước thực hiện:
k
* Đối với bài toán sử dụng đạo hàm : - Dấu hiệu nhận biết bài toán có sử dụng đạo hàm :
nkC hoặc không
n
0
+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh có chứa dạng
nC hoặc không chứa
nC ta thực hiện dùng đạo hàm cấp 1.
n
1
0
1
C hoặc không chứa
nC C ta thực hiện
;n
;n n
nC C hoặc không chứa
n
1 k
n
n
a bx với cách chọn a,b
a bx hoặc
chứa
k
+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh các số hạng có chứa dạng k k dùng đạo hàm cấp 2. - Phương pháp thực hiện : + Dùng Nhị thức Niu – tơn khai triển thích hợp với yêu cầu bài toán. + Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức vừa khai triển ở trên và chọn x thay vào. * Đối với bài toán sử dụng tích phân : - Dấu hiệu nhận biết bài toán có sử dụng tích phân:
nC
k
1
1
n
n
a bx với cách chọn a,b
a bx hoặc
+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh các số hạng có chứa dạng
- Phương pháp thực hiện : + Dùng Nhị thức Niu – tơn khai triển thích hợp với yêu cầu bài toán. + Lấy tích phân hai vế đẳng thức vừa khai triển ở trên với cận thích hợp và chọn x thay vào.
1
2 3.2
.2n n
...
c) Ví dụ minh họa:
1 S C n
2 C 4 n
3 C n
n C n
Ví dụ 26 : Tính tổng
0
Phân tích bài toán :
nC và trong mỗi số hạng có xuất
k
,
Trong biểu thức cần tính tổng ta thấy không có
k n k N nên ta thực hiện sử dụng đạo hàm cấp 1.
nkC với 0
n
.
...
n C x (1)
1 2 2 C C x C x n n
0 n
n n
x
n
1
n
n
x
...
2
3
2 3 x C n
2 xC n
1 C n
n 1 n x C (2) . n
hiện dạng
25
Lời giải : Ta có : 1 Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được : 1
1
1
2.2
2 3.2
...
n n .2
n 2.3
1 C n
2 C n
3 C n
n C n
1
S
2.3n
Thay x= 2 vào hai vế của (2) ta được :
n
1
...
0
Vậy
1 C n
2 C 2 n
3 C 3 n
n n C . . n
1
Ví dụ 27 : Chứng minh rằng :
0
Phân tích bài toán :
nC và trong mỗi số
k
,
Trong vế trái của đẳng thức cần tính tổng ta thấy không có
k n k N nên ta thực hiện sử dụng đạo
nkC với 0
n
n
x như ví dụ 27.
x thay vì chọn khai triển
1
n
n
x
...
.
n C x (1)
3 3 C C x C x C x n
2 2 n
n n
0 n
1 n
1
hạng có xuất hiện dạng
n
n
1
1
n
x
n
2
3
...
1 C n
2 xC n
3 2 x C n
n n x C (2) n
1
1
hàm cấp 1. Chú ý các số hạng ứng với k chẵn là số âm nên ta thực hiện chọn khai triển 1 Lời giải : Ta có : 1 Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được :
n
n
0
...
1 C n
3 C 3 n
2 C 2 n
1
n
1
n
0
...
1 C n
2 C 2 n
3 C 3 n
n C n
Thay x= 1 vào hai vế của (2) ta được
n C n 1 Vậy đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 28 : Chứng minh rằng :
2
2.1
3.2.
4.3.
n n (
1)
n n (
n 1)2
...
2 C n
3 C n
4 C n
n C n
0
1
nC C và trong mỗi số hạng có
;n
,
C với 0
Phân tích bài toán :
k n k N nên ta thực hiện sử dụng đạo
n
k k
n
.
...
n C x (1)
1 2 2 C C x C x n n
0 n
n n
xuất hiện dạng Trong biểu thức cần tính tổng ta thấy không có 1 k
x
26
hàm cấp 2. Lời giải : Ta có : 1
n
2
2
x
4.3.
3.2
2.1
n n .(
1)
...
3 xC n
2 C n
4 2 x C n
n n x C (2) n
1 1
2
2.1
3.2
4.3
n n .(
1)
n n (
n 1).2
...
2 C n
3 C n
4 C n
n C n
Lấy đạo hàm cấp hai hai vế của (1) ta được : n n Thay x= 1 vào hai vế của (2) ta được :
n
C
C
n
C
2.2
2 3.2
(2
2 1).2
2005
...
1 C n 2 1
2 n 2 1
3 n 2 1
n 2 1 n 2 1
Vậy đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 29 : Tìm số nguyên dương n sao cho
n 2 1
x
Phân tích bài toán :
để rút gọn vế trái - Thực hiện tương tự ví dụ 27 với khai triển 1
của đẳng thức.
n 2 1
2
n 2 1
C
x
C
x .
C x C x
...
- Giải phương trình tìm n thỏa mãn điều kiện.
2 n 2 1
0 n 2 1
1 n 2 1
n 2 1 n 2 1
(1)
n
2
n
n
x
xC
2 x C
n
(2
2
3
(2
1)
...
1 C n 2 1
2 n 2 1
3 n 2 1
n 2 2 1 x C (2) n 2 1
1) 1
Lời giải : Ta có : 1 Lấy đạo hàm hai vế của (1) theo x ta được :
n
C
C
n
C
n
2.2
2 3.2
(2
2 1)2
2
1
...
1 C n 2 1
n 2 1 n 2 1
2 n 2 1 n 2
3 n 2 1 1 2005
1002
n
Thay x= -2 vào hai vế của (2) ta được
...
Khi đó ta có : Vậy n = 1002 là số nguyên dương cần tìm.
0 C n
1 C n
2 C n
3 C n
n C n
n
1 2
1 3
1 4
1
1
n 1 1 2 n 1
Ví dụ 30 : Chứng minh rằng :
k
,
0 với
k n k N nên ta thực hiện sử dụng tích phân
nC
1
n
.
...
n C x (1)
1 2 2 C C x C x n n
0 n
n n
k 1 Lời giải : Ta có : 1
x
27
Phân tích bài toán : Trong mỗi số hạng ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có xuất hiện dạng
1
1
1
1
C dx C xdx C x dx
...
0 n
2 2 n
1 n
n n C x dx n
n x dx
0
0
0
1 1 0
0
n
1
x
1
...
0 C x n
n n C x n
1 0
1 2 1 C x n 0
2 3 1 C x n 0
1 1 0
n
1 3
1
1
n 2
...
1 C n
0 C n
2 C n
3 C n
n C n
n
n
1 1 2
1 2 1 4
1
1
1 n 1 1
1 3 Vậy đẳng thức được chứng minh.
n
...
0 C n
1 C n
2 C n
3 C n
n C n
n
1 2
1 3
1 4
1
1 n 1
1
Ví dụ 31 : Chứng minh rằng :
k
,
0 với
k n k N nên ta thực hiện sử dụng tích phân.
nC
1
1
n
n
x như ví dụ 31.
x thay vì chọn khai triển
n
n
x
...
.
n C x (1)
3 3 C C x C x C x n
2 2 n
n n
0 n
1 n
k Chú ý các số hạng ứng với k lẻ là số âm nên ta thực hiện chọn khai triển 1 1 Lời giải : Ta có : 1
1
1
1
1
1
n
C dx C xdx C x dx
...
0 n
2 2 n
1 n
n n C x dx n
n x dx
1
0
1 1 0
0
0
0
n
n
1
x
1
...
0 C x n
n n C x n
1 0
1 0
1 2 1 C x n 0
2 3 1 C x n 0
1 1 0
n
n
1
1 2
1 1
...
1 C n
0 C n
2 C n
3 C n
n C n
n
n
1 2
1 4
1
1 3 n 1 1
1
1 3 Vậy đẳng thức được chứng minh.
Phân tích bài toán : Trong mỗi số hạng ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có xuất hiện dạng
1
...
0 C 2 n
1 C n
2 C n
3 C n
n C n
n 2 n
2 2 2
3 2 3
1
1 4
n 1 1 3 n 1
d) Bài tập áp dụng: Bài 1 : Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng
S
0 C 6
1 C 6
2 C 6
3 C 6
4 C 6
5 C 6
6 C 6
6 2 1
5 2 2
3 2 4
2 2 5
2 6
1 7
4 2 3
28
Bài 2 : Tính tổng :
2
n
...
3.2
2.1
n
n n
1 2
n nC n
2 C n
3 C n
Bài 3 : Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng : 1
2004
3
1
2
2004
C
2
C
... 2
C
0 2004
1 2004
2004 2004
2
Bài 4 : Chứng minh rằng :
1
n n .2
...
1 C n
2 C 2 n
3 C 3 n
n nC n
Bài 5 : Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng :
1
...
0 C 2 n
1 C n
2 C n
3 C n
n C n
n 2 n
2 2 2
3 2 3
1 4
1
n 1 1 3 n 1
Bài 6 : Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng :
n
...
n
1 C 2
3 C n 2
n 2 1 C n 2
5 C n 2
n
1 4
1 n 2
1 1
1 6
2 2 2
Bài 7 : Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng
1 2 Bài 8 : Cho n là số nguyên dương. Tính tổng :
1
2 2
1
3 2
1
n 2
...
0 S C n
1 C n
2 C n
n C n
n
2
3
1 1
6.6. Thực nghiệm sư phạm Để có được sự đánh giá khách quan hơn tôi đã chọn ra 2 lớp 11, một lớp để đối chứng và một lớp để thực nghiệm. Lớp đối chứng vẫn được tiến hành ôn tập bình thường, đối với lớp thực nghiệm tôi thực hiện chọn lọc những nội dung phù hợp với lớp 11 trong đề tài và phô tô cho học sinh, học sinh nhóm thực hiện sẽ nghiên cứu và thực hiện ôn tập. Sau đó cả hai lớp được làm một bài kiểm tra trong thời gian một tiết, hình thức kiểm tra là tự luận, nội dung bài kiểm tra gồm một số dạng bài tập trong đề tài (giới hạn nội dung trong lớp 11) và thống kê điểm cho kết quả sau:
Sĩ số 40 Giỏi 2 (5%) Khá 13 (32,5%) Trung bình 20 (50%) Yếu 5 (12,5%)
Lớp Lớp đối chứng
39 9 (23,1%) 18 (46,2%) 11 (28,2%) 1 (2,6%)
Lớp thực nghiệm
Dựa trên các kết quả thực nghiệm cho thấy chất lượng học tập của học
29
sinh các lớp thực nghiệm cao hơn học sinh các lớp đối chứng. - Tỷ lệ học sinh yếu kém của lớp thực nghiệm là thấp hơn so với lớp đối chứng.
- Tỷ lệ học sinh đạt trung bình đến khá, giỏi của các lớp thực nghiệm là cao hơn so với lớp đối chứng. Trước khi tiến hành thực nghiệm tôi thấy rằng học sinh còn bỡ ngỡ, mơ hồ khi thực hiện giải các bài tập Nhị thức Niu – tơn, thời gian luyện tập ngắn nên giáo viên không thể truyền tải hết được các dạng bài tập đến với học sinh. Nhưng khi áp dụng đề tài thì tôi thấy rằng học sinh nắm vững được lý thuyết, biết phân tích bài toán để tìm ra hướng giải, hạn chế được những sai lầm trong quá trình làm bài. Như vậy có thể khẳng định rằng kinh nghiệm trên phần nào có tác dụng nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
theo công thức nhị thức Niutơn.
trong khai triển.
GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM Chương II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bài 3. NHỊ THỨC NIU – TƠN Tiết 28 : LUYỆN TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN
I. Mục tiêu bài học: 1. Kiến thức: - Củng cố, khắc sâu công thức nhị thức Niutơn. 2. Kỹ năng: - Biết khai triển (a+b)n - Tính tổng của một biểu thức dựa vào công thức nhị thức Niutơn - Tìm số hạng chứa xk 3. Thái độ: - Tự giác, tích cực, sáng tạo 4. Năng lực cần đạt: - Năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng ngôn ngữ, năng lực sáng tạo...
30
II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Chuẩn bị của giáo viên: - Giáo án, Sgk, bảng phụ... - Chuẩn bị nội dung bài giảng phù hợp đối tượng học sinh. 2. Chuẩn bị của học sinh: - Sách,vở , đồ dùng học tập, đọc trước bài mới... - Ôn tập công thức nhị thức Niu – tơn.
a 2b
III. Phương pháp dạy học: - Nêu và giải quyết vấn đề, phát vấn, giảng giải...
IV.Tiến trình tổ chức dạy học: 1.Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số 2. Kiểm tra bài cũ: CH1: Nhắc lại công thức nhị thức Niu – tơn ? 5 CH2 : Thực hiện khai triển biểu thức :
3. Bài mới:
8
3
A
x
Hoạt động của GV và HS Nội dung ghi bảng
1 x
16x trong khai triển của A.
Bài 1: Cho biểu thức
k
8 k
3
24 4k
0 k 8
k C x 8
k C x 8
1 x
a) Tìm hệ số của b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của A. Giải: Số hạng tổng quát của khai triển là
16x ứng với
24 4k 16
k
2
2
28
0 k 8 k N Vậy hệ số của
16x trong khai triển là
8C
a) Hạng tử chứa
0
24 4k
k
6
0 k 8 k N Vậy hạng tử không chứa x trong khai triển đó là
6
28
8C
b) Hạng tử không chứa x ứng với
1
5 n C n
3 C . n
Bài 2 : Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
31
GV cho BT1 HS ghi bài, suy nghĩ GV yêu cầu HS nêu cách thực hiện bài toán HS trả lời : + Xác định số hạng tổng quát của khai triển . + Dựa vào yêu cầu bài toán tìm k + Kết luận về hệ số và số hạng cần tìm GV nhận xét GV chia lớp thành 4 nhóm và cho HS hoạt động nhóm trong thời gian 3 phút Nhóm 1+3 : Ý a Nhóm 2+4 : Ý b HS : Đại diện nhóm lên trình bày GV nhận xét GV cho BT2 HS ghi bài
n
2
1 x
nx 14
0x
Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển với
5.
. Lời giải :
n 3 1 C C 5 n n
n
3!
n ! n
n ! 1 !
3 !
n
n
2
30
1
1 6
n
n
2
2 n
5 n 3
1 28 0
KTM
4(
)
n n 7
7
2
Ta có:
1 x
x 2
7
2
Với n = 7 xét khai triển
1 x
x 2
k
7
k
2
k
.
14 3 x .
T k
1
k C 7
k C 7
k . 1 .
k
1 x
x 2
1 7 2
Số hạng tổng quát của khai triển là :
5
k
3
7
k 14 3 k 0 k N
5
Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với
5 x
3 C x . 7
1 16
35 16
Vậy số hạng cần tìm là :
2 2
n ... 2
243
0 C n
1 C 2 n
2 C n
n C n
n
.
...
n C x (1)
1 2 2 C C x C x n n
0 n
n n
x
Bài 3 : Tìm số nguyên dương n sao cho
n 3
2
n .2
...
0 1 C C n n
2 2 C 2 n
n C n
Lời giải : Ta có : 1 Thay x= 2 vào hai vế của (1) ta được :
32
GV yêu cầu HS nêu sự khác nhau giữa bài tập 2 và bài tập 1 HS trả lời : Bài tập 2 có điều kiện của n GV gọi 1HS lên bảng thực hiện tìm n HS trình bày GV chính xác hóa bài làm của học sinh HS thực hiện bước tiếp theo (3 bước đã nêu ở bài tập 1) GV yêu cầu HS lên trình bày HS trình bày GV nhận xét, cho điểm GV cho bài 3 HS ghi bài, suy nghĩ GV yêu cầu HS nêu cách tìm
n
n 3
243
5
n
x theo công thức Nhị
Khi đó ta có : Vậy n = 5 là số nguyên dương cần tìm.
3x 4
Bài 4: Trong các khai triển biểu thức, hãy tính tổng
17
các hệ số của nó:
17
17
17 k
k
3x 4
4
k C 3x 17
k 0
17
17 k
17 k
k 4 x
k C 3 17
k 0
Giải:
17
k
17
17 k
4
3 4
1
k C 3 17
k 0
Tổng hệ số trong khai triển là:
n HS trả lời : Ta thực hiện thu gọn vế trái GV yêu cầu HS khai triển 1 thức Niu – tơn HS trả lời tại chỗ GV : Với x bằng bao nhiêu ta thu được biểu thức giống vế trái của đẳng thức HS thảo luận và tư duy : x = 2 HS tìm n GV nhận xét GV cho bài 4 HS suy nghĩ CH : Hãy cho biết các hệ số trong mỗi hạng tử ? HS trả lời GV hướng dẫn HS tính tổng và chú ý HS : Tổng các hệ số chính là khai triển của một biểu thức theo công thức nhị thức Niuton
33
4. Củng cố: - Qua bài HS cần nắm 2 dạng bài cơ bản: Dạng 1: Xác định hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển (có điều kiện hoặc không) Dạng 2: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện cho trước hoặc tính tổng sử dụng Nhị thức Niu – tơn. 5. Hướng dẫn về nhà: - Xem lại các bài đã chữa. - Hoàn thiện các bài còn lại trong SGK. - Xem trước bài mới.
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: * Đối với học sinh:
Chủ động trong giờ học, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong tư duy của
- Thường xuyên trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp. - Tăng cường hệ thống bài tập (tự luận và trắc nghiệm) theo các dạng.
- Nhà trường cần quan tâm đầu tư cung cấp tài liệu, sách tham khảo, cơ sở
- Xây dựng đội ngũ giáo viên toán học đủ về số lượng, đạt chuẩn về trình
mình dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo viên. * Đối với giáo viên * Đối với các cấp lãnh đạo vật chất: máy chiếu, tranh ảnh... độ đào tạo, vững vàng về chuyên môn.
8. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến.
- Nội dung trong sáng kiến được áp dụng một phần cho học sinh lớp 11 và đặc biệt sử dụng cho học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi THPT quốc gia.
- Với các dạng toán đã nêu tôi tin rằng chuyên đề này sẽ cung cấp cho
học sinh một lượng kiến thức khá tổng hợp, bao quát tương đối đầy đủ về nhị thức Niu-tơn và các kỹ năng cơ bản để xử lí khi gặp các bài tập về nhị thức Niu-tơn. Học sinh có thể tự tin khi tiếp cận các dạng bài tập về Nhị thức Niu - tơn, từ đó cảm thấy hứng thú và yêu thích nội dung kiến thức nói riêng và đối với Toán học nói chung.
- Trong quá trình thực hiện đề tài này tôi nhận thấy: Khi việc kiểm tra, đánh giá học sinh chuyển sang hình thức kiểm tra TNKQ đồng nghĩa với đó đề thi sẽ kiểm tra kiến thức của học sinh ở nhiều mảng khác nhau, vấn đề lớn của học sinh là thời gian thi hạn chế. Do vậy nếu các mảng kiến thức được phân hóa chi tiết thành từng dạng bài tập sẽ giúp học sinh khắc sâu vấn đề, ôn tập tốt hơn.
- Không tốn kém tiền của. - Ứng dụng cho tất cả các đối tượng (học sinh yếu chỉ áp dụng loại 1, 2.
34
Học sinh khá giỏi xử lí được tất cả các dạng theo hướng dẫn của giáo viên).
Vì thời gian, kinh nghiệm, khả năng còn hạn chế nên bài viết không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý bổ sung của các đồng chí và các bạn đồng nghiệp để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
............., ngày.....tháng......năm...... Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu)
............., ngày.....tháng......năm...... Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên)
35
Hồ Thị Kim Thúy
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 Ban nâng cao, NXB Giáo dục.
2. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Ban nâng cao, NXB Giáo dục.
3. Các đề thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh 11, 12
4. Các đề thi THPT quốc gia.
5. Phương pháp giải toán Đại số tổ hợp 12, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
6. Các chuyên đề nâng cao và phát triển giải tích 11- Nguyễn Quang Sơn, NXB
Đại học quốc gia Hà Nội.
36
7. Internet.
MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu....................................................................................................1
2. Tên sáng kiến...................................................................................................1
3. Tác giả sáng kiến…………………………………………………………….2
4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến............................................................................2
5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử…………………2
6. Mô tả sáng kiến………………………………………………………………2
6.1.Thực trạng của vấn đề……………………………………………………….2
6.2.Mục đích nghiên cứu………………………………………………………...2
6.3.Điểm mới trong kết quả nghiên cứu…………………………………………2
6.4.Phương pháp thực hiện chuyên đề…………………………………………...3
6.5.Nội dung……………………………………………………………………..3
Phần 1: Cơ sở lý thuyết.................................................................................3
Phần 2. Hệ thống các dạng bài tập............................................................4
Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển..........4
Loại 1.Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển..........................4
Loại 2. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa mãn điều
kiện cho trước…………………………………………………………………..11
Loại 3. Nhóm bài toán tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển nhị
thức……………………………………………………………………………..17
Dạng 2. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp, tính tổng số tổ hợp dựa vào
khai triển một biểu thức………………………………………………………19
Dạng 3. Sử dụng đạo hàm và tích phân trong bài toán khai triển nhị thức
Niu-tơn…………………………………………………………………………24
6.6.Thực nghiệm sư phạm……………………………………………………...29
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến………………………………..34
8. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến……………………………………………………………………………..34
37
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….. 36
38
