MỤC LỤC
7.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ............................................................ 2
7.1.1. Những kiến thức cơ bản.....................................................................................2
7.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức……..3
7.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của số
phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc
elip………………………………………6
7.1.4. Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó........................13
7.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức………………………….15
7.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN..............................................21
7.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề.................................................22
7.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy……………………………….23
7.5. Kết luận và kiến nghị..........................................................................................23
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như
hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm. Mảng kiến
thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện nay đã được
khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm. Một trong những dạng toán
được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số phức. Để giải các bài toán này
nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được phương án trả lời đúng trong đề bài,
chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có một tư duy linh hoạt và nhạy bén. Ngoài yêu
cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức, người thầy còn phải biết cách
dạy học sinh các kĩ năng như loại trừ, thử đáp án, chọn lựa...và đặc biệt là kĩ năng sử
dụng máy tính cầm tay để giải quyết. Đó là lí do tôi chọn đề tài này
2. Tên sáng kiến:
1
Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số phức
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Trần Thị Thu Hằng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Xã Đồng Thịnh, huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0973318398 E_mai:
tranthithuhanggv.c3songlo@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trần Thị Thu Hằng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng trong thực tiễn giảng dạy và học tập môn
Toán học lớp 12, cụ thể trong các tiết ôn luyện chủ đề Số phức, giải tích 12.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 4 năm 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
7.1.1. Những kiến thức cơ bản:
7.1.1.1. Một số phức là một biểu thức có dạng , trong đó , và i là số thoả mãn . Ký
hiệu số phức đó là z và viết .
* i được gọi là đơn vị ảo
* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z).
* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z).
* Tập hợp các số phức ký hiệu là .
7.1.1.2. Hai số phức bằng nhau.
Cho 2 số phức z = x + yi và z’ = x’ + y’i khi đó z = z’
7.1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
7.1.1.4. Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y), khi
đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM.
2
7.1.1.5. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
7.1.1.6. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
7.1.1.7. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Tính chất của số phức liên hợp:
* * * *
7.1.1.8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số z-1 được xác định bởi
z-1=
Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất
giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông
thường.
7.1.1.9. Các đẳng thức và bất đẳng thức về modul của số phức:
* . Đặc biệt: Khi .
* là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ O của mặt phẳng
phức.
* là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến điểm M’ biểu diễn của số
phức z’.
* , .
3
* .
7.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức
7.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:
Ta xét một ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y , ta có
(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 18x – 24y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0. Ta tìm a, b, c
như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
CALC X = 0
CALC X = 1
CALC X = i
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học
sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác
cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể
cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số phức z
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|m'. + a' + b'i|
4
|m'. + a' + b'i|
Mà m = m’ hoặc m = - m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng.
7.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:
Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y , ta có
(x + 1)2 + (y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 -8x2 – 8y2 +14x – 20y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x2 + y2+ ax + by + c = 0. Ta tìm a,
b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
CALC X = 0
CALC X = 1
CALC X = i
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:
Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây cũng
là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh trung bình và
5