Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn

Chia sẻ: Chubongungoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến là rèn luyện kỹ năng thành thạo cho học sinh với các dạng toán cơ bản trong chương trình toán 11. -ung cấp thêm các kiến thức và các dạng toán có sử dụng các kiến thức trong chương trình lớp 12. Phối kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức trong hai chương trình để giải quyết các bài toán phức tạp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn

SỞSỞ GD&ĐT GD&ĐT VĨNHPHÚC VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ………………………………. TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG =====***===== =====***===== BÁOBÁO CÁOCÁOKẾT KẾT QUẢ QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến:....................................................... TênTác giả sáng kiến:................................................. sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị Môn: ……………………………………………. thức Niu-tơn Trường THCS: ………………………………….. Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy Mã sáng kiến: 25.52…. Vĩnh phúc, năm 2018 Vĩnh phúc, năm 2018
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy Mã sáng kiến: 25.52…. Vĩnh phúc, năm 2018
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiện đại; kiến thức Toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn khoa học khác. Với tư cách là cố vấn cho quá trình học tập, người giáo viên cần có sự đầu tư về thời gian để nghiên cứu bài học, tìm tòi kiến thức để hướng dẫn cho học sinh tiếp cận với tri thức, xóa bỏ rào cản của học sinh khi học môn Toán. Để hoàn thành tốt môn học này các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ thấp đến cao. Rèn luyện kỹ năng bằng cách chăm chỉ làm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các sách nâng cao. Ngoài ra, học tốt môn Toán cần chú ý đến việc hệ thống hóa kiến thức. Khi làm một bài toán cần nhanh chóng tư duy xem bài đó thuộc dạng nào để tìm ra cách giải. Nhị thức Niu - tơn là một trong những nội dung kiến thức hay và có nhiều điểm có thể huy động khai thác tư duy của học sinh. Việc học và rèn luyện nội dung này cũng hết sức quan trọng và cần thiết để học sinh có sự chuẩn bị chu đáo cho kỳ thi THPT quốc gia hiện nay khi đề thi có mở rộng sang nội dung toán 11. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra những tình huống cơ bản của Nhị thức Niu- tơn, do đó học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giải các bài toán này. Đối với đối tượng học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức Nhị thức Niu-tơn một cách hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết. Chính vì vậy tôi xin mạnh dạn trình bày "Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu - tơn" làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình. Với hy vọng đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc học tập của các em học sinh nói riêng và cho công tác giảng dạy của đồng nghiệp nói chung. 2. Tên sáng kiến: “Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu – tơn”. 1
3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Hồ Thị Kim Thúy - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Việt Trì – Phú Thọ. - Số điện thoại: 0363735787 . E_mail: kimthuy051188@gmail.com. 4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn toán học lớp 11, 12 – các bài toán liên quan tới khai triển Nhị thức Niu- tơn. 5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: - Đề tài được nghiên cứu và thực nghiệm từ tháng 10/2017 đến tháng 3/2018. 6. Mô tả bản chất của sáng kiến 6.1. Thực trạng của vấn đề Nhị thức Niu - tơn trong chương trình THPT được đưa ra với thời lượng chương trình trong 2 tiết học: 1 tiết lý thuyết và 1 tiết bài tập (chương trình cơ bản). Như vậy việc thông thạo kiến thức cũng như tiếp cận các dạng bài tập của học sinh sẽ còn hạn chế rất nhiều. Học sinh ít có thời gian luyện tập dẫn đến học sinh thường không làm được bài tập. Nhiều học sinh thụ động, chỉ áp dụng máy móc công thức, chỉ dừng lại ở dạng bài tập khai triển một biểu thức theo công thức Nhị thức Niu-tơn. Trong khi đó các dạng bài tập lại rất đa dạng và phong phú. Học sinh chưa biết tự tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức cho nên kết quả học tập chưa cao. 6.2. Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện kỹ năng thành thạo cho học sinh với các dạng toán cơ bản trong chương trình toán 11. - Cung cấp thêm các kiến thức và các dạng toán có sử dụng các kiến thức trong chương trình lớp 12. - Phối kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức trong hai chương trình để giải quyết các bài toán phức tạp. - Giải quyết tốt các bài trong các đề thi THPT quốc gia, thi học sinh giỏi. 6.3. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là đã hệ thống hóa được kiến thức và khai thác có hiệu quả các bài toán về “Nhị thức Niu tơn”, không áp đặt hoặc dập 2
khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng tiếp thu để giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó liên quan đến “Nhị thức Niu tơn”. 6.4. Phương pháp thực hiện - Bước 1: Khảo sát tư liệu Nghiên cứu hệ thống lý thuyết, các dạng bài tập. Tìm hiểu các đề kiểm tra của học sinh và các nguồn tư liệu khác có liên quan tới quá trình dạy học phần “Nhị thức Niu tơn”. - Bước 2: Đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải, ví dụ và phân tích ví dụ minh họa, bài tập tương tự để học sinh luyện tập. - Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh (2 lớp khối 11). - Bước 4: Thu thập và xử lý số liệu, rút ra kết luận. 6.5. Nội dung Phần 1. Cơ sở lý thuyết a) Hoán vị : Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó Pn  n !  n(n  1)...2.1  n  N *  * Quy ước : 0! = 1 b) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho n! Ank  1  k  n, n  ¥   n  k ! c) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n! C nk   0  k  n, n  ¥  k !  n  k ! * Chú ý : n  Pn  An 3
 Ank  Cnk .k! k  Tính chất của các số Cn Cnk  Cnn k  0  k  n Cnk11  Cnk1  Cnk 1  k  n d) Nhị thức Niu-tơn: * Công thức nhị thức Niu - tơn n  a  b  Cn0an  Cn1an1b  ...  Cnn1abn1  Cnnbn (1) với a  ¡ ; b  ¡ ; n  ¥ n   Cnk ank bk k0 Trong vế phải của công thức (1) : - Số các hạng tử (số hạng ) là n + 1 - Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n - Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau k n k k - Số hạng tổng quát của khai triển là Tk 1  Cn a b và là số hạng thứ k + 1 trong khai triển * Hệ quả : Cn0  Cn1  ...  Cnn  2n k n Cn0  Cn1  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn Phần 2. Hệ thống các dạng bài tập  Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển.  Loại 1. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển: a) Bài toán thường gặp : n   Cho khai triển có dạng a  b . Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho. b) Các bước thực hiện bài toán: n Xét khai triển :  a  b  với a  ¡ ; b  ¡ ; n  ¥ . 4
- Bước 1 : Tìm số hạng tổng quát của khai triển n n k T k 1  C a n nk b k  0  k  n; n  ¥    k n k k hoặc biểu diễn a  b   Cn a b k0 Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển. - Bước 2 : Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với giái trị của k. Giải phương trình tìm k. - Bước 3 : Kết luận về hệ số hoặc số hạng của xk trong khai triển. * Một số tính chất của lũy thừa với số mũ thực sử dụng trong loại toán này (để thu gọn số mũ của biến) : Cho a, b là những số thực dương, m,n là những số thực tùy ý: am.an  am n am n  amn a n a  m  am.n m  a.b  am.bm m  a am     b bm m n m Cho a là số thực dương, m Z, n  N * ta có : a a n c) Ví dụ minh họa : 5 10  2 Ví dụ 1 : Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  x3  2  với x  0 .  x  Lời giải : - Số hạng tổng quát của khai triển : k 5 k  2 k Tk1  C x k 5   3   2   C5 . 2 .x  x  k 155k 10 - Số hạng chứa x trong khai triển ứng với 15  5k  10  0  k  5  k  1 k  N  5
10 1 1 10 10 - Vậy số hạng chứa x trong khai triển là : C5.(2) .x  10x - Hệ số cần tìm là -10. 12  1 Ví dụ 2 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x   với x  0 .  x Phân tích bài toán : - Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên. Lời giải : k k 12 k  1 k 12 2 k - Số hạng tổng quát của khai triển : Tk1  C x 12    C12 .x  x - Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 12  2k  0  0  k  12  k  6 k  N  6 0 6 - Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là : C12 .x  C12 25 10 15 Ví dụ 3 : Tìm số hạng chứa x y trong khai triển x3  xy   Lời giải : 15 k k k - Số hạng tổng quát của khai triển : Tk1  C15 x 3    xy  C15k .x452k .yk 25 10 - Số hạng chứa x y trong khai triển ứng với 45  2k  25  k  10   k  10  0  k  15 k  N 25 10 10 25 10 25 10 - Vậy số hạng chứa x y trong khai triển là : C15 .x y  3003.x .y 7 Ví dụ 4 : Tìm hạng tử chứa x 2 trong khai triển:  3 x 2  x  Lời giải : - Số hạng tổng quát của khai triển : 7 k 7k  2  5 k 14 k Tk 1  C  7  3 x 2  k k .x  C   x 3  7   .x k  C7k  x 3 - Hạng tử chứa x 2 trong khai triển ứng với 6
 5k  14  3 2  0  k  7  k  4 k  N   4 2 2 - Vậy hạng tử chứa x 2 trong khai triển là : C7 .x  35 x Ví dụ 5 : 31 a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  x3  xy  12 1  b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  3  x5  x  Phân tích bài toán : - Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên. - Khi xác định số hạng chính giữa của khai triển cần chú ý n +/ Nếu n là số chẵn thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 1 2 n 1 +/ Nếu n là số lẻ thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ và 2 n1  1. 2 Lời giải : 31 a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  x3  xy  31 k k k - Số hạng tổng quát của khai triển : Tk1  C31 x 3    xy k  C31 .x932k .yk - Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 16 và số hạng thứ 17 lần lượt ứng với các giá trị k =15 và k = 16 15 63 15 - Số hạng thứ 16 trong khai triển là : C31 .x .y và số hạng thứ 17 trong 16 61 16 khai triển là : C31 .x .y 12 1  b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  3  x5  x  12 k 11k  72 k  1 k - Số hạng tổng quát của khai triển : Tk 1  C  3  12 x   x   C .x 5 k 12 2 - Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 7 ứng với k = 6 7
6 3 - Số hạng thứ 7 trong khai triển là : C12 .x 5 Ví dụ 6 : Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 5 x 1  2x   x2 (1  3x)10 . Phân tích bài toán : 5 5 Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của x 1  2x   x2 (1  3x)10 bằng 5 5 tổng hệ số của x trong hai khai triển x 1  2x  và x2 (1  3x)10 5 5 4 Hệ số của x trong khai triển x 1  2x  bằng hệ số của x trong khai triển 5 1  2x  5 3 Hệ số của x trong khai triển x2 (1  3x)10 bằng hệ số của x trong khai triển (1  3x)10 Lời giải : 5 * Xét khai triển : 1  2x  5 k - Số hạng tổng quát của khai triển 1  2x  : Tk1  C5 .1  2x   C5 .(2) .x k 5 k k k k 4 - Số hạng chứa x trong khai triển ứng với k  4  0  k  5  k  4 k  N  4 - Vậy hệ số số hạng chứa x trong khai triển là : C54 .(2)4 * Xét khai triển : (1  3x)10 k - Số hạng tổng quát của khai triển (1  3x)10 : Tk1  C10 .1  3x   C10 .3 .x k 10 k k k k - Số hạng chứa x3 trong khai triển ứng với k  3   0  k  10  k  3 k  N  3 3 - Vậy hệ số số hạng chứa x3 trong khai triển là : C10 .3 8
5 Kết luận : Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 5 x 1  2x   x2 (1  3x)10 là : 3 C10 .33 + C54 .(2)4 = 3320 9 10 14 Ví dụ 7 : Cho đa thức p( x)  1  x   1  x   ...  1  x  có dạng khai triển là p( x)  a0  a1x  a2 x2  a3 x3  ...  a14 x14 . Tìm hệ số a9. Phân tích bài toán : 2 3 14 Vì p( x)  a0  a1x  a2 x  a3 x  ...  a14 x nên a9 tương ứng là hệ số của x9. Khi đó hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển 9 10 14 1  x  ; 1  x  ;...; 1  x  Lời giải : Ta có : Hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển 9 10 14 1  x ; 1  x ;...; 1  x  Khi đó : a9  C99  C109  ...  C149  3003 9 Ví dụ 8 : Tìm hạng tử của khai triển  3 3 2  là số nguyên Phân tích bài toán : Thực hiện viết số hạng tổng quát của khai triển. Để tìm được hạng tử của khai triển là số nguyên thì số mũ của lũy thừa nguyên. Lời giải : 9k k 9 k k - Số hạng tổng quát của khai triển : Tk 1  C9k      3  3 2  C9k  3 2  23 - Hạng tử Tk 1 là số nguyên  9  k chia hết cho 2 và k chia hết cho 3  0  k  9; k  N  Khi đó k  3;9  k = 3 thì T4  C93  33  2  4536  k = 9 thì T10  C99  23  8 Vậy hạng tử của khai triển là số nguyên là: T4  4536 và T10  8 8 Ví dụ 9: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 1  x 1  x   2 Lời giải : Cách 1 : 9
8 Ta có : 1  x 2 1  x     3 4 8  C80  ...  C83  x 2 1  x    C84  x 2 1  x    ...  C88  x 2 1  x   3 2 3 4 Các hạng tử chứa x8 trong khai triển là : C8  x 1  x   ; C84  x 2 1  x   Vậy hệ số của hạng tử chứa x8 là : C83C32  C84C40  238 Cách 2: 8 k 8 k  2 8  k k 2 i i i k 2k Ta có: 1  x         1  x  C  x 1  x   C x   8  1 Ck x  . 8 k 0 k 0  i 0   i  0 0  i  k  8   i  k  4 Vậy ta có hệ số của x8 là:  1 C8 Ck thỏa mãn 2k  i  8   k i i, k  ¥ i  2     k  3 0 2 Hệ số trong khai triển của x8 là:  1 C84C40   1 C83C32 =238 10 Ví dụ 10: Tìm hệ số của hạng tử chứa x 4 trong khai triển: 1  2 x  3x 2  Lời giải : 10  Ta có : 1  2 x  3x 2  10   (1  2 x)  3 x 2  10 9 8 2 10  C100 1  2 x   C101 1  2 x  .3x 2  C102 1  2 x  .  3 x 2   ...  C1010 .  3 x 2  Các hạng tử chứa x4 trong khai triển là : 10 9 8 2 C100 1  2 x  ; C101 1  2 x  .3 x 2 ; C102 1  2 x  .  3x 2  0 0 4 6 10 4 Hạng tử chứa x4 trong khai triển C10 1  2 x  là : C10 .C10 .1 .  2 x  9 2 Hạng tử chứa x4 trong khai triển C101 1  2 x  .3x 2 là : C101 .C92 .17.  2 x  .3x 2 8 2 Hạng tử chứa x4 trong khai triển C10 1  2 x  .  3x  là : 2 2 0 2 C102 .C100 .110.  2 x  .  3 x 2  0 4 1 2 2 2 0 2 Vậy hệ số của hạng tử chứa x4 là : C10 .C10  C10 .C9 .2 .3  C10 .C10 .3  8085 d) Bài tập áp dụng: 10
25 Bài 1 : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển:  2  3x  21 Bài 2 : a) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau  x3  xy  20   1 b) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau  x 4 x    2   3  xy   7  1  Bài 3 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 x  4  với x  0 x   10 1 Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển:  x    x 40 1  Bài 5 : Tìm hệ số của x31 trong khai triển:  x    x2  7 Bài 6 : Tìm hạng tử chứa x 2 trong khai triển:  3 x 2  x  14 Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển  x  2 y   Loại 2. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa mãn điều kiện cho trước a) Bài toán thường gặp : n   Cho khai triển có dạng a  b . Cho biết một vài số hạng hoặc các hệ số trong tổng thỏa mãn một đẳng thức nào đó hoặc số mũ n thỏa mãn điều kiện cho trước. Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho. b) Các bước thực hiện bài toán: - Dựa vào đẳng thức đã cho hoặc điều kiện về số mũ ta thực hiện tìm n. - Sau khi tìm được n ta thực hiện theo 3 bước như loại 1 đã nêu. c) Ví dụ minh họa: n Ví dụ 11 : Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển  x  1 2 bằng 1024. Tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó. Phân tích bài toán : n 2   - Khai triển x  1 theo công thức Nhị thức Niu- tơn - Tính tổng các hệ số của khai triển và cho bằng 1024 để tìm n - Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 Lời giải : 11
n n n1   Ta có: x2  1  Cn0 x2      Cn1 x2  ...  Cnn (1) Thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức (1) ta được : Cn0  Cn1  ...  Cnn  2n n Theo bài ta có tổng các hệ số của khai triển x 2  1 bằng 1024 nên 2n  1024  n  10 10 2 Xét khai triển : x  1   10 10 k - Số hạng tổng quát của khai triển x2  1   k : Tk1  C10 . x 2    C10k .x202k - Số hạng ax12 trong khai triển ứng với 20  2k  12  0  k  10  k  4 k  N  - Vậy hệ số cần tìm là : a  C104  210 n1 3 Ví dụ 12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn  Cn . Tìm số hạng chứa x5 n  2  trong khai triển  nx  1  với x  0  14 x  Phân tích bài toán : n1 3 - Tìm n thỏa mãn điều kiện 5Cn  Cn - Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 Lời giải : n1 3 n! n! Ta có: 5Cn  Cn  5.   n  1! 3!  n  3! 5 1     n  2 n  1  30  n  2 n  1 6  n2  3n  28  0  n  4( KTM )  n  7 7  x2 1  Với n = 7 xét khai triển     2 x 12
7  x2 1  - Số hạng tổng quát của khai triển    là :  2 x 7 k k  x2   1 k 1 143k     C7 . 1 . 7k .x k k Tk1  C .  7  2  x 2 - Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với 14  3k  5  0  k  7  k  3 k  N  1 3 5 35 - Vậy số hạng cần tìm là :  C7 .x   x5 16 16 n  1 85  Ví dụ 13: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  3  x  biết rằng x  C nn 14  C nn  3  7  n  3  Phân tích bài toán : n1 3 - Tìm n thỏa mãn điều kiện 5Cn  Cn - Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 Lời giải : n 1 n Ta có: C n  4  C n  3  7(n  3)   C nn 13  Cnn 3   Cnn 3  7  n  3  Cnn 13  7  n  3  C2n 3  7  n  3  n  2  n  3  7   n  3 2!  n  2  7.2!  14  n  12 12 1 Với n = 12 xét khai triển  3  x 5  x  12 1 - Số hạng tổng quát của khai triển  3  x 5  là : x  12 k k  25  6011k Tk1  C12k x3   x   C12k x 2   13
- Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với  60  11k  2 8  0  k  12  k  4 k  N   12! - Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là : C124   495 4!12  4  ! n n  3 2 n n1 2  2 0 Ví dụ 14 : Cho khai triển  x  2   Cn x  x  3   1 C x n   3 . 2  ...  Cnn  2  . x x  Biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 33. Tìm hệ số của x2 Phân tích bài toán : - Xác định hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển ( Chú ý hệ số là phần không chứa biến x) - Cho tổng ba hệ số bằng 33, giải phương trình tìm n - Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 để tìm hệ số của x2 Lời giải : 0 1 2 2 Ta có: Cn  2Cn  2 Cn  33 n! n!  1  2.  4.  33  n  1! 2!  n  2!  1  2n  2n(n  1)  33  2n2  32  0 n  4   n  4( KTM ) 4  2 Với n = 7 xét khai triển  x3  2   x  4  2 - Số hạng tổng quát của khai triển  x3  2  là :  x  k 4 k  2 k   Tk 1  C . x 4 3 k k 125k  2   C4 .2 .x x  - Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với 14
12  5k  2  0  k  4  k  2 k  N  - Vậy hệ số của x2 là : C42 .22  24 n  x 1 Ví dụ 15 : Trong khai triển  2  x  tổng các hệ số của hạng tử thứ hai và thứ  4  ba bằng 36. Hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai. Tìm x Phân tích bài toán : Bài toán trên tuy không yêu cầu tìm hệ số hay số hạng chứa xk trong khai triển nhưng vẫn dẫn đến việc ta cần tìm n và sau đó tìm x là số mũ liên quan đến các số hạng trong khai triển 1 2 - Xác định hệ số của của hạng tử thứ hai và thứ ba lần lượt là : Cn ; Cn ; cho tổng hai hệ số bằng 36, giải phương trinh trình tìm n - Xác định hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai, từ giả thiết hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai ta thu được một phương trình mũ; giải phương trình tìm x Lời giải : n  x 1 Xét khai triển :  2  x   4  n1 1 1 Hạng tử thứ hai của khai triển là : Cn . 2   x . 4x 2 n 2  1 2 Hạng tử thứ ba của khai triển là : C . 2 n   x . x  4  1 2 - Theo bài có : Cn  Cn  36 n(n  1)  n  36 2  n2  n  72  0 n  8   n  9( KTM ) 15
8  x 1 Với n = 8 xét khai triển  2  x   4  2 6  1 7 1 - Ta có : C . 2 2 8   x   . x   7C81. 2x . x 4  4  28.26 x.24 x  56.27 x.22 x  22 x  2.25x  22 x  25x1  5x  1  2x 1  x 3 1 Vậy x   là giá trị cần tìm 3 d) Bài tập áp dụng n  1  Bài 1 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 3 x  15 28  biết rằng  x  Cnn  Cnn 1  Cnn  2  79 10 11 12 13 14 Bài 2 : Cho đa thức P ( x )   x  1   x  1   x  1   x  1   x  1 2 14 được viết dưới dạng P ( x )  a0  a1 x  a2 x  ...  a14 x . Tìm hệ số a7. n  1  Bài 3 : Tìm số thực x sao cho trong khai triển  2 x  x1  tổng các hạng tử thứ  2  3 và thứ 5 bằng 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối bằng 22 Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của n  1 7 1 2 n 20  4  x  biết rằng C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  2  1 x  Bài 5 : Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển n n thành đa thức của  x 2  1  x  2  . Tìm n để a3n-3 = 26n. n  1  Bài 6 : Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  3  x 5  8 x  n 1 n biết rằng Cn 4  Cn 3  7  n  3 16
 Loại 3. Nhóm bài toán tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển nhị thức: a) Bài toán thường gặp : Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển nhị thức. b) Các bước thực hiện bài toán : n n  k n k k - Biểu diễn : a  b   Cn a b  k0 - Giả sử uk là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển uk  uk1 - Thực hiện giải bất phương trình  và đối chiếu điều kiện của k để uk  uk1 tìm k. Từ đó suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển với k tìm được. c) Ví dụ minh họa : Ví dụ 16 : Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển 101 1  x Phân tích bài toán : Bài toán yêu cầu tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai 101  triển 1  x  nên ta thực hiện theo ba bước đã phân tích nêu trên Lời giải : 101 101 Ta có : 1  x  k   C101.x k k0 k   Giả sử uk  C101 0  k  101, k  N là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển. k k 1 uk  uk1 C101  C101 Xét hệ :   k k 1 uk  uk1 C101  C101  101! 101!   k ! 101  k !  k  1! 100  k !    101! 101!   k ! 101  k !  k  1! 102  k ! 17
 1 1 101  k  k  1  1  1  k 102  k k  1  101  k  102  k  k 2k  100  2k  102  50  k  51 Mà k  N nên k = 50 hoặc k = 51 Khi đó có hai số hạng có hệ số lớn nhất. 50 51 Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là C101  C101 n Ví dụ 17 : Cho khai triển 1  2x    a0  a1x  a2 x2  ...  an xn , n  N * và các a1 a hệ số a0, a1,a2,…,an thỏa mãn hệ thức a0   ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất 2 2 trong các hệ số a0,a1,a2,…,an. Phân tích bài toán : - Thực hiện tìm số mũ n theo yêu cầu bài toán. - Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển theo ba bước đã phân tích nêu trên Lời giải : n  Ta có : 1  2x   a0  a1x  a2 x2  ...  an xn (1) 1 Thay x  vào hai vế của (1) ta được : 2 a1 a 2n  a0   ...  nn  2n  4096  n  12 2 2 12 12 12 k Xét khai triển 1  2x    C . 2x    C12 .2 .x kk k k 12 k 0 k0 k k   Giả sử uk  C12 .2 0  k  12, k  N là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển. uk  uk1 2k.C12k  C12k1.2k1 Xét hệ :    k k k 1 k 1 uk  uk1 2 .C12  2 .C12 18